振动理论第四讲 简谐振动中的能量

固有频率为：
n
m 1 1 1 4k1 4k2 k3
若简支梁受到的载荷都在中点，且
l1 l2 l3 l I1 I 2 I 3 I
则
48 EI k1 k2 k3 3 l
若钢索也为弹性体，如何处理？
例 3、 确定固有频率
1 J 2
d1 , l1

d1 , l1
2011年3月3日
简谐振动中的能量
弹簧的势能:
总的机械能为:
在不考虑摩擦时总的机械能势守恒的.
什么时候能量中只有势 能或只有动能？
势能开始向动能转化的 临界点是？
总能量因此是, 于是我们有:
进而我们有:
这里
下图为一弹簧的势能。总能量为一常数.
概念性例题: 振幅加倍
假定弹簧拉伸到 x = 2A. 那么 (a) 系统能量变为？ (b) 最大速度？ (c)最大加 速度?
k1
k2
k1
k2 k3
k123
k3
x1
x2
， F2
Fa ab
弹簧 k1 和 k 2由此产生的位移为 x1和 x2 ，则
Fb x1 k1 (a b)
Fa ， x2 k2 (a b)
这时，O点的位移为：
a F x12 x1 ( x2 x1 ) ( a b) ( a b) 2
x(0) 0, x(0) v x A sin(t )
0
A v /
kW T W kA W k W v g
v
例5、确定系统自由振动 m,m1接触的那一时刻为t=0. 这时二者有速度
m
h
m1
x0
m v0 2 gh m m1
取 m和m1与k形成的新系统 的静平衡位置为坐标原点， 则
杆1与杆2弹簧并联
k 12 k 1 k 2
对于扭转，扭矩T与角位移 ห้องสมุดไป่ตู้的关系为
GI n T l
G为剪切模量，In为扭转时界面的极惯性矩，对于圆截面
In
因此 k 12 k 1 k 2
系统的运动方程为
d
4
32 4 d14 d 2 G l l 32 1 2
b2 a 2 k1 k2
将弹簧 k1 和 k 2化为一等效弹簧 k12 ，其大小为
F ( a b) 2 k12 2 b a2 x12 k1 k2 1 k12 1 1 4k1 4k2
若a=b,则
弹簧 k12和 k3串联的等效弹簧常数为
k123 1 1 1 1 4k1 4k2 k3
4 d14 d 2 G J l l 0 32 1 2
4 k 12 G d14 d 2 J 32 J l1 l2
例4、求钢索中的最大张力
v
v
W
k
W
k
O m W mg x
k W /g
简谐振动
其固有频率为： n
3EI ml 3
例 2 一辆起重机被简化为如图所示的理论模型，试确定 系统在垂直方向振动时的固有频率
假定钢索为刚性
解：弹簧 k1 和 k 2并联 关系由图（b）可见当 在O点受载荷F时，弹 簧 k1和k 2 所受的载荷若 为 F1 和F2 ，则有：
Fb F1 ab
k12
例 1 轻质悬臂梁（如图），长为 l ,弯曲刚度EI，自 由端施加集中力F 。列出系统横向振动方程，确定其 固有频率。 解：根据题意，其挠度可按
Fl 3 材料力学求得为： 3EI
略去梁的质量，梁右端横向振动时的弹簧常数为：
3EI 3 x 0 因而，系统运动方程为： mx l
3EI k 3 l F
k
O x
mg x(0) x0 , x(0) v0 k
固有频率为

k m m1
系统的自由振动为
mg k 2 gh k x(t ) cos tm sin t k m m1 k (m m1 ) m m1