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实变函数论主要知识点

第一章集合

1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限；

练习：①证明（A-B）-C = A-（BUC）；

②证明E[f>a]=QE[f>a + -]；

«=i n

2、对等与基数的定义及性质；

练习：①证明（0,1）□口；

②证明（0,1）0 [0,1]；

3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合

的基数；

练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；

②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；

®Q =________ ；

④[0,1 ]中有理数集E的相关结论；

4、不可数集合、连续基数的定义及性质；

练习：®（0J）= _______ ；

②卩= ________ （P为Cantor集）；

第二章点集

1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念

度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

n维欧氏空间：设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若V上定义着正定对称双线性型g (g称为内积)，则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间)。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：

⑴ g(x,y)=g(y,x)；

(2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；

(3) g(kx,y)=kg(x,y)；

(4) g(x,x)>=0,而且g(x,x)=O当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法)；开核，导集，闭包的概念、性质及判定(求法);

聚点:有点集E,若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。内点:如果存在点P的某个邻域U(P)eE,则称P为E的内点。

3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造;

4、Cantor集的构造和性质；

5、练习：®P=__________ , P' = ______ , P= ________

第三章测度论

1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；

2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算

封闭）；可数可加性（注意条件）；

3、零测度集的例子和性质；

4、可测集的例子和性质；

练习：①mQ = _________ , mP = _______ ；

②零测度集的任何子集仍为零测度集；

③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；

④［0,1］中有理数集E的相关结论；

5、存在不可测集合；

第四章可测函数

1、可测函数的定义，不可测函数的例子；

练习：①笫四章习题3；

2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；

3、叶果洛夫定理及其逆定理；

练习：①笫四章习题7；

4、依测度收敛的定义、简单的证明；

5、具体函数列依测度收敛的验证；

6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子;

第五章积分论

1、 非负简单函数L 积分的定义；

练习：①Direchlet 函数在丁上的L 积分

2、 可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4定理1和定理2诸条）；

3、 L ebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；

4、 L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；

5、 R iemann 可积的充要条件；

练习：①［0,1］上的Direchlet 函数不是R-可积的；

6、 L ebesgue 可积的充要条件：若/是可测集合E 上的有界函数，则/在E 上L ■可积O f 在E 上可测；

练习：①［0,1］上的Direchlet 函数是L ■可积的；

若可积，求出积分值。

例1、求由曲线丫 = V2sin6, Y 2 = cos20所闱图形公共部分的面积 解：两曲线的交点

5 M

S = 2 f J -(V2sin0)2d0 + J ［丄cos20de _ 2 石2

兰 兀

=J J (l-cos20)d0+J J cos20de

6 4

_ 71 V3-1 n _6 厂 6

例2.边长为a 和b （a>b ）的矩形薄片斜置欲液体中，薄片长边a 与液面平行位于深为h 处，而

②设/(x)=

疋，兀为无理数 10,兀为有理数 ，则/（劝在［0,1］上是否可积，是否厶-可积,

e 4sin2e 4sin2e

薄片与液面成Q角，己知液体的密度为P ,求薄片所受的压力解:取x为积分变量，变化区间

为［h, h+bsina ］从中取［x, x+dx］知道面积元素dS =

dx 压力元素dP 二pxa ———，则sin a

/•/?+/> sin a dx 1 /•//+/? sin a

P = pxa—:— = ap -------

儿sin a sin a Jh

dx sin a

xdx = abp(h^—bsin a)