2016矩阵论试题

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矩阵论习题

1、检验下列集合对于指明的数域和指定的运算，是否构成线性空间：1)集合：数域F 上的所有5次多项式；数域：F ；运算：多项式的加法和数乘．2)集合：n 阶实矩阵的全体；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘．3)集合：数域F 上的n 阶对称矩阵的全体；数域：F ；运算：矩阵的加法及数乘．4)集合：全体整数；数域：实数域R ；运算：数的加法及乘法．5)集合：],[b a 上的全体连续函数；数域：实数域R ；运算：函数的加法及数乘．6)集合：数域F 上的齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量；数域：F ；运算：数组向量的加法及数乘．7)集合：},0{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘． 8)集合：},1{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=；数域：实数域R ；运算：矩阵的加法及数乘．解 1) 不是，对加法不封闭，(或对数乘不封闭，F ∉0)；2) 是；3) 是；4) 不是，对数乘运算(即通常数的乘法)不封闭；5) 是；6) 是；7) 是；8) 不是，无零元素．2、设V 是数域F 上的线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基．证明：1) 对于数域F 中任意非零的数k ，向量组n k k k εεε,,,21 是V 的一组基；2) n n εεε,,2,21 是V 的一组基．3) 对于F 中任何一组全不为零的数n k k k ,,,21 ，向量组n n k k k εεε,,,2211 是V 的一组基．证 1) 设存在F 中数n k k k ,,,21 ，使得02211=+++n n k k k k k k εεε ，则由n εεε,,,21 线性无关，有021====k k k k k k n ，因0≠k ，所以021====n k k k ，所以n k k k εεε,,,21 线性无关，又它们共有n 个，所以是V 的一组基．2)因为A n n n ),,,(),,2,(2121εεεεεε =，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A 21，因为0!≠=n A ，所以A 为可逆矩阵，又因n εεε,,,21 为一组基，所以n n εεε,,2,21 也为一组基．3) 显然向量组n εεε,,,21 与n n k k k εεε,,,2211 能相互线性表示，也即这两个向量组等价，又因n εεε,,,21 线性无关，所以n n k k k εεε,,,2211 也线性无关，从而为V 的一组基．3、求出下列线性空间的维数和一组基．1) 数域F 上所有n 阶上三角矩阵的集合V 对于通常的矩阵加法与数乘所成的数域F 上的线性空间．2) 数域F 上所有n 阶对角矩阵的集合V 对于通常的矩阵加法与数乘所成的数域F 上的线性空间．3) 复数域C 上所有3元行向量的集合．},,),,{(321321C a a a a a a V ∈=对于通常的数组向量加法与数乘所成的实数域R 上的线性空间．4) 集合},0{R b a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 对于通常的矩阵加法与数乘所成的实数域R 上的线性空间．解 1) 维数为2)1(+n n ，一组基为n j i n i E ij ≤≤=;,2,1, ．(ij E 为元素ij a 为1，其他元素都为0的n 阶矩阵)．2) 维数为n ，一组基为n i E ii ,,2,1, =．3) 维数为6，一组基为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(,0,0),(0,,0),(0,0,)i i i4) 维数为2，一组基为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110,0001．4、已知线性空间3R 的两组基 1231231001110,1,0;'0,'1,'1,001001εεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求3R 中向量Ta a a ),,(321=α分别在两组基下的坐标．解因为332211εεεαa a a ++=，所以α在基321,,εεε下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321a a a ．又因为123123111(',',')(,,)011001εεεεεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以α在基123',','εεε下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332213211100110111a a a a a a a a ． 5、下述各题中线性空间V 的子集1V 是否构成V 的子空间：(各题中的F 均为数域)． 1)3112312,{(,,)0};V F V a a a a a ==+= 2)32112312,{(,,)};V R V a a a a a ===3)1],[V x R V =是所有常数项为0的实系数多项式的集合；4);][,][315x F V x F V ==5)122,V FV ⨯=是V 中所有2阶可逆矩阵的集合； 6)122,V FV ⨯=是V 中所有右上角元素为0的矩阵的集合； 7)122,V F V ⨯=是V 中所有右上角元素为1的矩阵的集合； 8)1,V R V n=是V 中所有第一个分量大于第二个分量的向量所成的集合．解 1) 是；因为对任意的1321321),,(),,,(V b b b a a a ∈，对任意的F k ∈， 1332211321321),,(),,(),,(V b a b a b a b b b a a a ∈+++=+1321321),,(),,(V ka ka ka a a a k ∈=．2) 不是；对任意的1321321),,(),,,(V b b b a a a ∈，因为),,,(),,(),,(332211321321b a b a b a b b b a a a +++=+且221a a =，221b b =，但22211)(b a b a +≠+，所以和1V ∉．3) 是；4) 是；5) 不是；若22,⨯∈F B A 均可逆，但B A +未必可逆．6) 是；7) 不是；若1V A ∈，对F k ∈≠1，有kA 右上角元素为1≠k ，故1V kA ∉．8) 不是；如1),2,1(V ∈-- ，对R k k ∈<,0，有k k 2-<-，(1,2,)k --= 1(,2,)k k V --∉ ．6、设V 是实系数n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量的集合．证明：1)V 是线性空间n R 的一个子空间(该线性空间称为齐次线性方程组0=Ax 的解空间)；2)0=Ax 的任一基础解系都是V 的一组基．证 1) 记{0},n V x R Ax =∈=则任意的V y x ∈,，有()000A x y Ax Ay +=+=+=，对任意的k R ∈，有0)(==kAx kx A ，所以V kx y x ∈+,，V 是nR 的一个子空间．2) 任取0=Ax 的一组基础解系12,,,r ηηη ，则12,,,r ηηη 线性无关，且0=Ax 的任一个解都能由12,,,r ηηη 线性表示，所以12,,,r ηηη 为V 的一组基，r V =dim ．7、求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-03020421431432x x x x x x x x x的解空间的维数和一组基．解将系数矩阵使用初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000011102101301121011110 ，同解方程组⎩⎨⎧=+-=++002432431x x x x x x 解空间的维数为2=-r n ，令),(43x x 分别为)1,0(),0,1(，得一组基础解系T T )1,0,1,2(,)0,1,1,1(21--=-=ηη，即为解空间的一组基．(答案不唯一)8、求4R 中由向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1215,8120,3011,21024321αααα 生成的子空间的维数和一组基．解因为),,,(4321ααααL 的维数等于向量组4321,,,αααα的秩，4321,,,αααα的一个极大无关组就是),,,(4321ααααL 的一组基．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000000121021011832210112105012，故维数为2，21,αα为一组基(不唯一)． 9、证明：在线性空间V 中，两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价．证设12,,...,s ααα及12,,...,t βββ是线性空间V 的两个向量组，如果12121(,,...,)(,,...,)s t L L V αααβββ==，此时，若视1V 由12,,...,s ααα生成，则12,,...,t βββ作为1V 中的向量必可由12,,...,s ααα线性表示；若视1V 由12,,...,t βββ生成，则12,,...,s ααα又可由12,,...,t βββ线性表示．于是12,,...,s ααα与12,,...,t βββ等价．反之，若12,,...,s ααα与12,,...,t βββ等价，由于12(,,...,)s L ααα中的向量都可由12,,...,s ααα线性表示，而12,,...,s ααα又可由12,,...,t βββ线性表示，于是12(,,...,)s L ααα中的向量都可由12,,...,t βββ线性表示，即1212(,,...,)(,,...,)s t L L αααβββ⊆．同理可证，1212(,,...,)(,,...,)t s L L βββααα⊆，所以1212(,,...,)(,,...,)s t L L αααβββ=．10、证明：如果n 维线性空间V 的两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，则12V V 中必有非零向量．证由维数公式121212dim()dim()dim()dim()V V V V V V +=++ ，由已知，有12dim()0V V > ，故12V V 中必有非零向量．11、证明：线性空间V 的任一子空间1V 都是数乘变换*k 的不变子空间．证对任意的1V α∈，因1*()k k V αα=∈，有1V 为*k 的不变子空间．12、设线性空间V 的子空间1V ，2V 都是线性变换σ的不变子空间，试证12V V 及12V V +也是σ的不变子空间．证对任意的12V V α∈ ，则1()V σα∈，2()V σα∈，有12()V V σα∈ ；对任意的12V V α∈+，有12ααα=+，12,V V αα∈∈，则11()V σα∈，22()V σα∈，有1212()()()V V σασασα=+∈+．13、设321,,εεε是线性空间V 的一组基，线性变换σ使132231)(,)(,)(εεσεεσεεσ===，求σ的所有特征根及全部特征向量．解 σ在321,,εεε下对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，易求得A 的也即σ的特征根为1,121=-=λλ(2重)，当11-=λ时，解0)(=--X A E ，得一个基础解系1(1,0,1)T ξ=-，所以σ对应特征根11-=λ的全部特征向量为11231113(,,)(),k k εεεξεε=-其中1k 为任意的非零数．当12=λ时，解0)(=-X A E ，得一个基础解系23(0,0,1),(1,0,1),T T ξξ==所以σ对应特征根12=λ的全部特征向量为212323123323313(,,)(,,)()k k k k εεεξεεεξεεε+=++，其中32,k k 是不同时为0的任意数．14、判明下述规则τσ,是否成为各自线性空间V 的变换：1)F 为数域，22⨯=F V ，对于任意的V A ∈，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c a A c b a A )(,0)(τσ； 2)3][x R V =，对于任意的V x a x a a x f ∈++=2210)(，则)()]([),()]([x xf x f x f dx d x f ==τσ； 3)2R V =，对于任意的V ∈α，若T b a ),(=α，则T T ib ia b a ),()(,)1,1()(=++=ατασ．解此题主要看τσ,的像是否属于V ，易知1)2)3)中的σ都是V 的变换，τ都不是．15、设线性空间3F 上的变换τσ,为：对3321),,(F a a a T ∈=α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21332121210)(,)(a a a a a a a a a a ατασ，试求σττσ,+．解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+323212))((a a a a a ατσ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=3213210))((a a a a a a αστ．16、判断下面变换中哪些是线性变换，哪些不是．1) 在3R 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0)(,213321a a R a a a ασα；2) 在3F 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332213321)(,a a a a F a a a ασα； 3) 在4F 上，定义σ：对⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=443322144321)(,a a a a a a a F a a a a ασα； 4) 在线性空间V 上，定义σ：V ∈=ααασ,)(0，其中0α为V 中一个固定的向量．5) 在n n R⨯上，合同变换σ：n n T R A AP P A ⨯∈=,)(σ，其中P 为一个固定的n 阶实可逆矩阵；6) 在][x F 上，定义变换σ：][)(),()]([x F x f x xf x f ∈=σ．解 1)是；2)不是；3)是；4)当00=α时是，当00≠α时不是；5)是；6)是．17、对于线性空间上的线性变换的乘法不具备交换律，但是对某些特定的线性变换τσ,，有τσστ=，此时称τσ,是可换的，今设P 是线性空间n n F ⨯中的一个确定矩阵，定义n n F ⨯的变换τσ,如下：对于n n F ⨯中的任意矩阵A ，AP A PA A ==)(,)(τσ，试证：1)τσ,都是线性变换． 2) τσ,是可换的．证对任意的n n F B A ⨯∈,，任意的F k ∈，因为)()()()(B A PB PA B A P B A σσσ+=+=+=+)()()(A k kPA kA P kA σσ===所以σ是线性变换，同理可证τ也是线性变换．又n n F A A P PA AP P AP A ⨯∈====),()()()()(τσσστ，所以τσ,都是线性变换．18、设22⨯∈R V ，σ是V 上线性变换，对于任意的V M ∈，若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a M ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=d c c b a b M )(σ． 1) 证明σ是可逆线性变换； 2) 求出1-σ，即对上面的矩阵M ，求出)(1M -σ．证 1)取V 的一组基1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000)(,1100)(,0011)(,0010)(22211211E E E E σσσσ，所以σ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100010000110010A ，因为01≠-=A ，所以A 可逆，故σ可逆．2)对V M ∈，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-c d c a a b M )(1σ． 1、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,,,n εεε 是V 的一组基，对于V 中向量n n x x x εεεα+++= 2211，n n y y y εεεβ+++= 2211，定义内积为n n y nx y x y x +++= 22112),(βα，证明V 在此内积下构成一个内积空间．证设R k V z z z n n ∈∈+++=,2211εεεγ ，则有n n x ny x y x y +++== 22112),(),(αββα；111222(,)()2()()n n n x y z x y z nx y z αβγ+=++++++11221122(2)(2)n n n n x y x y nx y x z x z nx z =+++++++(,)(,)αβαγ=+； 1122(,)2(,)n n k kx y kx y nkx y k αβαβ=+++= ．当0=α时，0),(=αα；当0≠α时，至少有一个00≠i x ，从而0),(200>=i x i αα，因此，该实数是V 上的内积，V 构成一个内积空间．2、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，n εεε,,21 是V 的一组基，A 是一个n 阶正定实对称矩阵．定义V 的内积如下：对于V 中向量βα,，如果它们在基12,,,n εεε 下的坐标分别为y x ,，则 Ay x T =),(βα，证明V 是一个内积空间．证设V ∈γ，在基12,,,n εεε 下的坐标为z ，R k ∈，则有),()(),(αββα=====Ax y x A y Ay x Ay x T T T T T T ；),(),()(),(γαβαγβα+=+=+=+Az x Ay x z y A x T T T ；),()(),(βαβαk Ay kx Ay kx k T T ===；因为A 为n 阶正定实对称矩阵，所以Ax x T =),(αα为正定二次型．0≠α时，0),(>αα；0=α时，0),(=αα，所以V 是一个内积空间．3、在实内积空间4R (内积为实向量的普通内积)中，已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,1111,0011321βββ，试求出与321,,βββ都正交的单位向量．解设T x x x x ),,,(4321=α满足,3,2,1,0),(==i i βα有 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--+=+0004321432121x x x x x x x x x x ，可取T )1,1,1,1(--=α，故单位向量为 T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21或T⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21,21,21． 4、设内积空间3C 中向量βα,的内积为 αββαH =),(判断下述向量βα,是否正交：1)T T i i i i )2,1,1(,),,1(-+=--=βα；2)TT i i i i i )3,1,,1(,)2,,1(-=+-=βα．解 1)01)2,1,1(),(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=i i i i βα，故正交．2)04721)3,,1(),(≠+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=i i i i i i βα，故不正交． 5、设12,,,n ααα 是n 维内积空间V 的一组基，如果V 中向量β使.,2,1,0),(n i i ==αβ证明 0=β．证令n n x x x αααβ+++= 2211，有0),(),(),(11===∑∑==n i i i n i i i x x αβαβββ，由内积定义，有0=β．6、设V 是实数域R 上的内积空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基．证明)22(31),22(31),22(31321332123211εεεηεεεηεεεη--=+-=-+=也是V 的一组标准正交基．证⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232),,(),,(321321εεεηηη，记矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323231323132313232A ，因为,E A A T =所以A 为正交矩阵，又因为321,,εεε为标准正交基，所以321,,ηηη也是标准正交基．7、设54321,,,,εεεεε是5维内积空间V 的一组标准正交基．32132125112,,εεεαεεαεεα++=-=+=．求子空间),,(321αααL 的一组标准正交基．解设0332211=++αααk k k ，则0)()2(51332321321=+++-+++εεεεk k k k k k k ，因为5321,,,εεεε线性无关，则0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关，所以他们是),,(321αααL 的一组基．将321,,ααα正交化，单位化，即得),,(321αααL 的一组标准正交基．记)0,0,1,1,2(),0,0,0,1,1(),1,0,0,0,1(321=-==x x x ，则正交化，11x y =；⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=21,0,0,1,21),(),(1111222y y y y x x y ；()1,0,1,1,1),(),(),(),(13222231111333-=-=--=y x y y y y x y y y y x x y ；单位化)1,0,0,0,1(222211==y z ； )1,0,0,2,1(663622--==y z ； )1,0,1,1,1(213-=z 所以标准正交基)(21),2(66),(22532135212511εεεεγεεεγεεγ-++=--=+=． 8、已知线性空间4][x R 对于内积⎰-=11)()())(),((dx x g x f x g x f构成一个内积空间．从基32,,,1x x x 出发，经正交单位化求一组标准正交基．解因为32),(,0)1,(,211)1,1(1121111=====⋅=⎰⎰⎰---dx x x x xdx x dx ， 52),(,32)1,(,0),(2222===x x x x x ，…… 正交化，令11=β；x x x =⋅-=1)1,1()1,(2β； 31),(),(1)1,1()1,(22223-=⋅-⋅-=x x x x x x x x β；x x 5334-=β；再单位化x x x x x x 41434145;4104103;26),(;22)1,1(34232211-=-=====ηηβηβη9、对于实数域R 上的线性空间n m R ⨯，规定内积如下：对于nm R ⨯中任意元素][],[ij ij b B a A ==，则=),(B A 迹∑∑===n i mj ji ji Tb a A B 11)(．证明nm R⨯对此内积构成欧氏空间．证 ∑∑∑∑=======n i mj m j ni ji ji ji jiA B a b b aB A 1111),(),(；对任意的R k ∈，nm ij Ra C ⨯∈=][，有=+),(C B A 迹=+))((A C B T 迹()T T B A C A +=迹)(A B T +迹()TC A =(,)A B (,)A C +；=),(B kA 迹=))((kA B T 迹)(A kB T =k 迹)(A B T =),(B A k ；0),(112≥=∑∑==n i mj ji a A A ，当且仅当0=ji a (即0=A )时，0),(=A A ，所以n m R ⨯对此内积构成欧氏空间．10、设欧氏空间4R (内积为普通实数组向量的点积)的一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,0111,0011,00014321αααα，求在这组基下的度量矩阵A ．解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==4321332122211111)),((j i A αα． 11、在线性空间4R 上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基T T T T e e e e )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3101121001211012A ． 1) 求在基T T T T )1,1,0,1(,)1,2,1,0(,)0,0,2,1(,)0,0,1,1(4321==-=-=αααα下的度量矩阵B ．2) 求实数a ，使向量T a )1,2,,1(-=α与向量T )0,2,1,1(-=β正交．解 1) 因为由基4321,,,e e e e 到基4321,,,αααα的过渡矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-2100110010113112;11001200012110111P P ，设向量α在4321,,,e e e e 下的坐标为x ，则α在4321,,,αααα下的坐标为x P 1-，如果在基4321,,,αααα下的度量矩阵为B ，则Ax x x BP x P T T ==--11)(),(αα，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----===--79119130010631032,)(11AP P B A BP P T T 2)βα,在4321,,,e e e e 下的坐标分别为T a )1,2,,1(-和T)0,2,1,1(-，所以0)0,2,1,1()1,2,,1(),(=--=T A a βα时，有310=a ． 12、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=612121211A已知V 的子空间1V 的一组基为112αεε=+，2123αεεε=+-．1) 证明21,αα是1V 的一组正交基； 2) 求1V 的正交补⊥1V 的一组基．证 1) 因为12111213212223(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)ααεεεεεεεεεεεε=+-++-112(1)2(1)0=--+-+--=，故21,αα正交，所以21,αα是1V 的一组正交基．2) 只需再找到V 中向量3α使321,,ααα为V 的一组正交基，则3α即为⊥1V 的一组基．方法一：设3322113εεεαx x x ++=，利用正交条件⎩⎨⎧==0),(0),(3231αααα 即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0)1,1,1(0)0,1,1(321321x x x A x x x A 可得一解为2,2,7321-===x x x ，即得3213227εεεα-+=．方法二：先将21,αα扩充为V 的一组基123,,ααξ，为此只需123,,αατ的坐标线性无关．例如取31ξε=即可．再将123,,ααξ正交化．因21,αα已是正交组，正交化过程只需从第三个向量做起．令(3)(3)311223k k αααξ=++，算出(3)(3)3132121122(,)(,)20,(,)(,)5k k ξαξααααα=-==-=，即得3213525257εεεα-+=．13、设4维欧氏空间V 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1100162102100101A ，已知V 中向量323312211,,εεαεεαεεα-=+=+=，V 的子空间1123(,,)V L ααα=．1) 试求1V 的一组标准正交基； 2) 设有1V 的线性变换σ，使11266()(1)33σααα=+-，21266()(1)(2)63σααα=-++-，3136()22σααα=+请判明σ是不是1V 的正交变换或对称变换？解 1) 显然321,,ααα线性相关，其极大无关组21,αα即为1V 的一组基，将21,αα正交化、单位化便可得1V 的一组标准正交基．正交化得21211,ααβαβ+-==；再单位化得11212233,233γαγαα==-+．又解如取31,αα为1V 的一组标准正交基，因为31,αα已是正交基，只需单位化，便得1V 的一组标准正交基3332111133,22αααηαααη====2) 由题设条件知B ),(),(2121αααασ=，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+=36236661361B 由1)的结果知P ),(),(2121ααγγ=，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=3303322P 设对1V 的标准正交基21,γγ有C ),(),(2121γγγγσ=则应有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-211133033223623666136130221BP P C因为C 是对称矩阵但不是正交矩阵，所以σ是对称变换但不是正交变换．14、设A ，B 都是H -矩阵，证明AB 也是H -矩阵的充要条件是BA AB =．证必要性：BA A B AB AB H H H ===)()(；充分性：AB BA A B AB H H H ===)(，所以AB 为H -矩阵．15、若矩阵A 满足,A A H -=则称A 为一个反厄密特矩阵．试证：任一n 阶矩阵可表示为一个厄密特矩阵与一个反厄密特矩阵之和．证设C B A +=，且C C B B H H -==,，则C B C B A HH H -=+=，所以)(21),(21H H A A C A A B -=+=为所求． 16、判断下列各矩阵在所指明的数域上能否相似对角化？若能，求出一个相似因子P ，并给出相应的对角矩阵Λ．1),163053064⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 实数域 2),201335212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=A 复数域3),013211233⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A 实数域 4),1211⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 复数域5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=624232426B ，实数域解 1) )2()1(163530642+-=-+--=-λλλλλλA E ，特征根11=λ(二重)，22-=λ．当11=λ时，解0)(1=-X A E λ，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000021063063063，秩为1，故基础解系中有213=-=-r n 个线性无关特征向量，因0)(1=-X A E λ的同解方程组为0221=+x x ，3x 为任意实数．则令0,132==x x 有)0,1,2(1'-=ξ；1,032==x x 有)1,0,0(2'=ξ．当22-=λ，解0)(2=-X A E λ，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000110011330000011363033063，秩为2，故基础解系中有 1=-r n 个线性无关的特征向量，其同解方程组为⎩⎨⎧=-=+003221x x x x ．令12=x ，则得)1,1,1(3'-=ξ．因A 有3个线性无关的特征向量．令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110101102P ，则Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111AP P ，P 为相似因子． 2),0)1(13321335212323=+=+++=+-+---=-λλλλλλλλA E 特征根1-=λ(三重)．当1-=λ时，解0)(=--X A E ，有010*******=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----X ，因0)(≠--A E ，故秩1)(≥--A E ，所以基础解系有2≤-r n 个线性无关特征向量．故A 不能相似对角化．3) )4)(4(164413211233223+-=-+-=-----=-λλλλλλλλλA E ，因其不能在实数域上分解成一次因式乘积，故A 不能相似于对角形(或A 特征根为复数)．4)0112112=+=+--=-λλλλB E ，i i -==21,λλ．当i =1λ时，0)(=-X B iE ，有01211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--X i i ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--00)1(2111211i i i ，同解方程组0)1(2121=+-x i x ，令22=x ，则一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=211i ξ．当i -=2λ时，0)(=--X B iE ，有01211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+----X i i ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1211i i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→00)1(211i ，同解方程组0)1(2121=-+x i x ，令22=x ，则得到一个基础解系⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=212i ξ．则一个相似因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=2211i i P ，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-i i BP P 1． 5)0)11()2(444815624232426223=--=-+-=---------=-λλλλλλλλλB E ，2=λ(二重)，11=λ．当21=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-0000002124242124242X B E ，同解方程组022321=++x x x ，秩为1，基础解系中有3-1=2个线性无关特征向量．令),(32x x 分别取)0,1(，)1,0(，得)1,0,1(,)0,1,21(21'-='-=ξξ．当112=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-00012010152428242511X B E ，同解方程组 ⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x ，秩为2，基础解系中有3-2=1个线性无关特征向量．令13=x ，有 )1,21,1(3'=ξ，得到一个相似因子⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021011121P ，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-11221BP P 17、对实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=324262423A ，求正交矩阵Q ，使'Q AQ 为对角矩阵．解0)2()7(982112324262423223=+-=++-=---=-λλλλλλλλλA E ，得71=λ(二重)， 22-=λ．当71=λ时，()X X A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4242124247，因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000212424212424，有022321=++x x x ，令),(32x x 分别取)0,2(，)1,0(，有一个基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,02121ξξ．当22-=λ时，()05242824252=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--X X A E ，因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---524282425⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000120101 ，有⎩⎨⎧=-=-0203231x x x x ，令23=x ，得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2123ξ．将21,ξξ正交化得 )0,2,1(11'-==ξη， )1,52,54()0,2,1(51)1,0,1(),(),(1111222'--=---=-=ηηηηζξη，单位化得 )0,2,1(511'-=e ，)55,52,54(1512'--=e 将3ξ单位化得 )2,1,2(313'=e ，令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32155503115525232155451Q ，则Q 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Λ='=-2771AQ Q AQ Q ．18、求一个酉矩阵U ，把H -矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22i i A 化为对角形．解,0)3)(1(341)2(2222=--=+-=--=---=-λλλλλλλλi iA E 解得3,121==λλ．当11=λ时，解0)(=-X A E 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00111i i i A E ，同解方程组021=+ix x ，令12=x ，得)1,(1'-=i ξ．当32=λ时，解0)3(=-X A E ，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→-001113i i i A E 同解方程组021=-ix x ，令12=x ，得.)1,(2'=i ξ再单位化得 ,121,12121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i e i e 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121i i U ，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ=31AU U H．19、设V 是3维欧氏空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基，线性变换σ使321332123211542)(,452)(,222)(εεεεσεεεεσεεεεσ+--=-+=-+= 求V 的一组标准正交基321,,ηηη，使σ在基321,,ηηη下的矩阵为对角矩阵．解由题设条件可得σ在标准正交基321,,εεε下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A ，对实对称矩阵A ，可求出正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3235032155455311552552Q ，使)10,1,1(1diag AQ Q =Λ=-．令123123(,,)(,,)Q ηηηεεε=即得所求之标准正交基11221233123255,5525455,15153122.333ηεεηεεεηεεε=-+=++=+-1、用初等变换把下列λ-矩阵化为Smith 标准形．1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλλλ3522232) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ解 1)、21[(1)]32232[1,2]3222323[1,2]522352533523λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22250(103)0(103)33λλλλλλλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎪⎪→→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2)、3222(1)(1)(1)00020(1)(2)1021λλλλλλλλλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭22(1)1(1)(1)1(1)λλλλλλλλ+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→+→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 2、求出下列矩阵的不变因子和行列式因子．1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----a b b a b a n λλλ121 ，其中11,-n b b 都是不为0的常数．解 1) 易知32321)1()(),1()(,1)(+=+==λλλλλλλD D D ，所以22331221)1()()()(),1()()()(,1)(+==+===λλλλλλλλλλλD D d D D d d ．2) 易知121()()()1,()()n n n D D D D a λλλλλ-=====- ，所以121()()()1,()()n n n d d d d a λλλλλ-=====- ．3、求下列矩阵的若当标准形．1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803； 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212044010； 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---544446235； 4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----8411362331； 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---568236013 ； 6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011231221 ； 7)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---496375254 ； 8)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01121413；9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000210032104321．解 1) 先求A E -λ的初等因子，使用初等变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---=-2)1(00010001111613803502613803λλλλλλλλλλA E ，所以初等因子是2)1(),1(++λλ，因而A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111J 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111 2)1010440440212122E A λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭221001004(2)00(2)0122002λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭所以行列式因子3321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλD D D ；不变因子2321)2()(,2)(,1)(-=-==λλλλλd d d ；初等因子组2)2(,2--λλ；Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2212． 3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321[若当块次序可有不同]； 4) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111； 5) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+i i 221；6) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1112；7) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101； 8) 将A 写成分块形式⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A A A ，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112,141321A A ．先分别求出21,A A 的初等因子 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-21)1(11413λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-22)1(1112λλλλA E ，初等因子为2)1(-λ．所以A 的初等因子为2)1(-λ，2)1(-λ．故Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111119) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111111． 4、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=130901025017A 的Jordan 标准形，并求变换矩阵P ．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→-2)2)(3(11λλλA E ，因此A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123，即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-21231J AP P ，PJ AP =，令),,(321x x x P =，可得 32322112,2,3x x Ax x Ax x Ax +===2321)2(,0)2(,0)3(x x A E x A E x A E -=-=-=-由齐次线性方程组0)3(=-x A E ，可求得Tx )0,1,0(1=；由齐次线性方程组0)2(=-x A E ，可求得Tx )3,0,5(2=；把2x 代入2)2(x x A E -=-，可求得T x )1,0,2(3=．所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130001250P ．5、已知3阶矩阵A 具有3重特征根1，是否可以说A 的若当标准形一定为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111J ，如果不一定，请说出此时A 的若当形有几种可能？都是什么样子？解不一定；题设条件确定了A 的特征多项式为3)1()(-=λλψ．也就是说，A 的初等因子之积应为3)1(-λ．此时，初等因子组尚有如下一些可能：ⅰ)3)1(-λ；ⅱ)2)1(),1(--λλ；ⅲ))1(),1(),1(---λλλ．因此，相应的若当形也有三种可能，即ⅰ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111；ⅱ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111；ⅲ)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111． 6、求下列矩阵1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=221041040A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111002；3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----211212112；4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011212213；5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----444174147的最小多项式．解 1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++→-2)2(21λλλA E ，故最小多项式为23)2()(+=λλd ．2),311111002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλA E 其行列式因子为,1)(1=λD ),2()(2-=λλD .)2(3111)2()(33-=----=λλλλλD 不变因子为.)2()(,2)(,1)(2321-=-==λλλλλd d d 故Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2122，最小多项式2)2()(-=λλϕ． 3) ,211212112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=-λλλλA E 因),1()(,1)(21-==λλλD DA E D -=λλ)(3,)1(3-=λ故()22211)(,1)(,1)(-=-==λλλλλd d d ，故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1211J ，最小多项式2)1()(-=λλϕ．4) )2()1(2--λλ； 5) )12)(3(--λλ．7、方阵A 满足0=kA (k 为正整数)，试说明A 的最小多项式取何种形式？解)0()(k l l ≤≤=λλϕ．8、设方阵A 满足E A =2，能否说)1)(1()(-+=λλλϕ一定是A 的最小多项式？如果已知1和-1都是A 的特征根，情况又怎样呢？解提示：12-λ是A 的致零多项式，故最小多项式有三种可能：)1)(1(,1,1-+-+λλλλ．当1与-1均为A 的特征根时，最小多项式就是12-λ．9、已知方阵A 的特征多项式为)1()1()(2-+=λλλϕ，A 的最小多项式为1)(23+--=λλλλϕ．请给出A 的一个若当形，并简要说明原因．解特征多项式为4次多项式，故知A 为4阶矩阵，A 的特征根为11-=λ(二重)，12=λ(二重)．由最小多项式)1()1()(2-+=λλλϕ可知A 的若当形J 中有两个若当小块为)1(,11121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J J ．因为J 的主对角线上应是A 的全部特征根，所以J 中还有另一个若当小块)1(3-=J ．于是，A 的一个若当形为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11111J ． 1、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110101011A的QR 分解．解记),,(321ααα=A ，用施密特正交化方法得11βα=；212121122ββααα=-+=-+；312312*********βββαααα=++=++，单位化得T )0,22,22(2222111===αβε； T)36,66,66(3666362122-=+-==ααβε； T )33,33,33(2363632332133--=++==αααβε．记26326663036302B ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，123263263263(,,)26363033Q εεε⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则有Q AB =， 1222226602620033R B -⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，便有QR A =． 2、求出下列矩阵的一种满秩分解1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211012A ；2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=300212112A ；3) 111111111111i i A i i --⎛⎫⎪--⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭解 1) 显然，A 是一个列满秩矩阵，故它的一种满秩分解为AE A =，即23⨯=A B ，22⨯=E C ，BC A =．2) 在用行，列初等变换化A 为标准形过程中，顺便求出相应的初等变换21,P P ．具体过程为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+1000100011110000113000011121000100011003000102120011120)]1(12[()]13[E E A,00011002121211110003131010001001010100002111100001103000111121)]31(2[)]1(13[)]1(12[)]21(1[]3,2[31⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→+-+PP E r所以A 的秩为2，行列变换矩阵分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010100212121,1110313100121P P ．求21,P P 的逆，,010100112,1300310011211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--P P取11-P 的前两列为B ，取12-P 的前两行为C ，则得到A 的一种满秩分解⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==100112303101BC A ．3) 记),,,,(4321A A A A A =易知),(21A A 为一个极大无关组，,0213A A A -=,0214iA A A +=令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==i C A A B 1100001,11111111),(21，则BC A =． 3、求下列矩阵(相应于互异特征根)的谱分解：1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2543A ；2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0220；3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111111111111111；解 1) 求出A 的特征根)2)(7(2543+-=----=-λλλλλA E ，得,71=λ 22-=λ．计算对角化相似因子P 及1-P ，使⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-271AP P ．解0)7(=-X A E ，有基础解系，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111ξ，解0)2(=--X A E ，有基础解系，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=542ξ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-114591,5141),(121P P ξξ．令)91,91(),94,95(,54,112121-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q Q P P ，则,95959494,94959495222111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==Q P A Q P A得谱分解式 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=+=95959494294959495727212211A A A A A λλ． 2) 4222+=-=-λλλλA E ，得互异特征根i i 2,221-==λλ，令i i 2)(,2)(21+=-=λλϕλλϕ，,212221)2(41)()(,212221)2(41)()(22221111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==i i iE A i A A i i iE A i A A λϕϕλϕϕ则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=212221221222122211i i i i i i A A A λλ． 3)0=-A E λ得,21-=λ22=λ(3重)．令2)(,2)()(1221+=-=+=-=λλλλϕλλλλϕ，,3111131111311113)2(41)()(,111111111111111141)2(41)()(22221111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=+==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=--==E A A A E A A A λϕϕλϕϕ则2122A A A +-=．4、求下列正规矩阵的谱分解式．1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A ；3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ．解 1) 求出A 的特征根i i -==21,λλ，求酉矩阵U 使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ=-i i AU U 1 解0)(=-X A iE ，得T i ),1(1=ξ，解0)(=--X A iE ，得Ti ),1(2-=ξ，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i i U 1121， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-i i U U H 11211．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121),1(211211i i i i A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121),1(211212i i i i A ，则21iA iA A -=．2) 求A 的特征根得71-=λ，22=λ(2重)求相似因子P ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2271AP P ．解0)7(=--X A E ，得T )2,2,1(1--=ξ，解0)2(=-X A E ，得T T )1,0,2(,)0,1,2(32=-=ξξ，令,102012221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=P 可算得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-542452221911P ，令,44244222191)2,2,1(912211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A ,54245222891542452911001222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 则2127A A A +-=．3),0)1()1()1()(01011022=+-=---=---=-λλλλλλλλλλA E 得11=λ(2重)，12-=λ．解,010********)(1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⇒=-X X A E λ得,)1,1,1(,)1,0,1(21T T ==ξξ解,010********)(2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⇒=-X X A E λ得T )1,0,1(3-=ξ，令,2102101021121,1110101111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-PP,210210002102121021101,21021010210210102112111101121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则21A A A -=．5、求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛002001的奇异值分解．解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000005A A H，特征根51=λ，02=λ(2重)．故A 的奇异值为0,521==σσ．记∑=)5(，则A 的奇异值矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯000005n m S ．求出A A H分别相应于特征根0,521==λλ的标准正交特征向量为,100,010,001321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=v v v令),(),,(),(2132211V V V v v V v V ===，计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=-2151111AV U ，求2U ： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4221H AA ， 0,521==λλ．对02=λ，解T THu X AA E )51,52()1,2(0)0(1-=⇒-=⇒=-ξ，令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=51522U ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==122151),(21U U U ，得到奇异值分解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100010001000005122151HUSV A 6、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110011A的奇异值分解．解 ∑=)2(，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000002S ；),(21V V V =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2121,212121V V ；),(21U U U =，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21001210,2102121U U ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==212121210000022102101021021HUSV A ． 7、求下列矩阵A 的M-P 广义逆+A ．1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201A ，2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=112001110001A ；3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1210002i i ；4)10201102132i i -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解 1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+51222261A ；2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+11311131222281A ； 3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+51052242151i i i A ； 4) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+i i A 3301745134330241． 1、设nn n n ij Ca A ⨯⨯∈=)(，令12211()n nij Fi j Aa ===∑∑，则F A 为方阵范数，证明：FA 是一种与向量的2-范数2x 相容的方阵范数．称它为方阵A 的Frobenius 范数，简称F-范数．证即证22x AAx F≤，设n i a a a A in i i i ,,2,1),,,,(21 ==；T n x x x x ),,,(21 =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A x A x A x A A A Ax n n 2121，由Cauchy 不等式得22221212222112x A x a x a x a x a x A inj jnj ijnin i i i =≤+++=∑∑== ．所以22222222222221111()()nnnni i i j Fi i i j A x A x A x a x A x=====≤==∑∑∑∑ 从而 22x AAx F≤．2、设V 是n 维(复的或实的)线性空间，n e e e ,,,21 是V 的一组基，则对任意的V x ∈，x 有唯一表示式n n e x e x e x x +++= 2211，规定 2112)(∑==ni i Ex x．证明：E x 是V 中元素的一种范数．证 (ⅰ) 若0≠x ，因n e e e ,,,21 线性无关，故至少有一个坐标00≠i x ，因此，。

北京邮电大学《矩阵论》2015-2016-1 期末试卷及答案

北京邮电大学2015——2016学年第一学期《矩阵论》期末考试试题评分参考标准一、（10分）设 x 1,x 2 是线性空间 V 的一组基，线性变换 T 在这组基下的矩阵为 A =[21−10] 。

y 1,y 2 是另一组基，且 (y 1,y 2)=(x 1,x 2) [1−1−12] 。

（1）求 T 在 y 1,y 2 下的矩阵 B ；(2) 计算 A 100 。

解：（1）B =[1−1−12]−1A [1−1−12]=[1101]。

（5分）（2）A 100=[1−1−12]B 100[1−1−12]−1A =[101100−100−99]。

（5分）二、（10分）计算 ln A ，其中 A =[e1e 1e 1e ] 。

解：ln A =[11/e −1/2e 21/3e 311/e −1/2e 211/e 1]。

（10分）三、（15分）设 x =[512] 。

（1）计算Givens 变换 G 1 使得 G 1x =[a 0] ；（2）计算Givens 变换 G 2 使得 G 2x =b [11] 。

解：（1）G 1=[5/1312/13−12/135/13]，a =13，或G 1=[−5/13−12/1312/13−5/13]，a =−13。

（7分）（2）G 2=[17/13√27/13√2−7/13√217/13√2]，b =13√2/2，或G 2=[−17/13√2−7/13√27/13√2−17/13√2]，b =−13√2/2。

（8分）四、（10分）设 A =[−1−600−630000 00344−3] ，计算 ‖A ‖1，‖A ‖2，‖A ‖∞，‖A ‖F 。

解：‖A ‖1=9，‖A ‖2=1+2√10，‖A ‖∞=9，‖A ‖F =2√33。

（10分）五、（10分）设矩阵A ∈R n×n 满足 A 3=A ，证明存在非奇异矩阵 X 使得 X −1AX =[I r −I s 0t]。

矩阵论复习题

矩阵论复习题矩阵论复习题矩阵论作为线性代数的重要分支，涉及到矩阵的性质、运算以及应用等方面。

在学习矩阵论的过程中，复习题是提高理解和巩固知识的重要工具。

本文将通过一些典型的矩阵论复习题，帮助读者回顾和加深对矩阵论的理解。

1. 矩阵的乘法性质与运算规则(1) 证明矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。

(2) 若矩阵A是m×n阶矩阵，矩阵B是n×p阶矩阵，证明矩阵乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。

(3) 证明单位矩阵是矩阵乘法的单位元，即对于任意矩阵A，有AI=IA=A。

2. 矩阵的逆与行列式(1) 若矩阵A可逆，证明其逆矩阵唯一。

(2) 若矩阵A可逆，证明其逆矩阵也可逆，且逆矩阵的逆等于A。

(3) 若矩阵A可逆，证明其转置矩阵也可逆，且转置矩阵的逆等于A的逆的转置。

(4) 证明若矩阵A可逆，则其行列式不为零，即|A|≠0。

3. 矩阵的特征值与特征向量(1) 若矩阵A的特征值为λ，证明矩阵A-λI的行列式为零，即|A-λI|=0。

(2) 若矩阵A的特征向量为v，证明对于任意非零实数k，kv也是矩阵A的特征向量。

(3) 若矩阵A的特征向量v1和v2对应于不同的特征值λ1和λ2，证明v1和v2线性无关。

(4) 若矩阵A的特征向量v对应于特征值λ，证明对于任意正整数n，(A^n)v对应于特征值λ^n。

4. 矩阵的相似与对角化(1) 若矩阵A与矩阵B相似，证明矩阵B与矩阵A相似。

(2) 若矩阵A与矩阵B相似，矩阵B可对角化，证明矩阵A也可对角化。

(3) 若矩阵A可对角化，证明A的特征向量组成的矩阵P可逆，且A=PDP^-1，其中D为对角矩阵。

通过复习以上的矩阵论题目，可以加深对矩阵的性质、运算规则、逆与行列式、特征值与特征向量以及相似与对角化的理解。

同时，通过解题的过程，还可以提高解决问题的能力和运用矩阵论知识的技巧。

希望读者能够充分利用这些复习题，巩固所学的矩阵论知识，为进一步深入学习打下坚实的基础。

2016矩阵论复习题

矩阵论复习题1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .5. 设33:R R T →是线性变换，()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+=求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数.6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;2)求T 的像空间的基与维数.7. 在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 31211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵. 并求矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2102A 在基(I)下的坐标.8. 在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=10)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组标准正交基.9. 在2[]P x 中，内积定义为：120,()(),,[].f g f x g x dx f g P x <>=∀∈⎰ 1）如果()612+-=x x x f ，计算f ；2）证明：任一线性多项式()bx a x g +=，都正交于()612+-=x x x f . 10. 已知122112012422A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的最大秩分解。

矩阵理论(16-17)试卷

2016——2017学年第一学期《矩阵理论》考试试卷试卷审核人：考试时间： 2016.12.4注意事项：１.本试卷适用于16级研究生学生考试使用。

２.本试卷共8页，满分100分。

答题时间150分钟。

学院：姓名:_________________学号：一.(本题满分12分) 设3[]P x 是次数不超过3的实系数多项式空间，{}2301233()(1)0;()[]W f x f a x a x a x f x a P x ==+++∈=,1. 证明W 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]P x 的线性子空间；2. 求W 的维数及其一组基．二. (本题满8分)求矩阵524212425A⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=---的LU分解和LDU分解．三．(本题满分12分) 设T 为线性空间22R ⨯的一个线性变换，对任意的22a b R c d ⨯⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 232a b a b b T c d c d d ⎛⎫+⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ； 1. 求T 在22R⨯的标准基 111221100100,,,000010E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦220001E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦下的矩阵； 2. 求T 在22R ⨯的另一基 123110100,,,111111G G G ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦40001G ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦下的矩阵．四．（本题满分８分）设A()λ为6阶λ矩阵，其秩为4，初等因子为3212111,,,,,,,()λλλλλλλλ--+++,试求A()λ的不变因子与Smith 标准型．五．(本题满分15分) 已知微分方程组112321233123++3+dx =3x x x dt dx =x x x dt dx =3x 3x x dt ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩－－－可简记为d x Ax dt =, 写出A 并求满足初始条件1(0)11x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=的解.六．（本题满分10分）设1011131,11Ai⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=---作出A的盖尔圆, 并判断哪些盖尔圆相交, 应用圆盘定理隔离A的特征值．七．（本题满分10分）设矩阵0311A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算矩阵多项式32()2272g A A A A E=-++并求1A.八. （本题满分10分）已知010001230A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A的Jordan标准形J，并求10A.九.(本题满分15分) 设10010112,10012111A b⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==-,1.求A的满秩分解；2.求A+；3.判断线性方程组Ax b=是否有解；4.求线性方程组Ax b=的极小范数解或极小范数最小二乘解（并指出所求的是哪种解）.。

矩阵论试题及答案

一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ；当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。

矩阵论试题0712

矩阵论试题（07，12）一.(18分)填空：1.矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=2101120100102201A 的Jordan 标准形为J = 2.设,4321,1001021001201001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x A 则⎪⎩⎪⎨⎧===∞Ax A A F 23. 若A 是正交投影矩阵，则cos(A )=4. 设nm CA ⨯∈，A +是A 的Moore-Penrose 逆，则(-2A,A )+=5.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=300220111,4221B A ，则A B +I 2I 3的全体特征值是（）。

6. 设向量空间R 2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为)1,1(),1,1(21-==αα和),12,6(),2,0(21==ββ且i α与j β的内积为3),(,1),(,15),(,1),(22122111=-===βαβαβαβα 则基21,αα的度量矩阵为（）。

二.(10分)设n m n m ij C a A ⨯⨯∈=)(,定义实数ijji a n A ,max =1. 证明A 是nm C⨯中的矩阵范数.2. 证明该矩阵范数与向量的∞-范数相容.三.(15分)已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=321)0(,211)(,211121221x e t b A t 。

1. 求Ate；2. 用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dtd+=满足初始条件x (0)的解。

四.(10分)用Givens 变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=4300041220513003400054321A 的QR 分解。

五.（10分）用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=i i A 22.03.005.245511.02011.002的特征值。

（要求画图表示）六. (15分)已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1321,01111211111101110100b A 。

矩阵理论2015试卷

2015——2016学年第一学期《矩阵理论》考试试卷试卷审核人：考试时间： 2015.12.20注意事项：１.本试卷适用于15级研究生学生考试使用。

２.本试卷共8页，满分100分。

答题时间150分钟。

学院：姓名:________________学号：23320()[]20a b c d V f t a bt ct dt R t b c d ⎧⎫+-+=⎧⎪⎪==+++∈⎨⎨⎬+-=⎩⎪⎪⎩⎭1.证明V 按照多项式的加法与数乘运算构成3[]R t 的学习子空间；2.求V 的维数与一组基.二. (本题满分12分) 在线性空间22R ⨯ 中， 1. 证明 123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是22R ⨯的一组基；2. 设有线性变换，使得 2212,21TA A A R ⨯⎛⎫=∀∈ ⎪-⎝⎭，求该线性变换在基123410000101,,,00011010A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵．三．(本题满分10分)求矩阵031042212A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的QR分解．四．（本题满分15分）已知 12261313At t t tt e e t tt t t t --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--+⎝⎭， 1. 求矩阵 A ；2. 求矩阵A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵,P 使得1P AP J -=.五．（本题满分8分）作出矩阵011131118A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的盖尔圆,并应用圆盘定理隔离其特征值．六．（本题满分8分）求多项式矩阵222212+1()=A λλλλλλλλλλλ⎛⎫++-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的Smith 标准形.七．（本题满分10分）设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0311A ，试计算矩阵多项式 E A A A A g 272)(23++-=.八．(本题满分12分) 已知95421452,()1,2280t A f t e →⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥=-= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭1. 求矩阵函数 ;Ate2. 求微分方程组()()()d x t A x t f t dt→→→=+满足初始条件1(0)02x →⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解.九. (本题满分15分) 设11121101,00110012A b-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1. 求A的满秩分解；2.求A+；3. 求矛盾方程组Ax b=的极小范数最小二乘解，并计算其两种范数.。

矩阵论(2016研究生) 百度文库第2版, 杨明、刘先忠编著

6 欧氏空间中向量的夹角：定义：0，0，夹角定义为： cos= ( , ) 和正交（，）=0
7 线性空间的内积及其计算：设{1，2，…, n } 是内积空间Vn(F)的基，，Vn(F)，则有 =x11＋x22＋…＋x n n = (12… n)X； =y11＋y22＋…＋y n n= (1 2… n)Y 度 (，)=
归纳：
任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这组基下，向量的坐标容易求得。求坐标方法的各异性。
2、线性空间V n（F）与Fn的同构
坐标关系
V n （F）
基{1，2，。。。 n}
Fn
由此建立一个一一对应关系
V n （F），X Fn，（）=X （1+2）=（1）+（2）（k）=k（）
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。只研究有限维线性空间。
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间 n Vn ( F ) 的一组基， Vn ( F ) ， = xi i ，则x1 ， i 1 x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
二、教学安排
学时配置讲授第1章至第6章 (36学时) 第1章：8学时; 第2章：6学时第3章：6学时；第4章：6学时；第5章：6学时；第6章：4学时
考核方式：课程结束考试
三、教学指导意见
背景要求：线性代数矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE, … 矩阵与现代应用：应用选讲教学参考书：
矩阵论
课程：矩阵论（Matrix Theory）学时： 36学时（36 Lectures）教材：矩阵论（第2版，杨明、刘先忠编著），华中科技大学出版社，2005

矩阵理论试卷集锦

2. 设 n阶方阵 A的最小多项式为 λ λ 2, λ , λ , … , λ 3. 设A 4. 矩阵 A 1 0 0
全不为 0, 则 dim R A
= ; . LL ，下三角矩阵
1 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2
∞ ∑ n=1
).
).
B n , 则 eCt 的 Jordan 标准形
1
三 . 计算题与证明题 (11-14 题每题 15 分 , 15 题 10 分, 共 70 分 ) 11. 设 U = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x + y + z + w = 0}, W = {(x, y, z, w)T ∈ R4 | x − y + z − w = 0} 是通常欧氏空间 R4 的两个子空间 . 设 I 是 R4 上的恒等变换. ∩ ∩ (1) 求 U 与 U W 的正交补 (U W )⊥ 的各一组标准正交基; (2) 试求出 R4 上的所有正交变换 σ 使得线性变换 I − σ 的核 Ker(I − σ ) = U .
(3)设b
(4) 设 σ 是线性空间 R 上的正交投影变换 , 且满足 σ 的像空间 Im σ 五. 设矩阵A 1 1 1 2 2 1 2 1 . 2 R A ,试求σ在标准基e , e , e , e 下的矩阵.
(1)求矩阵A的 Jordan 标准形J; (2) 试求一个可对角化矩阵 D和一个幂零矩阵 N ,且DN A D N. ND, 使得
随矩阵列空间的维数为( ) A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定
2. 设是 n 维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不同的是( A. σ是单映射 C. σ是一一对应 ) B. dim Im σ D. σ适合条件σ n 0

矩阵论复习题带答案1

矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。

证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。

因此A 与B 的特征值相同。

#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。

矩阵论习题 1.2

习题 1.21. 解：因为对2的任一向量(21,x x )，按对应规则都有2中惟一确定的向量与之对应，所以是2的一个变换.(1) 关于x 轴的对称变换； (2) 关于y 轴的对称变换； (3) 关于原点的对称变换； (4) 到x 轴的投影变换； (5) 到y 轴的投影变换.2. 解： (1) 不是.因为(2211ααk k +)＝2211ααk k ++β≠k 1(1α)+k 2)()()(22112βαβαα+++=k k=2211ααk k ++)(21k k +β(2) 不是.因为(2211ααk k +)＝β≠k 1(1α)+k 2βα)()(212k k +=(3) 不是.因为取 x =(1 , 0 , 0 ) , 1≠k 时,(k x )=(k 2,0, 0)≠k( x )= k (1, 0, 0)=(k , 0, 0)(4) 是.因为设x =(321,,x x x ) , y =(321,,y y y )(k 1x +k 2y )=112(x k ),,2(),,1322121322y y y y y k x x x x +-++-=k 1(x )+k 2( y )(5) 是.因为()()(2211x f k x f k +)=)1()1(2211+++x f k x f k=k 1(f 1(x ))+k 2))((2x f(6) 是.因为()()(2211x f k x f k +)=)()(022011x f k x f k += k 1(f 1(x ))+k 2))((2x f(7) 不是.因为设x =(321,,x x x ) , y =(321,,y y y )(k 1x +k 2y )= ()0),sin(),cos(22211211y k x k y k x k ++≠k 1(x )+k 2( y )=)0,sin ,(cos )0,sin ,(cos 212211y y k x x k + =()0,sin sin ,cos cos 22211211y k x k y k x k ++ .3. 解：1(α+β)=1[()]()11222221,,y x y x y x y x --+=++()()=-+-=1212,,y y x x 1(α)+1(β)1(k α)=1(k (x 1, x 2))()()kx x k kx kx =-=-=1212,,1(α)所以1是线性变换.同理可证2也是线性变换.(1+2)(α)= (1+2)[(x 1, x 2)]=1[(x 1, x 2)]+2[(x 1, x 2)]),(),(),(21212112x x x x x x x x --+=-+-=12(α)=1［2(α)］=1[( x 1, -x 2)]=(- x 2, -x 1)21(α)=2［1(α)］=2[( x 2, -x 1)]=( x 2, x 1) .4. 证：（1）因()()()C B A B A C B A +-+=+()()=-+-=BC CB AC CA (A )+(B )()()()()=-=-=AC CA k C kA kA C kA k(A )故是线性变换.（2）(A )B +A(B ) ()()BC CB A B AC CA -+-==-=ABCCAB (AB )5. 解：令 ()3,,R c b a c cb a a ∈↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ 即可.6. 证：设()[]n x p x f ∈，则(12-21)(f(x))=1［2(f(x))］－2［1(f(x))］=1［xf(x)］－2［f(x)］()()()()x f x f x x f x x f ='-'+=故12－21是恒等变换.7. 证：设2V ∈α，则2211e k e k +=α，由于2(e 1)+ 2(e 2)=2(e 1+e 2)=e '1+e '22(e 1)－2(e 2)=2(e 1－e 2)=e '1－e '2所以，2(e 1)=e '1,2(e 2)= e '2 于是1(α)=k11(e 1)+k21(e 2)2211e k e k '+'= = k12(e 1)+k22(e 2)=2(α)故1=2.8. 解：(1) 因为j i ,在xoy 平面上，其投影不变，故有(i )=i ,(j)=j ,又k 垂直xoy 平面，则0)(=k , 得((i ),(j ),(k ))=(i ，j ，k ) 000010001所求矩阵为A = 000010001 .(2) 因为,001)(γβαα++==i,010)(γβαβ++==j ,,011)(γβαγ++=+=j i所以, 所求矩阵为 A = 000110101 .(3) 由的定义知, (i )= ((1 ,0 ,0 ))= ( 2 ,0 ,1)(j )= ((0 ,1, 0 ))= ( -1, 1 , 0)(k )=((0 ,0 ,1))= ( 0 ,1 , 0)有 ((i ),(j ),(k ))=(),,k j i 0111012- 所求矩阵为 A = 0111012- . (4) 据题设： )())(('t f t f = 则)(1x =(bt e at cos )'=bt be bt ae at at sin cos -=21bx ax - )(2x =( bt e at sin )' =12bx ax +)(3x =( bt te at cos )'=431bx ax x -+ )(4x =(bt te at sin )' =342bx ax x ++)(5x =(bt e t at cos 212)' =653bx ax x -+)(6x = ( bt t sin 212 )' =564bx ax x ++于是( )(1x , )(2x , )(3x , )(4x , )(5x , )(6x )()D x x x x x x 654321,,,,,= ,所求矩阵为D =ab baa bbaa bba---00000010000100001000019. 解：(1) (123,,e e e )=(321,,e e e ) 001010100 =(321,,e e e )C所求矩阵为 B=C 1-AC = 111213212223313233a a a a a a a a a (2) (321,,e ke e )=(321,,e e e ) 10000001k =(321,,e e e )C所求矩阵为B=C1-AC =333231232221131211akaakaakaakaa(3) (3221,,eeee+)=(321,,eee)1111=(321,,eee)C 所求矩阵为B=C1-AC=33323231132312221211222113121211aaaaaaaaaaaaaaaa+----++10. 解：由定义知()()31121,0,2εεε+==212)0,1,1()(εεε+-=-=()()23,1,0εε==所以，所求矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11112.11. 解：因为()()21121,2εεε'+'==()()1231,3εε'==()()2131,1εεε'+'-=-=所以，所求矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11132.12. 解： (1η,2η,3η)=(321,,εεε) 111101011--(321,,εεε)=(1η,2η,3η) 111101011--1-= (1η,2η,3η) CB=C 1-AC = 11110111-- 021011101- 111101011--1-= 12121211---- .13. 解：(1) (1η,2η,3η) = (321,,e e e ) C , 过渡矩阵为C=(321,,e e e )1-(1η,2η,3η)= 1011101211- 111122221---- = 252112323123232--- (2) ()(1e ,)(2e ,)(3e )=(1η,2η,3η) = (321,,e e e ) C故在基{}i e 下的矩阵就是 C . (3) (()1η,(2η),(3η) ) = (1η,2η,3η) = (321,,e e e ) C=()(1e ,)(2e ,)(3e ) C = (1η,2η,3η) C故在基{}i η下的矩阵仍为C . 14. 解：（1）由于()211111100cE aE c a E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()221212100cE aE c a E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()211121100dE bE d b E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()221222100dE bE d b E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 故1在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=d cd c b a b a A 000000001 类似地，可得2在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=d b c a d b c a A 000000002. 由于3=12，所以3在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==2222213d bd cd bccd ad c ac bd b ad abbc abaca A A A同理，可得4在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a c a c b a b a A 0200022000204 （2）由于由简单基E 11，E 12，E 21，E 22改变为给定基E 1，E 2，E 3，E 4的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=001110011000001C 于是，4在给定基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-a b ca b c c c a b b a C A C B 002202204115. 解：（1）将题给关系式写成矩阵形式为(()1e ,(2e ),(3e ) ) ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101,,423312121321εεε 即()()()B e e e 3211321321,423312121110011101,,,,εεεεεε=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-由于()()C e e e 321321,,,,=εεε，所以有(=),,321εεε()()BC C e e e 321321,,,,εεε=故在基（II ）下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==256355123BC A （2）因为(=)1ε()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001,,001,,321321A εεεεεε ()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=953,,001,,321321e e e CA e e e所以()1ε在基（I ）下的坐标为（3，5，9）.16. 解：（1）取[]2x p 的简单基1，x ，x 2，则有()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==101110102,,1,,1,,202321x x A x x f f f 从简单基改变到基f 1，f 2，f 3和g 1，g 2，g 3的过渡阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5222101011C ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2101010112C 故有(g 1, g 2, g 3)=(1, x, x 2 )C =()211321,,C C f f f -()()21101232121102,,,,1C C A C g g g C C A x x ---== 即在基（II ）下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==--110211*********C C A C A （2）因为()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-321,,321,,1123212C g g g x x x f ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=032,,321g g g 所以(f(x))=()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-032,,032,,321321A g g g g g g()23211354,,x x g g g +--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= .17. 证：设在给定基下的矩阵为()ij a A =，并设C 为从旧基到新基的过渡矩阵，由于在任一组基下的矩阵相同，则有AC C A 1-=，即AC=CA ，根据“A 与一切满秩矩阵可变换”性质，即可定出A 必为数量矩阵()常数k kI A ,=.18. 解：由基321,,ηηη到基321,,εεε的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3103161213121211C 故 {}i ε在基下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-46846453106111C B C B .那么，+，，， (+ )在基{}i ε下的矩阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+2644241011151061B A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=601272122126061AB , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=123414026215291361BA ， ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+3612078611442549675181B A B .19. 证：设有可逆方阵P 与Q ，使 B=P 1-AP , D=Q 1-CQ 则DB O O =CQ Q AP P 11--OO =11--OO QCA O OQP O=QP O O 1-CA O OQP O O即 CA O O 与 DB O O 相似.20. 证：设1r rankA =，2r rankB =，则A ，B 的行向量的极大无关组中分别含有21,r r 个行向量，设分别为11,,r αα 和21,,r ββ ，则A 的每个行向量均可由11,,r αα 线性表示，B 的每个行向量均可由21,,r ββ 线性表示.又可A+B 的每个行向量是A 与B 的相应行向量的和，故A+B 的每个行向量均可由11,,r αα ，21,,r ββ 线性表示.因此A+B 的行向量组的极大无关组中所含向量的个数不超过21r r +，即()rankB rankA B A rank +≤+.21. 证：设()n B r rankA βββ,,,,21 ==，则()()0,,,,,,2121===n n A A A A AB ββββββ ，所以θβ=1A ，θβ=2A ，…，θβ=n A .这就说明B 的列向量n βββ,,,21 都是以A 为系数矩阵的齐次方程组的解.由于r r a n kA =，所以解空间的维数为r n -，从而知nββ,,1 的极大无关组所含向量的个数r n -≤，即r n rankB -≤，因此有n r n r rankB rankA =-+≤+ .22. 证：设A ，B 为同一数域上的n m ⨯与g n ⨯阶矩阵，显然，方程组BX=θ的解向量X 也满足方程组()θ=X AB ，记{}θ==BX X U ， (){}θ==X AB X V则V U ⊂，于是dinV AB rank n rankB n U =-≤-=)(dim 即()rankB AB rank ≤.又由于()()()T T T A B rank AB rank AB rank ==rankA rankA T =≤ 因此 (){}r a n k B r a n k A AB rank ,min ≤.23. 证：由上题知，()rankA A A rank T ≤，现在只需证明()rankA A A rank T ≥即可.考虑线性方程组θ=AX A T ，设()T n x x x X ,,,21 =是方程组的一组解，将θ=AX A T 两边左乘X T ，得θ=AX A X T T ，即()θ=AX AX T ，所以θ=AX ，即{}{}00=⊂=AX X AX A X T .于是()rankA n A A rank n T -≤-即有()rankA A A rank T ≤，故有()rankA A A rank T = ，并且有()()rankA rankA A A rank A A rank T T TTT ===即有()()T T AA rank A A rank rankA ==.注：对复矩阵A ，上式不一定成立.例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11i i A ,1=rankA .由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00001111ii ii A A T 故()0=A A rank T .此时，相应的关系式应为()()A A rank AA rank rankA **== .24. 证：必要性.由上题已证得，充分性只要在AX=θ两边左乘A T 即可.25. 证：（1）因为n rankA =，故n m ≥，不妨设A 的前n 行线性无关，且构成的n 阶满秩方阵为A 1，后n m -行构成的矩阵为A 2，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A B A B A A AB 2121所以()()rankB B A rank AB rank =≥1，但()r a n k BAB rank ≤，故()r a n k BAB rank =.（2）同理可证.26. 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=0011B ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0020B ；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B .27. 证：因为()()()n m rankB rankA AB rank rankC ,min ,min ≤≤=，但n m >，故m 阶方阵C 的秩m n <≤，所以C 是降秩的.28. 解：先求矩阵A 的特征值和特征向量为 121==λλ， ()T 20,6,31-=α 23-=λ, ()T 1,0,02=α故的特征值和特征向量为121==λλ， ()3212063e e e k +-，0≠k 23-=λ， 3ke ， 0≠k .29. 解：（1）121==λλ，()T 1,0,11=α，()T 0,1,02=α，13-=λ，()T 1,0,13-=α.(2)1=λ,()T2,1,31-=α，i143,2±=λ，().10,1432,1463,2Ti i -±-±=α（3）121==λλ，()T 20,6,31-=α，23-=λ，()T 1,0,02=α；（4）2321===λλλ，()T 0,0,1,11=α，()T 0,1,0,12=α，()T 1,0,0,13=α，24-=λ，()T 1,1,1,14---=α.以上分别求出了在不同基下所对应矩阵A 的特征值和特征向量，则类似于上题的方法，可求出不同基下所对应的特征值和特征向量.30. 解：（1），（2），（4）为非亏损矩阵（单纯矩阵），其变换矩阵P 分别为（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010101；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+---+101021432143211461463i i i i ; （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---110101010011111.31. 证：设在给定基下的矩阵为A ，则()n i A i ni i ,,2,100det 1=≠⇔≠=∏=λλ32. 证：设r rankA =，则存在满秩矩阵P 与Q ，使得()0,r I diag PAQ =，故有()C I diag BP PAQQ PABP r 0,111==--- 其中()ij C BQ Q C ==--11，这说明AB 与diag （0,r I ）相似.另一方面，有()0,111r I C d i a g P A Q BP Q BAQ Q ==---，说明BA 与()0,r I Cdiag 相似.不难验证有()()()()0,det 0,det r r I Cdig I C I diag I -=-λλ 故AB 与BA 有相同的特征多项式，因此有相同的特征值和迹.33. 证：设A 的任一特征值为λ，λ的对应于λ的特征子空间记为λV .对λV 中任意向量Z 有BZ Z B BAZ ABZ λλ===故λV BZ ∈，因此λV 为线性变换()BZ Z =的不变子空间，即()BZ Z =为λV 中的线性变换，此线性变换的特征向量即为B 的特征向量，但它又属于λV ，由λV 的定义知它又是A 的特征向量，即A 与B 有公共的特征向量.34. 证：设A 的特征值为i λ，则A 2的特征值为2i λ，由12=i λ有1±=i λ，若所有1=i λ，则A+I 为满秩矩阵，故由（A+I ）（A-I ）=A 2-I 2=0，有A=I .35. 证：不失一般性，设B 非奇异，有AB=B -1（BA ）B 即AB 与BA 相似，所以它们有相同的特征多项式.36. 证：设A 为n 阶方阵，具其秩为r ，由于A 2=A ，知A 的列向量都是A 的对应于特征值1的特征向量.因γ=rankA ，故特征值1的几何重复度为r ，其代数重复度至少为r .又θ=AX 的基础解系中的向量个数为r n -，即A 的特征值0的几何重复度为r n -，其代数重复度不小于r n -.由于一个n 阶矩阵的特征值的代数重复度之和恰为n ，故特征值1和0的代数重复度分别为r 和r n -.可见A 除了1和0外无其它特征值，而1和0的几何重复度之和为n ，故A 为非亏损矩阵，所以A 相似()0,r I diag .37. 证：用反证法.若A 可相似于对角矩阵，对角元素即为A 的特征值，且至少有一个不为0.但是，由于λαα=A ，于是θαλα==k k A ，因为θα≠，所以0=k λ，故0=λ，即A 的特征值都等于0，矛盾.38. 证：由X AX λ=，有()X k kX A λ=，X X A k k λ=，从而有()()X f X A f λ=，即X 也是()A f 的特征向量.显然()A f 的特征值为()λf ，即为λ的多项式.39. 解：取3中的自然基321,,εεε，计算得(1ε)=(0 , -2 ,-2 ) , (2ε)=(-2 , 3 ,-1 ) , (3ε)=(-2 , -1 ,3 )则在基321,,εεε下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=31213222A而A的特征值为2,4321-===λλλ，与之对应的特征向量为()TX0,2,11-=，()TX2,0,12-=，()TX1,1,23=，则有()2,4,41-=Λ=-diagACC，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112211C.由()321,,ααα=（321,,εεε）C求得3R的另一组基为()0,2,12211-=+-=εεα，()2,0,12312-=+-=εεα，()1,1,223213=++=εεεα，显然在该基下的矩阵为对角阵Λ.40. 解：（1）因为()21xx+=，()21xx+=，()xx+=12，所以在基1，x，x2下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111A.（2）由于A原特征值为121-==λλ，23=λ，相应的特征向量为()TX01,11-=，()TX1,12-=，()TX11,13=，存在可逆阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1111111C，使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2111AACC，故所求的基321,,eee为()()()2223211,1,1,,1,,xxxxCxxeee+++-+-==.41. 解：（1）对任意的V∈βα,及Rlk∈,，有()()()()()BBlBBkBlklkBlkTTTTTTββααβαβαβα-+-=+-+=+=k ((α))+l ((β))故是线性变换. （2）取V 的简单基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0100,0010,1001321A A A 由于(),01101⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110)(2A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110)(3A , 所以在基321,,A A A 下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111111000R R 的特征值为2,0321===λλλ，对应的线性无关的特征向量为（1，1，0）T ，（0，1，1）T ，（0，1，-1）T ，令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110111001C ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ200 则有Λ=-RC C 1，由（B 1，B 2，B 3）=（A 1，A 2，A 3）C 求得V 的另一组基为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=1011211A A B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=0110322A A B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=0110323A A B，在该基下的矩阵为Λ.42. 证：（1）取n的一组基n e e e ,,,21 ，设1（n e e e ,,,21 ）=（n e e e ,,,21 ）A2（n e e e ,,,21 ）=（n e e e ,,,21 ）B则有 (12)（n e e e ,,,21 ）=（n e e e ,,,21 ）（AB ） (1+2)（n e e e ,,,21 ）=（n e e e ,,,21 ）（A+B ）由12=1+2，可得AB=A+B ，从而有B T A T =A T +B T .若1是1的特征值，则 1也是A 的特征值，从而1也是A T 的特征值，设A T 对应于特征值1的特征向量为β，即()0≠=βββT A ，由（B T A T ）β=（A T +B T ）β，可得B T β=β+B T β，即β=0，这与β是A T 的特征向量矛盾，故1不是1的特征值.（2）因1有几个不同的特征值，所以1有n 个线性无关的特征向量.记1的对应于特征值n λλλ,,,21 的线性无关的特征向量为X 1，X 2，…，X n ，即1i i i X X λ= （i =1，2，…，n ），则X 1，X 2，…，X n 作为n的基时，1的矩阵A =diag （n λλλ,,,21 ）.再由AB=A+B 及1≠i λ知()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-1,,1,122111n n d i a g A I A B λλλλλλ 即1与2在该基X 1，X 2，…，X n 下的矩阵都为对角阵.43. 证：对任意0λαV ∈，有1(αλα0)∈.由于1(2(α))=2(1(α))=2(λα)所以2()0λαV ∈, 故0λV 是2的不变子空间.44. 解：(1) (4'3'2''1,,,e e e e )=( 4321,,,e e e e )C=(4321,,,e e e e ) 211111000320001---∴ B=C 1-AC =242134040168101042699631-----(2) 先求核θ(1-) . 设η=)(1θ-在基{}i ε下的坐标为(4321,,,x x x x )，(θη=)在此基下的坐标为(0,0,0,0)，于是A 4321x x xx =000此时A 的秩为２，解之，得基础解系 )1,0,2,1(,)0,1,23,2(21--=--=ξξ, 作 421232112,232e e e e e e +--=+--=ηη . 显然，21,ηη为核θ(1-)的一组基，故核由21,ηη所张成，即θ(1-)=Span (21,ηη) .再求值域(4) . 由于 ((e 1),(e 2),(e 3),(e 4)) = (4321,,,e e e e ) A 而A 的秩为２，所以(e 1),(e 2),(e 3),(e 4)的秩也为２，且(e 1),(e 2)线性无关，故组成(4)的基，从而(4)=Span ((e 1),(e 2)) .(3) 由(2)知21,ηη是核θ(1-)的一组基，易知2121,,,ηηe e 为4的一组基，由于有(2121,,,ηηe e )=(4321,,,e e e e )100100223101201---- = (4321,,,e e e e ) D所以在此基下的矩阵为B=D 1-AD=022021001290025-(4) (2)知(e 1),(e 2)是值域 (4)的一组基，又知(e 1),(e 2),43,e e 为4的一组基，有((e1),(e2),43,e e )=(4321,,,e e e e )10221210210001-- =(4321,,,e e e e ) T所以在此基下的矩阵为B=T 1-A T = 000002231291225 .45. 证：取3中的自然基321,,εεε，因为(+ )(1ε)=(1ε)+ (1ε)=（1，0，0）+（0，0，1）=（1，0，1）同理有(+ )(2ε)=（2，0，0）， (+ )(3ε) =（1，1，0）这表明+ 将基321,,εεε变换成3中的另一组基1e =（1，0，1），2e =（2，0，0），3e =（1，1，0）（易证它们线性无关）. 又因（+ ）（3）是3的子空间，而321,,e e e 是（+ ）（3）的最大无关组，故这个子空间的维数为3，再由习题1.1中第22题的结果知（+ ）（3）=3（此时取V 2=3）.46. 解：因为2［(321,,a a a )］=(［(321,,a a a )］)=()[]21,,0a a =（0，0，1a ）所以2的像子空间为R (2)(){}R a a ∈=,0,0核子空间为N (2)(){}R a a a a ∈=2232,,,0因此，dimR (2)=1，其一组基为（0，0，1）；dim N (2)=2，其一组基为（0，1，0），（0，0，1）.47. 证：（1）由的定义容易验证满足可加性和齐次性，所以它为线性变换.又因2[(n x x x ,,,21 )]=[()()2111,,,0,0],,,0--=n n x x x x ，…推知n[()()0,,0,0],,,21 ==n x x x ，即nϑ=（零变换）.（2）若[()()()0,,0,0,,,0],,,1121 ==-n n x x x x x ，则1x =2x =…=1-n x =0即()θ1-为由一切形如（0，0，…，n x ）的向量构成的子空间，它是一维子空间，则（0，…，0，1）是它的基.又由维数关系dim (V)+dim1-(θ)=n便得 (V) 的维数等于 n-1 .48. 证：（1）必要性.若(V)= (V)，对任V ∈α，则∈)(α （V ）=(V) ，故存在V ∈β，使 =)(α)(β ，=)(α2)(β= )(β= )(α ，由α的任意性有= .同理可证= .充分性.若= ,=, 对任(∈)α(V )V ⊂，=)(α)(α= ()(α)∈ (V ) , 故(V)⊂ (V) ；同理可证 (V) ⊂(V).(2)必要性.若()=-θ1)(1θ-，对任V ∈β,作-β)(β，因（-β)(β）=)(β-2)(β=)(β-)(β=θ ，所以，-β)(β∈()θ1- =)(1θ- ，则（-β)(β）= θ ，故=)(β )(β，由β的任意性有 = . 同理，通过作β- )(β ，可得=.充分性.若= , =, 对任 ∈α()θ1-，由=)(α=)(α （)(α）= （θ）=θ ，故()⊂-θ1)(1θ-；同理，由任∈β)(1θ- ，可得()⊂-θ1)(1θ-.。

矩阵理论试题

0 0 1 0 0 1 2 解：(1)B1= (1, t , t ) 0 2 1 ，B2= (1, t , t ) 0 1 0 ，设过度矩阵为 A， 1 −1 −1 2 1 −1
2
0 0 1 0 0 1 则 B2=B1A，所以 A = = 0 1 0 * 0 2 1 2 1 −1 1 −1 −1
所以 T 的特征值为 0，-1，3，对应的特征向量为 (0,1,1)T , (0, 0,1)T , (2, 0,1)T
1 1 2、设{e1=(1 0 0)T,e2= (-2 2 1)T,e3= (1 1 1)T}为 R3 的一组基。 3 3
(1) 将上述基标准正交化； (2) 求一个镜面反射矩阵，H：R3 → R3,它使 He2 为平面 2x1 +x2 + 2x3 – 1 = 0 的单位法向量； (3) 写出构造镜面反射矩 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 ∫−1 (t − 1) *(t − 1)dt
∫
1
−1
2*(t 2 − 1)dt
选取基为{1，t，t2},即由方程（2.1.4）得
2 0 2 3
0 2 3 0
2 3 a 0 0 a1 = a 2 2 5
由于水平有限，有些题目可能结果不太正确，如有不同答案，请联系我。严禁外传！（此版本不可复制，不可打印）
1、在 3 维实系数多项式线性空间 P2[x]上定义如下变换 T：P2[x]→P2[x]
P( x) → TP ( x ) = (1 − x + x 2 ) d 2P( x) dx
2

矩阵论考试题

1 − 1 1 1 T ( A3 ) = B3 = ，T ( A4 ) = B4 = 1 − 1 1 1
1. 求T 在基 A1 , A2 , A3 , A4 下的矩阵； 2. 判断 T 能否在 R 2×2 的某个基下的矩阵为对角矩阵；（要求写出判断依据）
5
3. 求 N (T ) 的一个基. 八、(8 分) 设矩阵 A∈ C m×n ，列向量 b∈ C m ，列向量
3
验证 x 是 C n 中的向量范数．
三、 (15
− 2 分 ) 已知 A= 1 − 2
1 −2 2
1 −1 , 1
0 2 b(t ) = e −t 1 , x (0) = 1 . − 2 1
At 1. 求 e ；
x2 x4
x1 − x 4 = 0 , x 2 − x3 = 0
( A, B ) =
R 2×2 中的内积为
∑∑ a
i =1 j =1
2
2
ij
bij ,
a11 A= a 21
a12 b11 b12 ,B= , a 22 b21 b22
x ∈ C n ， A + 表示 A 的 Moore-Penrose 逆，证明：线性
+ H H 方程组 A x = AA b 与 A A x = A b 同解．
6
矩阵论
(M2006B)
一、(18 分) 填空：设 A = 9
0 1 1 1 ， B ． = 0 1 1 ．
V 中的线性变换为 T ( X ) = XP + X T , 任意 0 1 X ∈V , P = ． 1 0

南航双语矩阵论第四章习题答案2016年版.pdf

Exercise 14
Prove that there do not exist n n matrices A and B such that AB BA I . Proof Let A (aij ) and B (bij ) . tr ( AB) aij b ji , tr ( BA) bij a ji .
T AT (c1u1u1 c2u2uT 2
, cn and that u i is an
cnunuT n)
T T c ( u nu ) n n
T T T T c1 (u 1u (u 2 u ) 1) c 2 2
T c1u1u1 c2u2uT 2
cnunuT n A
Exercise 6
Let Q be a unitary or orthogonal matrix. (a) Show that if is an eigenvalue of Q, then 1 (b) Show that |det(Q)|=1. Proof (a) Let x be an eigenvector of Q corresponding to
Hence, u i is an eigenvector belonging to ci for each i.
Exercise 13
Let A and B be n n matrices. Show that (a) If is a nonzero eigenvalue of AB, then it is also an eigenvalue of BA. (b) If 0 is an eigenvalue of AB, then 0 is also an eigenvalue of BA. Proof (a) If is a nonzero eigenvalue of AB, then there is a nonzero vector x such that ABx x . From ABx x , we see that Bx 0 . Since BA( Bx) Bx , we obtain that Bx 0 is an eigenvector of BA corresponding to the eigenvalue . Hence, is also an eigenvalue of BA. (b) If 0 is an eigenvalue of AB, then det( AB) 0 . Hence, det( BA) det( AB) 0 . Thus, 0 is an eigenvalue of BA.

第二章-矩阵(历年真题+答案)

A (a1 , a2 , a3 ) ，若矩阵 B (a1 a2 ,2a2 , a3 ) ，则 B
A.0 B. a
C. 2a D. 3a
【解析】答案：C 【选择】【201604】【2 分】4.若向量 a1 , a2 ,, as 可由向量组 1 , 2 , , t 线性表出，则
【计算】【201610】【9 分】
A11 【解析】 A A12 A13
*
A21 A22 A23
A31 A32 ;A11=0, A12=0, A13=-1, A21=0, A22=-1, A23=-2, A31= A33
-1, A32=2, A33=-1.
AC CB ，其中
【解析】
（提示：A3=CB（C-1C）B（C-1C）BC-1=CBEBEBC-1=CB3C-1；计算的 B3=B）【计算】【201604】【9 分】18.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 1 列与第 2 列互换得到矩阵
B ，再将 B 的第 2 列加到第 3 列得到单位矩阵 E ，求矩阵 A . 【解析】
0 0 1 0 0 1 A* 1 -1 所以 A 0 1 2 , A 1 0, 所以 A 存在且 A = 0 1 -2 。 A 1 2 1 1 -2 1
*
【计算】【201610】【9 分】 18.设 A 为三阶矩阵，将 A 第一行的 2 倍加到第 3 行得到矩阵 B，再将 B 第 2 列与第 3 列互换得到单位矩阵 E，求矩阵 A. 【解析】：由题设可知，存在初等矩阵
1 1 1 【计算】【201410】【9 分】18.设矩阵 A 1 1 0 ,且矩阵 X 满足 AX E A3 X , 0 1 1

矩阵论试题(整理)(完整版)实用资料

矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。

3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。

（）4.（），其中。

5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。

6.AB的全体特征值是（）。

7.（）。

8.B的两个不同秩的{1}-逆为。

二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分已知。

1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。

四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。

五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。

（要求画图表示）六.(15分已知。

1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。

（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。

6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。

矩阵论试题11.5

《矩阵论》试题(注：①试题解答请写在指定的答题册上，否则无效，题目不用抄写但必须标明题号；②平时成绩占20%)任课教师：周树民一、什么是线性空间？平面上不平行于某一向量的全体所组成的集合，对于向量加法和数与向量的乘法是否构成实数域上的空间？请说明原因。

二、求n n R ⨯中全体上三角矩阵构成的实数域R 上的空间维数与基。

三、设线性变换T 在基123,,ααα下的矩阵为110430102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求线性变换T 的特征值与特征向量。

四、将矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ化为Smith 标准形。

五、求矩阵126103114--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的Jordan 标准形。

六、求解微分方程11221212243(0)3,(0)3,dx x x dt dx x x dtx x ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪==⎪⎪⎩。

七、求n 阶单位矩阵n I 的最小多项式。

八、已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且1m A -及1A -都存在，证明：（1）lim m m A A →∞=；（2）11lim mm A A --→∞=。

九、设()12(),(),,()Tn y y t y t y t = ，A 为n 阶常数对称矩阵，()T f y y Ay =证明：（1）2T df dyy A dy dt=；（2）222Td dy y y dt dt=。

十、设16884A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求Ae ，1()I A -+，12A 。