电大经济数学基础练习题附答案

一、选择题：1．设xx f 1)(=，则=))((x f f （x ）． 2．已知1sin )(-=xx x f ，当（ x →0）时，)(x f 为无穷小量． 3. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )． B ．)()(d )(a F x F x x f xa -=⎰4．以下结论或等式正确的是（对角矩阵是对称矩阵）．5．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（无解）．6下列函数中为偶函数的是（ x x y sin =）． 7．下列函数中为奇函数的是（ x x y -=3） 8．下列各函数对中，（1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f ）中的两个函数相等．9．下列结论中正确的是（奇函数的图形关于坐标原点对称）．10．下列极限存在的是（ 1lim 22-∞→x x x ）． 11．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,0,211)(x k x x x x f 在x = 0处连续，则k =（-1）． 12．曲线x y sin =在点)0,π(（处的切线斜率是（1-）．13．下列函数在区间(,)-∞+∞上单调减少的是（x -2）．14．下列结论正确的是0x 是)(x f 的极值点，且)(0x f '存在，则必有0)(0='x f ）． 15．设某商品的需求函数为2e 10)(p p q -=，则当p =6时，需求弹性为（－3）．16．若函数xx x f -=1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( -2 )． 17．下列函数中为偶函数的是（ x x y sin =）． 18．函数)1ln(1-=x y 的连续区间是），（），（∞+⋃221 19．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ 21- ）． 20．设c x x x x f +=⎰ln d )(，则)(x f =（ 2ln 1xx - ）． 21．下列积分值为0的是（ ⎰--11-d 2e e x xx ）． 22．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵， 则I B A -T ＝（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 ）． 23．设B A ,为同阶方阵，则下列命题正确的是（ ）.B.若O AB ≠，则必有O A ≠,O B ≠24．当条件（ O b = ）成立时，n 元线性方程组b AX =有解．25．设线性方程组b AX =有惟一解，则相应的齐次方程组O AX =（只有0解 ）．二、填空题： 1．函数)1ln(42+-=x x y 的定义域是]2,1(-． 2．函数1142++-=x x y 的定义域是]2,1()1,2[--- 3．若函数62)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f 52+x 4．若函数x x f +=11)(，则=-+hx f h x f )()()1)(11h x x +++-（ 5．设21010)(x x x f -+=，则函数的图形关于 y 轴 对称．6．已知需求函数为p q 32320-=，则收入函数)(q R =：22310q q -. 7．=+∞→xx x x sin lim 1 、 ． 8．已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0011)(2x a x x x x f ，若)(x f 在),(∞+-∞内连续，则=a 2 ．9．曲线1)(2+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是：21 10．过曲线x y 2e -=上的一点（0，1）的切线方程为12+-=x y . 11．函数3)2(-=x y 的驻点是2=x ．12．需求量q 对价格p 的函数为2e 80)(pp q -⨯=，则需求弹性为2p- 13．函数1142++-=x x y 的定义域是写：]2,1()1,2[--- 14．如果函数)(x f y =对任意x 1, x 2，当x 1 < x 2时，有)()(21x f x f >，则称)(x f y =是单调减少的.15．已知x xx f tan 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为无穷小量．16．过曲线x y 2e -=上的一点（0，1）的切线方程为：12+-=x y 17．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )de (e --⎰=c F x +--)e ( 18．x x d e 03⎰∞-=31 19．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵. 20． 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中C B ,可逆，则矩阵方程D BXC A =+的解=X 11)(---C A D B ．21．设齐次线性方程组11⨯⨯⨯=m n n m O X A ，且)(A r = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n – r ．22．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A 则当d = -1 时，方程组AX b =有无穷多解.23．设21010)(x x x f -+=，则函数的图形关于 y 轴 对称．24．函数2)1(3-=x y 的驻点是x =1． 25．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则⎰=--x f x x d )e (e c F x +--)e (．26．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ，I 为单位矩阵，则T )(A I -＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2240． 27．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则 此方程组的一般解为⎩⎨⎧=--=4243122x x x x x ，(x 3，．三、微积分计算题1．已知2sin 2x x =，求y '．解：由导数运算法则和复合函数求导法则得)(sin 2sin )2()sin 2(222'+'='='x x x y x x x)(cos 2sin 2ln 2222'+=x x x x x22cos 22sin 2ln 2x x x x x +=2．设2sin 2cos x y x -=，求y '． 解；2cos 22ln 22sin x x y x x --=' 3．设x x y 32e ln -+=，求y '．解：由导数运算法则和复合函数求导法则得)e ()(ln 32'+'='-x x y x x x 33e ln 2--=4．设 y 2ln x x x x =，求y '． 解 因为 y 742ln x x =+ 所以 34724y x x'=+ 5．设x y x tan e sin +=，求y d ． 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得)tan e (d d sin x y x +=)(tan d )e (d sin x x +=x xx x d cos 1)(sin d e 2sin += x xx x x d cos 1d cos e 2sin += x xx x )d cos 1cos e (2sin += 6．已知)(x f x x x x +-+=11ln cos 2，求y d ． 解：因为 )1ln()1ln(cos 2)(x x x x f x +--+=xx x x x f x x +----⋅='1111sin 2cos 2ln 2)(212]sin cos 2[ln 2xx x x ---⋅= 所以 y d =x x x x x x d 12d )sin cos 2(ln 22---⋅ 7．设121ln -+=x x y , 求d y . 解：因为 2)12(2ln 21)121ln (--='-+='x x x x x y 所以 x x x x x y y d )12(2ln 21d d 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='= 8．设xx y --+=1)1ln(1，求)0(y '. 解：因为 2)1()]1ln(1[)1(11x x x x y --++---=' = 2)1()1ln(x x -- 所以 )0(y '= 2)01()01ln(--= 0 9．设x x y 2e ln -+=，求y d ．解：因为 x x x x x xy 22e 2ln 21e 2)(ln ln 21---=-'=' 所以 y d x x x x d )e 2ln 21(2--=10．计算积分⎰202d sin πx x x ．解： ⎰⎰=2022202d sin 21d sin ππx x x x x x 202cos 21πx -==21- 线性代数计算题1．设xx y --+=1)1ln(1，求)0(y '.解：因为 2)1()]1ln(1[)1(11x x x x y --++---=' = 2)1()1ln(x x -- 所以 )0(y '= 2)01()01ln(--= 0 2．设2e cos x x y --=，求y d ． 解：因为22e 2x y x x x -'=所以 2d (e )d 2x xy x x x =3．x x x d )2sin (ln +⎰．解：x x x d )2sin (ln +⎰=⎰⎰+-)d(22sin 21d ln x x x x x=C x x x +--2cos 21)1(ln4．x x x d ln 112e 0⎰+ 解：x x x d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x ++⎰ =2e 1ln 12x +=)13(2-5．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算)(T C BA r +．解：因为 C BA +T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210且 C BA +T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001002200210所以 )(T C BA r +=26．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=521,322121011B A ，求B A 1-．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-9655211461351341B A7．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．解：因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量） 8．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解．解 因为增广矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=150********λA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→261026101111λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以，当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕9．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA = 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211 所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 10．讨论当a ，b 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+b ax x x x x x x x 321321312022无解，有唯一解，有无穷多解.解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4210222021011201212101b a b a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→310011102101b a 所以当1-=a且3≠b 时，方程组无解； 当1-≠a时，方程组有唯一解； 当1-=a且3=b 时，方程组有无穷多解.四、应用题1．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为 q p =-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =．（2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q ()=1001102q q --(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且 'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- q 令'L q ()= 0，即40- q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．2．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=5)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 211)(-='（万元/百吨），求：⑴利润最大时的产量；⑵在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：⑴因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润x x C x R x L 210)()()(-='-'='令0)(='x L ，得5=x 可以验证5=x 为利润函数)(x L 的最大值点. 因此，当产量为5百吨时利润最大.⑵当产量由5百吨增加至6百吨时，利润改变量为 65265)10(d )210(x x x x L -=-=∆⎰1-=（万元） 即利润将减少1万元. 3．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 6100)(2++=（万元）,求： ⑴当10=x 时的总成本和平均成本； ⑵当产量x 为多少时，平均成本最小？解：⑴因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 6100)(2++= 6100)(++=x xx C ，所以，260106101100)10(2=⨯+⨯+=C26610110100)10(=+⨯+=C ， ⑵1100)(2+-='x x C 令 0)(='x C ，得10=x （10-=x 舍去），可以验证10=x 是)(x C 的最小值点，所以当10=x 时，平均成本最小．4．生产某产品的边际成本为x x C 5)(=' (万元/百台)，边际收入为x x R -='120)( （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：'='-'L x R x C x ()()()x x x 61205)120(-=--=令'=L x ()0 得 20=x （百台），可以验证20=x是是L x ()的最大值点，即当产量为2000台时，利润最大．x x x x L L d )6120(d )(22202220⎰⎰-='= 12)3120(22202-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少12万元5．已知某产品的边际成本34)(-='q q C （万元/百台），q 为产量（百台），固定成本为18（万元），求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．解：（1）1832d )34(d )(2+-=-='=⎰⎰q q q q q q C C平均成本函数qq q q C C 1832)(+-== 2182q C -='，令01822=-='qC ，解得唯一驻点6=x （百台） 因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为600台时，可使平均成本达到最低。