自动控制原理_ 控制系统的数学模型_第1学时 微分方程和传递函数_
自动控制原理01微分方程、传递函数
d 2 u o (t ) duo (t ) LC RC u o (t ) ui (t ) 2 dt dt
RLC串联电路的数学模型是一个线性定常的二阶微分方程。 总结：1、系统的阶次取决于微分方程的阶次，微分方程 的阶次取决于系统所含储能元件的个数
2、若系统设立了n个变量，需找到n-1个方程才能
性质）只适用于线性定常系统。 （2）表达输入量和输出量之间的关系，只取决于系统的结构和 参数。
（3）在系统中，当选取的输入量或输出量改变时，其传递函数
也随之改变，但分母保持不变。
d （4）传递函数的前提是零初始条件，与微分方程的关系：s dt （5）任何系统的传递函数是唯一的，但不同的系统可以有相同
2.1.2 微分方程的线性化
实际物理系统的数学模型往往存在非线性性质。当输入
量与输出量之间存在非线性时，求解非线性方程非常困难，
因此，希望在一定条件下，用线性方程代替非线性方程来解
决问题，这就是系统的线性化处理。 非线性方程的线性化处理有两种方法，一种是图像近 似法，另一种是泰勒级数展开法。 线性化的前提是 在 处的各阶导数存在。
dn d n1 d an n c(t ) an 1 n 1 c(t ) ... a1 c(t ) a0c(t ) dt dt dt
dm d m1 d bm m r (t ) bm1 m1 r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt dt dt
(x) 2 ...
x0
0
x0
x
很小时，忽略高阶无穷小项，则有：
y y0 y f ( x0 ) df ( x) dx x
x0
自动控制原理第2章
电气信息学院
任课教师: 高秀梅
1
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 微分方程 §2-2 传递函数 §2-3 动态结构图 §2-4 信号流图 §2-5 梅逊（Mason）公式 §2-6 自动控制系统的传递函数
2
一、什么是数学模型？ 二、为什么要建立数学模型？ 三、建立数学模型的方法？ 四、数学模型的形式有哪些？
2) . 比例定理： f (t ) Kf1 (t ), L[ f1 (t )] F1 (s) 若 则 st
0
L[ f (t )] Kf1 (t )e dt KF1 ( s)
1）和2）为拉氏变换的线性特性。 3). 微分定理： 若 L df (t ) df (t ) e at dt sF (s) f (0 ) dt dt 0 则
1、系统输入量： F(t) 输出量： y(t) 2、列写方程组：
F(t)
k m f y(t)
11
§2-1 微分方程
3、消去中间变量并写成标准形式：
m d y (t ) f dy ( t ) 1 y (t ) F (t ) 2 k k dt k dt
令T
2 2
2
m f 1 , , K k k 2 mk
有
T
d y (t ) dt 2
dy ( t ) 2 T y ( t ) KF ( t ) dt
12
§2-1 微分方程
例3 求下图的微分方程
i1
i1
i
i2
13
§2-1 微分方程 二、线性微分方程式的求解
工程实践中常采用拉氏变换法求解线 性常微分方程。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路：
(整理)自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型教学目的：（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。
（2）掌握传递函数的概念及求法。
（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。
（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。
（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。
（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：（1）正确理解数学模型的特点；（2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；（3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；（4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；（5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；（6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。
教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。
教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式。
的余子式k教学方法：讲授本章学时：10学时主要内容：2.0 引言2.1 动态微分方程的建立2.2 线性系统的传递函数2.3 典型环节及其传递函数2.4系统的结构图2.5 信号流图及梅逊公式2.0引言：什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。
１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
自动控制原理(第三版)第2章控制系统的数学模型(2)
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
求取该电路在单位阶跃输入时的响应。 U c ( s) 1 G( s ) T RC U r ( s ) Ts 1
ur 1( t )
方法1
U c ( s ) G( s )U r ( s )
1
U r (s)
1 s
方法2
1 (Ts 1) s
1 t 1 g (t ) 1[G ( s)] e T T t uc (t ) g (t )ur ( )d
0 1 1 ( t ) t t 1 T 1 T e d e e T d 0T 0 T t
1 uc (t ) L [ ] (Ts 1) s T 1 1 1 L ( )L ( ) s Ts 1 1 e
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
传递函数的求法
例2-1 方法一 R-L-C串联电路
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 uc ( t ) ur ( t ) 2 dt L dt LC LC传递Fra bibliotek数： G( s)
U c ( s) 1 U r ( s) LCs 2 RCs 1
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
零、极点分布图
传递函数的零、极点分 布图： 将传递函数的零、 极点表示在复平面上的 图形。
零点用“o”表示 极点用“×”表示
j
1 -3 -2
-1
s2 G( s) = ( s 3)( s 2 2s 2)
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《自动控制原理》专科课程标准
《自动控制原理》课程标准一、课程概述（一）课程性质地位自动控制原理是空间工程类、机械控制类、信息系统类等相关专业学历教育合训学员的大类技术基础课程。
由于自动控制原理在信息化武器装备中得到了广泛的应用，因此，将本课程设置为大类技术基础课，对培养懂技术的指挥人才有着十分重要的作用。
本课程所覆盖的知识面较宽，既有较深入的理论基础知识，也有较广泛的专业背景知识，因而，它在学员知识结构方面将起到加强理论深度和拓展知识广度的积极作用。
（二）课程基本理念为了贯彻素质教育和创新教育的思想，本课程将在注重自动控制原理的基本概念和基本分析与设计方法的基础上，适当引入自动控制发展中的、学员能够理解的新概念和新方法；贯彻理论联系实际的原则，科学取舍各种主要理论、方法的比例，正确处理好理论与案例的关系，以适应为部队培养应用复合型人才的需要；适当引入和利用Matlab工具来辅助自动控制原理中的复杂计算与作图、验证分析与设计的结果；本课程应该既使学员掌握必要的基础理论知识，并了解它们对实际问题的指导作用，又要促进学员养成积极思考、长于分析、善于推导的能力和习惯。
（三）课程设计思路本课程主要介绍自动控制原理的基本概念和基本的分析与设计方法。
课程采用“一纵三横”的设计思路，具体来说，“一纵”就是在课程讲授中要求贯彻自动控制系统的建模、分析及设计方法这条主线；“三横”就是在方法讲授中要求强调自动控制系统的稳定性、快速性和准确性，稳准快三个字是分析的核心，也是设计的归宿。
在课程讲授中，贯彻少而精的原则，即对重点、难点讲深讲透；注意理论联系专业实际，例子贴近生活，注重揭示抽象概念的物理意义；注意传统教法与现代教法的有机结合，充分运用各种教学手段，特别注重发挥课程教学网站的作用。
在课程学习中，注重阅读教材、完成作业、课程实验及讨论问题等四个环节，深刻理解课程内容中的重点和难点，重点掌握自动控制原理的基本概念和基本分析与设计方法。
二、课程目标（一）知识与技能通过本课程的学习，使学员掌握自动控制原理的基本概念和基本的分析与设计方法，重点培养学生利用自动控制的基本理论分析与解决工程实际问题的思维方式和初步能力，并为学习后续相关专业课程，以及进一步学习和应用自动控制方面的新知识、新技术打下必要基础。
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
《自动控制原理》第2章 自动控制系统的数学模型
2020年2月4日
EXIT
第2章第3页
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以 用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研 究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变 量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的 任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。
比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一 个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以 进行仿真研究）。
（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工 作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分 方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿 定律和热力学定律等等。
（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量） 关系的微分方程，即元件的数学模型。
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输 入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有 关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项 均按降阶顺序排列。
2020年2月4日
EXIT
第2章第24页
2.建立步骤 ① 按系统数学模型的建立方法，列出系统各个部分的微分 方程。 ② 确定系统的工作点，并分别求出工作点处各变量的工作 状态。 ③ 对存在的非线性函数，检验是否符合线性化的条件，若 符合就进行线性化处理。 ④ 将其余线性方程，按增量形式处理，其原则为：对变量 直接用增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项。 ⑤ 联立所有增量化方程，消去中间变量，最后得只含有系 统总输入和总输出增量的线性化方程。
exit2020年2月18日exit2020年2月18日2121控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立2222非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化2323传递函数传递函数2424控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换2525自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数2626信号流图信号流图2727脉冲响应函数脉冲响应函数exit2020年2月18日数学模型1
第二章 自动控制系统原理的数学模型分析
c(t ) a n1
d n1
c(t ) ... a1
d c (t ) a 0 c (t ) dt d r (t ) ... b1 r (t ) b0 r (t ) dt
在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换并整理得
C ( s) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 M ( s) G ( s) （2-25） n n 1 R( s ) N ( s) a n s a n 1 s a1 s a 0
一阶常系数线性微分方程
RC
duc uc ur dt
(2-4)
微分方程建立举例(2)
【例2-2】机械位移系统 （1）确定输入、输出量
设外作用力F (t ) 为输入量，质量 物体的位移 y (t )为输出量。
（2）建立微分方程组
根据牛顿第二定律可得:
F (t ) FB (t ) FK (t ) ma
初始条件为零，一般是指输入量在t=0时刻以后才 作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在 t≤时的值也均为零。
传递函数的一般表达式
如果系统的输入量为 r (t ) ，输出量为 c(t ) ，并 由下列微分方程描述
an
bm
dn dt n dm
dt m
dt n1 d m 1 r (t ) bm 1d m 1 dt
c (t ) 1
式中
<1时
(2-44)
1 2
e n t 1 2
4.应用实例 例2-2机械位 移系统等。
sin( d t )
，
arctan
d n 1 2
R 将 R1 1 K 、 2 1 K 代入上式得： 2 1
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理复习课(2)
和 ts ；
（1）二阶系统的标准形式为：
2 n Gk ( s) s( s 2n )
调节时间
ts 3 4
n
3 4 3s或4s ( 2%或4%） 0.5 2
4 ；则 n 2rad / s 比较上述两式， 2 n 2 则 0.5 （2）超调量 % e 100% 16%
U 0 ( s ) / Ui ( s )
。
则
U 0 ( s) R2 Ui ( s) R1 ( R2C2 s 1)
或无源网络：RC,RL及RLC等。（如作业）质量-弹簧-阻尼 、液位平衡等系统。
例2-2：简化图示系统的结构图，并求出传递函数 C(s) / R(s) 。 解：结构图经等效变换为下图：
自动控制原理复习课
二、控制系统的数学模型
1.微分方程、传递函数、差分方程频率特性 2.结构图、信号流图 电学、力学等。 熟悉典型环节的传递函数。
例2-1：求下图所示系统的传递函数 解：对于理想放大器
Ui ( s) 0 0 U 0 ( s) R1 z 其中z R2 1 R2C2 s
C ( s)
R( s )
-
2 n s( s 2 n )
C ( s)
kt s
1 kt s
n 2 ( s) s( s 2n )
与典型二阶系统的标准形式
n 2 (1 kt s) n 2 1 s( s 2 ) s 2 2( k / 2) s 2 n t n n n
10 K
所以在K=1时，系统的稳态误差为 ess ess1 ess 2 0.05
自动控制原理笔记
第一章绪论第一节引言1.自动控制学科由自动控制技术和自动控制理论两部分组成。
2.自动控制理论分为经典控制理论和现代控制理论两大部分。
经典控制理论也就是自动控制原理。
第二节自动控制的基本概念1.开环控制系统：系统的输出端和输入端不存在反馈回路。
2.闭环控制系统：反馈回路使系统构成闭环，并按偏差的性质产生控制作用，以减少或消除偏差的控制系统。
第三节自动控制系统的组成1.系统：由被控对象和自动控制装置按一定的方式连结起来，以完成某种自动控制任务的有机整体。
第二章自动控制系统的数学模型第一节控制系统微分方程的编写1.线性元件的微分方程2.非线性微分方程的线性化第二节传递函数1.传递函数：线性系统（或元件）在初始条件为0时，输出量的拉氏变化与输入量的拉氏变化之比称为该系统的传递函数，记为G（s）。
2.在零初始条件下，电路中的复数阻抗和电流、电压的相量及其拉氏变换之间的关系应满足各种电路定律。
3.一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系，若输入量、输出量多于一个，则传递函数不止一个。
对于多输入、多输出的系统，显然不能用某一个传递函数来描述各变量间的关系，而要用现代控制理论中的传递矩阵来表示。
第三节控制系统的结构图及其等效变换第三章自动控制系统的时域分析第一节1.系统稳定的充分必要条件：特征方程的全部系数都是正数，并且劳斯表第一列元素都是正数。
2.由开环传递函数得到闭环系统的传递函数。
3.相对稳定性。
劳斯判定的是绝对稳定性。
4.结构不稳定系统的改进措施：改变积分环节性质和引入比例-微分环节。
第二节典型输入信号和阶跃响应性能指标1.时间响应等于瞬态响应与稳态响应的和。
2.研究自动控制系统在典型输入信号作用下输出信号随时间的变化，称为自动控制系统的时域分析。
3.根据响应曲线的特征值，比较不同系统的动态性能。
第三节1.一阶系统的动态性能指标：调节时间，无超调量、峰值时间、上升时间和振荡次数。
第四节1.系统的阻尼系数和系统的无阻尼振荡角频率决定了二阶系统的瞬态响应特征，被称为二阶系统的特征参数。
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
自动控制原理第2章
第三节 传递函数
4．微分环节
理想微分环节数学模型： C(s) dr(t) G(s) = R(s) = Ts c (t) = T dt T — 微分时间常数
R(S) C(S) Ts
微分环节方框图
单位阶跃响应函数： c(t) =Tδ(t)
第三节 传递函数
单位阶跃响应曲线
r(t) c(t)
c(t)
0
r(t)
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型
第一节 控制系统的微分方程 第二节 数学模型的线性化 第三节 传递函数 第四节 动态结构图
第五节 反馈控制系统的传递函数
第二章 自动控制系统的数学模型
第一节 控制系统的微分方程
一、建立微分方程的一般步骤
二、常见环节和系统的微分 方程的建立
三、 线性微分方程式的求解
1
r(t) t
c(t)
0
由于微分环节的输出量反映输入量的变化，而不反 映输入本身的大小，有些场合不能单独使用，故常用 比例微分环节。 C(s) 其传递函数： = K (Ts + 1) G(s) =
R(s)
比例微分环节的单位阶跃响应：
c(t) r(t)
c(t) = KTδ(t) +K = K [Tδ(t) + 1]
c(t) = e –t sin t= 0 r(t) =δ(t), c(0) = c'(0)
第一节 控制系统的微分方程
输出响应曲线
r(t) c(t)
0
r(t)
c(t)
t
第二章 自动控制系统的数学模型
第二节 数学模型的线性化(自学)
绝大多数物理系统在参数某些范围 内呈现出线性特性。当参数范围不加限 制时，所有的物理系统都是非线性的。 对每个系统都应研究其线性特性和相 应的线性工作范围。
《自动控制原理》课程标准
《自动控制原理》课程标准第一部分课程概述一、课程名称中文名称：《自动控制原理》英文名称：《Automatic control theory》二、学时与适用对象课程总计72学时，其中理论课62学时，实验10学时。
本标准适用于三年制专科机械工程专业。
三、课程地位、性质《自动控制原理》是研究自动控制共同规律的技术科学，是工科高等院校电类、控制类、机械类等专业的一门主干技术基础课程。
该课程的开设重在使学生掌握与自动控制原理相关的专业知识和综合应用能力，培养解决自动控制系统调试与维护方面实际问题的能力。
掌握和了解自动控制的基本理论和方法，对从事机械工程专业的工程技术人员是很有必要的。
四、课程基本理念本课程的教学应把握以下几点基本原则：一是增加对前沿和最具特色机械装备研发、使用、推广等背景知识的介绍，激发学员对该课程的探索兴趣；二是突出从理工类专业的角度理解设备运行原理和设计思路的方法，向学员强调学好这门课必须具备数学、电子学、计算机软硬件方面坚实的知识基础，重在自动控制系统的分析与改进，体现有别于理工院校自动控制课程的强调理论探索、侧重系统设计及实现等的教学模式；三是鼓励学员查询相关资料、书籍，不要满足于仅仅了解系统原理的简单程度，强化学员的自学能力，培养获取并运用信息的能力，为今后从事机械装备的创新型革新及研制打好基础；四是注重与学员的交流、并积极引导学员之间的相互交流，培养良好协作的团队精神。
五、课程设计思路在本课程开设之前，学员已经具备了多门课程的先导知识。
在教学过程中，鼓励学员学习和使用MATLAB软件，对于课堂作业，通过MATLAB进行验证。
讲授中应力争多介绍自动化领域前沿成果，拓展学员的知识面，启发解决问题的思路。
在总结教学经验和研究成果的基础上，对课程目标分别从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面进行具体明确的阐述。
1．依据课程特点，设计教学思路自动控制原理是研究在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器，设备或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（即被控制量）自动地按照预定的规律运行的原理及技术，数学基础要求较高，理论性很强。
自动控制原理(第二版)(赵四化)章 (2)
第2章 控制系统的数学模型 图2-3 直流电动机系统
第2章 控制系统的数学模型
(2) 建立输入、 输出量的动态联系。
在他励直流电动机系统中有机械运动及电磁 运动， 二者之间还存在耦合。 根据几种关系建立的输 入、 输出量的动态联系为
机械运动：
J d f M
dt
（2-7）
电磁运动:
u
Ea
La
dIa dt
图中， A点为工作点， y0=f(x0)。 x、 y在 工作点附近做小范围增量变化， 即当x=x0+Δx 时， 有 y=y0+Δy。 则函数y=f(x)在工作点附近可以展开成泰勒 级数：
y
f
(x0 )
f
(x0)x
1 2!
f
(x0 )x2
（2-13）
第2章 控制系统的数学模型
当Δx很小时， 可以忽略上式的高次项 ， 则式(2-13)可以改写为
Ra Ia
（2-8）
第2章 控制系统的数学模型
机电之间的耦合关系：
Ea=CeΩ
（2-９）
M=CmIa
（2-10）
其中， Ce为电动机电势常数； Cm为电动机力矩常数。
第2章 控制系统的数学模型
(3) 消去中间变量， 得到系统的数学模型。 消去中间变量Ea、 Ia和M, 得
La CeCm
d 2
dt2
第2章 控制系统的数学模型
G(s) Uo(s) 1 Ui (s) Ts 1
（2-23）
这一关系可以用图2-6所示的方框图表示， 输入信号经过G(s)动态传递到输出， 故称G(s)为RC电路 的传递函数。
第2章 控制系统的数学模型 图2-6 RC电路方框图
《自动控制原理》第2章自动控制系统的数学模型
dt
t 0
[
d
nf dt
(t
n
)
]
snF(s)
sn1
f
(0)
sn2
f
(1) (0)...
f
(n1) (0)
定理4 积分定理
2021年2月
t
[
f ( )d ] F (s)
0
s
自动控制原理
定理6 初值定理
设F(s)为f(t)的拉氏变换，且
lim
s
sF
(s)
存在
lim f (t) lim sF(s)
实验求取
2021年2月
自动控制原理
例2－1试列写图2-1所示电路
输入量 u r (t) 与输出量 u c (t) 的微分方程。
1. 确定输入、输出量 2. 列写与输入、输出有
关的微分方程
L
di(t) dt
Ri(t)
u
c
(t)
u
r
(t)
i(t) C du c (t)
dt
3. 消去中间变量
LC
d
2u c (t) dt 2
G(s) Ks1 Ks2 ... Ksn
s s1 s s2
s sn
且
Ks1 [(s
….
si )G(s)]ss1
(s2
Q( s1 ) s1)(s3 s1)...(sn
s1)
2021年2月
自动控制原理
例：已知函数
1 设因式展开为 G(s) s(s 1)3 (s 2)
G(s) K1 K2 K3 K4 K5 s s 2 s 1 (s 1)2 (s 1)3
u(c’t)
+
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4
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2 ×3 ×4
（1）传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得 到的，因此，传递函数的概念只能用于线性定常系统，且其量 纲由输入量和输出量决定；
（2）传递函数是零初始条件下定义的，利用传递函数求系统 的响应是零状态响应；
（3）不同的物理系统可以有同样的传递函数，正如一些不同 的物理现象可以用形式相同的微分方程描述一样。故传递函 数不能反映系统的物理结构。
Fk(t) ky(t) —弹簧的弹性力
f
k
m
y(t)
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由电阻,电容和电感组成的无源网络，写出以ui
为输入， uo为输出的微分方程.
LC d 2uo(t) dt 2
RC duo(t) dt
uo(t) ui(t)
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y(x)
x0
x
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1. 传递函数
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（4）传递函数只描述系统的输入-输出特性，而不能表示系 统内部所有状态的特性。
（5）传递函数是复变量s的有理分式，m≤n。其分子M(s)和 分母N(s)的各项系数均为实数，由系统的参数确定。这里，分 母式中的阶次n就是传递函数的阶次，它必不小于其分子式中 的阶次m，这是因为实际的物理系统总是存在惯性，其输出决 不会超前于输入。当系统传递函数为n阶时，称为n阶系统。
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(3) 积分环节
c(t) r(t)d(t)
G(S) C(S) 1 R(S) TS
T—积分时间常数。
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(4) 微分环节
c(t) T dr(t) dt
G(S) C(S) TS R(S)
T—微分时间常数。
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(5) 一阶微分环节
c(t) T dr(t) r(t) dt
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2.4 典型环节及其传递函数
(1) 比例环节 (电位器, 测速发电机)
c(t) K r(t)
G(S)
C(S) R(S)
K
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(2) 惯性环节
T dc(t) c(t) Kr(t) dt
G(S) C(S) K R(S) TS 1 T—惯性环节的时间常数。
第1学时 微分方程与传递函数
主讲人： 袁丽丽 电力工程学院
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1
思考题： 1.什么是自动控制系统？有哪三种基本 控制方式？ 2.控制系统的组成？
3.自动控制系统的基本要求
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内容提要： 1.控制系统的数学模型 2.微分方程的建立 3.线性系统的传递函数 4.典型环节及其传递函数
LC d 2uo(t) dt 2
RC duo(t) dt
uo(t) ui(t)
•
uc(0) 0, uc 0 输出响应 U C (S) ?
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G(S) 2S 4 S 2 7S 12
G(S) 2(S 2) (S 3)(S 4)
G(S) 1
( 1 S 1) 2
3 (1 S 11)( S 1)
在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换
和输入量的拉氏变换之比。
R(s)
C(s)
G (s)
C(S) G(S)• R(S)
a 0
d nc(t) dt n
d n1c(t) a
1 dt n1
a n1
dc(t) dt
anc(t)
b 0
d mr(t) dt m
b d m1r(t) 1 dt m1
b m1
dr(t) dt
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2.1 控制系统的数学模型
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• 分析法就是根据描述系统运动规律的物理或 化学等定律来列写相应的运动方程。
• 实验法是基于系统输入输出的实验数据，并 用适当的数学模型去逼近。这种方法称为系 统辩识
• 系统的数学模型有多种，如时域中的微分方 程、差分方程和状态方程；复域中的传递函
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设有一个由弹簧、质量块和阻尼器组成的机械系统如图所示，写 出以外力Fi(t)为输入，以质量块位移 y为(t) 输出的微分方程
解: 根据牛顿第二定律可得
d 2y(t)
m 2 Fi(t) Ff (t) Fk(t) dt
Fi(t)
Ff (t) f dy(t) —阻尼器粘性阻力； dt
G(S) C(S) TS 1 R(S)
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(6) 振荡环节 RLC串联电路即为一种振荡环节。
T2
d 2c(t) dt 2
2T dc(t)
dt
c(t)
r(t)
G(S)
wn 2
s 2 2wns wn2
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(7) 延迟环节
c(t) r(t )• I(t )
G(S) e 画图各环节的零极点位置表示，求 出对应的根轨迹增益、开环比例系数
2.请求出各环节的单位阶跃响应
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b mr(t)
(n m)
(a0S n a1S n1 an1S an)C(S) (b0S m b1S m1 bm1S bm)R(S)
传递函数的一般式：
G(S) C(S) b0S m b1S m1 bm1S bm R(S) a0S n a1S n1 an1S an
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传递函数G(s)=?
数、结构图；频域中的频率特性等。
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a 0
d nc(t) dtn
d n1c(t) a1 dt n1
a dc(t) n 1 dt
an c(t)
b0
d mr(t) dt m
d m1r(t) b 1 dt m1
b m 1
dr(t) dt
b mr(t)
(n m)
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