振动理论第四讲 简谐振动中的能量
大学物理简谐振动的能量、合成
§3-3简谐振动的能量下面以弹簧振子为例来说明简谐振动的能量。
某一时刻 t ：位移 ()0c o s x A t ωϕ=+ 速度 ()0s i n v A t ωωϕ=-+振动动能 ()2222011sin 22k E mv m A t ωωϕ==+ ()2201sin 2kA t ωϕ=+振动势能 ()222011cos 22p E kx kA t ωϕ==+ 总能量 22221122k p E E E kA m A A ω=+==∝ 振幅反映了振动的强度 简谐振动系统机械能守恒！动能和势能相互转化。
简谐振动的系统都是保守系统。
动能和势能在一个周期内的平均值为()2220001111()sin 24T T k k E E t dt kA t dt kA T T ωϕ==+=⎰⎰ ()2220001111()cos 24T T p p E E t d t kA t dt kA T T ωϕ==+=⎰⎰21142k p E E kA E ===动能和势能在一个周期内的平均值相等，都等于总能量的一半。
例3.4：见第一册教材第113页。
（不讲）例：光滑水平面上的弹簧振子由质量为 M 的木块和劲度系数为 k 的轻弹簧构成。
现有一个质量为 m ，速度为 0u 的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态。
（不讲） （1）试写出谐振子的振动方程；Ox（2）求出2Ax =-处系统的动能和势能。
解：（1）射入过程，水平方向动量守恒。
设射入后子弹和木块的共同速度为 0V ()00mu M m V =+00mV u M m=+ 建立坐标系如图，初始条件为00x =， 00v V = 谐振系统的圆频率为ω=初相位 032ϕπ=振幅v A ω===振动方程3o 2x π⎫=+⎪⎪⎭（2）势能 ()22220112228p m u A E kx k M m ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭O动能 ()22222031132888k p m u E E E kA kA kA M m =-=-==+Ex ：质量为kg 10103-⨯的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI ()328cos(1.0ππ+=t x 的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初相位及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的相位差； 解：(1) 0.1m,8A ωπ== rad/s ， 214T πω∴==秒， 02/3ϕπ= πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅ 2.632==A a m ω2s m -⋅ (2) 0.63N m m F ma ==J 1016.32122-⨯==m mv E J 1058.1212-⨯===E E E k p当p k E E =时，有p E E 2=，即 )21(212122kA kx ⋅=∴ m 20222±=±=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t§3-4简谐振动的合成一、两个同向同频简谐振动的合成设质点同时参与两个同方向同频率的谐振动 ()1110c o s x A t ωϕ=+()2220c o s x A t ωϕ=+质点的合位移()()12110220c o sc o sx x x A t A t ωϕωϕ=+=+++下面我们用旋转矢量法求合位移：0t = 时刻，两分振动与 x 轴正方向的夹角分别为 10ϕ 和 20ϕ，以相同的角速度 ω 逆时针转动。
振动能量计算公式
振动能量计算公式1. 简谐振动能量。
- 对于一个弹簧振子做简谐振动，其动能E_k=(1)/(2)mv^2，其中m是振子的质量，v是振子的速度。
- 根据简谐振动的速度公式v = ω Asin(ω t+φ)（ω是角频率，A是振幅，φ是初相位），则动能E_k=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t + φ)。
- 其势能E_p=(1)/(2)kx^2，对于简谐振动x = Acos(ω t+φ)，所以E_p=(1)/(2)kA^2cos^2(ω t+φ)。
- 弹簧振子的总能量E = E_k+E_p，由于k = mω^2，将E_k和E_p表达式代入可得：- E=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t+φ)+(1)/(2)mω^2A^2cos^2(ω t+φ)- 根据sin^2α+cos^2α = 1，所以E=(1)/(2)mω^2A^2（总能量守恒，与时间t 无关）。
2. 阻尼振动能量。
- 阻尼振动的能量是逐渐减小的。
- 阻尼振动的能量E(t)=E_0e^ - (2β t)/(m)，其中E_0是初始能量，β是阻尼系数，m是振子质量，t是时间。
3. 受迫振动能量。
- 在稳定状态下，受迫振动的能量取决于驱动力的功率。
- 设驱动力F = F_0cos(ω_dt)，振子做受迫振动达到稳定时的振动方程为x = Acos(ω_dt+φ)。
- 驱动力的功率P = Fv，其中v=-Aω_dsin(ω_dt + φ)，则P=-F_0Aω_dcos(ω_dt)sin(ω_dt+φ)。
- 在一个周期T=(2π)/(ω_d)内的平均功率¯P=(1)/(T)∫_0^TPdt，通过计算可得¯P=(1)/(2)F_0Aω_dsinφ。
- 受迫振动系统的能量与平均功率有关，能量E=¯Pt（t为时间），在稳定状态下能量保持稳定。
简谐振动的能量公式
简谐振动的能量公式好嘞，以下是为您生成的关于“简谐振动的能量公式”的文章：咱先来说说啥是简谐振动。
比如说一个小球挂在弹簧上，一松手，小球就这么上上下下地动起来，这就是简谐振动。
简谐振动的能量可是有讲究的，这里面的能量公式啊，能让咱们清楚地知道这个振动系统里到底藏着多少能量。
简谐振动的能量主要包括动能和势能。
动能呢，就好比那个上蹿下跳的小球跑起来的能量；势能呢，就像被拉长或者压缩的弹簧储存的能量。
那简谐振动的能量公式到底是啥呢？E = 1/2 kA²，这里的 E 表示总能量，k 是劲度系数，A 是振幅。
咱来好好琢磨琢磨这个公式。
振幅 A 越大，就意味着振动的幅度越大，那总能量也就越大。
这就好像荡秋千，荡得越高，也就是振幅越大，需要的能量就越多。
我记得有一次在课堂上给学生们讲这个知识点。
当时我拿了一个小弹簧和一个小铁球做演示。
我把弹簧拉长，然后松手让铁球振动起来，同学们都瞪大眼睛看着。
我问他们：“你们觉得这个铁球振动的能量和什么有关？”有的同学说和弹簧拉得长短有关，有的说和铁球的重量有关。
我笑着摇摇头，然后开始给他们讲解这个能量公式。
我告诉他们，就像这个弹簧，拉得越长，振幅越大，能量也就越大。
然后我又改变了弹簧的劲度系数，让他们观察铁球振动的变化。
同学们一下子就明白了，那一张张恍然大悟的小脸，让我特别有成就感。
咱们再回到这个公式。
劲度系数 k 越大，同样的振幅下，能量也会越大。
这就好比是不同的弹簧，有的硬一些，有的软一些，硬的弹簧储存的能量相对就更多。
在实际生活中，简谐振动的例子可不少。
像钟摆的摆动，吉他弦的振动，甚至是我们的心脏跳动，都可以用简谐振动的原理和能量公式来解释。
比如说吉他弦，调弦的时候，改变弦的松紧程度，其实就是在改变劲度系数。
弦调得越紧，劲度系数越大，振动的能量就会有所变化，发出来的声音也就不同啦。
还有啊，心脏的跳动也是一种简谐振动。
当我们运动的时候，心跳会加快加强，振幅和频率都发生变化，能量的供给也得跟上，不然咱们可就没力气活动啦。
1、简谐振动的特征、能量
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
简谐振动的能量要点
简谐振动的能量要点简谐振动是物体在一些平衡位置附近以固定频率来回振动的运动方式。
它是一种理想化的振动模型，常用于描述弹簧和摆钟等物理系统的振动特性。
在简谐振动中，振动物体的能量一直保持着恒定。
以下是关于简谐振动能量的几个重要要点：1.势能和动能之间的转换：在简谐振动中，振动物体的能量主要由势能和动能组成。
当物体从平衡位置偏离时，会产生弹性势能。
随着物体向平衡位置回归，弹性势能转变为动能。
两种能量形式之间的转换是周期性的，能量在势能和动能之间交替转换，始终保持总能量不变。
2.势能的表达式：简谐振动的势能可以用一个二次函数来表达。
对于弹簧振子，势能与物体偏离平衡位置的平方成正比。
势能函数可以表示为U(x) = (1/2) kx²，其中k是弹簧劲度系数，x是物体离开平衡位置的位移量。
3.动能的表达式：振动物体的动能取决于物体的质量和速度。
动能可以表示为K = (1/2) mv²，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
由于简谐振动中物体的运动速度是周期性变化的，动能的最大值等于势能的最大值。
4.总能量的守恒：在简谐振动中，总能量一直保持恒定。
振动物体的总能量可以表示为E=U+K，其中U是势能，K是动能。
由于振动物体在势能和动能之间交换能量，总能量以恒定的方式改变，但总能量的值始终保持不变。
5.振幅和能量关系：振动物体的振幅是指物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，物体在振动过程中的最大速度和最大加速度也会增大。
根据动能的表达式K = (1/2) mv²可以看出，振幅的增加会导致动能的增加，从而增加振动物体的总能量。
6.能量的周期性变化：简谐振动的能量以周期性的方式变化。
在振动周期的不同阶段，势能和动能的值会交替变化。
具体来说，在最大位移点，势能达到最大值而动能为零；在通过平衡位置时，势能为最小值而动能最大。
这种能量的周期性变化特性与简谐振动的周期性变化是紧密相关的。
简谐运动的回复力和能量 课件
解析:由题图可知,B、D、F 时刻振子在平衡位置,具有最大动能,
此时振子的速率最大;A、C、E 时刻振子在最大位移处,具有最大势
能,此时振子的速度为 0。B、F 时刻振子向负方向运动,D 时刻振子
向正方向运动,可知 D 时刻与 B、
F 时刻虽然速率相同,但方向相反。
A、E 两时刻振子的位移相同,C 时刻振子的位移虽然大小与 A、E
最大位移处,势能最大,动能最小。振动系统的机械能与振幅有关,振
幅越大,机械能就越大。
一、
Hale Waihona Puke 简谐运动的回复力1.回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一
样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为
弹簧的弹力;也可能是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回复
力是弹簧弹力和重力的合力;还可能是某一力的分力。归纳起来,回
复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受
力时不能再加上回复力。
2.关于 k 值
公式 F=-kx 中的 k 指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是
弹簧的劲度系数,系数 k 由振动系统自身决定。
3.加速度的特点
根据牛顿第二定律得 a==-x,表明弹簧振子做简谐运动时,振
成两次周期性的转化。经过平衡位置时动能最大,势能最小;经过最
大位移处时,势能最大,动能最小。
5.能量大小:如果选取平衡位置为零势能点,弹簧振子振动时的
能量就等于振子在平衡位置的动能或在最大位移处的势能。
6.能量的对称性:振子运动经过平衡位置两侧的对称点时,具有
相等的动能和相等的势能。
简谐振动的能量与周期
简谐振动的能量与周期简谐振动是物体在弹性势能恢复力作用下进行的一种周期性振动。
在简谐振动中，能量与周期之间存在一定的关系。
下面将通过分析简谐振动的能量变化以及与周期之间的关系来探讨这一问题。
一、简谐振动的能量变化简谐振动的能量可以分为两部分，一部分是动能，另一部分是势能。
在振动过程中，物体在运动的过程中，动能和势能不断地相互转换，但其总和保持不变。
1. 动能的变化物体在振动过程中具有动能。
当物体达到最大振幅时，速度最大，此时动能也最大。
而当物体通过平衡位置时，速度为零，动能也为零。
因此，可以得出结论：动能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
2. 势能的变化物体在振动过程中具有势能。
当物体位于极大位移时，弹性势能最大，此时势能也最大。
而当物体通过平衡位置时，位移为零，势能也为零。
因此，可以得出结论：势能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
3. 能量守恒定律根据能量守恒定律，简谐振动中的能量保持不变。
即动能和势能之和等于常数。
可以用下式表示：E = K + U其中，E表示总能量，K表示动能，U表示势能。
因为动能和势能之和保持不变，所以在振动过程中，动能和势能的增减是互相抵消的。
二、简谐振动的周期与能量的关系简谐振动的周期是指完成一次完整振动所需要的时间。
简谐振动的周期与其能量之间存在一定的关系。
下面将从理论和实验两个方面探讨这一问题。
1. 理论推导简谐振动的周期与物体的振动频率有关。
振动频率可以用下式表示：f = 1 / T其中，f表示振动频率，T表示周期。
根据简谐振动的定义，可以得出如下的等式：ω^2 = k / m其中，ω表示角频率，k表示弹簧的劲度系数，m表示物体的质量。
角频率与振动频率之间存在如下的关系：ω = 2πf将振动频率表达式代入上式，可以得到：ω = 2π / T通过对上述等式的变换，可以得到简谐振动的周期与劲度系数和物体质量的关系：T = 2π√(m / k)由上式可以看出，简谐振动的周期与劲度系数和物体质量有关。
简谐运动的能量
例1．用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。
解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即
两边对时间求导，得
即
令 ，则
其解为
代入守恒方程可得
A=A’
例2．劲度系数为k、原长为l、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。
2．共振角频率与共振振幅：
1）共振角频率：系统发生共振时强迫力的角频率称为共振角频率，用ωr表示。用求极值的方法
计算可得
2）共振振幅
3）共振时受迫振动位移与强迫力之间的相位差
3．说明：
1）ωr略小于ω0，当阻尼因子β趋于零而发生共振现象时，共振角频率等于系统的固有角频率，ωr=ω0；
2）当β→0，ωr=ω0时，共振振幅趋于无穷大，这种情况称为尖锐共振；此时受迫振动位移与强迫力之间的相位差为
考虑到 ，则
（2）结论
弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。
（3）解释
由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。
（4）说明
1）E∝A2，对任何简谐运动皆成立；
2）动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。
动能Ek=E-Ep
2．能量曲线
注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。
二、能量平均值
定义：一个随时间变化的物理量f(t)，在时间T内的平均值定义为
因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为
因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为
结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。
4_1_3简谐运动的能量和实例
3. 机械能
1 2 E = E k + E p = kA 2
1 2 E p = kA cos 2 (ω t + ) 2
1 2 2 E k = kA sin (ω t + ) 2
简谐运动系统机械能守恒， 简谐运动系统机械能守恒， 机械能守恒 能量没有输入(因是自由振动 因是自由振动)， 能量没有输入 因是自由振动 ， 因无阻尼)， 也无损耗 (因无阻尼 ， 因无阻尼 各时刻机械能＝起始能量E 时输入的能量)。 各时刻机械能＝起始能量 0 (t =0时输入的能量 。 时输入的能量
fn
重力的切向分量为 f t = mg sin θ 对悬点的恢复力矩 M = l ( mg sin θ ) 由转动的牛顿第二定律， 由转动的牛顿第二定律，得 l ( mg sin θ ) = Jα sin 很小时， 在角位移θ很小时， θ ≈ θ lmg α= θ --- 简谐运动 J
2
方法2 方法
J T = 2π mgl c
简谐运动中线量－角量的对比 简谐运动中线量－角量的对比 线量
线量 位移 加速度 恢复力 牛顿第 二定律 x(t)=Acos(ω t+)
a ( t ) = ω x ( t )
2
角量
θ ( t ) = θ m cos(ωt + )
α ( t ) = ω θ ( t )
2
ω=
k m
L ~ m
磁 1 2 E B = Li 能 2
ω=
1 LC
ω
三、稳定平衡位置附近的微小振动 物体一离开该平衡位置就受到恢复力而返回。 物体一离开该平衡位置就受到恢复力而返回。 在该位置，势能必为最小值。 在该位置，势能必为最小值。 dE p 保守力： 保守力：F = 势能： 势能： E p = E p ( x ) dx 一 将势能在x=0的平衡位置展开 将势能在 的平衡位置展开 定 是 d 2E p dE p 1 2 x +L 简 x+ E p ( x ) = E p ( 0) + dx 2! dx 2 x=0 x =0 谐 势能 dE p 运 平衡 d 2E p >0 动 dx = 0 最小 2 dx 稳定 x=0
简谐振动的恢复力和能量(共13张PPT)
第八页，共13页。
４、运动规律:
变加速运动
第九页，共13页。
思考
如图所示，某一时刻弹簧振子的小球运动到
平衡位置右侧，距平衡位置O点3cm处的B点，已 知小球的质量为1kg，小球离开平衡位置的最大 距离为5cm，弹簧的劲度系数为200N/m，求： （1）最大回复力的大小是多少？
如图所示，某一时刻弹簧振子的小球运动到平衡位置右侧，距平衡位置O点3cm处的B点，已知小球的质量为1kg，小球离开平衡位置的最大距离为 5cm，弹簧的劲度系数为200N/m，求：
a 方向 0 增大 最大 减小 0 增大 最大 减小
大小
速度v 方向
向右 向右 向右
向左 向左 向左
第十二页，共13页。
思考：在简谐运动过程中，振子能量变化情止时所处的位置.此时弹簧长度为原长. (3)简谐运动的位移：
总是从平衡位置指向振子位置即 总是背离平衡位置。
第四页，共13页。
思考:弹簧振子为什么会做往复运动?
1、存在力。2、惯性 思考:这个力有什么特点? 总是指向平衡位置
第五页，共13页。
2、回复力：
振动物体受到总是指向平衡位置的力
0
增大 最大 减小 0
注意：对一般的简谐运动，由于回复力不一定是弹簧的弹力，，所以K不一定是劲度系数而是回复力与位移的比例系数
位移x x ----振子离开平衡位置的位移,简称位移,
向左 向左 向右 向右 向右 （2）在B点时小球受到的回复力的大小和方向？
方向 简谐振动的恢复力和能量
最大 减小 0 最大 减小 最简单、最基本的振动是简谐运动。
-高二物理竞赛简谐振动的能量课件
谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
v A sin(t ) x A cos(t )
Ek
1 mv2 2
1 kA2 sin2 ( t )
Hale Waihona Puke 2Ep1 2
kx 2
1 kA2 cos2 ( t )
2
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
解：(1)
2
tan A1 sin1 A2 sin 2 7 81.9
A1 cos1 A2 cos 2
例6.三个同方向的简谐振动分别为
式x1 中 t3以co秒s(计8t ， 3x4以)厘, x米2 计4。co(s1()8求t x14和),x2x合3 振3动co的s(振8t 幅 和3 ) 初相位。(2)如果x1和x3合成振幅最大，则3取何值？ 如果x2和x3合成振幅最小，则3取何值？
y A2
cos (
2
1
)
s in 2
(
2
1
)
为椭圆方程.
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos( 2
1)
sin2 ( 2
1 )
两相互垂 直同频率 不同相位 差简谐振 动的合成
四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 对于两个频率不相同的谐振动，其相位差
(2 1 )t (2 1 )
解：(2) x1和x3合成振幅最大, x1和x3同相
3
1
3
4
x2和x3合成振幅最小, x1和x3反相
3
2
5
4
或 3
2
3
4
一、 阻尼振动 能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。
简谐振动的能量
Chapter 9. 机械振动 作者§：9.杨4 简茂谐田振动的能量
P. 7 / 11 .
谐振动能量曲线：
能量
Ek Ep
E Ek Ep
Ek
1 2
k
A2
sin2
(
t
)
Ep
1 2
k
A2
cos 2
( t
)
o
t Fig. 0 时的能量曲线
Chapter 9. 机械振动 作者§：9.杨4 简茂谐田振动的能量
Ep
Ep
1 2
kx 2
E
恢复力：F
dEp dx
kx
Ek Ep
A o
xA
x
▲ 谐振子的振动势能不一定等于其弹性势能；
▲ 谐振子的振动总能量不一定等于其机械能；
Chapter 9. 机械振动 作者§：9.杨4 简茂谐田振动的能量
二、势能、能量曲线
P. 5 / 11 .
谐振动势能曲线：
Ep
1 2
kx 2
Chapter 9. 机械振动 作者§：9.杨4 简茂谐田振动的能量
一、振动动能/势能/总能量
P. 1 / 11 .
简谐振动：
x A cos( t )
谐振子
k
v A sin( t )
A
o
x A
振动动能：Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2
( t
)
1 k A2 sin2 ( t )
课堂练习 如图，已知：k、m、M、u，子弹击中木块
并留在其中，求碰撞后系统振动方程 。
提示 击中后，系统初始状态：
v0
mu Mm
4.4简谐振动的能量
线性回复力 是保守力，作简 谐运动的系统机 械能守恒.
m
O x X
2
大学物理
第一版
4.4 简谐振动的能量
x, v
o
能量
简谐运动能量图
T
x t t
o T T 3T T
4 2 4
x A cos t v A sin t v t 1 2 E kA 2 1 2 Ep kA cos 2 t 2 1 t Ek m 2 A 2 sin 2 t 2
6
大学物理
第一版
4.4 简谐振动的能量
例1 质量为 0.10 kg 的物体，以振幅 1.0 10 2 m 作简谐运动，其最大加速度为 4.0 m s 2 ，求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
Байду номын сангаас
7
大学物理
第一版
4.4 简谐振动的能量
已知 m 0.10 kg，A 1.0 10 2 m，
amax 4.0 m s 2 求:(1) T ；(2) Ek,max
解（1） amax A
2
amax 1 20 s A
T
（2） Ek ,max
2π
1 2 1 mv max m 2 A 2 2 2
0.314 s
Ep 1.0 10
3
J
1 2 1 由 Ep kx m 2 x 2 2 2 2 Ep 2 0.5 10 4 m 2 x 0.707 cm x m 2
9
大学物理
第一版
本章目录 选择进入下一节： 4.0 教学基本要求 4.1 简谐振动 4.2 描述简谐振动的物理量 4.3 简谐振动的旋转矢量法 4.4 简谐振动的能量 4.5 简谐振动的合成
4.4简谐振动能量
简谐振动能量
Ek
2、
1 kA2 2
势能
sin2 ( t
x
)
A cos(
t
Ek max
1 2
kA2
Ek
)
1 T
t T
Ek
t
dt
, Ek min
1 kA2 4
0
Ep
1 kx2 2
1 kA2 cos2 ( t )
2
E p max , E p min , E p 情况同动能。
3、 机械能
E
解：系统总能量为 E 1 kA2
2
在最大位移处，物体的加
m2 m1
速度大小为a A2
对m2分析，要使其不滑下则 m2a m2 g
所以系统最大加速度为 amax g A2
A
g 2
g
m1
k
m2
E 1 kA2 1 k (g m1 m2 )2
2
2
k
0.48J
简谐振动能量
谢谢！
简谐振动能量
简谐振动能量
能量是伴随运动而存在的，简谐振动同样具有动 能和势能。
一、简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)
x A cos( t ) v A sin( t )
1、 动能
Ek
1 mv2 2
1 m 2 A2 sin2 (
2
t
)
( 2 k )
m
1 kA2 sin2 ( t )
Ek
Ep
1 2
kA2
1 2
m 2 A2
E不随时间变化，简谐振动系统机械能守恒。
简谐振动能量
二、简谐振动系统的能量特点
x, v
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4 d14 d 2 G J l l 0 32 1 2
4 k 12 G d14 d 2 J 32 J l1 l2
例4、求钢索中的最大张力
v
v
W
k
W
k
O m W mg x
k W /g
简谐振动
固有频率为：
n
m 1 1 1 4k1 4k2 k3
若简支梁受到的载荷都在中点，且
l1 l2 l3 l I1 I 2 I 3 I
则
48 EI k1 k2 k3 3 l
若钢索也为弹性体，如何处理？
例 3、 确定固有频率
1 J 2
d1 , l1
d1 , l1
k1
k2
k1
k2 k3
k123
ห้องสมุดไป่ตู้k3
x1
x2
， F2
Fa ab
弹簧 k1 和 k 2由此产生的位移为 x1和 x2 ，则
Fb x1 k1 (a b)
Fa ， x2 k2 (a b)
这时，O点的位移为：
a F x12 x1 ( x2 x1 ) ( a b) ( a b) 2
2011年3月3日
简谐振动中的能量
弹簧的势能:
总的机械能为:
在不考虑摩擦时总的机械能势守恒的.
什么时候能量中只有势 能或只有动能？
势能开始向动能转化的 临界点是？
总能量因此是, 于是我们有:
进而我们有:
这里
下图为一弹簧的势能。总能量为一常数.
概念性例题: 振幅加倍
假定弹簧拉伸到 x = 2A. 那么 (a) 系统能量变为？ (b) 最大速度？ (c)最大加 速度?
杆1与杆2弹簧并联
k 12 k 1 k 2
对于扭转，扭矩T与角位移 的关系为
GI n T l
G为剪切模量，In为扭转时界面的极惯性矩，对于圆截面
In
因此 k 12 k 1 k 2
系统的运动方程为
d
4
32 4 d14 d 2 G l l 32 1 2
b2 a 2 k1 k2
将弹簧 k1 和 k 2化为一等效弹簧 k12 ，其大小为
F ( a b) 2 k12 2 b a2 x12 k1 k2 1 k12 1 1 4k1 4k2
若a=b,则
弹簧 k12和 k3串联的等效弹簧常数为
k123 1 1 1 1 4k1 4k2 k3
k
O x
mg x(0) x0 , x(0) v0 k
固有频率为
k m m1
系统的自由振动为
mg k 2 gh k x(t ) cos tm sin t k m m1 k (m m1 ) m m1
其固有频率为： n
3EI ml 3
例 2 一辆起重机被简化为如图所示的理论模型，试确定 系统在垂直方向振动时的固有频率
假定钢索为刚性
解：弹簧 k1 和 k 2并联 关系由图（b）可见当 在O点受载荷F时，弹 簧 k1和k 2 所受的载荷若 为 F1 和F2 ，则有：
Fb F1 ab
k12
例 1 轻质悬臂梁（如图），长为 l ,弯曲刚度EI，自 由端施加集中力F 。列出系统横向振动方程，确定其 固有频率。 解：根据题意，其挠度可按
Fl 3 材料力学求得为： 3EI
略去梁的质量，梁右端横向振动时的弹簧常数为：
3EI 3 x 0 因而，系统运动方程为： mx l
3EI k 3 l F
x(0) 0, x(0) v x A sin(t )
0
A v /
kW T W kA W k W v g
v
例5、确定系统自由振动 m,m1接触的那一时刻为t=0. 这时二者有速度
m
h
m1
x0
m v0 2 gh m m1
取 m和m1与k形成的新系统 的静平衡位置为坐标原点， 则