2021年新高考数学模拟试题及答案

1 x
,
x 0 ，g(x) f (x) x a ，若 g x 恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是(
)
ln x, x 0
A. a 1
B. a 0
C. 1 a 0
D. a 1
8.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十
天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”地支又与十二生肖“鼠、
A. 猴
B. 马
C. 羊
D. 鸡
二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分）
9.下列命题正确的是( )
A.
若角
k
4
,k
4
k
Z
，则
sin
2
cos2
B. 任意的向量 a,b ，若| a b |=| a || b | ，则 a / /b
D. 函数 f x 的定义域为 R ，若对任意 x R ，都有 f (2x 1) f (1 2x) ，则函数 y f (2x) 的图像关于
（2） 求直线 EF 与平面 FCD 所成角的正弦值.
.
21.（12
分）已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率是
2 ，原点到直线 x y 1 的距离等于 2 3 .
2
ab
3
（1）求椭圆 C 的标准方程.
（2）已知点 Q 0,3 ，若椭圆 C
上总存在两个点
A,
B
关于直线
y
x
m
对称，且
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
其中， K 2
n(ad bc)2
,n a b c d
(a b)(c d )(a c)(b d )
5.024
6.635
E, F
分别为
A1B,
AD1
的中点，
ABC
=
2π 3
.（1）
证明： EF
/ / 平面 ABCD
直线 x 1对称 10. 函 数 f (x) 2sin(x )( 0, π) 的 部 分 图 像 如 图 所
示，则
下列结论正确的是( )
A.
f
x
2 sin
1 3
x
π 6
B. 若把函数 f x 的图像向左平移 π 个单位，则所得函数是奇
2
C. 若把 f x 的横坐标缩短为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到
3QA
QB
28
，求实数
m 的取值范围．
20.（12 分）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020 年该市共享单车用户年 龄等级分布如图 1 所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图 2 所示.若将共享单车用户按照年龄 分为“年轻人”（20 岁-39 岁）和“非年轻人”（19 岁及以下或者 40 岁及以上）两类，将一周内使用 的次数为 6 次或 6 次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为 5 次或不足 5 次的称为“不常使用 单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有 5 是“年轻人”.
12.已知函数
f
(x)
ex x3
,x
1
，函数 g(x) xf (x) ，下列选项正确的是(
)
A. 点 0,0 是函数 f x 的零点
B. x1 (0,1), x2 (1,3) ,使 f (x1) f (x2 )
C.函数 f x 的值域为 e1,
D. 若 关 于 x 的 方 程 g(x)2 2ag(x) 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”
字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、
乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始，
无穷无尽. 2020 年是“干支纪年法”中的庚子年，那么 2086 年出生的孩子属相为( )
19
an
y2
1
是椭圆，则
19 19
an an
0 1
，即
2 3n1
2
3n1
19 18
，
∵n N* ，解得 n 1 或 2；
19.答案：（1）连接 A1D, BD ,易知侧面 ADD1A1 为矩形，∵F 为 AD1 的中点,∴F 为 A1D 的中点.
∵E 为 A1B 的中点,∴EF / /BD ∵BD 平面 ABCD , EF 平面 ABCD ∴EF / / 平面 ABCD
6
22.（12
分）已知函数
f
x
a
ln
x
1 x
,
a
R
.
（1）求 f x 的极值；
（2）若方程 2 f x ln x x 2 0 有三个解，求实数 a 的取值范围.
（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方
法，抽取一个容量为 200 的样本，请你根据图表中的数据，补全下列 2 2 列联表， 并根据列联表的独立性检验，判断是否有 85% 的把握认为经常使用共享单车与年
2021 新高考数学模拟试题及答案
1.已知集合 A {x | y x2 2x 3},B {2,0,2,3} ， M A B ，则 M 的子集共有( )
A.3 个
B.4 个
C.7 个
D.8 个
2..已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z 2 3i 1 ，则 z 在复平面内对应的点所在的象限为( )
17.答案：（1）a2 b2 (a c)c 即 b2 a2 c2 ac
b2
a2
c2
2ac
cos B
cos
B
1 B (0, 2
π)
∴B
π 3
a （2）由 sin A
3 3
c sin C
可得，
a
2 sin
A, c
2sin C
2
∴2a
c
4 sin
A
2 sin
C
∵A+C
2 3
π
C
2 3
π
A
3
在 π,π 上
函数 的函数
是增函数
D.
x
π 3
,
π 3
，若
f (3x) a
f
3π 2
恒成立，则
a
的最小值为
32
11.若 a,b 为正实数，则 a b 的充要条件为( )
A.
11 ab
B. ln a ln b
C. a ln a b ln b
D. a b ea eb
xex , x 1
非年轻人
合计
经常使用共享单车 100
20
120
不常使用共享单车 60
20
80
合计
160
40
200
于是 a 100,b 20, c 60, d 20 ∴K 2 200 (100 20 60 20)2 2.083 2.072 120 80 160 40
18.（12 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 2, Sn1 3Sn 2, n N* . （1）证明：数列 Sn 1 为等比数列； （2）已知曲线 Cn : x2 19 an y2 1 若 Cn 为椭圆，求 n 的值；
19.（12 分）如图, 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AD BC, AB / /CD,CD 2AB DD1 ,
（2）由（1）可得 Sn 1 3 3n1 3n ，∴Sn 3n 1 .
当 n 2 时， an Sn Sn1 3n 1 3n1 1 2 3n 1 ，
a1 2 也适合上式，所以， an 2 3n1 .
则 E(
3, 2, 2), F
3 2
,
1 2
,
2
，
D(0,
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
3.已知向量
AB
(2,
2),
AC
(t,1)
，若
AB
BC
2
，则
t
(
)
D．第四象限
A.5
B.4
C.3
D. 2
4.已知函数
f
x 对任意
x ,y R
，都有
f
(x
y)
f
(x)
f
(y)
，且
f
(1)
1 2
n
，则 i0
1 f (i)
(
)
A.
1
1 2n
B.
2
1 2n
C. 2n 1
D. 2n1 1
5.设
为第二象限角，若 tan
4
1 7
，则 sin
cos
(
)
A.
1 5
B.
1 5
C.
7 5
D.
7 5
6.已知函数 f (x) ln(x
x2
1)
1 ，若正实数
a,b 满足
f
(4a)
f
(b
1)
2
，则
1 a
1 b
的最小值为(
)
A.4
B.8
C.9
D. 13
7.已知函数
f
(x)
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
120
不常使用单车用户
80
合计
160
40
200
（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取 3 人，设其中经常使用共享 单车的“非年轻人”人数为随机变量 X ，求 X 的分布列与期望.
（参考数据：独立性检百度文库界值表
P K 2 k0
3a 4c 0
令 a 4 ，得 c 3 ，所以 m (4, 0, 3)
uuur
uuur cos EF, m
EF uumur
m EF
3 ×4 2
2 19
16 3 9 3
19
44
所以直线 EF 与平面 FCD 所成角的正弦值为 2 19 19
20.（1）补全的列联表如下：
年轻人
2a
c
4 sin
A
2 sin
2π 3
A
5sin A 3 cos A 2 7 sin( A ) （其中 tan 3 ） 0 A 2π
5
3
∴2a c 的最大值为 2 7
18.（1）对任意的
n
N* ，
Sn1
3Sn
2
，则
Sn1 1 Sn 1
3Sn Sn
3 1
3
且
S1
1
3，
所以，数列Sn 1 是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列；
龄有关？
1-5BABDA 6.-8：CDB 9.：BC 10.：ABD 11.：BD 12：BC
13.8
14.：-1
15.：900
16.： 0 a 1 ; (, 11 2 ln 2)
8
16.解析：由题可得
f
(x)
2ax2
x
x
1 x
0
，因为函数
f
(x)
ax 2
x
ln
x
有两个不同的极值点
x1, x2
设 DD1 2AB CD 4 ,
a
x1
x2
2
2x1
x2
3 x1
x2
ln
x1x2
5 4a
1
ln(2a)
.
设
h(a)
5 4a
1
ln(2a)
0
a
1 8
，
h(a)
5 4a 4a2
0
，故
h(a)
在
0,
1 8
上单调递增，故
h(a)
h
1 8
11
2 ln
2
，
所以 t 11 2 ln 2 ，所以 t 的取值范围是 (, 11 2 ln 2) .
（2）在平面 ABCD 中，过点 D 作 DM CD ，易知 DD1 平面 ABCD ,
故以 D 为原点，分别以 DM , DC, DD1 所在直 线为 x, y, z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为 f x1 f x2 2x1 x2 ax12 x1 ln x1 ax22 x2 ln x2 2 x1 x2
2 e2
,
e2 8
(e 2
,
)
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.在等差数列 an 中，若 a1 a2 4,a5 a6 6 ，则 a9 a10 _________.
14. sin 40(tan10 3) _________. 15.2020 年是全面建成小康社会目标实现之年，是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求，某 市决定派 5 名党员和 3 名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研，要求每个扶贫村至少派党员和医护人
，
△ 1 8a 0
所以方程
2ax2
x
1
0
有两个不相等的正实数根，于是有
x1
x2
1 2a
0 ,解得 0
a
1 8
.
x1 x2
1 2a
0
若不等式 f x1 f x2 2x1 x2 t 有解，所以 t f x1 f x2 2x1 x2 max
由于曲线
Cn
:
x2
0,
0),
C
(0,
4,
0)
，
uuur EF =
3 2
,
3 2
,
0
,
uuur DF =
3 2
,
1 2
,
2
,
uuur FC =
3 2
,
7 2
, 2
设平面
FCD
的法向量为
m
(a,b, c)
,
由 DF m
0
即
3 2
a
1b 2
2c
0
解得
b 0
FC m 0
3 a 7 b 2c 0 22
C. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn an2 bn c （ a,b, c 为常数），则an 为等差数列的充要条件是 c 0
员各 1 名，则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）． 16.已知函数 f (x) ax2 x ln x 有两个不同的极值点 x1, x2 ，则 a 的取值范围是__________；若不等式
f x1 f x2 2 x1 x2 t 有解，则 t 的取值范围是___________. （第一个空 2 分，第二个空 3 分）
四、解答题（共 70 分） 17(10 分）.在 △ ABC 中， a,b,c 分别为角 A, B,C 所对的边，且 a2 b2 (a c)c . （1）求角 B . （2）若 b 3 ，求 2a c 的最大值.