建筑力学力矩与平面力偶系ppt模版参考课件
静力学第3章_力矩_平面力偶系
§3-4 平面力偶系的合成与平衡§3-1 力对点之矩§3-2 力偶与力偶矩§3-3 力偶的等效【本章重点内容】力矩和力偶的概念;力偶的性质;平面力偶系的合成与平衡.§3-1 力对点之矩§3-1 力对点之矩一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O 称为矩心，O 到力的作用线的垂直距离h 称为力臂.两个要素1.大小：力F 与力臂的乘积2.方向：转动方向力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负. 常用单位N ·m 或kN ·m .()()OO M F h M =±⋅=×r r r r F F rF（3）力的作用线通过矩心时，力矩等于零；（4）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零.§3-1 力对点之矩r F（2）力对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变；r F （1）力对O 点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；r F r F解：根据力对点之矩的定义()3sin 20010N 0.4m 0.86669.2 N m O M F h Fl α=⋅==×××=⋅r F 正号表示扳手绕O 点作逆时针方向转动. 应该注意，力臂是OD ，而不是OA .例3-1 扳手所受力如图，已知F =200kN ，l =0.4m ，α=120°，试求力对O 点之矩.r F例3-2 齿轮啮合传动，已知大齿轮节圆半径r 2、直径D 2，小齿轮作用在大齿轮上的压力为，压力角为α0. 试求压力对大齿轮传动中心O 2点之矩.r F r F 解：根据力对点之矩定义()2O M F h=−⋅r F()2O M F h=−⋅r F 从图中的几何关系得2200cos cos 2D h r αα==()220cos 2O D M F α=−⋅r F 故负号表示力使大齿轮绕O 2点作顺时针方向转动.r F第三章力矩平面力偶系§3-2 力偶与力偶矩一、力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作(),′r r FF两个要素1.大小：力与力偶臂乘积2.方向：转动方向力偶矩ABC S d F d F M ∆±=⋅⋅⋅±=⋅±=2212力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂二、力偶矩三、力偶与力偶矩的性质（1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零；（2）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡；（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.()()()()11111,O O O M M M F d x F x Fd′′=+=⋅+−⋅=r r r r F F F F ()()222,O M F d x F x F d Fd′′=⋅+−⋅′==r r F F 力矩的符号力偶矩的符号M()O M rF M F d=⋅第三章力矩平面力偶系§3-3 力偶的等效一、平面力偶的等效定理在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效. 这就是平面力偶的等效定理.(P , P ′）可以沿着其作用线移动到l 1, l 2上任何一点.C 二、平面力偶等效定理证明在力偶( F , F ′)作用面上，任取两点A 和B ，分别过A 、B 两点作平行线l 1, l 2与F , F ′，二力作用线分别交于C 点和D 点；则(P , P ′）作用结果等效于( F , F ′)所以力偶可在作用面内任意移动，它是自由矢量，与作用点无关.联结C 、D 两点，在CD 连线方向上加平衡力Q ,Q ′，则P= F+Q ，P ′= F ′+Q ′,F ′Q=力偶的等效自由矢量，与作用点无关===三、力偶的两个推论1.力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的作用效应；2.在保持力偶矩大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力偶臂的大小、力的大小而不影响它对物体的作用.第三章力矩平面力偶系§3-4 平面力偶系的合成与平衡已知;,,21n M M M L 任选一段距离d 11F dM=d F M 11=22F d M=dF M n n −=n n F d M=d F M 22==一、平面力偶系的合成=R 12n F F F F =++−L R12n F F F F ′′′′=++−L 合成后，得到合力偶M===R M F d =12n F d F d F d =++−L 12n M M M =++L 1ni ii M M M ===∑∑平面力偶系平衡的充要条件M = 0i M =∑平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.二、平面力偶系的平衡平衡方程合力偶M 的表达式1234iM M M M M M ==−−−−∑知道总切削力偶矩后，可以考虑夹紧措施，.顺时针方向转动04415N m 60N mM =−=−×⋅=−⋅例3-3 气缸盖上钻四个相同的孔，每个孔的切削力偶矩M 1=M 2=M 3=M 4=M 0=15N ·m ，转向如图，当同时钻这四个孔时，工件受到的总切削力偶矩是多大？解：四个力偶在同一平面内，因此这四个力偶的合力偶矩为例3-4 电动机联轴器，四个螺栓孔心均匀地分布在同一圆周上，孔的直径AC =BD =150mm ，电动机轴传给联轴器的力偶矩M 0=2.5kN ·m ，试求每个螺栓所受的力为多少？解：（1）以联轴器为研究对象假设四个螺栓受力均匀，每个螺栓反力四个反力组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡.1234F F F F ===（2）列平面力偶系平衡方程M =∑00M F AC F BD −×−×=而AC BD=故0 2.5kN m 8.33kN 220.15mM F AC ⋅===×例3-5 在框架的杆CD 上作用有一力偶，其力偶矩M 0为40N ·m . A 为固定铰链，C 、D 和E 均为中间铰链，B 为光滑面. 不计各杆质量，试求平衡时，A 、B 、C 、D 和E 处的约束反力.解：（1）先选取整个系统为研究对象，画受力图根据力偶由力偶平衡，必定与构成一力偶，故与平行且反向.B r F A r F A r F B r F平衡方程M =∑得0cos30A B M F F AB ==o 40N m 0.32m 0.866144N ⋅=×=0cos300A M F AB −+⋅=o F RA F RB（2）以杆CD 为研究对象，画受力图DE 为二力直杆沿ED 方向R D r F R C r F R D r F 必与平行且反向F RA F RB得R 5540N m 156N 40.32m 40.32mCM F ×⋅===××故R R 156ND C F F ==注意：本例题是由平衡力偶系平衡条件确定铰链反力方位.()()0R 220.2400.180.24C M F CD −+××=+0M =∑列平衡方程R D DE F F =O练3-1 已知M 1=2kN ·m ,OA=r =0.5m ,θ=30°，求平衡时M 2及铰链O 、B 处的约束力.解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图=∑M 0sin 1=⋅−θr F M A 解得8kN O A F F ==Ar O2M A F取杆BC ，画受=∑M A F ′⋅解得28kN mM =⋅8kNB A F F ==OA F Ar O2M θA r 2M一、平面内的力对点O 之矩是代数量一般以逆时针转向为正，反之为负.二、力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系. 力偶没有合力，也不能用一个力来平衡.平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M 的大小和转向力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关.()OM F h=±⋅rF四、平面力偶系的合成与平衡合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即∑=iM M 平面力偶系的平衡条件为=∑iM三、同平面内力偶的等效定理在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等彼此等效. 力偶矩是平面力偶作用的唯一度量.第三章力矩平面力偶系本章结束。
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Ａ
Ｏ
d
即力对Ｏ点的矩的大小
等于△OAB面积的２倍。
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7
力对任一已知点的矩，不会因该力沿作 用线移动而改变。
力的作用线如通过矩心，则力矩为零； 反之，如一个大小不为零的力对一点之 矩为零，则此力的作用线必通过该点。
互成平衡的二力对同一点的力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点的 作用引出。实际上，作用于物体上的力 可以对任意点取矩，即矩心可是空间中 的任意点。
第三章: 力矩与平面力偶系
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1
本章研究力矩和力偶的概念、力偶的 性质、平面力偶系的合成与平衡。本 章与第二章的理论是研究平面一般力 系的基础。
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2
§3-1 力矩的概念和计算
一般情况下，力对物体作用时可以产 生移动和转动两种外效应。力的移动 效应取决于力的大小和方向。为了度 量力的转动效应，需要引入力矩的概 念。
力偶对物体产生转动的效应怎样度 量？
力对物体转动的效应用力矩来度量， 因此力偶对物体转动的效应可用力偶 中的两个力对其作用面内任一点之矩 的代数和来度量。
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18
设物体上作用有一 力偶臂为d的力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
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3
一. 力对点之矩
用扳手拧一螺母，
扳手连同螺母绕一
定点Ｏ转动。由经
验可知，力越大， 螺母拧得越紧；力
F d
的作用线离螺母中
心愈远，拧紧螺母
O
愈省力。
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4
建筑力学(第三章)
图 3 -6
第二节 力偶与力偶距
二、力偶的基本性质 （3）力偶具有等效性。 力偶具有等效性。 作用在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩的大小相等， 作用在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩的大小相等， 力偶的转向相同，则这两个力偶为等效力偶。 力偶的转向相同，则这两个力偶为等效力偶。 如图3-7所示。 所示。
d F′
F
=
2d F′/2
F/2
m=Fd
=
图 3 -7
第二节 力偶与力偶距
由力偶的等效定理可引出下面两个推论。 由力偶的等效定理可引出下面两个推论。 推论一: 力偶可以在其作用面内任意移动 转动） 任意移动（ 推论一: 力偶可以在其作用面内任意移动（转动），不会改 变它对刚体的作用效果， 变它对刚体的作用效果，即力偶对刚体的作用效果与力偶在作 用面内的位置无关。 用面内的位置无关。 F F´ F F´
－160×sin30×1.5
=87kN·m
第一节 力对点的矩与合力矩定理
【例3-3】如图所示：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力 如图所示：
F的方向角为α。 求:1. F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的
力矩。 首先进行受力分析； 首先进行受力分析；（1）取刚架为研究象； ）取刚架为研究象； 点的力矩， （2）因求外力 、FB对A点的力矩，因此，不必画出 点的 ）因求外力F、 点的力矩 因此，不必画出A点的 约束反力来。 约束反力来。
mR = ∑ m = 0
上式为平面力偶系的平衡方程
应用举例 【例3-4】如图所示：图示多孔钻床在气缸盖上钻四个圆孔， 如图所示 图示多孔钻床在气缸盖上钻四个圆孔， 图示多孔钻床在气缸盖上钻四个圆孔 钻头作用工件的切削力构成一个力偶，且力偶矩的大小Ｍ1=Ｍ2= 钻头作用工件的切削力构成一个力偶， Ｍ3=Ｍ4=-15N·m，转向如图示。试求钻床作用于气缸盖上的合力 15N m 转向如图示。 偶矩ＭR。 解：取气缸盖为研究对象，其合力偶矩为 取气缸盖为研究对象，
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l
mO (F ) F d F sin
mo (Q ) Ql ②应用合力矩定理
mO(F)Fx lFy lctg
mo 质
一、力偶的定义 1、定义：两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的 力系称为力偶。记作（F，F′）。
二、平面力对点的矩
如图所示，平面上一作用力F，在同 一平面内任取一点O，点O称为矩心； 点O到力F的作用线的垂直距离h称为 力臂。
3
平面力对点的矩的定义为： 平面力对 点的矩是一代数量，其绝对值等于力 的大小与力臂的乘积。
MO(F)= ± F·d MO(F)= ± 2 OAB
其正负号规定为： 力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩为
M1=F1d1 M2=-F2d2
13
保持力偶不变的情况下同时改变力的大小和力偶臂的长短，使
两个力偶的力偶臂均为d，如图3-8（b）所示。
根据力偶性质可得：
F3
M1 d
,
F4
M2 d
F3和F4、F′3和F′4组成两个共点力系，分别将其合成得到合力F 和F′（设F3＞F4），如图3-8（c）所示。
五、常见的力偶表示符号
12
§3-3 平面力偶系的合成和平衡条件
一、平面力偶系的概念 由作用在同一平面内的多个力偶组成的力偶的集合，称为平面 力偶系。 二、平面力偶系的合成 首先以两个力偶组成的力偶系为例。
如图在同一平面内作用两个力偶 （F1，F′1）和（F2，F′2），其力偶 臂分别为d1、d2，两个力偶的矩分别 为M1、M2。
根据平面力偶系平衡方程有: NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N
B
60 0.2
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
建筑力学 第三章 力矩与平衡力偶系
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任意一点之矩等于所有各力对于该点之矩的代只要保持力偶矩大小和转向力偶可以在其作用面内任不变可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短而不改变它对刚体的作用效应
力矩与平面力偶
一、力对点之矩与合力矩定理 二、力偶及其性质 三、平面力偶系的合成和平衡
力的效应
力对物体效应可以产生： 运动效应；变形效应
力对物体的运动效应可以产生：
移动效应--取决于力的大小、方向；一个是如 果力的作用线通过刚体的质心，将使刚体在力作 用的方向上平移。 转动效应--取决于力矩的大小、方向；如果力 的作用线不通过刚体的质心，则刚体将在力的作 用下边移动边转动，是力对刚体的转动效应。
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
§1.1 力对点之矩与合力矩定理
M = M1 + M3 + · · ·+Mn M i
结论：平面力偶系合成的结果是一个力偶，它的矩等于原 来各力偶的矩的代数和。 合力偶矩正负号：使物体逆时针方向转动为正
§1.3 平面力偶系的合成和平衡
平面力偶系平衡条件
在上面讨论中，若Fd1+ Fd2=Fd3 ，则其合力 F=0，从而有 M 1 + M 2 +M 3 = 0 推广到由任意个力偶组成的平面力偶系,有
M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
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第二节 学习建筑力学的目的
建筑力学是研究建筑结构的力学计算理论和方法的一门科学，它是 建筑结构、建筑施工技术、地基与基础等课程的基础，它将为读者打开 进入结构设计和解决施工现场许多受力问题的大门。显然作为结构设计 人员必须掌握建筑力学知识，才能正确的对结构进行受力分析和力学计 算，保证所设计的结构既安全可靠又经济合理。
图1-1
图1-2
（3）力的单位。在国际单位制中，力的单位是牛顿，用字母N 表示。另外，有时还用到比牛顿大的单位，千牛顿（）。
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二、力系 1．力系。 作用在物体上的若干个力的总称为力系，以表示 ，如图1-3a。力系中各个力的作用线如果不在同一 平面内，则该力系称为空间力系；如果在同一平面 内，则称为平面力系。 2．等效力系。 如果作用于物体上的一个力系可用另一个力系来 代替，而不改变原力系对物体作用的外效应，则这 两个力系称为等效力系或互等力系，以表示, 如图13b。
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二、建筑力学的研究内容
要处理好构件所受的荷载与构件本身的承载能 力之间的这个基本矛盾，就必须保证设计的构件 有足够的强度、刚度和稳定性。建筑力学就是研 究多种类型构件(或构件系统)的强度、刚度和稳 定性问题的科学。 各种不同的受力方式会产生不同的内力，相应就 有不同承载能力的计算方法，这些方法的研究构 成了建筑力学的研究内容。
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• 结构分类
• 1 按组成结构的形状及几何尺寸分类： 杆件结构（即长度远大于截面尺寸的构件） 如梁 柱等 杆件结构依照空间特征分类： 平面杆件结构：凡组成结构的所有杆件的轴线在一平面内 空间杆件结构 薄壁结构（长度和宽度远大于厚度的构件） 如薄板 薄壳 实体结构 (长宽高接近的结构）如挡土墙 堤坝等
过铰Ｃ 和铰Ｅ 两点受力，是一个二力构件， 故Ｃ 、Ｅ 两点处的作用力必沿ＣＥ 连线的
力矩与平面力偶系 PPT课件
F′ F
F2 F O F1
o 图 3-2 (b)
图 3-2 (c)
2. 合力矩定理 表达式： M O ( FR ) M O ( F ) 证明：由图得 y
M O ( F ) F d F r sin( ) F r (sin cos sin cos ) F r sin cos
图 3-4
图3-5
(2) 力偶的性质 (a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零； (b)力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力， 即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平 衡； (c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效 应，即它可以也只能改变物体的转动状态。
F d F′ 力偶作用面 力偶臂
图3-6
而
O x r Fy F
A
y Fx x
F r sin cos
F cos Fx , F sin Fy r cos x A , r sin y A
d
M
图 3-3
则
MO (F) xA Fy yA Fx
(a)
MO (F) xA Fy yA Fx
谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能
撬起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的，
因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就 能产生足够大的力来“搬动”地球。
力矩和平面力偶理论课件
FO
FB
FA
M1 r sin 30
8
kN
作业：P49~P53 3－5、3－10、3－11
FA
A
O
M1
FO
C
M2
A
FA
FB
B
解：先取圆轮为研究对象，因为力偶只
能与力偶平衡，所以，力FA 与FO 构成一 力偶，故FA= –FO。
M 0, M1 FAr sin 0
解得
FA
M1 r sin 30
再取摇杆BC为研究对象。
M 0,
M2
FA
r
sin
0
其中 FA FA
解得 M 2 4M1 8 kN m
M 0, M FA l cos 45 0
解得
FA
FB
M l cos 45
2M l
例3-7 ：
如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分 别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于 平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求M1和 M2间的关系。
Aα
M1
O
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶 矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm 求: MO F .
所以求得
M2
1 2
M1
例3-8 ：
C
M2
Ar O
M1
B
如图所示机构的自重不计。圆轮 上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽 内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为 M1=2 kN·m ， OA = r =0.5 m。图示位 置时OA与OB垂直，角α=30o , 且系统 平衡。求作用于摇杆BC上的力偶的矩 M2 及铰链O，B处的约束反力。
理论力学课件-力矩力偶与平面力偶系
（３）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。 3、力矩的两个要素 （1）大小：力与力臂的乘积
（2）方向：转动方向
注意：说明力矩时，要指明是哪个力对哪个点的 力矩
4
例 3-1 如图所示，F ， 2 1 ， A B 6m。 0 0k N 1 50kN F 试分别求F1 、F2 对 A 点的矩。
F1
M 0 ,F l M 0
i A
M1 0 0 F F k N2 0 k N B A l 5
12
FA 、FB 为正值，说明图中的假设方向是正确的。
例 3-4 如图所示的工件上作用有三个力偶，已知三个力 偶的矩分别为 M 、 M 2 0 Nm ；固定 M 1 0 N m 3 1 2 螺柱 A 和 B 的距离 l 。若不计摩擦，试求两个 2 0 0 m m 固定螺柱所受到的力。 A 解：（1）选工件为研究对象
17
（2）画受力图
15
（3）列平衡方程
曲柄 OA ：
M0 ,
M F O A s i n 3 0 0 1 A
摆杆O1B ：
M0 ,
MF O A 0 2 A 1
OA 注意到， 、 FA FA sin 30 ， O1 A
解得:
M2 4M 1
16
推论 (2) 只要保持力偶矩大小和转向不变， 可以任意同时变化力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
M
9
力偶与力矩的区别和联系 1、力偶是自由量,可以在作用面内任意移动和转 动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于 矩心，与矩心的位置有关。
2、力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。
M M F F O O Fx ( d ) F x F d M
建筑力学-第2章 力、力矩、力偶
解 由式（1-2）可得出各力在x、y轴上的投影为
F1x =F1cos45=100N×0.707=70.7N F1y =F1sin45 =100N×0.707=70.7N
y A。2
F1
F2x=-F2cos30=-150N×0.866=-129.9N F2 60
F2y=-F2sin30=-150N×0.5=-75N F3x =F3cos90=0
第二章 力、力矩、力偶 理论力学部分
刚体 and 质点
第1节 力和力偶
力的概念
力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的运动状态
发生变化（运动效应），或者使物体的形状发生改变（变形效
应）。 力的效应
运动效应 变形效应
平动效应 转动效应
力的三要素
大小 方向 作用点
力的单位
牛顿（N） 千牛（kN）
F' d
力偶的性质
必须指出，力偶的搬移或用等效力偶替代，
1)力力偶偶对作物为体一只种产特生殊对转力物动系体效，的应具运，有动而如效不下应产独没生特有移的影动性响效质，应：但，影因响此对，物一体个 力偶既不能用一个力代的替变，形也效不应能。和一个力平衡（力偶在任何一个
坐标轴上的投影等于零）。力与力偶是表示物体间相互机械作用的
力的性质
力是一个有大小和方向的量，所以力是矢量。 通过力作用点并沿着力方向的直线，称为力的作用线。
F
A 50N
F2 D F
B
A F1 C
作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也 作用于该点，合力的大小、方向由这两个力为邻边所构成的平行 四边形的对角线来表示。
力的平行四边形法则
F=F1+F2
解 （1）构件的简化。 （2）支座的简化。 （3）荷载的简化。
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1. 刚体 力作用下，物体内部任意两点的距离不变 理想的力学模型 理论力学的基本假设
4
2. 力 force 物体间相互的机械作用
力的效应： 外部效应－－运动效应 内部效应－－形变效应
力的三要素F 大小，方向，作用点
F A
5
力的单位 国际单位制：牛顿(N) 千牛(kN)
F1 力系 作用在物体上的一群力
力四边形
力三角形
10
F2
R
α1 α α2
F1
余弦定理
R F12 F22 2 F1F2cosα
正弦定理
R F1 F2 sinα sinα1 sinα2
11
公理3 二力平衡公理
刚体
F2
F1
作用在刚体上的两个力， 使刚体保持平衡的必要与充分条件是：
大小相等 方向相反 作用线共线
12
说明: 二力体(杆) 在两个力作用下平衡的刚体 F
n
MO (R ) MO (Fi ) i1
3. 力矩平衡条件 作用在物体上同一平面内的各力，对支点
或转轴之矩的代数和应为0。 ∑MA(Fi)＝0
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例1：已知P1=P2=P3=2kN，a=4m,求∑mA(Pi)。
A a/2
P1
P2
300
C
B
P3
a/2
解：
P1y P1 300 P1x
M A (P3) 0kN m
M A逆 M A顺 安全
讨论： M A逆 M A顺
解决方法
28
例3：钢筋混凝土柱，h=3m，受风荷载作用q=10kN/m， 求风荷载对A点的矩。
q
B
B
0.5qh 等效
h 2/3h
建筑力学课件 第四章 力矩与平面力偶系
4.1力对点之矩、合力矩定理
3.力矩的性质 综上所述，得出如下力矩性质：
（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大 小，同时与矩心的位置有关。矩心的位 置不同，力矩随之而异。
（2）力F对任一点的矩，不因为F的作用 点沿其作用线移动而改变，因为力和力 臂的大小均未改变。
2.力矩的计算
在平面问题中,我们把乘积Fd加上适当的正负号,
作为力F使物体绕点O转动效应的度量,并称为
力F对点O的矩,简称力矩,用Mo(F) 或MO表示
即 MO (F)=± Fd
（4-1）
点O称为矩心，力作用线到矩心的垂直距离d称
为力臂。正负号通常用来区别力使物体矩心
转动的方向，并规定：若力使物体绕矩心作
4.1力对点之矩、合力矩定理
（3）力的大小等于零或力的作用线通过 矩心，即公式（4-1）中的F=0或者d = 0,则 力矩等于零。
（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的 代数和等于零。（相互抵消）
4.关于力矩的量纲单位：
在国际单位制中，力矩的单位是牛·米（ N·m）或千牛·米（kN·m）。
4.1力对点之矩、合力矩定理
M1 = F1 d1 M2 = F2 d2 M3 = －F3d3
4.3 平面力偶系
在力偶作用面内取任意线段AB = d，在保持力偶 矩不改变的条件下将各力偶的臂都化为d，于是 各力偶的力的大小应改变为
4.3 平面力偶系
然后移转各力偶,使它们的臂都 与AB重合,则原平面力偶系变换 为作用在点A及B的两个共线力 系。
在同一平面内的两个力偶，只要两力 偶的力偶矩（包括大小和转向）相等 ，则此两力偶的效应相等。这就是平 面力偶的等效条件。
理论力学--力矩-平面力偶系
示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计
杆重。试求：M1和M2间的关系。
B
A O
α
M1 M2
D
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 解：（1）先以杆OA为研究对象。
M1 FAB rcos 0 (a)
（2）再取杆DB为研究对象。 A O
FBA FAB
A
B α
M1 M2
M 2 2 FBA rcos 0 (b)
O
O i
Fy
A (x,y)
F
Fx y Fy x yF cos xF sin
(2)合力矩的解析表达式 上式代入 M O FR 得,
Fx
x
M F
M O FR xi Fyi yi Fxi
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 例 2-5 已知：如图 F, Q, α, l , 求： MO (F ) 和 MO (Q)。 解：① 用力对点的矩法
受力分析：主动力— M
约束力— FA , FB 列平衡方程：
D
45
M A B
l
M 0,
M FA l cos 45 0
FA
A
M B
解得： FA FB 2M
l
d
FB
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 例 2-10
图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和
BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图
C
F d x F x Fd M 2 S ABC
建筑力学力矩(课堂PPT)
0.2 Mo(F2)F2d2100co3s023.1N.m Mo(F3)F3d310000N.m
16
3.均布线荷载力矩的计算
均布线荷载力矩的计算公式： Mo(q)=Mo(FR)=± FR.d
17
均布线荷载力矩计算举例
例：试计算下图(a)、（c）所示均布线荷载 q 分别对点O、A 之矩。
1、P61 2-9 （d） （c） （e）
23
LOGO
很高兴与大家共度一段美好的时光!
24
6
力矩平面力偶系的合成与平衡（一）
请一位同学转动用扳手拧螺母。 在这些物体绕某点的转动中,瞧（如上图），
它的绕哪点转动的？转动能力的大小与 哪些因素有关？
7
二、新课讲解 1、力矩
a、力矩的概念 （1）导入：如上图，力F使扳手绕螺母中心O转动，实践
经验告诉我们，转动效果不仅与力的大小成正比，而 且还与该力作用线到O点的垂直距离d成正比。 （2）分析：当改变F的指向时，扳手的转向也随之改变。 力F使物体绕O点的转动效应用什么来度量呢？
单位制中常用单位是牛顿•米（N•m）或
千牛顿•米(kN•m）。
10
力矩性质
➢ 力矩为零的情况：力等于零或力的作用线通过矩心。 ➢ 力矩不变的情况：若将力F沿其作用线移动，则因为
力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该 力对某一矩心的力矩。
11
二、 力矩的计算
1. 荷载的分类 荷载按作用的范围不同可分为集中荷载和分布荷载。 如果荷载作用在结构上的面积与结构的尺寸相比很小， 就称为集中荷载。用F表示，其常用单位为牛（N）、 千牛（kN）。例如梁对柱子或墙的压力属于集中荷载。 如果荷载连续地作用在整个结构上或结构的一部分 （不能看成集中荷载时），就称为分布荷载。例如水 压力属于分布荷载，还有风荷载、雪荷载等。
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§3-1 力对点之矩与合力矩定理 §3-2 力偶及其基本性质 §3-3 平面力偶系的合成与平衡
1
§3-1 力对点之矩与合力矩定理 一、力F对O点的矩
d为O点到力F作用线的（垂直）距离。
记为 mO（F）=±F*d，单位：N·m（牛顿·米）
B
矩心O 力臂d
F
A
2
矩心
O α 力臂
8
• 力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向，作 用面。
力偶的简化表示符号：
9
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
一、平面力偶系的合成
• 平面力偶系的合成结果为一个合力偶，合力偶 的力偶矩等于各分力偶的力偶矩的代数和。
Mn
M1
M2
=
M
M = M1+M2+······+Mn = ΣM
10
简答
车间内有一矩形钢板，要使钢板转动，加力F, F′如图 示。试问应如何加才能使所要的力最小？
F
b
b
a
a F′
当力偶一定时，只有力偶臂最长所用的力才最小。
11
计算
• 刚架上作用着力F,分别计算力F对A点和B点的力矩。 F、α、a、b为已知。
F
α
Fy
Fx
A
B a
b
解：用定义计算，力臂不 易确定，所以，用合 力矩定理。
Fx=Fcosα Fy=Fsin α MA(F) = －Fx ·b=－ b·Fcosα
F
F= F ′ d：力偶臂
7
二、力偶的基本性质
d F′
d F′
F
F
• ⑴力偶没有合力。一个力偶不能用一个力代替，也不 能与一个力平衡。力偶在任一轴上的投影为零。
• ⑵力偶对作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩 心位置无关。两个力偶等效的条件是力偶矩相等。
• ⑶只要力偶矩保持不变，力偶可在其作用面内任意移 转，或者可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长 短，力偶对物体的效应不变。
15
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d
位矢r
力矩的性质： ·力通过矩心，其矩为零； B ·力沿作用线移动，不改变 其矩； F ·等值、反向、共线的两力 对同一点矩之和为零； A ·相对于矩心作逆时针转动 的力矩为正；反之为负。
3
二、平面力系的合力矩定理
如果R是平面力系F1、F2、….FN的合力，由于合 力R与力系等效，则合力对其平面内任一点O之矩
θ
2
C
1
G
解: MO(F) = Fd
位置1: MO(F) = Gd = 0 位置2: MO(F) = Glsinθ
位置3: MO(F) = －Gl
5
§3-2 力偶及其基本性质 一、力偶及力偶矩
由大小相等、方向相反、不共线的两个力组 成的力系称为力偶。 力偶对物体的效应：只产生转动效应，而无移动效应。
等于力系中各分力对同一点之矩的代数和，即：
Mo(FR)=Mo(F1) + Mo(F2)+ ······+ Mo(Fn)+ = ΣMo(F)
F1 F2
O
B
O
F4
R d
4
计算
图中所示的拉力实验机上的摆锤重 G，悬挂点到摆锤 重心C的距离为l ,摆锤在图示三个位置时，求重力G对 O点之矩各为多少？
l
3 o
MB(F)= MB(Fx) +MB(Fy) = － b ·Fcosα+ a ·Fsin α
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• 力偶系平衡条件与汇交力系平衡相类似，力偶系的 平衡即为力偶系的作用不能使物体发生变速转动， 物体处于平衡状态，其合力偶矩等于零，即力偶系 中各力偶的代数和等于零。m=mi =0
• 平面力偶系平衡的充要条件：各力偶的力偶矩代数 和等于零。 mi =0
6
• 力偶矩：力偶的两个力所在的平面称为力偶的作用 面，两个力作用线间的垂直距离称为力偶臂，用d 表示。力学中，用力偶的任一力的大小F与力偶臂d 的乘积在冠以相应的正、负号，作为力偶使物体转 动效应的度量，称为力偶矩，用M表示。
M=±F×· d注：力偶逆时针动时取正， 反之取负。d F′
力偶矩的单位：N m 、kN m
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简答
（1）力偶不能和一个力平衡，为什么图中的轮子又 能平衡？
M=P r
r
O
P M=P r
O
P
P
力偶只能和力偶平衡，P、O两点的力应构成 力偶，所以，这个力偶与M平衡。
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简答
(2)图中梁AB处于平衡，如何确定支座A、B处反力的方向？
A
M1 M2
B A M1 M2 B
l
FA
FB
力偶只能和力偶平衡，A、B两点的力 应构 成力偶，所以，这两个力大小相等、方向相反。 即A点的水平分力为零，可以不画。