《大学文科数学》PPT课件

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1.3 导数与微分
例1.3.5y=logax (0<a≠1)的导数是
(logax)′=
1 x ln a
特别,(lnx)′= 1⁄x .
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1.3 导数与微分
例1.3.6 指数函数y=ax(0<a≠1)的导数是 (ax)′=axlna .
证:(ax)′=
特别,
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例1.3.2 设n是正整数,求幂函数y=xn在点x处的 导数.
解.因
特别,当n=1时,函数y=x在任意点x处的导数均
为1.
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1.3 导数与微分
例1.3.3 求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方
程.
解.在上例中取n =3 可知函数y= x3 在点 x 处的导数为3x2,于是在点(2,8)处的切 线斜率是:y′(2)=3⋅22 =12,故曲线y=x3
导数是局部(点)概念,导函数是整体(定义域内)概念(本质上是点 的概念) 。但是“导函数”往往又简称为“导数”。
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1.3 导数与微分
例1.3.4 y = sinx的导数是(sinx)′= cosx, y =cosx 的导数是(cosx)′= − sinx .

同理可证, (cosx)′= − sinx .
在(2,8)处的切线方程是:
y − 8 = 12⋅(x − 2) ,即
12x − y − 16 = 0 .
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1.3 导数与微分
注:(1) 一般情况下,给定函数y=f(x)在某个区间X 内 每一点都可导,这样可求出X 内每一点的导数y′(x), x∈X.于是y′(x)成为X 内有意义的一个新函数,它 称为给定函数y = f(x)的导函数,且常常省略定义中 的字样“在x 点处关于自变量的”,甚至简称为 “f(x)的导数”.
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1.3 导数与微分
1.3.2. 变化率问题
1. 运动速度问题
设一质点沿直线运动,经过的路程s 是时间t 的函数: s=s(t).
时刻t 到t+Δt 时间段内质点的平均速度为:
sttst
v
该瞬时速度v(t)就是极限:
t
即质点运动速度是路程s关于时间t的导数(本质上是点的概念)。
圆的切线:与圆相交于唯一点的直线. 但对于一般曲线, 切线是不能这样定义的.例如下图中右
边的曲线在P点处的切线,除P点外还交曲线于Q点。
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1.3 导数与微分
为确切表达切线的含义, 需应用极限的思想.请看下 图
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1.3 导数与微分
点P(x0,f(x0))= P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点,
y f(x 0 ) f'x 0 x x 0
注. Δx 可正可负,依x 大于或小于x0 而定.
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1.3 导数与微分
根据定义求已知函数y = f(x) 在给定点x0 的导数的 步骤是:
1.计算函数在自变量x0 +Δx 处的函数值 f(x0+Δx); 2.计算函数的对应改变量Δy=f(x0+Δx)−f(x0); 3.写出函数的差商
生.而Q→P 即x→x0 .现设PT对于x 轴的倾角(即x 轴正 向逆时针旋转至PT经过的角)为α,PT的斜率就为k=tanα .
现在割线PQ 的斜率为
则切线PT 的斜率为:
由此得切线PT 的方程是:
y −f(x0) = k(x −x0).
因此有必要讨论如k表示的那类极限!
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1.3 导数与微分
点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两
侧:在右侧时x>x0;在左侧时 x <x0 .动直线PQ 是曲线的割线.
如果动点Q 无限地逼近定点P 时, 动直线PQ 有 一个极限位置PT, 即
则称PT 为 曲线在P 点的切线.
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1.3 导数与微分
建立PT 的方程, 只需确定其斜率.由于PT 是PQ 的极限, 从而PT 的斜率是PQ 斜率的极限, 极限过程是由Q→P 产
2. 导数的定义
定义.设函数y=f(x)在点x0的一个邻域X内(36页下)有定义,
y0 =f(x0)。如果x∈X −{x0},我们称 Δx = x−x0 ( Δ读作
delta )为自变量的改变量,Δy = f(x)−f(x0)为函数的(对
应)改变量,比值
为函数的差商或平均变化率。
如果极限
存在,则称函数y =f(x)在点x0可导
4.计算x→x0(Δx → 0)时的极限,即导数值
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1.3 导数与微分
例1.3.1 求常数函数y = c 的导数. 解. 因Δy = y(x+Δx)−y(x)=c −c =0, 差商
此处x 可为任意实数,即常数函数y=c在任 意点 x 处的导数均为0.
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1.3 导数与微分
例如: 常数函数y = c 的导数是0,y = x 的导数是1, y =xn 的导数是nxn-1等等,分别记作c′= 0,x′=1, (xn)′=nxn-1等,而不特别指明“在某点的导数”.
(2) 关于改变量的记号Δ,应把它与其后面的变量x 或y 看作一个整体,绝不能把Δx 看成Δ与x 的乘积, 为避免误解,用 (Δx)2来表示Δx的平方.
第一章 微积分
1.3 导数与微分
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1.3 导数与微分
主要教学内容: ➢ 导数与微分的概念,计算 ➢ 高阶导数 ➢ 隐函数的导数与微分 ➢ 分段函数的导数 ➢ 经济学函数的弹性 ➢ 用微分作近似计算 ➢ 二元函数的导数与微分
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1.3 导数与微分
导数的概念
1.曲线的切线斜率
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1.3 导数与微分
例1.3.7 已知自由落体的运动方程为s=(1/2)gt2, 其中g≈ 9.8(m/s2)是重力加速度常数,t与s分别 以秒(s)和米(m)为单位.求:
(1)落体在t 到t+Δt 时间内的平均速度;
(2) 落体在t=2,Δt=0.1,0.01,0.001,0.0001
(或可微),该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x
的导数(或微商).记作
.因Δx =x−x0, x=
x0+Δx,故还有
“函数的平均变化率”是整体(区间)概念;“函数的变化率”是局部(点)概念。
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1.3 导数与微分
此时,曲线y =f(x) 在点(x0,f (x0) )的切线方程是
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