自动控制原理_ 控制系统的数学模型_第1学时 微分方程和传递函数_

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2 ×3 ×4
（1）传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得 到的，因此，传递函数的概念只能用于线性定常系统，且其量 纲由输入量和输出量决定；
（2）传递函数是零初始条件下定义的，利用传递函数求系统 的响应是零状态响应；
（3）不同的物理系统可以有同样的传递函数，正如一些不同 的物理现象可以用形式相同的微分方程描述一样。故传递函 数不能反映系统的物理结构。
LC d 2uo(t) dt 2
RC duo(t) dt
uo(t) ui(t)
•
uc(0) 0, uc 0 输出响应 U C (S) ?
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G(S) 2S 4 S 2 7S 12
G(S) 2(S 2) (S 3)(S 4)
G(S) 1
( 1 S 1) 2
3 (1 S 11)( S 1)
在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换
和输入量的拉氏变换之比。
R(s)
C(s)
G (s)
C(S) G(S)• R(S)
a 0
d nc(t) dt n
d n1c(t) a
1 dt n1
a n1
dc(t) dt
anc(t)
bБайду номын сангаас0
d mr(t) dt m
b d m1r(t) 1 dt m1
b m1
dr(t) dt
数、结构图；频域中的频率特性等。
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a 0
d nc(t) dtn
d n1c(t) a1 dt n1
a dc(t) n 1 dt
an c(t)
b0
d mr(t) dt m
d m1r(t) b 1 dt m1
b m 1
dr(t) dt
b mr(t)
(n m)
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(3) 积分环节
c(t) r(t)d(t)
G(S) C(S) 1 R(S) TS
T—积分时间常数。
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(4) 微分环节
c(t) T dr(t) dt
G(S) C(S) TS R(S)
T—微分时间常数。
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(5) 一阶微分环节
c(t) T dr(t) r(t) dt
第1学时 微分方程与传递函数
主讲人： 袁丽丽 电力工程学院
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思考题： 1.什么是自动控制系统？有哪三种基本 控制方式？ 2.控制系统的组成？
3.自动控制系统的基本要求
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内容提要： 1.控制系统的数学模型 2.微分方程的建立 3.线性系统的传递函数 4.典型环节及其传递函数
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2.1 控制系统的数学模型
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• 分析法就是根据描述系统运动规律的物理或 化学等定律来列写相应的运动方程。
• 实验法是基于系统输入输出的实验数据，并 用适当的数学模型去逼近。这种方法称为系 统辩识
• 系统的数学模型有多种，如时域中的微分方 程、差分方程和状态方程；复域中的传递函
Fk(t) ky(t) —弹簧的弹性力
f
k
m
y(t)
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由电阻,电容和电感组成的无源网络，写出以ui
为输入， uo为输出的微分方程.
LC d 2uo(t) dt 2
RC duo(t) dt
uo(t) ui(t)
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y(x)
x0
x
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1. 传递函数
b mr(t)
(n m)
(a0S n a1S n1 an1S an)C(S) (b0S m b1S m1 bm1S bm)R(S)
传递函数的一般式：
G(S) C(S) b0S m b1S m1 bm1S bm R(S) a0S n a1S n1 an1S an
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传递函数G(s)=?
G(S) C(S) TS 1 R(S)
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(6) 振荡环节 RLC串联电路即为一种振荡环节。
T2
d 2c(t) dt 2
2T dc(t)
dt
c(t)
r(t)
G(S)
wn 2
s 2 2wns wn2
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(7) 延迟环节
c(t) r(t )• I(t )
G(S) e s
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课堂作业：
1.请画图各环节的零极点位置表示，求 出对应的根轨迹增益、开环比例系数
2.请求出各环节的单位阶跃响应
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（4）传递函数只描述系统的输入-输出特性，而不能表示系 统内部所有状态的特性。
（5）传递函数是复变量s的有理分式，m≤n。其分子M(s)和 分母N(s)的各项系数均为实数，由系统的参数确定。这里，分 母式中的阶次n就是传递函数的阶次，它必不小于其分子式中 的阶次m，这是因为实际的物理系统总是存在惯性，其输出决 不会超前于输入。当系统传递函数为n阶时，称为n阶系统。
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2.4 典型环节及其传递函数
(1) 比例环节 (电位器, 测速发电机)
c(t) K r(t)
G(S)
C(S) R(S)
K
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(2) 惯性环节
T dc(t) c(t) Kr(t) dt
G(S) C(S) K R(S) TS 1 T—惯性环节的时间常数。
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设有一个由弹簧、质量块和阻尼器组成的机械系统如图所示，写 出以外力Fi(t)为输入，以质量块位移 y为(t) 输出的微分方程
解: 根据牛顿第二定律可得
d 2y(t)
m 2 Fi(t) Ff (t) Fk(t) dt
Fi(t)
Ff (t) f dy(t) —阻尼器粘性阻力； dt