§8.3 第一类边界条件下(tw=C)半无限大平板一维非稳态导热20110420155222
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Q0~τ = ∫ Q dτ =∫ h(t f − t0 ) ⋅ e− Bi ⋅Fo dτ τ
0 0
τ
τ
= ρVCP (t f − to )(1 − e− Bi ⋅Fo )
J
Q0~τ Q0~τ 或： = = 1 − e− Bi ⋅Fo Qmax ρVCP (t f − to )
注意使用中首先要判定是不是薄材，不然不能使用。
为一定加热时间下（ ），板内温度 图9.12为一定加热时间下（相同 ），板内温度 为一定加热时间下 相同Fo）， 的分布情况： 在同一Fo下 的分布情况： 在同一 下 ，当Bi ＜0. 1时, θx／θ m 时 的值均在0.95以上，即物体中各点的温差均小于0.5%， 以上，即物体中各点的温差均小于 的值均在 以上 ， 工程上可视为薄材。 工程上可视为薄材。 的计算图， 根据给出的是θm／θ0 和θx／θm 的计算图，可用下
x=0处即为物体的中心温度， 处即为物体的中心温度， 处即为物体的中心温度 x= δ 处为物体的表面温度 Q0=2F·δρCp(tf –t0 ) J
解的结果都是无穷级数的形式，为便于计算, 解的结果都是无穷级数的形式，为便于计算 绘 成线算图以供使用。 成线算图以供使用。 （P102 图9.11; 图9.12） ）
§8.5 第三类边界条件下有限厚物体的 加热或冷却
设有一厚度为2δ 设有一厚度为 δ的无限大平 t 初始温度为t 板，初始温度为 0， 将其放置于 hf ,t f hf ,t f 温度为t 的流体介质中， 温度为 f的流体介质中，设tf >t0 ， τ 流体与板面间的对流换热系数为h 流体与板面间的对流换热系数为 τ 且为常数。 且为常数。试确定在非稳态传热 τ 过程中板内的温度分布。 过程中板内的温度分布。 τ t0 τ＝0 由于是双面对称加热， 由于是双面对称加热，板内的 x 温度分布也是对称的， 温度分布也是对称的，取坐标如 -δ δ 图所示： 图所示： 大平板加热过程中的温度分布
式确定θx／θ0 ：
θx／θ0 = θx／θm ×θm／θ0
P104 图9.14~9.16给出了圆柱体的非稳态加热线算图。要 给出了圆柱体的非稳态加热线算图。 给出了圆柱体的非稳态加热线算图 求熟练掌握其应用
Βιβλιοθήκη Baidu
例1（P103） （ ） 厚度为200mm的钢坯，在温度为1200℃的加热炉内双 的钢坯，在温度为 厚度为 的钢坯 ℃ 面对称加热，假定铸坯初始温度为 ℃ 面对称加热，假定铸坯初始温度为30℃，在加热过 程中炉内平均给热系数为h=174W/（m2·℃），钢的 （ ℃），钢的 程中炉内平均给热系数为 热物性参数为λ=34.8W/m·℃，a=0.555×10-5 m2/s， ℃ 热物性参数为 × ， 钢坯在炉内加热36min时钢坯的表面温度和断面 求(1)钢坯在炉内加热 钢坯在炉内加热 时钢坯的表面温度和断面 温差； 钢坯表面温度达到 钢坯表面温度达到800℃所需要的时间及在 温差；(2)钢坯表面温度达到 ℃ 此时间内钢坯每平方米获得的热量。 此时间内钢坯每平方米获得的热量。
物体的瞬时热流量： 物体的瞬时热流量：
Qτ = h(t f − t ) F = h(t f − t0 ) F ⋅ e− Bi ⋅Fo
将介质温度tf 与物体温度t间的差值 f - t)或 (t - tf) 将介质温度 与物体温度 间的差值(t 或 间的差值 称为过余温度，记为 称为过余温度，记为θ
在0~τ时间内的总传热量为：
4 3 2 1
该加热过程的微分方
t
程从导热微分方程的一 般形式简化为： 般形式简化为：
hf ,t f
τ4 τ3
hf ,t f
∂t ∂ t =a 2 ∂τ ∂x
2
τ2 τ1
t0 -δ δ
τ＝0
x
定解条件： 定解条件：
τ = 0, τ > 0, τ > 0,
解的结果： 解的结果：
0 ≤ x ≤ ∞, x=0 x =δ
第一类边界条件下(t §8.3 第一类边界条件下 w=C)半无限 半无限 大平板一维非稳态导热
1 tw − t x = erf = erf 2 F t w − t0 2 aτ o
式中： 式中：
x erf 2 aτ
为高斯误差函数，其值可由附录中查得。 为高斯误差函数，其值可由附录中查得。
当
x =2 2 aτ
tw − t 时， ≈1 t w − t0
时间后壁内温度开始变化的距离为： 经τ 时间后壁内温度开始变化的距离为：
x = 4 aτ
时刻，通过壁面的热通量为： 在τ 时刻，通过壁面的热通量为：
∂t q =− λ ∂x
=λ
x =0
t w − t0
πaτ
W/m2
∴
§8.4薄材在恒温介质中的加热或冷却 薄材在恒温介质中的加热或冷却 第三类边界条件） （第三类边界条件） F tf −t t f − t0 − Bi ⋅Fo Bi ⋅Fo ： =e 或： =e t f − t0 tf −t
t = t0 ∂t ∂x 0 = （对称性）
x =0
∂t = h(t f − t x=0 ) λ x＝δ ∂x x＝δ x =0
θ ( x,τ ) t ( x,τ ) − t f x = = f ( F0 , Bi , ) θ0 t0 − t f δ
θ ( x,τ ) t ( x,τ ) − t f x = = f ( F0 , Bi , ) t0 − t f θ0 δ
0 0
τ
τ
= ρVCP (t f − to )(1 − e− Bi ⋅Fo )
J
Q0~τ Q0~τ 或： = = 1 − e− Bi ⋅Fo Qmax ρVCP (t f − to )
注意使用中首先要判定是不是薄材，不然不能使用。
为一定加热时间下（ ），板内温度 图9.12为一定加热时间下（相同 ），板内温度 为一定加热时间下 相同Fo）， 的分布情况： 在同一Fo下 的分布情况： 在同一 下 ，当Bi ＜0. 1时, θx／θ m 时 的值均在0.95以上，即物体中各点的温差均小于0.5%， 以上，即物体中各点的温差均小于 的值均在 以上 ， 工程上可视为薄材。 工程上可视为薄材。 的计算图， 根据给出的是θm／θ0 和θx／θm 的计算图，可用下
x=0处即为物体的中心温度， 处即为物体的中心温度， 处即为物体的中心温度 x= δ 处为物体的表面温度 Q0=2F·δρCp(tf –t0 ) J
解的结果都是无穷级数的形式，为便于计算, 解的结果都是无穷级数的形式，为便于计算 绘 成线算图以供使用。 成线算图以供使用。 （P102 图9.11; 图9.12） ）
§8.5 第三类边界条件下有限厚物体的 加热或冷却
设有一厚度为2δ 设有一厚度为 δ的无限大平 t 初始温度为t 板，初始温度为 0， 将其放置于 hf ,t f hf ,t f 温度为t 的流体介质中， 温度为 f的流体介质中，设tf >t0 ， τ 流体与板面间的对流换热系数为h 流体与板面间的对流换热系数为 τ 且为常数。 且为常数。试确定在非稳态传热 τ 过程中板内的温度分布。 过程中板内的温度分布。 τ t0 τ＝0 由于是双面对称加热， 由于是双面对称加热，板内的 x 温度分布也是对称的， 温度分布也是对称的，取坐标如 -δ δ 图所示： 图所示： 大平板加热过程中的温度分布
式确定θx／θ0 ：
θx／θ0 = θx／θm ×θm／θ0
P104 图9.14~9.16给出了圆柱体的非稳态加热线算图。要 给出了圆柱体的非稳态加热线算图。 给出了圆柱体的非稳态加热线算图 求熟练掌握其应用
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例1（P103） （ ） 厚度为200mm的钢坯，在温度为1200℃的加热炉内双 的钢坯，在温度为 厚度为 的钢坯 ℃ 面对称加热，假定铸坯初始温度为 ℃ 面对称加热，假定铸坯初始温度为30℃，在加热过 程中炉内平均给热系数为h=174W/（m2·℃），钢的 （ ℃），钢的 程中炉内平均给热系数为 热物性参数为λ=34.8W/m·℃，a=0.555×10-5 m2/s， ℃ 热物性参数为 × ， 钢坯在炉内加热36min时钢坯的表面温度和断面 求(1)钢坯在炉内加热 钢坯在炉内加热 时钢坯的表面温度和断面 温差； 钢坯表面温度达到 钢坯表面温度达到800℃所需要的时间及在 温差；(2)钢坯表面温度达到 ℃ 此时间内钢坯每平方米获得的热量。 此时间内钢坯每平方米获得的热量。
物体的瞬时热流量： 物体的瞬时热流量：
Qτ = h(t f − t ) F = h(t f − t0 ) F ⋅ e− Bi ⋅Fo
将介质温度tf 与物体温度t间的差值 f - t)或 (t - tf) 将介质温度 与物体温度 间的差值(t 或 间的差值 称为过余温度，记为 称为过余温度，记为θ
在0~τ时间内的总传热量为：
4 3 2 1
该加热过程的微分方
t
程从导热微分方程的一 般形式简化为： 般形式简化为：
hf ,t f
τ4 τ3
hf ,t f
∂t ∂ t =a 2 ∂τ ∂x
2
τ2 τ1
t0 -δ δ
τ＝0
x
定解条件： 定解条件：
τ = 0, τ > 0, τ > 0,
解的结果： 解的结果：
0 ≤ x ≤ ∞, x=0 x =δ
第一类边界条件下(t §8.3 第一类边界条件下 w=C)半无限 半无限 大平板一维非稳态导热
1 tw − t x = erf = erf 2 F t w − t0 2 aτ o
式中： 式中：
x erf 2 aτ
为高斯误差函数，其值可由附录中查得。 为高斯误差函数，其值可由附录中查得。
当
x =2 2 aτ
tw − t 时， ≈1 t w − t0
时间后壁内温度开始变化的距离为： 经τ 时间后壁内温度开始变化的距离为：
x = 4 aτ
时刻，通过壁面的热通量为： 在τ 时刻，通过壁面的热通量为：
∂t q =− λ ∂x
=λ
x =0
t w − t0
πaτ
W/m2
∴
§8.4薄材在恒温介质中的加热或冷却 薄材在恒温介质中的加热或冷却 第三类边界条件） （第三类边界条件） F tf −t t f − t0 − Bi ⋅Fo Bi ⋅Fo ： =e 或： =e t f − t0 tf −t
t = t0 ∂t ∂x 0 = （对称性）
x =0
∂t = h(t f − t x=0 ) λ x＝δ ∂x x＝δ x =0
θ ( x,τ ) t ( x,τ ) − t f x = = f ( F0 , Bi , ) θ0 t0 − t f δ
θ ( x,τ ) t ( x,τ ) − t f x = = f ( F0 , Bi , ) t0 − t f θ0 δ