实变函数论主要知识点.docx
实变函数知识点总结免费
实变函数知识点总结免费1. 函数的概念与性质函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在实变函数中，函数通常表示为f: A→B，其中A和B分别是定义域和值域。
函数的性质包括单调性、有界性、周期性等，这些性质在后续的分析中都将扮演重要的角色。
2. 极限与连续性极限是实变函数理论中极为重要的概念之一。
它描述了函数在某一点附近的趋势，是理解函数性质的基础。
极限的定义、性质和计算是实变函数学习的重点内容，包括无穷极限、级数与收敛性等相关内容。
连续性是指函数在某一点的连续性，它与极限息息相关，是实变函数理论中另一个重要的概念。
3. 可导性与微分可导性描述的是函数在某一点的导数存在性，微分则是对函数的导数进行研究的一部分。
在实变函数中，可导性的概念包括了导数的存在与连续性、高阶导数及其性质等。
微分则包括了微分中值定理、泰勒公式、泰勒展开等重要内容。
4. 积分与微积分基本定理积分是实变函数理论中的另一个核心内容，包括定积分和不定积分。
微积分基本定理是积分理论的基础，它描述了积分与导数之间的关系，是理解积分性质的重要定理。
在实变函数中，积分的性质、计算方法以及应用都是学习的重点。
5. 序列与级数序列与级数是实变函数理论中的另一个重要概念，它描述了函数在无穷情况下的性质。
序列的极限、级数的收敛性和性质是实变函数学习的重点内容，也是分析理论的基础之一。
6. 函数空间与泛函分析函数空间与泛函分析是实变函数理论的高级内容，它描述了函数集合的结构和性质。
在这一部分中，将研究函数的收敛性、完备性、紧性等概念，探讨函数空间的结构和代数性质，这是实变函数理论的深入内容，也是数学分析的重要分支。
以上是实变函数理论的主要知识点总结，实变函数理论涉及范围广泛，内容丰富，需要学生在学习过程中多多练习和实践，加深对概念和理论的理解，提高数学建模和问题解决能力。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
本文将对实变函数的相关知识点进行简要总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、实变函数的定义与性质1. 实变函数的定义：实变函数是定义在实数集上的函数，即自变量和函数值都是实数。
2. 实变函数的性质：实变函数可以进行加法、乘法、求和、求积等运算，并具有可加性、可乘性、可积性等性质。
二、实变函数的连续性1. 实变函数的连续性：一个实变函数在某点连续，意味着当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点的函数值。
2. 实变函数的间断点：如果一个实变函数在某点不连续，那么该点就是函数的间断点。
常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
三、实变函数的导数与微分1. 实变函数的导数：实变函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义是函数在该点的极限值。
2. 实变函数的微分：实变函数的微分是函数在某一点附近的近似线性变化。
微分可以用来估计函数值的变化。
四、实变函数的极限1. 实变函数的极限：实变函数的极限描述了函数在自变量趋近于某一点时的趋势。
常见的极限类型包括左极限、右极限和无穷极限。
2. 实变函数的无穷大与无穷小：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大或无穷小，可以用来描述函数在该点的特性。
五、实变函数的积分1. 实变函数的不定积分：实变函数的不定积分描述了函数在某一区间内的累积变化量。
不定积分可以用来求解定积分和求函数的原函数。
2. 实变函数的定积分：实变函数的定积分描述了函数在某一区间上的平均值或累积值。
定积分可以用来计算曲线下的面积或求解物理、经济等问题。
六、实变函数的应用实变函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，实变函数可以描述质点的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以描述市场需求函数；在工程学中，实变函数可以描述电路中电流和电压之间的关系。
实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
实变函数 讲义
实变函数讲义【最新版】目录1.实变函数的定义和基本概念2.实变函数的性质和特点3.实变函数的分类和应用4.实变函数的典型例子和解析5.实变函数的数学工具和方法正文实变函数是数学中的一个重要分支，主要研究实数的变化规律和特性。
实变函数的定义是指以实数为自变量，以实数或实数集合为函数值的函数。
下面，我们将详细介绍实变函数的相关内容。
首先，实变函数具有以下性质和特点：1) 实变函数的值域为实数集或实数集合。
2) 实变函数可以是单射、满射或双射。
3) 实变函数可以具有连续性、可导性和积分性等性质。
其次，实变函数可以分为不同的类型和应用领域，如：1) 实数域上的实变函数，主要研究实数的变化规律；2) 复数域上的实变函数，主要研究复数的变化规律；3) 高维空间上的实变函数，主要研究高维空间的变化规律；4) 实变函数在物理学、工程学和经济学等领域具有广泛的应用。
接下来，我们来看实变函数的典型例子和解析：1) 指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，它是一个在实数域上的实变函数，具有连续性、可导性和正态分布等特点。
2) 对数函数：y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)，它也是一个在实数域上的实变函数，具有单调性、可导性和反函数等特点。
3) 三角函数：y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x)，它们是在实数域上的周期函数，具有周期性、连续性和可导性等特点。
最后，研究实变函数需要运用一些数学工具和方法，如：1) 微积分：求导、积分和微分方程等；2) 级数：级数收敛性和级数求和等；3) 拓扑：极限、连续性和紧致性等；4) 实分析：实数的完备性、实数的连续性和实数的可微性等。
总之，实变函数作为数学中的一个重要分支，具有广泛的应用和深远的影响。
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数知识点
实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。
在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。
一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。
它以实数为自变量，实数为函数值。
实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。
二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。
2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。
3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。
如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。
4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。
五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。
三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。
2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。
实变函数 讲义
实变函数讲义
摘要：
一、实变函数的定义与背景
1.实变函数的定义
2.实变函数的背景与意义
二、实变函数的基本性质
1.连续性
2.可积性
3.可微性
三、实变函数的重要概念
1.实数集
2.实函数的极限
3.实函数的连续
四、实变函数的应用领域
1.数学分析
2.概率论与数理统计
3.工程与物理学
正文：
实变函数是数学中的一个重要分支，它主要研究实数集上的实函数的性质及其应用。
实变函数的定义是指，将实数集上的每一个实数映射到一个实数，满足某种性质的函数。
它的背景与意义在于，它是数学分析的基础，同时在概
率论、数理统计、工程和物理学等领域中都有着广泛的应用。
实变函数具有许多基本性质，包括连续性、可积性和可微性。
连续性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值的变化是连续的。
可积性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值在区间上的积分是有限的。
可微性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值在区间上的微分是存在的。
实变函数中有一些重要的概念，包括实数集、实函数的极限和连续。
实数集是实变函数的基础，它包括了所有的实数。
实函数的极限是指，当自变量趋近某个值时，函数值的变化趋势。
连续是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值的变化是连续的。
实变函数的应用领域非常广泛，包括数学分析、概率论与数理统计、工程和物理学等。
在数学分析中，实变函数是分析的基础，它为微积分提供了理论基础。
在概率论与数理统计中，实变函数为概率分布和统计推断提供了理论基础。
《实变函数论》
《实变函数论》实变函数论是数学的一个重要分支，可以用来分析数学中各种基本实变函数的性质。
它主要是研究如何利用导数、积分、最值和定积分来研究实变函数的性质。
它是求解不可逆微分方程的基础。
它也是研究复变函数性质的基础，把复变函数看作一种特殊的实变函数。
实变函数论包括实值变量函数的微分、积分、最值等，还包括复变量函数的性质。
它是数学分析中的重要分支，与特殊函数论、复变函数论有着密切的关系。
实变函数论中最基础的概念是数量级和极限。
数量级指的是极限的概念，表示随着实变量的变化，函数值的变化程度。
极限是指当实变量接近某个数值时，函数值在某一点处的极限值。
而对极限的深入研究，就是实变函数论的重要内容。
实变函数论几乎可以关注任何一个实变函数的性质，从最基础的极限研究，到有关积分的性质，以及利用实变函数来求解某个特殊的微分方程。
因此，实变函数论的研究对解决各种数学问题都有重要的意义。
实变函数论的重要技术有微分、积分、微分不变性、莱布尼茨定理等等。
它们在极限和积分研究中发挥着重要作用，也是研究复变函数性质的基础。
实变函数论的重要应用在于各种不可逆微分方程的求解。
它可以通过求解它们的极限和积分来解决。
比如，必经微分方程，可以用它的极限和积分来解决；简单自变量微分方程，也可以用它的导数来解决。
由于实变函数论的应用十分广泛，它也与其他学科有着良好的交流和联系。
总之，实变函数论是数学分析中的重要分支，有着重要的研究和实际应用价值，其中涉及到复变函数、微分、积分、最值、极限和定积分等数学基础概念，也与其他学科有着密切的关系。
学习实变函数论不仅有利于研究基础数学，而且可以运用到工程学和其他许多科学中。
实变函数复习要点
3
可测函数的收敛性 知道“几乎处处”是如何表述，以及各种情形下的“几乎处处” 。明确：我们所学 习的对象，都是“几乎处处有限的可测函数（列） ” 掌握“处处收敛” 、 “一致收敛” 、 “几乎处处收敛” ， “依测度收敛”的概念 掌握上述各种收敛之间的关系（掌握结论，无需会证明） 一致收敛 处处收敛 几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛 几乎处处收敛与一致收敛的关系：Egroff 定理（注意，也有 mE < ¥ ）
第一章 集合 集合的运算 子交并补，可数交，可数并，任意交，任意并。集合运算的运算律，De Morgan 法 则。会证明两集合相等 单调集列的极限集，一般集列的上极限集、下极限集。会求简单的单调集列的极限 集。 集合的基数 明确集合基数的概念，理解基数与“个数”的区别与联系 会在一些简单的集合间建立一一对应，比如建立 (a, b) 到 [a, b ] 的一一对应 能识别常见的可数集与不可数集，知道“没有最大基数”
第二章 n 中的点集 基本概念 掌握“内点，外点，边界点，内部，外部，边界，聚点，导集，闭包，孤立点” ， 给定一个集合，会求前述点集 开集、闭集、完备集 理解开集、 闭集、 自密集、 完备集的概念， 能分辨一个集合属于哪一类。 了解 Cantor 集的构造方式， 并要掌握其特性： 完备集； 不可数集； 测度为零； 内部是空集。 Cantor 集用来构造反例，打破我们的常规直观感觉。 知道 n 与 1 中开集的构造方式，特别是 1 中的 了解Gd 型集， Fs 型集，Borel 集的定义，知道这些抽象概念因何而出场 掌握：对于连续函数 f ， E[ f > a ] 是开集
2
依测度收敛与几乎处处收敛的关系 几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛 依测度收敛 必有子列几乎处处收敛：Riesz 定理 Lusin 定理 掌握可测函数与连续函数的关系：Lusin 定理
实变函数知识点总结
引言：实变函数是数学分析中的重要概念，是研究函数性质的基础。
在这篇文章中，我们将总结实变函数的相关知识点，为读者提供一个全面且详细的了解实变函数的资料。
本文将从函数的极限、连续性、导数、积分和级数等五个大点进行阐述，每个大点都包含5-9个小点的详细内容。
概述：实变函数是实数集到实数集的映射，研究实变函数的性质时，我们主要关注函数的极限、连续性、导数、积分和级数。
下面将详细介绍这些知识点。
正文：一、函数的极限1. 函数的极限概念：介绍函数极限的定义和图形解释。
2. 极限的性质：极限的唯一性、界限定理和保号性等。
3. 极限运算法则：介绍极限的四则运算法则和复合函数的极限。
4. 无穷大与无穷小：定义无穷大和无穷小，并介绍无穷大与极限的关系。
5. 函数极限存在的条件：介绍连续函数、单调有界函数和有界变差函数等存在极限的条件。
二、函数的连续性1. 连续函数的定义：介绍连续函数的定义和连续函数的图像特征。
2. 连续函数的性质：介绍连续函数的保号性、介值性和有界性。
3. 连续函数的运算法则：介绍连续函数的四则运算法则和复合函数的连续性。
4. 列举函数的连续与不连续性：介绍一些特殊函数的连续性，如分段函数和有间断点的函数。
5. 连续函数的特例：介绍单调函数、递增函数和递减函数的连续性。
三、函数的导数1. 导数的定义：介绍导数的定义和导数的图形解释。
2. 导数的性质：介绍导数的可加性、可乘性和零点定理等。
3. 常见函数的导数：介绍常数函数、幂函数、指数函数和对数函数的导数。
4. 高阶导数与导数的递推关系：介绍高阶导数的定义和与导数的递推关系。
5. 隐函数与参数方程的导数：介绍隐函数和参数方程的导数计算方法和相关性质。
四、函数的积分1. 定积分的定义：介绍定积分的定义和定积分的几何意义。
2. 定积分的计算方法：介绍定积分的基本计算方法和积分的运算法则。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：介绍牛顿-莱布尼茨公式的定义和应用。
4. 微积分基本定理：介绍微积分基本定理的两种形式和相关性质。
实变函数(全)总结
A3
A*
A
f
gfg f
B1
B2
B3
B
B*
Bernstein定理的证明
A1
A2
A3
A*
A
f
gfg f
B1
B2
B3 B*
B
由g(B) A*知A2 g(B1) A*,而A1 A \ A*，故A1与A2不交
从而A1, A2在f的象B1, B2不交 B1, B2在g下的象A2 , A3不交
由A3 A*,知A1与A3不交,故A1, A2 , A3两两不交
即：若A B, B A,则A B.)
注：要证A B，需要在A与B间找一个既单又满的映射； 而要证A B，只需找一个单射即可；从而我们把找既单 又满的映射转化找两个单射。
Bernstein定理的证明
引理：设{A : }，{B : }是两个集族, 是一个 指标集，又 , A ~ B ,而且{A : }中的集合 两两不交,{B : }中的集合两两不交，那么：
为C的原像集，记作f 1(C)( f 不一定有逆映射)，则有：
1)C D f 1(C) f 1(D);
2) f 1(C 3) f 1(C
D) f 1(C) D) f 1(C)
f 1(D),一般地有：f 1( C ) f 1(C );
f 1(D),一般地有：f 1( C ) f 1(C );
定理1：设f : X Y , A, B, A ( )是X的子集，
称{ f (x) : x A}为A的像集，记作f ( A),则有：
1) A B f ( A) f (B);
2) f ( A 3) f ( A
B) f ( A) B) f ( A)
f (B),一般地有：f ( A ) f ( A );
实变函数 讲义
实变函数讲义
摘要：
1.实变函数的定义与性质
2.实变函数的例子
3.实变函数的运算与求导
4.实变函数的应用
正文：
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
与复变函数不同，实变函数的自变量和因变量都是实数。
实变函数具有很多重要的性质，这些性质使它在数学分析中有着广泛的应用。
首先，让我们来看一下实变函数的定义与性质。
实变函数是指定义在实数集上的函数，它可以接受实数作为自变量，并输出实数作为因变量。
实变函数具有很多重要的性质，比如连续性、可导性、极限等。
这些性质是实变函数研究的基础，也是实变函数分析的关键。
接下来，我们来看一些实变函数的例子。
最简单的实变函数就是常函数，它的函数图像是一条水平直线。
另外，幂函数、指数函数、对数函数等也是实变函数的例子。
这些函数在实数集上都有定义，并且具有不同的性质。
实变函数的运算与求导是实变函数分析的重要内容。
实变函数的运算包括加法、减法、乘法、除法等。
实变函数的求导则是研究函数在某一点处的变化率。
求导是实变函数分析的重要工具，它可以帮助我们理解函数的性质，并且可以用来求解实际问题。
最后，我们来看一下实变函数的应用。
实变函数在数学中有着广泛的应用，比如在微积分、实分析、概率论等领域都有重要的应用。
实变函数的性质和运算规律可以帮助我们解决实际问题，并且可以用来证明数学定理。
总的来说，实变函数是数学中的一个重要概念，它具有很多重要的性质和运算规律，并且在实际应用中有着广泛的应用。
实变函数知识点
实变函数知识点实变函数知识点协议关键信息项：1、集合论基础集合的定义与表示集合的运算可数集与不可数集2、点集开集与闭集内点、外点与边界点完备集3、测度论勒贝格测度的定义与性质可测集的判定测度的可加性与可数可加性4、可测函数可测函数的定义与性质可测函数的运算依测度收敛5、勒贝格积分勒贝格积分的定义与性质勒贝格积分的计算勒贝格控制收敛定理11 集合论基础111 集合的定义与表示集合是具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的一个整体。
集合可以用列举法、描述法等方式进行表示。
112 集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集等。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合。
113 可数集与不可数集可数集是指能够与自然数集建立一一对应的集合；不可数集则是不能与自然数集建立一一对应的集合。
例如，有理数集是可数集，而实数集是不可数集。
12 点集121 开集与闭集开集是指集合中的每一个点都是内点的集合；闭集是指包含其所有边界点的集合。
122 内点、外点与边界点内点是指存在一个以该点为中心的邻域完全包含在集合内；外点是指存在一个以该点为中心的邻域完全不在集合内；边界点则是既不是内点也不是外点的点。
123 完备集完备集是没有孤立点的闭集。
13 测度论131 勒贝格测度的定义与性质勒贝格测度是对集合的一种度量方式，具有非负性、单调性、可列可加性等性质。
132 可测集的判定通过一系列的条件和定理来判定一个集合是否为可测集。
133 测度的可加性与可数可加性可加性指有限个互不相交的可测集的并集的测度等于各集合测度之和；可数可加性指可数个互不相交的可测集的并集的测度等于各集合测度之和。
14 可测函数141 可测函数的定义与性质可测函数是指定义域上的可测集到实数集的函数，满足一定的条件。
具有可加性、单调性等性质。
142 可测函数的运算可测函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是可测函数。
(完整版)《实变函数》第一章集合.doc
第一章集合（总授课时数8学时）由德国数学家 Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章仅介绍那些必不可少的集论知识．§1、集合及其运算教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点De Morgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证,通过例子使学生掌握其基本方法. 集列的极限是一种新型的运算,学生应理解其概念.本节难点对集列极限的理解.授课时数2学时——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．以后常用大写字母A, B,C , D , X , Y, Z L 表示集合，用小写字母a,b,c, x, yL 表示集合中的元素．如果 a 是集合 A的元素，则说 a 属于A，记作a A ，或说A含有a．如果 a 不是集A的元素，则说a 不属于A，记作a A ，或说A不含有a．有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素 a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{ a} ．由n个元素 a1 , a2 L a n所组成的集合，可表示为{ a1 , a2 L a n }由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,L , n,L } ．当集 A是具有某性质P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：A { x | x具有性质 p}例如，方程x2 1 0 的解x的全体组成的数集是{ x | x210} ，实际上就是 { 1, 1} .有时我们也把集 { x | x E, x 具有性质 p} 改写成 E[ x 具有性质 p] ．例如，设 f ( x) 是定义在集合 E 上的一实函数，a是一个实数，我们把集{ x | x E, f (x) a} 写成E[ f (x) a] 或 E[ f a] ．不含任何元素的集合称为空集，记作．设 A ， B 是两个集，若 A 和 B 的元素完全相同，就称 A 和 B 相等，记作 A = B (或B = A ).若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，就称为 A 是 B 的子集，记作 A B (或 B A )，读作 A 包含于 B (或B包含A)．若 A B 且 A B ,就称A是 B 的真子集，规定空集是任何集的子集．由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理 1 对任何集合 A ， B ，C，均有（1）A A ；（2）若A B, B C ，则A C；（3）A BA B 且 B A ．二集合的运算设 A ， B 是两个集合，集合 A 与 B 的并集或并 A U B { x : x A或 x B}集合 A 与 B 的交集或交 A I B { x : x A且 x B}特别地，若 A B，称A与B不相交；反之，则称 A 与 B 相交．集合 A 减 B 的差集或差:A B或 A B { x : x A但 x B}当 B A时，称差集A B 为 B 关于A的余集记作(C A B)．当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集 A 的子集时，就称 A为基本集或全集，并把 A 的子集B关于 A 的余集C A B简称为B的余集，记为B C或 CB .并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个，指定了一个集合 A ,此时我们称 { A |} 是以为指标集的集族，集族{ A |} 的并与交分别定义为 :U A { x :, 使x A } IA { x :, 有xA }例 设 A n{ x : 11x 11}, n N , 则nnnA n [ 1,0],A n( 2,1)1n 1关于集合的并和交显然有下面的性质： ( 见课本 P9-P10)更一般地有 : De Morgan 公式(UA ) cIA c , ( I A )cUA c证明（略）注：通过取余集，使A 与 A C ，与 互相转换 .三、集列极限设 A 1 , A 2 ,L , A n ,L 是一个集合序列， ，其上限集和下限集分别定义为上极限集：lim A n (或 limsup A n ) { x : x 属于无限多个集合 A n } { x : 存在无限多个 A n ，使 x A n }nn{ x : N , n N , 使 x A n }I UAnN 1 n N下极限集：lim A n ( 或 liminf A n ) { x : 除去有限个集外， 有 x A n } { x : 当 n 充分大时，有 x A n }nn{ x : N , n N ,有 x A n }UIAnN 1 n N注：I A nlim A nlim A nU A nnnn 1 n 1例：设 A 2n [0,1], A 2 n 1 [1,2] ，则上极限集为 [0,2] ,下极限集为 {1} .极限集如果集列 { A n } 的上极限集与下极限集相等，即lim A n lim A n Ann则称集列 { A n}收敛，称其共同的极限为集列{ A n } 的极限集，记为： lim A n An单调增集列极限若集列 { A n } 满足 A nA n 1 ( n N ), 则称{ A n }为单调增加 ;若集列 { A n} 满足 A n A n 1 ( n N ),则称 { A n }为单调减少 ; 定理 2 ：单调集列是收敛的1) 如果集列 { A n } 单调增加，则lim A n U A nn n 12) 如果集列 { A n } 单调减少，则lim A n I A nn n 1例1：设A2n 1 ( 1 1 1( n, n), n N, 则,1 ), A2 nn nlim A n ( , ) ， lim A n ( 1,1] n n例 2：设A2n 1 [ 1,41], A2 n [1,11], n N, 则n n n nlim A n [0,4) ， lim A n (0,1]n n小结本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础 .证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要 , 以后会经常用到 . 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念 .——————————————————————————————作业： P30 5, 7, 8练习题1. 设{ A n}为一集列：n 1（1）作B1A1 , B n A n U A k (n1) ，证明{ B n}为一列互不相交的集列，且k 1n nU A k U B k ( n 1,2,L )k 1k 1（2）若{ A n}是单调减少的集列，证明A1( A1 A2 ) ( A2 A3 ) L( A n A n 1 ) L( I A k ),k 1并且其中各项互不相交.2. 证明 :(1) nUIA n,n IUA n lim A n lim A nN 1 n N N 1 n N(2) lim A n lim A nn n(3) { A n } 单调递增时，有 lim A n lim A n lim A n U A nn n n n 1(4) { A n } 单调递减时，有 lim A n lim A n lim A n I1 A nn n n n3. 已知A2n E, A2n 1 F ,( n 1,2,L ) ，求 lim A n和 lim A n ，并问 lim A n是否存在？n n n§2对等与基数教学目的介绍映射,基数,等概念和它们的属性.本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心. 基数的概念，讨论都要用一一对应的方法 . 证明两个集对等或具有相同的基数 , 有时需要一定的技巧 , 因而具有一定难度 , 通过较多的例题和习题 , 使学生逐步掌握其中的技巧 .本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.授课时数2学时——————————————————————————————1映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是R n的子集,值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念.定义：设 X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则 f ，对X中的每个 x ，均存在Y中唯一的 y 与之对应，则称这个对应法则 f 是从X到Y的一个映射，记作 f : X Y 或：设 X , Y 是两个非空集合， f 是X Y 的子集，且对任意 x X ，存在唯一的y Y 使 (x, y) f ，则 f 是从X到Y的一个映射.注：集合，元素，映射是一相对概念.略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外 , 我们还经常会遇到许多其它的映射 . 例如 , 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.2集合运算关于映射的性质（像集）定理 1 ：设f : X Y, A, B, A () 是X的子集，称 { f ( x) : x A} 为A的像集，记作 f ( A) ，则有：1) A B f ( A) f (B);U A ) U f ( A );2) f ( A U B) f ( A) U f ( B), 一般地有 f (3) f ( A I B) f ( A) I f ( B), 一般地有 f ( I A )I f ( A );证明的过程略注： f (A I B) f ( A) I f ( B)一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当 f 为单射.集合运算关于映射的性质（原像集）定理 2：设f : X Y, A X ,C , D ,C () 是Y的子集，称{ x : f (x)C} 为C的原像集，记作 f 1(C )( f不一定有逆映射），则有：1)C D f 1 (C ) f 1 ( D );1 1 1一般地有：1 12) f (C U D ) f (C ) U f ( D ), f ( U C ) U f (C );3) f 1 (C I D ) f 1 (C ) I f 1 (D ), 一般地有： f 1 ( I C ) I f 1 (C );4) f 1 (C D) f 1 (C) f 1( D );5) f 1 (C c ) [ f 1 (C)] c ;6) A f 1 [ f ( A)];7) f [ f 1 (C)] C;证明略 .注： 6）， 7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当 f 为单射，7）等号成立当且仅当 f 为满射.3对等与势1）定义设 A ， B 是两非空集合，若存在着 A 到 B 的一一映射（既单又满），则称 A 与 B 对等,记作 A ~ B .约定 ~ .注：（ 1）称与A对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A .（2）势是对有限集元素个数概念的推广.2）性质a) 自反性：b)对称性：c) 传递性：A ~ A;A ~B B ~ A;A ~ B,B ~C A ~ C;例： 1)N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z2)( 1,1) ~ ( , )证明：令 f : x tg ( x) ，则 f 是 ( 1,1) 到 ( , ) 的一一映射.故2( 1,1) ~ ( , )注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能.3)基数的大小比较a) 若 A ~ B, 则称 A B；b) 1B, 则称A B； A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射 .若 A ~ B 相当于：c) 若A B,且 A B，则称 A B .注：不能用 A 与 B 的一个真子集对等描述. 如：( 1,1) ~ ( 1,1) ( , )4 Bernstein 定理引理：设 { A : }{ B : }是两个集族，是一个指标集，又，, A ~ B , 而且 { A : } 中的集合两两不交， { B : } 中的集合两两不交，那么：U A ~ U B证明略定理 3:（ Bernstein 定理）若有A的子集A* ，使 B ~ A* , 及B的子集B* ，使 A ~ B* , 则A ~ B. 即：若 A B,B A, 则A B.证明：根据题设，存在 A 到 B*上的一一映射 f ，以及B到A*上的一一映射g .令A1 A A*， B1 f ( A1 ) ， A2 g ( B1 ) ， B2 f ( A2 ) ， A3 g( B2 ) ， B3 f ( A3 ) ，L L 由 g(B) A*知 A2 g( B1 ) A* , 而 A1 A A*，故 A1与 A2不交.从而 A1, A2在 f 的像B1 , B2不交， B1 , B2在g下的像 A2 , A3不交.由 A3A* , 知 A1与 A3不交，故 A1 , A2 , A3两两不交.从而 A1, A2 , A3在 f 的像 B1 , B2 , B3也两两不交， L Lf从而 A1 , A2 , A3 ,L两两不交，B1 , B2 , B3 ,L 也两两不交且A n ~B n (n 1,2,L ),fU A n~ U B nn 1n 1g另外由 B k ~ A k 1 (k 1,2,L ), 可知gU B k~ U A k 1k 1k 1g又 B ~ A* , 所以g U A k 1， A* U A k 1 ( A A1 )U A k 1 A U A kB U B k ~ A*k 1 k 1 k 1 k 1 k 1B U Bk ~ A U Akk 1k 1A ( A U A k ) U (U A k ) ~ (B U B k ) U (U B k )Bk 1k 1k 1k 1 证毕．注：要证 A B，需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证A B，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.例： ( 1,1) ~ [ 1,1]证明：由 ( 1,1) [ 1,1] (,) ~ ( 1,1)可知， ( 1,1) ~ [1,1]——————————————————————————————作业： P30 9, 10练习题1.R1上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？2．证明:若A B C , A : C , 则A : B : C.3. 证明：若A B ， A : A C ，则有 B : B C .4.设F是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则F : M .§3、可数集合教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点可数集是具有最小基数的无限集. 可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来 , 可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握 .本节难点证明集合可数 .授课时数2学时——————————————————————————————１可数集的定义与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 a 或01,2,3,4,5,6 L La1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L注： A 可数当且仅当 A 可以写成无穷序列的形式{ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L } 例： 1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3 L }2）[0,1] 中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, L }２可数集的性质（子集）定理 1 任何无限集合均含有可数子集 .证明：设M是一个无限集，取出其中的一个元素从M中任取一元素，记为则e1.M { e1} ,在M{ e1}中取一元素e2 ,显然e2e1 .设从M中已取出n个互异元素1, 2 n,由于M 是无限集，故 M { e1, e2 ,L e n } ,于是又可以从1, 2n 中e e ,L e M { e e ,L e }取出一元素 e n 1,它自然不同于 e1, e2 ,L e n.所以，由归纳法，我们就找到 M 的一个无限子集{ e1,e2,L , e n L } 它显然是一个可数集．证毕．这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数．可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集A a1 , a2 , a3 ,L，B b1 , b2 ,L , b n，C c1 , c2 , c3 ,L假设 A, B, C 两两不交，则A B b1 ,b2 ,L , b n , a1 ,a2 ,L（当集合有公共元素时，不重复排）第9页（共 14 页）A C a1 ,c1 , a2 ,c2 , a3 , c3 ,L关于可数个可数集的并仍可数集的明a11 , a12 , a13 , a14，La21 , a22 , a23 , a24，La31 , a32 , a33 , a34，La41 , a42 , a43 , a44，LL , L , L , L ，L当A i互不相交，按箭所示，我得到一个无序列;当A i有公共元，在排列的程中除去公共元素；因此U A n是可数集。
实变函数论讲义
第1章集合与点集实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的讨论.1.1 集合及相关概念大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：R表示全体实数形成的集合；C表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5};一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定的某集合A及某对象a,若a是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属于集合A,记为给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记为或进而,若同时有和，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集.例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.{1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1集合及相关概念共个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是：C0n+C1n+…+C n n=2n,其中C k n=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为1.1.1 集合的运算我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算,并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种.定义1.1.1任意给定集合A和B,集合{x|x∈A或x∈B}称为A与B的并集,并集也称为和集,记为A∪B,或A+B;集合{x|x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB;推而广之,给定集合族∈Γ,其中Γ是指标集,则此集合族的并集与交集分别为∪α∈∈Γ,x∈Aα};(1.1)∩α∈∈Γ,x∈Aα}.(1.2)集合{x|x∈A且称为A与B的差集,又称补集，记为A\\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, SB简记为而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B.例1.1.2 设-1+1i≤x≤1--1k<x<1k,k=1,2,…,则∪mi=1B i=x-1+1m≤x≤1-1m, -1p<x<1p. 其中n,m,p∈N.由此知∪-1<x<1},集合的并、交、差（补）运算满足下面的运算律：定理1.1.1 (1) 交换律A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;特别地A∩A=A,A∪A=A, A∪=A,(2) 结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C, A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.(3) 分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);一般地A∩∪α∈∪α∈(4) 大小关系∪B).(5) 若∈Γ,则∪α∈∪α∈∩α∈∈特别地,若或∈Γ,则∪α∈∈证明下面仅证A∩∪α∈∪α∈任取x∈A∩∪α∈则x∈A且α0∈Γ,使得x∈Bα0,于是x∈∪α∈由x 的任意性得A∩∪α∈∪α∈反过来,任取x∈∪α∈α),则α0∈Γ,使得x∈即x∈A且x∈Bα0,从而x∈A且x∈∪α∈故x∈A∩∪α∈由x的任意性得∪α∈∪α∈综合起来,等式成立.□以下给出关于余集计算的部分性质. 定理1.1.2 (1) A-(2) 若则SA SB,B\\A=B∩A c;(3) 对偶律（德摩根（De）律）若则(A∪B)c=A c∩B c,∪B c.一般地∩α∈∪α∈∪α∈∈证明下面仅证对偶律：若则(A∪B)c=A c∩B c,其余结合相关定义类似可得.事实上,由补集定义, (A∪B)c={x|x∈X且∪B}={x|x∈X,x A且={x|x∈X,x∈A c且x∈B c}=A c∩B c.□德摩根律使我们通过余集的运算把并集变为交集,把交集变为并集.这种转化在集合的运算及论证中是很有用的.1.2 集合列的上极限和下极限众所周知,数列可以讨论极限.类似地,集合列也可以讨论极限.以下我们给出集合列及其极限的定义.定义1.1.2 一列集合(n=1,2,…）称为集合列,也可记为属于上述集合列中无限多个集的元素的全体所形成的集称为该集合列的上极限,或称为上限集,记为lim n→∞或lim n→∞sup A n;对于上述集合列,那些除了有限个下标外,属于该集合列中每个集合的元素的全体形成的集称为这个集合列的下极限,或称为下限集,记为lim n→∞A n或lim n→∞inf等价地,lim n→∞sup A n={x|对于任意的自然数n,存在k≥n,使得x∈A k}, lim n→∞inf存在∈N,当时,x∈A n}. 由此知,lim n→∞inf n→∞sup A n.进而,对于给定集合列若其上、下极限相等,则称集合列收敛,其极限即为它的上（或下）极限,记为lim n→∞A n.集合列的上（下）极限可以用“并”与“交”运算来表达. 定理1.1.3 给定集合列n},则lim n→∞∪lim n→∞inf∪证明利用lim n→∞∈N,k≥n,使得x∈A k}(1.3)来证明关于上极限的等式,关于下极限的情况可类似证得.记∪事实上,设x∈A,则对任意取定的n,存在m>n,使得x∈A m,即对任意n,总有x∈∪故x∈B,继而反之,设x∈B,则对任意的n>0,总有x∈∪即总存在m(m≥n),使得x∈A m,故x∈A,继而从而A=B,另一等式可同样证明.□若集合列满足：∈N,则称是单调增加集合列；若∈N,则称之为单调减少集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.具体地,若为单调增加集合列,则lim n→∞A n=∪若为单调减少集合列,则lim n→∞A n=∩∞n=1A n.例1.1.3 设是如下一列点集：A2m+1=0,2-12m+1〗,m=0,1,2,…, 〗, 我们来确定的上、下极限.因为闭区间\中的点属于每个而对于开区间(1,2)中的每个点x,必存在自然数N(x),使得当n>N(x)时,有1+12n<x≤2-12n+1,即当n>N(x)时但x∈A2n+1.换言之,对于开区间(1,2)中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即中有无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即中不含有x的集合不会是有限个.又区间\n→∞sup\n→∞inf\例1.1.4 设为：当n=2k时,k∈N;当n=2k+1时,k∈N. 则lim n→∞sup∪{(0,y)|y≥0};lim n→∞inf定义1.1.3设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”(x,y)(其中x∈A,y∈B)形成的集合为A与B的直积集或笛卡儿（Descartes）积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},其中(x,y) =(x′,y′)是指x=x′,y=y′,X×X也记为例1.1.5 设A={1,2,3},B={4,5}，则A×B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.例1.1.6 \×\为平面上单位闭正方形.例1.1.7 Q×Q=Q Q2为平面上有理点集.习题习题1.3 试证：(1) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(2) (A\\B)∪B=(A∩B)\\B的充要条件是(3) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C).1.4 证明：(1) A△B=B△A;(2) (A△B)△C=A△(B△C);(3) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);(4) 对任意的A,B,存在C使得A△C=B.1.5 设是一集合列，作-∪n-1k=1A k,n=2,3,…,试证互不相交,且∪ni=1A i=∪nj=1B j,n=1,2,…,∞.1.6 设f(x),g(x)是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k≠0.则(1) {x: f(x)≥a}=∩∞n=1x:f(x)>a-1n;(2) {x: |f(x)|>k}∪x: |g(x)|>ak.1.7 试证：(1) ∪∞i=1(A\\(2) ∩∞i=1(A\\∪i.1.8 设-求出集合列的上限集和下限集.1.9 设A n=E,n=2k-1,F,n=2k, 求集合列的上限集和下限集.1.10 设m为整数,n=1,2,…,试证lim n→∞sup n→∞inf1.11 设是\上的一列函数,且存在\使得lim n→∞f n(x)=1,x∈\\\E, 0, x∈E.令∈\: 求集合lim n→∞E n.1.12设以及f(x)是定义在R上的实值函数,则使不收敛于f(x)的一切点x所形成的集合为∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx:-11. 设(k=1,2,…)随着k→∞单调下降趋于(n=1,2,…）定义在E上∈E),试证：对任意的a有(1) E\=∪\;(2) E\\;(3) E\=∪\.注：E\={x∈E|f(x)>a}.1.1.2 映射、基数与可数集1.2 映射、基数与可数集我们都知道,实数是可以比较大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的差别呢？直观地想,如果是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个元素的集合,集合的大小该怎么比较呢？全体实数构成的集合就一定比全体正实数构成的集合大吗？在对集合的定义和基础运算有了一定的了解之后,我们接下来就介绍一下用以刻画集合大小的概念：基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的最后,我们还将向大家介绍一种最常见的集合：可数集.1.2.1 映射大家都熟悉函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化.定义1.2.1给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,则称这个对应为映射.若用φ表示这种对应,则记为φ:并称φ是从X到Y的一个映射.此时,x∈X在Y中对应元y称为x在映射φ下的像, x称为y的一个原像,记为y=φ(x).进而,y的原像集为{x|y=φ(x),x∈X},记为-1(∈X}Y称为映射φ:X→Y的值域,而X为定义域.特别地,若φ(X)=Y，则称映射φ是满射,也称为到上的映射(X到Y上的映射)；若对于每个y∈φ(X)其原像集-1(y)是单点集,等价地,若x1,x2∈X,当时必有则称该映射是单射,也称为一一映射.注1.2.1 一一映射存在逆映射,即-1:-1(y)=x,当φ(x)=y时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应.给定映射φ:X→Y,及则A的像集为∈A},B的原像集为-1(B)={x|φ(x)∈B}.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式：φ∪α∈∪α∈φ∩α∈∈φ-1∪α∈∪α∈--1∩α∈∈-例1.2.1给定非空集合X,定义其非空子集A上的特征函数为χA(x)=1,x∈A,于是是从X的幂集到{0,1}上的映射.而且可以利用特征函数来反馈集合本身的特征：1.2.2 基数给定一个集合,若它只含有限个元素则称为有限集；否则,就称为无限集.对于有限集来说,若不考虑元素的具体特性,则所含元素的个数是一个基本而重要的量,因与元素个数有关的问题一般会涉及元素个数的比较.两个有限集是否含有相同数量的元素可用能否建立一一对应来衡量.受此启发,尽管对于无限集来说谈论个数没有实际意义,但比较两个无限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一对应来度量.定义1.2.2 给定集合A,B,若存在从A到B的一一对应,则称集合A与B对等,记为A～B.对等关系有下述性质. 定理1.2.1 任给集合A,B,C,有(1) （自反性）A～A;(2) （对称性）若A～B,则B～A;(3) （传递性）若A～B,且B～C,则A～C.符合上述三条的关系称为等价关系.因此,集合之间的对等是一种等价关系.下面,我们描述性地给出集合基数的概念.定义1.2.3设A,B为给定两个集合,如果A～B,那么就称集合A与集合B的基数或者势相同.记为=.因此,对等的集合具有相同的基数（势）.特别地,当A是非空有限集时,则存在某自然数使得A与一一对应,而由唯一确定,于是可以认为=n 0.由此知,基数（势）的概念是通常元素个数的推广.以下给出一些常见的集合的例子.例1.2.2 (0,1)～R.事实上,令φ:-π2,则易知φ建立了(0,1)与R之间的一一对应.例1.2.3任意两个圆周上的点集具有相同的基数.事实上,不妨令任给的两个圆同圆心,于是让从圆心出发的同一条射线与两个圆的交点相互对应,则该对应是一一对应.有了集合大小的概念--基数,接下来,我们给出基数大小比较的法则.定义1.2.4给定两个集合A和B,若存在B的子集使得A～则称A的基数不大于B的基数, 记为≤;若≤,并且≠,此时称A的基数小于B的基数,记为<.自然数可以比较大小,类似地,基数也可以比较大小.即,对于任意给定的两个基数α,β,关系式α<β,α=β,α>β,这三者中有且仅有一式成立.证明要涉及集合论的公理系统,超出本教材范围,故略.对于自然数a,b,若a≤b且b≤a则a=b.对于基数也有类似的结论,也就是说集合的大小在某种意义下也是可以比较的. 定理1.2.2（伯恩斯坦（Bernstein）定理）给定集合A,B,若≤且≥,则=.证明由题设,存在双射φ:及双射ψ:下面用迭代法寻找及使得φ(A′)=B\\B′,同时ψ(B′)=A\\A′.为此,考虑下面的方程组：φ(A′)=B\\B′,ψ(B′)=A\\等价地A′=A\\ψ(B′),B′=B\\φ(A′).(1.4) 为了求解方程组(1.4),运用迭代法,逐次作A1=A\\ψ(B), \\\\\\\\-1),\\由上述构造知注意到ψ是一一映射,于是有再结合德摩根律,有∪∪∞i=1(A\\-1))=A∩∞-- 此处记类似地,可得\\∪从而,式(1.4)有解A′=∪定义映射Φ(x)=φ(x),x∈-1(x),x∈A\\A′. 由上述构造知,φ(A′)=B\\-1(A\\A′)=B′,于是Φ是满射.至于Φ的单射性由φ及ψ的单射性即得.因此,Φ是从A到B上的一一对应.从而,A～B.□推论1.2.1 设～C,则A～B,B～C.证明以A～B为例,设φ是A和C之间的一个一一对应,令x∈A,φ(x)∈B},则～B,取则自然有～A.于是由伯恩斯坦定理有A～B.1.13 可数集本小节我们给出最常见的一种无穷集合--可数集的定义,并研究其相关性质.定义1.2.5与自然数集对等的集合称为可数集,或称为可列集.于是任意的可数集A均可写成A={反之,这种形式的集合均为可数集.可数集的基数记为0.下面的定理表明,可数集的基数在无限集中是最小的. 定理1.2.3任意无限集均包含可数子集.证明设A是任意给定的无限集,任意取定∈A,因A\\仍然是无限集,再任意取定2∈A\\{a1},依次类推,在A\\中取出在A\\中取出照此继续,即得A的可数子集进一步,我们有下述定理.□定理1.2.4若X是一个无限集,Y是有限集或可数集,则X∪Y=.证明因X∪Y=X∪(Y\\X),故不妨设若Y是可数集,记由于X是无限集,由定理1.2.3知,X有可数子集于是有分解∪(X\\X1) .令φ:X∪Y→X,使得-1,n=1,2,…;φ(x)=x,x∈X\\X 1.由此构造知φ是X与X∪Y之间的一一对应;若Y为有限集,则对应的取为与Y有相同个数的X中的有限集,然后类似于上面的证明即得.□众所周知,有限集不可能和它的任意真子集建立一一对应关系.无限集与有限集的本质区别就在于此,即下面的定理. 定理1.2.5集合X是无限集的充要条件是,存在X的真子集Y有Y～X.证明因若X是有限集时,X不可能与它的任意真子集对等,由此得证充分性；下证必要性：任取X的一个有限子集A,因X是无限集,故X\\A亦是无限集,利用定理1.2.4得,X\\A=(X \\A)∪A=,记Y=X\\A,得证.□下面一系列定理关心的是集合及其子集的可数性问题. 定理1.2.6可数集的子集如果不是有限集,则一定是可数集.证明设A是可数集是A的一个无限子集.首先,因故其次,因是无限集,由定理1.2.3可知于是由伯恩斯坦定理得即是可数集.□定理1.2.7 设A为可数集,B为有限或可数集,则A∪B为可数集.证明设或(1)先设由于可数集总可排成无穷序列,当B有限时,A∪B={b1,b2,…,b n,a；当B可数时,A∪B={a1,b1,a2,b2,…,a n,b n,…},可见A∪B总可以排成无穷序列，从而是可数集.(2) 一般情况下,此时令-A,则A∩B*=,A∪B*=A∪B.由于B至多可数,故作为B的子集,也至多可数（有限集或可数集）,由(1)的证明知,A∪B*可数,故A∪B也可数.□推论1.2.2设是有限集或可数集,则∪ni=1A i也是有限集或可数集,但如果至少有一个是可数集,则∪ni=1A i必为可数集. 定理1.2.8 可列个可数集的并集是可数集.证明设(n=1,2,…）是一列可数集.(1)先设因为都是可数集,于是可记A n={a n1,a n2,…,a nk,…},n,k=1,2,…,从而∪中元素可按下述方式排成一列：∪规则是：排第一位,当i+j>2时排在第j+∑i+j-2k=1k位因此∪是可数集（注：当部分是有限集时仍适用）.(2) 一般情况下,各可能相交,令-∪i-1j=1A j(i≥2),则且∪∪由可数易知都是有限集或可数集,如果只有有限个不为空集,则由推论1.2.2易知∪为可数集（因为至少为可数集）;如果有无限多个（必为可数个）不为空集,则由(1)知∪∪也是可数集,故在任何场合∪都是可数集.□推论1.2.3 (1) 有限集与可数集的并是一可数集;(2) 有限个可数集的并是一可数集;(3) 可数个互不相交的非空有限集的并是一可数集;(4) 可数个可数集的并是一可数集. 例1.2.4 整数集,有理数集均为可数集.事实上,整数集Z=N∪(-N),其中-为负自然数全体的集合. 因映射f:N→-N,f(n)=-n,建立了N与-之间的一一对应,故-N是可数集.于是由定理1.2.7知Z是可数集.对于有理数集,记Q+为正有理数全体的集；Q-为负有理数全体的集,于是Q=Q+∪Q-∪{0}.令A n=1n,2n,3n,…则(n∈N）是一列可数集,而Q+=∪从而由定理1.2.8知Q+亦可数；又Q-与Q+通过映射f(x)=-x (x∈Q+）建立了一一对应,于是Q-也可数.再利用定理1.2.7即得Q是可数集.由例1.2.4易得下面一些今后很有用的结论：有理系数多项式全体所构成的集合是可数集；R中无限个互不相交的开区间所形成的集是可数集.事实上,在每一个开区间中任意取定一个有理数,由题设可知开区间与取定的有理数是一一对应的.因此这些有理数形成Q的一个无限子集,记为Q 1,由定理1.2.6得Q1可数,从而得证.注1.2.2若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集,即A={a x1,x2,…,x n|x k=x k(1),x k(2),x k(3),…;k=1,2,…,n},则A为可数集.例1.2.5元素是由k个正整数所组成的集合,其全体构成一可数集A={(n 1,n2,…,n k)|n i∈Z+}.例1.2.6 整系数多项式a0x n+a1x n- -的全体是一可数集.记a a0,a1,…,a n=a0x n+a1x n- -则整系数多项式的全体可记为∪，为可数集,其中代数数的全体是一个可数集（所谓代数数,就是整系数多项式的根）.事实上,整系数多项式的全体可数,而每一个整系数多项式只有有限个根,故代数数的全体是一个可数集.例1.2.7 N与R不对等,即N≠R.若不然,存在N与R的一个一一对应,将与N中n对应的元素(n)记为则R上至少有一个单位长度的区间不含不妨设此区间为\,将\分为三等分,则0,13〗,23,1〗中至少有一个不含以表示这个区间,将三等分,其左、右两个区间中至少有一个区间不含记为依此类推,可得一串闭区间},满足：(1) 且的长度趋于0; (2)由闭区间套定理知但对任意的换言之不在R中,这是不可能的.这一矛盾说明与R不可能对等.例1.2.8R上任一单调函数的不连续点全体的集至多可数,即或为空集,或为有限集,或为可数集.不妨设f(x)是单调递增函数.若f(x)在R上连续,则其不连续点集为空集；若存在间断点由柯西（Cauchy）收敛原理可知-0)与均存在,于是f(x1-0)=lim x→x1-表明对应开区间-对于两个不同间断点和由函数f(x)的单调性可得,开区间-与-互不相交.进而,由上面的分析知,f(x)的不连续点集与上述开区间形成的集合之间存在一一对应,于是,或为有限集,或为可数集.1.14 不可数集与连续基数对于一个无限集,若不是可数集,则称之为不可数集. 定理1.2.9开区间(0,1)是不可数集.证明用反证法：假若(0,1)是可数集,则可记而每个(i=1,2,…）均可按下述方式唯一表示成十进制纯小数：a(1)=0.a(1)1a2(1)a3(1)…,(2)…,(3)…,规定,上述各数不能从某位起全为0.令满足：当当由上述构造知∈(0,1),但这与假设矛盾.□由前面的例1.2.2及定理1.2.9得,实数集R是不可数集.今后用c表示实数集R的基数,称之为连续基数（势）.而且由定理1.2.9知例1.2.9 (a,b)=c,其中a,b∈R.事实上,令φ(x)=a+x(b-a),x∈(0,1),则φ建立了(0,1)与(a,b)之间的一一对应,于是(a,b)=(0,1)=c.类似地,可证(-∞,0)=(0,+∞)=\=(a,b\]=\=\=(0,1)=c.下面的定理关心的是连续基数的性质问题. 定理1.2.10设是一列互不相交的集合,它们均有连续基数,则并集∪n也有连续基数.证明注意到\及\故∪～∪∞n=1\即∪n有连续基数.□由定理1.2.10易知,平面R2有连续基数,即R2=c.类似地有R n=R∞=c,此处R∞是指可数个R的笛卡儿积.定理1.2.3告诉我们,可数集在无限集中间基数最小,那么有没有最大的基数呢？答案是否定的,即下面的结论. 定理1.2.11任给一个非空集合是其幂集,即由A的所有子集形成的集合.则证明假若A～则存在一一对应φ:于是对于每个a∈A,都唯一存在A的子集φ(a)与之对应.作A的子集∈A|xφ(x)}.根据假定,应有A中元素与对应.由此,若∈A0，则与的定义矛盾；若，则由的定义知又应该属于矛盾.于是A与不对等.进而,单点集全体形成的真子集,记为A ~,显然A~～A,因此例1.2.10其中记从自然数集N到两点集{0,1}的所有映射形成的集.事实上,对于任意的f∈{0,1}N,令φ:则φ是从到(0,1\]的一一映射,于是有0,1\];另一方面,每个x∈(0,1\]均可唯一表示(规定下面二进制表达式中必须出现无限多个1)为x=∑∞n=1x n2n,∈{0,1}.令∈N,则∈{0,1}N.进而,定义映射φ:∈(0,1\],则φ是从(0,1\]到的一一映射,于是有(0,1\再利用伯恩斯坦定理即得\]=c.注意到N=0,例1.2.10用记号表示,即既然没有最大的基数,那么限定在0与c之间情况又如何呢？集合论的奠基者康托尔于1878年提出下面的猜想：在0与c之间没有基数存在,即不存在集合X,使得0<<c.这个问题又被称为连续统假设问题.20世纪伟大的数学家希尔伯特（Hilbert）在1900年国际数学家大会上提出了23个重大数学问题,其中就包括连续统假设问题.而连续统假设问题直到1963年才由科恩（Korn）和哥德尔（Godel）解决：他们证明了,连续统假设与已有的集合论公理系统是相容的,既不能被证明也不能被否定. 习题习题1.15 设f: X→Y是一个满射,证明下列3个命题等价：(1) f是一一映射;(2) 对任意的有f(A∩B)=f(A)∩f(B);(3) 对任意的若则1.16 设f: X→Y,证明f是满射的充要条件是,对任意的有-1(A))=A.1.17 设映射f: ∈I(I为指标集),试证：(1) f∪α∈IAα=∪α∈If(Aα);(2) f∩α∈IAα∩α∈If(Aα);(3) 若则--∈I,i=1,2; (4) -1∪α∈IBα=∪α∈If-1(Bα);(5) -1∩α∈IBα=∩α∈If-1(Bα);(6) -1(Y--1(Y)--1.18 设E是X的子集,定义在X上的特征函数为χE(x)=1,x∈E, 0,x∈X-E.如果都是X的子集.证明：(1) ∪B(x)-(2) (3) --(4) n→∞sup sup(5) n→∞inf n→∞inf 5.设分别是到到的一一映射,问是否一定存在\\到\\的一一映射?1.1.3 试构造(0,1)与\7.试构造出一个从无理数集Q c到实数集R之间的一一映射.1.2.2 试证：若集合A中每个元素由n个独立的记号决定，各记号跑遍一可数集B,即A={a x∈B,k=1,2,…,n},则A为可数集.1.19平面点集A中任意两点之间的距离都大于某一固定常数d,且d>0,则A至多为可数集.1.20 设A=B∪C,=c,则B与C中至少有一个集合的势为c.1.21 如果A=∪则至少有一个的势为c.1.22 试证：若且A～A∪C,则有B～B∪C.1.23 证明：\上的全体无理数作成的集合其基数是c.1.24 证明：若E是可列集,则E中存在可列个互不相交的真子集. 15.若f(x)是R上的实值函数,则集合A1={x|x∈R,f(x)在x处不连续,但右极限f( x+0)存在是可数集.1.1.4 证明\上的连续函数全体C\的势为c.1.1.5 若对任意有限个x:使得∑ni=1f(x)≤M成立,试证,能使f(x)≠0的x的集合至多为可数集.1.1.6 证明(a,b)上的凸函数在除一个至多可数集的点外都是可微的.1.3R n中的点集1.3 中的点集1.3.1 n维欧氏空间R是实数集,其几何表示即数轴；R2={(x,y)|x,y∈R}是有序实数对全体形成的集合,其几何表示即坐标平面.对于任意的∈R2, 定义两种线性运算：(1) 加法(2)数乘∈R.则R2关于这两种运算构成线性空间,(0,1),(1,0)是R2的一组基,因个数为两个,故R2称为二维线性空间.因平面上的点与从原点出发以该点为终点的向量一一对应,故R2又称为向量空间,其中的元素又称为向量.平面几何（欧几里得（Euclid）几何）及平面解析几何就是建立在R2基础之上的.推而广之,有下面的定义.定义1.3.1 n维欧氏空间为集合{x=(x1,x2,…,x n)|x i∈R,i=1,2,…,n(n∈N)},记为R n,或记为R×R×…×R,共n个R.类似地关于上述加法及数乘运算构成一个线性空间为R n的一组基.沿用二维线性空间的称谓也称为n维向量空间,其中的元素称为点或向量.对于任意的∈R n,定义d(x,y)=∑ni= -则d(x,y)有下述3条性质：(1) 正定性,d(x,y)≥0,且d(x,y)=(2) 对称性,d(x,y)=d(y,x);(3) 三角不等式,d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).这3条性质是距离的本质刻画,因此,上面定义的d(·)是R n上的一种距离,于是称为距离空间.性质(1), (2)由定义立得；性质(3)的证明要用到下述柯西-施瓦茨（Cauchy- Schwarz）不等式.引理1.3.1（柯西-施瓦茨不等式)。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结一、实变函数的定义实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。
它的定义域和值域都是实数集。
二、实变函数的分类1. 一元实变函数：自变量只有一个，函数的形式为y = f(x)。
例如：y = x²，y = sin(x)等。
2. 多元实变函数：自变量有多个，函数的形式为z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。
例如：z = x₁² + x₂²，z = sin(x₁) + cos(x₂)等。
三、实变函数的性质1. 定义域和值域：实变函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的输出值。
2. 连续性：实变函数在定义域内的每个点都有定义，并且在这些点上具有极限。
连续性可以用极限的概念来描述。
3. 导数和微分：实变函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
微分则是导数的微小变化。
4. 极值和最值：实变函数在某些点上可能达到极大值或极小值，称为极值点，并且有可能在整个定义域上取得最大值或最小值。
5. 函数的图像：实变函数的图像是函数曲线在坐标系中的表示，可以通过画出函数的图像来对函数进行可视化。
6. 函数的变换：对实变函数进行平移、伸缩、翻转等操作，可以得到新的函数，这些操作可以改变函数的图像和性质。
四、实变函数的应用实变函数在数学和物理等领域有广泛的应用，例如：1. 数学分析：实变函数是数学分析的基础，通过研究实变函数的性质和性质，可以推导出许多数学定理和结论。
2. 物理学：实变函数可以用来描述物理量之间的关系，例如速度和时间的关系、力和位移的关系等。
3. 经济学：实变函数可以用来描述经济模型中的供求关系、成本和收益关系等。
4. 工程学：实变函数可以用来描述工程设计中的参数关系、系统响应等。
总结：实变函数是数学中重要的概念，它可以描述自变量和函数值之间的关系。
通过研究实变函数的性质和应用，可以深入理解数学和其他学科中的相关知识。
了解实变函数的定义、分类、性质和应用，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。
(完整版)实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+；2、 对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章 积 分 论1、非负简单函数L 积分的定义；练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
《实变函数论》
《实变函数论》如果您翻开《实变函数论》，就会发现整本书都在讨论函数的复合和积分，而且全部是由实数来表示，更奇怪的是有些地方还用到了虚数。
其中，令我印象最深刻的是：一元二次函数的图象和它的导数（即二次导数）之间，只存在确定的一对对应关系。
1。
任何一个点都是该点的一个函数值与该点所选取的参考方向的函数值之差（即方位角），这两者之差等于180°2。
任何一个点都可以被唯一地映射成一条与正负无穷大相等的直线。
3。
任何一个点的一切连续函数值都能求出，且它们的函数值相等。
4。
函数y=f(x)与参考方向一致时，其导数（即二次导数）为零。
5。
函数y=f(x)→__x x = 0__的图像经过每一个不是0的实数。
6。
函数y=f(x)的图像是凹向原点的椭圆。
4。
任何一个点都可以被唯一地映射成一条与正负无穷大相等的直线。
5。
函数y=f(x)→__x x = 0__的图像经过每一个不是0的实数。
6。
函数y=f(x)的图像是凹向原点的椭圆。
一个简单的命题“一切连续的函数值都能求出”：一切连续的函数值，其导数为零。
既然是简单的命题，那么如果把它扩展到n次以后，当n趋于无穷时，这个命题就显得含糊起来。
因为当n趋于无穷时，函数值将不再是函数值，而是所谓的数值或者说是量值。
但是，函数值不是一个集合吗？为什么还要从它的导数出发，找寻这个函数值呢？7。
函数y=f(x)的图像与x轴没有交点，这一事实，说明y=f(x)不是连续函数。
8。
如果我们用一般连续函数的思想来解释x^n-x^k、x^n-x^{n-k}等实际问题，很多结论便是显而易见的。
一个例子：上述三个命题仅用连续函数来解释是难以成立的。
9。
有理函数的定义域的存在性问题。
在自变量取实数集合的时候，其图像是闭合曲线。
所以，如果已知某个函数y=f(x)的定义域，便可以求出它的图像。
10。
一般连续函数都有自变量的取值范围，但在不同的取值范围内，图像会有不同程度的凹凸性。
实变函数复习要点
实变函数复习要点(共6页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2011实变函数复习要点第一章 集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。
2. 对等和基数及其性质。
3. 可数集合的概念及其性质。
4. 不可数集合的概念及例子。
（二）考核要求1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。
2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。
De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。
例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。
例 Nn x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设 ]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A 3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。
（2）综合应用：集合的对等的证明例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。
4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。
（2）综合应用：可数集合的性质。
5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。
第二章 点集（一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。
2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。
3. 开集、闭集及其性质。
4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。
（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。
2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。
如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→ 如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→ 3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实变函数论主要知识点
第一章集合
1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限；
练习：①证明（A-B）-C = A-（BUC）；
②证明E[f>a]=QE[f>a + -]；
«=i n
2、对等与基数的定义及性质；
练习：①证明（0,1）□口；
②证明（0,1）0 [0,1]；
3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合
的基数；
练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；
②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；
®Q =________ ；
④[0,1 ]中有理数集E的相关结论；
4、不可数集合、连续基数的定义及性质；
练习：®（0J）= _______ ；
②卩= ________ （P为Cantor集）；
第二章点集
1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念
度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
n维欧氏空间：设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若V上定义着正定对称双线性型g (g称为内积)，则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间)。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
⑴ g(x,y)=g(y,x)；
(2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
(3) g(kx,y)=kg(x,y)；
(4) g(x,x)>=0,而且g(x,x)=O当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法)；开核，导集，闭包的概念、性质及判定(求法);
聚点:有点集E,若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P)eE,则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造;
4、Cantor集的构造和性质；
5、练习：®P=__________ , P' = ______ , P= ________
第三章测度论
1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；
2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算
封闭）；可数可加性（注意条件）；
3、零测度集的例子和性质；
4、可测集的例子和性质；
练习：①mQ = _________ , mP = _______ ；
②零测度集的任何子集仍为零测度集；
③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；
④［0,1］中有理数集E的相关结论；
5、存在不可测集合；
第四章可测函数
1、可测函数的定义，不可测函数的例子；
练习：①笫四章习题3；
2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；
3、叶果洛夫定理及其逆定理；
练习：①笫四章习题7；
4、依测度收敛的定义、简单的证明；
5、具体函数列依测度收敛的验证；
6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子;
第五章积分论
1、 非负简单函数L 积分的定义；
练习：①Direchlet 函数在丁上的L 积分
2、 可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4定理1和定理2诸条）；
3、 L ebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；
4、 L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；
5、 R iemann 可积的充要条件；
练习：①［0,1］上的Direchlet 函数不是R-可积的；
6、 L ebesgue 可积的充要条件：若/是可测集合E 上的有界函数，则/在E 上L ■可积O f 在E 上可测；
练习：①［0,1］上的Direchlet 函数是L ■可积的；
若可积，求出积分值。
例1、求由曲线丫 = V2sin6, Y 2 = cos20所闱图形公共部分的面积 解：两曲线的交点
5 M
S = 2 f J -(V2sin0)2d0 + J ［丄cos20de _ 2 石2
兰 兀
=J J (l-cos20)d0+J J cos20de
6 4
_ 71 V3-1 n _6 厂 6
例2.边长为a 和b （a>b ）的矩形薄片斜置欲液体中，薄片长边a 与液面平行位于深为h 处，而
②设/(x)=
疋，兀为无理数 10,兀为有理数 ，则/（劝在［0,1］上是否可积，是否厶-可积,
e 4sin2e 4sin2e
薄片与液面成Q角，己知液体的密度为P ,求薄片所受的压力解:取x为积分变量，变化区间
为［h, h+bsina ］从中取［x, x+dx］知道面积元素dS =
dx 压力元素dP 二pxa ———，则sin a
/•/?+/> sin a dx 1 /•//+/? sin a
P = pxa—:— = ap -------
儿sin a sin a Jh
dx sin a
xdx = abp(h^—bsin a)。