解析几何压轴突破

第十节解析几何常见突破口

解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，即解析几何问题中的条件转化是如何实现的，是突破解析几何问题难点的关键所在．为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，分析解析几何的“双管齐下”，突破思维难点．

考点一利用向量转化几何条件

[典例]如图所示，已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

[关键点拨]

以AB为直径的圆过原点等价于OA⊥OB，而OA⊥OB又可以“直译”为x1x2＋y1y2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．

考点二角平分线条件的转化

[典例]已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PB Q的角平分线，求证：直线l过定点．

[关键点拨]

本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y1，y2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．

考点三 弦长条件的转化

[典例] 如图所示，已知椭圆G ：x 22＋y 2

＝1，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点F 1，且与椭圆G 相交于

A ，

B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于

C ，

D 两点．

(1)若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．

(2)是否存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

[关键点拨]

本题(2)的核心在于转化|AM |2＝|CM |·|DM |中弦长的关系．由|CM |＝|OC |－|OM |，|DM |＝|OD |＋|OM |，又|OC |＝|OD |，得|AM |2＝|OC |2－|OM |2.又|AM |＝12|AB |，|OC |＝1

2|CD |，因此|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，转化为弦长|AB |，

|CD |和|OM |三者之间的数量关系，易计算．

[典例]设椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆交于E，F 两点，求四边形AEBF的面积的最大值．

[关键点拨]

如果利用常规方法理解为S四边形AEBF＝S△AEF＋S△BEF＝1

2|EF|·(d1＋d2)(其中d1，d2分别表示点A，B到直线

EF的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出EF的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF的面积拆成两个小三角形——△ABE和△ABF的面积之和，则更为简单．因为直线AB的方程及其长度易求出，故只需表示出点E与点F到直线AB的距离即可．

[总结规律·快速转化]

做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考

2．

3．

4．

5．

6．角条件的转化

[课时跟踪检测]

1．已知椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，32，且与椭圆E ：x

2

2

＋y 2＝1有相同的焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：以线段P Q 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为22，离心率为6

3，点A (3,0)，P 是C 上的动点，F 为

C 的左焦点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若点P 在y 轴的右侧，以AP 为底边的等腰△ABP 的顶点B 在y 轴上，求四边形FP AB 面积的最小值．

3．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为3

2

，过点F 1且垂直于x 轴的直

线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围．

4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx

与椭圆交于A，B两点．

(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；

(2)若k＝

2

4，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；

(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线P A的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．

第十一节解析几何计算处理技巧