第十六章分式复习

第十六章分式知识点和典型例习题

第一讲 分式的运算

【主要公式】1.同分母加减法则:()

0b c b c a a a a ±±=≠

2.异分母加减法则:()

0,0b d bc da bc da

a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:

b d bd a

c ac ∙=,

b c b d bd

a d a c ac ÷=∙= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn

7.负指数幂: a -p =1p

a a 0=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y x y

x y x y x b

a b a y x x -++-+--1,

,,21,2

2

π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

44+-x x （2）2

32+x x

（3）

1

22-x （4）

3||6--x x

（5）x

x 1-

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）3

1

+-x x

（2）

4

2

||2--x x （3）653

222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x

-84

为正； （2）当x 为何值时，分式)1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式

3

2

+-x x 为非负数.

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M B M

A M

B M A B A ÷÷=

⨯⨯= 2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y x y

x --+- （2）b a a --- （3）b a ---

题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+y x ，求y

xy x y

xy x +++-2232的值.

提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y

x 1

1+. 【例4】已知：21=-

x x ，求221

x

x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求

y

x 241

-的值.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （1）c

b a

c a b ab c 225,

3,2--； （2）a b b b a a 22,--；

（3）2

2

,

21,

1

222--+--x x x x x

x x ； （4）a

a -+21

,

2

题型二：约分

【例2】约分： （1）

3

22016xy y x -； （2）n m m n --2

2； （3）6

222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-⋅-；

（2）2

2233)()()3(

x

y x y y x y x a +-÷-⋅+；

（3）11

2

---a a a

（4）

m

n m

n m n m n n m --

-+-+22；

（5） 212

1111x x x ++

++- （6）)12()2

1444(222+-⋅--+--x x x x x x x

（四）、整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a

（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅

（3）2

4

253])

()()()([b a b a b a b a +--+--

（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x

题型二：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.