2014级研究生弹塑性考试试题

h 2 h 2
xy
h 6 p l 2 3p l pl 2 dy ( ) dy h 3 ( )y l x 2 2h 2 2 2 h 2
故满足边界条件。 又由剪应力互等定理 y x = xy ，则
x y x

6 p 2 3p y ，再由（1）式的第二个式子得到 h3 2h
第三题图 解：不计体力的平衡方程为：
x y x 0 x y x y y 0 x y
显然， x
（1）
3 pl 2 4x2 (1 ) y 能够精确满足左右边界条件，即 x 2h 3 l2
x
l 2
0 ，于是将
x
3 pl 2 4x2 12 p (1 ) y 代入到（1）式中的第一个式子，有 y x x 3 xy ，于是有 3 2 2h l y x h
2014 级研究生弹塑性力学考试试题
1. 简答题： （每小题各 4 分，共 20 分） （1）针对各向同性线弹性材料，从能量的角度，说明其弹性模量 E、剪切模量 G 和体积模 量 K 均大于零。 答：一维情况下单位体积的应变能 W 不变量表示为 W
1 E x 2 ，三维情况下单位体积的应变能用应力 2
5
可取板某一沿 y 方向为单位宽度的窄条来分析）
第五题图 解：由题意知，板的挠度变形 w w( x) 。 薄板弯曲的基本微分方程为
Et 3 2 2 w q 2 12(1 )
于是，退化为
d 4w 12 1 q q(1 2 ) 3 (1 2 ) 4 dx t E EI
1 2 1 I1 J 2 ，为了保证应变能在任何状态下都是非负的，所以 18K 2G
弹性模量 E、剪切模量 G 和体积模量 K 均大于零。 （2）等效塑性应变和累积塑性应变的概念有何不同，它们在何种情况下给出一致的结果， 并以单轴拉、压试验进行说明。 答：累积塑性应变为 d p ，而等效塑性应变为
p ，从而 2 2p 3p p y 3 y3 y h 2h 2
y h 2
（6）
根据下部边界条件，有 ( y )
0 ，代入到（6）式中有：
3
y
综上所述
y
h 2
2 p h 3p h p 3 0 h 2 2h 2 2
x
（2）
将 ux u y 0 ， uz w( z )
1 1 2 g z A 2 B 代入（2）式中得到： 2 E 1
x y

1
g ( z A) ， z g ( z A) ， xy yz zx 0 。
P 1 P2 P3
U EA 3 (3u1 u3 ) u1 2 L 2 U EA 1 (u2 u3 ) u2 2 L 2 U EA 3 1 5 ( u1 u2 u3 ) u3 2 L 2 2 2
七、 （10 分） （1）当 Mises 屈服条件和 Tresca 屈服条件在单轴拉伸重合时，给出它们在纯剪 时的屈服应力之比； （2）当 Mises 屈服条件和 Tresca 屈服条件在纯剪切重合时，给出它们 在单轴拉伸时的屈服应力之比； （3）分别画出这两种情况在 平面上的几何示意。
B。
由位移边界条件确定待定积分常数 B ， 在半空间体的上部边界有 wz
z h
0 ，将其代入
1 1 2 g z q 到w 2 E 1 g
2
B 得到
2
1 1 2 g h q B 2 E 1 g
（1）
得到
d 2w ( 2G) 2 g 0 dz
又因为
E E 1 1 2 g d 2w ，G ，则有 2 2 1 dz E 1 1 1 2
将等式两边积分得到 w
1 1 2 g z A 2 B ，其中 A、B 为积分常数。 2 E 1
y
6p 3p 2 p 3 3p p x y y ， x y 3 xy 2 3 h 2h h 2h 2
四、 （10 分）设有半无限空间体，密度为 ，在水平边界上受均匀分布压力 q 作用。已知半 空间体的水平位移 ux=uy=0，假定在 z=h 处 uz=0，使用以位移作为基本未知量的方法求其中 中的位移与应力分布。 解：根据问题的对称性，任何铅直平面都是对称面，所以位移应只是 z 的函数，即
将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程如下：
4
u E ( v x ), 1 1 2 x u y E y ( v ), 1 1 2 y u z E z ( v ), 1 1 2 z u z u y E yz ( ), 2(1 ) y z u u E zx ( x z) 2(1 ) z x u y u x E xy ( ), 2(1 ) x y

p
2 eij eij ，两者一般不相等，只有 3
在塑性应变各分量之间的比例在加载过程中始终保持不变且单调变化时才相等。 如下图 所示单轴拉伸、压缩应力路径曲线 OBCDEO，总的累积塑性应变是 OC 的 2 倍，而等 效塑性应变为 0。
累积塑性应变和等效塑性应变的区别 （3）根据金属屈服的基本假定，说明其屈服面在主应力空间中是垂直于 平面的柱面。 答： 平面任意法线上各点的应力状态应力偏量是相同的，但静水压力不同。由于屈服 与静水压力无关，如果法线上一点满足屈服条件，该线上所有点都将屈服，所以屈服面 在主应力空间中是垂直于 平面的柱面。 （4）分别使用 Mohr-Coulumb 和 Drucker-Prager 屈服条件，导出单轴拉伸与单轴压缩的 屈服应力之比，并仅由此说明哪一个屈服条件更合理。 答： （5）什么是理想塑性材料？其极限状态有何特点。 答：
2
（3）
由于左右边界的 xy 分布是未知的，但根据圣维南原理有


h 2 h 2
xy
x
l dy 2
h pl ， 2h x y 2 2
l x 2
dy
pl 2
（4）
将（3）式代入（4）式中有：
h 2 h 2
xy
h 6 p l 2 3p l pl 2 dy ( ) y ( ) dy h l h3 x 2 2h 2 2 2 2
E 1 2
第六题图 提示：各杆的伸长与节点位移的几何关系为
6
L1
3 3 1 1 1 u1 u2 u3 ， L3 u3 u1 u2 ， L2 2 2 2 2 2
解：整个桁架系统的应变能为
U
代入卡氏第一定理，得
EA (L12 L2 2 L32 ) 2L
们与应力不变量之间的关系。 解：重复题目
3 pl 2 4x2 (1 2 ) y 三、 （10 分） 如下图所示矩形截面梁， 受均布荷载， 按材料力学计算得到 x 2h 3 l
且 z 律。
y z zx 0 ，利用平衡方程与边界条件，求梁中其余的应力分量 xy 、 y 的分布规
1
二、 （15 分） 对于一点的应力状态，若已知其主方向及主应力为 (1 , 2 , 3 ) ，考察微八面 体，它由外法线 n 与三个主方向夹角相同角度的八个等倾面组成，
n (l , m, n) (
1 1 1 , , ) ，试导出等倾面上正应力和剪应力的表达式，并指出它 3 3 3
与材料力学中的挠度微分方程进行比较，表达式多了一项 1 2 。这是因为板单位宽度 的窄条处于平面应变状态，而梁处于平面应力状态，而平面应变状态的弹性模量应用 替代，所以多出一项 1 2 。 六、 （10 分）如图所示桁架，各杆长度均为 L，横截面积为 A，杆体材料弹性模量为 E，在 节点 B 作用垂直力 P1 和水平力 P2，在节点 C 作用水平力 P3，在节点 B 产生的垂直位移和 水平位移分别为 u1 和 u2，在节点 C 产生的水平位移分别为 u3，若已知节点位移 u1、 u2 和 u3，根据最小势能原理求节点力 P1、P2 和 P3。
( s )M : ( s )T 2 : 3 1.155 :1
当 Mises 屈服条件和 Tresca 屈服条件在纯剪切重合时，Mises 的拉伸屈服极限与 Tresca 的拉伸屈服极限之比是
Mises 屈服面与 Tresca 屈服面的关系 解：当材料严格服从 Mises 屈服条件，则单轴拉伸和纯剪的屈服极限满足
s 3 s
当材料严格服从 Mises 屈服条件，则单轴拉伸和纯剪的屈服极限满足
s 2 s
于是，当 Mises 屈服条件和 Tresca 屈服条件在单轴拉伸重合时，Mises 的剪切屈服极限 与 Tresca 的剪切屈服极限之比是
3
uz w( z )
第四题图 根据体积应变公式 v
ux u y uz dw ，得 v 。 x y z dz
将 ux u y 0 ， uz w( z ) 代入位移表示的平衡微分方程式（1）中
G 2u x ( G )
v fx 0 x v 2 G u y ( G ) f y 0 y G 2u z ( G ) v f z 0 z
z 0
由应力边界条件确定待定积分常数 A ，在半空间体的上部边界有 z 入到上述应力分量中得 A 于是 x y
q ，将其代
q 。Байду номын сангаасg
( gz q) ， z ( gz q) ， xy yz zx 0
2

1
1 1 2 g z q w 2 E 1 g
y y

6 p 2 3p y ，于是得到 h3 2h
y
2 p 3 3p y y f 2 ( x) h3 2h
h 2
（5）
根据上部边界条件，有 y
y
p ，代入到（5）式中有：
3
y
于是得到 f 2 ( x)
y
h 2
2 p h 3p h 3 f 2 ( x) p h 2 2h 2
yx
6p 2 xy f1 ( x) h3
h 2
（2）
根据上部和下部边界条件有： xy 故 f1 ( x)
y
代入到 （2） 式中， 有 y x 0，
3p x f1 ( x) 0 ， 2h
3p x ，于是 2h
yx
6 p 2 3p xy x h3 2h
于是 w
1 1 2 g h2 z 2 q h z 。 E 1 2
五、 （10 分）如图所示的矩形板， y 方向足够长，可近似看作无限长，分布载荷仅沿 x 方向 变化，即 q q( x) ，且沿 y 方向两条边的边界条件沿 y 方向不变。试： （1）建立挠度微分方 程的表达式； （2） 与材料力学中的挠度微分方程进行比较， 给出其差别及产生的原因 （提示：