全等三角形类型题汇总
全等三角形习题精选(含答案)
全等三角形习题精选(含答案)1.在图中，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度数。
2.在图中，已知△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O 顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为多少？3.在图中，已知△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△AADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是多少？4.在图中，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A=？5.已知，如图所示，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm，而AB+BD+AD=40cm，则AD的长度是多少？6.在图中，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE的长度是多少？7.在图中，AD是△XXX的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，交AD于G，需要证明AD与EF垂直。
8.在图中，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥XXX于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长度。
9.已知，如图所示：AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠XXX∠DAF，需要证明AF⊥CD。
10.在图中，已知AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点H，需要判断BH是否等于AC，并解释原因。
11.在图中，已知AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有ABF=AC，FD=CD，需要证明BE⊥AC。
12.在图中，△DAC、△EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，需要证明：（1）AE=BD（2）CM=CN（3）△CMN为等边三角形（4）MN∥BC。
全等三角形经典50题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=ACAD BC BACDF21E5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD8. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB AD BC A9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF和EF。
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
∴ ∠EBF=∠BEF 。
又∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
10. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CG∠CGD ＝∠EFD又EF ∥AB∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG又 EF ＝CG∴EF ＝AC11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CB ACDF21 E证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE∵AD 平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵AE ＝AC ，AD ＝AD∴△AED ≌△ACD （SAS ）∴∠E ＝∠C∵AC ＝AB+BD∴AE ＝AB+BD∵AE ＝AB+BE∴BD ＝BE∴∠BDE ＝∠E∵∠ABC ＝∠E+∠BDE∴∠ABC ＝2∠E∴∠ABC ＝2∠C12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC又∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）CD B A∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求 AD延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数，则AD=512.已知：D 是 AB 中点，/ ACB=90 °，求证： CD - AB2为BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）。
所以BF=EF, / CBF= / DEF 。
连接 BE 。
在三角形 BEF 中,BF=EF 。
所以 / EBF= / BEF 。
/ ABE= / AEB 。
所以 AB=AE 。
在三角形 ABF 和 / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF 。
所以/ C= / D , F 是 CD 中点，求证：/ 1 = / 2证明：连接BF 和EF 。
因又因为 / ABC= / AED 。
所以 三角形 AEF 中， AB=AE,BF=EF, 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 / BAF= / EAF （ / 仁/ 2）。
A3因为 EB = EF ,CE = CE ， 所以△ CEBCEF 所以/ B = / CFE 因为/ B +/ D = 180° / CFE + / CFA = 180° 所以/ D = / CFA 因为 AC 平分/ BAD 所以/ DAC = / FAC 又因为 AC = AC 所以△ ADC 也厶AFC ( SAS ) 所以AD = AF 所以AE = AF + FE = AD + BE12.如图，四边形 ABCD 中，AB // DC ，BE 、CE 分别平分/ ABC 、/ BCD ，且点 E 在AD 上。
全等三角形题型归纳经典完整
一，证明边或角相等方法：证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换，同样如果角不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，也是用等量代换（方法是：（1）同角（等角）的余角相等（2）同角（等角）的补角相等，此类型问题一般不单独作一大题，往往是通过得出角相等后用来证明三角形全等，而且一般是在双垂直的图形中）1.已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。
求证：BE ＝CD 。
2．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．3．已知：如图△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于H 。
求证：HB=HC 。
2、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ．A ED C B654321E DCBAFGE D CBAFMNE 1234EDC BA 二.证明线段和差问题 （形如：AB+BC=CD,AB=AD - CD)证明两条线段和等于另一条线段，常常使用截长补短法。
①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。
②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。
证明两条线段差等于另一条线段，只需把差化成和来解决即可。
1.如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．2、如图,已知：△ABC 中,∠BAC ＝90, AB ＝AC ,AE 是过A 一直线,且点B 、C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E . 求证：BD ＝DE ＋CE ；3、如图，AB ∥CD ，DE 平分∠ADC ，AE 平分∠BAD ，求证：AB=AD - CDP E D CB A三．证明线段的2倍或21关系 ( AB CE =2， MN BN =12） 1. 利用含30 角的直角三角形的性质证明例1. 已知，如图1，∆ABC 是等边三角形，在AC 、BC 上分别取点D 、E ，且AD ＝CE ，连结AE 、BD 交于点N ，过B 作BM AE ⊥，垂足为M ，求证：MN BN =12（提示：先证∠=BNE 60）2. 利用等线段代换（充分利用中点）例1．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ．3.转化为线段和问题，利用截长补短法例5. 已知：如图5，四边形ABCD 中，∠=D 90，对角线AC 平分∠BAD ，AC BC =，FE DCB A求证：AD AB12四．证明二倍角关系利用三角形外角和定理和等量代换如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠BD C BA。
初中数学 全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠ABC=∠AED 。
所以 ∠ABE=∠AEB 。
所以 AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形经典题型50题带答案
全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB从D 做辅助线3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠ABC=∠AED 。
所以 ∠ABE=∠AEB 。
所以 AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形32道经典题
B O P A C Q E D
2.将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个 更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表： 所剪次数 正三角形个数 1 4 2 7 3 10 4 13 … … n an
则 an=________________（用含 n 的代数式表示）. O B E D C C A
9.如图（10），AC∥DE， BC∥EF，AC＝DE 求证：AF＝BD E C F A
A
C N M N E D B M E 图② D A
D B B
C
A 图①
10． 已知： 如图，B，C，E 三点在同一条直线上，AC ∥ DE ，AC CE ，ACD B ． 求证： △ABC ≌△CDE ． D A
三、简答题 1、已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC
D O
C
A
B
2、如图，AB∥CD(1)用直尺和圆规作 C 的平分线 CP，CP 交 AB 于点 E(保留作图痕迹，不
写作法) (2)在(1)中作出的线段 CE 上取一点 F，连结 AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加 一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不 要求证明)。 A B
A E C E’
A E D l E
A E D ’ D l D’ F ’ B
A E
B
l B C’ C (2)
’ B ′ C (3) ′ ′
C (4)
D
16.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 中点，连接 AE 并延长 AE 交 BC 的延长线于 ′ 点 F．（1）求证：CF=AD；（2）若 AD=2，AB ′ =8，当 BC 为多少时，点 B 在线段 AF 的垂 直平分线上，为什么？ A D
三角形全等的判定专题训练题
三角形全等的判定专题训练题（1）1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。
求证：△ABD ≌△ACD 。
2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。
求证：△ABC ≌△EDF 。
3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。
求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。
求证：AC ⊥CE 。
6、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。
求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。
7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC 。
求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。
8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。
求证：△ABE ≌△DCF 。
9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
10、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 。
求证：AB=AC 。
11、如图（11）在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC上任一点。
求证：PA=PD 。
12、如图（12）AB ∥CD ，OA=OD ，点F 、D 、O 、A 、E 在同一直线上，AE=DF 。
求证：EB ∥CF 。
13、如图（13）△ABC ≌△EDC 。
求证：BE=AD 。
14、如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。
全等三角形经典题型50题
全等三角形经典题型50题1. 已知:AB=4,AC=2, D是BC中点, AD是整数,求AD延长AD到E,使 DE-AD.则三角形ADC全等于三角形EBD印 BE-AC-2 在三角形ABE中,AB-BE<AE-AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整数,则 AD=5AB2.已知: D是 AB中点,∠ACB=90°,求证: CD=123.已知: BC-DE,∠B -∠E,∠C-∠D, F是CD中点,求证:∠1-∠2证明:连接 BF和EF,因为BC=LD,CF=DF,∠BCF=∠EDF.所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边), 所以BF-EF∠CBF-∠DEF。
连接BE.在三角形BEF 中,BF-EF, 所以∠EBF=∠BEF。
又因为∠ABC-∠AED。
所以∠ABE=∠AEB, 所以 AB=AE, 在三角形ABF和三角形AEF中, AB=AEBF=EF.∠ABF-∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF, 所以三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以∠BAF-∠EAF(∠1=∠2).5. 已知:AD 平分∠BAC. AC=AB+BD.求证:∠B=2∠C证明: 在AC 上载取AE AB,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴/EAD/BAD 又∵AH AB, AD -AD ∴△AED ≌△ABD(SAS) ∴∠AED /B. DE D8 ∵AC -AB+BD AC AE+CH ∴CE-DE ∴∠C-∠IDC ∵∠AED-∠C ∠EDC-2∠C ∴∠B-2∠C12.如图,四边形ABCD 中, AB ∥DC,BE 、CE 分别平分∠ABC,∠BCD,且点E 在AD 上,求证:BC-AB+DC.4. 已知: ∠1=∠2,CD=DE,EF:AB,求证:EF=AC 证明: 过B 点、 作EG∥AC, 交 AD 延长线于 G 则∠DEG -∠DCA,∠DGE -∠2 又∵CD -DE ∴∠ADC≌AGDE(AAS)∴EGAC∵EF∥AB∴∠DFE=∠1∵∠1∠2∴∠DFE -∠DGE∴FF -EG ∴FF -AC6. 已知: AC 平分∠BAD. CE⊥ AB,∠B+∠D 180° , 求证: AE -AD+BE证明: 在AE 上取F.使EF-EB.连接 CF 因为 CE⊥AB 所 以∠CTB -∠CEF -90° 因为EB= EF : CE= CE,所以△CEB≌△CEF 所以∠B=∠CFE 因为∠B+∠D -180°, ∠CFE+∠CFA=180° 所以∠D=∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC=AC 所以△ADC≌△AFC(SAS) 所以AD=AF 所以AE=AF +FE=AD+BE证明:在 BC 上截取BF-BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则∠ADL ≅△l ′DL (SAS ),∠EFB =∠A;AB 平行于CD.则∠A+∠D=180°,又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCECE=CE.故△FCE≌ADCE(AAS),FC -CD.所以,BC-BF+FC-AB+CD.13.已知: AB/ED, ∠EAB=∠BDE, AF-CD, EF-BC, 求证: ∠F-∠C14.已知:AB=CD,∠A=∠D,求证:∠B=∠C15. P 是∠BAC 平分数AD 上点,AC>AB,求证: PC-PB<AC-AB∠ABE=90-∠1=2∠C延长BE 交AC 于F因为, ∠1=∠2, BE ⊥AE所以,△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF-CF AC-AB-AC-AF-CF-BF-2BE17.已知,E 是 AB 中点,AF=BD,BD=5, AC=7, 求 DCAB∥ED,AE∥BD 推出AE=BD,又有AF-CD,EF-BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB.所以:∠C -∠F 1: 证明: 设线段 AB,CD 所在的直线交于E,(当AD<BC 时,E 点是射线 BA. CD 的交点,当AD=BC 时,E 点是射线ABDC 的交点)。
全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4,AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD ，则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE 〈AB+BE 即：10—2〈2AD 〈10+2 4〈AD 〈6 又AD 是整数，则AD=52. 已知:D 是AB 中点，∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
因为 BC=ED ，CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE.在三角形BEF 中，BF=EF.所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠ABC=∠AED 。
所以 ∠ABE=∠AEB.所以 AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF ，∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2）。
ADBC4. 已知:∠1=∠2，CD=DE,EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点,作EG//AC,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE(AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD,求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证:AE=AD+BE证明： 在AE 上取F,使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°,∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC(SAS) 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图,四边形ABCD 中，AB ∥DC,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形经典题型50题[含答案]
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全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠ABC=∠AED 。
所以 ∠ABE=∠AEB 。
所以 AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形经典题型50题(含答案解析)
全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠ABC=∠AED 。
所以 ∠ABE=∠AEB 。
所以 AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以 三角形ABF和三ADBC角形AEF 全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DG E ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠E DC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
(完整版)全等三角形证明典型题及答案50例
全等三角形证明经典50 题 (含答案 )1.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD AB CD解：延长 AD 到 E,使 AD=DE∵D 是 BC 中点∴BD=DC在△ ACD 和△ BDE 中AD=DE∠B DE= ∠ ADCBD=DC∴△ ACD ≌△ BDE∴A C=BE=2∵在△ ABE 中AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE∵A B=4即4-2＜ 2AD ＜4+21＜ AD ＜ 3∴A D=212. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD AB2ADC B延长 CD 与 P，使 D 为 CP 中点。
连接AP,BP∵D P=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形∴A B=CP=1/2AB3.已知： BC=DE ，∠ B= ∠E，∠ C= ∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠ 1=∠ 2A21B EC F D证明：连接BF 和 EF∵BC=ED,CF=DF, ∠ BCF= ∠ EDF∴三角形 BCF 全等于三角形EDF( 边角边 )∴BF=EF, ∠ CBF= ∠ DEF连接 BE在三角形 BEF 中 ,BF=EF∴ ∠ EBF= ∠BEF 。
∵ ∠ ABC= ∠ AED 。
∴ ∠ ABE= ∠ AEB 。
∴AB=AE 。
在三角形 ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠A BF= ∠ ABE+ ∠ EBF=∠ AEB+ ∠ BEF= ∠ AEF∴三角形 ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠ BAF= ∠ EAF ( ∠ 1=∠ 2) 。
4.已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=ACA12FCDEB过C 作 CG∥ EF 交 AD 的延长线于点 GCG∥EF，可得，∠ EFD＝ CGDDE＝ DC∠FDE＝∠ GDC（对顶角）∴△ EFD≌△ CGDEF＝CG∠CGD＝∠ EFD又， EF∥ AB∴，∠ EFD＝∠ 1∠1= ∠ 2∴∠ CGD＝∠ 2∴△ AGC 为等腰三角形，AC＝CG又EF＝ CG∴E F＝ AC5.已知： AD 均分∠ BAC ， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ CA证明：延长AB 取点 E，使 AE ＝AC ，连接 DE∵AD 均分∠ BAC∴∠ EAD ＝∠ CAD∵AE ＝ AC ， AD ＝AD∴△ AED ≌△ ACD（SAS）∴∠ E＝∠ C∵AC ＝ AB+BD∴AE ＝ AB+BD∵AE ＝ AB+BE∴BD ＝ BE∴∠ BDE ＝∠ E∵∠ ABC ＝∠ E+∠ BDE∴∠ ABC ＝ 2∠ E∴∠ ABC ＝ 2∠ C6.已知： AC 均分∠ BAD ， CE⊥ AB ，∠ B+ ∠D=180 °，求证： AE=AD+BE证明：在AE 上取 F，使 EF＝ EB，连接 CF∵CE ⊥AB∴∠ CEB ＝∠ CEF＝ 90°∵EB ＝EF， CE＝CE，∴△ CEB ≌△ CEF∴∠ B＝∠ CFE∵∠ B＋∠ D＝ 180°，∠ CFE＋∠ CFA ＝ 180°∴∠ D＝∠ CFA∵AC 均分∠ BAD∴∠ DAC ＝∠ FAC∵AC ＝ AC∴△ ADC ≌△ AFC （ SAS）∴AD ＝ AF∴AE ＝ AF ＋ FE＝ AD ＋ BE7.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD AB CD解：延长 AD 到 E, 使 AD=DE∵D 是 BC 中点∴BD=DC在△ ACD 和△ BDE 中AD=DE∠B DE= ∠ ADCBD=DC∴△ ACD ≌△ BDE∴A C=BE=2∵在△ ABE 中AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE∵A B=4即4-2 ＜ 2AD ＜ 4+21＜ AD ＜ 3∴A D=21 8. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD AB2 ADC B解：延长 AD 到 E, 使 AD=DE∵D 是 BC 中点∴BD=DC在△ ACD 和△ BDE 中AD=DE∠B DE= ∠ ADCBD=DC∴△ ACD ≌△ BDE∴A C=BE=2∵在△ ABE 中AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE∵A B=4即4-2 ＜ 2AD ＜ 4+21＜ AD ＜ 3∴A D=29.已知： BC=DE ，∠ B= ∠E，∠ C= ∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠ 1=∠ 2A21B EC F D证明：连接BF 和 EF。
专题 全等三角形压轴题(30题)(解析版)
八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2，BF=BF∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC，∠3=∠4∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD，∠1=∠3∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．2．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．＝5，求EG的长．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S△EFG【分析】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得到∠BEF＝∠HDF，∠DHC＝∠DCH，则DH＝CD，结合∠BFE＝∠HFD，即可利用AAS判定△BEF≌△HDF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【解答】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC，∴∠DHC＝∠ACB＝∠DCH，∴DH＝CD，∵CD＝BE，∴DH＝BE，∵DH∥AB，∴∠BEF＝∠HDF，在△BEF和△HDF中，∠BFE=∠HFD∠BEF=∠HDFBE=DH，∴△BEF≌△HDF（AAS），∴DF＝EF；（2）连接DG，∵DF＝EF，FG⊥DE，∴S△DFG ＝S△EFG＝5，∴S△DEG＝10，∵CE⊥AC，CD＝4，∴S△DEG =12EG•CD=12EG×4，∴12EG×4＝10，∴EG＝5．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS判定△BEF≌△HDF是解题的关键．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【分析】（1）证得∠BAP＝∠CAD，根据SAS可证明△BAP≌△CAD；（2）可得∠BAP＝∠CAD，由SAS可证明△BAP≌△CAD，可得BP＝CD，∠B＝∠ACD，则结论得证．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS）；（2）猜想：BP＝CD，BP⊥CD．证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC+∠PAC＝∠PAD+∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS），∴BP＝CD（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ACB＝90°，即：BP⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．4．在△ABC中，∠ABC＝90°．点G在直线BC上，点E在直线AB上，且AG与CE相交于点F，过点A 作边AB的垂线AD，且CD∥AG，EB＝AD，AE＝BC．（1）如图①，当点E在△ABC的边AB上时，求∠DCE的度数；（2）如图②，当点E在线段BA的延长线上时，求证：AB＝BG．【分析】（1）如图①，连接ED，根据已知条件得到△ADE≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠BCE，ED＝CE，于是得到结论；（2）如图②，连接DE，根据已知条件得到△ADE≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠AED ＝∠BCE，ED＝CE，根据等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠ECD，推出AF平分∠DAE，于是得到结论．【解答】解：（1）如图①连接ED，∵AD⊥AB，∴∠DAE＝90°，∵∠ABC＝90°，∵AD＝EB，AE＝BC，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴∠AED＝∠BCE，ED＝CE，∴∠AED+∠BEC＝∠BCE+∠BEC；∴∠AED+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DCE＝45°；（2）如图②，连接DE，∵AD⊥AB，∴∠DAE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAE＝∠ABC，∵AD＝EB，AE＝BC，∴△ADE≌△BEC（SAS），∴∠ADE＝∠BEC，ED＝CE，∵ED＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，即∠ADE+∠ADC＝∠ECD，∴∠BEC+∠DAF＝∠AFC，∵∠BEC+∠EAF＝∠AFC，∴∠DAF＝∠EAF，∴AF平分∠DAE，∵∠DAE＝90°，∴∠EAF＝45°，∵∠EAF＝∠BAG，∴∠BAG＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABG＝90°，∴∠BGA＝∠BAG，∴AB＝BG．【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．5．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．7．（2022秋•新市区校级期中）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：（1）AD＝AE＝EC．（2）BA+BC＝2BF．【分析】（1）由△BCD和△BEA为等腰三角形，∠ABD＝∠EBC，得出∠BCD＝∠BEA，由△ABD≌△EBC可得∠BCE＝∠BDA，由∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA得出∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，进而得出∠DCE＝∠DAE，即可证明AE＝EC；（2）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由“HL”得出Rt△BFE≌Rt△BGE和Rt△BFE≌Rt△BGE，从而得出BF＝BG，FA＝CG，再通过等量代换即可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD与△EBC中，AB=EB∠ABD=∠EBD，BD=BC∴△ABD≌△EBC（SAS），∴∠BCE＝∠BDA，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∴∠BCD+∠DCE＝∠DAE+∠BEA，∵BD＝BC，BE＝BA，∴△BCD和△BEA为等腰三角形，∵∠ABD＝∠EBC，∴∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝EC＝AE；（2）证明：如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BG，∴EF＝EG，在Rt△BFE与Rt△BGE中，EF=EGBE=BE，∴Rt△BFE≌Rt△BGE（HL），∴BF＝BG，在Rt△AFE与Rt△CGE中，EF=EGEA=EC，∴Rt△AFE≌Rt△CGE（HL），∴FA＝CG，∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．8．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，BC=AC∠BCD=∠ACE，DC=EC∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．9．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是BC上一点，连接AE（1）如图1，当AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，△EHB的周长为10m，求AB的长；（2）如图2，延长BC至D，使DC＝BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG＝BE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，根据角平分线的性质得到CE＝EH＝BH，根据全等三角形的性质得到AH＝AC，于是得到结论；（2）先连接AD，依据AAS判定△ADF≌△ABE，得到DF＝BE，再判定△BCG≌△DCF，得出DF＝BG，进而得到BG＝BE．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，∴CE＝EH＝BH，在Rt△ACE与Rt△AHE中，CE=EH AE=AE，∴Rt△ACE与Rt△AHE（HL），∴AH＝AC，∴AH＝BC，∵△EHB的周长为10m，∴AB＝AH+BH＝BC+BH＝10m；（2）如图所示，连接AD，线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，则AE＝AF，∠EAF＝90°，∵AC⊥BD，DC＝BC，∴AD＝AB，∠ABE＝∠ADC＝45°，∴∠BAD＝90°＝∠EAF，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴DF＝BE，∠ADF＝∠ABE＝45°，∴∠FDC＝90°，∵BG⊥BC，∴∠CBG＝∠CDF＝90°，又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCF，∴△BCG≌△DCF（ASA），∴DF＝BG，∴BG＝BE．【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等得出结论．10．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图①，点D在线段AM上，且DM＝CM．求证：△BDM≌△ACM；（2）如图②，在（1）的条件下，点E是△ABC外一点，且满足EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且F为线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．【分析】（1）利用SAS即可证明△BMD≌△AMC．（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，证△BMD≌△AMC得AC＝BD，再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．【解答】（1）证明：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，在△BMD和△AMC中，DM=CM∠BMD=∠AMC BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS）；（2）证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：∵△BMD≌△AMC∴BD＝AC，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，BF=FC∠BFG=∠EFC FG=FE，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．（1）求证：BD＝CD．（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC．（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．【分析】（1）根据∠A＝120°，∠C＝20°，可得∠ABC的度数，再根据BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠C＝20°，进而可得结论；（2）如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，证明△ABE≌△AFE，可得BE＝EF＝FC，进而可得AB+BE ＝AC；（3）如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，结合（1）和AE是∠BAC的外角平分线，可得FE＝AF＝AC，进而可得结论BE﹣AB＝AC．【解答】（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC＝20°，∴∠DBC＝∠C＝20°，∴BD＝CD；（2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，∴∠FEC＝∠DBC＝20°，∴∠FEC＝∠C＝20°，∴∠AFE＝40°，FE＝FC，∴∠AFE＝∠ABC，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，∠BAE=∠FAE∠ABE=∠AFE，AE=AE∴△ABE≌△AFE（AAS），∴BE＝EF，∴BE＝EF＝FC，∴AB+BE＝AF+FC＝AC；（3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下：如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，∴∠AFC＝∠DBC＝20°，∴∠AFC＝∠C＝20°，∴AF＝AC，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠EAB=12（180°﹣∠ABC）＝30°，∵∠ABC＝40°，∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°，∴∠E＝∠FAE＝10°，∴FE＝AF，∴FE＝AF＝AC，∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．12．（2022秋•渝北区校级期末）已在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上，且∠DCB＝30°时，请探究DF，EF，CF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使∠DGP＝60°，交∠DFG 的平分线于点Q，求证：FD+FG＝FQ．【分析】（1）在EF上找到G点使得FG＝CF，易证△CFG是等边三角形，可得CG＝CF＝GF，即可求得∠ECG＝∠ACD，即可证明△ECG≌△CDF，可得DF＝EG，即可解题；（2）在FP上找到H点，使得FH＝FG，易证△FGH是等边三角形，可得∠GHF＝∠FGH＝60°，GH ＝FG＝FH，即可求得∠FGD＝∠QGH，即可证明△DFG≌△QHG，可得DF＝QH，即可解题．【解答】（1）解：EF＝DF+CF；在EF上找到G点使得FG＝CF，如图2，∵∠BCD＝30°，∠ACB＝45°，∴∠ACD＝15°，∴∠CFG＝∠CDE+∠ACD＝60°，∵FG＝CF，∴△CFG是等边三角形，∴CG＝CF＝GF，∠FCG＝60°，∴∠GCE＝90°﹣15°﹣60°＝15°，在△ECG和△CDF中，CG=CF∠ECG=∠ACD，CE=CD∴△ECG≌△CDF，（SAS）∴DF＝EG，∵EF＝EG+GF，∴EF＝DF+CF；（2）证明：在FQ上找到H点，使得FH＝FG，如图3，∵FQ平分∠DFG，∴∠QFG＝60°，∵FG＝FH，∴△FGH是等边三角形，∴∠GHF＝∠FGH＝60°，GH＝FG＝FH，∵∠AFD＝∠CDE+∠ACD＝60°，∴∠GHQ＝∠DFG＝120°，∵∠FGD+∠DGH＝60°，∠DGH+∠QGH＝60°，∠QGH＝∠DGF，∴∠FGD＝∠QGH，在△DFG和△QHG中，∠DFG=∠QHG=120°FG=HG，∠FGD=∠QGH∴△DFG≌△QHG，（ASA）∴DF＝QH，∵FQ＝FH+QH，∴FQ＝FG+FD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ECG≌△CDF和△DFG≌△QHG是解题的关键．13．（2022春•运城期末）综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠ADB，结合平角的定义可得∠DAE+∠DFE＝180°，根据∠BFC+∠DFE＝180°，可求得∠BFC＝∠DAE，即可求解；（3）连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．结合全等三角形的性质利用HL证明Rt△AFJ≌Rt△AFH，Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ＝FH，EJ＝DH，进而可证明结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠CAE＝∠BAD．在△ACE和△ABD中，AC=AB∠CAE=∠BAD，AE=AD∴△ACE ≌△ABD （SAS ）；（2）解：∵△ACE ≌△ABD ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴∠AEF +∠AEC ＝∠AEF +∠ADB ＝180°．∴∠DAE +∠DFE ＝180°，∵∠BFC +∠DFE ＝180°，∴∠BFC ＝∠DAE ＝∠BAC ＝50°；（3）证明：如图，连接AF ，过点A 作AJ ⊥CF 于点J ．∵△ACE ≌△ABD ，∴S △ACE ＝S △ABD ，CE ＝BD ，∵AJ ⊥CE ，AH ⊥BD ．∴12CE ⋅AJ =12BD ⋅AH ，∴AJ ＝AH ．在Rt △AFJ 和Rt △AFH 中，AF =AF AJ =AH ，∴Rt △AFJ ≌Rt △AFH （HL ），∴FJ ＝FH ．在Rt △AJE 和Rt △AHD 中，AE =AD AJ =AH ，∴Rt △AJE ≌Rt △AHD （HL ），∴EJ ＝DH ，∴EF +DH ＝EF +EJ ＝FJ ＝FH ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．14．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）方法一：先求∠ABC 和∠ACB 的和为100°，再根据角平分线求∠DBC +∠DCB ＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°−12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°−12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF ≌△DMF （SAS ），可得GF ＝MF ，进而可以解决问题．【解答】（1）解：方法一：∵∠A ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝100°，∵BE 平分∠ABC 、CD 平分∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB ＝50°，∴∠EDC ＝∠DBC +∠DCB ＝50°；方法二：如图，在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°−12∠ABC﹣∠DMB＝180°−12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDFDF=DF，∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°；（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长．【分析】（1）证△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论；（2）设∠DAC＝∠DAE＝α，在AB上截取AM＝AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得∠DME＝∠B，然后证∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，即可得出结论；（3）求出MB＝AB﹣AM＝8，由全等三角形的性质得ME＝BE，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠DEA＝90°，在△ACD和△AED中，∠C=∠DEA∠DAC=∠DAE，AD=AD∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE；（2）证明：设∠DAC＝∠DAE＝α，∵∠C＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°﹣α，∠ADE＝90°﹣α，则∠FDB＝∠FCD+∠DFC＝90°+∠DFC，在AB上截取AM＝AF，连接MD，如图所示：在△FAD和△MAD中，AF=AM∠DAF=∠DAM，AD=AD∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，∵BD＝DF，∴BD＝MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，MD=BDDE=DE∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴∠DME＝∠B，∵∠DAC＝∠DAE＝α，∴∠DAC+∠ADF＝∠ADM+∠ADM，在△FAD中，∠DAC+∠ADF＝∠DFC，在△AMD中，∠DAE+∠ADM＝∠DME，∴∠DFC＝∠DME，∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝90°，在△ABC中，∠B＝90°﹣2α，∴∠DFC＝90°﹣2α，∴∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，∵∠BAC＝∠DAC+∠DAE＝2α，∴∠FDB+∠BAC＝180°﹣2α+2α＝180°；（3）解：∵AF＝AM，且AF＝1.5，∴AM＝1.5，∵AB＝9.5，∴MB＝AB﹣AM＝9.5﹣1.5＝8，由（2）得：Rt△MDE≌Rt△BDE，∴ME＝BE，∴BE=12BM=4，即BM的长为4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．16．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：BD＝CE．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.【分析】（1）根据SAS证△BAD≌△CAE，可得结论；（2）①由△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°，理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°，ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β．如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β．综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2022春•南海区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应的图形并说明理由；（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BD 的位置关系．【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质求解即可；②先求出∠CAF＝∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC＝AE，∠AED＝45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF＝∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠AED，然后求出∠BCF＝90°，从而得到CF ⊥BD．【解答】解：（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD，AF=AD∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠FCB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；②①中的结论成立，理由如下：如图②：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，AB＝AC，∴∠BAC＝∠DAF＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，AC=AB∠CAF=∠BAD，AF=AD∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；（3）如图③，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝AE，∠AED＝45°，∵∠CAF+∠CAD＝90°，∠EAD+∠CAD＝90°，∴∠CAF＝∠EAD，在△ACF和△AED中，AC=AE∠CAF=∠EAD，AF=AD∴△ACF≌△AED（SAS），∴∠ACF＝∠AED＝45°，∴∠BCF＝∠ACF+∠BCA＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BC．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作出合理的辅助线根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．18．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）△ABC≌△ADE吗？为什么？（2）求∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，试说明CD＝2BF+DE．【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△ADE；（2）由等腰直角三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°，由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠AED＝45°，即可求解；（3）由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AG＝AD，∠ABG＝∠AGB＝∠ADC，由“AAS”可证△ACD≌△ACG，可得CD＝CG，可得结论．【解答】证明：（1）△ABC≌△ADE，理由如下：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠EAD＝∠CAB，在△ABC和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DAE，AC=AE∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED＝45°，∵AF⊥CB，∴∠FAC＝45°，∴∠FAE＝135°；（3）∵△ABC≌△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，BC＝DE，∴∠ADC＝∠ABG，∵AF⊥BF，BF＝FG，∴AB＝AG，∴AG＝AD，∠ABG＝∠AGB＝∠ADC，又∵∠ACG＝∠ACD＝45°，∴△ACD≌△ACG（AAS），∴CD＝CG，∴CD＝BG+CB＝2BF+DE．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明△ACD≌△ACG是解题的关键．19．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在直线AC上，点E在直线AB上，∠ADE＝∠ABC．（1）如图1，当点D、E分别在边AC、AB上时，求证：DE⊥AB；（2）如图2，当点D在CA延长线上，点E在BA延长线上时，DE、BC延长线交于点F，作∠EAC的角平分线AG交DF于点G，求证：∠D+2∠DGA＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG交CD于点H，若∠DGH＝∠DHG，∠AGB＝3∠CBH，求∠DGA的度数．【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ABC+∠A＝90°，等量代换得出∠ADE+∠A＝90°，进而得出∠AED＝90°，根据垂直的定义即可得解；（2）过点G作GN∥FB交CD于点N，根据平行线的性质及垂直的定义推出∠AEG＝∠ANG＝90°，根据角平分线定义得出∠EAG＝∠NAG，利用AAS证明△EAG≌△NAG，根据全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得解；（3）根据直角三角形的性质及对顶角相等得出∠DGH＝90°−13∠AGB，根据等腰三角形的性质推出∠DGH＝90°−12∠D，则90°−13∠AGB＝90°−12∠D，进而推出∠AGB=32∠D，则∠DGA+32∠D＝90°−12∠D，结合（2）求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠ADE+∠A＝90°，∴∠AED＝90°，∴DE⊥AB；（2）证明：如图2，过点G作GN∥FB交CD于点N，则∠GNC＝∠ACB＝90°，∴GN⊥CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∵∠ADE＝∠ABC，∠BAC＝∠DAE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠DEA＝90°，∴BE⊥DF，∴∠AEG＝∠ANG＝90°，∵AG平分∠EAC，∴∠EAG＝∠NAG，在△EAG和△NAG中，∠AEG=∠ANG∠EAG=∠NAGAG=AG，∴△EAG≌△NAG（AAS），∴∠DGA＝∠NGA，∴∠DGN＝2∠DGA，∵∠D+∠DGN＝90°，∴∠D+2∠DGA＝90°；（3）解：∵∠AGB＝3∠CBH，∴∠CBH=13∠AGB，∵∠DHG＝∠CHB＝90°﹣∠CBH，∴∠DGH＝90°−13∠AGB，∵∠DGH＝∠DHG，∴∠DGH=12（180°﹣∠D）＝90°−12∠D，∴90°−13∠AGB＝90°−12∠D，∴∠AGB=32∠D，∵∠DGH＝∠DGA+∠AGB，∴∠DGA+∠AGB＝90°−12∠D，∴∠DGA+32∠D＝90°−12∠D，∴2∠D+∠DGA＝90°，由（2）知，∠D+2∠DGA＝90°，∴∠D＝∠DGA，∴3∠DGA＝90°，∴∠DGA＝30°．【点评】此题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．20．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC．理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90°∠FCE=∠DCH，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB，∴AC＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：AC＝EF﹣CF，理由如下：过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=90°，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝HB﹣CH，∴AC＝EF﹣CF；（3）AC＝CF﹣EF．如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，同理可证△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CH﹣BH，∴AC＝CF﹣EF．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．21．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（1）如图1，∠B＝∠D＝90°，E是BD的中点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）过点E作EF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，根据平行线的性质得到BD⊥CD，由角平分线的性质得到BE＝EF，证得Rt△AEF≌Rt△ABE，根据全等三角形到现在得到AF＝AB，同理CF＝CD，等量代换得到结论；（3）成立，如图3，在AC上截取AF＝AB，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠FAE，推出△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠ABE，根据角平行线的性质得到∠ABE+∠CDE＝180°，求得∠CFE＝∠CDE，证得△CEF≌△CDE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过E作EF⊥AC于F，∵∠B＝90°，AE平分∠BAC，∴EF＝BE，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，∴EF＝DE，∵∠D＝90°，∴CE平分∠ACD；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴BD⊥CD，∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF，在Rt△AEF与Rt△ABE中，BE=EF AE=AE，∴Rt△AEF≌Rt△ABE，∴AF＝AB，同理CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AB+CD；（3）成立，如图3，在AC上截取AF＝AB，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE与△AFE中，AB=AF∠BAE=∠FAEAE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠AFE＝∠ABE，∵AM∥CN，∴∠ABE+∠CDE＝180°，∵∠AFE+∠EFC＝180°，∴∠CFE＝∠CDE，∵CE平分∠ACD，∴∠FCE＝∠DCE，在△CEF与△CDE中，∠CFE=∠CDE ∠FCE=∠DCE CE=CE，∴△CEF≌△CDE，∴CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AB+CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE＝AF+CF，因此只要求出EF＝CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE＝BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF＝CF，也就能证得本题的结论了；（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；（3）结论不成立．结论：AF＝DE+EF．同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，BF=BFBC=BE∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）不成立．结论：AF＝DE+EF．。
全等三角形经典题型50题带答案
全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 】即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB从D 做辅助线3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠ABC=∠AED 。
所以 ∠ABE=∠AEB 。
所以 AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
'BADBCC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形证实经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD延伸AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证：12CD AB3. 已知：BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F 是CD 中点,求证：∠1=∠2证实：衔接BF 和EF. 因为AD BCBC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF. 所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边). 所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF. 衔接BE. 在三角形BEF 中,BF=EF. 所以 ∠EBF=∠BEF. 又因为 ∠ABC=∠AED. 所以 ∠ABE=∠AEB. 所以 AB=AE. 在三角形ABF 和三角形AEF 中, AB=AE,BF=E F, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF. 所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等. 所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2).4. 已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证：EF=AC 证实： 过E 点,作EG//AC,交AD 延伸线于G则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2 又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 等分∠BAC,AC=AB+BD,求证：∠B=2∠C证实： 在AC 上截取AE=AB,衔接ED ∵AD 等分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB,AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 等分∠BAD,CE ⊥AB,∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE 证实： 在AE 上取F,使EF ＝EB,衔接CF 因为CE⊥AB 所以CD B AB AC DF 2 1 E∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF,CE ＝CE, 所以△CEB≌△CEF 所以∠B＝∠CFE 因为∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 等分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC,BE.CE 分离等分∠ABC.∠BCD,且点E 在AD 上.求证：BC=AB+DC.证实:在BC 上截取BF=BA,衔接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D; 又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证：∠F=∠C D CB A FEAB//ED,AE//BD 推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB,所以:∠C=∠F14. 已知：AB=CD,∠A=∠D,求证：∠B=∠C证实：设线段AB,CD 地点的直线交于E,（当AD<BC 时,E 点是射线BA,CD 的交点,当AD>BC时,E 点是射线AB,DC 的交点）.则： △AED 是等腰三角形. 所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量,或等量减等量） 所以：△BEC 是等腰三角形 所以：角B=角C.15. P 是∠BAC 等分线AD 上一点,AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB作B 关于AD 的对称点B‘,因为AD 是角BAC 的等分线,B'在线段AC 上（在AC 中央,因为AB 较短） 因为PC<PB’+B‘C,PC -PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE ⊥AE,求证：AC-AB=2BE∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C∠1=∠BAC/2=90-2∠C∠ABE=90-∠1=2∠C延伸BE 交AC 于F A BC D PD A C B因为,∠1 =∠2,BE⊥AE所以,△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC -∠ABE=3∠C -2∠C=∠C BF=C F AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC 作AG∥BD 交DE 延伸线于G AGE 全等BDE AG=BD=5 AGF∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=218．（5分）如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证：AD ⊥BC ．延伸AD 至H 交BC 于H; BD=DC;所以: ∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2; ∠ABC=∠ACB;所以: AB=AC;三角形ABD 全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD; AD 是等腰三角形的顶角等分线 所以: AD 垂直BC19．（5分）如图,OM 等分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A .B 为垂足,AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA因为AOM 与MOB 都为直角三角形.共用OM,且∠MOA=∠MOB F A EDCB所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA因为∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA20．（5分）如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的等分线与∠CBA 的等分线订交于E ,CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．证实： 做BE 的延伸线,与AP 订交于F 点, ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角等分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中,AE⊥BF,且AE 为∠FAB 的角等分线∴三角形FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=A F=AD+DF=AD+BC21．（6分）如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的等分线,且AB =AC +CD ,求证：∠C =2∠B证实：在AB 上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ADE≌△ADC.DE=CD,∠AED=∠C∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB -AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B22．（6分）如图①,E .F 分离为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M ．PED C BA D C BA（1）求证：MB =MD ,ME =MF（2）当E .F 两点移动到如图②的地位时,其余前提不变,上述结论可否成立？若成立请赐与证实;若不成立请解释来由．剖析：经由过程证实两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA 以及垂线的性质得出四边形BEDF 是平行四边形．再依据平行四边形的性质得出结论．解答：解：（1）衔接BE,DF ． ∵DE⊥AC 于E,BF⊥AC 于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF ． ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴MB=MD,ME=MF;（2）衔接BE,DF ． ∵DE⊥AC 于E,BF⊥AC 于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF ． ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴MB=MD,ME=MF．23．（7分）已知：如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点,（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）不雅看图前,在不添帮助线的情形下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出成果,不请求证实）：(1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD 是平行四边形.于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC.由AE=BE,所以△AED≌△EBC.O ED C B A（2）△AEC.△ACD.△ECD 都面积相等.24．（7分）如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的等分线,BD 的延伸线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延伸线于F ．求证：BD =2CE ． 证实：延伸BA.CE,两线订交于点 F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF 和△BEC 中∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE25.（10分）如图：DF=CE,AD=BC,∠D=∠C.求证：△AED ≌△BFC.26.（10分）如图：AE.BC 交于点M,F 点在AM 上,BE ∥CF,BE=CF.求证：AM 是△ABC 的中线.证实： ∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.27.（10分）如图：在△ABC 中,BA=BC,D 是AC 的中点.求证：BD ⊥AC.FED C B AM F E CBA三角形ABD 和三角形BCD 的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDB 相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD 垂直AC28.（10分）AB=AC,DB=DC,F 是AD 的延伸线上的一点.求证：BF=CF证实：在△ABD 与△ACD 中AB=AC BD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC29.（12分）如图：AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证：AF=DE.因为AB=DC AE=DF, CE=FBCE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF因为 角DCB=角ABF AB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD ,如图所示,个中AB ∥CD ,在AB ,CD ,BC 三段路旁各有一只小石凳E ,F ,M ,且BE ＝CF ,M 在BC 的中点,试解释三只石凳E ,F ,M 正好在一条直线上.证： ∵AB 平行CD （已知） ∴∠B=∠C（两直线平行,内错角相等） ∵M 在BC 的中点（已知） ∴EM=FM（中点界说） 在△BME DCB A FD CB A F E DC BA和△CMF 中 BE=CF （已知） ∠B=∠C （已证） EM=FM （已证） ∴△BME 全等与△CMF（SAS ） ∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E,M,F 在统一向线上31．已知：点A.F.E.C 在统一条直线上, AF ＝CE,BE∥DF,BE＝DF ．求证：△ABE≌△CDF．证实： ∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS ）32.已知：如图所示,AB ＝AD,BC ＝DC,E.F 分离是DC.BC 的中点,求证： AE ＝AF.贯穿连接BD,得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC,由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在联合已知前提证得：△ADE ≌△ABF得AE=AF 33．如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC. 又因为AC 是公共边,所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC. 所以BC 等于DC,角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等 DA F E 654321E D CB A于三角形BEC 所以∠5=∠634．已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,C 在AF 上,且AD ＝CF ,求证：△ABC ≌△DEF ．因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB 平行DE,BC 平行EF 所以角A+角EDF,角BCA=角F （两直线平行,内错角相等） 然后SSA （角角边）三角形全等35．已知：如图,AB =AC ,BD AC ,CE AB ,垂足分离为D .E ,BD .CE 订交于点F ,求证：BE =CD ．证实：因为 AB=AC, 所以∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC,CE⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD36、如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的等分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F .求证：DE =DF ．AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF37.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB =5 ,求AD 的长？ 角C=角E=90度 角B=角EAD=90度-角BACBC=AE A C B DE F A EDC FD C B A E△ABC ≌△DAEAD=AB=538．如图：AB=AC,ME ⊥AB,MF ⊥AC,垂足分离为E.F,ME=MF.求证：MB=MC证实∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 ∴∠B=∠C又∵ME=MF,△BEM 和△CEM 是直角三角形∴△BEM 全等于△CEM ∴MB=MC39.如图,给出五个等量关系：①AD BC =②AC BD =③CE DE =④D C ∠=∠⑤DAB CBA ∠=∠．请你以个中两个为前提,另三个中的一个为结论,推出一个准确的结论（只需写出一种情形）,并加以证实．已知：求证：证实：已知1,2 求证4 因为AD=BC AC=BD,在四边形ADBC 中,连AB 所以△ADB 全等于△BCA 所以角D=角C以4,5为前提,1为结论. 即：在四边形ABCD 中,∠D=∠C,∠A=∠B,求证：AD=BC 因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C,∠A=∠B, 所以 2(∠A+∠D)=360°, ∠A+∠D=180°, 所以 AB//DC40．在△ABC 中,︒=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经由点C ,且C A B CＤ ＥMN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 扭转到图1的地位时,求证： ①ADC ∆≌CEB ∆;②BE AD DE +=;(2)当直线MN 绕点C 扭转到图2的地位时,（1）中的结论还成立吗？若成立,请给出证实;若不成立,解释来由.（1）证实：∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°, 而AD⊥MN 于D,BE⊥MN 于E, ∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE． 在Rt△ADC 和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB （AAS ）, ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=DC+CE=BE+AD;（2）不成立,证实：在△ADC 和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB, ∴△ADC≌△CEB （AAS ）, ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=CE -CD=AD-BE;41．如图所示,已知AE ⊥AB,AF ⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证：（1）EC=BF;（2）EC ⊥BF（1）证实;因为AE 垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 因为AF 垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以三角形EAC和三角形FAB 全等 所以EC=BF 角ECA=角F（2）(2)延伸FB 与EC 的延伸线交于点G 因为角ECA=角F(已证） 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所以EC 垂直BF42．如图：BE ⊥AC,CF ⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证：（1）AM=AN;A E B M C F（2）AM ⊥AN.证实： （1） ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN（2） ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF 衔接BF.CE,证实△ABF 全等于△DEC（SAS ）,然后经由过程四边形BCEF 对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC 平行于EF44．如图,已知AC ∥BD,EA.EB 分离等分∠CAB 和∠DBA,CD 过点E,则AB 与AC+BD 相等吗？请解释来由在AB 上取点N ,使得AN=AC∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE 又AC 平行BD所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE 为公共边,所以三角形EBN 全等三角形EBD F C AM N E1234所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD45.（10分） 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．证实： ∵AD 是中线 ∴BD=CD∵DF=DE,∠BDE=∠CDF ∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD ∴BE‖CF46.(10分)已知：如图,AB ＝CD ,DE ⊥AC ,BF⊥AC ,E ,F 是垂足,DE BF ．求证：AB CD ∥．证实：∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠AFB=90°, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中,DE=BF,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴∠C=∠A, ∴AB∥CD．47.(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AB=CD【待定】48.(10分)如图,已知AC ⊥AB,DB ⊥AB,AC ＝BE,AE ＝BD,试猜测线段CE 与DE 的大小与地位关系,并证实你的结论.结论：CE>DE.当∠AEB 越小,则DE 越小. 证实： 过D 作AE 平行线与AC 交于F,衔接FB 由已知前提知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△DFB 为等腰三角形. RT△BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB<90° AC E DB A D EC B F∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90° △DFB 中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE49.(10分)如图,已知AB ＝DC,AC ＝DB,BE ＝CE,求证：AE ＝DE. 先证实△ABC ≌△BDC 的出角ABC=角DCB 在证实△ABE ≌△DCE得出AE=DE 50．如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F,求证：∠ADC ＝∠BDE ．证实：作CG 等分∠ACB 交AD 于G∵∠ACB=90° ∴∠ACG= ∠DCG=45°∵∠ACB=90° AC=BC ∴∠B=∠BAC=45° ∴∠B=∠DCG=∠ACG ∵CF⊥AD ∴∠ACF+∠DCF=90° ∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF ∵ AC=CB ∠ACG=∠B ∴△ACG≌△CBE ∴CG=BE ∵∠DCG=∠B CD=BD ∴△CDG ≌△BDE ∴∠ADC=∠BDE AB EC DA B C D E F 图9。
8年级数学全等三角形经典例题
8年级数学全等三角形经典例题一、全等三角形经典例题1。
例1：如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD。
解析：1. 在△ABD和△ACD中：- 已知AB = AC（题目中给出的等腰三角形的两腰相等）。
- 因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD（中线的定义）。
- AD = AD（公共边）。
2. 根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△ABD≌△ACD。
二、全等三角形经典例题2。
例2：已知：如图，AB = AD，∠B = ∠D，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE。
解析：1. 因为∠1 = ∠2，所以∠1+∠DAC = ∠2+∠DAC，即∠BAC = ∠DAE。
2. 在△ABC和△ADE中：- 已知AB = AD。
- ∠B = ∠D。
- 且∠BAC = ∠DAE（已证）。
3. 根据ASA（角边角）全等判定定理，可得△ABC≌△ADE。
三、全等三角形经典例题3。
例3：如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，AB = 6cm，求△DEB的周长。
解析：1. 因为AD平分∠CAB，∠C = 90°，DE⊥AB，根据角平分线的性质，可知CD = DE。
2. 在Rt△ACD和Rt△AED中：- AD = AD（公共边）。
- CD = DE（已证角平分线性质）。
- 根据HL（斜边直角边）定理，可得Rt△ACD≌Rt△AED。
- 所以AC = AE。
3. 因为AC = BC，AB = 6cm，设AC = BC=x，根据勾股定理AC^2+BC^2=AB^2，即x^2+x^2=6^2，2x^2=36，x^2=18，x = 3√(2)。
4. 又因为AE = AC = 3\sqrt{2}\)，所以BE=AB - AE = 6 - 3\sqrt{2}\)。
5. 而△DEB的周长为DE+DB+BE，因为CD = DE，BC = BD + CD，所以△DEB的周长为BC+BE = 3\sqrt{2}+6 - 3\sqrt{2}=6cm。
全面的全等三角形题型汇总
全等三角形的总复习题型：角角边证明三角形全等1、如图，若∠1=∠2，∠C=∠D，则证明△ADB≌△ACB。
2、如图，已知：AD=AE，ABEACD∠=∠，求证：BD=CE.3、如图，已知：ABDBACDC∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD.4、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE交CD于F，且AD=DF，求证：AC= BF。
BAE FCDD EBAOD C5、如图，已知：BE=CD，∠B=∠C，求证：∠1=∠2。
题型:边角边证明三角形全等1、如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，证明：△ABD≌△ACD。
2、如图，已知AB=BE，BC=BD，∠1=∠2，证明：∠D=∠C。
3、如右图，AB=AD ，∠BAD=∠CAE，AC=AE，求证:CB=ED。
4、已知：如图，AB=CD，AB//DC．求证:AD//BC，AD=BC。
ABCDE5、如图，D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠ADE=∠AED，求证:AB=AC。
题型：角边角证明三角形全等1、如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DCB，试说明△ABC≌△DCB。
A DB C2、已知：如图, AB=AC , ∠B=∠C，BE、DC交于O点。
求证:BD=CE.3、如图：在△ABC和△DBC中,∠ABD=∠DCA,∠DBC=∠ACB,求证：AC=DB.4、如图，已知：AE=CE，∠A=∠C，∠BED=∠AEC，求证：AB=CD.AEC B D5、已知：如图，AB//DE，AC//DF，BE=CF，求证：∠A=∠B.6、如图, AB//CD, AD、BC交于O点, EF过点O分别交AB、CD于E、F，且AE=DF, 求证：O是EF的中点．7、已知：如图,AE=BF,AD//BC,AB、CD交于O点。
求证：CE=DF.题型：边边边证明三角形全等1、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．2、已知：如图，AC=AD，BC=BD，求证：∠C=∠D3、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．4、已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE.求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）△ABE≌△ACD．5、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE//CF．6、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB,求证:(1)∠A=∠C；(2)AB//CD ,AD//BC.题型：HL定理证明三角形全等1、如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.2、如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF，试判断AB与CD的位置关系，并证明3、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线DN经过点C，且AD⊥DN于D，BE⊥DN于E，求证：DE=AD+BE.5、如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：AF=CE.6、如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求证：△ACF≌△BDE.7、已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.求证：BE=DF.8、如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC题型：角平分线的应用1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为___________。
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13. 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE. 求证：∠3＝∠1＋∠2.5. 一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整的碎片(如图所示)，聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．下列四个答案中考虑最全面的是( )A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2 或2、3 去就可以了C．带1、4 或3、4 去就可以了D．带1、4 或2、4 或3、4 去均可16. 将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB ＝90°，∠A＝∠D＝30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC所在直线于点 F.(1)求证：AF＋EF＝DE；(2)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角α，且 0°<α<60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立；(3)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请写出 AF，EF与 DE之间的关系，并说明理由．板块一、三角形全等的判定与应用在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，若1=2，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．【巩固】如图所示，AB = AD，BC = DC，E、F在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．板块二、三角形全等的判定与应用（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试）如图，AC∥DE，BC∥EF，AC = DE．求证：AF =BD．C（2008年宜宾市）已知：如图，AD = BC，AC = BD，求证：C = D．巩固】如图，AC、BD相交于O点，且AC = BD，AB = CD，求证：OA = OD（哈尔滨市2008 年初中升学考试）已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB = DC，BE =CF，B= C．求证：OA = OD．已知，如图，AB=AC，CE⊥AB，BF⊥AC，求证：BF =CEE、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BE = CF．求证：AE⊥BF．巩固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GE⊥EF，GE = EF．求证：BG+ CF = BC在凸五边形中，B = E，C = D，BC = DE，M为CD中点．求证：AM⊥CD如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN = 60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN⊥DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？D C已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE. 如图所示，ABC 是边长为1的正三角形，BDC 是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ，点M 、 N 分别在AB 、 AC 上，求AMN 的周长．五边形 ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD 平分∠CDE如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ， DM=CM=a ，AD=h ，CB=k ， ∠AMD=75°，∠BMC=45°，则 AB 的长 k+hC. 2D. hCA板块四、与角平分线有关的全等问题 如图，已知ABC 的周长是21 ，OB ， OC 分别平分ABC 和ACB ，OD ⊥ BC 于D ，且OD = 3 ，求 ABC 的面积．在ABC 中， D 为BC 边上的点，已知BAD = CAD ， BD = CD ，求证： AB = AC 已知ABC 中，AB = AC ，BE 、CD 分别是ABC 及ACB 平分线．求证：CD =BE ． 已知ABC 中，A = 60o ，BD 、CE 分别平分ABC 和ACB ，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．E如图，已知E 是AC 上的一点，又1 =2 ，3 =4 ．求证： ED = EB ．（“希望杯”竞赛试题）长方形 ABCD 中，AB=4，BC=7，∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E ，EF ⊥ED 交 AB 于 F ，则 EF= ___________ ．【巩固】如图，在ABC 中， AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点， EF ∥ AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG = CF ，求证： AD 为BAC 的角平分线． AB - AC PB -PC 如图所示，已知ABC 中， AD 平分BAC ， E 、 F 分别在BD 、 AD 上．DE =CD ，EF =AC ．求证： EF ∥ AB巩固】在ABC 中， AB AC ， AD 是 BAC 的 平 分 线 ． P 是 AD 上 任 意 一 点 ． 求 证 ：D BD C如图，在ABC中，B = 2C，BAC的平分线AD交BC与D．求证：AB + BD = AC如图所示，在ABC中，AC AB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的MF =1(AC-AB)延长线于F，求证2．【巩固】如图所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点，求证DE=12(AB+AC)．DE∥AB且巩固】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CM⊥AD于M，求证AB+AC=2AM如图，ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：AD= AE．【巩固】已知：AD 和BE 分别是△ABC 的∠CAB 和∠CBA 的外角平分线，CD ⊥AD ，CE ⊥BE ，求DE = 1(AB + BC +CA )证：⑴ DE ∥AB ；⑵ 2 ．在ABC 中，MB 、 NC 分别是三角形的外角ABE 、 ACF 的角平分线， AM ⊥BM ，AN ⊥CN 垂巩固】在ABC 中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC 、ACB 的角平分线，AM ⊥ BM ，AN ⊥ CN巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中， AC 平分BAD ，过C 作CE ⊥ AB 于E ， AE = 1(AB + AD )并且 2 ，则ABC + ADC 等于多少？如图， A + D =180， BE 平分ABC ， CE 平分BCD ，点E 在AD 上 探讨线段 AB 、 CD 和BC 之间的等量关系．足分别是M 、 N ．求证： MN ∥BC ，MN = 1(AB + AC +BC )垂足分别是M 、 N ．求证： MN ∥BC ，MN = 1(AB + AC -BC )B探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．版块一、倍长中线AM 1(AB +AC ) 已知： ABC 中， AM 是中线．求证： 2【巩固】(2002年通化市中考题)在ABC 中，AB = 5, AC = 9 ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是 什么？ 如图， ABC 中， AB <AC ， AD 是中线．求证：DAC <DAB ． 如图，已知在ABC 中， AD 是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ， 已知△ABC ，∠B=∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD=CE ，连接DE 交底BC 于G ， 求证 GD=GE．求证： AC = BE DC已知AM 为ABC 的中线， AMB ， AMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交AC 于 F ．求证： BE + CF EF在Rt ABC 中，A =90，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、 AC 上的点，且ED ⊥ FD ．以 线段BE 、 EF 、 FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三巩固】如图所示，在ABC 中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果BM 2+CN 2 =DM 2+DN 2，（ 2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组）在RtABC 中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、 CB 上，满足DFE =90 ．若AD =3 ， BE =4 ，则线段DE 的 长 度 为角形？AD C求证AD 2 = 14(AB 2 + AC 2)A版块二、中位线的应用AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：如图所示，在ABC中，AB = AC，延长AB到D，使BD = AB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证CD = 2EC【巩固】已知△ABC 中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC 的AB边上的中线．求证CD=2CE已知：ABCD是凸四边形，且AC<BD．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC 和BD 交于G 点．求证：∠GMN>∠GNM．DF CAC = BC在ABC中，ACB=90， 2 ，以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AE⊥EB且AE = BE．如图，在五边形ABCDE中，ABC = AED = 90，BAC = EAD，F为CD的中点．求证：BF = EF（“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）如图所示，P是ABC内的一点，PAC = PBC，过P作PM⊥AC于M，PL⊥BC于L，D为AB的中点，求证DM =DL．（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：(1) DEM≌FDN；(2) PAE = PBFC习题1】如图，已知AC = BD ， AD ⊥ AC ，BC ⊥BD ，求证：AD =BC【习题 2】点 M ，N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动，BD=DC ，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求 证 MN=MB+NC ．AB =3AC ，BAC 的平分线交BC 于D ，过B 作BE ⊥ AD ， E 为垂足，求B 证： AD = DE ．习题4】如图，在ABC 中， AB + BD = AC ， BAC 的平分线AD 交BC 与D ．求证： B = 2C 习题 3】在△ABC 中， EFP ACAC ED C习题5】如图，在等腰ABC中，AB = AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE = AF．【习题6】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？习题7】如右下图，在ABC 中，若B=2C，AD⊥BC，E为BC边的中点．求证：AB=2DE．求证：EDB =FDC。