§8.3 第一类边界条件下(tw=C)半无限大平板一维非稳态导热20110420155222
传热学 第3章
1) 数学模型
2 τ = 0, Θ = Θ 0 = 1 δ Fo是无量纲特征数 Fo是无量纲特征数， 是无量纲特征数， Θ X = 0, =0 称为傅里叶数 称为傅里叶数 x hδ Θ hδ 称为毕渥数 称为毕渥数 4 X = 1, = Θ Bi = λ X λ
2Θ = ( Fo) X 2 τ = 0, Θ = Θ 0 = 1 Θ X = 0, =0 X Θ X = 1, = Bi Θ X
2 1
上面两式之比
x f Bi , δ 可见， 非稳态导热进入正规状况阶段以后， 可见，当Fo ≥ 0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以后， 都随时间变化，但它们的比值与时间无关， 虽然θ与θm都随时间变化，但它们的比值与时间无关， 只取决于毕渥数Bi与几何位置 与几何位置x/ 只取决于毕渥数Bi与几何位置x/δ 。 认识正规状况阶段的温度变化规律具有重要的实 际意义， 际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分 时间都处于正规状况阶段 。 10
第三章
主要内容： 主要内容：
非稳态导热
非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的分 析求解方法。包括： 析求解方法。包括： 1. 一维非稳态导热的分析解法； 一维非稳态导热的分析解法； 2. 非稳态导热的集总参数分析法； 非稳态导热的集总参数分析法； 3. 半无限大固体的非稳态导热 ；
3－1 非稳态导热的基本概念
14
（ 2）
θ θ0 θ x = = cos 1 = θm θm θ0 δ
x f Bi , δ
15
2 Q 2sin 1 1 Fo （ 3） = 1 2 e = f ( Bi , Fo ) 1 + 1 sin 1 cos 1 Q0
2
16
几点说明：
传热学11 一维稳态和非稳态导热
• 两个边界条件中：一个为r=R时，T=Tw，由于内热源均 匀分布，圆柱体表面温度均为Tw，圆柱体内温度分布对 称于中心线，另一个边界条件可表示为 r=0时，dT/dr=0。 将微分方程分离变量后两次积分，结果为：
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
qv 2 qv 2 dT T r C1 ln r C2 r r C1 4 dr 2 • 根据边界条件，在r=0时， dT/dr=0。可得C1=0；利用 另一个边界条件，在r=R时，T=Tw，可得
• 可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令 温度分布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：
qv 2 T Tw s 2
11.1 通过平壁的一维稳态导热
• 例题2：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖， 它们的厚度分别为s1=460 mm；s2=230 mm，导 热系数分别为：λ1=0.7+0.64× 10-3T W/m℃； λ2=0.14+0.12× 10-3T W/m℃。炉墙两侧表面温度 各为T1=1400℃；T3=100℃，求稳态时通过炉墙 的导热通量和两层砖交界处的温度。
1
2
Tf1 Tf2 dT q C1 1 s 1 dx
q K (Tf1 Tf2 )
1 s
1
2
1
综合传热系数或传热系数 多层平壁
K
Tf1 Tf2 q n si 1 1
1
2
1
1
i 1
i
2
平壁面积A
Tf1 Tf2 Q n si 1 1 1 A i 1 i A 2 A
11.1 通过平壁的一维稳态导热
对T求导，得： dT C1
非稳态导热——精选推荐
∞ t
tw＝ tf
τ3
τ1 τ2
t0
τ3 τ4 τ1 τ2
∞
x
x a有限厚物体
∞ b半无限厚物体
图 有限厚与无限厚物体
§11.2 集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时， Bi → 0 ，温度分布只与时间有
关，即 t = f (τ ) ，与空间位置无关，因此，也称为
当 Bi → 0时，⇒ rλ << rα，因此，可以忽略导热热阻(薄材)
物体内有均匀的温度分布
第一类边界条件（流体温 度等于壁面温度）
0 < Bi < ∞
14
（4） 薄材的判断方法
Bi
=
αδ λ
≤ 0.1
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
对厚为2δ的无限大平板; 对半径为δ的无限长圆柱
零维问题(薄材)，薄材的温度分布可用常微分方程描述。
α tf
2 温度分布
Q
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
τ = 0时，t = t 0
将其突然置于温度恒为 t f 的流 体中。
宗燕兵
20
当物体被冷却时（t>tf）,由能量守恒可知
常
Aα
(t
−
t
f
)
=
-
ρVc
dt
dτ
(τ = 0，t = t0 )
如上述，Bi小物体内外温度差就小。极端而言，
Bi →0，可理解为物体热导率λ→∞；
也可理解为h→0；
或者材料的厚度δ →0。 这时，物体内外温差也趋近于零。在实际上λ→∞或h→0
一维非稳态导热
一块无限大平板（如图3所示），其一半厚度为L=0.1m，初始温度T0=1000℃，突然将其插入温度T∞=20℃的流体介质中。
平板的导热系数λ=34.89W/m℃，密度ρ=7800kg/m3，比热c=0.712J/kg℃，平板与介质的对流换热系数为h=233W/m2.℃，求平板内各点的温度分布。
3．1 数学描述由于平板换热关于中心线是对称的，仅对平板一半区域进行计算即可。
坐标x的原点选在平板中心线上，因而一半区域的非稳态导热的数学描述为：(3-1)(3-2)(3-3)(3-4)该数学模型的解析解为:（3-5）其中,为方程的根，。
表3给出了在平板表面(x=L)处由式(3-5)计算得到的不同时刻的温度值。
表3 平板表面各不同时刻温度值。
时间1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （S）温度(℃) 981.84 974.47 968.88 964.20 960.11 956.14 953.08 949.97 947.07 944.34 3．2 数值离散3．3．1 计算区域的离散一维非稳态导热指的是空间坐标是一维的。
若考虑时间坐标，则所谓的一维非稳态导热实际上是二维问题(见图4)，即：有时间坐标τ和空间坐标x两个变量。
但要注意，时间坐标是单向的，就是说，前一时刻的状态会对后一时刻的状态有影响，但后一时刻的状态却影响不到前一时刻，图4示出了以x和τ为坐标的计算区域的离散，时间从τ=0开始，经过一个个时层增加到K时层和K+1时层。
3．3．2 微分方程的离散对于i节点，在K和K+1时刻可将微分方程(3-1)写成下面式子：(3-6)(3-7)将式(3-6)~(3-7)的左端温度对时间的偏导数进行差分离散为：(3-9)(3-8)观察式(3-8)和(3-9)，这两个式子的右端差分式完全相同，但在两个式子中却有不同含义。
对式(3-8)，右端项相对i点在K时刻的导数是向前差分。
而在式(3-9)中，右端项是I点在K+1时刻的导数的向后差分。
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
导热微分方程边界条件
t 数学表示式：Q F n Q t 或 q F n 说明： （1）负号表示热量传递方向 与温度梯度方向相反 （2）λ是导热系数
n
t t
n
q
t
2．导热系数λ
物理意义：表征物质的导热能力大小
即：单位温度梯度时的热流密度。单位:W／m.℃。
q
因此： 在实际求解时， 将平均温度的导 热系数看成常数 进行计算
(W)
若给定面积F:
Q qF
t1 t 2
av
F
t
av F
常用的简便方法----热阻法
根据 公 式：q
(t1 t 2 )av
数学表示式：
影响导热系数的因素：
（1）种类的影响
t n
f (种类、结构、湿度、密 度、温度）
决定于分子间的相互运动 范围：λ= 0.006～0.6W/（m·℃）。 在很大的压力变化范围内，仅是温度的函数，而和压力无关。
气体：
液体: λ= 0．07～0．7 W／（m· ℃）。
一般液体的导热系数随温度升高而减小，但标准 大气压下水的导热系数却随温度升高而增大。
qv =0
求解目的： （1）温度场 （2）热流密度
求解方法：
或热流量
qv t 2t 2t 2t ( ) （1）导热微分方程： 2 2 2 c x y z cv v 2
化简为
d t 0 d x2
（2）付氏定律
t Q F n
(一)、无限大平板的稳态无内热源的导热
若 若
t 0 t 0
则物体被加热 则物体被冷却
第三章 稳态导热分析
t w2 t w1 t t w1 ln( r r1 ) ln( r2 r1 )
由上式可知： （1）温度呈对数曲线分布。
（2）温度分布与材料导热系数无关。
材料成型传输原理－－热量传输
由圆筒壁内温度分布：
ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w2 ) ln( r2 r1 )
x
2 (t 2 t f 2 )
平壁内导热量：q t 2 t1
材料成型传输原理－－热量传输
连立求解上述三式得：
1 q (t f 1 t f 2 ) /( ) 1 2
1
平壁内温度分布：
dt c1 t c1 x c2 dx
d dt r 0 dr dr
d t 1 dt 0 2 r dr dr
2
材料成型传输原理－－热量传输
1.第一类边界条件下的圆筒壁导热分析
r r1时 t t w1 边界条件： r r2时 t t w2
d dt r 0 积分两次： 对 dr dr
i i 第 i 层：q (ti ti 11) ti 1 ti q i i
材料成型传输原理－－热量传输
多种材料多层复合平壁：（P98） (1) 串联电路各电阻上的电流相等且等于总电流 串联热路各热阻上的热流相等且等于总热流 (2) 并联电路各电阻上的电流相加等于总电流
（2）壁内温度由以下公式逐层求得：
n
第一类边界条件
ln( r rn ) t t n (t n t n 1 ) ln( rn 1 rn )
第一类边界条件
第三类边界条件下壁内温度分布如何求？
2011-第4章非稳态导热--02
t0
t∞
t∞
O
x
第三类边界条件下一维非稳态
hitaiqing@ 航空航天热物理研究所
（C）
h
与
的数值较接近
t
h 等价于
为有限值
t0
v这时，平板内不同时 刻的温度分布介于上 述两种极端情况之 间。
t∞
t∞
O
x
第三类边界条件下一维非稳态
无穷 级数
工程近似 分析解的级数第一项绘制的图线 科莫图 使用要求Fo>0.2
hitaiqing@
航空航天热物理研究所
什么情况下可利用集总参数法预测固体因热 环境变化而导致的瞬态响应？ 数的物理意义是什么？ 哪些参数决定了集总参数固体的瞬态热响应 有关的时间常数？增大对流换热系数会使这 种影响加速或减速？增大固体的密度或比热 容呢？ 傅里叶数（ ）的物理意义是什么？ 集总参数法更适用于热的铜质固体还是铝质 固体的冷却？
上堂课 复习
hitaiqing@ 航空航天热物理研究所
半无限大物体： 控制方程：常物性一维非稳态导热
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x
初始条 温度场分布 τ = 0, t x = t0 = const 件： f (0, t)=tw 第一类条件（定壁 温） 隐含边界条件 f (∞, t)=t
第三类边界条件下一维非稳态
hitaiqing@ 航空航天热物理研究所
Fo
a 2 l
l a
2
分子
是从边界上开始发生热扰动的时刻 起到所计算时刻为止的时间间隔。
2 m 2 l a m2 s
分母
⇒ s
可视为使边界上发生有限大小 的热扰动穿过一定厚度的固体 2 层扩散到 l 面积上所需的时间
第03次课J-分离变量法在一维非稳态导热问题中的应用
非稳态导热㈠分离变量法在一维非稳态导热问题中的应用一、无限大平壁一维非稳态导热（参考文献[1]PP45-50）大平壁在等温介质中的冷却：常物性、无内热源、第三类边界条件（见图1）。
图1令：ftt-=θ，导热微分方程为：0,22φππτδθτθxxa∂∂=∂∂初始条件为：()x fx=≤≤=θδτ,0,0；边界条件：δδθθλτδθτ====∂∂-==∂∂=xxxhxxxx|,0,|,0,0φφ假设解的形式为()()()ττθΓ•=xXx,则两个常微分方程：方程(3—2—3)的解是由下表知，特征方程（3-2-4）的为()()xAxXmmmεcos=，特征值为方程()λδεεhmm=tan的正根，范数()()()[]λλεδλεεhhhNmmm+++=222221则根据()[]()mLm NdxxfAβ⎰⨯=0特征函数，得待定常数为：，其中，εδβ=二、半无限大物体一维非稳态导热（参考文献[2]PP40-45）常物性、无内热源、第二、三类边界条件典型问题：一半无限大物体，∞≤≤x 0，初始温度为F (x)，当时间τ＞0时，x ＝0的边界上以对流方式向温度为零度的介质传输热量，如图2所示。
该问题的数学描述为：三、多维的齐次问题（参考文献[2]PP49-57）典型问题：矩形截面的柱体，为二维非稳态导热，材料为常物性，物体内没有内热源，边界条件如图3所示。
τ∂∂=∂∂+∂∂ta yt x t 12222， 0,00,0,0042=+∂∂====+∂∂==∂∂=t H ytb y t y t H xta x x t x 时，时，时，时， ，()y x F t ,0==时，τ 图3矩形截面柱体的二维非稳态导热令()()()()τθΓ=y Y x X y x t ,,，分离方程如下：,0,0022=+====+''X H dxdX a x A dxdX x X X ）（β， 0,0,0042=+====+''Y H dy dY b x B Y y Y Y ）（γ， ()()()C e τγβατ22+-=Γ上述问题的完全解为：()()()()τγβαγβτ22,,,,11n m e y Y x X C y x t n m m mn n +-∞=∞=∑∑=求解待定系数C mn 后，得：()()()()()()()()()y d x d y x F y Y x X e y Y x X N N y x t a bn m n m m n nm n m ''''''=⎰⎰∑∑+-∞=∞=0011,,,,,1,,22γβγβγβττγβα 上式中出现的本征函数、本征值及范数可从表1-2中直接查得，即：()()x x X m m ββcos ,=，()()222222221H H a H N mm m +++=βββ，且m β为方程()2tan H a m m =ββ的正根：()()y y X n n γγsin ,=，()()nnnn n n H H b H N +++=222221γγγ，且n γ为方程()4cot H b n n -=γγ的正根：()()()()()()()()()y d x d y x F y x y x HHb H H Ha H e y x t a x by n m n m nnnn n mm m n n m ''''''⨯⨯++++++=⎰⎰∑∑='='+-∞=∞=002222222222211,sin cos sin cos 4,,22γβγβγγββττγβα四、某些非齐次或非线性问题的处理思路1、线性、齐次多维非稳态热传导问题（参考文献[2]PP57-61）对线性、齐次多维非稳态热传导问题，可以象一维问题那样，用分离变量法求解，其结果必定是二重或三重级数，不便于计算和应用。
传热学笔记
p x
(
2u x2
2u y2
)
动量守恒方程（N-S
方程）：
( v
u
v x
v
v ) y
Fy
p y
(
2v x2
2v y2
)
能量守恒方程：
t
非稳态项
u t v t xy
对流项
cp (x2t2 y2t2 )
扩散项
边界层理论的四个基本要点： （1）当粘性流体沿固体表面流动时，流场可划分为主流区和边界层区。
可得
d 2t dx2
hp(t t ) Ac
引入过余温度
t
t 最终可得
d 2t dx2
m2
，其中 m
hp/(Ac) ，H 为肋高
温度分布的解析解：
0
em x
e2mHemx He2m H
0
ch[m(x H)] ch[mH]
；热流量：
hp m
0th(mH)
通过环肋及三角形截面直肋的导热
肋效率 f
( )是时刻
物体的平
均过余温度。
Fo
a R2
0.2 时， (x, ) 0
Aexp(12Fo) f
(1) ——（3-27）；( ) /0
Aexp(12Fo)B ——（3-28）
分析解应用范围的推广和讨论
介质温度恒定的第三类边界条件下的分析解，在 Bi 的极限情况下转化为第一类边界条件下的解，而在 Bi 0
传热学
第一章 绪论
热量传递的三种基本方式：导热、对流和热辐射
傅里叶定律：单位时间内通过该层的导热热量与当地的温度变化率及平板面积 A 成正比。
A dt dx
——热导率，导热系数；单位W /(m K) ；
第三章 非稳态导热
适用条件：一维稳态、无内 热源、恒壁温、λ=常数
4.导热系数与温度成线性关系时的处理方法
0 (1 bt)其中0－系数， (m C) W
可通过以下方法处理：
b－常数
若已知t1及t2，则 m 0 (1 btm ) 常数 t1 t2 其中tm 。 2
五、显式、隐式差分方法优缺点
优点可以利用上一时间的温度一次性算出下一时间 的所有各节点值。 隐式差分方法恰好与显式相反。 缺点：Δx与Δτ的取值有一定限制。
例题：厚度为20mm的平壁状核反应堆燃料 元件，它的二个端面受到均匀冷却，冷却液的温 度t∞=250℃，h=1100W/(m2℃)，燃料元件的导 热系数为 30W/(m℃) ，导温系数为a=10-5m2/s。 试计算燃料元件从具有均匀内热源Φ1=107 W/m3 的稳态运行条件变成Φ2= 108W/m3以后2秒钟时 各结点温度为多少？
n
2 n a
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) ( ) a e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
2
2
（x, ) 因此 是F0和Bi以及 的函数,即 0 x
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
从公式中可知：
对于无限大圆柱体或球体，也可用查图方式求得。
适用条件： （1）适用于恒温介质的第三类边界条件或第一类边界 条件的加热及冷却过程。 （2）Fo>0.2，否则过于密集，误差太大，用解析解 求。
三
二维及三维非稳态导热问题的求解
y
有 一 矩 形 截 面 （ 2δ1×2δ2 ） 的 长 柱 ， 原来具有均匀温度 t0 ， 现将它突然浸没在温度 为t∞ 的流体中。流体与 长柱表面之间的换热系 数h 保 持 不 变。 试 分析 矩形截面的温度分布情 况。
传热学基础(第二版)第四章教学课件非稳态导热分解
以从傅立叶定律只能解得表面的瞬时热流密度 qw。先对式 t t w (t0 t w )erf ( N ) 求导得
t0 t w t x2 exp( ) x 4a a
代入傅立叶定律表达式，得
t qw x
13/59
x 0
不难看出，qw随着时间 τ 的增加而递减。
14/59
4.蓄热系数
在上式中，材质不同的影响体现在 / a 上。 物性的这种组合可表成: a c
c b W /(m 2 C s1 / 2 ) a
b 称为蓄热系数。它完全由材料的热物性构 成，它综合地反映了材料的蓄热能力，也是个热 物性。
15/59
铸铁和铸型蓄热系数b的参考值。
高斯误差函数的性质: 当N=2.0时 (tw–t)/（tw–t0)≈1 即 t≈t0。 换句话说，可以认为，由 N=2确定的x点处温度尚未 发生变化。
11/59
*某点未受表面温度变化波及的时间（惰性时 间）τ 的确定
从 N x /(2 a ) 2.0 的关系可得
x2 x2 0.0625 16a a s
根据上式：选定 x ，可得到 x 点未受表面 温度变化波及的时间 τ 。这段时间 τ 称 为x点的惰性时间。 上式表明：惰性时间与表面温度tw无关，它 与深度x的平方成正比而与热扩散率a成反 比。热扩散率越小，惰性时间越大。
12/59
2.表面的瞬时热流密度
由于物体表面上的温度梯度依时间τ 而变化，所
1 (t w t0 ) a
W / m2
3.累计热量Qw
如果在0~ τ 一段时间内，tw保持不变，将qw在 0~ τ 范围内积分即得整段时间内消耗于加热每 平方米半无限大物体的热量Q w 1 d Qw qw d (t w t0 ) 0 a 0 2 2 (t w t0 ) J /m a 可以看出， Q w与时间τ 的平方根成正比，即 随时间增加而递增，但增加的势头逐渐减小。 这与温度梯度的变化相对应。
非稳态传热
m (1) 据（3-25）先画出曲线 f ( Fo, Bi ) 0
2014-12-9 18
2014-12-9 24
第三章 非稳态导热
5.分析解应用范围的推广
对于无限大平板的分析解，教材中是以平板被加热为例，上 述推导是以平板被冷却为例，结果相同。 从无限大平板的数学描述来看，分析解（3-21）也适用于一 侧绝热、另一侧为第三类边界条件、厚为 的平板情形。
( , ) 2 sin 1 exp 12 F0 cos(1 ) （3-21） 0 1 sin 1 cos 1
和
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
则，Fo 0.2 以后，任一点的过余温度与平板中心的过 余温度比值：
( x, ) cos(1 ) m ( )
与时间无关 与边界条件有关
t t dV 1 V t0 t 0
12
第三章 非稳态导热
--时刻 的平均过余温度。
1 V
2 2sin 1 ( 1 F0 ) sin 1 V dv 0 1 sin 1 cos 1 e 1
把平均过余温度代入上式可得：
平板中心处（x=0，即η=0）的无量纲过余温度：
x
(0, ) m ( ) 2 sin 1 exp 12 F0 0 0 1 sin 1 cos 1
2014-12-9
9
第三章 非稳态导热
导热问题求解
θ x = 0, x = 0 θ x = δ , λ = hθ x τ = 0, θ = θ 0 = t 0 t f
一维非稳态导热问题: ——变量分解法
例3,一厚度为δ的无限 大平壁初始温度为t0, 从τ=0开始左侧壁面 保持t0不变,右侧壁面 与温度为tf,放热系数 为h的流体接触. 例4, 一厚度为2δ的无 穷大平壁,初始温度 为θ=0,从τ=0开始, 两侧同时加入热流q (W/㎡).
一维非稳态导热问题: ——分离变量法
例1,无穷大平壁,厚度 为2δ,初始温度为 t0(x),两侧被温度为 tf,放热系数为h的流 体冷却. 例2,无穷大平壁,厚度 为2δ,初始温度为任 意函数,两侧流体的 放热系数分别为h1,h2.
θ 2θ =a 2 τ x
θ x = 0 , λ x = h1θ θ x = δ , λ = h2θ x τ = 0, θ = θ 0 ( x )
�
周期性非稳态导热问题:
2π x = 0, θ w = Aw cos( τ ) T x → ∞, θ = 0 = t t w τ = 0, θ = 0
2π x = 0,θ 0 = Aw sin( T τ ) x → ∞,θ (0,0) = 0 τ = 0, θ = 0
变量分解法: 壁面温度波动作 用于壁内已经足够 长时间,波动已经 "成熟发展" 杜哈梅尔定理法: 在壁面温度作用 下从θ(x)=0开始 壁面温度波逐渐发 展
二维稳态导热问题: 二维稳态导热问题: ——变量分解法 ——变量分解法
一个2L1×2L2平 板上的二维稳态导 热问题,内部有均 匀内热源qv=常数, 四个边界均为相同 的第三类边界条件 (流体温度均为tf, 放热系数均为h).
2θ 2θ qv + 2 + =0 2 x y λ
§8.3 第一类边界条件下(tw=C)半无限大平板一维非稳态导热20110420155222
面对称加热，假定铸坯初始温度为30℃，在加热过
程中炉内平均给热系数为h=174W/（m2· ℃），钢的
热物性参数为λ=34.8W/m·℃，a=0.555×10-5 m2/s， 求(1)钢坯在炉内加热36min时钢坯的表面温度和断面 温差；(2)钢坯表面温度达到800℃所需要的时间及在 此时间内钢坯每平方米获得的热量。
x=0处即为物体的中心温度， x= 处为物体的表面温度
Q0=2F· ρCp(tf –t0 ) 成线算图以供使用。
（P102 图9.11; 图9.12）
J
解的结果都是无穷级数的形式，为便于计算, 绘
图9.12为一定加热时间下（相同Fo），板内温度 的分布情况： 在同一Fo下 ，当Bi ＜0. 1时, x／ m
4 3 2 1
该加热过程的微分方
程从导热微分方程的一
般形式简化为：
t hf ,t f
4 3
hf ,t f
t t a 2 x
2
2
t0
1
＝0
x
-
定解条件：
0, 0, 0,
解的结果：
0 x , x0 x
t t0 t x （对称性） 0
当
x 2 2 a
tw t 时， 1 t w t0
经 时间后壁内温度开始变化的距离为：
x 4 a
在 时刻，通过壁面的热通量为：
t q x
x 0
t w t0 a
w2 W/m2 m
F h hl a F §8.4 薄材在恒温介质中的加热或冷却 2 FO Bi V 2 l CP CP （第三类边界条件） ( ) F tf t t f t0 Bi Fo Bi Fo 式变为： e 或： e t f t0 tf t
大平板第一类边界条件下非稳态传热近似解析解
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此 阶 段 的温度分 布取决 于 " 和" 的 确 定! $ & $ & % % / # 于是 ! 根据积分方程有
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图 F 大平板非稳态传热坐标系示意图
令 & U I V ’W Q& U I V ’] Q$ Z\ W Q ] Q Y\ $ [\ RW Q R] Q $
E 收稿日期 H ! $ $ ! $ F ! # 李格升 男I 副教授 I 主要研究领域为热能工程 H G %岁 I 万方数据
D 国家自然科学基金
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ZQ Z ) 增大 ! 减小 ! 它们的相遇点 ’$ 此处 ( & $ $ & + % " % # ( * 即无热流界面不断向右推进 ! 直到 ’$ 到达 ,& ! & % 右边 界 ! 即 % 此 时! +% & +, ! $ & + " % " % ’-为 止 . #$ / 即 热 流 由 左 边 界 传 递 至 右 边 界! 渗透整个平 ! 再 此 后! 热 渗 透 层 无 任 何 物 理 意 义! 平板已整 板0 体渗透 ! 热量由高温侧向低温侧传递 ! 直至传热过 根据上述分析 ! 整个求 解 过 程分 为 1 程稳定为止 . 个阶段进行 . 即7 2 . 3 4 54 ! $ & 97 $ & 56阶段 4 4 6 8 : 假设此阶段平板内温度分布为 ; $ * ! % &+ % &9 = $ % & *9 D<$ ? > $ % & * C, <B$ % &9 = $ % & *9 B ? E > $ % & * B 此时边界条件有 $ , ! & +; ! $ ! & +; ! $ ! & +, ! $ A" ! & ; % ; % ; " % ; % / # / # G ; $ * ! % & G ; $ * ! % & H +, ! H +, +,! * +" * +A" / # G * G * 将边界条件代入式 $ 中可确定相应的待定系数 ! F & 于是可得到如下结果 I ; $ * ! % &+ D; $ BA / C, * ? $ BA & # E; " $ % & # * ? & " $ % & / ,@ *@ " $ % & / " $ % &@ *@ -A " $ % & $ J & / # -A " $ % &@ *@ # ,@ *@ " $ % & / $ % &@ *@ -A " $ % & " / # -A " $ % &@ *@ # $ F & ; $ * ! % &+ D ; $ BA / C, * ? ; $ BA & # OB E ? L % * ? & OB ? L % ,@ *@ OB ? L % OB ? L % @ *@ -A OB ? L % -A OB ? L % @ *@ -
艾宇 半无限大物体的非稳态导热
温度场的分析解
第一类边界条件：
t ( x, ) tw x erf t0 tw 2 a
第二类边界条件：
t ( x, ) t0
2q0
a 2 exp( x ) q0 x erfc x 4a 2 a
hx h 2 a exp 2 x h a erfc 2 a
有以上的两个式子可 见，表面的瞬时热流 与时间的平方根成反 比，而总的导热量则 与时间的平方根成正 比。
分析解的讨论
x 2 a
左图是误差函数erfη随η的变化：
从几何位置上说，如果η》=2，则τ时刻 的温度可以认为尚未发生变化。因而对 一块初始温度均匀的厚2δ的平板，当其 中一个侧面的温度突然变化到另一恒定 4 a 温度，如果 ,则在τ时刻之前该平 板中瞬时温度场的计算可采用半无限大 物体模型。 从时间上看，如果τ>(x*x)/(16a),则此时的温度可认为完全不变，因而可以把 (x*x)/(16a)看成惰性时间，即当τ<(x*x)/(16a)时，x处的温度可认为等于t0。
第三类边界条件： t ( x, ) t0 erf x t t0 2 a
x erf 2 a
x x erfc 1 erf 2 a 2 a
称为误差函数，
余误差x处的热流密度：
q x
t t0 t erf (t0 tw ) w exp[ x 2 (4a )] x x a
Q A qwd A
0
在表面上的导热量为：
(tw t0 ) d 2 A a 0
传热学通过平壁的导热
通过平壁的导热重点内容: 无限大平壁稳态导热规律和热阻分析法的应用。
一、通过单层平壁的导热无限大平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平壁两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态导热问题。
从无限大平壁的结构可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型，如图所示。
通过单层无限大平壁的稳态导热，可视为一维稳态导热，边界条件可以为第一类、第三类边界条件。
这里仅讨论第一类边界条件。
1、物理模型及数学模型（第一类边界条件）：其数学描述为:导热微分方程式:边界条件：2、求解方法兀66），利用边界条件确定积分常数，得到温度场直接对导热微分方程式进行积分，得 2（=/（X）,再应用傅里叶定律确定热流场。
3、三种典型单层平壁的导热现象 无内热源，且导热系数 入为常数导热微分方程式：必2R — 新弓/热阻及热阻分析图：X /乂册有内热源，且导热系数 入为常数导热微分方程式:热流通量及热流量："尢2规律：温度分布为二次曲线；内部热流通量及热流量处处不相等，与坐标 无内热源，且导热系数为 入=入0(1+bt) W/(m - K)导热微分方程式：切温度分布：2CM+G ；其中5 热流通量及热流量：此即前述的傅里叶公式。
规律：温度分布为直线且斜率大小由导热系数决定;内部各处热流通量及热流量处处相等;温度分布：疋"+U ］孟+^22兄；其中x 有关;ir温度分布:口导4卞7其中G 二Jio 如+㊁加:1L Q ="翻1+ 2 +工1K2热流通量及热流量: dxA? 1+㊁占為+eJ规律：温度分布为二次曲线；内部热流通量及热流量处处相等。
4、第三类边界条件下的单层无限大平壁稳态导热利用热阻分析原理进行分析坏二1近1匕―热流通量: 此即传热过程热量计算公式。
热阻及热阻分析图: =- + -+—冊r匸応J二厂tn二、通过多层平壁的导热利用热阻分析原理进行分析1、第一类边界条件1 ^1P,K+1 f ul 1^=—-热流通量及热流量:j J热阻及热阻分析图:2、第三类边界条件U] C ___________ ___3、规律 多层无限大平壁内部温度分布为 折线；斜率大小由导热系数决定；内部各处热流通量及热流量处处相等; 传热总热阻为各个环节热阻之和。
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式确定θx／θ0 ：
θx／θ0 = θx／θm ×θm／θ0
P104 图9.14~9.16给出了圆柱体的非稳态加热线算图。要 给出了圆柱体的非稳态加热线算图。 给出了圆柱体的非稳态加热线算图 求熟练掌握其应用
例1（P103） （ ） 厚度为200mm的钢坯，在温度为1200℃的加热炉内双 的钢坯，在温度为 厚度为 的钢坯 ℃ 面对称加热，假定铸坯初始温度为 ℃ 面对称加热，假定铸坯初始温度为30℃，在加热过 程中炉内平均给热系数为h=174W/（m2·℃），钢的 （ ℃），钢的 程中炉内平均给热系数为 热物性参数为λ=34.8W/m·℃，a=0.555×10-5 m2/s， ℃ 热物性参数为 × ， 钢坯在炉内加热36min时钢坯的表面温度和断面 求(1)钢坯在炉内加热 钢坯在炉内加热 时钢坯的表面温度和断面 温差； 钢坯表面温度达到 钢坯表面温度达到800℃所需要的时间及在 温差；(2)钢坯表面温度达到 ℃ 此时间内钢坯每平方米获得的热量。 此时间内钢坯每平方米获得的热量。
t = t0 ∂t ∂x 0 = （对称性）
x =0
∂t = h(t f − t x=0 ) λ x＝δ ∂x x＝δ x =0
θ ( x,τ ) t ( x,τ ) − t f x = = f ( F0 , Bi , ) θ0 t0 − t f δ
θ ( x,τ ) t ( x,τ ) − t f x = = f ( F0 , Bi , ) t0 − t f θ0 δ
Q0~τ = ∫ Q dτ =∫ h(t f − t0 ) ⋅ e− Bi ⋅Fo dτ τ
0 0
τ
τ
= ρVCP (t f − to )(1 − e− Bi ⋅Fo )
J
Q0~τ Q0~τ 或： = = 1 − e− Bi ⋅Fo Qmax ρVCP (t f − to )
注意使用中首先要判定是不是薄材，不然不能使用。
§8.5 第三类边界条件下有限厚物体的 加热或冷却
设有一厚度为2δ 设有一厚度为 δ的无限大平 t 初始温度为t 板，初始温度为 0， 将其放置于 hf ,t f hf ,t f 温度为t 的流体介质中， 温度为 f的流体介质中，设tf >t0 ， τ 流体与板面间的对流换热系数为h 流体与板面间的对流换热系数为 τ 且为常数。 且为常数。试确定在非稳态传热 τ 过程中板内的温度分布。 过程中板内的温度分布。 τ t0 τ＝0 由于是双面对称加热， 由于是双面对称加热，板内的 x 温度分布也是对称的， 温度分布也是对称的，取坐标如 -δ δ 图所示： 图所示： 大平板加热过程中的温度分布
4 3 2 1
该加热过程的微分方
t
程从导热微分方程的一 般形式简化为： 般形式简化为：
hf ,t f
τ4 τ3
hf ,t f
∂t ∂ t =a 2 ∂τ ∂x
2
τ2 τ1
t0 -δ δ
τ＝0
x
定解条件： 定解条件：
τ = 0, τ > 0, τ > 0,
解的结果： 解的结果：
0 ≤ x ≤ ∞, x=0 x =δ
第一类边界条件下(t §8.3 第一类边界条件下 w=C)半无限 半无限 大平板一维非稳态导热
1 tw − t x = erf = erf 2 F t w − t0 2 aτ o
式中： 式中：
x erf 2 aτ
为高斯误差函数，其值可由附录中查得。 为高斯误差函数，其值可由附录中查得。
为一定加热时间下（ ），板内温度 图9.12为一定加热时间下（相同 ），板内温度 为一定加热时间下 相同Fo）， 的分布情况： 在同一Fo下 的分布情况： 在同一 下 ，当Bi ＜0. 1时, θx／θ m 时 的值均在0.95以上，即物体中各点的温差均小于0.5%， 以上，即物体中各点的温差均小于 的值均在 以上 ， 工程上可视为薄材。 工程上可视为薄材。 的计算图， 根据给出的是θm／θ0 和θx／θm 的计算图，可用下
物体的瞬时热流量： 物体的瞬时热流量：
Qτ = h(t f − t ) F = (t f − t0 ) F ⋅ e− Bi ⋅Fo
将介质温度tf 与物体温度t间的差值 f - t)或 (t - tf) 将介质温度 与物体温度 间的差值(t 或 间的差值 称为过余温度，记为 称为过余温度，记为θ
在0~τ时间内的总传热量为：
当
x =2 2 aτ
tw − t 时， ≈1 t w − t0
时间后壁内温度开始变化的距离为： 经τ 时间后壁内温度开始变化的距离为：
x = 4 aτ
时刻，通过壁面的热通量为： 在τ 时刻，通过壁面的热通量为：
∂t q =− λ ∂x
=λ
x =0
t w − t0
πaτ
W/m2
∴
§8.4薄材在恒温介质中的加热或冷却 薄材在恒温介质中的加热或冷却 第三类边界条件） （第三类边界条件） F tf −t t f − t0 − Bi ⋅Fo Bi ⋅Fo ： =e 或： =e t f − t0 tf −t
x=0处即为物体的中心温度， 处即为物体的中心温度， 处即为物体的中心温度 x= δ 处为物体的表面温度 Q0=2F·δρCp(tf –t0 ) J
解的结果都是无穷级数的形式，为便于计算, 解的结果都是无穷级数的形式，为便于计算 绘 成线算图以供使用。 成线算图以供使用。 （P102 图9.11; 图9.12） ）