河南省2020-2021学年高三10月联考数学理科试题(wd无答案)

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河南省部分名校2024-2025学年高三上学期10月联考地理试卷(无答案)

2025届普通高等学校招生全国统一考试大联考(高三)地理注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 16 小题，每小题3 分，共48 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

北京时间2024 年5月 10日 23 时起发生了地磁暴。

受地磁暴影响，全球多地出现罕见极光，这也是我国境内看到极光范围较广的一次。

下图为新疆阿勒泰地区富蕴县((47°N,89°E)拍摄到的极光。

据此完成1~2题。

1.欣赏极光效果最佳的时段应该在A.晴朗的夜晚B.晴朗的白昼C.阴雨的夜晚D.阴雨的白昼2.本次极光现象发生时受到干扰最明显的是A.信鸽飞行B.骏马奔驰C.野猪觅食D.蛇类冬眠在意大利北部阿尔卑斯山南侧某些狭窄的河谷上，分布着一种独特的石顶泥柱景观，坚固的泥柱中掺杂着砂砾及大小不一的石头(见下图)。

据此完成3~4题。

3.形成泥柱物质的沉积作用是A.流水沉积B.冰川沉积C.风力沉积D.海浪沉积4.决定泥柱顶部大小的是A.顶部石块的大小B.顶部的组成物质C.顶部的密度D.顶部的含水量张掖彩丘位于祁连山山前的低地地带，是在干热环境下形成的红色和紫红色岩层为主色调的基础上，交织黄绿、灰绿、灰黑等多种色彩的山体。

在白垩纪到新近纪，彩丘所在的位置曾是一片湖泊，炎热干旱和低温潮湿的气候反复变化。

下图示意张掖彩丘景观。

据此完成5~6题。

5.推测白垩纪到新近纪，该地的气候变化状况为A.炎热干旱和低温潮湿交替，炎热干旱时间长B.炎热干旱和低温潮湿交替，低温潮湿时间长C.炎热干旱时期和低温潮湿时期的时间相当D.炎热干旱时期和低温潮湿时期的时间均较短6.张掖彩丘出露地面之前的主要地质作用过程是A.海相沉积—固结成岩—挤压褶皱B.湖相沉积—固结成岩—挤压褶皱C.海相沉积一固结成岩一变质作用D.湖相沉积一固结成岩一变质作用《祈雪文》中记载长期不降雪与霾的相互关系：“一月不雪兮，绿意早凋。

2020-2021学年河南省南阳市某校高三(上)10月月考数学试卷有答案

2020-2021学年河南省南阳市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 设i 为虚数单位，a ∈R ，“复数z =a 22−i 20201−i是纯虚数”是“a =1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2. 已知集合A ={x|x−1x−2≤0}，B ={y|y =√4−x 2}，则A ∩B =( ) A.⌀ B.(−∞, 2] C.[1, 2) D.[0, 2]3. 已知定义在[m −5,1−2m]上的奇函数f(x)，满足x >0时，f(x)=2x −1，则f(m)的值为( ) A.−15 B.−7 C.3 D.154. 已知a ，b ，c 均为正实数，若2a =log 2a −1，2−b =log 12b ，(12)c =log 2c ，则( )A.c <a <bB.c <b <aC.a <b <cD.b <a <c5. 要得到函数f (x )=cos (π2x −π6)的图象，可将函数g (x )=sin π2x 的图象（）A.向左平移π3个单位长度B.向左平移23个单位长度C.向右平移π3个单位长度 D.向右平移23个单位长度6. 已知cos (π2−α)=2cos (π+α)，且tan (α+β)=13，则tan β的值为( ) A.−2 B.−1 C.3 D.77. 如图，在△ABC 中，AN →=2NC →，P 是BN 上一点，若AP →=tAB →+13AC →，则实数t 的值为( )A.16 B.23C.12D.348. 设向量a →，b →满足a →+b →=(3,1)，a →⋅b →=1，则|a →−b →|=( ) A.2 B.√6C.2√2D.√109. 已知函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A. (x 2−π24)(x 2−9π24)x 3B.|tan 4x|xC.1+cos 2x 2xD.|sin x 2|3x10. 已知数列{a n }的通项公式a n =n +100n，则|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+⋯+|a 99−a 100|=( ) A.162 B.175 C.180 D.21011. 已知a =log 0.55，b =log 32，c =20.3，d =(12)2，从这四个数中任取一个数m ，使函数f(x)=13x 3+mx 2+x +2有极值点的概率为( ) A.14B.12C.34D.112. 已知函数f(x)=e xx −ax,x∈(0,+∞)，当x2>x1时，不等式f(x1)x2<f(x2)x1恒成立，则实数a的取值范围为( )A.(−∞,e]B.(−∞,e)C.(−∞,e2) D.(−∞,e2]二、填空题已知等比数列{a n}中，各项都是正数，前n项和为S n，且4a3，a5，2a4成等差数列，若a1=1，则S4=________.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且它在[0, +∞)上单调递增，那么使得f(−2)≤f(a)成立的实数a的取值范围是________．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3−cos A)sin B=sin A(1+ cos B)，a+c=6，则△ABC的面积的最大值为________.已知函数f(x)=(2−a)(x−1)−2ln x．若函数f(x)在(0, 12)上无零点，则a的最小值为________．三、解答题已知集合A={x∈R|0<ax+1≤5}，B={x∈R|−12<x≤2}(a≠0)．(1)A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由；(2)若命题p:x∈A，命题q:x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+kn+k.(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.已知函数f(x)=sin x cos(π2+x)+√3sin x cos x．(1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心；(2)若f(x)=a在区间[0,π]上有两个解x1，x2，求a的取值范围及x1+x2的值．2abc，且b sin 在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若△ABC的面积S=14B−a sin A=2sin B sin C−2sin2C.(1)求角A的大小；(2)求△ABC面积的最大值.已知函数f(x)=2ax2−2x+1，且函数f(x+1)为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．e x已知函数f(x)=x(1+a+a cos x).(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程；]时，f(x)≥m sin x恒成立，求m的取值范围．(2)若a=1,x∈[0,π2参考答案与试题解析2020-2021学年河南省南阳市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算虚数单位i及其性质必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】（1）先对复数进行化简整理，进而进行推断即可.【解答】解：复数z=a 22−i20201−i=a22−1+i(1+i)(1−i)=a22−12−12i=a2−12−12i，因为复数z为纯虚数，则a 2−12=0，解得a=±1，故“复数z=a 22−i20201−i是纯虚数”是“a=1”的必要而不充分条件.故选B.2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|1≤x<2}，B={y|0≤y≤2}，∴A∩B=[1, 2)．故选C.3.【答案】A【考点】奇函数函数的求值【解析】先根据奇函数定义域关于原点对称求出m ，然后代入即可求解【解答】解：由奇函数的对称性可知， m −5+1−2m =0， ∴ m =−4，∵ x >0时，f(x)=2x −1，则f(m)=f(−4)=−f(4)=−15．故选A . 4.【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较对数值大小的比较【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：2a =log 2a −1，(12)b =log 12b ，(12)c =log 2c ，利用函数y =2x ，y =log 12x ，y =(12)x ，y =log 2x ，如图所示：由图象可得：a <b <c . 故选C ． 5.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可. 【解答】解：要得到函数f(x)=cos (π2x −π6)的图象，即要使函数g(x +φ)=sin π2(x +φ)=cos (π2x −π6) ，解得φ=23，即需要将函数g(x)的图象向左平移23个单位长度. 故选B . 6. 【答案】 D【考点】两角和与差的正切公式诱导公式【解析】由题意利用诱导公式求得tan α的值，再利用两角和的正切公式，求得tan β的值．【解答】解：∵ 已知cos (π2−α)=2cos (π+α)，即 sin α=−2cos α，则 tan α=−2．又∵ tan (α+β)=tan α+tan β1−tan α⋅tan β=−2+tan β1+2tan β=13，则tan β=7. 故选D . 7. 【答案】 C【考点】向量的共线定理向量加减混合运算及其几何意义【解析】根据AN →=2NC →即可得出AC →=32AN →，进而可得出AP →=tAB →+12AN →，然后根据B ，P ，N 三点共线即可得出t 的值．【解答】解：∵ AN →=2NC →， ∴ AC →=32AN →，∴ AP →=tAB →+13AC →=tAB →+12AN →，且B ，P ，N 三点共线， ∴ t +12=1，解得t =12．故选C . 8. 【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算向量的模【解析】本题考查平面向量的运算，属于基础题．将求|a →−b →|的问题转化为求|a →−b →|2，利用|a →−b →|2=(a →−b →)2=(a →+b →)2−4a →⋅b →=|a →+b →−4a →⋅b →|2，将|a →+b →|2=10，a →⋅b →=1代入即可求解．【解答】解：∵ |a →−b →|2 =(a →−b →)2 =(a →+b →)2−4a →⋅b →=10−4=6， ∴ |a →−b →|=√6．故选B ． 9.【答案】 C【考点】函数的图象【解析】利用函数的图象特征，检验各个选项中的函数是否满足条件，从而得出结论．【解答】解：由图像可得当x >0时，f (x )≥0，故可排除选项A ；对于函数y =|tan 4x |x，当x =π8时，函数无意义，故排除选项B ；当x =π2，f(x)=0，故排除选项D . 故选C ． 10.【答案】 A【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：由对勾函数的性质知，当n ≤10时，数列{a n }单调递减，当n≥10时，数列{a n}单调递增，故|a1−a2|+|a2−a3|+⋯+|a99−a100|=(a1−a2)+(a2−a3)+⋯+(a9−a10)+(a11−a10)+(a12−a11)+(a13−a12)+⋯+(a100−a99)=a1−a10+a100−a10=1+100−(10+10)+100+1−(10+10)=162.故选A.11.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较利用导数研究函数的极值古典概型及其概率计算公式【解析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m的范围，通过判断a，b，c，d的范围，得到满足条件的概率值即可．【解答】解：f′(x)=x2+2mx+1，若函数f(x)有极值点，则f′(x)有2个不相等的实数根，故Δ=4m2−4>0，解得：m>1或m<−1，而a=log0.55<−2，0<b=log32<1，c=20.3>1，0<d=(12)2<1，满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p=24=12.故选B.12.【答案】D【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ x∈(0,+∞)，∴x1f(x1)<x2f(x2).即函数g(x)=xf(x)=e x−ax2在x∈(0,+∞)时是单调增函数. 则g′(x)=e x−2ax≥0恒成立.∴2a≤e xx，令m(x)=e xx，则m′(x)=(x−1)e x，x2x∈(0,1)时，m′(x)<0,m(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，m′(x)>0,m(x)单调递增，∴2a≤m(x)min=m(1)=e，∴a≤e.2故选D.二、填空题【答案】15【考点】等差中项等比数列的前n项和【解析】利用等差数列性质得到2a5=4a3+2a4，再利用等比数列通项得到2a1q4=4a1q2+ 2a1q3，求出公比，代入等比数列求和公式即可得到答案.【解答】解：等比数列{a n}中，各项都是正数，a1=1，∵4a3，a5，2a4成等差数列，∴2a5=4a3+2a4，即2a1q4=4a1q2+2a1q3，解得q=2，q=−1(舍去)，∴S4=1−24=15.1−2故答案为：15.【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】利用函数是偶函数得到不等式f(−2)≤f(a)等价为f(2)≤f(|a|)，然后利用函数在区间[0, +∞)上单调递增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0, +∞)上单调递增．∴不等式f(−2)≤f(a)等价为f(2)≤f(|a|)，即2≤|a|，∴a≤−2或a≥2.故答案为：(−∞,−2]∪[2,+∞).【答案】2√2【考点】余弦定理正弦定理基本不等式在最值问题中的应用诱导公式【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出b 的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积及基本关系式的应用求出结果．【解答】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3−cos A)sin B =sin A(1+cos B)，整理得3sin B =sin A +sin B cos A +cos B sin A =sin A +sin C ，利用正弦定理：3b =a +c ，由于a +c =6，整理得：3b =a +c =6， ∴ 解得：b =2． ∵ a +c =6，∴ 6=a +c ≥2√ac ，整理可得：ac ≤9，（当且仅当a =c =3时等号成立） ∴ cos B =a 2+c 2−b 22ac=(a+c)2−2ac−42ac =16−ac ac．∴ sin B =√1−cos 2B =4ac×√2ac −16，∴ S △ABC =12ac ×4ac ×√2ac −16 =2√2ac −16≤2√2×9−16=2√2，当且仅当a =c =3时，等号成立．则△ABC 的面积的最大值为2√2. 故答案为：2√2. 【答案】 2−4ln 2 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题由函数零点求参数取值范围问题【解析】根据函数无零点，得到函数的导函数小于0在一个区间上不恒成立，得到函数在这个区间上没有零点，构造新函数，对函数求导，利用求最值得方法求出函数的最小值．【解答】解：因为函数f(x)在(0, 12)上无零点即f(x)<0或f(x)>0在(0, 12)上恒成立，但是f(x)<0恒成立不可能，故只有f(x)=(2−a)(x −1)−2ln x >0在(0, 12)上恒成立，即a >2−21nxx−1在(0, 12)上恒成立，令ℎ(x)=2−21nxx−1，x ∈(0, 12)，则ℎ′(x)=21nx+2x −2(x−1)2，令m(x)=2ln x −2+2x，x ∈(0, 12)，则m′(x)=−2(1−x)x 2，易得，m(x)在(0, 12)上单调递减，则可得m(x)>m(12)=−2ln 2+2>0，即ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 12)上单调递增，ℎ(x)<ℎ(12)＝2−4ln 2，故a ≥2−4ln 2，即a 的最小值2−4ln 2．故答案为：2−4ln 2. 三、解答题【答案】解：(1)若A =B 显然a =0时不满足题意，当a >0时A ={x|−1a <x ≤4a }， ∴ {−1a =−12，4a =2，⇒a =2，当a <0时，A ={x|4a≤x <−1a}，显然A ≠B ，故A =B 时，a =2.(2)p ⇒q 得A ⊆B 且A ≠B ，0<ax +1≤5⇒−1<ax ≤4，当a =0时，A =R 不满足．当a >0时，A ={x|−1a <x ≤4a }，则{−1a ≥−12，4a <2，或{−1a >−12，4a ≤2，解得a >2.当a <0时，A ={x|4a ≤x <−1a }，则{4a>−12，−1a ≤2，⇒a <−8.综上p 是q 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是a >2，或a <−8. 【考点】根据充分必要条件求参数取值问题集合的相等【解析】（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解（2）p ⇒q 得A ⊆B 且A ≠B ，转化为集合的关系求解．【解答】解：(1)若A =B 显然a =0时不满足题意，当a >0时A ={x|−1a<x ≤4a}，∴ {−1a =−12，4a=2，⇒a =2，当a <0时，A ={x|4a≤x <−1a}，显然A ≠B ，故A =B 时，a =2.(2)p ⇒q 得A ⊆B 且A ≠B ，0<ax +1≤5⇒−1<ax ≤4，当a =0时，A =R 不满足．当a >0时，A ={x|−1a <x ≤4a }，则{−1a ≥−12，4a <2，或{−1a >−12，4a ≤2，解得a >2.当a <0时，A ={x|4a≤x <−1a}，则{4a >−12，−1a ≤2，⇒a <−8. 综上p 是q 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是a >2，或a <−8. 【答案】解：(1)当 n =1时， a 1=S 1=2+2k ，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n 2+kn +k −[2(n −1)2+k(n −1)+k] =4n −2+k .由4×1−2+k =2+2k ，得k =0.所以 a n =4n −2. (2)因为 b n =1a n a n+1=1(4n −2)(4n +2)=18(12n−1−12n+1)，所以T n =18(1−13)+18(13−15)+⋯+18(12n−1−12n+1)=18(1−12n+1)=n8n+4.【考点】数列的求和数列递推式等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当n=1时，a1=S1=2+2k，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n2+kn+k−[2(n−1)2+k(n−1)+k] =4n−2+k.由4×1−2+k=2+2k，得k=0.所以a n=4n−2.(2)因为b n=1a n a n+1=1(4n−2)(4n+2)=18(12n−1−12n+1)，所以T n=18(1−13)+18(13−15)+⋯+18(12n−1−12n+1)=18(1−12n+1)=n8n+4.【答案】解：(1)函数f(x)=sin x cos(π2+x)+√3sin x cos x=−sin2x+√32sin2x=−1−cos2x2+√32sin2x=sin(2x+π6)−12．所以函数的最小正周期为T=2π2=π，令2x+π6=kπ(k∈Z)，解得x=kπ2−π12(k∈Z)，所以函数的对称中心为(kπ2−π12,−12)(k∈Z)．(2)由于0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，在区间[0,π2]上有两个解x1，x2，所以12≤sin(2x+π6)<1时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0, 12)．由于函数的图象在区间[0,π2]上关于x=π6对称，故x1+x2=2⋅π6=π3．【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式正弦函数的周期性正弦函数的对称性三角函数的周期性及其求法【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和x1+x2的值．【解答】解：(1)函数f(x)=sin x cos(π2+x)+√3sin x cos x=−sin2x+√32sin2x=−1−cos2x2+√32sin2x=sin(2x+π6)−12．所以函数的最小正周期为T=2π2=π，令2x+π6=kπ(k∈Z)，解得x=kπ2−π12(k∈Z)，所以函数的对称中心为(kπ2−π12,−12)(k∈Z)．(2)由于0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，在区间[0,π2]上有两个解x1，x2，所以12≤sin(2x+π6)<1时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0, 12)．由于函数的图象在区间[0,π2]上关于x=π6对称，故x1+x2=2⋅π6=π3．【答案】解：(1)由S=12ab sin C=14abc，∴csin C =2=bsin B=asin A，∴由b sin B−a sin A=2sin B⋅sin C−2sin2C=b sin C−c sin C，即b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(2)∵A=π3，∴a=2sin A=√3，∴a2=3=b2+c2−2bc cos A=b2+c2−bc≥bc，∴S△ABC=12bc sin A≤32sin A=3√34，即△ABC面积的最大值为3√34. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由S=12ab sin C=14abc，∴csin C =2=bsin B=asin A，∴由b sin B−a sin A=2sin B⋅sin C−2sin2C=b sin C−c sin C，即b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(2)∵A=π3，∴a=2sin A=√3，∴a2=3=b2+c2−2bc cos A=b2+c2−bc≥bc，∴S△ABC=12bc sin A≤32sin A=3√34，即△ABC面积的最大值为3√34.【答案】解：(1)由题可知a≠0，所以函数f(x)=2ax2−2x+1的对称轴为x=12a，由于y=f(x+1)是偶函数，所以f(−x+1)=f(x+1)，即f(x)=2ax2−2x+1关于x=1对称，所以12a =1，即a=12．所以f(x)=x2−2x+1．(2)方程f(x)=me x有三个不同的实数根，即方程m=e x⋅f(x)有三个不同实数根．令g(x)=e x⋅f(x)，由(1)有g(x)=(x2−2x+1)e x，所以g′(x)=(x2−1)e x，令g′(x)=0，则x=−1或x=1．当x<−1时，g′(x)>0；当−1<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0．故当x<−1时，g(x)单调递增；当−1<x<1时，g(x)单调递减；当x>1时，g(x)单调递增．所以，当x=−1时，g(x)取得极大值g(−1)=4e；当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=0．又由于g(x)≥0，且当x→−∞时，g(x)→0；当x→+∞时，g(x)→+∞．所以，方程m=e x⋅f(x)有三个不同实数根时，m的范围是(0,4e)．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）由于函数f(x)＝2ax2−2x+1，的对称轴为x=12a，且函数f(x+1)为偶函数．所以f(x)的对称轴为x＝1，即可解得a的值，得f(x)的解析式；（2）方程f(x)=me x有三个不同的实数根，即方程m＝e x⋅f(x)有三个不同实数根．把判断方程f(x)e x＝m何时有三个不同的实数根的问题，转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的极值，把函数的极值同m进行比较，得到结果．【解答】解：(1)由题可知a≠0，所以函数f(x)=2ax2−2x+1的对称轴为x=12a，由于y=f(x+1)是偶函数，所以f(−x+1)=f(x+1)，即f(x)=2ax2−2x+1关于x=1对称，所以12a =1，即a=12．所以f(x)=x2−2x+1．(2)方程f(x)=me x有三个不同的实数根，即方程m=e x⋅f(x)有三个不同实数根．令g(x)=e x⋅f(x)，由(1)有g(x)=(x2−2x+1)e x，所以g′(x)=(x2−1)e x，令g′(x)=0，则x=−1或x=1．当x<−1时，g′(x)>0；当−1<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0．故当x<−1时，g(x)单调递增；当−1<x<1时，g(x)单调递减；当x>1时，g(x)单调递增．所以，当x=−1时，g(x)取得极大值g(−1)=4e；当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=0．又由于g(x)≥0，且当x→−∞时，g(x)→0；当x→+∞时，g(x)→+∞．所以，方程m=e x⋅f(x)有三个不同实数根时，m的范围是(0,4e)．【答案】解：(1)由f(x)=x(1+a+a cos x)，得f′(x)=1+a+a cos x−ax sin x，所以f(π)=π，f′(π)=1，所以曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为：y−π=x−π，即y=x．(2)当a=1时，f(x)=x(2+cos x)，则f(x)≥m sin x等价于x(2+cos x)≥m sin x，当x∈[0,π2]时，x(2+cos x)≥0，sin x≥0，当m≤0时，f(x)≥m sin x恒成立；当m>0，x∈[0,π2]时，x(2+cos x)≥m sin x恒成立等价于xm −sin x2+cos x≥0，令g(x)=xm −sin x2+cos x，则g′(x)=1m −1+2cos x(2+cos x)2，设t=cos x，则t∈[0,1]，ℎ(t)=1+2t(2+t)2，ℎ′(t)=−2(t+2)(t−1)(2+t)4=−2(t−1)(2+t)3≥0，所以ℎ(t)在[0,1]上单调递增，所以ℎ(t)的值域为[14,13 ]．①当1m ≥13，即0<m≤3时，g′(x)≥0，g(x)为[0,π2]上的增函数，所以g(x)≥g(0)=0，符合条件；②当0<1m ≤14，即m≥4时，g′(x)≤0，g(x)为[0,π2]上的减函数，所以当x∈(0,π2]时，g(x)<g(0)=0，不符合条件，舍去；③当14<1m<13，即3<m<4时，存在x0∈(0,π2)，使g′(x0)=0，且x∈(0,x0)时，g′(x)<0，此时g(x)<g(0)=0，不符合条件，舍去．综上，所求的m的取值范围为(−∞,3]．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：(1)由f(x)=x(1+a+a cos x)，得f′(x)=1+a+a cos x−ax sin x，所以f(π)=π，f′(π)=1，所以曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为：y−π=x−π，即y=x．(2)当a=1时，f(x)=x(2+cos x)，则f(x)≥m sin x等价于x(2+cos x)≥m sin x，当x∈[0,π2]时，x(2+cos x)≥0，sin x≥0，当m≤0时，f(x)≥m sin x恒成立；当m>0，x∈[0,π2]时，x(2+cos x)≥m sin x恒成立等价于xm −sin x2+cos x≥0，令g(x)=xm −sin x2+cos x，则g′(x)=1m −1+2cos x(2+cos x)2，设t=cos x，则t∈[0,1]，ℎ(t)=1+2t(2+t)2，ℎ′(t)=−2(t+2)(t−1)(2+t)4=−2(t−1)(2+t)3≥0，所以ℎ(t)在[0,1]上单调递增，所以ℎ(t)的值域为[14,13 ]．①当1m ≥13，即0<m≤3时，g′(x)≥0，g(x)为[0,π2]上的增函数，所以g(x)≥g(0)=0，符合条件；②当0<1m ≤14，即m≥4时，g′(x)≤0，g(x)为[0,π2]上的减函数，所以当x∈(0,π2]时，g(x)<g(0)=0，不符合条件，舍去；③当14<1m<13，即3<m<4时，存在x0∈(0,π2)，使g′(x0)=0，且x∈(0,x0)时，g′(x)<0，此时g(x)<g(0)=0，不符合条件，舍去．综上，所求的m的取值范围为(−∞,3]．。

2021届河南省高三联考数学(理)试题(解析版)

【详解】
因为，
所以，
所以函数为奇函数，排除选项C，D；
又当时，，所以排除B.
故选：A.
【点睛】
本题考查了奇函数图象的对称性，考查了排除法，考查了根据函数解析式选择图象，考查了诱导公式，属于基础题.
7．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量 (单位： )与时间 (单位： )间的关系为 (其中，是正的常数).如果在前消除了20%的污染物，则后废气中污染物的含量是未处理前的（）
2．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简集合，根据集合的交集运算可得结果.
【详解】
因为，，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题.
3．函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则（）
A． B． C． D．
A．40%B．50%C．64%D．81%
【答案】C
【解析】根据得污染物含量得初始值为，根据得，可得。代入可得，从而可得答案.
【详解】
当时，；
当时，，即，得，
所以；
当时，，
故选：C.
【点睛】
本题考查了指数型函数的应用，属于基础题.
8．在边长为2的正方形中，为的中点，交于 .若，则（）
【答案】B
【解析】求出函数的导函数，导函数在的函数值即是切线的斜率，根据斜率求出倾斜角即可.
【详解】
由题意得，所以切线斜率，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，求切线的斜率.

河南省2020-2021学年高三10月联考数学理科试题

河南省2020-2021学年高三10月联考数学理科试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、单选题1. 设命题：：，，则为（）A．，B．，C．，D．，2. 已知集合，，则（）A．B．C．D．3. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则（）A．B．C．D．4. 中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（）A．7点36分B．7点38分C．7点39分D．7点40分5. 若，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．6. 函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．7.气的过程中污染物含量(单位：)与时间(单位：)间的关系为(其中，是正的常数).如果在前消除了20%的污染物，则后废气中污染物的含量是未处理前的（）A．40% B．50% C．64% D．81%8. 在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（）A．1B．C．D．9. 若对任意恒成立，则的最大值为（）A．2 B．3C．D．10. 若：；：，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11. 已知函数，当时，，，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为.B．函数的图象的一个对称中心为C．函数的图象的一条对称轴方程为D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到12. 已知定义在上的偶函数在区间上为减函数，且满足，，.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13. 设平面向量，，若，则的值为_____.14. 若，则______.三、双空题15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现(即时的位置)时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为(单位：)，且此时点距离水面的高度为(单位：)，则与的函数关系式为______，点第一次到达最高点需要的时间为______.四、填空题16. 已知函数()在区间上的最大值与最小值的和为8，则______.五、解答题17. 已知向量，，函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间.18. 已知函数().（1）若函数是定义在上的奇函数，求的值；（2）当时，，求实数的取值范围.19. 将一块圆心角为120°，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，如图有两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径上(图1)，或让矩形一边与弦平行(图2).对于图1和图2均记，问哪种裁法得到的矩形的面积最大？20. 已知的一个极值点为2.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.21. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求B；（2）若，AD为BC边上的中线，当的面积取得最大值时，求AD 的长.22. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.。

河南省2020届高三第十次调研考试数学(理)试题 Word版含解析

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知{}1A x Z x =∈>-，集合{}2log 2B x x =<，则A B =（）A. {}14x x -<< B. {}04x x <<C. {}0,1,2,3D. {}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】先求解集合B 再求AB 即可.【详解】{}04B x x =<<,∵{}1A x Z x =∈>-,∴{}1,2,3A B =,故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的不等式求解以及交集的运算,属于基础题. 2. 设复数()1z bi b R =+∈，且234z i =-+，则z 的虚部为（） A. 2i B. 2i -C. 2D. 2-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的充要条件求出复数z ，从而得到z 的共轭复数，即可得解；【详解】解：因为()1z bi b R =+∈ 所以221234z b bi i =-+=-+， ∴2b =，∴12z i =+，∴12z i =-，故z 的虚部为2-，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条件，属于基础题. 3. 在等比数列{}n a 中，11a =，6835127a a a a +=+，则6a 的值为（）A.127B.181C.1243D.1729【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列各项之间的关系化简6835127a a a a +=+求得13q =,再根据561a a q =⋅求解即可.【详解】设等比数列{}n a 公比为q ,则()335368353511273a a q a a q q a a a a ++===⇒=++,所以5611243a a q =⋅=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列各项之间的关系,属于基础题. 4. 如图的框图中，若输入1516x =，则输出的i 的值为（） A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图逐步计算即可. 【详解】输入1516x =,0i =,进入循环体： 15721168x =⨯-=,011i =+=,0x =判定为否； 732184x =⨯-=,112i =+=,0x =判定为否；312142x =⨯-=,213i =+=,0x =判定为否；12102x =⨯-=,314i =+=,0x =判定为是；输出4i =. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据程序框图的输入结果计算输出结果问题,属于基础题. 5. 已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则（） A. a ab c <<B. ac b c <<C. ab a c <<D.c ac b <<【答案】C 【解析】【分析】先判断,,a b c 的大致范围,再根据不等式的性质逐个判断即可.【详解】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.100.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<.对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误. 对B,因为1c b <<,故B 错误. 对C, ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误. 故选；C【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小判定以及不等式的性质.需要根据题意确定各数的范围,再逐个推导.属于基础题.6. 已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()cos x xy e e -=-D.()cos x x y e e -=+【答案】D 【解析】【分析】根据0x =时的函数值，即可选择判断. 【详解】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x x y e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及正余弦值的正负，属基础题.7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136v L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式23112v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A.227B.258C.289D.8227【答案】C 【解析】【分析】设圆锥底面半径为r ,根据圆锥的底面周长L 求得2L r π=,再代入体积公式得212L hv π=,再对照23112v L h ≈求解即可. 【详解】设圆锥底面半径为r,则22L r L r ππ=⇒=,所以22213283121129L h v r h L h πππ==≈⇒≈.故选：C.【点睛】本题主要考查了圆锥底面周长与体积等的计算.属于基础题. 8. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()32x f x =-，则()()20192020f f +=（）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性与对称性可得()f x 最小正周期4T=,再利用函数的性质将自变量转换到(]0,1x ∈求解即可.【详解】∵()()f x f x -=-,()()11f x f x -+=+,∴()()2()f x f x f x +=-=-， ∴()()()42f x f x f x +=-+=， ∴最小正周期4T=,又()00f =,∴()()()()201950541111f f f f =⨯-=-=-=-,()()()2020505400f f f =⨯==,∴()()201920201f f +=-,故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根据奇偶性推出函数的对称性,再将自变量利用性质转换到已知函数解析式的区间上求解.属于中档题.9. 甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球贏球的概率为25，则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为（）A.225B.310C. 110D.325【答案】C 【解析】【分析】分后四球胜方依次为甲乙甲甲,与乙甲甲甲两种情况进行求解即可. 【详解】分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲,概率为113123252550P =⋅⋅⋅=； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲,概率为212121252525P =⋅⋅⋅=. 所以,所求事件概率为：12110P P +=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分步与分类计数求解概率的问题,需要根据题意判断出两种情况再分别求解,属于基础题.10. 已知()1,0A x ，()2,0B x 两点是函数()2sin()1(0,(0,))f x x ωϕωϕπ=++>∈与x 轴的两个交点，且满足12min3x x π-=,现将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】【分析】根据12min3x x π-=，即可求得ω，再根据平移后函数为偶函数，即可求得ϕ.【详解】令()2sin 10x ωϕ++=，解得()1sin 2x ωϕ+=-，因为12min3x x π-=，故令21x x >，并取12711,66x x ππωϕωϕ+=+=，则()2123x x πω-=，即可求得2ω=. 此时()()2sin 21f x x ϕ=++，向左平移6π个单位得到2sin 213y x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，若其为偶函数，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得26k πϕπ=+.当0k =时，6π=ϕ. 故选：A.【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.11. 已知直线2x a =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左，右焦点分别为12,F F ，且211cos 4PF F ∠=-，则双曲线C 的渐近线方程为（）A. 15y x =B. 315y x = C. 215y = D. 15y x =或315y = 【答案】B 【解析】【详解】设直线2x a =与x 轴交点为()2,0Q a ,由题可知()2,2P a b ,()1,0F c -,()2,0F c , ∵211cos 4PF F ∠=-,故2a c >,即12e << 且21cos 4PF Q ∠=. 故22F Q a c =-,)2241152PQ F Q a c =-=-.又2PQ b =,)()()22215221524a c b a c c a-=⇒-=-,整理得221160640c ac a +-=,即21160640e e +-=.∴1611e =或4e =.又12e <<,故1611e = ∴渐近线方程为：23151y e =-=. 故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线中渐近线以及构造齐次方程求解离心率的问题.需要根据题意找到基本量,,a b c 之间的关系,再求得离心率的值进而求得渐近线方程.属于中档题.12. 已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（）A. 20,e ⎡⎤⎣⎦B. 22,e ⎡⎤⎣⎦C. []0,4D. []0,3【答案】D 【解析】【分析】首先对函数分段考虑，对k 进行分类讨论，求得函数在相应区间上的最小值满足条件，从而求得结果.【详解】1x ≤时，2()22f x x x k =-+，所以其对称轴为x k =，开口向上，当1k <时，()f x 在(,)k -∞上递减，在(,1)k 上递增，所以x k =时，()f x 有最小值()0f k ≥，解得01k ≤<，当1k时，()f x 在(,1)-∞上递减，所以当1x =时，()f x 有最小值(1)10f =≥，综上得0k ≥，当1x >时，3()(1)xf x x k e e =--+，'()()k f x x k e =-，当1k ≤时，()f x 在(1,)+∞上递增，所以3()(1)0f x f ke e >=-+≥，解得2k e ≤，所以此时1k ≤，当1k >时，()f x 在(1,)k 上递减，在(,)k +∞上递增，所以3min ()()0k f x f k e e ==-+≥，解得3k ≤，此时13k <≤，综上0k ≤≤3，即k 的取值范围是[0,3]，故选：D.【点睛】该题主要考查分段函数及不等式恒成立问题，考查学生推理论证能力及运算求解能力，将恒成立问题转化为求最值问题，考查了学生转化与化归思想及分类讨论思想.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置. 13. 已知向量()1,1a =-，向量()0,1b =，则2a b -=______. 10 【解析】【分析】根据模长的坐标运算求解即可.【详解】()()()()2221,10,21,31310a b -=--=-=+-=10【点睛】本题主要考查了向量模长的坐标运算,属于基础题. 14. 已知抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠过点()14P -,，则抛物线C 的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】【分析】代入()14P -,求解抛物线()2:,0C y mx m R m =∈≠,再化简成标准形式求解准线方程即可.【详解】由题, ()2414m m =⋅-⇒=,故221:44C y x x y =⇒=.故抛物线C 的准线方程为116y =-. 故答案为：116y =-【点睛】本题主要考查了根据抛物线上的点抛物线方程以及准线的问题.属于基础题. 15. 已知数列{}n a ，{}n b ，其中数列{}n a 满足()10n n a a n N ++=∈，前n 项和为n S 满足()2211,102n n n S n N n +-+=-∈≤；数列{}n b 满足：()12n n b b n N ++=∈，且11b =，11n n nb b n +=+，(),12n N n +∈≤，则数列{}n n a b ⋅的第2020项的值为______. 【答案】14【解析】【分析】根据()10n n a a n N ++=∈可知数列{}n a 周期为10，并根据n S 求得{}n a 在10n ≤时的通项公式.又()12n n b b n N ++=∈可知数列{}n b 周期为12，再求出1n b n=，分析{}n n a b ⋅的周期再求解即可.【详解】当1n =时,112111922a -+=-=；当2n≥时,()()221121112112211n n nn nn na nS S----+-+=-=+=--,故19,1211,210nnan n⎧=⎪=⎨⎪-≤≤⎩,又∵11b=,11n nnb bn+=+,∴()111n nnb n b+=+=(),12n N n+∈≤，所以1nbn=(),12n N n+∈≤,又数列{}n a,{}n b的公共周期为60,所以202020204040a b a b⋅=⋅,而40101a a==,40414b b==,所以20202020404014a b a b⋅=⋅=故答案为：14【点睛】本题主要考查了根据数列的前n项和与通项的关系，求解通项公式以及构造数列求通项公式的方法.同时也考查了周期数列的运用.属于中档题.16. 如图，四棱锥P ABCD-中，底面为四边形ABCD.其中ACD△为正三角形，又3DA DB DB DC DB AB⋅=⋅=⋅.设三棱锥P ABD-，三棱锥P ACD-的体积分别是12,V V，三棱锥P ABD-，三棱锥P ACD-的外接球的表面积分别是12,S S.对于以下结论：①12V V<；②12V V=；③12V V>；④12S S<；⑤12S S；⑥12S S>.其中正确命题的序号为______.【答案】①⑤【解析】【分析】设2AD=,根据DA DB DB DC⋅=⋅化简可得DB AC⊥.【详解】不妨设2AD =,又ACD △为正三角形,由3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅,得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=,即有DB AC⊥，所以30ADB CDB ∠=∠=︒.又3DB DC DB AB ⋅=⋅得()2333DB DC DB DB DA DB DB DA ⋅=⋅-=-⋅,又DB DC DB DA ⋅=⋅,故2344cos30DB DB DA DB DA =⋅=⋅⋅︒.化简可以得433DB =,∴90DAB ∠=︒,易得ABD ACD S S <△△,故12V V <.故①正确. 又由于60ADB ACD ∠=∠=︒,所以ABD △与ACD △的外接圆相同（四点共圆）,所以三棱锥P ABD -,三棱锥P ACD -的外接球相同,所以12S S .故⑤正确.故答案为：①⑤【点睛】本题主要考查了平面向量与立体几何的综合运用,需要根据平面向量的线性运算以及数量积公式求解各边的垂直以及长度关系等.同时也考查了锥体外接球的问题.属于难题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分.17. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 3A =，2B A =，8b =. （1）求边长a ；（2）已知点M 为边BC 的中点，求AM 的长度. 【答案】（1）6（2）305AM = 【解析】【分析】 (1)根据2cos 3A =可得5sin 3A =,再根据2B A =与二倍角公式求解得5sin 9B =,再利用正弦定理求解a 即可. (2)先求解得1cos 9B =-,再求解得22cos 27C =,再在ACM △中,由余弦定理求解AM 即可. 【详解】解：（1）由0A π<<,2cos 3A =,得25sin 1cos A A =-=所以5245sin sin 22sin cos 23B A A A ===⨯⨯=, 由正弦定理sin sin a b A B=,可得sin 6sin b Aa B ==. （2）2221cos cos 22cos 12139B A A ⎛⎫==-=⨯-=- ⎪⎝⎭,在ABC 中,()22cos cos sin sin cos cos 27C A B A B A B =-+=-=在ACM △中,由余弦定理得：2223052cos 9AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅=所以,305AM =【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换以及正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意确定合适的公式化简求解.属于中档题.18. 已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF ∥平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --5？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在点P 使之成立.见解析【解析】【分析】(1) 在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,进而得到MN PQ 与EF MN 即可.(2) 以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求解平面BPQ 的法向量与平面EFPQ 的法向量,再设BF a =,[]1,3a ∈,再根据二面角的计算方法分析是否存在[]1,3a ∈5即可. 【详解】解：（1）证法1：在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,易知四边形MNQP 是平行四边形,所以MN PQ ,联结,,FM MN NE ,则AE ND =,且AEND所以四边形ADNE 为矩形,故ADNE ,同理,FMBCAD且NE MF AD ==,故四边形FMNE 是平行四边形,所以EF MN ,所以EFPQ故,,,E F P Q 四点共面又EFPQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .证法2：因为直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,∴AC BD ⊥,1AA ⊥底面ABCD ,设,AC BD 交点为O ,以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则有()2,0,0A ,()0,1,0B ,()2,0,0C -,()0,1,0D -,设BF a =,[]1,3a ∈,则()2,0,1E a -,()0,1,F a ,()2,0,1P a -+,()0,1,Q a -,()2,1,1EF =-,()2,1,1QP =-,所以EFPQ ,故,,,E F P Q 四点共面.又EF PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .（2）平面EFPQ 中向量()2,1,1EF =-,()2,1,1EQ =--,设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,x y z ,则1111112020x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩,可得其一个法向量为()11,0,2n =.平面BPQ 中,()2,1,1BP a =--+,()0,2,BQ a =-,设平面BPQ 的一个法向量为()222,,n x y z =,则()2222221020x y a z y az ⎧--++=⎨-+=⎩,所以取其一个法向量()22,2,4n a a =+.若()1212225cos ,5216n n n n a a ⋅==⋅+++则()2210548a a a +=++, 即有24230a a --=,[]1,3a ∈,解得[]2321,3a =±,故不存在点P 使之成立.【点睛】本题主要考查了根据线线平行证明共面的方法,同时也考查了建立空间直角坐标系确定是否存在满足条件的点的问题.需要根据题意建立合适直角坐标系,再利用空间向量求解二面角的方法,分析是否有参数满足条件等.属于难题.19. 已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 【答案】（1）22142x y +=（2）是定值，为34.【解析】【分析】(1) 设BOE α∠=,再根据三角函数的关系可得2cos P x α=,2P y α=,进而消参求得轨迹C 的方程即可.(2) 设直线l 的方程为2x my =+再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MN OQ +,代入韦达定理求解即可. 【详解】解：方法一：（1）如图设BOE α∠=,则)22Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,2P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,2也满足.（2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l 的方程为2x my =0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由22224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222220m y my ++-= 所以121222222my y y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩,所以()2221212411m MN m m y y +==++- 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m =+222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解以及联立直线与椭圆的方程求解线段弦长与证明定值的问题,属于难题.20. 某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为12,p p . （1）若123p =，212p =，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；（2）若1243p p +=则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时12,p p 的值.【答案】（1）49（2）理论上至少要进行27轮游戏.2123p p == 【解析】【分析】(1)分①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次三种情况进行求和即可.(2)同(1),分别计算三种情况的概率化简求和,再代入1243p p +=可知221212833P p p p p =-,再设12t p p =,根据二次函数在区间上的最值方法求解可得当49t =时,max 1627P =.再根据他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ,利用二项分布的方法求解即可.【详解】解：（1）由题可知,所以可能的情况有①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次.故所求概率12212222222221112211221143322332233229P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为()()()122221222222211222122221221212121()()1()()23()()P C p p C p C p C p p C p C p p p p p p p =-+-+=+-因为1243p p +=,所以22121283()()3P p p p p =- 因为101p ≤≤,201p ≤≤,1243p p +=,所以1113p ≤≤,2113p ≤≤,又21212429p p p p +⎛⎫≤=⎪⎝⎭所以121499p p <≤,令12t p p =,以1499t <≤,则()2833P h t t t ==-+ 当49t =时,max 1627P =,他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ由max ()16np =,则27n =,所以理论上至少要进行27轮游戏.此时1243p p +=,1249p p =,2123p p == 【点睛】本题主要考查了排列组合在概率中的运用,需要根据题意分析三种情况的概率之和,再根据包含概率的函数解析式,结合二次函数与基本不等式的方法求最值即可.属于难题. 21. 已知函数()ln f x a x x a =-+，()ln g x kx x x b =--，其中,,a b k R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]1,a e ∈，任意[]1,x e ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ，当[]1,b e ∈时，b c +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】(1)求导后分0a ≤与0a >两种情况分析函数的单调性即可. (2)参变分离()()f x g x ≥与[]1,a e ∈可得1ln ln x x x x bk x+-++≤,再令()1ln ln x x x x b g x x +-++=,求导得()2ln x x bg x x-+-'=,再分析()ln p x x x b =-+-的单调性,分()10p ≥,()0p e ≤与()()10p p e <三种情况求解导函数的正负以及原函数的单调性,进而求得b c +的解析式,再求导分析单调性与范围即可. 【详解】解：（1）∵()()ln 0,f x a x x a x a R =-+>∈ ∴()1a a x f x x x-'=-=,∵0x >,a R ∈ ∴①当0a ≤时,()f x 的减区间为()0,∞+,没有增区间 ②当0a >时,()f x 的增区间为()0,a ,减区间为(),a +∞（2）原不等式()1ln ln a x x x x bk x+-++⇔≤.∵[]1,a e ∈,[]1,x e ∈,∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥, 令()()21ln ln ln x x x x b x x b g x g x x x +-++-+-'=⇒=,令()()1ln 1p x x x b p x x'=-+-⇒=-+()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；①当()10p ≥时,即1b ≤,∵[]1,b e ∈,所以1b =时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≥⇒≥, ∴()g x 在[]1,e 上递增；∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.②当()0p e ≤,即[]1,b e e ∈-时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≤⇒≤,∴()g x 在[]1,e 上递减； ∴()()min 2212,1b b c g x g e b c b e e e e ee ++⎡⎤===⇒+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ③当()()10p p e <时,又()ln p x x x b =-+-在()1,e 上递增；存在唯一实数()01,x e ∈,使得()00p x =,即00ln b x x =-，则当()01,x x ∈时()()00p x g x '⇒<⇒<. 当()0,x x e ∈时()()00p x g x '⇒>⇒>.∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===. ∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+. 令()()()11ln 10x h x x x h x h x x x -'=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增, ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈,∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭. 综上所述,22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间以及分情况讨论导函数零点以及参数范围的问题,需要根据题意构造合适的函数进行原函数单调性以及最值的分析等.属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22，23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中.曲线2C 的极坐标方程为22483sin ρθ=+. （1）求曲线1C 和曲线2C 的一般方程；（2）若曲线2C 上任意一点P ，过P 点作一条直线与曲线1C 相切，与曲线1C 交于A 点，求PA 的最大值.【答案】（1）()2211x y -+=，2211612x y +=（2）max 26AP =【解析】【分析】(1)根据圆的标准方程可得1C 的一般方程,再根据222x y ρ+=,且cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2C 化简可得2C 的一般方程.(2)易得221PA PC r =-再设点P 的坐标为()4cos ,23θθ,再利用三角函数范围以及二次函数的范围求解PA 的取值范围,进而求得max AP 即可.【详解】解：（1）曲线1C 表示圆心为()1,0,半径为1的圆.故1C 的一般方程是()2211x y -+= ∵222x y ρ+=,且cos x ρθ=,sin y ρθ=,给2222222483sin 4834483sin x y ρρρθθ=⇒+=⇒+=+. ∴曲线2C 的一般方程为2211612x y += （2）设点P 的坐标为()4cos ,23sin θθ,∵221PA PC r =-,()()()2222214cos 123sin 4cos 8cos 134cos 19PC θθθθθ=-+=-+=-+∴()24cos 1826PA θ=-+≤,即cos 1θ=-时,max 26AP = 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了设点的参数坐标求解距离的最值问题.属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 已知点(,)P x y 的坐标满足不等式：111x y -+-≤.（1）请在直角坐标系中画出由点P 构成的平面区域Ω，并求出平面区域Ω的面积S.（2）如果正数,,a b c 满足()()a c b c S ++=，求23a b c ++的最小值.【答案】（1）2；（2）4【解析】【分析】（1）根据111x y -+-≤，即可容易求得平面区域以及面积；（2）利用均值不等式即可容易求证.【详解】（1）因为111x y -+-≤，故可得当1,1x y ≤≤时，不等式等价于1x y +≥；当1,1x y ≤>时，不等式等价于1x y -≥-；当1,1x y >>时，不等式等价于3x y +≤；当1,1x y >≤时，不等式等价于1x y -≤；如图，平面区域平面区域Ω由一个正方形及其内部组成，四个顶点分别为(1,0),(2,1),(1,2),(0,1)，所以222S ==.（2）由（1）()()2a c b c ++=，而,,a b c 都为正数，所以 232()22()()4a b c a c b c a c b c ++=+++≥++=，当且仅当2()2a c b c +=+=取得最小值.【点睛】本题考查绝对值不等式表示的平面区域，以及利用均值不等式求最值，属综合基础题.。

2020届河南省顶级名校高三10月联考数学(理)试题(解析版)

2020届河南省顶级名校高三10月联考数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数z 满足2(1)1i i z-=+，则z =（）A ．B ．2C ．1D 【答案】A【解析】运用复数的除法运算法则，求出复数z 的表达式，最后利用复数求模公式，求出复数的模. 【详解】22(1)(1)22(1)1(1)111(1)(1)i i i i i i z i i i z i i i i ----⋅-=+⇒====--=--+++⋅-，所以1z i =--== A.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力. 2．已知全集{}2230U x x x =+-≤，{}3A =-，则U C A =（）A ．(](),31,-∞+∞UB ．(]3,1-C ．[)3,1-D ．[]3,1-【答案】B【解析】解不等式求得全集，结合补集运算即可求得U C A . 【详解】全集()(){}[]3103,1U x x x =+-≤=-，{}3A =-，则(]3,1U A =-ð. 故选:B. 【点睛】本题考查了补集的简单运算，属于基础题.3．已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 0.3b =，0.30.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】根据指数函数和对数函数单调性可知1b >，01a <<，01c <<；根据幂函数0.3y x=的单调性可判断出a c >，从而得到结果.【详解】0.3110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q 01a ∴<< 1122log 0.3log 0.51>=Q 1b ∴>0.3000.30.31<<=Q 01c ∴<<，则b 最大由0.3y x =在()0,∞+上单调递增可知：0.30.310.32⎛⎫> ⎪⎝⎭，即a c >c a b ∴<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小的问题，关键是能够熟练掌握初等函数的单调性，属于基础题.4．函数2()cos ln f x x x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用偶函数性质和特值可以分析出正确图像【详解】易知()()f x f x -=，()f x ∴为偶函数，()0,1x ∈时，cos 0x >，2ln 0x <．∴当()0,1x ∈时，()0f x <，故只有C 选项满足．故选：C ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数在特定区间上的正负值来排除是解决本题的关键，难度不大．5．已知向量a r ，b r 的夹角为4π，且2a =r ，2b =r ||a b -=rr （）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】根据向量()22||a b a b -=-r r r r ，可以求得||a b -rr 的值【详解】()2222||242222822a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=r r r r r r r r ．故选：B ．【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求模长的问题，是基础题．6．若曲线e 1x y =+在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（） A ．1- B ．2C ．eD ．3【答案】D【解析】先求出e 1xy =+在0x =处的切线方程2y x -=，设它在ln y x b =+的且切点坐标(),m n ，并求出,m n 的值，再代入ln y x b =+中，求出b 的值．【详解】e 1x y =+的导数为e x y '=，曲线e 1x y =+在0x =处的切线斜率为1k =，则曲线e 1x y =+在0x =处的切线方程为2y x -=，ln y x b =+的导数为1y x'=，设切点为(),m n ，则11m=，解得1m =，3n =，即有3ln1b =+，解得3b =．故选：D ．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题． 7．在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若151051510S S -=，则2020S =（） A ．0 B ．2018C ．2019-D ．2020【答案】D【解析】根据等差数列前n 项和性质可知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，进而求得等差数列的公差，即可由等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d . 151051510S S -=Q， 552d∴⨯=，解得2d =.则()20202020201920202018220202S ⨯=⨯-+⨯=.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，属于基础题. 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．83π+ B ．8π+C ．823π+ D ．8【答案】A【解析】根据三视图可知组合体的构成，根据四棱锥与圆柱的体积公式即可求解. 【详解】该几何体是由一个四棱锥和一个圆柱的一半组成的几何体，体积为211812222233V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，棱锥的体积及圆柱体积求法，属于基础题. 9．如图，已知点()2,2A 与反比例函数2y x=，在正方形ABOC 内随机取一点P ，则点P 取自图中阴影部分的概率为（）A ．ln 22B ．1ln 22+ C ．2ln 22- D ．1ln 22- 【答案】D【解析】先求得反比例函数2y x=与正方形两条边的交点，结合微积分基本定理可求得阴影部分的面积，进而结合几何概型概率求得点P 取自图中阴影部分的概率. 【详解】根据题意，设2y x=与正方形的两条边分别交于,M N ，如下图所示：由题意可得正方形的面积为4，联立22y y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩. 所以()()1,2,2,1M N ,∴阴影部分面积为2122dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()222ln 1x x =-()()42ln 220=---22ln 2=-.∴所求概率22ln 21ln 242P --==. 故选：D. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，微积分基本定理求定积分的应用，属于中档题. 10．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且43MN =C 的准线方程为（）A ．32x =-B ．2x =-C ．3x =-D ．4x =-【答案】C【解析】设AF,FB 的中点分别为D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p 的值，即得抛物线的准线方程. 【详解】设AF,FB 的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得|DE|=8,sin3π=所以|DE|=8,所以|AB|=16，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212++16,+16x x p x x p =∴=-，联立直线和抛物线的方程得22223,3504)2y pxx px p p y x ⎧=⎪∴-+=⎨=-⎪⎩，所以516-,63pp p =∴=，所以抛物线的准线方程为x=-3. 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．已知函数,0()2ln ,0x f x x x <=⎨⎪>⎩若函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点，则实数k 的取值范围（） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()0,eD ．211,2e ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】画出函数f(x)图象，在分析函数1y kx =+的图象，根据交点的个数问题，求出k 的取值范围【详解】如图，作出函数,0()2ln ,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象，函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点，则函数()f x 与函数1y kx =+的图象有且只有三个交点，函数1y kx =+图象恒过点()0,1，则直线1y kx =+在图中阴影部分内时，函数()f x 与1y kx =+有三个或两个交点．当直线1y kx =+与ln y x =的图象相切时，设切点为()00,ln x x ，切线斜率为01k x =，0001ln 1x x x =⋅+，解得20x e =，21k e ∴=．210,k e ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．故选：A.【点睛】本题考查函数与方程的知识点，利用零点个数，求参数取值范围12．已知等边ABC ∆的边长为23，,M N 分别为,AB AC 的中点，将AMN ∆沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -．点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，P 到平面MNCB 距离的最大值为（） A ．1312+ B ．131+ C ．33+ D ．35+【答案】A【解析】由题意可确定当平面AMN ⊥平面NMBC 时，四棱锥A MNCB -的体积最大；根据四棱锥外接球的性质可确定球心的位置，利用勾股定理可求得球的半径R 及球心到平面MNCB 的距离OE ，由此可知所求最大值为R OE +. 【详解】如图，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，平面AMN ⊥平面NMBC ，如图所示：ABC ∆Q 为等边三角形，60MBC ∴∠=o ，取BC 的中点E ，则E 是等腰梯形MNCB 外接圆圆心．设F 是AMN ∆的外心，作OE ⊥平面MNCB ，OF ⊥平面AMN ，则O 是四棱锥A MNCB -的外接球的球心，且32OF DE ==，213AF AD ==．设四棱锥A MNCB -的外接球半径R ，则222134R AF OF =+=，解得：13R =又1 2OE DF AD AF==-=，∴当四棱锥A MNCB-的体积最大时，P到平面MNCB距离的最大值为：1312R OE++=.故选：A.【点睛】本题考查立体几何中几何体外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球的性质确定球心的位置，即球心必为过棱锥底面和侧面的外接圆圆心且垂直于底面和侧面的直线的交点的位置.二、填空题13．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组()2222411x yxx y⎧+≤⎪⎪≤⎨⎪++≥⎪⎩或()2211x y+-≤来表示，设(),x y是阴影中任意一点，则z x y=+的最大值为______.【答案】12【解析】将目标函数z x y=+对应的基准直线y x=-向上平移到阴影部分的边界位置，根据圆心()0,1到直线0x y z+-=的距离等于1列方程，由此求得z的最大值.【详解】根据线性规划的知识，将目标函数z x y=+对应的基准直线y x=-向上平移到阴影部分的边界位置，即直线0x y z+-=与圆()2211x y+-=在第一象限部分相切时，z取得最大值. 根据圆心()0,1到直线0x y z+-=的距离等于1()1102zz-=>，解得12z =+.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查线性规划求最大值，属于基础题.14．某校举行歌唱比赛，高一年级从6名教师中选出3名教师参加，要求李老师，王老师两名老师至少有一人参加，则参加的三名老师不同的唱歌顺序的种数为________.(用数字作答) 【答案】96【解析】先从6人中任选3人，扣除没有李老师、王老师参加的情况，即为至少有一人参加的情况；再将选出的3人全排列，即可求解. 【详解】第一步：先任选3人有36C 种，没有李老师、王老师参加的为34C ，则李老师与王老师至少有一人参加的有336420416C C -=-=种；第二步，将3人排序，有336A =种.故不同发言顺序的种数为16696⨯=. 故答案为：96. 【点睛】本题考查了排列组合问题的简单应用，对立事件的应用，属于基础题. 15．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>满足24f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()0f π=，且()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的值有_________个.【答案】9 【解析】由24f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()0f π=，结合正弦函数图像的特征可知3424T kT π+=（k ∈N ），由正弦函数最小正周期公式可得()2123k ω+=，因为()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调可得ω范围，从而求出k 的整数解的个数，得到ω值的个数．【详解】由题意知函数()f x 的周期T ，由24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f π=，结合正弦函数图像的特征可知3424T kT π+=，k ∈N ，故312T k π=+，()2123k ω+=，k ∈N ；又因为()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以342T ππ-<，故6T π>，所以212T πω=<，即()212123k +<，∴172k <，k ∈N ，∴0,1,2,8k =L 符合条件的ω的值有9个. 【点睛】本题考查正弦函数图像的特点，最小正周期的公式，熟练掌握正弦函数图像是解题关键，属于中档题．16．已知双曲线()2222:10.0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为1A 、2A ，右焦点为1F ，B 为虚轴的上端点，在线段1BF 上(不含端点)有且只有一点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线离心率为________.【解析】根据右焦点1F 和上端点B ，可得直线1BF 的方程.由题意可知直线1BF 与以12A A 为直径的圆相切且切点为P ，由切线性质及点到直线距离公式可得,,a b c 关系，结合双曲线中满足222+=a b c ，即可得,a c 的齐次式方程，求得双曲线的离心率. 【详解】由题意()1,0F c ，()0,B b ，则直线1BF 的方程为0bx cy bc +-=，在线段1BF 上（不含端点）有且只有一点满足120PA PA ⋅=u u u r u u u u r，则直线1BF 与以12A A 为直径的圆相切，切点为P ，则1PO BF ⊥，且PO a =.a ∴=22222b c a b c=+. 222a b c +=Q ，422430c a c a ∴-+=，42310e e -+=.解得2e =e ∴=. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，直线与圆位置关系的应用，利用齐次式求双曲线的离心率，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知sin 2sin b A c B =，4a =，1cos 4B =．（1）求b 的值；（2）求cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）4（2【解析】利用正弦定理边弦的关系，将sin 2csin b A B =转化为2ab bc =，结合已知条件，求得b 值；根据cosB 的值，求sin2B,cos2B 的值，结合余弦两角和公式，求cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【详解】解：（1）由sin 2csin b A B =，得2ab bc =，即2a c =．4a =Q ，2c ∴=．由余弦定理，得2221cos 42a c b B ac +-==．211644242b +-∴=⨯⨯，解得4b =．（2）1cos 4B =Q ，15sin B ∴=，则15sin 22sin cos B B B ==，27cos 22cos 18B B =-=-．357cos 2cos 2cos sin 2sin 333B B B πππ-⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭．【点睛】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，及两角差余弦公式求值，属于中等题. 18．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，P 为梯形ABCD 外一点，且PC ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面ACP ；（2）当二面角C BP D --的平面角的余弦值为31313时，求这个四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）见解析；（2）34【解析】（1）梯形ABCD 中，由线段关系及角度关系可证明BC AC ⊥.根据PC ⊥平面ABCD ，可知PC BC ⊥，由线面垂直判定定理即可证明BC ⊥平面ACP ；（2）在ADC ∆中由余弦定理求得AC ，建立空间直角坐标系，设CP h =，写出各个点的坐标，并求得平面BDP 的法向量n r 和平面BCP 的法向量m u r，根据空间向量的数量积运算及二面角C BP D --313h 的值，进而求得四棱锥P ABCD -的体积. 【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CB =，60BAD ABC ∴∠=∠=︒，120ADC BCD ∴∠=∠=︒. 1AD DC ==Q ，30CAD ACD ∴∠=∠=︒， 90ACB ∴∠=︒，BC AC ∴⊥.PC ⊥Q 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PC BC ∴⊥.又AC PC C =I ，BC ∴⊥平面ACP .（2）在ADC ∆中，2222cos 3AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠=，AC ∴以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系. 设CP h =，则()0,0,0C，)A，()0,1,0B，1,022D ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,0,P h ，则3,,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,1,BP h =-u u u r.设平面BDP 的法向量(),,n x y z =r，则00n BD n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即3020x y y hz -=⎪-+=⎩.取1z =，得),,1n h =r ，平面BCP 的一个法向量()1,0,0m =u r.Q 二面角C BP D --cos ,m n m n m n ⋅∴===u r ru r r u r r解得h =CD =()1113123324P ABCD ABCD V P ABCD S PC -∴⨯-=⨯⨯=⨯⨯+=四棱锥梯形.【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定定理，已知二面角大小并利用空间向量法求线段长，四棱锥体积求法，属于中档题.19．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的上顶点为A ，以A 为圆心椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别为()0,3，()0,1-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）直线l 过定点，该定点的坐标为30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】利用椭圆性质，求椭圆的方程；根据题中要求，先将直线QA,PA 方程设出来，再与椭圆联立方程，分别求出Q,P 两点坐标，根据P,Q 写出直线方程l,然后分析它的定点问题【详解】解：（1）依题意知点A 的坐标为()0,b ，则以点A 圆心，以a 为半径的圆的方程为222()x y b a +-=令0x =得y b a =±，由圆A 与y 轴的交点分别为()0,3，()0,1-，可得31b a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由0AP AQ ⋅=得AP AQ ⊥，可知PA 的斜率存在且不为0．设直线:1PA l y kx =+①，则1:1QA l y x k=-+②．将①代入椭圆方程并整理，得()221480kxkx ++=，可得2814P kx k =-+，则221414P k y k-=+ 同理，可得284Q k x k =+，2244Q k y k -=+．由直线方程的两点式，得直线l 的方程为21355k y x k -=-，即直线l 过定点，该定点的坐标为3 0,5⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考核利用椭圆的性质椭圆方程以及直线恒过定点问题20．设函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ记函数的最小值为，证明：．【答案】（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）详见解析.【解析】（I）对函数求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；（II）由（I）先得到，要证，即证明，即证明，构造函数，用导数的方法求函数的最小值即可.【详解】（Ⅰ）显然的定义域为．．∵，，∴若，，此时，在上单调递减；若，，此时，在上单调递增；综上所述：在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，即：．要证，即证明，即证明，令，则只需证明，∵，且，∴当，，此时，在上单调递减；当，，此时，在上单调递增，∴．∴．∴．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.21．超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有()*n n N∈份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k ∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01p p <<现取其中k （*k N ∈且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ（1）运用概率统计的知识，若()()12E E ξξ=，试求关于k 的函数关系式()p f k =；（2）若p 与抗生素计量n x 相关，其中()12,,,2n x x x n ≥L 是不同的正实数，满足11x =，对任意的()*2n N n ∈≥，都有1222113221121n n n i i i x x x e x x x x --=+-⋅=-∑ （i ）证明：{}n x 为等比数列；（ii）当1p =比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈，【答案】（1）()111kf k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（*k N ∈，且2k ≥）；（2）（i ）见解析，（ii ）4【解析】（1）易知若取k 份血液样本则()1E k ξ=；2ξ的所有可能取值为1，1k +，根据概率公式可表示出()2E ξ.结合()()12E E ξξ=，化简即可关于k 的函数关系式()p f k =；（2）（i ）根据当2n =时12222213221221x x x e x x x x --⋅=-成立，则由数学归纳法即可证明{}n x 为等比数列.（ii ）根据（i）可得11p ==，()()12E E ξξ>，化简可得1ln 3k k >，构造函数()()1ln 03f x x x x =->，求得导函数()'f x ，可通过()'f x 的符号判断函数单调性，结合参考数据，即可求得k 的最大值. 【详解】（1）由已知得()1E k ξ=；2ξ的所有可能取值为1，1k +，()()211kP p ξ∴==-，()()2111kP k p ξ=+=--.()()()()()2111111k k kE p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦.若()()12E E ξξ=，则()11kk k k p =+--，()11kp k-=， 111kp k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，111kp k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.p ∴关于k 的函数关系式为()111kf k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（*k N ∈，且2k ≥）.（2）（i ）证明：当2n =时，12222213221221x x x e x x x x --⋅=-， 1231x e x ∴=，令12310x q e x ==>，则1q ≠， 11x =Q ，∴下面证明对任意的正整数n ，13n nx e-=.①当1n =，2时，显然成立； ②假设对任意的n k =时，13k kx e-=，下面证明1n k =+时，31k k xe +=：由题意，得12221113221121kk k i i i x x x e x x x x -++=+-⋅=-∑，12213121223113111111k k k k k k x e xx x x x x x x x e -++-+⎛⎫-∴⋅++++= ⎪⎝⎭-L ， 12311312213121113331111k e k k k k x e e x e e x e --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-++---+⎧⎫⎪⎪-⎪⎪∴+=⎨⎬⎪⎪-⋅⎪⎪⎩⎭⋅，()21231213122133111k k kk k x e x e xee --+-++-⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭+⋅=-，2(1)2233331110k kk k k exe e x ----+++⎛⎫∴⋅+-⋅-= ⎪⎝⎭， 233311110k k k k e x ex --+++⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 31k k x e +∴=或2331k k x e -+=-（负值舍去）.31kk x e +∴=成立.∴由①②可知，{}n x 为等比数列，13n nx e-=.（ii ）由（i）知，11p ==，()()12E E ξξ>， ()11kk k k p ∴>+--，得()11kk p k <-=，1ln 3k k ∴>.设()()1ln 03f x x x x =->，()33x f x x-'=， ∴当3x ≥时，()0f x '<，即()f x 在[)3,+∞上单调减.又ln 4 1.3863≈，41.33333≈， 4ln 43∴>；ln5 1.6094≈，51.66673≈，5ln 53∴<.k ∴的最大值为4.【点睛】本题考查了离散型随机变量概率的求法，数学归纳法在证明中的综合应用，构造函数并通过导数判断单调性，求得最值后确定参数的取值范围，综合性较强，文字多，对分析问题、解决问题能力要求高，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值．【答案】（1）24cos 120ρρθ--=（2）AB =【解析】试题分析：（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将6πθ=代入24cos 16ρρθ-=，可得20ρ--=１２，设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ρρ是方程2120ρ--=的两根，利用12AB ρρ=-求解即可．试题解析：（1）将方程424x cosa y sina=+⎧⎨=⎩消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x cos x y ，ρρθ+==代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 12ρρθ-=．（2）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由24cos 166ρρθπθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩消去θ得2120ρ--=，根据题意可得12,ρρ是方程2160ρ--=的两根，∴121216ρρρρ+==-，∴12AB ρρ=-==．23．已知0a >，0b >，且1a b +=.（1）若ab m ≤恒成立，求m 的取值范围；（2）)若41212x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围. 【答案】（1）14m ≥（2）[]6,12- 【解析】（1）由已知根据基本不等式得2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，再由不等式的恒成立的思想：ab m ≤恒成立，则需()max m ab ≥得所求范围；（2）根据基本不等式得()41419a b a b a b ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，再根据不等式恒成立的思想得到绝对值不等式2129x x --+≤，运用分类讨论法可求出不等式的解集.【详解】（1）0a >，0b >，且1a b +=，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时“=”成立，由ab m ≤恒成立，故14m ≥. （2）∵(),0,a b ∈+∞，1a b +=，∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，故若41212x x a b +≥--+恒成立，则2129x x --+≤，当2x -≤时，不等式化为1229x x -++≤，解得62x -≤≤-，当122x -<<，不等式化为1229x x ---≤，解得122x -<<，当12x ≥时，不等式化为2129x x ---≤，解得1122x ≤≤. 综上所述，x 的取值范围为[]6,12-.【点睛】本题综合考查运用基本不等式求得最值，利用不等式的恒成立的思想建立相应的不等关系，分类讨论求解绝对值不等式，属于中档题.。

河南省2021届高三10月联考试题数学(理)Word版含答案

2021～2021学年高三10月质量检测理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两局部。

总分值150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内工程填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.设命题p ：∀x<－1，x 2＋2π>0，那么⌝p 为 A.∃x 0<－1，x 02＋0x 2≤0 B.∃x 0≥－1，x 02＋0x 2≤0 C.∀x<－1，x 2＋x 2≤0 D.∀x ≥－1，x 2＋x 2≤0 ＝{x|lnx<0}，N ＝{x|x ≤12}，那么M ∩N ＝ A.∅ B{x|≤12} C.{x|x<1}D.{x|0<x ≤12} 3.函数f(x)＝xlnx －x 3的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，那么tanα＝A.－1B.－2C.－3D.－4“焦点访谈〞是时事、政治评论性较强的一个节目，坚持用“事实说话〞，深受广阔人民群众的喜爱，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间〞，即晚上7点半到8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦〞之意，比喻时事、政治的“焦点〞，那么这个时刻大约是＝3512⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝351log 2，那么以下结论正确的选项是 A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a6.函数f(x)＝2cos sin 1x x x x ++的局部图象大致为 7.企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P ＝P 0e －kt (其中P 0，k 是正的常数)。

河南省商丘市驻马店市周口市部分学校联考2020-2021学年高三10月质量检测理科数学试题及答案‘

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2020届河南省顶级名校高三10月联考数学理科试题

2020届河南省顶级名校高三10月联考数学理科试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数z 满足2(1)1i i z-=+，则z =（）AB ．2C ．1D 2．已知全集{}2230U x x x =+-≤，{}3A =-，则U C A =（）A ．(](),31,-∞+∞B ．(]3,1-C ．[)3,1-D ．[]3,1-3．已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log 0.3b =，0.30.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<4．函数2()cos ln f x x x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知向量a ，b 的夹角为4π，且2a =，22b =，则||a b -=（） A ．1B ．2C ．4D ．66．若曲线e 1x y =+在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（） A ．1-B ．2C ．eD ．37．在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若151051510S S -=，则2020S =（） A ．0B ．2018C ．2019-D ．20208．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．83π+ B ．8π+C ．823π+ D ．89．如图，已知点()2,2A 与反比例函数2y x=，在正方形ABOC 内随机取一点P ，则点P 取自图中阴影部分的概率为（）A ．ln 22B ．1ln 22+ C ．2ln 22- D ．1ln 22- 10．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N，且MN =C 的准线方程为（）A ．32x =-B ．2x =-C ．3x =-D ．4x =-11．已知函数0()ln ,0x f x x x <=⎪>⎩若函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点，则实数k 的取值范围（） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()0,eD ．211,2e ⎛⎫-⎪⎝⎭ 12．已知等边ABC ∆的边长为,M N 分别为,AB AC 的中点，将AMN ∆沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -．点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，P 到平面MNCB 距离的最大值为（） AB1+ C．3+D．3二、填空题13．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组()22224011x y x x y ⎧+≤⎪⎪≤⎨⎪++≥⎪⎩或()2211x y +-≤来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则z x y =+的最大值为______.14．某校举行歌唱比赛，高一年级从6名教师中选出3名教师参加，要求李老师，王老师两名老师至少有一人参加，则参加的三名老师不同的唱歌顺序的种数为________.(用数字作答)15．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>满足24f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()0f π=，且()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的值有_________个. 16．已知双曲线()2222:10.0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为1A 、2A ，右焦点为1F ，B为虚轴的上端点，在线段1BF 上(不含端点)有且只有一点P 满足120PA PA ⋅=，则双曲线离心率为________.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知sin 2sin b A c B =，4a =，1cos 4B =．（1）求b 的值；（2）求cos 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 18．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，P 为梯形ABCD 外一点，且PC ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面ACP ；（2）当二面角C BP D --的平面角的余弦值为13时，求这个四棱锥P ABCD -的体积.19．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的上顶点为A ，以A 为圆心椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别为()0,3，()0,1-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由． 20．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x-=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．21．超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有()*n n N∈份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k ∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01p p <<现取其中k （*k N ∈且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ（1）运用概率统计的知识，若()()12E E ξξ=，试求关于k 的函数关系式()p f k =；（2）若p 与抗生素计量n x 相关，其中()12,,,2n x x x n ≥是不同的正实数，满足11x =，对任意的()*2n N n ∈≥，都有1222113221121n n n i i i x x x e x x x x --=+-⋅=-∑ （i ）证明：{}n x 为等比数列；（ii ）当1p =采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈， 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB 的值． 23．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）若ab m ≤恒成立，求m 的取值范围；（2）)若41212x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围.参考答案1．A 【分析】运用复数的除法运算法则，求出复数z 的表达式，最后利用复数求模公式，求出复数的模. 【详解】22(1)(1)22(1)1(1)111(1)(1)i i i i i i z i i i z i i i i ----⋅-=+⇒====--=--+++⋅-，所以1z i =--== A.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力. 2．B 【分析】解不等式求得全集，结合补集运算即可求得U C A . 【详解】全集()(){}[]3103,1U x x x =+-≤=-，{}3A =-，则(]3,1UA =-.故选:B. 【点睛】本题考查了补集的简单运算，属于基础题. 3．B 【分析】根据指数函数和对数函数单调性可知1b >，01a <<，01c <<；根据幂函数0.3y x =的单调性可判断出a c >，从而得到结果. 【详解】0.3110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭01a ∴<<1122log 0.3log 0.51>= 1b ∴>0.3000.30.31<<= 01c ∴<<，则b 最大由0.3y x =在()0,∞+上单调递增可知：0.30.310.32⎛⎫> ⎪⎝⎭，即a c >c a b ∴<<本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小的问题，关键是能够熟练掌握初等函数的单调性，属于基础题. 4．C 【分析】利用偶函数性质和特值可以分析出正确图像【详解】易知()()f x f x -=，()f x ∴为偶函数，()0,1x ∈时，cos 0x >，2ln 0x <．∴当()0,1x ∈时，()0f x <，故只有C 选项满足．故选：C ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数在特定区间上的正负值来排除是解决本题的关键，难度不大． 5．B 【分析】根据向量()22||a b a b -=-，可以求得||a b -的值【详解】()222||24222a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积求模长的问题，是基础题．【分析】先求出e 1xy =+在0x =处的切线方程2y x -=，设它在ln y x b =+的且切点坐标(),m n ，并求出,m n 的值，再代入ln y x b =+中，求出b 的值．【详解】e 1x y =+的导数为e x y '=，曲线e 1x y =+在0x =处的切线斜率为1k =，则曲线e 1x y =+在0x =处的切线方程为2y x -=，ln y x b =+的导数为1y x'=，设切点为(),m n ，则11m=，解得1m =，3n =，即有3ln1b =+，解得3b =．故选：D ．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题． 7．D 【分析】根据等差数列前n 项和性质可知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，进而求得等差数列的公差，即可由等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d . 151051510S S -=， 552d∴⨯=，解得2d =.则()20202020201920202018220202S ⨯=⨯-+⨯=.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，属于基础题.【分析】根据三视图可知组合体的构成，根据四棱锥与圆柱的体积公式即可求解. 【详解】该几何体是由一个四棱锥和一个圆柱的一半组成的几何体，体积为211812222233V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体三视图的简单应用，棱锥的体积及圆柱体积求法，属于基础题. 9．D 【分析】先求得反比例函数2y x=与正方形两条边的交点，结合微积分基本定理可求得阴影部分的面积，进而结合几何概型概率求得点P 取自图中阴影部分的概率. 【详解】根据题意，设2y x=与正方形的两条边分别交于,M N ，如下图所示：由题意可得正方形的面积为4，联立22y y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩. 所以()()1,2,2,1M N ,∴阴影部分面积为2122dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()222ln 1x x =-()()42ln 220=---22ln 2=-.∴所求概率22ln 21ln 242P --==. 故选：D. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，微积分基本定理求定积分的应用，属于中档题. 10．C 【解析】【分析】设AF,FB 的中点分别为D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p 的值，即得抛物线的准线方程. 【详解】设AF,FB 的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得|DE|=8,sin3π=所以|DE|=8,所以|AB|=16，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212++16,+16x x p x x p =∴=-，联立直线和抛物线的方程得22223,3504)2y pxx px p p y x ⎧=⎪∴-+=⎨=-⎪⎩，所以516-,63pp p =∴=，所以抛物线的准线方程为x=-3. 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11．A 【分析】画出函数f(x)图象，在分析函数1y kx =+的图象，根据交点的个数问题，求出k 的取值范围【详解】如图，作出函数,0()2ln ,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象，函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点，则函数()f x 与函数1y kx =+的图象有且只有三个交点，函数1y kx =+图象恒过点()0,1，则直线1y kx =+在图中阴影部分内时，函数()f x 与1y kx =+有三个或两个交点．当直线1y kx =+与ln y x =的图象相切时，设切点为()00,ln x x ，切线斜率为01k x =，0001ln 1x x x =⋅+，解得20x e =，21k e ∴=．210,k e ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭．故选：A.【点睛】本题考查函数与方程的知识点，利用零点个数，求参数取值范围 12．A 【分析】由题意可确定当平面AMN ⊥平面NMBC 时，四棱锥A MNCB -的体积最大；根据四棱锥外接球的性质可确定球心的位置，利用勾股定理可求得球的半径R 及球心到平面MNCB 的距离OE ，由此可知所求最大值为R OE +. 【详解】如图，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，平面AMN ⊥平面NMBC ，如图所示：ABC ∆为等边三角形，60MBC ∴∠=，取BC 的中点E ，则E 是等腰梯形MNCB 外接圆圆心．设F 是AMN ∆的外心，作OE ⊥平面MNCB ，OF ⊥平面AMN ，则O 是四棱锥A MNCB -的外接球的球心，且32OF DE ==，213AF AD ==．设四棱锥A MNCB -的外接球半径R ，则222134R AF OF =+=，解得：2R =又12OE DF AD AF ==-=， ∴当四棱锥A MNCB -的体积最大时，P 到平面MNCB 距离的最大值为：12R OE +=. 故选：A . 【点睛】本题考查立体几何中几何体外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球的性质确定球心的位置，即球心必为过棱锥底面和侧面的外接圆圆心且垂直于底面和侧面的直线的交点的位置.13．1【分析】将目标函数z x y =+对应的基准直线y x =-向上平移到阴影部分的边界位置，根据圆心()0,1到直线0x y z +-=的距离等于1列方程，由此求得z 的最大值.【详解】根据线性规划的知识，将目标函数z x y =+对应的基准直线y x =-向上平移到阴影部分的边界位置，即直线0x y z +-=与圆()2211x y +-=在第一象限部分相切时，z 取得最大值.根据圆心()0,1到直线0x y z +-=的距离等于1()10z =>，解得1z =+【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查线性规划求最大值，属于基础题. 14．96 【分析】先从6人中任选3人，扣除没有李老师、王老师参加的情况，即为至少有一人参加的情况；再将选出的3人全排列，即可求解. 【详解】第一步：先任选3人有36C 种，没有李老师、王老师参加的为34C ，则李老师与王老师至少有一人参加的有336420416C C -=-=种；第二步，将3人排序，有336A =种.故不同发言顺序的种数为16696⨯=. 故答案为：96. 【点睛】本题考查了排列组合问题的简单应用，对立事件的应用，属于基础题. 15．9 【解析】【分析】由24f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()0f π=，结合正弦函数图像的特征可知3424T kT π+=（k ∈N ），由正弦函数最小正周期公式可得()2123k ω+=，因为()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调可得ω范围，从而求出k 的整数解的个数，得到ω值的个数．【详解】由题意知函数()f x 的周期T ，由24f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()0f π=，结合正弦函数图像的特征可知3424T kT π+=，k ∈N ，故312T k π=+，()2123k ω+=，k ∈N ；又因为()f x 在区间,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以342T ππ-<，故6T π>，所以212T πω=<，即()212123k +<，∴172k <，k ∈N ，∴0,1,2,8k =符合条件的ω的值有9个.【点睛】本题考查正弦函数图像的特点，最小正周期的公式，熟练掌握正弦函数图像是解题关键，属于中档题．16 【分析】根据右焦点1F 和上端点B ，可得直线1BF 的方程.由题意可知直线1BF 与以12A A 为直径的圆相切且切点为P ，由切线性质及点到直线距离公式可得,,a b c 关系，结合双曲线中满足222+=a b c ，即可得,a c 的齐次式方程，求得双曲线的离心率.【详解】由题意()1,0F c ，()0,B b ，则直线1BF 的方程为0bx cy bc +-=，在线段1BF 上（不含端点）有且只有一点满足120PA PA ⋅=，则直线1BF 与以12A A 为直径的圆相切，切点为P ，则1PO BF ⊥，且PO a =.a ∴=22222b c a b c=+. 222a b c +=，422430c a c a ∴-+=，42310e e -+=.解得232e +=，12e +∴=.. 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，直线与圆位置关系的应用，利用齐次式求双曲线的离心率，属于中档题. 17．（1）4（2）716【分析】利用正弦定理边弦的关系，将sin 2csin b A B =转化为2ab bc =，结合已知条件，求得b 值；根据cosB 的值，求sin2B,cos2B 的值，结合余弦两角和公式，求cos 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【详解】解：（1）由sin 2csin b A B =，得2ab bc =，即2a c =．4a =，2c ∴=．由余弦定理，得2221cos 42a c b B ac +-==．211644242b +-∴=⨯⨯，解得4b =．（2）1cos 4B =，sin 4B ∴=，则sin 22sin cos 8B B B ==27cos 22cos 18B B =-=-．cos 2cos 2cos sin 2sin 333B B B πππ⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭．【点睛】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，及两角差余弦公式求值，属于中等题. 18．（1）见解析；（2）34【分析】（1）梯形ABCD 中，由线段关系及角度关系可证明BC AC ⊥.根据PC ⊥平面ABCD ，可知PC BC ⊥，由线面垂直判定定理即可证明BC ⊥平面ACP ；（2）在ADC ∆中由余弦定理求得AC ，建立空间直角坐标系，设CP h =，写出各个点的坐标，并求得平面BDP 的法向量n 和平面BCP 的法向量m ，根据空间向量的数量积运算及二面角C BP D --的平面角的余弦值为13，即可求得h 的值，进而求得四棱锥P ABCD -的体积.【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CB =，60BAD ABC ∴∠=∠=︒， 120ADC BCD ∴∠=∠=︒. 1AD DC ==，30CAD ACD ∴∠=∠=︒， 90ACB ∴∠=︒，BC AC ∴⊥.PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PC BC ∴⊥.又ACPC C =，BC ∴⊥平面ACP .（2）在ADC ∆中，2222cos 3AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠=，AC ∴以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系. 设CP h =，则()0,0,0C，)A，()0,1,0B，1,02D ⎫-⎪⎝⎭，()0,0,P h ，则33,,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,BP h =-.设平面BDP 的法向量(),,n x y z =，则00n BD nBP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即302x y y hz -=⎪-+=⎩.取1z =，得()3,,1n h h =，平面BCP 的一个法向量()1,0,0m =. 二面角C BP D --的平面角的余弦值为13，3cos ,4mn m n m nh ⋅∴===解得h =CD =()1113123324P ABCD ABCD V P ABCD S PC -∴⨯-=⨯⨯=⨯⨯+=四棱锥梯形.【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定定理，已知二面角大小并利用空间向量法求线段长，四棱锥体积求法，属于中档题.19．（1）2214x y +=（2）直线l 过定点，该定点的坐标为30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用椭圆性质，求椭圆的方程；根据题中要求，先将直线QA,PA 方程设出来，再与椭圆联立方程，分别求出Q,P 两点坐标，根据P,Q 写出直线方程l,然后分析它的定点问题【详解】解：（1）依题意知点A 的坐标为()0,b ，则以点A 圆心，以a 为半径的圆的方程为222()x y b a +-=令0x =得y b a =±，由圆A 与y 轴的交点分别为()0,3，()0,1-，可得31b a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由0AP AQ ⋅=得AP AQ ⊥，可知PA 的斜率存在且不为0．设直线:1PA l y kx =+①，则1:1QA l y x k=-+②．将①代入椭圆方程并整理，得()221480k x kx ++=，可得2814P k x k =-+，则221414P k y k-=+ 同理，可得284Q k x k =+，2244Q k y k -=+．由直线方程的两点式，得直线l 的方程为21355k y x k -=-，即直线l 过定点，该定点的坐标为30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考核利用椭圆的性质椭圆方程以及直线恒过定点问题20．（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【分析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；（II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减；若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增；综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--，即：()1ln g a a a a a=--．要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a '-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减；当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->． ∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.21．（1）()111kf k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（*k N ∈，且2k ≥）；（2）（i ）见解析，（ii ）4【分析】（1）易知若取k 份血液样本则()1E k ξ=；2ξ的所有可能取值为1，1k +，根据概率公式可表示出()2E ξ.结合()()12E E ξξ=，化简即可关于k 的函数关系式()p f k =；（2）（i ）根据当2n =时12222213221221x x x e x x x x --⋅=-成立，则由数学归纳法即可证明{}n x 为等比数列.（ii ）根据（i）可得11p ==，()()12E E ξξ>，化简可得1ln 3k k >，构造函数()()1ln 03f x x x x =->，求得导函数()'f x ，可通过()'f x 的符号判断函数单调性，结合参考数据，即可求得k 的最大值. 【详解】（1）由已知得()1E k ξ=；2ξ的所有可能取值为1，1k +，()()211kP p ξ∴==-，()()2111kP k p ξ=+=--.()()()()()2111111k k kE p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦.若()()12E E ξξ=，则()11kk k k p =+--，()11kp k-=， 111kp k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，111kp k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.p ∴关于k 的函数关系式为()111kf k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（*k N ∈，且2k ≥）.（2）（i ）证明：当2n =时，12222213221221x x x e x x x x --⋅=-， 1231x e x ∴=，令12310x q e x ==>，则1q ≠， 11x =，∴下面证明对任意的正整数n ，13n nx e-=.①当1n =，2时，显然成立； ②假设对任意的n k =时，13k kx e-=，下面证明1n k =+时，31k k xe +=：由题意，得12221113221121kk k i i i x x x e x x x x -++=+-⋅=-∑，12213121223113111111k k k k k k x e xx x x x x x x x e -++-+⎛⎫-∴⋅++++= ⎪⎝⎭-，12311312213121113331111k e k k k k x e e x e e x e --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-++---+⎧⎫⎪⎪-⎪⎪∴+=⎨⎬⎪⎪-⋅⎪⎪⎩⎭⋅，()21231213122133111k k k k k x e x e x e e --+-++-⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭+⋅=-， 2(1)2233331110k kk k k exe e x ----+++⎛⎫∴⋅+-⋅-= ⎪⎝⎭， 233311110k k k k e x e x --+++⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 31k k x e +∴=或2331k k x e -+=-（负值舍去）.31kk x e +∴=成立.∴由①②可知，{}n x 为等比数列，13n nx e-=.（ii ）由（i）知，11p ==，()()12E E ξξ>， ()11kk k k p ∴>+--，得()11kkp k <-=，1ln 3k k ∴>.设()()1ln 03f x x x x =->，()33x f x x-'=， ∴当3x ≥时，()0f x '<，即()f x 在[)3,+∞上单调减.又ln 4 1.3863≈，41.33333≈， 4ln 43∴>；ln5 1.6094≈，51.66673≈，5ln 53∴<.k ∴的最大值为4.【点睛】本题考查了离散型随机变量概率的求法，数学归纳法在证明中的综合应用，构造函数并通过导数判断单调性，求得最值后确定参数的取值范围，综合性较强，文字多，对分析问题、解决问题能力要求高，属于难题.22．（1）24cos 120ρρθ--=；（2）||AB =【分析】（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将6πθ=代入24cos 12ρρθ-=，可得2120ρ--=，设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ρρ是方程2120ρ--=的两根，利用12||AB ρρ=-求解即可．【详解】（1）将方程4cos 24sin x a y a=+⎧⎨=⎩消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222,cos x y x ρρθ+==代入上式可得24cos 12ρρθ-=，∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 12ρρθ-=．（2）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由24cos 126ρρθπθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩消去θ得2120ρ--=，根据题意可得12,ρρ是方程2120ρ--=的两根，∴121212ρρρρ+==-， ∴12||AB ρρ=-==．【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，弦长公式，属于中档题. 23．（1）14m ≥（2）[]6,12- 【分析】（1）由已知根据基本不等式得2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭，再由不等式的恒成立的思想：ab m ≤恒成立，则需()max m ab ≥得所求范围；（2）根据基本不等式得()41419a b a b a b ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，再根据不等式恒成立的思想得到绝对值不等式2129x x --+≤，运用分类讨论法可求出不等式的解集. 【详解】（1）0a >，0b >，且1a b +=，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时“=”成立，由ab m ≤恒成立，故14m ≥. （2）∵(),0,a b ∈+∞，1a b +=，∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，故若41212x x a b +≥--+恒成立，则2129x x --+≤，当2x -≤时，不等式化为1229x x -++≤，解得62x -≤≤-，当122x -<<，不等式化为1229x x ---≤，解得122x -<<，当12x ≥时，不等式化为2129x x ---≤，解得1122x ≤≤. 综上所述，x 的取值范围为[]6,12-. 【点睛】本题综合考查运用基本不等式求得最值，利用不等式的恒成立的思想建立相应的不等关系，分类讨论求解绝对值不等式，属于中档题.。

河南省2021届高三10月联考试题+物理含答案

2020～2021学年高三10月质量检测物理考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分100分，考试时间90分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.本卷命题范围：人教版必修1。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

1.单位制是物理学的重要组成部分，统一单位制使不同国家和地区的人们交流更方便。

关于单位制，下列说法正确的是A.力的国际单位1N＝1kg·m·s－2B.所有的物理量都有单位C.国际制单位一定都是基本单位D.力学范围内的三个基本单位是长度、质量、时间2.如图所示，在重大节日或活动现场会燃放大型的礼花烟火。

假设礼花弹从炮筒中竖直向上射出时的初速度是60m/s，上升过程中所受的阻力大小始终与自身重力相等，重力加速度g取10m/s2，则礼花弹从射出到最高点所用的时间和离地面的距离分别为A.6s90mB.3s180mC.3s90mD.6s180m3.甲、乙两辆汽车在一条平直的单行道上同向行驶，乙车在前，速度大小为v2，甲车在后，速度大小为v1，且v1>v2，当两车相距L时，甲车感觉到危险以加速度大小a开始刹车，同时鸣笛示意乙车，乙车同时也以加速度大小a开始加速，为了避免相撞，a最小应为A.22122v vL-B.22124v vL-C.212()2v vL-D.212()4v vL-4.如图所示，在水平地面固定着一个四分之一圆弧轨道A，左侧紧靠竖直墙，底端与水平面相切。

河南省2020-2021学年高三10月联考数学理科试题

A．40%B．50%C．64%D．81%
8．在边长为2的正方形中，为的中点，交于 .若，则（）
A．1B． C． D．
9．若对任意恒成立，则的最大值为（）
A．2B．3C． D．
10．若：；：，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
20．已知的一个极值点为2.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值.
21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
（1）求B；
（2）若，AD为BC边上的中线，当的面积取得最大值时，求AD的长.
22．已知函数 .
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.
【详解】
考虑中间值，根据指数函数的单调性，得，即；
根据幂函数的单调性，得，即；
根据对数函数的单调性，得，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查指数式和对数式比较大小，属于基础题.
6．A
【分析】
根据奇函数图象的对称性排除选项C，D；根据当时，，排除B.从而可得答案.
【详解】
因为，
所以，
A． B． C． D．
4．中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（）
A．7点36分B．7点38分C．7点39分D．7点40分
所以函数为奇函数，排除选项C，D；

河南省平顶山市2020-2021学年高三10月阶段测试数学(理)试题(wd无答案)

河南省平顶山市2020-2021学年高三10月阶段测试数学（理）试题一、未知(★★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．或D．或(★★★) 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，终边与单位圆交于，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 若，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知函数，若，则（）A．B．C．1D．2(★★★) 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，则“ ”是“ 为等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 6. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 我国古代数学家刘徽用“割圆术”将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界1000多年.“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为12时，由“割圆术”可得圆周率的近似值为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数满足，当时，，若函数至少有三个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 10. 在中，角，，所対的边分别为，，，已知，且，则外接圆面积为（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知函数为奇函数，为偶函数，则下列结论错误的是（）A．为周期函数B．的图象关于点中心对称C．的图象关于直线轴对称D．为奇函数(★★★) 12. 已知为定义在上的偶函数，其导函数为，对于任意的总有成立，则下列不等式成立的有（）A．B．C．D．(★★★) 13. 若函数，则______.(★★★) 14. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.(★★★) 15. 已知函数，若对满足，的，，有的最小值为.若将其图象沿轴向右平移个单位，再将得到的图象各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），得到函数的解析式为______.(★★★) 16. 已知函数的最小正周期为，且为图象的一个对称中心，求函数在区间上的值域.(★★★) 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，为边上的一点，且，.（1）求证：；（2）求的值.(★★★) 18. 已知为二次函数，且函数有两个零点1与3.（1）若的图象过点，求的解析式；（2）求在区间上的最值.(★★★) 19. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完.（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.(★★★) 20. 已知函数为奇函数，为偶函数.（1）求的值；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.(★★★) 21. 函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围.二、填空题(★) 22. 函数y＝的定义域为________．。

河南省(天一)大联考2020-2021学年高三上学期期末考试理科数学试题(wd无答案)

河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试理科数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 设集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 若，则（）A．1B．C．D．2(★★) 3. 已知的展开式中有常数项，则的值可能是（）A．5B．6C．7D．8(★★) 4. 如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知，则下列不等式① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④(★★) 6. 从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知函数，点是曲线相邻的两个对称中心，点是的一个最值点，若的面积为1，则（）A．1B．C．2D．(★★★) 8. 已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．(★★) 9. 在中，内角，，的对边，，依次成等差数列，的周长为15，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知点，，在半径为5的球面上，且，，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为（）A．B．C．D．(★★) 11. 已知点在直线上运动，点在直线上运动，以线段为直径的圆与轴相切，则圆面积的最小值为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知，且满足，，则（）A．1B．或1C．或1D．1或-1二、填空题(★★) 13. 平面向量，若，则 _____________ ．(★★★) 14. 若实数，满足约束条件，则的取值范围是______.(★★★) 15. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________．(★★) 16. 设为双曲线上的一个动点，点到的两条渐近线的距离分别为和，则的最小值为______.三、解答题(★★★) 17. 已知数列的前项和为，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．(★★★)18. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.(★★) 19. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量只能是1，2，3，，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的.（1）当输入和时，求输出的值；（2）求输出的值的分布列；（3）某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由.(★★★) 20. 已知椭圆的离心率为，一个焦点坐标为，曲线上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆和曲线的标准方程；（Ⅱ）点为和的一个交点，过作直线交于点，交于点，且互不重合，若，求直线与轴的交点坐标．(★★★) 21. 已知函数，，.（1）若，曲线在点处的切线也是曲线的切线，证明：；（2）若，求的取值范围.(★★) 22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）设与的夹角为，求；（2）设与轴的交点为，与轴的交点为，以为圆心，为半径作圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程．(★★★) 23. 已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．。