解析几何压轴突破

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高考数学复习历年压轴题归类专题讲解：解析几何小题突破(解析版)

高考数学复习历年压轴题归类专题讲解解析几何小题突破（解析版）1．点M 为抛物线214y x =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（）A ．52B ．114C ．3D ．134【答案】A函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点()1,2-，故()1,2P -.214y x =，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()22114x y +-=. 111532222MP MN MP MF PD +≥+-≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .2．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=( )A ．B ．4C ．3D ．1【答案】C连接2PF ,设椭圆的基本量为,,a b c ，()()()()2212121QF QF QO OF QO OF QO QF ⋅=+⋅+=-,()221222222322PF PF QN NO c c a c b ⎛⎫=+-=+-=-== ⎪⎝⎭故答案为：3.3．已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ，若存在非零实数t ，使得1()2f t f t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭成立，则224a b +的最小值为（）．A ．165B ．145C ．16D ．4【答案】A因为函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ，所以22111(),,f t t at b f a b t t t ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为存在非零实数t ，1()2f t f t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以存在实数0t ≠，使21120t a t b t t ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，又224a b +的几何意义为坐标原点与点(,2)a b 的距离的平方，记2b m =，1u t t=+，则24u ≥．故21120t a t b t t ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即为20ua m u ++=，表示动点(,)a m 的轨迹，设为直线l ，则原点与点(,)a m 的距离的最小值为原点到直线l 的距离，故222224a b ≥⎛⎫⎫+=，因为h =，在[4,)+∞上是增函数，所以5h =≥，所以226415a b +≥，当2t =时，取等号. 故选：A ．4．设F 是双曲线22221x y a b-=的右焦点，双曲线两渐近线分别为1l ，2l ，过点F 作直线1l 的垂线，分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若A ，B 两点均在x 轴上方且3OA =，5OB =，则双曲线的离心率e 为（）A ．B ．2C D【答案】C 如下图所示，从而可知4tan 3θ=，∴242tan 4tan 2tan 231tan 3αααα=-⇒=-⇒=-，即2b a =，∴e ==，故选C. 5．已知点(1,1)A -．若曲线G 上存在B ，C 两点，使ABC 为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：①3(03)y x x =-+≤≤；②0)y x =≤≤；③1(0)y x x=->．其中Γ型曲线的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B对于①，A （-1，1）到直线y =-x +3的距离为，若直线上存在两点B ，C ，使△ABC为正三角形，则|AB |=|AC |=，以A 为圆心，以为半径的圆的方程为（x +1）2+（y -1）2=6，联立解得，或，后者小于0，所以对应的点不在曲线上，所以①不是．对于②，化为()22220x y x +=-≤≤，图形是第二象限内的四分之一圆弧，此时连接A 点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°，所以②不是．对于③，根据对称性，若上存在两点B 、C 使ABC 构成正三角形，则两点连线的斜率为1，设BC 所在直线方程为x -y +m =0，由题意知A 到直线距离为直线被所截弦长的倍，列方程解得m =-，所以曲线③是T 型线．6．已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为()3,0，点M 满足1AM =，0PM AM ⋅=，则PM 的最小值是（）A B C ．D ．3【答案】C 【解析】0PM AM PM AM ⋅=∴⊥ ，2222211PM AP AMAM PM AP ，∴=-=∴=-1AM =∴点M 的轨迹为以为以点A 为圆心，1为半径的圆，221PM AP =-，AP 越小，PM 越小，结合图形知，当P 点为椭圆的右顶点时，AP取最小值633a c -=-=， PM ∴= 故选C ．7．已知A 、B 是抛物线()220y px p =>上的两点，直线AB 垂直于x 轴，F 为抛物线的焦点，射线BF 交抛物线的准线于点C ，且AB ，AFC △的面积为2+，则p 的值为（）A B ．1C ．2D ．4【答案】C过点A 做AH 垂直于准线，垂足为H ，做CG 垂直于AB ，垂足为G ，根据抛物线的定义AH=AF ，//CE AB ，因此DE=AH=CG=AF ，由AFCABC AFB SSS =-，12ABCSAB CG AD CG ==，12AFBS AB DF AD DF ==得()()AFCSAD CG AD DF AD CG DF AD DE DF AD EF =-=-=-=又DE AF ==，则1)EF DF =，2AD DF ===，可得2AFCSEF =，又因2AFCS =，所以EF=2，因为EF 正好是焦点到准线的距离，即2p =.故选C.8．过点2,0c A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭作双曲线()2222:10.0x y C a b a b -=>>的一条渐近线的垂线，垂足为P ，点Q 在双曲线C 上，且3AQ QP =，则双曲线C 的离心率是（）A B 1 C D【答案】D解：由题意设点2,0c A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭作双曲线的一条渐近线by x a =即0bx ay -=的垂线，则垂线AP 的斜率为：ab -，且过点2,0c A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以垂线AP 的方程为：2()a c y x b a=--，即：20ax by c +-=，联立方程：200bx ay ax by c -=⎧⎨+-=⎩，解得：x ay b =⎧⎨=⎩，则(,)P a b ，设点(,)Q m n ，则2(,)cAQ m n a=-，(,)QP a m b n =--，且3AQ QP =，所以：23333c m a m an b n⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩，解得：223434a c m an b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2233(,)44a c Q b a + 因为点Q 在双曲线C 上，所以22222233441a c b a a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简整理得：426160c c a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：22c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭或28c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍去），所以：ce a== 故选：D.9．已知抛物线22(0)y px p =>过点12A ⎛ ⎝，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB AB λ=，则实数λ为A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C 【解析】把点1(2A ，代入抛物线方程，得1222p =⨯，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，则(1,0)B -．设2(,)4M M y M y，则3(,2AB =-，2(1,)4MM y MB y =---．由MB AB λ=，得231{42M M y y λ--=--=，解得2λ=或1λ=（舍去），故选C ． 10．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，PB PA =，则cos APB ∠的值为（）A ．12B ．13C ．12-D ．13-【答案】D由题(1,0)F ，由于过抛物线24y x =上一点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，可得||||PB PF =，又PB PA =，故PF PA =，所以P的坐标为(2,±，由余弦定理可得222222331cos 22333PB PA AB APB PB PA +-+-∠===-⋅⋅⨯⨯.故选：D.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于,A B 两点，直线2l 与抛物线C 交于,M N 点，若1l 与直线2l 的斜率的乘积为1-，则||||AB MN +的最小值为（）A ．14B ．16C ．18D ．20【答案】B抛物线的焦点坐标为()1,0F ，依题意可知12,l l 斜率存在且不为零，设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k -，所以()()121:1,:1l y k x l y x k =-=--，有()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，有()2222240k x k x k -++=，212222442k x x k k ++==+，故122424AB x x k =++=+，同理可求得244MN k =+.故2248488816AB MN k k +=++≥+=+=，当且仅当2244,1k k k ==±时，等号成立，故最小值为16，故选B. 12．设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 的面积为,则p 的值为( )A B C D 【答案】C过点B 作BM l ∥交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，设点()()1122,,A x y B x y 、，由3AF BF =得12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即123x x p -=……①，又因为NF AM ∥,所以14NF BF AM AB ==, 所以()1214NF x x =-，所以()212142pOF ON NF x x x =+=+-=……②，由①②可解得123,26p p x x ==，在Rt ABM ∆中，1283AB x x p p =++=， 124=3AM x x p -=，所以3BM p ==，所以1323CDF S P P ∆=⨯=,解得2p =或2p =-（舍去），故选：C13．已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（）A．B．2CD【答案】C由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF =，于是sin sin EFP PE FEP PF μ∠==∠ 11cos cos PE PH EPH PEF===∠∠，cos y x =在()0,π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max 2μ∴==,故选C.14．已知椭圆的方程为()22211x y a a +=>，上顶点为A ，左顶点为B ，设P 为椭圆上一点，则PAB ∆1.若已知()),M N，点Q 为椭圆上任意一点，则14QN QM+的最小值为（） A ．2 B．3+C ．3D ．94【答案】D在椭圆()22211x y a a+=>中，点()()0,1,,0A B a -，则AB =，1AB k a=，直线AB 的方程为11y x a =+，设与直线AB 平行的椭圆的切线方程为1y x b a=+，由方程组22211y x b ax y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222220x abx a b a ++-=，由()()22222420ab a b a ∆=-⨯-=，得22b =，则b =两平行线间的距离1ad ==，则PAB ∆面积的最大值为1212AB d =+，得2a =， ∴24QM QN a +==，∴()141144QM QN QN QM QN QM ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭1144QM QN QN QM=+++ 19144QN QM ≥++=，当且仅当2QM QN =时取等号.15．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，抛物线C 上动点A ，B 满足4AF FB =，若A ，B 的准线上的射影分别为M ，N 且MFN ∆的面积为5,则AB =（）A ．94B ．134C ．214D ．254【答案】D过点A 作x 轴的垂线垂足于C ，交NB 的延长线于点D ．设221212,,,22y y A y B y p p，则12MN y y .5MFN S 1210y y p ①AFCABD AF ACABAD，即11245y y y124y y ②2212,2222y y AF AM FB BNppp p 22124()2222y y p p pp③联立①②③解得14y =，21y =-，2p =221225224y y AB p p p ∴=++=故选D16．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b -=的左，右焦点，过点2F 的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点，设点(),H H H x y ，(,)G G G x y 分别为12AF F △，12BF F △的内心，若3H G y y =，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．[2,)+∞B ．C ．(1,2]D ．(1,2)【答案】D不妨设直线AB 的斜率大于0．如图:连接HG ．2HF ，2GF ，设12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，则12121212()AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF -=+-+=-=-，所以2()H H a c x c x =+--，即H x a =，同理可得G x a =，所以12HG F F ⊥，设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △中，2tan()tan22FG FF c a θθ==-，在2Rt F FH △中，2tan()tan 222FH FF c a πθπθ-⎛⎫==-⋅- ⎪⎝⎭，又3H G y y =，所以3FH FG =，即()tan 3()tan 222c a c a πθθ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得tan 2θ=所以22tan2tan 1tan 2==-θθθAB，由题意，直线AB与双曲线右支交于两点，故ba<所以(1,2)c a =.故选:D17．已知1F ，2F 分别是椭圆22:16432x y C +=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，且MP 交x 轴于点G ，则MGGP的取值范围为（）. A．10,7⎛⎤⎥ ⎝⎦B．10,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C．(1⎤⎦ D．()1【答案】D如图所示，点P 在y轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =，由中位线定理可得212OM F N =. 设点()()0000,0,0P x y x y >>. 由两点间的距离公式，得10PF a ex ====+, 同理可得20PF a ex =-，所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，c =，所以e =0OM x =，所以02x MG OM GP PF == 因为()00,8x ∈x 在()00,8x ∈()01x . 故MGGP的取值范围为()1. 故选:D .18．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432x y +=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(D ．()0,1【答案】D如图所示，点P 在y 轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =．由中位线定理可得212OM F N =．设点()00,P x y ()000,0x y >>．由两点间的距离公式，得1PF ==0a ex ==+，同理可得20PF a ex =-，所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，c =，所以e =故02OM x =，所以0028x OM x OF ==．因为()00,8x ∈，所以()010,18x ∈．故2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ．19．过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（）A．0,5⎡⎣ B．5⎡⎤⎣⎦C．5,5⎡⎣D．5⎡-⎣【答案】D()220ax a b y b +++=,整理为：(2)(2)0a x y b y +++=得直线恒过点Q （1，-2），画出图象可知90PMQ ∠=或者M 与P,Q之一重合，PQ =故点M 在以PQ 为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F ，则线段MN满足的范围为FN MN FN ≤≤+所以：MN 的取值范围是5⎡+⎣ 故选：D20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（）A ．1⎤⎥⎣⎦ B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎣⎦ D ．⎣⎦【答案】A由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b+=联立解得22222()Aa cb x c-=，因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22sin 2sin ()2sin [,]A A a a c a a cAF c e x c x c e e e ααα--=∴-=∴=∈因此222222()()a c b a c c e--≤≤，解得22222222()()()2()a c b a c a c a a c ≤-≤-≤-≤-，，即22,20a a c ac ≤--≥，即21,1201e e e ≤--≥≤≤，选A. 21．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点，过点F 的直线与圆22221:()2O x y a b +=+于A ，B 两点（A 在F ，B 之间），与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，120AOB ∠=︒则双曲线的离心率为（）A B ．3C D ．3【答案】D 解：如图，由圆O 的方程2222211()22x y a b c +=+=，得圆O 的半径为OA OB ==．过O 作AB 的垂线OH ，则H 为AB 的中点，又FA BP =，H ∴为FP 的中点，设双曲线的右焦点为1F ，连接1PF ，则OH 为三角形1FF P 的中位线，可得1//OH PF ，则1PF PF ⊥，由120AOB ∠=︒，可得12OH OA ==．∴1PF =，则2PF a =+，由勾股定理可得：2222))4a c ++=，整理得：2340e --=．解得：e =或e =（舍)．故选：D ．22．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，O 坐标原点，若AOB ∆的面积为AB =（）A ．24B ．8C ．12D ．16【答案】A 【解析】抛物线24y x = 的焦点F 坐标为(10)F ，,过焦点(10)F ，的直线设为1x my =+ ,设1122(,),(,)A x y B x y ,联立214x my y x =+⎧⎨=⎩有2440y my --= ,所以有121244{y y my y +==- ,由1211122AOB S OF y y ∆=⋅⋅-=⋅ ,所以有m =1224AB y ==-== ,选A.23．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（）A ．B C ．52D ．5【答案】B 【解析】若1:3:4AF AB =，则可设13,4AF m AB m ==，因为2F 是AB 的一个四等分点；若214BF AB =,则22,3BF m AF m ==,但此时12330AF AF m m -=-=，再由双曲线的定义，得122AF AF a -=，得到0a =，这与0a >矛盾；若214AF AB =,则22,3AF m BF m ==，由双曲线的定义，得12112122532{{AF AF m a BF am a BF BF BF m a -====-=-=⇒，则此时满足22211AF AB BF +=,所以1ABF ∆ 是直角三角形，且190BAF ∠=︒ ,所以由勾股定理，得2222221212(3)(2)AF AF F F a a c +=⇒+=，得e =, 故选B.24．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:3,(2,)O x y T m +=，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且2AB MT =，则实数m 的取值范围是( )A ．[B ．C ．[D ．(【答案】CM 为AB 的中点，且2AB MT =， TAB ∴为直角三角形，90ATB ∠=︒，若TA ，TB 为切线，且90ATB ∠=︒，则45OTB ∠=︒，在Rt OBT 中，45OTB ∠=︒，90OBT ∠=︒，OB =，则OT =∴过点T 向圆引的两条切线的夹角不小于90︒时，满足题意，则圆心(0,0)O 到(2,)T m ，即6OT =，解得2m .故选：C.25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0).若12θθ=，则动点P 的轨迹为（）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】B 【解析】由线面角的定义及题意可得1112112sin sin AA DD PD PE θθ=⇔=，即12PD PE =，以线段1D E 为x 轴，其中垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系xOy ，设12,(,)AA P x y =，则11(D E E D =，所以2222(4(4x y x y -+=+，即222333(02x y +++=，则动点P 的轨迹是圆，故应选答案B ． 26．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是双曲线22:1169x y C -=的左、右顶点，M 是双曲线C 上不同于A ，B 的动点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，则||||OP OQ ⋅=（）A ．16B ．9C ．4D ．3【答案】B设动点0(M x ，0)y ，由双曲线方程可得(4,0)A -，(4,0)B ，则004AM y k x =+，004BM y k x =-，所以直线AM 的方程为00(4)4y y x x =++，直线BM 的方程为00(4)4y y x x =--，由此可得004(0,)4y P x +，004(0,)4y Q x --，所以200020004416··()4416y y y OP OQ x x x =-=+--.因为动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，所以22001169x y -=，所以2200169(16)y x =-，则22002200169(16)·91616y x OP OQ x x -===--. 故选：B .27．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点（异于左、右顶点）为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B．0,3⎛ ⎝⎦C．1,33⎛ ⎝⎦D．3⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A12PF F 的面积关系可得：()11222222p a c c c y +=，∴()p a c c y +=≤，∴()a c +≤， ∴()222a c b +≤，则22023a ac c ≤--，()()30a c a c +-≥，∴3a c ≥，∴103e <≤. 故选：A.28．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，P 是C 上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的平分线交C 的长轴于点M ，则12MB MB +的取值范围是（）A．⎡⎣ B．⎡⎣C．⎡⎣D．2,⎡⎣【答案】B由椭圆C 的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，得1b c ==，则2222a b c =+=，所以椭圆C 的方程为2212x y +=，故()10,1B ，()20,1B -，由12F PF ∠的平分线交C 长轴于点M ，显然，1212PFN PF MS F M S F M=△△，又121112221sin 21sin 2PFN PF MPF PM F PM S PF S PF PF PM F PM ∠==∠△△，所以，1122PF F M PF F M =，即121222PF PF F M F MPF F M++=，由122PF PF a +==，1222MF MF c +==，得22PF M =，设()(),011M λλ-<<，则21F M λ=-，而2a c PF a c -<<+，211PF <<)111λ<-<，所以λ<<，所以12MB MB +=，2102λ≤<，所以122MB MB ≤+< 故选：B.29．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．4a ≤B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥【答案】D依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去）故选D.30．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ．若1F A =，则该双曲线离心率的取值范围为（）A ．(B ．32⎫⎪⎭C ．D ．32⎛ ⎝【答案】B 解：如图所示：1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，延长2F A 交1PF 于点Q ，PA 是12F PF ∠的角平分线，2PQ PF ∴=，又点P 在双曲线上，122PF PF a ∴-=，112PF PQ QF a -==，又O 是的12F F 中点，A 是2F Q 的中点，OA ∴是12F F Q △的中位线，122QF a OA ∴==，即OA a =，在1FOA △中，OA a =，1F A =，1OF c =，由三角形两边之和大于第三边得：a c +>，两边平方得：()225a c b +>，即()222225a c ac c a ++>-，两边同除以2a 并化简得：2230e e --<，31 / 31 解得：312e -<<，又1e >，312e ∴<<，在1FOA △中，由余弦定理可知，22222111112cos 2AF FO AO AF AF FO O +-∠==⋅，在12F AF中，22211221112cos 2AF FF AF AF AF F F O +-==∠⋅，即222= 又222b c a =-，解得：222273AF a c =-，又22OAF π∠>，2222OA AF OC ∴+<,即222273a a c c +-<， ∴e >综上所述：32e ⎫∈⎪⎭.故选：B.。

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关突破圆锥曲线压轴小题(解析版)

突破圆锥曲线压轴小题圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。

类型一圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题【例1】(1)(2022·济南联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，点P 是椭圆C 上一点，满足|PF 1——→＋PF 2——→|＝|PF 1——→－PF 2——→|，若以点P 为圆心，r 为半径的圆与圆F 1：(x ＋c )2＋y 2＝4a 2，圆F 2：(x －c )2＋y 2＝a 2都内切，其中0<r <a ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.34 C.104 D.154【答案】C【解析】由|PF 1——→＋PF 2——→|＝|PF 1——→－PF 2——→|两边平方，可得PF 1——→·PF 2——→＝0，则PF 1——→⊥PF 2——→，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a －r ，|PF 2|＝a －r ，即|PF 1|－|PF 2|＝a ，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得⎩⎨⎧|PF 1|＝3a 2，|PF 2|＝a2，在△PF 1F 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2 得9a 24＋a 24＝4c 2，即e 2＝c 2a 2＝58，所以e ＝104. (2)(2022·广州模拟)已知A ，B 分别为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右顶点，P 为椭圆C 上一动点，P A ，PB 与直线x ＝3交于M ，N 两点，△PMN 与△P AB 的外接圆的周长分别为l 1，l 2，则l 1l 2的最小值为( )A.54 B.34 C.24 D.14【答案】A思路引导母题呈现【解析】由已知得A (－2,0)，B (2,0)，设椭圆C 上动点P (x ，y )，则利用两点连线的斜率公式可知k P A ＝y －0x ＋2，k PB ＝y －0x －2，∴k P A ·k PB ＝y －0x ＋2·y －0x －2＝y 2(x ＋2)(x －2)＝y 2x 2－4＝1－x 24x 2－4＝－14.设直线P A 的方程为y ＝k (x ＋2)，则直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)，根据对称性设k >0，令x ＝3，得y M ＝5k ，y N ＝－14k ，即M (3,5k )，N 1(3,)4k−，则|MN |＝5k ＋14k . 设△PMN 与△P AB 的外接圆的半径分别为r 1，r 2，由正弦定理得2r 1＝|MN |sin ∠MPN ，2r 2＝|AB |sin ∠APB ，∵∠MPN ＋∠APB ＝180°，∴sin ∠MPN ＝sin ∠APB ， ∴l 1l 2＝2πr 12πr 2＝r 1r 2＝|MN ||AB |＝5k ＋14k 4≥25k ·14k 4＝54，当且仅当5k ＝14k ，即k ＝510时，等号成立，即l 1l 2的最小值为54. 【方法总结】高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题．【针对训练】(1)(2022·深圳模拟)F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 22＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A ，B 两点，若l ⊥F 2B ，则F 2A —→·F 2B —→等于( ) A ．4－2 3 B ．4＋ 3 C ．6－2 5 D ．6＋25 【答案】C【解析】在双曲线C 中，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则F 1(－3，0)，F 2(3，0)，因为直线l 过点F 1，由图知，直线l 的斜率存在且不为零，因为l ⊥F 2B ，则△F 1BF 2为直角三角形，可得|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2，所以4＝(|BF 1|－|BF 2|)2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|＝12－2|BF 1|·|BF 2|，可得|BF 1|·|BF 2|＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|－|BF 2|＝2，|BF 1|·|BF 2|＝4，解得|BF 2|＝5－1，因此F 2A —→·F 2B —→＝(F 2B —→＋BA —→)·F 2B —→＝F 2B —→2＋BA —→·F 2B —→ ＝(5－1)2＝6－2 5.(2)(多选)(2022·德州模拟)已知椭圆C ：x 25＋y 2b 2＝1(0<b <5)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，点Q 是圆x 2＋(y －4)2＝1关于直线x －y ＝0对称的曲线E 上任意一点，若|PQ |－|PF 2|的最小值为5－25，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的焦距为2B ．曲线E 过点F 2的切线斜率为C ．若A ，B 为椭圆C 上关于原点对称的异于顶点和点P 的两点，则直线P A 与PB 斜率之积为－15D ．|PQ |＋|PF 2|的最小值为2 【答案】BC【解析】圆x 2＋(y －4)2＝1关于直线x －y ＝0对称的曲线为以C (4,0)为圆心，1为半径的圆，即曲线E 的方程为(x －4)2＋y 2＝1，由椭圆定义有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25， |PQ |－|PF 2|＝|PQ |－(25－|PF 1|) ＝|PQ |＋|PF 1|－25≥|Q ′F 1|－2 5.由图知Q ′(3,0)，|Q ′F 1|－25＝3＋c －25＝5－25，解得c ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 25＋y 2＝1.故焦距|F 1F 2|＝2c ＝4，A 错误；|PQ |＋|PF 2|≥|Q ′F 2|＝3－c ＝1，D 错误；设曲线E 过点F 2的切线斜率为k ，则切线方程为kx －2k －y ＝0，由圆心到切线方程的距离等于半径得|4k －2k －0|1＋k 2＝1，即k ＝±33，B 正确；设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则k P A ·k PB ＝y 1－y 0x 1－x 0·－y 1－y 0－x 1－x 0＝y 21－y 2x 21－x 20，又点P ，A ，B 都在椭圆上，即x 25＋y 20＝1， x 215＋y 21＝1⇒y 21－y 20x 21－x 20＝－15，C 正确．类型2 圆锥曲线与三角形“四心”问题【例2】(1)(2022·苏州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x ＝a 上，且满足PH →＝λ1212()PF PF PF PF +，λ∈R .若5HP →＋4HF 2——→＋3HF 1——→＝0，则双曲线C 的离心率为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】由PH →＝λ1212()PF PF PF PF +，λ∈R ，则点H 在∠F 1PF 2的角平分线上，由点H 在直线x ＝a 上，则点H 是△PF 1F 2的内心，由5HP →＋4HF 2——→＋3HF 1——→＝0，由奔驰定理(已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →＝0)知，1212HF F HF P HF P S S S △△△∶∶＝5∶4∶3，即12|F 1F 2|·r ∶12|PF 1|·r ∶12|PF 2|·r ＝5∶4∶3，则|F 1F 2|∶|PF 1|∶|PF 2|＝5∶4∶3，设|F 1F 2|＝5λ，|PF 1|＝4λ，|PF 2|＝3λ，则|F 1F 2|＝2c ＝5λ，即c ＝5λ2，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝λ，即a ＝λ2，则e ＝ca＝5.(2)(2022·江苏百师联盟联考)过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上点M 作抛物线D ：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，切点分别为P ，Q ，若△MPQ 的重心为G 3(1,)2，则p ＝________.【答案】316【解析】设M 200(,)2x x p，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，设过点M 的直线方程为x ＝t 200()2x y p −＋x 0，①与y 2＝4x 联立得y 2＝4t 20()2x y p −＋4x 0，即y 2－4ty ＋2tx 20p－4x 0＝0，② 由题意知Δ＝16t 2－42002(4)tx x p −，即2pt 2－x 20t ＋2px 0＝0，则t 1＋t 2＝x 202p ，t 1·t 2＝x 0(t 1，t 2分别表示l 1，l 2斜率的倒数)，由于方程②Δ＝0，则其根为y ＝2t ，当t ＝t 1时，y 1＝2t 1，当t ＝t 2时，y 2＝2t 2， ∵△MPQ 的重心为G 3(1,)2，∴x 202p ＋y 1＋y 2＝x 202p ＋2(t 1＋t 2) ＝x 202p ＋2×x 202p ＝3x 202p ＝92，③ 而x 1＋x 2＝t 1201()2x y p−＋x 0＋t 2202()2x y p −＋x 0 ＝2(t 21＋t 22)－x 202p(t 1＋t 2)＋2x 0＝2[(t 1＋t 2)2－2t 1t 2]－x 202p(t 1＋t 2)＋2x 0＝22002(2)4x x p−－x 404p 2＋2x 0＝x 404p 2－2x 0. ∴x 0＋x 1＋x 2＝x 404p 2－x 0＝3，④联立③④得p ＝316.【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新．在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力．【针对训练】 (1)（2022·南京外国语学校模拟预测）已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，M 是第一象限内的点，且满足|MF 1|＋|MF 2|＝4，若I 是△MF 1F 2的内心，G 是△MF 1F 2的重心，记△IF 1F 2与△GF 1M 的面积分别为S 1，S 2，则( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1＝S 2C ．S 1<S 2D ．S 1与S 2大小不确定【答案】B【解析】因为|MF 1|＋|MF 2|＝4>|F 1F 2|＝2，所以M 的轨迹是椭圆x 24＋y 23＝1在第一象限内的部分，如图所示．因为I 是△MF 1F 2的内心，设内切圆的半径为r ，所以(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r 2＝|F 1F 2|·y M2，所以r ＝y M 3，所以S 1＝|F 1F 2|·r 2＝y M3，又因为G 是△MF 1F 2的重心，所以OG ∶GM ＝1∶2，所以12122133MOF F MF S S S ==△△ ＝13·|F 1F 2|·y M 2＝y M3，所以S 1＝S 2. (2)（2022·湖北·荆州中学模拟预测）在平面直角坐标系Oxy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．【答案】32【解析】设OA 所在的直线方程为y ＝ba x ，则OB 所在的直线方程为y ＝－ba x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得⎩⎨⎧x ＝2pba ，y ＝2pb 2a 2，所以点A 的坐标为2222(,)pb pb a a ，抛物线的焦点F 的坐标为(0,)2p .因为F 是△OAB 的垂心，所以k OB ·k AF ＝－1 ，所以－b a ·2222()2pb papba −＝－1⇒b 2a 2＝54. 所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝94，解得e ＝32. 类型3 圆锥曲线在生活中的应用【例3】(1)(2022·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，点连线的夹角．请解决下面问题：已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 22＝1的左、右焦点，若从点F 2发出的光线经双曲线右支上的点A (x 0,2)反射后，反射光线为射线AM ，则∠F 2AM 的角平分线所在的直线的斜率为( )A ．－ 3B ．－33 C.33D.3 【答案】B【解析】由已知可得A (x 0,2)在第一象限，将点A 的坐标代入双曲线方程可得x 20－42＝1，解得x 0＝3，所以A (3，2)，又由双曲线的方程可得a ＝1，b ＝2，所以c ＝3，则F 2(3，0)，所以|AF 2|＝2，且点A ，F 2都在直线x ＝3上，又|OF 1|＝|OF 2|＝3，所以tan ∠F 1AF 2＝|F 1F 2||AF 2|＝232＝3，所以∠F 1AF 2＝60°，设∠F 2AM 的角平分线为AN ，则∠F 2AN ＝(180°－60°)×12＝60°，所以∠F 2AM 的角平分成所在的直线AN 的倾斜角为150°，所以直线的斜率为tan 150°＝－33. (2)（2022·莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD (如图2)，且两切线斜率之积等于－916，则椭圆的离心率为( )图1 图2A.34B.74C.916D.32 【答案】B【解析】若内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m >1)， ∴A (－ma ,0)，B (0，mb )，设切线AC 为y ＝k 1(x ＋ma )，切线BD 为y ＝k 2x ＋mb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋ma )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(a 2k 21＋b 2)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0知(2ma 3k 21)2－4(a 2k 21＋b 2)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理得k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)，∴(k 1k 2)2＝b 4a4＝29()16−，即b 2a 2＝916，故e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝74. 【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性．【针对训练】(1)（2022·德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C 切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |∶|F 2M |等于( )A.2∶ 3 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶3 【答案】C【解析】l 平分∠F 1PF 2，因为12PMF PMF S S △△＝|F 1M ||F 2M |＝12|PF 1||PM |sin ∠F 1PM 12|PF 2||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|，由|PF 1|＝1，|PF 1|＋|PF 2|＝4得|PF 2|＝3，故|F 1M |∶|F 2M |＝1∶3.(2)（2022·东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y 2－x 2＝1，y ∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．2.5 【答案】A【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r ，圆心为(0，r ＋1)，圆的方程为x 2＋(y －r －1)2＝r 2，代入双曲线方程y 2－x 2＝1，得y 2－(r ＋1)y ＋r ＝0，∴y ＝1或y ＝r ，要使清洁钢球到达底部，即r ≤1.1．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线C 的右支上，且124PF PF =，双曲线C 的一条渐近线方程为y kx =，则k 的最大值为（）A ．43B ．43−C ．34D ．34−【答案】A【分析】根据三角形两边之和大于第三边，1F 、2F 和P 共线时取等号，列出,a c 的不等式即可. 【详解】124PF PF =，122PF PF a −=，2128,33PF a PF a ∴== 1212+≥PF PF F F .53c a ∴≤2222169b c a a ∴=−≤43b a ∴≤ 即k 的最大值为43故选：A.模拟训练且4AP AQ a ⋅=−的坐标，代入4AP AQ a ⋅=−当by x a=时，如图，设联立222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得又因为(,0)A a −，所以AQ 所以(2,AP a =，(0,AQ =−所以2AP AQ b ⋅=−22+=a b ，所以25a =同理，当y =−时，亦可得2. 所以()222211()()|2|||44AP AQ AP AQ AP AQ AO QP a ⎡⎤⋅=+−−=−=⎣⎦2,2⎫⎛+∞⎪ ⎪ ⎭⎝【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆所以121222,2,x x OM ON y y ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝所以0OM ON ⋅>，所以114x x OM ON y y ⋅=21421k −⨯+−−，设2MF FN =，点Q B ．54利用2MF FN =求出点，则221212(,1),(,44x x MF x FN x =−−=由2MF FN =得：−218x =，因此点Q 的纵坐标为60，则该双曲线的离心率为A ．33B ．3 【答案】D60，即603=2360， ax b=的倾斜角为60， 603=24a =A ．74B ．2C ．【答案】D【分析】设双曲线的标准方程为(222210,x y a a b −=>【详解】设双曲线的标准方程为(222210,x y a a b −=>则由题意最小横截面的直径为20cm ，可知10a =5025⎛⎫⎛⎫8．（2022·四川成都·树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为90，tanA ．10B ．102C ．3 【答案】B【分析】设1AF m =，()20,0AF n m n =>>，根据题意可得AB =a 表示），然后在12AF F △中，应用勾股定理得出a 、c 的关系，求得离心率．【详解】连接1AF 、1BF ，易知1F 、A 、D 共线，1F 、B 、C 共线，设1AF m =，(2AF n m =>(1tan tan 180ABF ABC ∠=−∠由勾股定理可得1BF AF =18090BAD −∠=，2221212+AF AF F F =，即(设(),M x y ，则12222y y k k x x x ⋅=⋅=+−直线1A M 的方程为()12y k x =+，直线A 即111142343,2323k k Q k k ⎛⎫−+ ⎪ ⎪++⎝⎭，．OAB 可能为锐角三角形．过点(0,1M ．若3AF =，则AOB 的面积为最小值为3+AOB S =，从而利用基本不等式即可判断⎩故1OA OB x x ⋅=对于B ：因为对于所以()0,1M 在抛物线AOBS=D ：由选项A．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为B．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为C．若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角D．若太阳光线与地面所成角为π6，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的15．（多选题）（2023·山东淄博·统考一模）已知曲线C 的方程为2214x y m+=（4m <且m ≠C 与x 轴的左、右交点，P 为C 上任意一点(不与A ，B 重合)，则（）A ．若1m =−，则C 为双曲线，且渐近线方程为2y x =±B ．若P 点坐标为()1,n ，则C 为焦点在x 轴上的椭圆 C ．若点F 的坐标为()4,0m −，线段PF 与x 轴垂直，则2m PF =D ．若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则124m k k =− 【答案】BD【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.112PF F S =20．（2023·云南玉溪·统考一模）已知。

【高中数学名师精华荟萃总结】《解析几何大题》专题突破

专题突破解析几何（学生版）•一、轨迹问题•二、求值•三、最值（范围）问题•四、定点、定位、定值问题•五、存在性问题恒成立与有解问题一、轨迹问题问题一: 利用直接法求轨迹方程直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化, 列出等式化简即得动点轨迹方程.具体步骤为通过建立适当的坐标系, 设点、列式、化简从而得出轨迹方程.线段与互相垂直平分于点, , , 动点满足, 求动点的轨迹方程．问题二: 利用定义法求轨迹方程当动点的轨迹满足某种曲线的定义时, 就可由曲线的定义直接写出轨迹方程.2. , 为动点, 、为定点, , , 且满足条件,求动点A的轨迹方程.3.已知动圆与两定圆和都外切, 求动圆圆心的轨迹方程.问题三: 利用转移法求轨迹方程动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的, 这时我们可以用动点坐标来表示相关点坐标, 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫相关点法。

转移法(也称代入法,相关点法): 转移法求轨迹方程的步骤:（1）设两个动点坐标为, 其中动点在已知曲线上, 动点为所求轨迹上的点；（2）寻找两个动点之间的关系, 把用表示；将用表示的代入已知曲线方程, 整理即得所求.4.已知点为圆上的一个动点, 点的坐标为, 试求线段中点的轨迹方程．问题四: 利用待定系数法求轨迹方程待定系数法求轨迹方程的步骤: (1)设出所求的曲线方程；(2)求出字母参数；(3)代入所设. 5.在面积为的中, ．建立适当坐标系, 求以为焦点且过的椭圆方程．问题五: 参数法求轨迹方程6.设椭圆方程为 ,过点的直线交椭圆于两点, 是坐标原点,点满足 .当绕点旋转时, 求: 动点的轨迹方程.7、（2011安徽理）设 , 点的坐标为 , 点在抛物线上运动, 点满足 , 经过点与轴垂直的直线交抛物线于点 , 点满足 , 求点的轨迹方程．8. (2013四川) 已知椭圆 : 的两个焦点分别为 , 且椭圆经过点 . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于、两点, 点是线段上的点, 且 , 求点的轨迹方程. 9、如图, 动点到两定点、构成 , 且 , 设动点的轨迹为。

压轴题命题区间(六) 第一课时简化解析几何运算的4个技巧

|AF1|2＋|AF2|2＝12，
解得a2＝2，
故a＝
2.所以双曲线C2的离心率e＝
3＝ 2
26.
[答案] D
简化解析几何运算的4个技巧结束
[方法点拨] 本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|， |AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．
t1＋k2 3k2＋t .
由 2|AM|＝|AN|，得3＋2tk2＝3k2k＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
当 k＝3 2时上式不成立，因此 t＝3kk23－k－2 1. t>3 等价于k3－2kk3－2＋2k－2＝k－k23－k22＋1<0，
即kk3－－22<0.因此得kk3－－22><00，或kk3－－22<>00，，
解得a＝2，b＝ 3，c＝1，
从而椭圆C的标准方程为x42＋y32＝1.
简化解析几何运算的4个技巧结束
(2017·浙大附中检测)已知直线(1＋3m)x－(3－2m)y－(1＋3m)
＝0(m∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C
上的点到点F的最大距离为3.
(2)设过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若
＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过
点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准
方程为 A.4x52＋3y62 ＝1
B.3x62＋2y72 ＝1
() C.2x72＋1y82 ＝1 D.1x82＋y92＝1
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
A.3x62 －1y028＝1

例谈如何突破解析几何的超量运算

例谈如何突破解析几何的超量运算数学运算是数学核心素养之一，解析几何是考查数学运算能力的压轴题.众所周知，解析几何是利用代数的方法研究平面几何的问题，在高考和竞赛中，涉及圆锥曲线的问题，超量的运算让学生感到头疼.那么如何破解这个难点呢？本文试图以一道竞赛试题为题，运用四种运算技巧破解解析几何运算难题，希望能够引起共鸣，让解析几何的运算有章可循，有法可依.一、例题解法算理呈现，探究运算过程例题 (2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛)已知椭圆的离心率为并且过点P(2，-1).(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P点作两条直线交椭圆C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值.分析：这个类型试题高考和竞赛中考查频率比较高.第一问解题过程略，椭圆的方程为第二问容易转化直线PA，PB关于直线PQ对称即斜率kPA+kPB=0.(一)借助降幂，整理方程解析几何中一般需要一条直线和圆锥曲线联立消去x或y，得到关于x或y的一元二次方程，接着使用判别式、韦达定理解决问题，但在这个运算过程中容易产生错误.如果始终按照某元为主元降幂整理代数式或方程，把注意力集中到系数上来，整理代数式或方程可以迅速、准确求得.例题解法角度1(部分)设直线PA的方程为y+1=k(x-2)(斜率显然存在)且A(x1，y1)，直线PB的方程为y+1=-k(x-2)且B(x2，y2).由联立消去y，得x2+4(kx-2k-1)2-8=0⟹怎么算？特别是(kx-2k-1)2打开有9项，接下来是大多数学生容易算错的一步.如何处理？究竟以什么计算方法，才能准确无误地得到一元二次方程呢？为了解决这类问题，我们通常只要按照x降幂整理方程，特别要关注二次项系数、一次项系数和常数项，这样直接填空式的整理方程，事半功倍.于是化为(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+4(2k+1)2-8=0.对于得到关于x的一元二次方程，我们都需要考虑判别式Δ=b2-4ac(一元二次方程ax2+bx+c=0，a≠0)的符号，对于这个式子的整理计算量比较大，主要因为次数比较高，项数比较多容易丢失或算错一些项，我们这里如果也使用降幂方法，可以迅速化解困难.即Δ=(8k(2k+1))2-4(4k2+1)(4(2k+1)2-8)=64k2(2k+1)2-16(4k2+1)((2k+1)2-2)最高次项64k2(2k+1)2可以和后面乘开的项相消，因此只剩下的三项类似于两项乘以两项的展开式的一次项和常数项，于是Δ=-16((2k+1)2-8k2-2)=-16(-4k2+4k-2)，再整理为Δ=16[(2k-1)2+1]>0.(这个运算方法在圆锥曲线中发挥重要作用) 评注：对于(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd(a≠0，c≠0)恰当运用，可以让我们的计算准确率大大提高，特别是当字母a，b，c，d 表示多项式时.(二)借助已算，同理推算例题解法角度1(续部分)上面整理的一元二次方程(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+4(2k+1)2-8=0，由韦达定理得即由于直线PA和直线PB斜率互为相反数，根据已算x1及结构形式，容易用-k替换k易得x2，从而同理推算于是所以直线AB的斜率：即直线AB的斜率为定值评注：(1)这种类型的计算如果两条直线垂直k1×k2=-1，或两条直线斜率线性相关k1=λk2+μ等形式，均可以借助已算，同理推算.(2)计算过程始终注意按照主元降幂整理式子.(三)借助无意，分解因式例题解法角度2设直线AB的方程为：y=kx+t，由于直线AB不过定点P(2，-1)，即2k+t+1≠0.由联立消去y，得x2+4(kx+t)2-8=0，于是(1+4k2)x2+8ktx+4t2-8=0，从而要满足Δ=(8kt)2-4(4k2+1)(4t2-8)=64k2t2-16(4k2+1)(t2-2)=16(8k2-t2+2)>0，所以由韦达定理得由题意kPA+kPB=0，即整理得(x1-2)·(y2+1)+(x2-2)·(y1+1)=0，即(x1-2)·(kx2+t+1)+(x2-2)·(kx1+t+1)=0. ①2kx1x2+(t+1-2k)(x1+x2)-4t-2=0.(按照x1，x2降幂运算法则整理方程)2kx1x2+(t+1-2k)(x1+x2)-4t-2=0，把两根关系代入得去分母化为k(2t2-4)+(t+1-2k)(-2kt)-(t+1)(4k2+1)=0. ②对于②式次数最高三次的，如果直接乘开进行运算，项数太多，整理起来难度较大，因此需要采用合理运算法则，才能正确、迅速、简捷地整理好方程.整理方程代数式最重要的法则之一就是按照某元降幂排列，效果显著.第一种整理思路，按照t的降幂整理方程如下：(2k-2k)t2+(-2k+4k2-4k2-1)t-4k2-4k-1=0，即(2k+1)t+(2k+1)2=0，降次分解因式为(2k+1)(2k+t+1)=0，而2k+t+1≠0，所以第二种整理思路，按照k的降幂整理方程如下：(4t-4t-4)k2+(2t2-4-2t2-2t)k+(t+1)=0，于是(2k+1)t+(2k+1)2=0，即(2k+1)(2k+t+1)=0，所以即直线AB斜率为定值评注：(1)①②式均按照相应的字母降幂整理二次三项式型方程；(2)注意到直线AB不过点(2，-1)，因此点对直线无意义，即关于②式分解因式降幂中起到关键作用.以上几种算法的解题思路是在充分理解了计算目标，计算步骤和步步有依据的同时抓住问题条件中不同数学形式表达、明算理，优方法指导下的一次解题运算探究.我们很多学生甚至教师简单的认为，解析几何是运用代数的方法解决几何的问题，就是联立方程组解方程、消参、得判别式、韦达定理、求弦长、算点到直线距离等一通计算.实则这是缺乏对数学运算和解析几何特点的认知误区.我们教师在教学中要明算理，设置好典型试题教学，通过实例与学生亲历运算过程，在过程中认知解析几何的平面几何特征以及代数解决问题运算特点、法则，并与学生一起探讨运算困难、障碍、陷阱，从而在充分分析几何特征的基础上，代数运算的难度才有可能降低.二、深度理解运算能力特点，培养运算能力运算能力不可能独立存在和发展，而是与思维能力、观察力、记忆力、理解力、想象力等能力互相渗透、互相依存.特别是运算过程涉及大量的、复杂的逻辑推理，这是与思维能力紧密相关，其中既体现了依据数学原理、公式、法则对算式进行变换操作的过程中表现的正确、灵活和熟练的程度，又体现深刻理解算理基础上，能根据问题条件寻求合理、简捷的运算途径的水平.在日常教学中教师要循序渐进地促进学生运算能力的发展，如本文中降幂整理数式，运用两项乘以两项展开式特点，化无意为有用，整体代换等思想，均是最基础的计算规律.教师还可以经常使用全字母式的联立方程组、整理判别式、韦达定理，并运用前面式子表示出点的坐标、弦长、三角形面积或弦长线段、面积之比等，从而在具体运算时掌握式子的特点、注意事项，进而在考试中提高运算速度、准确度，促进学生形成对解析几何运算信心的良性循环.。

高中数学解析几何在高考中怎样突破

高中数学解析几何在高考中怎样突破龚㊀斌(湖南省湘西州泸溪县第一中学㊀４１６１００)摘㊀要:通过对高考数学试卷和模拟试卷分析发现ꎬ解析几何模块的得分并不理想ꎬ这主要是因为试题变化多样ꎬ包含较多信息ꎬ具有一定的综合性.在实际解题过程ꎬ学生主要选用计算量偏大的方法ꎬ而这会浪费较多的时间ꎬ无法达到预算目标.在本文中ꎬ笔者将依托高考这一背景ꎬ首先简单剖析解析几何ꎬ然后结合例题探究具体的突破方法ꎬ希望可为高考备战提供帮助.关键词:高中数学ꎻ解析几何ꎻ高考ꎻ突破中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０７－００５９－０２㊀㊀一㊁解析几何简析解析几何主要是用坐标运算来解决几何问题ꎬ在实际运算过程通常会应用到数形结合㊁化归㊁几何条件代数化等不同思想.平面解析几何主要探究直线相关性质㊁圆锥曲线的基本性质等内容ꎬ其在高考试题中占据着较大的比例ꎬ且该部分也是高考的难点.㊀㊀二㊁突破方法１.培养解题思路解析几何题型大多丰富多样ꎬ一个知识点会出现不同的题型ꎬ为此ꎬ应紧密联系ꎬ合理利用ꎬ举一反三.首先培养学生形成科学的解题思路ꎬ紧密把握各知识点ꎬ即便遇到不同的题型ꎬ也能形成对应的解题思路ꎬ而这也是求解解析几何题型的关键ꎬ全面运用不同的知识点ꎬ以此来简化几何题型.例如:写出椭圆ｘ２２５＋ｙ２１６９＝１的焦点坐标.思路:由ｃ２＝ａ２－ｂ２可求解出ｃ值.因为１６９>２５ꎬ所以可知ꎬ焦点落在了ｙ轴上.由于ｃ２＝ａ２－ｂ２＝１６９－２５＝１４４ꎬ得出ｃ为１２ꎬ其焦点坐标是(０ꎬ１２)ꎬ(０ꎬ－１２).对于此题ꎬ只要掌握公式ꎬ便能求出最终的结果.然而我们应让学生思考ꎬ是否能通过其它途径求取该题的结果ꎬ例如ꎬ画图法.通过引导ꎬ开拓学生的思维ꎬ培养学生形成灵活的思维ꎬ在解决问题时不要限制在某一点ꎬ只有这样ꎬ才能面对任何问题都能迎刃而解.２.准确理解问题解题的基础要准确理解题意ꎬ明确已知条件和未知条件.以某一试题为例ꎬ椭圆方程Ａ为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ其中Ｆ１㊁Ｆ２是椭圆焦点.直线ｌ经由Ｆ２与椭圆Ａ相交ꎬ对应交点为Ｐ㊁Ｑ.假若ｌ的倾斜角为６０ʎꎬ且Ｆ１和ｌ之间的距离为２３ꎬＰＦң＝２ＦＱңꎬ求椭圆方程.在这一题中ꎬ已知条件包含两个ꎬ且具备隐含条件ꎬ分别是ｌ:ｙ＝３(ｘ－２)ꎬＰＦ２ң＝２Ｆ２Ｑңꎬ题的重点.假设Ｐ㊁Ｑ坐标分别是(ｘ１ꎬｙ１)㊁(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ依照ＰＦ２ң＝２Ｆ２Ｑң能够得到方程式－ｙ１＝２ｙ２ꎬ２－ｘ１＝２(ｘ２－２).{通过得到的既有条件ꎬ便可为进一步解答奠定基础.同时ꎬ试题中还存在ａ２＝ｂ２＋ｃ２＝ｂ２＋４这一条件ꎬ而该条件的应用关乎着求解方向.然而ꎬ还需要明确ꎬ解析几何题型的有效理解ꎬ离不开符号㊁文字与图形语言ꎬ由此可知ꎬ教师应引导学生养成优良的作图和识图习惯.理解题意时ꎬ既要明确已知条件ꎬ也应清楚解答目的.联系前期地分析ꎬ可知试题条件和结论存在下述关系.㊀㊀㊀大前提㊀㊀㊀㊀ˌ①ｙ＝３(ｘ－２)②ＡＦ２ң＝２Ｆ２Ｂң]③ａ２＝ｂ２＋４(隐含条件)ң④ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(结论)㊀㊀㊀ʏ㊀㊀小前提依照上述关系构建问题图示ꎬ从而促进后期的解题.３.培养空间想象力空间想象力因人而异ꎬ某些学生的想象力突出ꎬ能在最短时间解决空间问题ꎬ然而ꎬ这对空间想象力薄弱的学生来说便是一大弱点.此时ꎬ需对其进行针对性强化ꎬ首先ꎬ帮助他们熟记知识点㊁公式与解题要领ꎬ如果需要应用想象力ꎬ则先画图ꎬ按部就班地将其画出来ꎬ再分析ꎬ不可否认ꎬ这会花费一定的时间.但高考时间有限ꎬ为此ꎬ学生在日常训练中应加强画图练习ꎬ准备画图工具ꎬ依照这类题型ꎬ不断练习ꎬ并在脑海中思索这一空间结构ꎬ构建空间体系ꎬ可在最短时间形成不同题型的空间草稿ꎬ有效领略不同题型.经由针对性练习ꎬ帮助学生形成空间想象力ꎬ节省解题时间ꎬ让高考时间更加充裕.４.精准计算绝大多数学生都面临着这样的问题ꎬ虽然知道解题方法ꎬ但实际解题中还是会丢一些分数ꎬ这主要是因为他们在实际计算过程出现了某些问题ꎬ因个人粗心大意ꎬ一步错ꎬ将步步错ꎬ由此可知ꎬ计算在解析几何中至关重要.另外ꎬ大部分教师通常只重视思路ꎬ忽略运算ꎬ这使得学生明知怎样解题ꎬ最终仍做不对.我们不能让学生片面地记忆解题套路ꎬ更应加强日常运算ꎬ尤其是心算与口算能力.对于资质一般的学生ꎬ尽可能在草纸上进行运算ꎬ以便查找问题ꎬ有效改正.还有一部分学生经过特定学习以后便会明确哪些题型需要进行大量运算ꎬ当遇到此类题型时ꎬ便十分挠头ꎬ此时ꎬ教师应合理引导ꎬ让他们不要惧怕这些运算ꎬ只要认真仔细ꎬ便能帮助自己得分.５.合理表达在理解题意㊁进一步思考和确定解题思路的基础上ꎬ经由计算得到问题的答案ꎬ此时ꎬ便应合理表达解答过程ꎬ进而得到理想的分数.表达也是问题解答的一个环节ꎬ虽不及思考㊁计算重要ꎬ但是也影响着分数ꎬ应引起重视.为此ꎬ对于数据问题解答和作答ꎬ应保证表述合理㊁规范㊁完整ꎬ进而保障整体表达效果.此种条件下ꎬ务必要做好表述.先让学生独立表述ꎬ同时ꎬ与试题标准答案进行对照ꎬ不断调整优化ꎬ最终提升试题表述效果.在高中阶段ꎬ解析几何题型较为复杂ꎬ包含大量的知识点ꎬ并对所用解题方法和学生的运算能力都提出了较高的标准.为此ꎬ教师应因材施教ꎬ针对不同学生采用适宜的训练ꎬ强化空间想象力和运算能力的培养ꎬ从多角度攻破解析几何ꎬ进而取得理想的高考成绩.㊀㊀参考文献:[１]蔡永飞.高中数学解析几何在高考中如何突破[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１８(２３).[２]张雪松.例析平面向量在解析几何中的应用[Ｊ].数理化学习:高一二版ꎬ２０１８(９):３－５.[３]李海林.导数在高中数学解题中的应用分析[Ｊ].数理化学习:教育理论ꎬ２０１７(７):３－４.[４]刘护灵.重阅读能力 ꎬ重概念理解２０１８年高考全国Ⅰ卷理科数学概率统计题的分析[Ｊ].广东教育:高中版ꎬ２０１８(１０):３３－３４.[责任编辑:杨惠民]代数与几何齐飞破解高考解析几何中的定值㊁定点问题夏㊀锦(浙江省余姚市第四中学㊀３１５４００)摘㊀要:本文介绍了解析几何中的定值㊁定点类高考题的求解方程ꎬ对高考复习有参考价值.关键词:定点问题ꎻ定值问题ꎻ证明中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０７－００６０－０２㊀㊀浙江省高考数学文理合卷之后ꎬ采取放低起点ꎬ减缓坡度ꎬ增加层次的命题策略ꎬ体现育人与选拔兼顾ꎬ区分与导向兼顾的命题策略ꎬ彰显文科的韵味ꎬ理科的深度的命题特色.而对于解析几何中定值与定点问题则是高考题中的宠儿之一ꎬ由于这类题型它在解题之前不知道定值与定点的结果ꎬ对学生而言解题有相当大的难度.解决这类问题时ꎬ要善于在动点的变中寻求定值的不变性ꎬ常用特殊探索法(特殊值㊁特殊位置㊁特殊图形等)先确定出定值与定点ꎬ再转化为有方向有目标的一般性证明题ꎬ从而达到解决问题的方法.㊀㊀一㊁定值问题例１㊀(北京理)已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的离心率为３ꎬ右准线方程为ｘ＝３３.(１)求双曲线Ｃ的方程ꎻ(２)设直线ｌ是圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝２上动点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)(ｘ０ꎬｙ０ʂ０)处的切线ꎬｌ与双曲线Ｃ交于不同的两点ＡꎬＢꎬ证明øＡＯＢ的大小为定值.解㊀(１)易得双曲线Ｃ的方程为ｘ２－ｙ２２＝１.(２)探索定值㊀因为Ｐ是圆上的任意一点ꎬ所以取Ｐ２ꎬ０()ꎬ则圆在点Ｐ２ꎬ０()处的切线方程为ｘ＝２.代入双曲线方程得Ａ２ꎬ２()ꎬＢ２ꎬ－２()ꎬ所以ＯＡң ＯＢң＝２－２＝０ꎬ所以øＡＯＢ＝９０ʎ.证明㊀设点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)(ｘ０ꎬｙ０ʂ０)在圆ｘ２＋ｙ２＝２上ꎬ。

147分学霸分享丨解析几何的解题方法

147分学霸分享丨解析几何的解题方法数学学习有困难的同学，对解析几何有抵触情绪的同学，想要在拉分最明显的题型中拿到高分的同学。

具体经验解析几何是高中数学的重要部分，一般来说，解析几何会在选择填空中出现一到两题，并且会在必做大题中作为压轴题出现。

分值很大，重要性不言而喻，而且难度比较大，想要学好这方面的知识，不是很容易，因此，掌握一定的技巧与方法很重要。

针对高三学生，在学习解析几何的相关内容上，我有一些心得与体会，希望能与大家分享。

大家都知道高考数学卷中解析几何和导数是最不容易的两道大题，最近几年的数学卷趋向基础，只要细心多数同学可以拿到百分之七八十的分数，而想要在数学上力争顶尖的同学就要把握好这两道大题带来的机会。

然而相对于导数需要较强的技巧和想法来讲，解析几何更重要考察的是心里素质。

为什么这样说：第一因为解析几何的题型是有规律可循的，只要接触过类似的题型，拿到其他题的时候一定不会完全没有思路，但要想了解各个题型是需要不怕难题的勇气的。

第二是因为解析几何要求大量的计算，我高三学习解析几何的时候常常一道题写好几张草稿纸，要想完美的完成一道题需要静下心来，需要耐心。

第三是因为这个题型作为压轴题位于试卷的末尾，我在做高考卷的时候也习惯于先做选做题，再回来做导数和解析几何，在考试的最后，时间往往剩下的不多，这往往考察每个同学的定力，能不能不紧张，细心认真的做完自己所有会的步骤。

毋庸置疑，解析几何很花费时间，因此在复习的过程中不能“吝啬”，要肯花精力与时间，数学是对分析能力要求比较高的学科，复习时着重锻炼自己的分析能力，尽量选择整块的时间解决数学问题，否则思路被打断，效率会比较低。

解析几何作为高考的重点，考查项目不仅要求分析，还要求计算能力，大多数人都会觉得解析几何大题中的式子很长，就可能出现心烦意乱，懒得算下去的现象，但其实平时就是一个积累经验与树立信心的过程，越是在平日里认真地、一步步地算，才越有可能在考场上快速地，准确地算出结果。

解析几何压轴题题型分类及专题探讨解析

解析几何压轴题题型分类及专题探讨解析解析几何压轴题型梳理及探讨题型一：直线和圆锥曲线的位置关系问题已知直线l:y=kx+1与椭圆C:4m x^2 + y^2 = 1过动点（x,y），求m的取值范围。

解：根据直线l:y=kx+1的方程可知，直线恒过定点（-1，1），椭圆C:4m x^2 + y^2 = 1过定点（0，±√m），且m≠4.如果直线l:y=kx+1和椭圆C:4m x^2 + y^2 = 1始终有交点，则m≥1，且m≠4，即1≤m且m≠4.规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：l:y=kx+1→过定点（-1，1）l:y=k(x+1)→过定点（-1，0）l:y-2=k(x+1)→过定点（-1，2）题型二：弦的垂直平分线问题直线y=x与曲线y=x^2交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x,0)，使得△ABE是等边三角形，若存在，求出x；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于1.设直线l:y=k(x+1)，k≠1，A(x1,y1)，B(x2,y2)。

由y=k(x+1)①y=x^2②直线和抛物线交于两点，得△ABE的边长为√2|k-1|，若△ABE为等边三角形，则|k-1|=1，即k=0或k=2.当k=0时，直线l:y=1与x轴平行，不存在点E使得△ABE是等边三角形。

当k=2时，x=-(y-1)/2，代入②得到y^2-2y+5/4=0，无实数根，所以不存在点E使得△ABE是等边三角形。

题型三：动弦过定点的问题曲线x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1上动点P(x1,y1)，过点Q(a,0)的弦交于点M，求证：PM过定点。

解：设弦所在直线方程为y=kx+b，由过点Q(a,0)得到b=0，即弦所在直线过原点。

弦的斜率为k=y1/x1，所以弦的方程为y=y1/x1*x，代入曲线方程得到x^2/a^2 + (y1^2/x1^2)*x^2/b^2 = 1，整理得到x^2 = a^2*y1^2/(b^2-x1^2)，所以M的坐标为(x2,y2)=(2a^2*x1/(b^2-x1^2)。

解析几何压轴大题专题突破

解析几何压轴大题专题突破解析几何压轴大题专题突破已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：双曲线的离心率，若命题，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．3.在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积．4.已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的，两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．5.已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．6.在平面直角坐标系中，动点的坐标为，其中．在极坐标系（以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为．（1）判断动点的轨迹的形状；（2）若直线与动点的轨迹有且仅有一个公共点，求实数的值．7.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为．且过点．（1）求椭圆的方徎；（2）动点在直线：上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线，直线是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．8.在平面直角坐标系中，（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线．（1）求的普通方程及的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若，分别为，上的动点，且的最小值为，求的值．9.设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．10.已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为原点．（1）求抛物线的方程；（2）点坐标为，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．11.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上．若右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点，．当时，求的取值范围．双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线．求双曲线的方程．13.已知不过第二象限的直线与圆相切．（1）求直线的方程；（2）若直线过点且与直线平行，直线与直线关于直线对称，求直线的方程．14.在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长．双曲线与椭圆有共同的焦点，，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．在抛物线上有一点，若点到直线的距离最短，求该点坐标和最短距离．已知函数（，且）的图象恒过定点，点在直线上，求的最小值．18.已知直线与抛物线交于，两点，（1）若，求的值；（2）若，求的值．19.若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程．20.讨论直线与双曲线的公共点的个数．21.已知：方程有两个不等的正根；：方程表示焦点在轴上的双曲线．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．22.已知双曲线的焦点在轴上，，渐近线方程为，问：过点能否作直线，使与双曲线交于，两点，并且点为线段的中点?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．23.已知点及圆：．（1）设过的直线与圆交于，两点，当时，求以为直径的圆的方程；（2）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．24.在直角坐标系中，已知直线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值．25.已知椭圆：，离心率为，两焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作圆的切线交椭圆于，两点，求弦长的最大值．26.已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，，．（1）若，，成等差数列，求的通项公式；（2）设双曲线的离心率为，且，求．27.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．（1）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由；（2）若直线和曲线相交于，两点，且，求直线的斜率．28.已知椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过点?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．29.在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线的极坐标方程为．（1）若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．30.椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆有如下命题：是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，则为定值．那么对于双曲线则有命题：是双曲线的不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，则定值?．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．31.（1）求中心在原点，焦点在轴上，焦距等于，且经过点的椭圆方程；（2）求，并且过点的椭圆的标准方程．32.已知抛物线，焦点为，顶点为，点在抛物线上移动，是的中点，是的中点，求点的轨迹方程．33.已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的方程．34.为椭圆上一点，，为左右焦点，若．（1）求的面积；（2）求点的坐标．35.已知双曲线的渐近线方程为：，右顶点为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点为．当时，求的值．36.已知双曲线的两焦点为，．（1）若点在双曲线上，且，求点到轴的距离；（2）若双曲线与已知双曲线有相同焦点，且过点，求双曲线的方程．37.椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过圆的圆心交椭圆于，两点，且，关于点对称，求直线的方程．38.已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）设直线与圆相交于，两点，求实数的取值范围；（3）在的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．39.已知直线，圆．（1）当时，求与的交点坐标；（2）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．40.已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程．41.如图，直线与抛物线相切于点．（1）求实数的值；（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程．42.在直角坐标系中，圆的方程为．（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），直线与圆交于，两点，，求的斜率．43.已知双曲线与椭圆有公共焦点，，它们的离心率之和为．（1）求双曲线的标准方程；（2）设是双曲线与椭圆的一个交点，求．44.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线方程．45.已知曲线上任一点到点的距离比它到直线：的距离少．（1）求曲线的方程；（2）过点作两条倾斜角互补的直线与曲线分别交于点，，试问：直线的斜率是否为定值，请说明理由．46.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线过点且倾斜角为．（1）求圆的普通方程及直线的参数方程；（2）设直线与圆交于，两点，求弦的长．47.已知椭圆的一个长轴顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，．（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为时，求的值．48.已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，离心率是，与轴垂直，且．（1）求椭圆的方程；（2）若点在第一象限，过点作直线，与椭圆交于另一点，求面积的最大值．49.已知点在椭圆上，椭圆离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，，在轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案，仅供参考1.若命题：方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题；则，解得，则命题为假命题时，或，若命题：双曲线的离心率为真命题；则，即，即，则命题为假命题时，或，因为命题，中有且只有一个为真命题，当真假时，，当假真时，，综上所述，实数的取值范围是：或．2.（1）（为参数）的直角坐标方程是：，的直角坐标方程：，整理得，，．?（2）设的平行线为，当且和相切时距离最小，联立直线和椭圆方程得，整理得，需要满足，求得，当直线为时，满足题意，此时，此时直线和椭圆交点即是点坐标．3.（1），．?（2），圆的圆心到的距离，，．4.（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，所以，．所以抛物线的标准方程为．?（2）设，与联立，得，设，，所以，，所以（3）假设直线过定点，设，得，设，，所以，．由解得，所以过定点．5.（1）联立方程有，有，由于直线与抛物线相切，得，所以，所以．?（2）假设存在满足条件的点，直线，有，设，，有，，，，，当，满足时，为定值，所以．6.（1）设动点的直角坐标为，则所以动点的轨迹方程为，其轨迹是半径为的圆．?（2）直线的极坐标方程化为直角坐标方程是，由，得或．7.（1）因为椭圆：的离心率为．且过点，所以解得，，所以椭圆的方程为．?（2）因为直线的方程为，设，，当时，设，，由题意知，联立所以，所以，又因为，所以为线段的中点，所以直线的斜率为，又，所以的方程为，即，所以恒过定点．当时，直线为，此时为轴，也过点，综上，恒过定点．8.（1）由可得其普通方程为，它表示过定点，斜率为的直线．由可得其直角坐标方程为，整理得，它表示圆心为，半径为的圆．?（2）因为圆心到直线的距离，故的最小值为，故，得，解得或．9.（1）根据及题设知，，由斜率公式并化简整理易得．将代入，解得或（舍去）．故的离心率为．?（2）由题意，得原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即由得．设，由题意知，则即代入的方程，得将及代入得．解得，，故，．10.（1）将代入，得．其中，设，，则，．所以．由已知，，解得，所以抛物线的方程为．?（2）由（1）知，，．，同理，，所以11.（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点，由题设，解得，故所求椭圆的方程为．?（2）设为弦的中点，由得，由于直线与椭圆有两个交点，所以，即所以，从而，所以，又，所以，则，即把代入得解得，由得，解得．故所求的取值范围是．12.设双曲线方程为，由椭圆，求得两焦点为，，所以对于双曲线：．又为双曲线的一条渐近线，所以，解得，．所以双曲线的方程为．13.（1）因为直线与圆相切，所以，因为直线不过第二象限，所以，所以直线的方程为．?（2）因为直线过点且与直线平行，所以设直线的方程为，因为直线过点，所以，则直线的方程为，因为直线与关于对称，所以直线的斜率为，且过点，所以直线的方程为，即化简得．14.（1）圆的参数方程（为参数）．消去参数可得：．把，代入化简得：，即为此圆的极坐标方程．?（2）如图所示，由直线的极坐标方程是，射线：．可得普通方程：直线：，射线：．联立解得即．联立解得或所以．来自QQ群284110736所以．15.由共同的焦点，，可设椭圆方程为，双曲线方程为，点在椭圆上，，解得，双曲线的过点的渐近线为，故，解得．所以椭圆方程为：；双曲线方程为：．16.设点，点到直线的距离为，则．当时，取得最小值，此时为所求的点，最短距离为．17.当时，所以过定点，因为在直线上，所以，且，所以，即的最小值为．18.（1）设，．，因为，所以．?（2）因为，所以，，．，，或，经检验．19.因为椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，所以，，又焦点到同侧长轴端点距离为，即，即，解得，，所以当焦点在轴时，椭圆的方程为：；当焦点在轴时，椭圆的方程为．20.由方程组消去，得，当，即时，有一个交点．当，即时，．由，即，得，此时有两个交点．由，即，得，此时有一个交点．由，即，得或，此时没有交点．综上知，当时，直线与曲线有两个交点；当时，直线与曲线切于一点；当时，直线与曲线交于一点；当时，直线与曲线没有交点．21.（1）由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则得得，即：．?（2）若方程有两个不等的正根，则解得，即：．因或为真，所以，至少有一个为真．又且为假，所以，至少有一个为假．因此，，两命题应一真一假，当为真，为假时，解得；当为假，为真时，解得．综上，或．22.根据题意，，，所以，．所以双曲线的方程是：．过点的直线方程为或．①当存在时，联立方程可得．当直线与双曲线相交于两个不同点，可得，，又方程的两个不同的根是两交点，的横坐标，所以．又因为是线段的中点，所以，解得．所以，使但使．因此当时，方程无实数解，故过点与双曲线交于两点，且为线段中点的直线不存在．②当时，直线经过点但不满足条件．综上所述，符合条件的直线不存在．23.（1）由于圆：的圆心，半径为，，而弦心距，所以，所以为的中点，所以所求圆的圆心坐标为，半径为，故以为直径的圆的方程为；?（2）把直线即代入圆的方程，消去，整理得．由于直线交圆于，两点，故，即，解得．则实数的取值范围是．设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，所以，由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．24.（1）直线，消去参数可得普通方程．曲线，可得，可得直角坐标方程：，即．?（2）把代入中，整理得，设，对应的参数分别为，，所以，点在直线上由的几何意义可知，．25.（1）由题得：，，所以，．又，所以，即椭圆的方程为．?（2）由题意知，．当时，切线的方程，点，的坐标分别为，，此时；当时，同理可得．当时，设切线的方程为，由与圆相切，得，即．得．由得．设，两点的坐标分别为，，则，，．所以因为，所以，且当时，，由于当时，，所以的最大值为．26.（1）当时，得，即从第二项开始，数列为等比数列，公比为，当时，，即，可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，，因为，，成等差数列，所以，即，解得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；?（2）由（1）可得数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，根据题意，，因为，所以，解得，所以，所以，所以，所以．27.（1）因为曲线的极坐标方程为，所以，所以曲线的直角坐标方程为，即，因为直线过点，且该点到圆心的距离为，所以直线与曲线相交．?（2）当直线的斜率不存在时，直线过圆心，，因此直线必有斜率，设其方程为，即，圆心到直线的距离，解得，所以直线的斜率为．28.（1）直线，坐标原点到直线的距离为，所以，所以，因为椭圆的离心率，所以，所以，所以所求椭圆的方程是．?（2）直线代入椭圆方程，消去可得：，所以，所以或，设，，则有，，因为，，且以为直径的圆过点，所以，所以，所以，所以，解得，所以当时，以为直径的圆过定点．29.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），将参数方程代入，整理得，因为直线与曲线有公共点，所以，所以或，因为，所以的取值范围是．?（2）曲线的方程可化为，其参数方程为（为参数），因为为曲线上任意一点，所以，所以的取值范围是．30.证明：设，，，则有，，两式相减得，即，即．31.（1）设椭圆的方程为．因为椭圆的焦距等于，且经过点，解得所以所求的椭圆方程为．?（2）①当椭圆的焦点在轴上时，因为，，所以，可得．此时椭圆的标准方程为；②当椭圆的焦点在轴上时，因为，，所以，解得．此时椭圆的标准方程为．综上所述，所求椭圆的标准方程为或．32.设，，，易求的焦点的坐标为，因为是的中点，所以又是的中点，所以因为在抛物线上，所以，所以点的轨迹方程为．33.（1）设，由条件知，得．又，所以，，故的方程为．?（2）依题意当轴不合题意，故设直线：，设，，将代入，得，当，即时，．从而，又点到直线的距离，所以的面积，设，则，，当且仅当，等号成立，且满足，所以当的面积最大时，的方程为：或．34.（1）因为，，所以，设，，则，，由得，所以．?（2）设，由得，所以将代入椭圆方程解得，所以或或或．35.（1）双曲线的渐近线方程为：，则由题意得，，，解得，则双曲线的方程为：；?（2）联立直线方程和双曲线方程，得到，消去，得，设，，则判别式，，中点的，，则有．来自QQ群28411073636.（1）如图所示，不妨设在双曲线的右支上，点到轴的距离为，，则，设，，由双曲线定义知，又由得，，．来自QQ群284110736?（2）设所求双曲线的方程为，由于双曲线过点，所以，解得或（舍去）．所求双曲线的方程为．37.（1）点在椭圆上，，．在中，；故椭圆的半焦距，从而，椭圆的方程为．?（2）已知圆的方程为，圆心的坐标为．设，的坐标分别为，．由题意且由得又，关于点对称，，，代入得，即直线的斜率为，直线的方程为，即．故所求的直线方程为．来自QQ群28411073638.（1）设圆心为．由于圆与直线相切，且半径为，所以，即．因为为整数，故．故所求圆的方程为．?（2）把直线，即，代入圆的方程，消去，整理，得，由于直线交圆于，两点，故，即，由于，解得，所以实数的取值范围是．?（3）设符合条件的实数存在，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心必在上，所以，解得．由于，故存在实数．使得过点的直线垂直平分弦．来自QQ群28411073639.（1）当时，的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为?（2）的普通方程为点坐标为，故当变化时，点轨迹的参数方程为点轨迹的普通方程为故点轨迹是圆心为，半径为的圆．40.设圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，由勾股定理及垂径定理得：，即，解得：，所以圆心坐标为，半径为；或圆心坐标为，半径为，则圆的方程为或．41.（1）由得因为直线与抛物线相切，所以，解得．?（2）由（）知，故方程即为，解得，代入，得．故点，因为圆与抛物线的准线相切，所以圆的半径等于圆心到抛物线的准线的距离，即，所以圆的方程为．42.（1）由可得，，整理得即为所求．?（2）令直线的斜率为，可得直线的直角坐标方程为．圆的半径为，圆心到直线的距离，又因为，所以可得，即，解得．43.（1）椭圆的焦点为，离心率为．因为双曲线与椭圆的离心率之和为，所以双曲线的离心率为，所以．因为双曲线与椭圆有公共焦点，，所以，所以，，所以双曲线的方程是．?（2）由题意，，，所以，，因为，所以．44.由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以．设抛物线方程为，因为抛物线过点，所以，所以，故抛物线方程为．又双曲线过点，所以．又，所以．所以或（舍）．所以，故双曲线方程为．45.（1）因为到点的距离比它到直线：的距离少，所以到点的距离与它到直线：的距离相等，所以由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以直线：为准线的抛物线，设抛物线方程为，所以，所以曲线的方程为．?（2）直线的斜率为定值，理由如下：设，，则，，因为直线，倾斜角互补，所以，即，，所以，所以．46.（1）圆的参数方程为（为参数），消去参数可得：圆的普通方程为．由题意可得：直线的参数方程为（为参数）．?（2）依题意，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，所以．47.（1）因为椭圆一个顶点为，离心率为，所以所以，所以椭圆的方程为．?（2）直线与椭圆联立消元可得，设，，则，，所以，因为到直线的距离为，所以的面积，因为的面积为，所以，所以．48.（1）由题意，，，解得，，则椭圆的方程为：．?（2）要使面积最大，则到所在直线距离最远．设与平行的直线方程为．由消去并化简得．由得，不妨取，所以与直线平行，且与椭圆相切的直线方程为：，则到直线的距离等于到直线：的距离，，又，面积的最大值．49.（1）因为点在椭圆上，椭圆离心率为，所以解得，，所以椭圆的方程为．来自QQ群284110736?（2）假设存在点，使得为定值，设，，设直线的方程为，联立得，，，，，所以要使上式为定值，即与无关，应有，解得．所以存在点，使得为定值．。

高中数学压轴题目突破练——解析几何(共42张PPT)

进而得到 x1＋x2＝－81m8 ，x1·x2＝m21－818.
因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，所以 Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)>0，
化简得 m2<162，解得－9 2<m<9 2.
因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点，所以O→A·O→B＝0，所以 x1x2＋y1y2＝0.
解析
练出高分
A组专项基础训练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1．已知两条直线 l1：y＝x，l2：ax－y＝0，其中 a 为实数，当这两
条直线的夹角在0，1π2内变动时，a 的取值范围是
(C )
A．(0,1) B. 33， 3 C. 33，1∪(1， 3) D．(1， 3)
是 2 3.
练出高分
A组专项基础训练
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8．(10 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，一个长轴顶点为(0,2)，
它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l 与 y
轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A，B，且 A→P＝2P→B. (1)求椭圆的方程；(2)求 m 的取值范围．
解析
由抛物线定义得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以 AB 为直径的圆的半径为 r，则|AB|＝2r≥4， r≥2，且圆心到 x 轴的距离是 r－1，所以在 x 轴上所截得的弦长为 2 r2－r－12＝2 2r－1≥2 3，即弦长的最小值
1
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【原创】高考数学复习第九节解析几何压轴大题突破策略第一课时破题上——着眼4点找到解题突破口

比例线段或斜率
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几何性质 (1)对边平行 (2)对边相等 (3)对角线互相平分
代数实现斜率相等，或向量平行长度相等，横(纵)坐标差相等中点重合
几何性质
代数实现
(1)两边垂直
斜率乘积为－1，或向量数量积为0
Байду номын сангаас
(2)勾股定理
两点的距离公式
(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半) 两点的距离公式
几何性质
代数实现
(1)两边相等
两点的距离公式
(2)两角相等
底边水平或竖直时，两腰斜率相反
(3)三线合一(垂直且平分) 垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式
几何性质 (1)对边平行 (2)对边相等
(3)对角线互相垂直平分
代数实现斜率相等，或向量平行长度相等，横(纵)坐标差相等垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式、中点重合
几何性质 (1)点在圆上 (2)点在圆外 (3)点在圆内
代数实现点与直径端点向量数量积为零点与直径端点向量数量积为正数点与直径端点向量数量积为负数
几何性质
代数实现
(1)锐角，直角，钝角角的余弦(向量数量积)的符号
角平分线性质，定理(夹角、到角 (2)倍角，半角，平分角公式)
(3)等角(相等或相似)

高考数学压轴题指导：方法方向，让你更快拿下解析几何导数

高考数学压轴题指导：方法方向，让你更快拿下解析几何导数提到数学压轴题，很多人都头疼不已：“第一问勉强还能算出，第二问只能‘靠猜’。

”那么想要提升数学压轴题，应该怎么做呐？最重要的就要做到归纳总结。

怎样才能做到真正有效的归纳总结呢？组合教育张老师给大家整理出了解析几何和导数专题的归纳总结方法。

怎么用归纳总结的方法去解决解析几何和导数的问题呢？一提到“归纳总结”，大家要么是觉得归纳总结是文科的学习方法，与数学无关；要么是觉得整理了错题、订正了错误就算是好的“归纳总结”。

其实这些都是误区。

误区1：沉迷刷题，不愿归纳总结刷题，在导数和解析几何的学习中并不是有效的学习方法。

因为导数和解析几何这种问题既然作为压轴题，首先难度比较大，其次占用的时间比较多。

如果再通过大量刷题的方法去备考这样一类问题，会消耗大量时间，这样的话会影响你数学其他模块或者其他科目的复习。

而且由于导数和解析几何题目的难度比较大，学生在做题过程中，比较容易受到打击。

所以我们不建议通过刷题的方法学习解析几何和导数。

希望大家意识到归纳总结的重要性。

误区2：把改错等同于归纳总结归纳总结和改错这两件事情其实是没有关系的。

很多同学会把考试中或者平时做题出现的错题在归纳总结本子上一抄，把它进行改错，就好像是学完了。

实际上，这种方法的学习效率是非常低的。

一道题目，无论是做对了还是做错了，最关键的不是正确答案，而是从中学到一些东西。

比如说，题目有哪些知识点，是一种什么类型的题目，有哪些解题方法，或者说有哪些容易错的地方，引起注意的地方，最后可能还有哪些容易和其他东西混淆的地方。

我们不停地从做过的题目中获取自己所需的“养分”，不停地进行学习，最终形成自己的一个解题体系。

就是说，大家通过之前的训练和学习，会获得一些常见的思路，通过这样的思路，带着这样的体系去学习，比之前大量的刷题，效率和时间成本都要好很多。

对于解析几何和导数这一类问题的学习方法，组合教育张老师给出的建议就是：大家一定要在做题当中，不停地进行积累。

高中数学解析几何在高考中如何突破

头戏，更是成为学生难以突破解析的难关，具有针对性的训练成为突破解析几何题型的关键所在，纵观历年的高考，不难发现出现的解析几何题型的类型和特点，培养学生的集体思路，快速地抓住考点及数学知识，需要学生与教师之间
采取画图的方式，一步一步地画出来，最后，去分析，其实这样相对来说浪费时间，在高考中很容易把时间浪费在画图上，不适当，所以在课下的时间学生们要注意多练习画图，
买一些画图工具，反复地去寻找这类题型，每一天在画图之后，在脑海巾去回想空间的结构，尝试着在脑海中去建立一个空间体系．能够快速地把多个题型的空间草稿建立起来。多多地去领略不同的题型，这样长时间有针对性地训练，能够帮助学生逐渐地培养出空间想象力，把画图的时间节省起来，在高考中充分利用时间．三、避免“ 想得到、算不对” 应该有很大一部分的学生都有这样的困扰，明明能够
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教学方法
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高咿数学解搋墩在高考咿如突破
◎蔡永飞（江苏省淮州中学，江苏淮安２２３３００）
【摘要】高中阶段的学科中，数学可谓是绝大部分学生的难题，而在整个数学学科中，解析几何作为高考数学的重
生在记忆公式法则的过程中已经昏天暗地，还有精力去记忆运算口诀吗？量力而行很重要，部分学生对于这种口诀十分的敏感，可以去尝试，但是普通的学生还是尽量在纸上写出运算过程，便于查找错误，及时改正．很多学生在学习了一段时间之后已经知道什么类型的题型会需要的大量的运算，所以一看到这类题就痛苦，教师要积极的引导学生，大量的运算并不是什么可怕的事情，反而是我们的得分题

第九节解析几何压轴大题突破策略第一课时破题上——着眼4点找到解题突破口 (高中数学精品PPT)

法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在 x 轴上，
所以设定点坐标为(a,0)，直线 PQ 的方程为 x＝my＋a.
联立xy2＝＝m8xy＋a，消去 x，整理得 y2－8my－8a＝0，Δ＞0. 设点 P(x1，y1)，Q (x2，y2)，则yy11＋ y2＝y2－＝88ma.，由条件可知 kPB＋kQ B＝0，即 kPB＋kQ B＝x1y＋1 1＋x2y＋2 1 ＝my1＋ayx2＋1＋m1y2x＋2＋a1y1＋y1＋y2＝2my1yx21＋＋1a＋x12＋y11＋y2＝0，所以－8ma＋8m＝0.由 m 的任意性可知 a＝1，所以直线 l 恒过定点(1,0)．
利用向量转化几何条件
[典例] 如图所示，已知圆 C：x2＋y2－2x＋ 4y－4＝0，问：是否存在斜率为 1 的直线 l，使 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点？若存在，写出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
[解题观摩] 假设存在斜率为 1 的直线 l，使 l 与圆 C 交于 A， B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点．
(2)证明：法一：由题意可设直线 l 的方程为 y＝kx＋ b(k≠0)．联立yy＝2＝k8xx＋，b，得 k2x2＋2(kb－4)x＋b2＝0.
由 Δ＝4(kb－4)2－4k2b2＞0，得 kb＜2.
设点 P(x1，y1)，Q (x2，y2)，则 x1＋x2＝－2kbk－2 4，x1x2＝bk22.
[关键点拨] 本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数 y1，y2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．

2020版新设计一轮复习数学(理)通用版第九章解析几何第九节解析几何压轴大题突破策略

第八节曲线与方程1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线❶.2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系❷，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}❸； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．(1)如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0, 那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.(2)“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件.坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线．有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( ) (2)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( ) (3)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、选填题1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM ―→·PN ―→＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案：A2．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B.双曲线 C ．抛物线 D ．一条直线答案：D3．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：选A 设P 点的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.4．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________________．解析：因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －15．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|M Q |，则Q 点的轨迹方程是________________．解析：由题意知，M 为P Q 中点，设Q (x ，y )则P (－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.答案：2x －y ＋5＝0类型一直接法求轨迹方程[基础自学过关][题组练透]1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x 解析：选A 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)，即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .2．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.则动点P 的轨迹方程为________________．解析：因为点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．答案：x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)3．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为____________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2. ∵|CD |＝3，∴⎝⎛⎭⎫x 2－52＋⎝⎛⎭⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线， ∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)[名师微点]直接法求曲线方程的关键点和注意点(1)关键点：直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略．(2)注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．[提醒] 对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明可以省略，必要时可说明x ，y 的取值范围．类型二定义法求轨迹方程[师生共研过关][典例精析]已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．[解题技法]定义法求曲线方程的2种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[过关训练]如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|C Q |＋|AP |＋|B Q |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |，所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝3，所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).类型三代入法(相关点)求轨迹方程[师生共研过关][典例精析]如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．[解] (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x ，设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0.切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x.代入⎩⎨⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1. 考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．[解题技法]“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．[过关训练]已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M⎝⎛⎭⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB ―→＝－2MA ―→.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M⎝⎛⎭⎫33，0，故MB ―→＝⎝⎛⎭⎫－33，2，MA ―→＝⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0. 由于MB ―→＝－2MA ―→，∴⎝⎛⎭⎫－33，2＝－2⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.∴x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝⎛⎭⎫32，－1.∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝⎛⎭⎫322＋b ·(－1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1. [课时跟踪检测]一、题点全面练1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：选A 设C (x ，y )，因为OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹是直线，故选A. 2.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D 当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，又因为|PA |＝1，所以|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ―→＝2PA ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y＞0)．5.如图所示，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线 B.圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接O Q .因为P Q 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且P Q ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|O Q |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|O Q |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是____________________．解析：设C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________．解析：由题意，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ，易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ，则|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |，又O 为F 1F 2的中点，连接OD ，则OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝48．(2019·福州质检)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为________．解析：因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk1－3k 2＝12，① y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2，②由①②解得k ＝2. 答案：29.如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2(1＜t ＜3)与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解：由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．10．(2019·武汉模拟)在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP ―→＝λR Q ―→ (λ＞1)，求证：NF ―→＝λF Q ―→.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，① 直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，② 设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点， ①×②得y 2＝－mn 6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP ―→＝λR Q ―→，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2，由(1)得F (2,0)，要证NF ―→＝λF Q ―→，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)，只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t t 2＋3＝0成立，即NF ―→＝λF Q ―→成立．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B.两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线解析：选D 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于椭圆顶点A (a,0)，B (－a,0)的一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段F 1P ，F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A ．抛物线 B.椭圆 C ．双曲线的右支D ．一条直线解析：选D 如图，设切点分别为E ，D ，G ，由切线长相等可得|F 1E |＝|F 1G |，|F 2D |＝|F 2G |，|PD |＝|PE |.由椭圆的定义可得|F 1P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PD |＋|DF 2|＝|F 1E |＋|DF 2|＝2a ，即|F 1E |＋|GF 2|＝2a ，也即|F 1G |＋|GF 2|＝2a ，故点G 与点A 重合，所以点M 的横坐标是x ＝a ，即点M 的轨迹是一条直线(除去A 点)，故选D.3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)4.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM ―→＝12DP ―→.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由DM ―→＝12DP ―→，知P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上， ∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，得k 2＜15，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE ―→＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0， ∵k 2＜15，∴0＜x ＜83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜83. (二)交汇专练——融会巧迁移5.[与立体几何交汇]如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线 B.抛物线 C ．椭圆D ．双曲线的一支解析：选C 母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选C.6．[与新定义问题交汇]若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5 B.x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：选B ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8， ∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，把x 2＝16y代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ＞0，满足题意．7．[与正弦定理交汇]已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且顶点A ，B 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________．解析：由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则|AC |＋|BC |＝10＞8＝|AB |，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)．答案：x 225＋y 29＝1(x ≠±5)第九节解析几何压轴大题突破策略第一课时破题上——着眼4点找到解题突破口(阅读课——供学有余力的考生自主观摩)解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，即解析几何问题中的条件转化是如何实现的，是突破解析几何问题难点的关键所在．为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，分析解析几何的“双管齐下”，突破思维难点．利用向量转化几何条件[典例] 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] 假设存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点．设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 并整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.①因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0. 由①知，b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1. 当b ＝－4或b ＝1时，均有Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＝－4b 2－24b ＋36＞0，即直线l 与圆C 有两个交点．所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [关键点拨]以AB 为直径的圆过原点等价于OA ⊥OB ，而OA ⊥OB 又可以“直译”为x 1x 2＋y 1y 2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．角平分线条件的转化[典例] (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，求证：直线l 过定点．[解题观摩] (1)设动圆圆心为点P (x ，y )，则由勾股定理得x 2＋42＝(x －4)2＋y 2，化简即得圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ，得k 2x 2＋2(kb －4)x ＋b 2＝0.由Δ＝4(kb －4)2－4k 2b 2＞0，得kb ＜2. 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2(kb －4)k 2，x 1x 2＝b 2k2.因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝0，即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b (x 1＋1)(x 2＋1)＝8(k ＋b )(x 1＋1)(x 2＋1)k 2＝0，所以k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以l 的方程为y ＝k (x －1)．故直线l 恒过定点(1,0)．法二：设直线PB 的方程为x ＝my －1，它与抛物线C 的另一个交点为Q ′，设点P (x 1，y 1)，Q ′(x 2，y 2)，由条件可得，Q 与Q ′关于x 轴对称，故Q (x 2，－y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝8x ，消去x 得y 2－8my ＋8＝0，其中Δ＝64m 2－32＞0，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝8.所以k P Q ＝y 1＋y 2x 1－x 2＝8y 1－y 2，因而直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1－y 2(x －x 1)．又y 1y 2＝8，y 21＝8x 1，将P Q 的方程化简得(y 1－y 2)y ＝8(x －1)，故直线l 过定点(1,0)．法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x 轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线P Q 的方程为x ＝my ＋a .联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝8x 消去x ，整理得y 2－8my －8a ＝0，Δ＞0.设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8a .由条件可知k PB ＋k Q B ＝0，即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝(my 1＋a )y 2＋(my 2＋a )y 1＋y 1＋y 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝2my 1y 2＋(a ＋1)(y 1＋y 2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，所以－8ma ＋8m ＝0.由m 的任意性可知a ＝1，所以直线l 恒过定点(1,0)．法四：设P ⎝⎛⎭⎫y 218，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 228，y 2，因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝y 1y 218＋1＋y 2y 228＋1＝0，整理得(y 1＋y 2)⎝⎛⎭⎫y 1y 28＋1＝0. 因为直线l 不垂直于x 轴，所以y 1＋y 2≠0，可得y 1y 2＝－8. 因为k P Q ＝y 1－y 2y 218－y 228＝8y 1＋y 2，所以直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2⎝⎛⎭⎫x －y 218，即y ＝8y 1＋y 2(x －1)．故直线l 恒过定点(1,0)． [关键点拨]本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y 1，y 2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．弦长条件的转化[典例] 如图所示，已知椭圆G ：x 22＋y 2＝1，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点F 1，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．(1)若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．(2)是否存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] (1)由题意可知点F 1(－1,0)，又直线l 的斜率为1，故直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理得3x 2＋4x ＝0，则x 1＋x 2＝－43，y 1＋y 2＝23，因此中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. 故直线OM 的斜率为13－23＝－12. (2)假设存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立．由题意，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1，消去x 并整理得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，可得|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫2m m 2＋22＋4m 2＋2＝22(m 2＋1)m 2＋2， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2，所以弦AB 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线CD 的方程为y ＝－m2x .联立⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22＋y 2＝1，消去y 并整理得2x 2＋m 2x 2－4＝0，解得x 2＝4m 2＋2.由对称性，设C (x 0，y 0)，D (－x 0，－y 0)，则x 20＝4m 2＋2，可得|CD |＝1＋m 24·|2x 0|＝(m 2＋4)·4m 2＋2＝2 m 2＋4m 2＋2. 因为|AM |2＝|CM ||DM |＝(|OC |－|OM |)(|OD |＋|OM |)，且|OC |＝|OD |，所以|AM |2＝|OC |2－|OM |2，故|AB |24＝|CD |24－|OM |2，即|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，则8(m 2＋1)2(m 2＋2)2＝4(m 2＋4)m 2＋2－4⎣⎡⎦⎤4(m 2＋2)2＋m 2(m 2＋2)2，解得m 2＝2，故m ＝±2.所以直线l 的方程为x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0. [关键点拨]本题(2)的核心在于转化|AM |2＝|CM |·|DM |中弦长的关系．由|CM |＝|OC |－|OM |，|DM |＝|OD |＋|OM |，又|OC |＝|OD |，得|AM |2＝|OC |2－|OM |2.又|AM |＝12|AB |，|OC |＝12|CD |，因此|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，转化为弦长|AB |，|CD |和|OM |三者之间的数量关系，易计算．面积条件的转化[典例] 设椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于E ，F 两点，求四边形AEBF 的面积的最大值．[解题观摩] 法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为x 24＋y2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 根据点到直线的距离公式和①，得点E ，F 到直线AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2).又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |·(h 1＋h 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2＝21＋41k＋4k ≤22，当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. 法二：依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.直线EF 的方程为y ＝kx (k ＞0)．设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＝4.故x 1＝－21＋4k 2，x 2＝21＋4k 2， |EF |＝1＋k 2·|x1－x 2|＝41＋k 21＋4k 2.根据点到直线的距离公式，得点A，B到直线EF的距离分别为d1＝|2k|1＋k2＝2k1＋k2，d2＝11＋k2.因此四边形AEBF的面积为S＝12|EF|·(d1＋d2)＝12·41＋k21＋4k2·1＋2k1＋k2＝2(1＋2k)1＋4k2＝24k2＋4k＋11＋4k2＝21＋4k1＋4k2＝21＋41k＋4k≤22，当且仅当1k＝4k，即k＝12时取等号．因此四边形AEBF的面积的最大值为2 2. [关键点拨]如果利用常规方法理解为S四边形AEBF＝S△AEF＋S△BEF＝12|EF|·(d1＋d2)(其中d1，d2分别表示点A，B到直线EF的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出EF的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF 的面积拆成两个小三角形——△ABE和△ABF的面积之和，则更为简单．因为直线AB的方程及其长度易求出，故只需表示出点E与点F到直线AB的距离即可．[总结规律·快速转化]做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考1．平行四边形条件的转化几何性质代数实现(1)对边平行斜率相等，或向量平行(2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相平分中点重合2．几何性质代数实现(1)两边垂直斜率乘积为－1，或向量数量积为0(2)勾股定理两点的距离公式(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半)两点的距离公式3．等腰三角形条件的转化几何性质代数实现 (1)两边相等两点的距离公式(2)两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反(3)三线合一(垂直且平分)垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式4．菱形条件的转化几何性质代数实现 (1)对边平行斜率相等，或向量平行 (2)对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等(3)对角线互相垂直平分垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式、中点重合5．圆条件的转化几何性质代数实现(1)点在圆上点与直径端点向量数量积为零 (2)点在圆外点与直径端点向量数量积为正数 (3)点在圆内点与直径端点向量数量积为负数6．角条件的转化几何性质代数实现(1)锐角，直角，钝角角的余弦(向量数量积)的符号 (2)倍角，半角，平分角角平分线性质，定理(夹角、到角公式)(3)等角(相等或相似) 比例线段或斜率[课时跟踪检测]1．已知椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，32，且与椭圆E ：x22＋y 2＝1有相同的焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：以线段P Q 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)椭圆E 的焦点为(±1,0)，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎨⎧1a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2. 设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P ⎝⎛⎭⎫－4k m ，3m .假设存在定点M (s ，t )满足题意，因为Q (4,4k ＋m )，则MP ＝⎝⎛⎭⎫－4k m－s ，3m －t ，M Q ＝(4－s,4k ＋m －t )，所以MP ·M Q ＝⎝⎛⎭⎫－4k m －s (4－s )＋⎝⎛⎭⎫3m －t (4k ＋m －t )＝－4km (1－s )－⎝⎛⎭⎫3m ＋m ＋4k t ＋(s 2－4s ＋3＋t 2)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧1－s ＝0，t ＝0，s 2－4s ＋3＋t 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝0.所以存在点M (1,0)符合题意．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为22，离心率为63，点A (3,0)，P 是C上的动点，F 为C 的左焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 在y 轴的右侧，以AP 为底边的等腰△ABP 的顶点B 在y 轴上，求四边形FPAB 面积的最小值．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝22，c a ＝63，a 2＝b 2＋c2解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝2∴椭圆C 的方程是x 26＋y 22＝1.(2)设P (x 0，y 0)(－2＜y 0＜2，y 0≠0，x 0＞0)，线段AP 的中点为M ，则AP 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋32，y 02，直线AP 的斜率为y 0x 0－3，由△ABP 是以AP 为底边的等腰三角形，可得BM ⊥AP ， ∴直线AP 的垂直平分线方程为 y －y 02＝－x 0－3y 0⎝⎛⎭⎫x －x 0＋32，令x ＝0得B ⎝⎛⎭⎫0，y 20＋x 20－92y 0， ∵x 206＋y 202＝1，∴B ⎝⎛⎭⎫0，－2y 20－32y 0，∵F (－2,0)，∴四边形FPAB 的面积S ＝52⎝⎛⎭⎫|y 0|＋⎪⎪⎪⎪－2y 20－32y 0 ＝52⎝⎛⎭⎫2|y 0|＋32|y 0|≥53，当且仅当2|y 0|＝32|y 0|，即y 0＝±32时等号成立，四边形FPAB 面积的最小值为5 3.3．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过点F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围．解：(1)将x ＝－c 代入椭圆的方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a ＝1，故a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，则b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由PM 是∠F 1PF 2的角平分线，可得|PF 1||F 1M |＝|PF 2||F 2M |，即|PF 1||PF 2|＝|F 1M ||F 2M |. 设点P (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)，又点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，M (m,0)，则|PF 1|＝ (－3－x 0)2＋y 20＝2＋32x 0， |PF 2|＝(3－x 0)2＋y 20＝2－32x 0. 又|F 1M |＝|m ＋3|，|F 2M |＝|m －3|，且－3＜m ＜3，所以|F 1M |＝m ＋3，|F 2M |＝3－m . 所以2＋32x 02－32x 0＝3＋m 3－m，化简得m ＝34x 0，而－2＜x 0＜2，因此－32＜m ＜32.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，32. 4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16.所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a 2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)，F 2B ―→＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A ―→·F 2B ―→＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a 2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12，所以离心率e ＝32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可知A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝⎛⎭⎫1－x 2012－3⎝⎛⎭⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14，即k 2＝－14k 1，由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14.即直线PB 的斜率k 2∈⎝⎛⎭⎫18，14.第二课时解题上——6大技法破解计算繁杂这一难题（阅读课——供学有余力的考生自主观摩）中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．回归定义，以逸待劳策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p 2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1. 2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||PA |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|PA |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||PA |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||PA |≥22，所以|PF ||PA |的最小值为22.答案：22设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]。

高考数学：解析几何压轴题的学习难点

高考数学：解析几何压轴题的学习难点高考学生想要拿下高考解析几何压轴题，应该如何学习？今天组合教育张老师来给同学们聊聊解析几何压轴题的学习难点及方法。

第一，准备方向错误。

往总结题型的方向走，那个方向是走不通的。

你可能准备了很多题型，但是在考试中是没有什么用的。

另外就是往二级结论的方向走，这样的方法会特别累，因为二级结论是很多的，并且这些二级结论在考试中不可以直接使用。

第二，归纳总结不全。

与导数是一样的，刚开始就想要归纳全是不太现实的，但是这个问题不用着急，可以慢慢来的。

但是强调一点，做题的时候一定要带着学习的心态，我们做一道题要从中学到一些东西，直到已有的套路可以完全应付这个题目：一看到这个题目，就知道应该怎样做。

在此之外，你还要不断地学习，不断地去完善自己解题体系的过程。

第三，整体的解题能力。

解析几何题目比较散，一个题目可能会考四五个点，这种时候，大家需要尤其锻炼自己的整体解题能力。

有些同学会拿韦达定理骗分，如果说这个题目只剩两三分钟了，没有什么时间来思考，肯定是可以拿韦达定理骗分，这样总是会骗一些分数回来。

但是想彻底地解决解析几何问题，想在解析几何上获得一些更好的突破，按照这个思路去做的话肯定是走不远的，你需要在不停地做题中形成一个整体的思路。

如果不能形成一个整体的解题思路，以后做更难或更多解析几何题目的时候还是不能获得高分。

小结一下解析几何专题内容归纳总结方法。

首先与导数不同的是解析几何是一类多个知识组合在一起的题目，它的单一知识点难度低，组合难度高。

也就是说解析几何题目是将很多简单的知识点组合一起来考查。

这就是它能赢得压轴题中一席之位的原因。

所以在解决解析几何问题时，就可以分解成三个层次。

第一个层次，先把题目整体中的小方面划分出来称之为单一知识点，比如设列，中点弦等从单一知识点上进行突破，对具体的知识进行归纳总结，去找到解决方法。

第二个层次，通过不停地做题去练习，去提升自己对具体条件的整合能力，然后整合能力提上来之后，形成解题体系。

解析几何压轴大题策略指导—4大策略找到解题突破口教学案河北省鸡泽县第一中学高三数学一轮复习

解析几何压轴大题策略指导——四大策略解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在．突破解析几何难题，先从找解题突破口入手．策略一利用向量转化几何条件[典例] 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] 假设存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点．设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 并整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.①因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0. 由①知，b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1. 当b ＝－4或b ＝1时，均有Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＝－4b 2－24b ＋36＞0，即直线l 与圆C 有两个交点．所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [题后悟通]以AB 为直径的圆过原点等价于OA ⊥OB ，而OA ⊥OB 又可以“直译”为x 1x 2＋y 1y 2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．[针对训练]1．已知椭圆M ：x 24＋y 23＝1，点F 1，C 分别是椭圆M 的左焦点，左顶点，过点F 1的直线l (不与x 轴重合)交椭圆M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的离心率及短轴长．(2)问：是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知，椭圆M 的离心率e ＝c a ＝12，短轴长2b ＝2 3.(2)设点B (x 0，y 0)，由题意知BC ⊥BF 1，点F 1(－1,0)，C (－2，0)，由BC ·BF 1＝0，得(－2－x 0，－y 0)·(－1－x 0，－y 0)＝0，即(x 0＋2)(x 0＋1)＋y 20＝0.①又知点B (x 0，y 0)满足x 204＋y 203＝1.②联立①②，解得x 0＝－2或x 0＝－10.由椭圆方程知，x 0＝－2或x 0＝－10均不满足题意，故舍去．因此，不存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上．策略二角平分线条件的转化[典例] 已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，求证：直线l 过定点．[解题观摩] (1)设动圆圆心为点P (x ，y )，则由勾股定理得x 2＋42＝(x －4)2＋y 2，化简即得圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ，得k 2x 2＋2(kb －4)x ＋b 2＝0.由Δ＝4(kb －4)2－4k 2b 2＞0，得kb ＜2. 设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb －4k 2，x 1x 2＝b 2k2.因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝0，即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝2kx 1x 2＋k ＋b x 1＋x 2＋2b x 1＋1x 2＋1＝8k ＋bx 1＋1x 2＋1k 2＝0，所以k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以l 的方程为y ＝k (x －1)．故直线l 恒过定点(1,0)．法二：设直线PB 的方程为x ＝my －1，它与抛物线C 的另一个交点为Q ′，设点P (x 1，y 1)，Q ′(x 2，y 2)，由条件可得，Q 与Q ′关于x 轴对称，故Q(x 2，－y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝8x ，消去x 得y 2－8my ＋8＝0，其中Δ＝64m 2－32＞0，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝8. 所以k P Q ＝y 1＋y 2x 1－x 2＝8y 1－y 2，因而直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1－y 2(x －x 1)．又y 1y 2＝8，y 21＝8x 1，将P Q 的方程化简得(y 1－y 2)y ＝8(x －1)，故直线l 过定点(1,0)．法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x 轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线P Q 的方程为x ＝my ＋a .联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝8x 消去x ，整理得y 2－8my －8a ＝0，Δ＞0.设点P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8a .由条件可知k PB ＋k Q B ＝0，即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝my 1＋a y 2＋my 2＋a y 1＋y 1＋y 2x 1＋1x 2＋1＝2my 1y 2＋a ＋1y 1＋y 2x 1＋1x 2＋1＝0，所以－8ma ＋8m ＝0.由m 的任意性可知a ＝1，所以直线l 恒过定点(1,0)．法四：设P ⎝⎛⎭⎫y 218，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 228，y 2，因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝y 1y 218＋1＋y 2y 228＋1＝0，整理得(y 1＋y 2)⎝⎛⎭⎫y 1y 28＋1＝0. 因为直线l 不垂直于x 轴，所以y 1＋y 2≠0，可得y 1y 2＝－8.因为k P Q ＝y 1－y 2y 218－y 228＝8y 1＋y 2，所以直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2⎝⎛⎭⎫x －y 218，即y ＝8y 1＋y 2(x －1)．故直线l 恒过定点(1,0)． [题后悟通]本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y 1，y 2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．[针对训练]2．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q(2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线P Q 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠AP Q ＝∠BP Q ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2.又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝4，c ＝2 3. ∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠AP Q ＝∠BP Q ，则直线P A ，PB 的斜率互为相反数，设直线P A 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ，直线P A 的方程为y －3＝k (x －2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k x －2，x 216＋y 24＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0，∴x 1＋2＝8k 2k －31＋4k 2.同理可得x 2＋2＝－8k －2k －31＋4k 2＝8k 2k ＋31＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 策略三弦长条件的转化[典例] 如图所示，已知椭圆G ：x 22＋y 2＝1，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点F 1，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．(1)若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．(2)是否存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] (1)由题意可知点F 1(－1,0)，又直线l 的斜率为1，故直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理得3x 2＋4x ＝0，则x 1＋x 2＝－43，y 1＋y 2＝23，因此中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. 故直线OM 的斜率为13－23＝－12.(2)假设存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立．由题意，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1，消去x 并整理得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，可得|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫2m m 2＋22＋4m 2＋2＝22m 2＋1m 2＋2， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2，所以弦AB 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线CD 的方程为y ＝－m2x .联立⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22＋y 2＝1，消去y 并整理得⎝⎛⎭⎫1＋m22x 2＝2，解得x 2＝21＋m 22＝4m 2＋2.由对称性，设C (x 0，y 0)，D (－x 0，－y 0)，则x 20＝4m 2＋2，可得|CD |＝1＋m 24·|2x 0|＝m 2＋4·4m 2＋2＝2 m 2＋4m 2＋2. 因为|AM |2＝|CM ||DM |＝(|OC |－|OM |)(|OD |＋|OM |)，且|OC |＝|OD |，所以|AM |2＝|OC |2－|OM |2，故|AB |24＝|CD |24－|OM |2，即|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，代入|AB |，|CD |和|OM |，得8m 2＋12m 2＋22＝4m 2＋4m 2＋2－4⎣⎡⎦⎤4m 2＋22＋m 2m 2＋22，解得m 2＝2，故m ＝± 2.所以直线l 的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1. [题后悟通]本题(2)的核心在于转化|AM |2＝|CM ||DM |中弦长的关系．由|CM |＝|OC |－|OM |，|DM |＝|OD |＋|OM |，又|OC |＝|OD |，则|AM |2＝|OC |2－|OM |2.又|AM |＝12|AB |，|OC |＝12|CD |，因此|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，转化为弦长|AB |，|CD |和|OM |三者之间的数量关系，易计算．[针对训练]3．已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为圆M 的圆心，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)若存在直线l ：y ＝kx ，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且|AG |＝|BH |，求圆M 的半径r 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，因为a ＝2，c a ＝22，所以c ＝1，因此b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2－2＝0得(1＋2k 2)x 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－21＋2k 2，则|AB |＝1＋k 2·81＋2k 2＝ 81＋k 21＋2k 2.因为点M (2，0)到直线l 的距离d ＝|2k |1＋k 2，所以|GH |＝2r 2－2k 21＋k 2. 显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，与已知矛盾．要使|AG |＝|BH |，只需|AB |＝|GH |，即81＋k 21＋2k 2＝4⎝⎛⎭⎫r 2－2k 21＋k 2，所以r 2＝2k 21＋k 2＋21＋k 21＋2k 2＝23k 4＋3k 2＋12k 4＋3k 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋k 42k 4＋3k 2＋1. 当k ＝0时，得r ＝ 2.当k ≠0时，r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 4＋3k 2＋2＜2⎝⎛⎭⎫1＋12＝3. 又显然r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 4＋3k 2＋2＞2，所以2＜r ＜ 3.综上所述，圆M 的半径r 的取值范围是[2，3)．策略四面积条件的转化[典例] 设椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于E ，F 两点，求四边形AEBF 的面积的最大值．[解题观摩] 法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 根据点到直线的距离公式和①，得点E ，F 到直线AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝21＋2k ＋1＋4k 251＋4k 2，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝21＋2k －1＋4k 251＋4k 2.又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |·(h 1＋h 2)＝12·5·41＋2k 51＋4k 2＝21＋2k 1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2＝21＋41k＋4k ≤22，当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. 法二：依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.直线EF 的方程为y ＝kx (k ＞0)．设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1消去y ，(1＋4k 2)x 2＝4.故x 1＝－21＋4k 2，x 2＝21＋4k 2， |EF |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 21＋4k 2. 根据点到直线的距离公式，得点A ，B 到直线EF 的距离分别为d 1＝|2k |1＋k 2＝2k1＋k 2，d 2＝11＋k 2. 因此四边形AEBF 的面积为S ＝12|EF |·(d 1＋d 2)＝12·41＋k 21＋4k 2·1＋2k 1＋k 2＝21＋2k 1＋4k 2＝24k 2＋4k ＋11＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2＝21＋41k＋4k ≤22，当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. [题后悟通]如果利用常规方法理解为S 四边形AEBF ＝S △AEF ＋S △BEF ＝12|EF |·(d 1＋d 2)(其中d 1，d 2分别表示点A ，B 到直线EF 的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出|EF |的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF 的面积拆成两个小三角形——△ABE 和△ABF 的面积之和，则更为简单．因为直线AB 的方程及其长度易求出，故只需表示出点E 与点F 到直线AB 的距离即可．[针对训练]4．已知椭圆C ：x 216＋y 212＝1的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点P (n,0)(n ＞4)满足条件|F A ||P A |＝e .(1)求n 的值；(2)设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记△PMF 和△PNF 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1S 2＝|PM ||PN |.解：(1)依题意，|F A ||P A |＝e ＝12，|F A |＝2，|P A |＝n －4(n ＞4)，得2n －4＝12，解得n ＝8.(2)证明：由S 1＝12|PF ||PM |sin ∠MPF ，S 2＝12|PF ||PN |sin ∠NPF ，则S 1S 2＝12|PF ||PM |sin ∠MPF12|PF ||PN |sin ∠NPF ＝|PM |sin ∠MPF |PN |sin ∠NPF. 设直线l 的方程为x ＝my ＋2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，又P (8，0)，则k PM ＋k PN ＝y 1x 1－8＋y 2x 2－8＝y 1x 2－8＋y 2x 1－8x 1－8x 2－8＝x 2y 1＋x 1y 2－8y 1＋y 2x 1x 2－8x 1＋x 2＋64 ＝my 2＋2y 1＋my 1＋2y 2－8y 1＋y 2my 1＋2my 2＋2－8[m y 1＋y 2＋4]＋64＝2my 1y 2－6y 1＋y 2m 2y 1y 2－6m y 1＋y 2＋36.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，3x 2＋4y 2＝48，消去x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋12my －36＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－12m3m 2＋4，y 1y 2＝－363m 2＋4，所以k PM ＋k PN ＝－72m 3m 2＋4＋72m3m 2＋4－36m 23m 2＋4＋72m 23m 2＋4＋36＝0，则∠MPF ＝∠NPF ，因此S 1S 2＝|PM ||PN |.[总结规律·快速转化]做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考：1．平行四边形条件的转化2．直角三角形条件的转化3．等腰三角形条件的转化4．菱形条件的转化5．圆条件的转化6．角条件的转化。