高中数学必修四1.1.1任意角_课件

B2 α O β A
探究二：象限角
思考4：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意角，角的终边 可能落在哪些位置？ y 如何定义这些角？ o
x
1)角的顶点于坐标原点重合
2)始边与X的非负半轴重合 终边落在第几象限就称角是第几象限
解：⑴∵－120º =－360º +240º ， ⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’， ∴240º 的角与－120º 的角终边相同， ∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第三象限角． 它是第二象限角． ⑵ ∵640º =360º +280º ， ∴280º 的角与640º 的角终边相同， 它是第四象限角．
记法：角 或 ，可简记为

思考3：度量一个角的大小，既要考虑旋转方 向，又要考虑旋转量，对于α ＝210°， ＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这 些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
边
顶点 范围：0o≤α≤360o 边
307C： 反身翻腾 3周半（抱膝）
程菲跳： 踺子后手翻转体180度接前 直空翻540度
探究一：角的概念的推广
思考1：怎样升级角的定义，让它更科学 更合理？ B 始边 终边
o A
角的定义：由平面内一条射线绕其 顶点 端点从一个位置旋转到另一个位置 所组成的图形.
必修四 第一章三角函数
1.1.1任意角
目标
重点 难点
1）理解任意角的概念； 2）学会建立适当的坐标系来讨论 角并理解“正角”“负角”“象 限角”“终边相同的角”的含义。
理解“正角”、“负角”、 “象限角”、“终边相同的角” 的含义 “终边相同的角”的含义
回忆：在初中角是如何定义的？
角的取值范围如何？ 从一个点出发，引出的两条射线构 成的几何图形 叫做角.
y
角

o

x
终边落在坐标轴上就 称角是轴线角
练习1：下列各角：-50°，405°，210°,-200°， －450°分别是第几象限的角？
y
x o －50° y y x x
y
y
210°
x
－450° x o
o
405°
பைடு நூலகம்
o
o
－200°
思考5：锐角与第一象限的角是什么逻辑 关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑 关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？ 思考6：第二象限的角一定比第一象限的 角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不 能反映角的大小.
练习2：请在坐标轴上画出30°,390°, -330°,并找出它们的共同点?
-3300
y 300 o
390=30+360
330=30360
3900
x
思考7：与30°角终边相同的角有多少个？ 这些角与30°角在数量上相差多少？ k·360°（k∈Z） 思考8：所有与30°角终边相同的角，连 同30°角在内，可构成一个集合S，你能 用描述法表示集合S吗？ S={β|β=30°＋k· 360°，k∈Z}
例3.
写出终边在y轴上的角的集合.
解:与90°终边相同的角构成集合 y S1={β|β=90°+k· 360°,k∈Z} 与270°角终边相同的角构成集合 270° 90° S2={β|β=270°+k· 360°,k∈Z} o 终边在y轴上的角的集合 x S=S1∪S2 ={β|β=90°+k· 360°,k∈Z} ∪{β|β=270°+k· 360°,k∈Z} ={β|β=90°+2k· 180°,k∈Z} ∪{β|β=90°+(2k+1)· 180°,k∈Z} ={β|β=90°+n· 180°,n∈Z}
小结：本节课你学到了什么？
课后作业： 1、巩固所学： 必修四教材 习题1.1 A组1、3 2、预习探求：思考下列问题 （1）第一、二、三、四象限的角的集合 分别如何表示？ （2） 如果α是第二象限的角，那么2α、 α/2分别是第几象限的角？
变式：α的终边在下图所示的阴影范围内， 写出α组成的集合.
y
0
x
当堂反馈
1.经过2个小时，钟表上的时针旋转了( A．60° B．－60° C．30° D．－30°
B)
2．下列命题中的真命题是( B ) A．三角形的内角必是第一象限或 第二象限的角 B．钝角都是第二象限角 C．终边相同的角必相等 D．终边在第二象限的角是钝角
例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，
并把S中在－360º ~720º 间的角写出来：
(1) 60º ；(2) －21º ；(3) 363º 14′.
解：(1) S={β| β=k· +60º 360º (k∈Z) }, S中在－360º ～720º 间的角是 －1×360º =－280º +60º ； 0×360º =60º +60º ； 1×360º =420º +60º ．
思考2：为了区分形成角的两种不同的旋 转方向，可以作怎样的规定？如果一条 射线没有作任何旋转，它还形成一个角 吗？
规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它 形成了一个零角. α=0°
2、角的分类：
任 意 角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转时形成的角
3． 与－2012°终边相同的最大负角是_____． -212° 4.终边落在射线 y 3 x ( x 0 ) 上的角的集合为 S={β| β=60º 360º +k· (k∈Z) }, _____________________________． 5. 如图所示． (1)分别写出终边落在 OA，OB位置上的角 的集合； (2)写出终边落在阴影 部分(包括边界)的角 的集合．
(2) S={β| β=k· －21º 360º (k∈Z) } S中在－360º ～720º 间的角是 0×360º －21º =－21º ；
1×360º －21º =339º ；
2×360º －21º =699º ． (3) ｛β| β=k· 360º+ 363º14’ (k∈Z) } S中在－360º ～720º 间的角是 －2×360º+363º14’=－356º46’； －1×360º+363º14’=3º14’； 0×360º+363º14’=363º14’．
结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：
{β| β=α+k·360º }(k∈Z)
即：任何一个与角终边相同的角， 都可以表示成角与整数个周角的和
例1. 在0º 到360º 范围内，找出与下列各角终边
相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º ；(2) 640º ；(3) －950º 12′.