2018年河南省高考数学二模试卷
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷及参考答案(文科)
）
A ．[0， 3]
B ．[1， 2]
C． [0， 3）
D． [1， 3]
2．（ 5 分）已知复数 z＝
，则 z 的共轭复数为（
）
A ．1+i
B ．1﹣ i
C． 2+2 i
3．（ 5 分）命题“ ? x∈[1，2]， x2﹣ 3x+2≤0”的否定是（
）
A ．? x∈[1 ， 2] ， x2﹣3x+2＞ 0
值． [选修 4-5：不等式选讲 ] 23．已知函数 f（ x）＝ |2x﹣ a|+|x﹣ 1|， a∈R． （Ⅰ）若不等式 f（ x） +|x﹣1|≥ 2 对 ? x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）当 a＜ 2 时，函数 f（ x）的最小值为 a﹣1，求实数 a 的值．
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且三条边所在直线的斜率分别为 k1、k2、 k3，且 k1、 k2、 k3 均不为 0． O 为坐标原点，若
直线 OD、 OE、 OM 的斜率之和为 1．则
＝
．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.）
17．（ 12 分）各项均为正数的等比数列 { an} 中， a1＝ 8，且 2a1，a3， 3a2 成等差数列． （Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式；
由
，解得 A（ 1， 3）．
代入目标函数 z＝ x﹣ 2y 得 z＝ 1﹣ 6＝﹣ 5， ∴目标函数 z＝ x﹣ 2y 的最小值是﹣ 5， 故选： C．
D．﹣ 6
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9．（ 5 分）已知 y＝ f（x）满足 f（ x+1 ）+f（ ﹣ x+1）＝ 2，则以下四个选项一定正确的是 （ ）
河南省豫北重点中学2018年高考数学二模试卷理科 含解
2018年河南省豫北重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模等于（）A．B．C．D．2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．24．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．9 C．10 D．115．某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号1，2，…，800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A，编号落入区间[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．286．下列命题正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2≤0”B．“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的充分不必要条件C．∃m∈R，使f（x）=mx是幂函数，且函数f（x）在（0，+∞）上单调递增D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为27．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．5πD．9．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当x∈[﹣，0]时，f（x）的最大值和单调增区间分别为（）A．1，[﹣，﹣]B．1，[﹣，﹣]C．，[﹣，0]D．，[﹣，0]10．实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（）A．[﹣3，1] B．[﹣1，3] C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]11．已知直线2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆（x﹣3）2+（y+6）2=25相交于A，B两点，当弦AB 最短时，m的值为（）A．﹣B．﹣6 C．6 D．12．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1， +2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是______．14．已知平面向量，，，满足||=||=|﹣|=|+﹣|=1，则||的最大值为M=______．15．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）的值为______．16．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3，数列{}的前n项和T n，若T n＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．18．深圳市于2018年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为+y2=1．（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．21．设函数f（x）=lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xe1﹣x，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交线段BC于点E，BE=3AD．（1）求证：AB=3AC；（2）当AC=4，AD=3时，求CD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=0时，曲线C1上对应的点为P，以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）求证：曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．2018年河南省豫北重点中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模等于（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，又根据为纯虚数，列出方程组，求解即可得a的值，然后代入复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：==，∵为纯虚数，∴，解得：a=1．复数z=（2a+1）+i=，则．故选：D．2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}={x|（2x+1）（x﹣1）≤0}={x|﹣≤x≤1}=[﹣，1]，集合B={x|y=}={x|}={x|}=（0，1）∪（1，+∞），∴A∩B=（0，1）．故选：A．3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合直线平行的关系，建立斜率关系，利用离心率的定义进行转化求解即可．【解答】解：双曲线的焦点在x轴，则双曲线的渐近线方程为y=±x，直线x﹣y+4=0的斜截式方程为y=x+4，∵双曲线渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则=，即b=a，平方得b2=3a2=c2﹣a2，即c2=4a2，则c=2a，即离心率e==2．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i，p的值，当i=4时，不满足条件i≤3，退出循环，输出s的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，p=1，s=0满足条件i≤3，s=1，i=2，p=3满足条件i≤3，s=4，i=3，p=6满足条件i≤3，s=10，i=4，p=10不满足条件i≤3，退出循环，输出s的值为10．故选：C．5．某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号1，2，…，800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A，编号落入区间[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（）A．10 B．12 C．18 D．28【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=20n﹣2，由561≤20n﹣2≤800，求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：∵800÷40=20，∴由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=18+20（n﹣1）=20n﹣2．落入区间[561，800]的人做问卷C，由561≤20n﹣2≤800，即563≤20n≤818解得28≤n≤40．再由n为正整数可得29≤n≤40，∴做问卷C的人数为40﹣29+1=12，故选：B．6．下列命题正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2≤0”B．“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的充分不必要条件C．∃m∈R，使f（x）=mx是幂函数，且函数f（x）在（0，+∞）上单调递增D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为2【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可，B．根据复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断，C．根据幂函数的定义先求出m，然后结合幂函数的性质进行判断，D．根据数据方差之间的关系进行判断即可．【解答】解：A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2＜0”，故A错误，B．当p真q假时，满足命题p∨q为真命题，但命题p∧q为假命题，则充分性不成立，故B错误，C．若f（x）=mx是幂函数，则m=1，此时f（x）=x3，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，故C正确，D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为4，故D错误，故选：C7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升【考点】等差数列的性质．【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，把d=代入①得：a1=，则a5=+（5﹣1）=．故选B8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．5πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个组合体，包括三部分，左侧是半圆锥，中间是圆柱，右侧的半球，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图知几何体是一个组合体，包括三部分，左侧是半圆锥，中间是圆柱，右侧为半球，左侧是半圆锥，高为1，底面半径为1，体积为：=．中间是圆柱，底面半径为1，高为2，体积为：12π×2=2π，右侧的半球，半径为1，体积为：=．∴几何体的体积是：．故选：A．9．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当x∈[﹣，0]时，f（x）的最大值和单调增区间分别为（）A．1，[﹣，﹣]B．1，[﹣，﹣]C．，[﹣，0]D．，[﹣，0]【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简可得函数解析式f（x）=2sin（ωx﹣），由题意可求周期T，利用周期公式可求ω，由x∈[﹣，0]，可得2x﹣∈[﹣，﹣]，利用正弦函数的图象和性质即可求f（x）的最大值，单调增区间．【解答】解：∵f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣）的图象的相邻两对称轴间的距离为，∴周期T=π=，解得：ω=2，∴f（x）=2sin（2x﹣），∵x∈[﹣，0]时，2x﹣∈[﹣，﹣]，∴利用正弦函数的图象和性质可得f（x）的最大值为．单调增区间为：[﹣，0]．故选：D．10．实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（）A．[﹣3，1] B．[﹣1，3] C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步分目标函数z=ax+y的最大值为a+3，构造一个关于a 的不等式，解不等式即可求出a的范围．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域：∵z=ax+y，A（0，1），∴z A=1；解方程组，得B（2，3），∴z B=2a+3；C（3，0），∴z C=3a．∵线性目标函数z=ax+y的最大值为2a+3，∴，解得﹣1≤a≤3．故选：B．11．已知直线2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆（x﹣3）2+（y+6）2=25相交于A，B两点，当弦AB 最短时，m的值为（）A．﹣B．﹣6 C．6 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线过定点，根据直线和圆相交的性质确定线段AB最短时的等价条件即可求出直线斜率，求出m值．【解答】解：将直线l变形得：2m（x﹣4）+（y+3）=0，由得，即直线L恒过A（4，﹣3），将圆C化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+6）2=25，∴圆心C为（3，﹣6），半径r=5，∵点A到圆心C的距离d==＜5=r，∴点A在圆内，则L与C总相交；若线段AB最短，则满足CA⊥L，∵直径AC所在直线方程的斜率为=3，∴此时l的斜率为﹣，可得2m=，解得m=故选：A．12．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1， +2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是﹣192．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2项的系数．【解答】解：由题意可得：的展开式的通项为=（﹣1）r26﹣r C6r x3﹣r令3﹣r=2得r=1故展开式中x2项的系数是T2=﹣25C61=﹣192．故答案为：﹣192．14．已知平面向量，，，满足||=||=|﹣|=|+﹣|=1，则||的最大值为M=+1．【考点】向量的模．【分析】由题意，设=，=，根据||=||=|﹣|=1，可得△ABC是等边三角形．设=，=，则E在以D为圆心的单位圆上，如图，即可得出．【解答】解：由题意，设=，=，∵||=||=|﹣|=1，则△ABC是等边三角形，设=，=，则E在以D为圆心的单位圆上，如图∴的最大值为M=+1=+1，故答案为：．15．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）的值为．【考点】函数的值．【分析】f（x+1）是周期为2的奇函数，可得f（x）为周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）．由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x），即可得出．【解答】解：∵f（x+1）是周期为2的奇函数，∴f（x）为周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）．由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x），故f（﹣）=f（）=﹣f（）=﹣f（﹣），而﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），∴f（﹣）=﹣2××=，∴f（﹣）=．故答案为：．16．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3，数列{}的前n项和T n，若T n＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值为10．【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出{a n}以及{b n}和{}的通项公式，利用错位相减法进行求和，利用不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．得，解得∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．则=，T n=3+++…+，所以T n=+++…++，两式作差得T n=3+++++…+﹣=3+（1+++…+）﹣=3+﹣=3+2﹣2•（）n﹣1﹣，即T n=10﹣（）n﹣3﹣＜10，由T n＜M对一切正整数n都成立，∴M≥10，故M的最小值为10，故答案为：10三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB≠0，可求，结合A为内角即可求得A的值．（Ⅱ）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B﹣）﹣1，由可求B﹣的范围，从而可求，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，又A亦为三角形内角，因此，．…（Ⅱ）∵，=，=，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为．…18．深圳市于2018年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）求出每个人被抽到的概率为P==，按比例求解得出各种意向人数；（2）运用：选出的10个人中随机抽取4人总共有=210，其中恰有2人有竞价申请意向的有：=90，根据古典概率求解即可．（3）在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p==，判断出此问为二项分B（4，），运用几何分布求解即可．【解答】解：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，∵从30至50岁的有500人，∴每个人被抽到的概率为P==，根据题意得出：电动小汽车，摇号的有50×=1，非电动小汽车，摇号的有150×=3，竞价的有300×=6，（2）设电动小汽车，摇号的为a1，非电动小汽车，摇号的为b1，b2，b3；竞价的为：c1，c2，c3，c4，c5，c6，∵选出的10个人中随机抽取4人总共有=210，其中恰有2人有竞价申请意向的有：=90，∴其中恰有2人有竞价申请意向的概率为：P==．（3）根据题意得出：样本总人数1000人电动小汽车，摇号的有200人，非电动小汽车，摇号的有400人，竞价的有400，总共有1000人，用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p==，服从二项分布B（4，），摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ=0，1，2，3，4∴P（ξ=0）=×（）0×（）4=．P（ξ=1）=××（）3=．P（ξ=2）=×（）2×（）2=．P（ξ=3）=×（）3×（）=．P（ξ=4）=×（）4×（）0=．E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=．19．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）通过已知条件易得=、∠DAB=∠DAA1，利用=0即得A1B⊥AD；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．【解答】（Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B⊥AD；（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO⊥平面ABB1A1．因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a，，所以=a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），B1（0，a，0），D（0，0，a），所以==（﹣a，a，0）．由可得C（a，a，a），所以=（a，a，﹣a），设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由•=•=0，得，取y0=1，则x0=，z0=，所以=（，1，）．又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a），所以===，故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为+y2=1．（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），该弦中点为（x，y），利用平方差法即可求出该直径的共轭直径所在的直线方程．（2）椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，设与AB平行的弦的端点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），表示出斜率，点的坐标代入椭圆方程，利用平方差法求出斜率关系，然后求出A ，B ，C ，D 坐标，设点C 到直线AB 的距离为d ，求出距离的表达式，即可求解四边形ACBD 的面积是否是定值．【解答】解：（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），该弦中点为（x ，y ），则有，，相减得：，由于，，且，所以得：3x +4y=0，故该直径的共轭直径所在的直线方程为3x +4y=0．（2）椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为k 1，k 2， 四边形ACBD 显然为平行四边形，设与AB 平行的弦的端点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，，而，，，故，由得A ，B 的坐标分别为，故，同理C ，D 的坐标分别为，设点C 到直线AB 的距离为d ，四边形ACBD 的面积为S ，所以，，则==8=4．为定值．21．设函数f（x）=lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xe1﹣x，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）首先确定定义域，再由导函数的正负确定原函数的单调区间（2）由f（x）和g（x）的单调性，通过讨论临界值x1的范围，分情况讨论各自可能的情形，中间需要构造新的函数h（x），再求导的过程．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）f′（x）=﹣2x+a=令f′（x）=0 得：x1=，x2=（舍去）∴当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，）上单调递增当x∈（x1）+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（，+∞）上单调递减∴函数f（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）．（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在区间（0，1）上单调递增当x∈（1，e）时，g′（x）＜0，函数g（x）在区间[1，e]上单调递减而g（0）﹣1=﹣1，g（1）﹣1=0，g（e）﹣1=e2﹣e﹣1∈（﹣1，0）∴当x∈（0，e]时，g（x）∈（﹣1，0]由（1）知，f′（x）=且f′（x）=0在定义域内只有一个根：x1=①若x1≥e，则f′（x）在区间（0，e]内无解，∴函数f（x）在区间（0，e]是上单调函数显然f（x）+1=g（x0）至多有一个根，不符合题意．②若x1＜e，则函数f（x）在区间（0，x1）上单调递增，在区间（x1，+∞）上单调递减由题意，对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]有两个不同的根∴f（x1）＞0，且f（e）≤﹣1由f（e）≤﹣1，得ae﹣e2+lne≤﹣1解得：a≤e﹣∵x1是方程﹣2x2+ax+1=0的根∴﹣2+ax1+1=0，即a=2x1﹣故由f（x1）＞0，得ax1﹣+lnx1＞0得（2x1﹣）x1﹣+lnx1＞0整理得：﹣1+lnx1＞0设h（x）=x2﹣1+lnx，x∈（0，e），则h′（x）=2x+＞0∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增而h（1）=1﹣1+ln1=0∴不等式﹣1+lnx1＞0的解为1＜x1＜e又函数y=2x﹣在（1，e）上单调递增∴1=2×1﹣1＜a=2x1﹣＜2e﹣显然e﹣＜2e﹣∴1＜a≤e﹣故实数a的取值范围为（1，e﹣]请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交线段BC于点E，BE=3AD．（1）求证：AB=3AC；（2）当AC=4，AD=3时，求CD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明△BDE∽△BCA，则，利用三角形的角平分线的性质，结合条件，得出AB=3AC；（2）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC﹣BE=3，证明DE∥AC，在等腰梯形ACED中，求得CD的长．【解答】（1）证明：因为四边形ACED为圆内接四边形，所以∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，所以△BDE∽△BCA，则，在圆内接四边形ACED中，CD是∠ACE的平分线，所以DE=AD，，而BE=3AD，所以BA=3CA，即AB=3AC．（2）解：由（1）得AB=3AC=12，而AD=3，所以DE=3，BD=9，BE=3AD=9，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC﹣BE=3，在圆内接四边形ACED中，由于AD=EC，所以∠ACD=∠EDC，DE∥AC，在等腰梯形ACED中，求得．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=0时，曲线C1上对应的点为P，以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）求证：曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（t为参数），得直角坐标方程，从而可得极坐标方程；（Ⅱ）当t=0时，得P（0，﹣1），由（Ⅰ）知曲线C1是经过P的直线，可曲线C1的参数方程，由，可得曲线C2的直角坐标方程，再代入x、y得21T2﹣30T﹣50=0，由韦达定理可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：∵曲线C1的参数方程为（t为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为3x﹣4y﹣4=0，所以曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；（Ⅱ）解：当t=0时，x=0，y=﹣1，所以P（0，﹣1），由（Ⅰ）知：曲线C1是经过P的直线，设它的倾斜角为α，则tanα=，从而，cos，所以曲线C1的参数方程为，T为参数，∵，∴ρ2（3+sin2θ）=12，所以曲线C2的直角坐标方程为3x2+4y2=12，将，代入3x2+4y2=12，得21T2﹣30T﹣50=0，所以|PA|•|PB|=|T1T2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x ≤﹣3，即为x≤﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．综上可得，x≥1或x≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，则2（a+b）＜ab+4．2018年9月14日。
2018年河南省信阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年河南省信阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N＝R B．M∪（∁R N）＝R C．N∪（∁R M）＝R D．M∩N＝M 2．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱3．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1+i；p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题为（）A．p1，p2B．p2，p4C．p2，p3D．p3，p44．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）5．（5分）若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）6．（5分）的展开式的常数项是（）A．5B．﹣10C．﹣32D．﹣427．（5分）某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的平均数是20，则+的最小值为（）A．1B．C．2D．8．（5分）若输出的S的值等于22，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＞5B．i＞6C．i＞7D．i＞89．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若＝，则直线l的倾斜角θ（0＜θ＜）等于（）A．B．C．D．11．（5分）设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则的大小关系不可能是（）A．B．＝＝C．D．12．（5分）如图，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形ABCD的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为（）A．3B．3C．5D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝1，|2﹣|＝，则||＝．14．（5分）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是．15．（5分）过双曲线的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，AB＝1，∠D＝150°，则四边形ABCD 面积的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足：（a+b+c）（sin B+sin C ﹣sin A）＝b sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设a＝，S为△ABC的面积，求S+cos B cos C的最大值．18．（12分）为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X，求X的数学期望E（X）．参考公式：k2＝（n＝a+b+c+d）．附表：19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a 1＝2，2S n＝（n+1）2a n ﹣n2a n+1，数列{b n}满足b1＝a1，nb n+1＝a n b n．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足c n＝a n+b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知直线l与椭圆C：+＝1（a＞b＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，又＝（ax1，by1），＝（ax2，by2），若⊥且椭圆的离心率e＝，又椭圆经过点（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）试问△AOB的面积是否为定值？21．（12分）已知函数f（x）＝4x2+﹣a，g（x）＝f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x＝1是函数y＝xf（x）的一个极值点，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3＝0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离的最大值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣5|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）解不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0．2018年河南省信阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N＝R B．M∪（∁R N）＝R C．N∪（∁R M）＝R D．M∩N＝M【解答】解：N＝{x|0＜x＜1}；∴M∪N＝{x|x＜2}，∁R N＝{x|x≤0，或x≥1}，M∪（∁R N}＝R．故选：B．2．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，则a﹣2d＝a﹣2×＝．故选：B．3．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1+i；p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题为（）A．p1，p2B．p2，p4C．p2，p3D．p3，p4【解答】解：复数z＝＝＝﹣1﹣i．∴|z|＝，z2＝2i，＝﹣1+i，z的虚部为﹣1．因此只有p2，p4是真命题．故选：B．4．（5分）已知定义在R上的函数f（x）＝ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax3+x2+ax+1，其导数f′（x）＝ax2+2x+a，若函数f（x）＝ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间，则f′（x）＝ax2+2x+a＝0有2个零点，则有△＝4﹣4a2＞0，且a≠0，解可得：﹣1＜a＜1，且a≠0，即实数a的取值范围是（﹣1，0，（0，1）；故选：D．5．（5分）若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解答】，解：根据题意，偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，则其在[0，+∞）上为增函数，又由f（3）＝0，则f（﹣3）＝0，由图象知当x＜﹣3或x＞3时，f（x）＞0；当﹣3＜x＜3时，f（x）＜0，（x﹣1）f（x）＞0等价为或，即或，得x＞3或﹣3＜x＜1综合可得：不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（﹣3，1）∪（3，+∞）；故选：A．6．（5分）的展开式的常数项是（）A．5B．﹣10C．﹣32D．﹣42【解答】解：由于的通项为，故的展开式的常数项是+（﹣2）5＝﹣42，故选：D．7．（5分）某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的平均数是20，则+的最小值为（）A．1B．C．2D．【解答】解：根据茎叶图知，这组数据的平均数是[12+13+15+19+17+23+（20+a）+25+28+（20+b）]＝20，∴a+b＝8，∴+＝（+）（a+b）＝（1+9++）≥（10+2）＝2，当且仅当b＝3a＝6时取“＝”，∴+的最小值为2．故选：C．8．（5分）若输出的S的值等于22，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＞5B．i＞6C．i＞7D．i＞8【解答】解：S＝1+1＝2，i＝2，不满足条件，执行循环；S＝2+2＝4，i＝3，不满足条件，执行循环；S＝4+3＝7，i＝4，不满足条件，执行循环；S＝7+4＝11，i＝5，不满足条件，执行循环；S＝11+5＝16，i＝6，不满足条件，执行循环；S＝16+6＝22，i＝7，满足条件，退出循环体，输出S＝22故判定框中应填i＞6或i≥7故选：B．9．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：＝，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选：C．10．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若＝，则直线l的倾斜角θ（0＜θ＜）等于（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：由题意可得直线AB的斜率k存在设A（x1，y1）B（x2，y2），F（1，0）则可得直线AB的方程为y＝k（x﹣1）联立方程，整理可得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0∴x1+x2＝，x1x2＝1∴x2﹣x1＝＝，∵＝﹣＝＝＝，∴解得：k＝或k＝﹣，∵0＜θ＜，∴k＝，∴θ＝，故选B．方法二：由抛物线的焦点弦性质，+＝＝1，由＝，解得：|AF|＝，|BF|＝4，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝＝＝，解得：sinα＝，∵θ＝，故选：B．11．（5分）设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则的大小关系不可能是（）A．B．＝＝C．D．【解答】解：x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＝k＞0，可得：x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1．∴＝2k﹣1，＝3k﹣1，＝5k﹣1，①若0＜k＜1，则函数f（x）＝x k﹣1单调递减，∴＞＞；②若k＝1，则函数f（x）＝x k﹣1＝1，∴＝＝；③若1＜k，则函数f（x）＝x k﹣1单调递增，∴＜＜．∴的大小关系不可能是D．因此A，B，C，正确；D错误．故选：D．12．（5分）如图，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形ABCD的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为（）A．3B．3C．5D．5【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD＝θ，θ∈．OE＝2cosθ，DE＝2sinθ．可得CD＝2OE＝4cosθ，∴梯形ABCD的面积S＝（4+4cosθ）•2sinθ＝4sinθ（1+cosθ），S′＝4（cosθ+cos2θ﹣sin2θ）＝4（2cos2θ+cosθ﹣1）＝4（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．∵θ∈．∴cosθ∈（0，1）．∴当cosθ＝即θ＝时，S取得最大值，S＝3．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||＝1，|2﹣|＝，则||＝1．【解答】解：∵向量，的夹角为60°，||＝1，|2﹣|＝，∴|2﹣|2＝＝3，解得：＝1．故答案为：114．（5分）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲种肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨．如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是30万元．【解答】解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：再设分别生产甲、乙两种肥料各x、y车皮产生的利润为z＝10000x+5000y＝5000（2x+y），由得两直线的交点M（2，2）．令t＝2x+y，当直线L：y＝﹣2x+t经过点M（2，2）时，它在y轴上的截距有最大值为6，此时z＝30000．故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30万元．故答案为：30万元．15．（5分）过双曲线的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2＝4cx，所以F'为抛物线的焦点O为FF'的中点，E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，那么OE∥PF'因为OE＝a那么PF'＝2a又PF'⊥PF，FF'＝2c所以PF＝2b设P（x，y）x+c＝2ax＝2a﹣c过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2＝4b24c（2a﹣c）+4a2＝4（c2﹣a2）得e＝．故答案为：．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，AB＝1，∠D＝150°，则四边形ABCD面积的取值范围是（，）．【解答】解：平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，∴∠C＝90°；延长AD、BC相交于点O，则△OAB为等边三角形，如图（1）所示；此时△AOB的面积为×1×1×sin60°＝；当A，D重合时，AC⊥BC，∠B＝60°，如图（2）所示；此时△ABC的面积为×1××sin60°＝；∴平面四边形ABCD的面积S满足＜S＜．故答案为：（，）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足：（a+b+c）（sin B+sin C ﹣sin A）＝b sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设a＝，S为△ABC的面积，求S+cos B cos C的最大值．【解答】解：（Ⅰ）（a+b+c）（sin B+sin C﹣sin A）＝b sin C，由正弦定理可得（a+b+c）（b+c﹣a）＝bc，即（b+c）2﹣a2＝bc，即为b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ， 由余弦定理可得cos A ＝＝﹣，由0＜A ＜π，可得A ＝；（Ⅱ）a ＝，由正弦定理可得：＝＝＝＝2，可得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 则S ＝bc sin A ＝sin B sin C ， S +cos B cos C ＝sin B sin C +cos B cos C＝cos （B ﹣C ），当B ＝C ＝时，S +cos B cos C 的最大值为．18．（12分）为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X ，求X 的数学期望E （X ）． 参考公式：k 2＝（n ＝a +b +c +d ）．附表：【解答】解：（1）根据列联表计算观测值K2＝≈2.0513，因为K2＜3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，不能认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”；（2）由图表知这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率为P＝＝；（3）由题意知X服从B（4，），则E（X）＝np＝4×＝．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，2S n＝（n+1）2a n﹣n2a n+1，数列{b n}满足b1＝a1，nb n+1＝a n b n．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{c n}满足c n＝a n+b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（I）由2S n＝（n+1）2a n﹣n2a n+1，可得：2S n+1＝（n+2）2a n+1﹣（n+1）2a n+2，两式相减可得：2a n+1＝（n+2）2a n+1﹣（n+1）2a n+2﹣（n+1）2a n+n2a n+1，∴2a n+1＝a n+2+a n，∴数列{a n}是等差数列，2S1＝22a1﹣a2，a1＝2，解得a2＝4．∴d＝4﹣2＝2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．由b1＝a1＝2，nb n+1＝a n b n．∴b n+1＝2b n，∴数列{b n}是等比数列，首项与公比都为2．∴b n＝2n．（II）c n＝a n+b n＝2n+2n，∴数列{c n}的前n项和T n＝+＝2n+1+n2+n﹣2．20．（12分）已知直线l与椭圆C：+＝1（a＞b＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，又＝（ax1，by1），＝（ax2，by2），若⊥且椭圆的离心率e＝，又椭圆经过点（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）试问△AOB的面积是否为定值？【解答】解：（Ⅰ）由题意的离心率e＝＝＝，则a＝2b，将（，1）代入，即，解得：b＝1，则a＝2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由⊥，则•＝0，即4x1x2+y1y2＝0，由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，则，两式相乘，（y12+4x12）（y22+4x22）＝（y1y2）2+16（x1x2）2+4（x12y22+x22y12），＝（4x1x2+y1y2）2+4（x1y2﹣x2y1）2＝4（x1y2﹣x2y1）2＝16，∴（x1y2﹣x2y1）2＝4，∴△AOB的面积S△AOB＝|x1y2﹣x2y1|＝1，△AOB的面积为定值1．注S△AOB＝||或过A，B分别作y轴的垂线转化为直角梯形，与直角三角形的面积问题即可．21．（12分）已知函数f（x）＝4x2+﹣a，g（x）＝f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x＝1是函数y＝xf（x）的一个极值点，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝4x2+﹣a，则y＝xf（x）＝4x3+1﹣ax的导数为y′＝12x2﹣a，由题意可得12﹣a＝0，解得a＝12，即有f（x）＝4x2+﹣12，f′（x）＝8x﹣，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，﹣7），即有曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7＝7（x﹣1），即为y＝7x﹣14；（2）由f（x）＝4x2+﹣a，导数f′（x）＝8x﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x＝处取得极小值，且为3﹣a，由f（x）有两个零点，可得3﹣a＝0，即a＝3，零点分别为﹣1，．令t＝g（x），即有f（t）＝0，可得t＝﹣1或，则f（x）＝﹣1﹣b或f（x）＝﹣b，由题意可得f（x）＝﹣1﹣b或f（x）＝﹣b都有3个实数解，则﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即b＜﹣1且b＜，可得b＜﹣1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（﹣∞，2）．选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（其中t为参数），曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3＝0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大？若存在，求出距离的最大值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（其中t为参数），转化为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．曲线C1：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ﹣3＝0，转化为直角坐标方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：C1的参数方程为：（θ为参数）．所以：点P到直线l的距离d＝＝，则：，此时：cos（）＝1，解得：（k∈Z）．所以：，故P（）到直线l的距离最大．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣5|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）解不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|x﹣5|﹣|x﹣2|＝，当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（Ⅱ）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴5﹣≤x＜5；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为{x|5﹣≤x≤6}．。
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）若P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|x2+y2＝2}，P∩Q等于（）A．B．{（1，1），（﹣1，1）}C．D．∅2．（5分）若复数z满足iz＝||+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设为两个非零向量，则“•＝|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，则f（2014）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或7．（5分）祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为h（0＜h＜1）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．πB．πh2C．π（1﹣h）2D．π（1﹣h2）8．（5分）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，则S8等于（）A．﹣3B．9C．﹣3或9D．﹣3或610．（5分）如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为线段DC上一动点，现将△AED 沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y＝﹣2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|＝|QF|，则|PF|＝（）A．﹣1B．2C．3D．512．（5分）已知f（x）＝e x，g（x）＝mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn 的最大值为（）A．B．C．2e D．2e2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x2+﹣2）n展式中的常数项是70，则n＝．14．（5分）已知实数x、y满足关系，则|﹣y|的最大值为．15．（5分）将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是．16．（5分）数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前n项和S n＝．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次a，b，c若cos A＝，cos C＝．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若|+|＝，求BC边上中线的长．18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分x4dx，这时x4dx等于由曲线y＝x4，x轴，x＝1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分x4dx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M．（Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率．附表：p（n）＝×0.2k×0.810000﹣k.810000﹣k19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C．（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围；（2）证明：△P AB的内切圆的圆心在一条直线上．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）若P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|x2+y2＝2}，P∩Q等于（）A．B．{（1，1），（﹣1，1）}C．D．∅【解答】解；P＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}∴故选：A．2．（5分）若复数z满足iz＝||+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵||＝，∴iz＝||+2i＝，则z＝，∴．则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点的坐标为（2，），位于第一象限．故选：A．3．（5分）设为两个非零向量，则“•＝|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若•＝|•|，则||•||cos＜，＞＝|||||cos＜，＞|，即cos＜，＞＝|cos＜，＞|，则cos＜，＞≥0，则与共线不成立，即充分性不成立．若与共线，当＜，＞＝π，cos＜，＞＝﹣1，此时•＝|•|不成立，即必要性不成立，故“•＝|•|”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，∴以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，∵以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），∴，解得a＝3，b＝4，∴双曲线的方程为．故选：A．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，则f（2014）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，∴f（x+6）＝f（x+5）﹣f（x+4）＝f（x+4）﹣f（x+3）﹣f（x+4）＝﹣f（x+3）＝﹣[f（x+2）﹣f（x+1）]＝﹣[f（x+1）﹣f（x）﹣f（x+1）]＝f（x），∴f（2014）＝f（335×6+4）＝f（4）＝f（3）﹣f（2）＝f（2）﹣f（1）﹣f（2）＝﹣f（1）＝﹣f（0）+f（﹣1）＝﹣log21+log22＝1．故选：C．6．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α＝＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α＝﹣＝﹣；又sin（β﹣α）＝，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）＝﹣＝﹣，∴cos（α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]＝cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）＝﹣×（﹣）﹣×＝．又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β＝，故选：A．7．（5分）祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为h（0＜h＜1）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．πB．πh2C．π（1﹣h）2D．π（1﹣h2）【解答】解：由三视图可知几何体为底面半径和高均为1的圆柱中挖去一个同底同高的圆锥，截面为圆环．设截面小圆半径为r，则，即r＝h，∴截面面积为S＝π×12﹣πr2＝π（1﹣h2）．故选：D．8．（5分）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：男生甲不站两端，共有n＝C41A55＝480种，考虑3位女生中有且只有两位相邻的排列，共有C32A22A42A33＝432种，在3女生中有且仅有两位相邻且男生甲在两端的排列有2×C32A22A32A22＝144种，∴不同的排列方法共有m＝432﹣144＝288种，∴在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是：p＝＝．故选：C．9．（5分）已知{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，则S8等于（）A．﹣3B．9C．﹣3或9D．﹣3或6【解答】解：由{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列．即（S8﹣S4）2＝S4（S12﹣S8）＝36．∴S8﹣S4＝±6∴S8＝9或﹣3，当S8＝﹣3时，即S4＝3，即，可得：q＝1不满足题意，∴S8≠﹣3∴S8＝9．故选：B．10．（5分）如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为线段DC上一动点，现将△AED 沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则∠D'KA＝90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是1，如图当E与C重合时，AK＝＝1，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠KOA＝，∴∠KOD'＝，其所对的弧长为，故选：A．11．（5分）已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y＝﹣2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|＝|QF|，则|PF|＝（）A．﹣1B．2C．3D．5【解答】解：设P（m，m2），分别过B、P作直线y＝﹣2的垂线，垂足为D、E，∵BC∥AF，∴＝＝，∵|FP|＝|PE|，∴|FC|＝|BD|＝2，设直线PQ的方程为y＝kx+2，代入C：x2＝8y得x2﹣8kx﹣16＝0，∴m•x Q＝﹣16，∴x Q＝﹣，∴y Q＝，∵|PF|＝m2+2，∴|PC|＝m2，∵|QF|＝+2，|PC|＝|QF|，∴得m2＝+2，∴m4﹣16m2﹣256＝0，解得m2＝8+8∴|PF|＝m2+2＝3+．故选：C．12．（5分）已知f（x）＝e x，g（x）＝mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn 的最大值为（）A．B．C．2e D．2e2【解答】解：由题意可得f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即为e x﹣mx﹣n≥0，令h（x）＝e x﹣mx﹣n，h′（x）＝e x﹣m，若m＝0，则h（x）＝e x﹣n的最小值为h（x）＞﹣n≥0，得n≤0，此时mn＝0；若m＜0，则h′（x）＞0，函数单调增，x→﹣∞，此时h（x）→﹣∞，不可能恒有h（x）≥0．若m＞0，则得极小值点x＝lnm，由h（lnm）＝m﹣mlnm﹣n≥0，得n≤m（1﹣lnm），mn≤m2（1﹣lnm）＝k（m）．现求k（m）的最小值：由k′（m）＝2m（1﹣lnm）﹣m＝m（1﹣2lnm）＝0，得极小值点m＝，k（）＝，所以mn的最大值为．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x2+﹣2）n展式中的常数项是70，则n＝4．【解答】解：∵（x2+﹣2）n＝的展式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x2n﹣2r，令2n﹣2r＝0，求得n＝r，故展开式的常数项为（﹣1）n•＝70，求得n＝4，故答案为：4．14．（5分）已知实数x、y满足关系，则|﹣y|的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（﹣3，1），当时，t＝过A时有最大值为；当时，t＝过B 时有最小值为﹣3．∴|﹣y|的最大值为．故答案为：．15．（5分）将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是15．【解答】解：i＝1，m＝4，满足条件i＜m，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝1+1＝2；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝2+1＝3；j＝2，不满足条件j≤i，则i＝2，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝3+1＝4；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝2，S＝4+2＝6；j＝2，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝6+1＝7；j＝3，不满足条件j≤i，则i＝3，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝7+1＝8；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝3，S＝8+3＝11；j＝2，满足条件j≤i，则a＝＝3，S＝11+3＝14；j＝3，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝14+1＝15；j＝4，不满足条件j≤i，则i＝4，不满足条件i＜m，输出S＝15；故答案为：1516．（5分）数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前n项和S n＝•3n+1．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝+22•32+32•33+42•34+…+n2•3n，3S n＝+22•33+32•34+42•35+…+n2•3n+1，相减可得﹣2S n＝27+5•33+7•34+…+（2n﹣1）•3n﹣n2•3n+1，设T n＝5•33+7•34+…+（2n﹣1）•3n，3T n＝5•34+7•35+…+（2n﹣1）•3n+1，相减可得﹣2T n＝5•33+2（34+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1＝135+2•﹣（2n﹣1）•3n+1，化简可得T n＝（n﹣1）•3n+1﹣27，即有﹣2S n＝27+（n﹣1）•3n+1﹣27﹣n2•3n+1，化简可得S n＝•3n+1，故答案为：•3n+1．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次a，b，c若cos A＝，cos C＝．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若|+|＝，求BC边上中线的长．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，△ABC中，cos A＝，cos C＝．则sin A＝＝，sin C＝＝，则cos B＝﹣cos（A+C）＝﹣cos A cos C+sin A sin C＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin B＝＝，又由sin A＝，sin C＝，则有＝＝，即＝＝，设BC＝4k，AC＝5k，AB＝6k，若|+|＝，则2+2+2•＝25k2+16k2+2×5k×4k×＝46k2＝46，解可得：k＝1，k＝﹣1（舍）；则BC＝4，AC＝5，AB＝6，设BC的中点为D，则＝（+），则有2＝（2+2+2•）＝（25+36+2×5×6×）＝，则||＝；则BC边上中线的长为．18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分x4dx，这时x4dx等于由曲线y＝x4，x轴，x＝1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分x4dx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M．（Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率．附表：p（n）＝×0.2k×0.810000﹣k.810000﹣k【解答】解：（1）若ξ＝2099，则I＝，而＝＝0.2，…（2分）∴估计值与实际值的误差为：，即估计值与实际值的误差在5%以内．…（4分）（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），…（7分）∴Eξ＝10000×0.2＝2000．…（9分）（3）I与实际值之差在区间（﹣0.01，0.01）的概率为P（||＜0.01）＝P（1900＜ξ＜2100）＝＝P（2099）﹣P（1900）＝0.9871．…（14分）19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C．（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC1中，∵AB＝BC1，D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且平面ABC1∩平面AA1C1C＝AC1，∴BD⊥平面AA1C1C，而AC⊂平面AA1C1C，∴BD⊥AC；（Ⅱ）解：由题意知，四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，而BD⊥平面ACC1A1，故分别以DA1，DA，DB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（0，1，0），B（0，0，），A1（，0，0），C（，0，0），令B1（x，y，z），则，．而，∴x＝z＝，y＝﹣1．即B1（，﹣1，），，而，，令平面ABC的一个法向量为，则有，取z＝1，得．设直线AB1与平面ABC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝．∴cosθ＝．故直线AB1与平面ABC所成角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围；（2）证明：△P AB的内切圆的圆心在一条直线上．【解答】（1）解：设直线l的方程为，∵点在直线l的上方，∴，∴b＜0直线l的方程代入椭圆方程，整理可得2x2+6bx+9b2﹣36＝0∵斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，∴△＝36b2﹣8（9b2﹣36）＝﹣36b2+288＞0∴﹣2＜b＜2∴﹣2＜b＜0由，令y＝0可得x＝﹣3b，即x0＝﹣3b，∴（2）证明：设A（x1，y1），B（x1，y1），则∵，∴k P A+k PB＝0，又∵点P在直线l的上方，故∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，故∠P AB的内切圆圆心在直线上．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．∴x∈（0，+∞），＝＝，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．证明：（Ⅱ）∵方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，由（Ⅰ）知a＞0，设0＜x1＜x2，则＝c，，两式相减，得﹣＝0，∴a＝，∵f′（）＝0，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴只要证明＞即可，即证明x1+x2＞，即证明（x1+x2）（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2）＜，即证明ln＜，设t＝（0＜t＜1），令g（t）＝lnt﹣，则g′（t）＝＝，∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0，∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t＝1处连续且g（1）＝0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立，∴f′（）＞0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴，∴，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）＝|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，＝∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。
2018年河南省信阳高中高考数学二模试卷和答案(理科)
＝1，则 f（
）的值为
．
16．（5 分）设 an 表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{an}
的前 n 项和为 Sn，那么 S63 的值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在△ABC 中，D∈BC，
x
1.6
1.7
1.74
1.8
10
y
4.953
5.474
5.697
6.050
22026
lnx
0.470
0.531
0.554
0.588
2.303
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标 系与参数方程]
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22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
＝
＝λ．
（1）求证：AD 平分∠BAC；
（2）当
时，若 AD＝1，DC＝ ，求 BD 和 AC 的长．
18．（12 分）国家放开计划生育政策，鼓励一对夫妇生育 2 个孩子．在某地区的 100000 对 已经生育了一胎夫妇中，进行大数据统计得，有 100 对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎， 其余的均为单胞胎．在这 99900 对恰好生育一孩的夫妇中，男方、女方都愿意生育二孩 的有 50000 对，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有 x1 对，男方不愿意生育二孩 女方愿意生育二孩的有 x2 对，其余情形有 x3 对，且 x1：x2：x3＝300：100：99．现用样 本的频率来估计总体的概率．
（1）说明“其余情形”指何种具体情形，并求出 x1，x2，x3 的值；
2018年河南省濮阳市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年河南省濮阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，∁A B＝{1，3，5}，则集合B＝（）A．{2，4}B．{0，2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4} 2．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）在如图的程序框图中，若输入m＝77，n＝33，则输出的n的值是（）A．3B．7C．11D．334．（5分）已知三棱柱HIG﹣EFD的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图（1）所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点）后得到的几何体如图（2），则该几何体沿图（2）所示方向的侧视图为（）A．B．C．D．5．（5分）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在[﹣6，9]内任取一个实数m，设f（x）＝﹣x2+mx+m，则函数f（x）的图象与x 轴有公共点的概率等于（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝y﹣2x的最小值为（）A．B．C．D．38．（5分）若是奇函数，则f（g（﹣2））的值为（）A．B．C．1D．﹣19．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n＝a n+1（n＝1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则q等于（）A．B．C．D．10．（5分）设x1，x2，x3均为实数，且，，，则（）A．x1＜x3＜x2B．x3＜x2＜x1C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3 11．（5分）已知等差数列{a n}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为（）A．B．C．1D．12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf'（x）＞f（x）恒成立（其中f'（x）为函数f（x）的导函数），对于任意实数x1＞0，x2＞0，下列不等式一定正确的是（）A．f（x1）•f（x2）≥f（x1x2）B．f（x1）•f（x2）≤f（x1x2）C．f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）D．f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若双曲线＝1的离心率为，则m的值为．14．（5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）15．（5分）如图，有5个全等的小正方形，，则x+y的值是．16．（5分）已知，x1，x2是f（x）在[0，π]上的相异零点，则cos（x1﹣x2）的值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cos A＝，cos∠ACB ＝，BC＝13．（1）求cos B的值；（2）求CD的长．18．（12分）已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅱ）求点C到平面ADE的距离．19．（12分）某地公共电汽车和地铁按照里程分段计价，具体如表：已知在一号线地铁上，任意一站到A站的票价不超过5元，现从那些只乘坐一号线地铁，且在A站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐一号线地铁，且在A站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6名学生中票价为3、4、5元的人数分别为3，2，1人，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（Ⅲ）小李乘坐一号线地铁从B地到A站的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，且该抛物线经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．（Ⅰ）求过点F且与直线OA垂直的直线的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于D，E两点，|ME|＝2|DM|，求的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x+ae x﹣（a+2）x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）有三个相异零点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的任一点向圆C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且＝m，求证：a+2b+3c≥9．2018年河南省濮阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，∁A B＝{1，3，5}，则集合B＝（）A．{2，4}B．{0，2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}【解答】解：根据题意，集合A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，若∁A B＝{1，3，5}，则B＝∁A（∁A B）＝{0，2，4}，故选：B．2．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：复数＝．所以复数的虚部为．故选：C．3．（5分）在如图的程序框图中，若输入m＝77，n＝33，则输出的n的值是（）A．3B．7C．11D．33【解答】解：该程序的作用是：用较大的数字m除以较小的数字n，得到商和余数r，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，直到余数r为零即整除时，最后得到m，n的最大公约数．∵77÷33＝2 (11)33÷11＝3 0∴m＝77，n＝33的最大公约数是11，则输出的n的值是11．故选：C．4．（5分）已知三棱柱HIG﹣EFD的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图（1）所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点）后得到的几何体如图（2），则该几何体沿图（2）所示方向的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：∵平面DEHG⊥平面DEF，∴几何体的左视图为直角梯形，且直腰在左视图的左侧．故选：A．5．（5分）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2＝1的曲线不一定是椭圆，例如：当m＝n＝1时，方程mx2+ny2＝1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）在[﹣6，9]内任取一个实数m，设f（x）＝﹣x2+mx+m，则函数f（x）的图象与x 轴有公共点的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝﹣x2+mx+m的图象与x轴有公共点，∴△＝m2+4m＞0，∴m＜﹣4或m＞0，∴在[﹣6，9]内任取一个实数m，函数f（x）的图象与x轴有公共点的概率等于．故选：D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝y﹣2x的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：由z＝y﹣2x，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z经过点A时，直线y＝2x+z的截距最小，此时z取得最值，由，解得，即A（，）代入z＝y﹣2x，得z＝﹣2×＝﹣，即z＝y﹣2x的最小值为．故选：B．8．（5分）若是奇函数，则f（g（﹣2））的值为（）A．B．C．1D．﹣1【解答】解：∵是奇函数，∴x＜0时，g（x）＝﹣+3，∴g（﹣2）＝﹣+3＝﹣1，f（g（﹣2））＝f（﹣1）＝g（﹣1）＝﹣+3＝1．故选：C．9．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n＝a n+1（n＝1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则q等于（）A．B．C．D．【解答】解：{b n}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中且b n＝a n+1 a n＝b n﹣1则{a n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中∵{a n}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项∴等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81}相邻两项相除＝﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣则可得，﹣24，36，﹣54，81是{a n}中连续的四项q＝﹣或q＝﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）∴q＝﹣故选：C．10．（5分）设x1，x2，x3均为实数，且，，，则（）A．x1＜x3＜x2B．x3＜x2＜x1C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3【解答】解：如图所示，由图象可知：x1＜x3＜x2，故选：A．11．（5分）已知等差数列{a n}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为（）A．B．C．1D．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意，，解得．∴中间一项的值为．故选：D．12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf'（x）＞f（x）恒成立（其中f'（x）为函数f（x）的导函数），对于任意实数x1＞0，x2＞0，下列不等式一定正确的是（）A．f（x1）•f（x2）≥f（x1x2）B．f（x1）•f（x2）≤f（x1x2）C．f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）D．f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）【解答】解：令F（x）＝，∵xf'（x）＞f（x）恒成立，∴F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）递增，∵x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞x1＞0，x1+x2＞x2＞0，∴F（x1+x2）＞F（x1），F（x1+x2）＞F（x2），即＞，＞，故f（x1）＜，f（x2）＜，两式相加得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2），故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若双曲线＝1的离心率为，则m的值为2．【解答】解：∵双曲线方程为＝1，∴a2＝m，b2＝m2+4，可得a＝，c＝＝．又∵双曲线的离心率为，∴e＝，解之得m＝2．故答案为：214．（5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（1）（2）（写出所有真命题的序号）【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．15．（5分）如图，有5个全等的小正方形，，则x+y的值是1．【解答】解：以AF，AE为坐标轴建立平面坐标系如图所示：设小正方形的边长为1，则B（2，﹣1），D（0，2），∴＝（0，1），＝（1，0），∴＝（﹣2，3），∴＝3﹣2．∴x+y＝1．故答案为：1．16．（5分）已知，x1，x2是f（x）在[0，π]上的相异零点，则cos（x1﹣x2）的值为﹣．【解答】解：，x1，x2是f（x）在[0，π]上的相异零点，可得x1+x2＝π，且sin x1＝，则cos（x1﹣x2）＝cos（2x1﹣π）＝﹣cos（2x1）＝2sin2x1﹣1＝2×﹣1＝﹣，故答案为：﹣．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cos A＝，cos∠ACB ＝，BC＝13．（1）求cos B的值；（2）求CD的长．【解答】解：（1）在△ABC中，cos A＝，A∈（0，π），所以sin A＝＝．同理可得，sin∠ACB＝．所以cos B＝cos[π﹣（A+∠ACB）]＝﹣cos（A+∠ACB）＝sin A sin∠ACB﹣cos A cos∠ACB＝；（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB＝sin∠ACB＝．又AD＝3DB，所以DB＝．在△BCD中，由余弦定理得，CD＝＝＝9．18．（12分）已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅱ）求点C到平面ADE的距离．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以，又由题意得，所以AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC．因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC．又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥平面ABCD，．因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD，又AB⊥AD，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，所以AD⊥平面ABEF，又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE，又，所以．设h为点C到平面ADE的距离，则＝，又V E﹣ACD＝V C﹣ADE，从而，即点C到平面ADE的距离为．19．（12分）某地公共电汽车和地铁按照里程分段计价，具体如表：已知在一号线地铁上，任意一站到A站的票价不超过5元，现从那些只乘坐一号线地铁，且在A站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐一号线地铁，且在A站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6名学生中票价为3、4、5元的人数分别为3，2，1人，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（Ⅲ）小李乘坐一号线地铁从B地到A站的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”，由统计图可知，120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20人．所以票价小于5元的有60+40＝100（人）．故120人中票价小于5元的频率是．所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率．（Ⅱ）记事件B为“这2人的票价和恰好为8元”．记票价为3元的同学为a，b，c，票价为4元的同学为D，E，票价为5元的同学为甲，从这6人中随机选出2人，所有可能的结果共有15种，它们是：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（a，甲），（b，c），（b，D），（b，E），（b，甲），（c，D），（c，E），（c，甲），（D，E），（D，甲），（E，甲）．其中事件B对应的结果有4种，它们是：（a，甲），（b，甲），（c，甲），（D，E）．所以这2人的票价和恰好为8元的概率为．（Ⅲ）乘坐一号线地铁从B地到A站的票价是5元，则s∈（12，22]，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，超出10公里以上部分为3元，而按照计价标准可知20公里花费4元，则s∈（20，25]．综上，s∈（20，22]．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，且该抛物线经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．（Ⅰ）求过点F且与直线OA垂直的直线的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于D，E两点，|ME|＝2|DM|，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知抛物线开心向右，设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），把A（2，2）代入抛物线方程可得：4＝4p，即p＝1，于是F．又直线OA的斜率为1，故而所求直线斜率为﹣1，∴所求直线方程为．（Ⅱ）设点D和E的坐标为（x1，y1）和（x2，y2），直线DE的方程是y＝k（x﹣m），k≠0．将代入y2＝2x，有ky2﹣2y﹣2km＝0，解得y1＝，y2＝．由|ME|＝2|DM|得：＝，化简得．∴|DE|2＝（1+）[（y1+y2）2﹣4y1y2]＝＝．∴＝，当且仅当时取等号，∴的最小值为12．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x+ae x﹣（a+2）x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）有三个相异零点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题可知f'（x）＝2e2x+ae x﹣（a+2）＝（e x﹣1）（2e x+a+2）．当a+2≥0，即a≥﹣2时，令f'（x）＝0得x＝0，易知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．当a＜﹣2时，令f'（x）＝0得x＝0或．当，即a＜﹣4时，f（x）在（﹣∞，0），上单调递增，在上单调递减；当a＝﹣4时，f'（x）＝2（e x﹣1）2≥0，f（x）在R上单调递增；当a∈（﹣4，﹣2）时，f（x）在，（0，+∞）上单调递增，在上单调递减．（Ⅱ）不存在．理由如下：假设f（x）有三个相异零点．由（Ⅰ）的讨论，一定有a∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，﹣2）且f（x）的极大值大于0，极小值小于0．已知取得极大值和极小值时x＝0或，注意到此时恒有f（0）＝a+1＜﹣2+1＝﹣1＜0，则必有f（0）为极小值，此时极值点满足，即a∈（﹣4，﹣2），还需满足，又，a∈（﹣4，﹣2），故存在a∈（﹣4，﹣2）使得，即存在a∈（﹣4，﹣2）使得．令，即存在t∈（0，1）满足．令，，从而g（t）在（0，1）上单调递增，所以，故不存在t∈（0，1）满足，与假设矛盾，从而不存在a使得f（x）有三个相异零点．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的任一点向圆C引切线，求切线长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心C的直角坐标为．（Ⅱ）解法一：由直线l上的任一点向圆C所引切线长是：＝＝，∴由直线l上的任一点向圆C所引切线长的最小值是．解法二：∵直线l的参数方程是（t是参数），∴直线l的普通方程为，圆心C到直线l的距离是，∴由直线l上的任一点向圆C所引切线长的最小值是．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且＝m，求证：a+2b+3c≥9．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，故f（x+2）＝m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m的解集为[﹣1，1]，故m＝1．（Ⅱ）由a，b，c∈R，且＝1，∴a+2b+3c＝（a+2b+3c）（）＝1++++1++++1＝3++++++≥3+6＝9，当且仅当＝＝＝＝＝＝1时，等号成立．所以a+2b+3c≥9第21页（共21页）。
2018年河南商丘市高考数学二模试卷
2018年河南商丘市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知复数()()n f n i n N *=∈，则集合(){}|z z f n =的元素个数为A. 4B. 3C. 2D.无数 2.设0.533,log 2,cos2x y z ===，则A. z x y <<B. y z x <<C. z y x <<D.x z y <<3.要计算1111232017++++的结果，下面的程序框图中的判断框内可以填入的是 A. 2017n < B. 2017n ≤ C. 2017n > D.2017n ≥4.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的体积为 A.163π B. 3π C. 29π D. 169π5.下列命题是真命题的是A. x R ∀∈，函数()()sin 2f x x ϕ=+都不是偶函数B.,R αβ∃∈,使得()cos cos cos αβαβ+=+C. 向量()()2,1,1,0a b ==-，则a 在b 方向上的投影是2D.“1x ≤”是“1x ≤”的既不充分也不必要条件6.在区间[]1,e 上任取实数a ，在区间[]0,2上任取实数b ，使函数()214f x ax x b =++有两个相异零点的概率为 A.()121e - B. ()141e - C. ()181e - D.()1161e -7.已知数列{}n a 满足()11122,,,n n n n a a a n a m a n S +-=-≥==为数列{}n a 的前n 项和，则2017S 的值为A. 2017n m -B. 2017n m -C.mD.n8.已知实数,x y 满足261y x x y x ≥+⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =-+的最小值是A. 6B. 5C. 4D.39.已知空间四边形ABCD 满足3,7,11,9AB BC CD DA ====，则AC BD ⋅的值为 A. -1 B. 0 C.212 D.33210.将数字124467重新排列后得到不同的偶数的个数为A. 72B. 120C. 192D.24011.已知P 为双曲线2214y x -=上任意一点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A,B 则PA PB 的值为A. 4B.5C.45 D.与点P 的位置有关 12.已知函数()sin 2cos xf x x=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下方，则k 的取值范围是A. 13⎡⎢⎣⎦B.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.⎫+∞⎪⎪⎣⎭ D. ⎡⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13．设a=（cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（a﹣）6的展开式中含x 2项的系数为 ．14．已知抛物线C ：y 2=4x 与点M （0，2），过C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若•=0，则k= ．15．已知函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0）有两个零点1，2，数列{x n }满足x n +1=x n ﹣，设a n =ln，若a 1=，x n ＞2，则数列{a n }的通项公式a n = ．16．已知f （x ）=x 3﹣3x +2+m （m ＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a ，b ，c ，使得以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形是直角三角形，则m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．2018年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1. A．2.C3.B4.D5.B6.A7.C8.C9.B 10.D 11.C 12.B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为12．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=﹣1﹣1=﹣2，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1=2r C6r•x3﹣r，令3﹣r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12．故答案为：1214．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C 交于A，B两点，若•=0，则k=8．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即可求得k的值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x ﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵•=0，（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．=x n 15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n+1﹣，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣2（n∈N*）．【考点】数列与函数的综合．=，求【分析】由题意可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），求出导数，可得x n+1 =ln=2ln=2a n，运用等比数列的通项公式即可得到所求．得a n+1【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），f′（x）=a（2x﹣3），=x n﹣=x n﹣=，则x n+1由a1=，x n＞2，=ln=ln=2ln=2a n，则a n+1即有a n=a1q n﹣1=•2n﹣1=2n﹣2．故答案为：2n﹣2（n∈N*）．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是0＜m＜3+4．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求导f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4＜m＜3+4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案为：0＜m＜3+4．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的面积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，可得P（M）=．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×5=190，当a=39时，X=39×5=195，当a=40时，X=40×5=200，当a=41时，X=40×5+1×7=207，当a=42时，X=40×5+2×7=214．所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为：∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为192.2元．因为192.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．cos＜＞=又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】（Ⅰ）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，所以f′（x）=﹣在（0，+∞）上有解，即﹣2a=﹣在（0，+∞）上有解，也即x=在（0，+∞）上有解，所以＞0，得a＞，故所求实数a的取值范围是（，+∞）；（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=x12﹣2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12，因为x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣x3﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，记P（x）=﹣x2﹣+lnx，x∈（0，1），则P′（x）=﹣3x+=，当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C 的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=4，t1t2=7，∴t1＞0，t2＞0，所以+=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．。
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）若P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|x2+y2＝2}，P∩Q等于（）A．B．{（1，1），（﹣1，1）}C．D．∅2．（5分）若复数z满足iz＝||+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设为两个非零向量，则“•＝|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，则f（2014）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或7．（5分）祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为h（0＜h＜1）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．πB．πh2C．π（1﹣h）2D．π（1﹣h2）8．（5分）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，则S8等于（）A．﹣3B．9C．﹣3或9D．﹣3或610．（5分）如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为线段DC上一动点，现将△AED 沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y＝﹣2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|＝|QF|，则|PF|＝（）A．﹣1B．2C．3D．512．（5分）已知f（x）＝e x，g（x）＝mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn 的最大值为（）A．B．C．2e D．2e2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x2+﹣2）n展式中的常数项是70，则n＝．14．（5分）已知实数x、y满足关系，则|﹣y|的最大值为．15．（5分）将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是．16．（5分）数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前n项和S n＝．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次a，b，c若cos A＝，cos C＝．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若|+|＝，求BC边上中线的长．18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分x4dx，这时x4dx等于由曲线y＝x4，x轴，x＝1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分x4dx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M．（Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率．附表：p（n）＝×0.2k×0.810000﹣k.810000﹣k19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C．（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围；（2）证明：△P AB的内切圆的圆心在一条直线上．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）若P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|x2+y2＝2}，P∩Q等于（）A．B．{（1，1），（﹣1，1）}C．D．∅【解答】解；P＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}∴故选：A．2．（5分）若复数z满足iz＝||+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵||＝，∴iz＝||+2i＝，则z＝，∴．则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点的坐标为（2，），位于第一象限．故选：A．3．（5分）设为两个非零向量，则“•＝|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若•＝|•|，则||•||cos＜，＞＝|||||cos＜，＞|，即cos＜，＞＝|cos＜，＞|，则cos＜，＞≥0，则与共线不成立，即充分性不成立．若与共线，当＜，＞＝π，cos＜，＞＝﹣1，此时•＝|•|不成立，即必要性不成立，故“•＝|•|”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，∴以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，∵以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），∴，解得a＝3，b＝4，∴双曲线的方程为．故选：A．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，则f（2014）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，∴f（x+6）＝f（x+5）﹣f（x+4）＝f（x+4）﹣f（x+3）﹣f（x+4）＝﹣f（x+3）＝﹣[f（x+2）﹣f（x+1）]＝﹣[f（x+1）﹣f（x）﹣f（x+1）]＝f（x），∴f（2014）＝f（335×6+4）＝f（4）＝f（3）﹣f（2）＝f（2）﹣f（1）﹣f（2）＝﹣f（1）＝﹣f（0）+f（﹣1）＝﹣log21+log22＝1．故选：C．6．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α＝＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α＝﹣＝﹣；又sin（β﹣α）＝，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）＝﹣＝﹣，∴cos（α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]＝cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）＝﹣×（﹣）﹣×＝．又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β＝，故选：A．7．（5分）祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为h（0＜h＜1）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．πB．πh2C．π（1﹣h）2D．π（1﹣h2）【解答】解：由三视图可知几何体为底面半径和高均为1的圆柱中挖去一个同底同高的圆锥，截面为圆环．设截面小圆半径为r，则，即r＝h，∴截面面积为S＝π×12﹣πr2＝π（1﹣h2）．故选：D．8．（5分）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：男生甲不站两端，共有n＝C41A55＝480种，考虑3位女生中有且只有两位相邻的排列，共有C32A22A42A33＝432种，在3女生中有且仅有两位相邻且男生甲在两端的排列有2×C32A22A32A22＝144种，∴不同的排列方法共有m＝432﹣144＝288种，∴在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是：p＝＝．故选：C．9．（5分）已知{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，则S8等于（）A．﹣3B．9C．﹣3或9D．﹣3或6【解答】解：由{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列．即（S8﹣S4）2＝S4（S12﹣S8）＝36．∴S8﹣S4＝±6∴S8＝9或﹣3，当S8＝﹣3时，即S4＝3，即，可得：q＝1不满足题意，∴S8≠﹣3∴S8＝9．故选：B．10．（5分）如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为线段DC上一动点，现将△AED 沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则∠D'KA＝90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是1，如图当E与C重合时，AK＝＝1，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠KOA＝，∴∠KOD'＝，其所对的弧长为，故选：A．11．（5分）已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y＝﹣2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|＝|QF|，则|PF|＝（）A．﹣1B．2C．3D．5【解答】解：设P（m，m2），分别过B、P作直线y＝﹣2的垂线，垂足为D、E，∵BC∥AF，∴＝＝，∵|FP|＝|PE|，∴|FC|＝|BD|＝2，设直线PQ的方程为y＝kx+2，代入C：x2＝8y得x2﹣8kx﹣16＝0，∴m•x Q＝﹣16，∴x Q＝﹣，∴y Q＝，∵|PF|＝m2+2，∴|PC|＝m2，∵|QF|＝+2，|PC|＝|QF|，∴得m2＝+2，∴m4﹣16m2﹣256＝0，解得m2＝8+8∴|PF|＝m2+2＝3+．故选：C．12．（5分）已知f（x）＝e x，g（x）＝mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn 的最大值为（）A．B．C．2e D．2e2【解答】解：由题意可得f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即为e x﹣mx﹣n≥0，令h（x）＝e x﹣mx﹣n，h′（x）＝e x﹣m，若m＝0，则h（x）＝e x﹣n的最小值为h（x）＞﹣n≥0，得n≤0，此时mn＝0；若m＜0，则h′（x）＞0，函数单调增，x→﹣∞，此时h（x）→﹣∞，不可能恒有h（x）≥0．若m＞0，则得极小值点x＝lnm，由h（lnm）＝m﹣mlnm﹣n≥0，得n≤m（1﹣lnm），mn≤m2（1﹣lnm）＝k（m）．现求k（m）的最小值：由k′（m）＝2m（1﹣lnm）﹣m＝m（1﹣2lnm）＝0，得极小值点m＝，k（）＝，所以mn的最大值为．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x2+﹣2）n展式中的常数项是70，则n＝4．【解答】解：∵（x2+﹣2）n＝的展式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x2n﹣2r，令2n﹣2r＝0，求得n＝r，故展开式的常数项为（﹣1）n•＝70，求得n＝4，故答案为：4．14．（5分）已知实数x、y满足关系，则|﹣y|的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（﹣3，1），当时，t＝过A时有最大值为；当时，t＝过B 时有最小值为﹣3．∴|﹣y|的最大值为．故答案为：．15．（5分）将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是15．【解答】解：i＝1，m＝4，满足条件i＜m，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝1+1＝2；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝2+1＝3；j＝2，不满足条件j≤i，则i＝2，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝3+1＝4；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝2，S＝4+2＝6；j＝2，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝6+1＝7；j＝3，不满足条件j≤i，则i＝3，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝7+1＝8；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝3，S＝8+3＝11；j＝2，满足条件j≤i，则a＝＝3，S＝11+3＝14；j＝3，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝14+1＝15；j＝4，不满足条件j≤i，则i＝4，不满足条件i＜m，输出S＝15；故答案为：1516．（5分）数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前n项和S n＝•3n+1．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝+22•32+32•33+42•34+…+n2•3n，3S n＝+22•33+32•34+42•35+…+n2•3n+1，相减可得﹣2S n＝27+5•33+7•34+…+（2n﹣1）•3n﹣n2•3n+1，设T n＝5•33+7•34+…+（2n﹣1）•3n，3T n＝5•34+7•35+…+（2n﹣1）•3n+1，相减可得﹣2T n＝5•33+2（34+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1＝135+2•﹣（2n﹣1）•3n+1，化简可得T n＝（n﹣1）•3n+1﹣27，即有﹣2S n＝27+（n﹣1）•3n+1﹣27﹣n2•3n+1，化简可得S n＝•3n+1，故答案为：•3n+1．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次a，b，c若cos A＝，cos C＝．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若|+|＝，求BC边上中线的长．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，△ABC中，cos A＝，cos C＝．则sin A＝＝，sin C＝＝，则cos B＝﹣cos（A+C）＝﹣cos A cos C+sin A sin C＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin B＝＝，又由sin A＝，sin C＝，则有＝＝，即＝＝，设BC＝4k，AC＝5k，AB＝6k，若|+|＝，则2+2+2•＝25k2+16k2+2×5k×4k×＝46k2＝46，解可得：k＝1，k＝﹣1（舍）；则BC＝4，AC＝5，AB＝6，设BC的中点为D，则＝（+），则有2＝（2+2+2•）＝（25+36+2×5×6×）＝，则||＝；则BC边上中线的长为．18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分x4dx，这时x4dx等于由曲线y＝x4，x轴，x＝1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分x4dx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M．（Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率．附表：p（n）＝×0.2k×0.810000﹣k.810000﹣k【解答】解：（1）若ξ＝2099，则I＝，而＝＝0.2，…（2分）∴估计值与实际值的误差为：，即估计值与实际值的误差在5%以内．…（4分）（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），…（7分）∴Eξ＝10000×0.2＝2000．…（9分）（3）I与实际值之差在区间（﹣0.01，0.01）的概率为P（||＜0.01）＝P（1900＜ξ＜2100）＝＝P（2099）﹣P（1900）＝0.9871．…（14分）19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C．（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC1中，∵AB＝BC1，D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且平面ABC1∩平面AA1C1C＝AC1，∴BD⊥平面AA1C1C，而AC⊂平面AA1C1C，∴BD⊥AC；（Ⅱ）解：由题意知，四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，而BD⊥平面ACC1A1，故分别以DA1，DA，DB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（0，1，0），B（0，0，），A1（，0，0），C（，0，0），令B1（x，y，z），则，．而，∴x＝z＝，y＝﹣1．即B1（，﹣1，），，而，，令平面ABC的一个法向量为，则有，取z＝1，得．设直线AB1与平面ABC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝．∴cosθ＝．故直线AB1与平面ABC所成角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围；（2）证明：△P AB的内切圆的圆心在一条直线上．【解答】（1）解：设直线l的方程为，∵点在直线l的上方，∴，∴b＜0直线l的方程代入椭圆方程，整理可得2x2+6bx+9b2﹣36＝0∵斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，∴△＝36b2﹣8（9b2﹣36）＝﹣36b2+288＞0∴﹣2＜b＜2∴﹣2＜b＜0由，令y＝0可得x＝﹣3b，即x0＝﹣3b，∴（2）证明：设A（x1，y1），B（x1，y1），则∵，∴k P A+k PB＝0，又∵点P在直线l的上方，故∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，故∠P AB的内切圆圆心在直线上．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．∴x∈（0，+∞），＝＝，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．证明：（Ⅱ）∵方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，由（Ⅰ）知a＞0，设0＜x1＜x2，则＝c，，两式相减，得﹣＝0，∴a＝，∵f′（）＝0，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴只要证明＞即可，即证明x1+x2＞，即证明（x1+x2）（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2）＜，即证明ln＜，设t＝（0＜t＜1），令g（t）＝lnt﹣，则g′（t）＝＝，∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0，∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t＝1处连续且g（1）＝0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立，∴f′（）＞0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴，∴，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）＝|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，＝∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。
2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（0，3]C．（﹣1，0）D．（3，+∞）2．（5分）若复数z满足为虚数单位），则|z|＝（）A．B．3C．4D．53．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（）A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n 5．（5分）在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．56．（5分）数学家发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的n＝20，则输出的结果为（）A．6B．7C．8D．97．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值于最大值的和为（）A．B．C．D．8．（5分）如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）设函数，已知正实数a，b满足f（2a）+f（b﹣4）＝0，则的最小值为（）A．1B．2C．D．410．（5分）若锐角φ满足，则函数f（x）＝cos2（x+φ）的单调增区间为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，以F1F2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M，线段MF1与双曲线的左支交于点N，若点N恰好平分线MF1，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则向量在向量方向上的投影为．14．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若4S＝a2﹣（b﹣c）2，且b+c＝4，则S的最大值为．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．16．（5分）已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2（a＞0）交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若，则a＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3＝5，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设是数列{b n}的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AC的中点．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠PBC＝90°，求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．19．（12分）某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关．如果最高气温不低于25，需求量600桶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为400桶，如果最高气温低于20，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率．（1）六六月份这种冰激凌一天需求量X（单位：桶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y（单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量n（单位：桶）为多少时，Y的数学期望取得最大值？20．（12分）如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2＝是椭圆T：＝1（0＜b＜4）的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆T的左顶点，且GA⊥BC．（1）求椭圆T的标准方程；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线角椭圆于E，F两点，试判断直线EF与圆G的位置关系并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣＝0相切，求实数a的值；（2）若函数y＝f（x）有两个零点x1，x2，证明．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的方程是ρ＝2sin（θ﹣），直线l的参数方程为（t为参数，0≤a＜π），设P（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当a＝0时，求|AB|的长度；（2）求|P A|2+|PB|2的取值范围．23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（0，3]C．（﹣1，0）D．（3，+∞）【解答】解：由A＝{x|y＝lnx}＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1≤x＜3}则A∩B＝{x|0＜x＜3}，故选：A．2．（5分）若复数z满足为虚数单位），则|z|＝（）A．B．3C．4D．5【解答】解：∵虚数单位），∴+3＝＝＝﹣1﹣3i，∴＝﹣4﹣3i，∴z＝﹣4+3i．则|z|＝＝5．故选：D．3．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A若A，B都是锐角，显然有“sin A＞sin B”成立，若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤，此时有sin（π﹣A）＝sin A＞sin B综上，△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充分条件2°研究sin A＞sin B，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，综上在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的必要条件综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充要条件，故选：A．4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（）A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n【解答】解：A选项中的命题是正确的，分别垂直于两个平面的两条直线一定垂直，故不是正确选项；B选项中的命题是错误的，因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故是正确选项；C选项中的命题是正确的，因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故不是正确选项；D选项中的命题是正确的因为n⊥β且α∥β，可得出n⊥α，再由m⊥α，可得出m∥n故不是正确选项．故选：B．5．（5分）在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5【解答】解：（1+x）2（1﹣x）5＝（1+2x+x2）（1﹣5x+10x2﹣10x3+5x4﹣x5），∴展开式中含x5项为﹣x5+2x•5x4+x2•（﹣10x3）＝﹣x5；∴含x5项的系数是﹣1．故选：B．6．（5分）数学家发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的n＝20，则输出的结果为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得n＝20，i＝1不满足条件n是奇数，n＝10，i＝2不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝5，i＝3不满足条件n＝1，执行循环体，满足条件n是奇数，n＝16，i＝4不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝8，i＝5不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝4，i＝6不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝2，i＝7不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝1，i＝8满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．7．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值于最大值的和为（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件x，y满足约束条件，则作可行域如图，∵＝＝2+，即z﹣2＝，其几何意义是可行域内的动点与定点P（﹣2，2）连线斜率，由图可知，当可行域内的动点为A时，k P A最大，z＝2+＝，当可行域内的动点为B时，k PB最小，z＝2+＝0，∴的最小值与最大值的和为+0＝，故选：D．8．（5分）如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，其中奇数有20个，∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为p＝＝．故选：C．9．（5分）设函数，已知正实数a，b满足f（2a）+f（b ﹣4）＝0，则的最小值为（）A．1B．2C．D．4【解答】解：根据题意，，则f（﹣x）＝2017（﹣x）+sin（）+＝﹣（＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；＝2017x+sin﹣+1，则f′（x）＝2017+cos+＞0，函数f（x）为增函数，若f（2a）+f（b﹣4）＝0，则f（2a）＝﹣f（b﹣4）＝f（4﹣b），则有2a＝4﹣b，即2a+b ＝4，则＝（+）＝（4++）＝1+（+）≥1+×2×＝2，当且仅当b＝2a时等号成立；故选：B．10．（5分）若锐角φ满足，则函数f（x）＝cos2（x+φ）的单调增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：锐角φ满足，∴1﹣2sinφcosφ＝，∴sin2φ＝；又sinφ＞，∴2φ＝，解得φ＝；∴函数f（x）＝cos2（x+φ）＝＝+cos（2x+），∴2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z），即[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．11．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，以F1F2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M，线段MF1与双曲线的左支交于点N，若点N恰好平分线MF1，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：∵F1F2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M，∴MF1⊥MF2，∵点N恰好平分线MF1，∴|NF1|＝|MF1|，设|MF1|＝2m，则|MF2|＝2m﹣2a，∴|NF2|＝m+2a，在Rt△NMF2中，|NF2|2＝|MN|2+|MF2|2，∴（m+2a）2＝m2+（2m﹣2a）2，整理解得m＝3a，∴|MF2|＝2m﹣2a＝4a，在Rt△F1MF2中，|F1F2|2＝|MF1|2+|MF2|2，∴4c2＝（6a）2+（4a）2＝52a2，即c＝a，∴e＝＝故选：A．12．（5分）已知函数，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln2【解答】解：设y＝e a﹣1，则a＝1+lny，y＝+ln，则b＝2，则b﹣a＝2﹣lny﹣1，则（b﹣a）′＝2﹣，∴（b﹣a）′递增，∴y＝时，（b﹣a）′＝0，∴（b﹣a）′有唯一零点，∴y＝时，b﹣a取最小值，2﹣lny﹣1＝1+ln2，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则向量在向量方向上的投影为﹣2．【解答】解：根据题意，，则•＝2×3+4×（﹣4）＝﹣10，||＝＝5，则向量在向量方向上的投影＝＝﹣2；故答案为：﹣2．14．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若4S＝a2﹣（b﹣c）2，且b+c＝4，则S的最大值为2．【解答】解：∵满足4S＝a2﹣（b﹣c）2，b+c＝4，∴4××bc sin A＝2bc﹣（b2+c2﹣a2）＝2bc﹣2bc cos A，化为sin A＝1﹣cos A，又∵sin2A+cos2A＝1，∴解得：sin A＝1，∴S＝bc sin A＝bc≤（）2＝2，当且仅当b＝c＝2时取等号．故答案为：2．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面P AC为等边三角形，且面P AC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形P AC 的外心为H，过H作平面P AC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG＝＝，GC＝＝，∴OC＝，∴三棱锥外接球表面积为4π×＝．故答案为：．16．（5分）已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2（a＞0）交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若，则a＝2．【解答】解：联立方程组，消元得：ax2﹣2x﹣2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝．∴A（，），∵，即＝，即，∴AP⊥AQ．∴，即x1x2﹣（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+＝0，又y1y2＝a2x12x22＝4，y1+y2＝2（x1+x2）+4＝，∴+﹣2＝0，解得：a＝2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3＝5，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设是数列{b n}的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解（1）根据题意，因为a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，所以，解得a1＝1，d＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．（2）因为，所以，依题意，对任意正整数n，不等式，当n为奇数时，，即，所以；当n为偶数时，，即，所以；所以实数a的取值范围是．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AC的中点．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠PBC＝90°，求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：取AB的中点为O，连接OD，OP，∵P A＝PB，∴AB⊥OP，∵OD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB⊥OD，又OD∩OP＝O，∴AB⊥平面POD，从而AB⊥PD；（2）解：∵∠PBC＝90°，即PB⊥BC，∴BC⊥平面PBA，∴OD⊥平面PBA，∴OD⊥OP，以O为坐标原点，OB，OD，OP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OB＝1，则，∴，设是平面PDB的一个法向量，则，即，不妨设z＝1，则，∴，同理可求得平面PDC的一个法向量为，∴，∵二面角B﹣PD﹣C是锐二面角，∴其余弦值为．19．（12分）某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关．如果最高气温不低于25，需求量600桶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为400桶，如果最高气温低于20，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率．（1）六六月份这种冰激凌一天需求量X（单位：桶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y（单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量n（单位：桶）为多少时，Y的数学期望取得最大值？【解答】解：（1）由已知得，X的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件A1，最高气温位于区间[20，25）为事件A2，最高气温不低于25为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知，故六月份这种冰激凌一天的需求量X（单位：桶）的分布列为：（2）结合题意得当n≤200时，E（Y）＝2n≤400，当200＜n≤400时，，当400＜n≤600时，，当n＞600时，，所以当n＝400时，Y的数学期望E（Y）取得最大值640．20．（12分）如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2＝是椭圆T：＝1（0＜b＜4）的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆T的左顶点，且GA⊥BC．（1）求椭圆T的标准方程；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线角椭圆于E，F两点，试判断直线EF与圆G的位置关系并说明理由．【解答】解：（1）设与圆G切于点D，BC交x轴于点H，连接DG，由，得，解得，又点，在椭圆上，故，解得b2＝1，故所求椭圆T的标准方程为．（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为y﹣1＝kx，则，即32k2+36k+5＝0，设MF，ME的斜率分别为k1，k2，则，将y﹣1＝kx，代入，得（16k2+1）x2+32kx＝0，解得或0，设F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），则，于是直线EF的斜率为，从而直线EF的斜率为，将代入上式化简得，则圆心（2，0）到直线EF的距离，故直线EF与圆G相切．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣＝0相切，求实数a的值；（2）若函数y＝f（x）有两个零点x1，x2，证明．【解答】解：（1）由f（x）＝lnx﹣ax，得，设切点横坐标为x0，依题意得，解得，即实数a的值为1．（2）不妨设0＜x1＜x2，由，得lnx2﹣lnx1＝a（x2﹣x1），即，所以，令，则，设，则，即函数g（t）在（1，+∞）上递减，所以g（t）＞g（1）＝0，从而，即．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的方程是ρ＝2sin（θ﹣），直线l 的参数方程为（t为参数，0≤a＜π），设P（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当a＝0时，求|AB|的长度；（2）求|P A|2+|PB|2的取值范围．【解答】解：（1）曲线C的方程是ρ＝2sin（θ﹣），化为，化为ρ2＝2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴x2+y2＝2y﹣2x，曲线C的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝2．当α＝0时，直线l：y＝2，代入曲线C可得x+1＝±1．解得x＝0或﹣2．∴|AB|＝2．（2）设t1，t2为相应参数值t2+（4cosα+2sinα）t+3＝0，△＞0，∴≤1，∴t1+t2＝﹣（4cosα+2sinα），t1t2＝3．∴|P A|2+|PB|2＝＝（4cosα+2sinα）2﹣6＝20sin2（α+φ）﹣6，∴|P A|2+|PB|2∈（6，14]．23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a ＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．第21页（共22页）【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）＝|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，＝∴，∴或，∴，∴实数a 的取值范围是．第22页（共22页）。
2018年河南省濮阳市高考数学二模试卷(理科)
2018年河南省濮阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x ∈N|0≤x ≤5}，∁A B ={1, 3, 5}，则集合B =( ) A.{2, 4} B.{0, 2, 4} C.{0, 1, 3} D.{2, 3, 4}2. 复数z =4+3i1+2i的虚部为（ ） A.i B.−i C.−1 D.13. 在如图的程序框图中，若输入m =77，n =33，则输出的n 的值是( )A.3B.7C.11D.334. 已知三棱柱HIG −EFD 的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图(1)所示，A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点）后得到的几何体如图(2)，则该几何体沿图(2)所示方向的侧视图为（ ）A.B.C.D.5. 若x 、y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0 ，则z =3x −2y 的最小值为（ ）A.13 B.−13C.−5D.56. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A.316 B.34 C.1316 D.147. 设x 1，x 2，x 3均为实数，且π−x 1=log 2(x 1+1)，π−x 2=log 3x 2，π−x 3=log 2x 3，则（ ）A.x 1<x 3<x 2B.x 3<x 2<x 1C.x 3<x 1<x 2D.x 2<x 1<x 38. 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|>1，令b n =a n +1(n =1, 2,…)，若数列{b n }有连续四项在集合{−53, −23, 19, 37, 82}中，则q 等于（ ） A.−12 B.12C.−32D.329. 已知f(x)=sin(2x −π3)，g(x)=f(x)−13，x 1，x 2是g(x)在[0, π]上的相异零点，则cos(x 1−x 2)的值为（ ） A.2√23B.−2√23C.13D.−1310. 已知F 1、F 2为双曲线C:x 2−y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝（ ） A.14B.35C.34D.4511. 已知定义在(0, +∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)>f(x)恒成立（其中f ′(x)为函数f(x)的导函数），对于任意实数x 1>0，x 2>0，下列不等式一定正确的是（ ） A.f(x 1)⋅f(x 2)≥f(x 1x 2) B.f(x 1)⋅f(x 2)≤f(x 1x 2) C.f(x 1)+f(x 2)>f(x 1+x 2) D.f(x 1)+f(x 2)<f(x 1+x 2)12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数N ：第2017行的第N 项为2的正整数幂．已知210=1024，那么该款软件的激活码是（ ）A.1040B.1045C.1060D.1065二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.如图，有5个全等的小正方形，BD →=xAE →+yAF →，则x +y 的值是________．(12x −2y)5的展开式中的x 2y 3系数是________．已知正三棱锥P −ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为√3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．过抛物线y 2=x 上且在第一象限内的一点M(m 2, m)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线另外交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率为k ，则k −m 的最大值为________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.如图，在△ABC 中，已知点D 在边AB 上，AD =3DB ，cosA =45，cos∠ACB =513，BC =13．(1)求cosB 的值；(2)求CD 的长．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD // BC ，AD ⊥DC ，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，PA =PD =2，BC =12AD =1，CD =√3．(Ⅰ)求证：PQ⊥AB；(Ⅱ)求二面角P−QB−M的余弦值．近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年双十一的广告策略，随机调查1000名淘宝客户在2017年双十一前后10天内网购所花时间，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T近似服从N(μ, σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2=0.24．(Ⅰ)计算样本的平均值μ，并利用该正态分布求P(1.51<T<2.49)．(Ⅱ)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2, 2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10000名淘宝客户，记X为这10000人中目标客户的人数．(i)求EX；(ii)问：10000人中目标客户的人数X为何值的概率最大？附：若随机变量Z服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974，√0.24≈0.49．已知椭圆Ω:x24+y23=1，点A是椭圆Ω内且在x轴上的一个动点，过点A的直线与椭圆Ω交于B，C两点（B在第一象限），且3|AB|=|AC|．(Ⅰ)若点C为椭圆Ω的下顶点，求点A的坐标；(Ⅱ)当△OBC（O为坐标原点）的面积最大时，求点A的坐标．已知函数f(x)=e2x−4ae x+(4a−2)x，其中a≥1．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若存在x使得f(x)+f(−x)=0，求实数a的取值范围；(Ⅲ)若当x≥0时恒有f(x)≥f(−x)，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是{x =√22ty =√22t +4√2（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)． (Ⅰ)求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的任一点向圆C 引切线，求切线长的最小值． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=m −|x −2|，m ∈R ，且f(x +2)≥0的解集为[−1, 1]． (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若a ，b ，c ∈R ，且1a +12b +13c =m ，求证：a +2b +3c ≥9．参考答案与试题解析2018年河南省濮阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】补集及其运算【解析】根据题意，先用列举法表示集合A，进而由补集的性质，可得B=∁A(∁A B)，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={x∈N|0≤x≤5}={0, 1, 2, 3, 4, 5}，若∁A B={1, 3, 5}，则集合B=∁A(∁A B)={0, 2, 4}.故选B.2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】z=4+3i1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i，则复数z=4+3i1+2i的虚部为：−1．3.【答案】C【考点】循环结构的应用【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．【解答】解：该程序的作用是：用较大的数字m除以较小的数字n，得到商和余数r，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，直到余数r为零即整除时，最后得到m，n的最大公约数．∵77÷33=2 (11)33÷11=3 0∴ m =77，n =33的最大公约数是11， 则输出的n 的值是11． 故选C . 4.【答案】 A【考点】简单空间图形的三视图 【解析】由几何体的侧面ADE ⊥底面DEF 可知左视图为直角梯形，直腰在左视图的左边 【解答】∵ 平面DEHG ⊥平面DEF ，∴ 几何体的左视图为直角梯形，且直腰在左视图的左侧． 5.【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】由约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0 作出可行域如图：联立{x +2y =12x +y =−1 ，解得A(−1, 1)． 化目标函数z =3x −2y 为y =32x −z2，由图可知，当直线y =32x −z 2过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最小值为−5． 6.【答案】 C【考点】 等可能事件等可能事件的概率 【解析】灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果． 【解答】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴ 灯泡不亮的概率是 12×12×12×12+12×12×12×12+12×12×12×12=316， ∵ 灯亮和灯不亮是两个对立事件， ∴ 灯亮的概率是1−316=1316， 7.【答案】 A【考点】对数值大小的比较 【解析】分别画出函数y =π−x ，y =log 2x ，y =log 3x 的图象．即可得出结论． 【解答】分别画出函数y =π−x ，y =log 2x ，y =log 3x 的图象． ∵ π−x 1=log 2(x 1+1)，π−x 2=log 3x 2，π−x 3=log 2x 3， 由图象可得：x 1+1=x 3<x 2， ∴ x 1<x 3<x 2， 8.【答案】 C【考点】等比数列的通项公式 【解析】根据b n =a n +1可知 a n =b n −1，依据{b n }有连续四项在{−53, −23, 19, 37, 82}中，则可推知则{a n }有连续四项在{−54, −24, 18, 36, 81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项中−24，36，−54，81是{a n }中连续的四项，求得q 【解答】{b n }有连续四项在{−53, −23, 19, 37, 82}中且b n =a n +1 a n =b n −1 则{a n }有连续四项在{−54, −24, 18, 36, 81}中∵ {a n }是等比数列，等比数列中有负数项则q <0，且负数项为相隔两项∴ 等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，−24，36，−54，81}相邻两项相除−2418=−43，36−24=−32，−5436=−32，81−54=−32 则可得，−24，36，−54，81是{a n }中连续的四项 q =−32或 q =−23（|q|>1，∴ 此种情况应舍） ∴ q =−329.【答案】C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由题意可得sin(2x−π3)=13，求解三角方程可得x1，x2的值，代入cos(x1−x2)得答案．【解答】∵f(x)=sin(2x−π3)，g(x)=f(x)−13，由g(x)=0，得f(x)=13，即sin(2x−π3)=13，∴2x−π3=arcsin13+2kπ，k∈Z或2x−π3=π−arcsin13+2kπ，k∈Z．即x=π6+12arcsin13+kπ，k∈Z或x=2π3−12arcsin13+kπ，k∈Z．∵x∈[0, π]，∴x1=π6+12arcsin13，k∈Z或x2=2π3−12arcsin13，k∈Z．则cos(x1−x2)=cos(π6+12arcsin13−2π3+12arcsin13)=cos(−π2+arcsin13)=sin(arcsin13)=13．10.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的定义，结合|PF1|＝2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】将双曲线方程x2−y2＝2化为标准方程x22−y22=1，则a=√2，b=√2，c＝2，设|PF1|＝2|PF2|＝2m，则根据双曲线的定义，|PF1|−|PF2|＝2a可得m＝2√2，∴|PF1|＝4√2，|PF2|＝2√2，∵|F1F2|＝2c＝4，∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=2×4√2×2√2=2432=34．11.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】令F(x)=f(x)x，F(x)在(0, +∞)递增，求出F(x1+x2)>F(x1)，F(x1+x2)>F(x2)，相加即可． 【解答】 令F(x)=f(x)x，∵ xf ′(x)>f(x)恒成立， ∴ F′(x)xf ′(x)−f(x)x 2>0，故F(x)在(0, +∞)递增， ∵ x 1>0，x 2>0，∴ x 1+x 2>x 1>0，x 1+x 2>x 2>0，∴ F(x 1+x 2)>F(x 1)，F(x 1+x 2)>F(x 2)， 即f(x 1+x 2)x 1+x 2>f(x 1)x 1，f(x 1+x 2)x 1+x 2>f(x 2)x 2，故f(x 1)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)<x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2，两式相加得f(x 1)+f(x 2)<f(x 1+x 2)， 12.【答案】 A【考点】进行简单的合情推理 【解析】由数表推得，每一行都是等差数列，第n 行的公差为2n−1，记第n 行的第m 个数为f(n, m)，则f(n, 1)=f(n −1, 1)+f(n −1, 2)依此类推算得f(n, 1)=(n +1)⋅2n−2从而得到f(n, m)=f(n, 1)+(m −1)⋅2n−1，再根据第2017行的第N 项为2的正整数幂，即可求出． 【解答】由数表推得，每一行都是等差数列，第n 行的公差为2n−1，记第n 行的第m 个数为f(n, m)，则f(n, 1)=f(n −1, 1)+f(n −1, 2)=2f(n −1, 1)+2n−2， ∴f(n,1)2n=f(n−1,1)2n−1+14， 算得f(n, 1)=(n +1)⋅2n−2⇒f(n, m)=f(n, 1)+(m −1)⋅2n−1 =2n−2(2m +n −1)(n ∈N +)，∵ 第2017行的第N 项为2的正整数幂， ∴ 22017−2(2N +2017−1)=2k ， 即22016(N +1008)=2k ， ∵ N 最小四位整数． 当N =1040，满足题意，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】 1【考点】平面向量的基本定理 【解析】建立坐标系，求出各向量坐标，从而得出x ，y 的值．【解答】以AF，AE为坐标轴建立平面坐标系如图所示：设小正方形的边长为1，则B(2, −1)，D(0, 2)，∴AE→=(0, 1)，AF→=(1, 0)，∴BD→=(−2, 3)，∴BD→=3AE→−2AF→．∴x+y=1．故答案为：1．【答案】−20【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求得二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于2、y的幂指数等于3，可得r的值，即可求得x2y3系数．【解答】(1 2x−2y)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(−2)r⋅(12)5−r⋅x5−r⋅y r，令r＝3，可得x2y3系数是−20，【答案】√33【考点】球内接多面体【解析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【解答】∵正三棱锥P−ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为√3，∴正方体的边长为2，即PA＝PB＝PC＝2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为ℎ，则正三棱锥P−ABC的体积V=13S△ABC×ℎ=13S△PAB×△ABC 为边长为2√2的正三角形，S △ABC =√34×(2√2)2=2√3，∴ ℎ=3V S △ABC=2√33∴ 正方体中心O 到截面ABC 的距离为√3−2√33=√33【答案】 −√2【考点】 抛物线的求解 【解析】设出直线MA 、MB 的方程与抛物线方程联立，求出A ，B 的坐标，利用斜率公式，即可得到k =1−2m ，再根据基本不等式即可求出答案【解答】由题意可知，直线MA ，MB 的斜率存在且互为相反数，且不为0， 设直线MA 的方程为y −m 2=t(x −m)，联立{y −m 2=t(x −m)y 2=x ，可得y 2−y t +m 2t −m =0， ∴ y A +m =1t ，即y A =1t −m ， 设直线MB 的方程为y −m =−t(x −m)， 同理可得y B =−1t −m ，∴ k =y B −y A x B−x A=y B −y Ay B2−y A2=1xB +x A=1−2m，∴ k −m =1−2m−m =−(12m +m)≤−2√12m ∗m =−√2， 当且仅当m =√22时取等号，∴ k −m 的最大值为−√2，三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 【答案】解：(1)在△ABC 中，cosA =45，A ∈(0, π)， 所以sinA =√1−cos 2A =35． 同理可得，sin∠ACB =1213．所以cosB =cos[π−(A +∠ACB)]=−cos(A +∠ACB) =sinAsin∠ACB −cosAcos∠ACB =35×1213−45×513=1665.BC1312又AD=3DB，所以DB=14AB=5，在△BCD中，由余弦定理得，CD=√BD2+BC2−2BD⋅BCcosB=√52+132−2×5×13×1665=9√2．【考点】两角和与差的余弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）在△ABC中，求出sinA=2A=35．，sin∠ACB=1213．可得cosB＝−cos(A+∠ACB)＝sinAsin∠ACB−cosAcosB；（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB=BCsinAsin∠ACB．在△BCD中，由余弦定理得，CD=√BD2+BC2−2BD⋅BCcosB．【解答】解：(1)在△ABC中，cosA=45，A∈(0, π)，所以sinA=√1−cos2A=35．同理可得，sin∠ACB=1213．所以cosB=cos[π−(A+∠ACB)]=−cos(A+∠ACB)=sinAsin∠ACB−cosAcos∠ACB=35×1213−45×513=1665.(2)在△ABC中，由正弦定理得，AB=BCsinA sin∠ACB=1335×1213=20，又AD=3DB，所以DB=14AB=5，在△BCD中，由余弦定理得，CD=√BD2+BC2−2BD⋅BCcosB=√52+132−2×5×13×1665=9√2．【答案】（1）证明：在△PAD中，PA=PD，∵Q为AD中点．∴PQ⊥AD∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD，又AB⊂平面ABCD，∴PQ⊥AB；（2）在直角梯形ABCD中，AD // BC，BC=12AD，∵Q为AD中点，BC=QD，BC⊥QD∴四边形BCDQ为平行四边形，∴ ，以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系，Q −xyz 如图．则Q(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，P(0,0,√3)，B(0,√3,0)，C(−1, √3, 0)D(−1, 0, 0) ∵ M 是PC 中点，∴ M(−12,√32,√32)，又QB →=(0,√3,0)，设平面MBQ 的法向量为m →=(x, y, z)， 则{m →⋅QB →=√3y =0m →⋅QM →=−12x +√32y +√32z =0 ， 令z =1得x =√3，y =0， 则m →=(√3, 0, 1)， 则cos <QA →，m →>QA →⋅m →|m →||QA →|=√32， 由题知，二面角P −QB −M 为锐角所以二面角P −QB −M 的余弦值为√32．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直 【解析】(Ⅰ)根据线面垂直的性质定理证明PQ ⊥底面ABCD 即可证明PQ ⊥AB ；(Ⅱ)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角P −QB −M 的余弦值． 【解答】（1）证明：在△PAD 中，PA =PD ， ∵ Q 为AD 中点．∴ PQ ⊥AD∵ 平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD ∩底面ABCD =AD ， ∴ PQ ⊥底面ABCD ， 又AB ⊂平面ABCD ， ∴ PQ ⊥AB ；（2）在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，BC =12AD ， ∵ Q 为AD 中点，BC =QD ，BC ⊥QD ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴ ，以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系，Q −xyz 如图．则Q(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，P(0,0,√3)，B(0,√3,0)，C(−1, √3, 0)D(−1, 0, 0) ∵ M 是PC 中点，∴ M(−12,√32,√32)，又QB →=(0,√3,0)，设平面MBQ 的法向量为m →=(x, y, z)， 则{m →⋅QB →=√3y =0m →⋅QM →=−12x +√32y +√32z =0 ， 令z =1得x =√3，y =0， 则m →=(√3, 0, 1)， 则cos <QA →，m →>QA →⋅m →|m →||QA →|=√32， 由题知，二面角P −QB −M 为锐角所以二面角P −QB −M 的余弦值为√32．【答案】（1）因为μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2， 从而T 服从N(2, 0.24)，因为σ=√0.24≈0.49，从而P(1.51<T <2.49)=P(μ−σ<T <μ+σ)=0.6826． (2)(i)任抽1个淘宝客户， 该客户是目标客户的概率为：P(2<T <2.98)=P(μ<T <μ+2σ)=12P(μ−2σ<T <μ+2σ)=12×0.9544=0.4772．现若随机抽取10000名淘宝客户， 记X 为这10000人中目标客户的人数， 从而X 服从B(10000, 0.4772)，所以E(X)=10000×0.4772=4772． (ii)X 服从B(10000, 0.4772)，P(X =k)=C 10000k0.4772k (1−0.4772)10000−k=C 10000k0.4772k ⋅0.522810000−k ． 当X =k 时概率最大，即{0.5228C 10000k >0.4772C 10000k+10.4772C 10000k >0.5228C 10000k−1 ，解得k =4772， 故10000人中目标客户的人数X 为4772的概率最大． 【考点】正态分布的密度曲线 【解析】(Ⅰ)根据N(2, 0.24)，求出满足条件的概率即可；(Ⅱ)(i)求出满足条件的概率p ，得到X 服从B(10000, 0.4772)，计算出E(X)=10000×0.4772=4772．(ii)根据X 服从B(10000, 0.4772)，得到P(X =k)=C 10000k 0.4772k ⋅0.522810000−k ，求出答案． 【解答】（1）因为μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2， 从而T 服从N(2, 0.24)，因为σ=√0.24≈0.49，从而P(1.51<T <2.49)=P(μ−σ<T <μ+σ)=0.6826． (2)(i)任抽1个淘宝客户， 该客户是目标客户的概率为：P(2<T <2.98)=P(μ<T <μ+2σ)=12P(μ−2σ<T <μ+2σ)=12×0.9544=0.4772．现若随机抽取10000名淘宝客户， 记X 为这10000人中目标客户的人数， 从而X 服从B(10000, 0.4772)，所以E(X)=10000×0.4772=4772． (ii)X 服从B(10000, 0.4772)，P(X =k)=C 10000k0.4772k (1−0.4772)10000−k=C 10000k0.4772k ⋅0.522810000−k ． 当X =k 时概率最大，则有{P(X =k)>P(X =k +1)P(X =k)>P(X =k −1)即{0.5228C 10000k >0.4772C 10000k+10.4772C 10000k >0.5228C 10000k−1 ，解得k =4772， 故10000人中目标客户的人数X 为4772的概率最大． 【答案】（1）根据题意，椭圆Ω:x 24+y 23=1，若点C 为椭圆Ω的下顶点，则C(0,−√3)，由3|AB|=|AC|知B 的纵坐标为√33，代入椭圆Ω的方程得x24+(√33)23=1，解得x =4√23（负值舍去）， 即此时B(4√23,√33)． 从而直线BC 的方程为y =√62x −√3，令y =0，得x =√2，即此时A(√2,0)．（2）设B(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，由3|AB|=|AC|，知3y 1+y 2=0．{x =my +n x 24+y 23=1，消去x 可得(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2−12=0，∴ y 1+y 2=−6mn3m 2+4，y 1⋅y 2=3n 2−123m 2+4．∵ 3y 1+y 2=0，∴ y 1=3mn3m 2+4，y 12=4−n 23m 2+4，∴ 9m 2n 2(3m 2+4)2=4−n 23m 2+4，从而n 2=3m 2+43m +1．∴ S △OBC =12|n|⋅|y 1−y 2|=2|n||y 1|=6|m|n 23m 2+4=6|m|3m 2+1．∵ B 在第一象限，∴ x 1=my 1+n =3m 2n3m 2+4+n >0，∴ n >0．∵ y 1>0，∴ m >0．∴ S △OBC =6m 3m 2+163m+1m≤2√3=√3，当且仅当m =√33时取等号，此时n =√102．即此时A(√102,0)．【考点】 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的标准方程分析可得C 的坐标，结合3|AB|=|AC|知B 的纵坐标，代入椭圆的方程可得B 的横坐标，即可得答案；(Ⅱ)设B(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，由3|AB|=|AC|，知3y 1+y 2=0，设直线l 的方程为x =my +n ，联立{x =my +n x 24+y 23=1，由根与系数的关系分析，用m 、n 表示△OBC 的面积，由基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆Ω:x 24+y 23=1，若点C 为椭圆Ω的下顶点，则C(0,−√3)，由3|AB|=|AC|知B 的纵坐标为√33，代入椭圆Ω的方程得x 24+(√33)23=1，解得x =4√23（负值舍去）， 即此时B(4√23,√33)． 从而直线BC 的方程为y =√62x −√3，令y =0，得x =√2，即此时A(√2,0)．（2）设B(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，由3|AB|=|AC|，知3y 1+y 2=0．易知直线l 与y 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 的方程为x =my +n ，联立{x =my +n x 24+y 23=1，3n 2−123m 2+4．∵ 3y 1+y 2=0，∴ y 1=3mn3m 2+4，y 12=4−n 23m 2+4，∴ 9m 2n 2(3m 2+4)2=4−n 23m 2+4，从而n 2=3m 2+43m +1．∴ S △OBC =12|n|⋅|y 1−y 2|=2|n||y 1|=6|m|n 23m 2+4=6|m|3m 2+1．∵ B 在第一象限，∴ x 1=my 1+n =3m 2n3m 2+4+n >0，∴ n >0．∵ y 1>0，∴ m >0．∴ S △OBC =6m 3m 2+163m+1m≤2√3=√3，当且仅当m =√33时取等号，此时n =√102．即此时A(√102,0)．【答案】（1）f ′(x)=2e 2x −4ae x +(4a −2)=2(e x −1)(e x +1−2a)， 令f ′(x)=0得x =0或x =ln(2a −1)．当a =1时，f ′(x)=2(e x −1)2≥0，f(x)在R 上单调递增； 当a >1时，令f ′(x)>0得x <0或x >ln(2a −1)， 从而f(x)在(−∞, 0)，(ln(2a −1)，+∞)上单调递增， 在（0, ln(2a −1)）上单调递减；（2）f(x)+f(−x)=e 2x +e −2x −4a(e x +e −x )=0，令t =e x +e −x ， 则t =e x +e −x ≥2√e x ⋅e −x =2，当且仅当x =0取得等号． 注意到e 2x +e −2x =(e x +e −x )2−2=t 2−2， 原问题转化为t 2−2−4at =0在[2, +∞)上有解， 即4a =t −2t 在[2, +∞)上有解，又t −2t 关于t 单调递增，从而4a ≥2−22=1，又a ≥1，综合得a ∈[1, +∞)．(Ⅲ)令g(x)=f(x)−f(−x)=e 2x −e −2x −4a(e x −e −x )+(8a −4)x ，g ′(x)=2(e 2x +e −2x )−4a(e x +e −x )+(8a −4)=2(t 2−2)−4at +8a −4， 得g ′(x)=2(t −2)(t +2−2a)，由(Ⅱ)知t ≥2．当2+2−2a ≥0，即a ≤2时，g ′(x)≥0，又g(0)=0，从而当x ≥0时恒有f(x)≥f(−x)，当a >2时，存在t =2a −2使得g ′(x)=0，即e x +e −x =2a −2，即e 2x −(2a −2)e x +1=0，解得e x =a −1±√a 2−2a ，x =ln(a −1+√a 2−2a)， （x =ln(a −1−√a 2−2a)<0舍去）．从而当x ∈[0,ln(a −1+√a 2−2a)]时g ′(x)≤0， 此时g(x)≤g(0)=0，矛盾． 综上a ∈[1, 2]． 【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程(Ⅰ)求得f(x)的导数，讨论a=1，a>1，求得单调区间；(Ⅱ)求得f(x)+f(−x)=e2x+e−2x−4a(e x+e−x)=0，令t=e x+e−x，由基本不等式可得t的范围，再由参数分离和单调性，可得a的范围；(Ⅲ)令g(x)=f(x)−f(−x)=e2x−e−2x−4a(e x−e−x)+(8a−4)x，求得导数，对a讨论，结合函数的单调性，可得a的范围．【解答】（1）f′(x)=2e2x−4ae x+(4a−2)=2(e x−1)(e x+1−2a)，令f′(x)=0得x=0或x=ln(2a−1)．当a=1时，f′(x)=2(e x−1)2≥0，f(x)在R上单调递增；当a>1时，令f′(x)>0得x<0或x>ln(2a−1)，从而f(x)在(−∞, 0)，(ln(2a−1)，+∞)上单调递增，在（0, ln(2a−1)）上单调递减；（2）f(x)+f(−x)=e2x+e−2x−4a(e x+e−x)=0，令t=e x+e−x，则t=e x+e−x≥2√e x⋅e−x=2，当且仅当x=0取得等号．注意到e2x+e−2x=(e x+e−x)2−2=t2−2，原问题转化为t2−2−4at=0在[2, +∞)上有解，即4a=t−2t在[2, +∞)上有解，又t−2t 关于t单调递增，从而4a≥2−22=1，又a≥1，综合得a∈[1, +∞)．(Ⅲ)令g(x)=f(x)−f(−x)=e2x−e−2x−4a(e x−e−x)+(8a−4)x，g′(x)=2(e2x+e−2x)−4a(e x+e−x)+(8a−4)=2(t2−2)−4at+8a−4，得g′(x)=2(t−2)(t+2−2a)，由(Ⅱ)知t≥2．当2+2−2a≥0，即a≤2时，g′(x)≥0，又g(0)=0，从而当x≥0时恒有f(x)≥f(−x)，当a>2时，存在t=2a−2使得g′(x)=0，即e x+e−x=2a−2，即e2x−(2a−2)e x+1=0，解得e x=a−1±√a2−2a，x=ln(a−1+√a2−2a)，（x=ln(a−1−√a2−2a)<0舍去）．从而当x∈[0,ln(a−1+√a2−2a)]时g′(x)≤0，此时g(x)≤g(0)=0，矛盾．综上a∈[1, 2]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】(Ⅰ)∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)，∴ρ=√2cosθ−√2sinθ，∴ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2−√2x+√2y=0，即(x−√22)2+(y+√22)2=1，∴圆心C的直角坐标为(√22,−√22)．(Ⅱ)解法一：由直线l上的任一点向圆C所引切线长是：√(√22t−√22)2+(√22t+√22+4√2)2−1=√t2+8t+40=√(t+4)2+24≥2√6，解法二：∵ 直线l 的参数方程是{x =√22ty =√22t +4√2 （t 是参数），∴ 直线l 的普通方程为x −y +4√2=0， 圆心C 到直线l 的距离是|√22+√22+4√2|√2=5，∴ 由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长的最小值是√52−12=2√6． 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)圆C 的极坐标方程转化为ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，从而求出圆C 的直角坐标方程，由此能求出圆心C 的直角坐标．(Ⅱ)法一：由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长(√22t −√22)+(√22t +√22+4√2)−1=√t 2+8t +40=√(t +4)2+24≥2√6，由此能求出由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长的最小值．法二：求出直线l 的普通方程、圆心C 到直线l 的距离，由此能求出由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长的最小值． 【解答】(Ⅰ)∵ 圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)， ∴ ρ=√2cosθ−√2sinθ， ∴ ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−√2x +√2y =0，即(x −√22)2+(y +√22)2=1，∴ 圆心C 的直角坐标为(√22,−√22)．(Ⅱ)解法一：由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长是：(√2√2)(√2√2=√t 2+8t +40=√(t +4)2+24≥2√6，∴ 由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长的最小值是2√6． 解法二：∵ 直线l 的参数方程是{x =√22ty =√22t +4√2 （t 是参数），∴ 直线l 的普通方程为x −y +4√2=0， 圆心C 到直线l 的距离是|√22+√22+4√2|√2=5，∴ 由直线l 上的任一点向圆C 所引切线长的最小值是√52−12=2√6．[选修4-5：不等式选讲]【答案】(Ⅰ)函数f(x)=m −|x −2|，m ∈R ，故 f(x +2)=m −|x|，由题意可得m −|x|≥0的解集为[−1, 1]，即|x|≤m 的解集为[−1, 1]，故m =(1) (Ⅱ)由a ，b ，c ∈R ，且1a +12b +13c =m =1， ∴ a +2b +3c =(a +2b +3c)(1a +12b +13c )=3+2ba +3ca+a2b+3c2b+a3c+2b3c≥3+6=9，当且仅当2ba=3ca=a2b=3c2b=a3c=2b3c=1时，等号成立．所以a+2b+3c≥9【考点】带绝对值的函数不等式的证明【解析】(Ⅰ)由条件可得f(x+2)=m−|x|，故有m−|x|≥0的解集为[−1, 1]，即|x|≤m的解集为[−1, 1]，故m=(1)(Ⅱ)根据a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)=1+2ba+3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1，利用基本不等式证明它大于或等于(9)【解答】(Ⅰ)函数f(x)=m−|x−2|，m∈R，故f(x+2)=m−|x|，由题意可得m−|x|≥0的解集为[−1, 1]，即|x|≤m的解集为[−1, 1]，故m=(1)(Ⅱ)由a，b，c∈R，且1a +12b+13c=m=1，∴a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)=1+2ba +3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1=3+2ba +3ca+a2b+3c2b+a3c+2b3c≥3+6=9，当且仅当2ba=3ca=a2b=3c2b=a3c=2b3c=1时，等号成立．所以a+2b+3c≥9试卷第21页，总21页。
2018年河南省安阳市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={«dy=log2x},B={xl-2MxW2},则AC\B=(A.|1,2]B.(0,2]C・[・2,2]D・(・8.2]【解答】解：A={jt I x>0[,且B={xi・2W点2}：:.AC\B=（0,2].故选：B.2.（5分）若复数z=l5为z的共辄复数，则复数二二的虚部为（）【解答】解：Vz=l-n Azz=|z|2=2,♦•则-----i的虚部为1.zz-12-1故选：C.3.（5分）如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半圆，则该积木的表面积为（）B.26-mtC.26-ttD.26-J【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体.长方体挖去一个半圆柱，两个底面面积为：2X2X4・n=16・n,侧而积为：10X1+h X1=10+tt故该几何体的表面枳S=I6-ti+10+ti=26,故选：A.A,3ao6[O,+8),2Xo<3X<>2号＜3此，则一＞为（）B.3ao€(- 8, 0),2X°>3X°C.Vxoe[O,+8),2r<3rD.(・8,o),【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题小弘oG(-8, 0),2x o<3x o,则fp为：V.vG(- 8,0),2*23、故选：D.5.（5分）在某校连续5次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.己知甲同学5次成绩的平均数为81.乙同学5次成绩的中位数为73,则x+y的值为（）甲7 2 6x06乙70、S91A.3B.4C.5D.6【解答】解：根据茎叶图中甲同学的5次成绩的平均数为-X(72+77+86+80+.r+90)=81,解得x=0；乙同学5次成绩按大小排列为67,70,（70+v）,85,91..其中位数为73,.••y=3：•L.x+y=0+3=3・故选：6.（5分）若执行如图所示的程序框图，其中ra f ul\0.1|表示区间［0.1|上任意一个实数.则输出数对（加、）的概率为（x=rand [0:1]y= rand [0;l]俞出数对a,》/【解答】解：由程序框图知求的概率,D.匝2作出对应的图象如图：Ijr X [ 2则对应的概率P=』- =&故选：C.7. （5分）已知"•。
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)2018年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则P∩Q=（） A．{0，1，2}B．{1，2}C．（0，2]D．（0，e）2．（5分）若复数，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0”的否定是（）A．∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2＞0B．∀x∉[1，2]，x2﹣3x+2＞0C．D．4．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5=0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．5．（5分）运行如图所示的程序框图，输出的S=（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）函数y=sinx（1+cos2x）在区间[﹣π，π]上的大致图象为（） A．B．C．D．11．（5分）如图，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（2，1的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，4），圆，过圆心C2M，N，则|PN|+4|QM|的最小值为（）A．23B．42C．12D．5212．（5分）已知M={α|f（α）=0}，N={β|g（β）=0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n度零点函数“，若f （x）=32﹣x﹣1与g（x）=x2﹣ae x互为“1度零点函数“，则实数a的取值范围为（）A．（，]B．（，]C．[，）D．[，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知二项式（2x﹣3）n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中x2的系数为．14．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为．15．（5分）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为2，则该几何体外接球的表面积为．16．（5分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆r上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且k1、k2、k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1．则= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2R（sin2B﹣sin2A）=（b﹣c）sinC，c=3．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若AD是BC边上的中线，，求△ABC的面积．18．（12分）光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．（0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]用电量（单位：度）户数7815137（Ⅰ）在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；（Ⅱ）在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19．（12分）如图所示四棱锥P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB=ED=EC=BC，连接CE并延长交AD于F．（Ⅰ）若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；（Ⅱ）若BC=2，PA=3，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知圆O：x2+y2=4，点F（1，0），P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO=∠NQO，若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣x2．（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；（Ⅱ）过点B（﹣1，1）与直线l平行的直线l1与曲线 C1交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）+|x﹣1|≥2对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为a﹣1，求实数a的值．2018年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】分别求出集合P，Q，由此能求出P∩Q．【解答】解：集合P={x|y=}={x|﹣x2+x+2≥0，x∈N}={0，1，2}，Q={x|0＜x＜e}，∴P∩Q={1，2}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．【分析】根据复数的基本运算进行化简，集合复数的几何意义进行判断即可．【解答】解：====﹣﹣i，对应点的坐标为（﹣，﹣）位于第三象限角，故选：C．【点评】本题主要考查复数的几何意义的应用，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．3．【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．【解答】解：命题：“∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0的否定是，故选：C．【点评】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题．4．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5=0与渐近线y=﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x．又直线3x﹣y+5=0可化为y=3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5=0垂直，∴=，=∴双曲的离心率e==．故选：B．【点评】熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式是解题的关键．5．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出S=1﹣2+3﹣4+…+2017﹣2018的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=1﹣2+3﹣4+…+2017﹣2018的值，由于S=1﹣2+3﹣4+…+2017﹣2018=（1+3+...+2017）﹣（2+4+ (2018)=﹣=﹣1009．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．【分析】由题意可得2a﹣1＞0，a＞1，且2a﹣1+4＜a2，解不等式组，即可得到所求范围．【解答】解：的定义域为R，数列满足an =f（n），且{an}是递增数列，可得2a﹣1＞0，即a＞；又a＞1；且2a﹣1+4＜a2，即a＞3或a＜﹣1，综上可得，a＞3，故选：D．【点评】本题考查数列与函数的综合，考查数列的单调性的判断和应用，注意数列与函数的区别，以及分界点的函数值，考查运算能力，属于中档题和易错题．7．【分析】利用已知条件，设出向量的夹角，利用数量积化简转化求解即可．【解答】解：设平面向量，的夹角为：α，，的夹角为：β，平面向量，，满足||=||=||=1，若•=，可得平面向量，的夹角为：60°，则（+）•（2﹣）=2﹣﹣+2=﹣cosα+2cosβ，由表达式可知当0°≤α≤90°，β＞90°时，表达式取得最小值，如图：﹣cosα+2cosβ=﹣cosα+2cos60°cosα﹣2sin60°sinα=sinα≥﹣．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的应用，最值的求法，考查数形结合以及计算能力．8．【分析】根据题意，由于任务A必须排在前三位，按A的位置分3种情况讨论，依次分析任务E、F以及其他三个任务的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的安排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于任务A必须排在前三位，分3种情况讨论：①、A排在第一位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，3=6种安排方法，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A3则此时有4×2×6=48种安排方案；②、A排在第二位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，3=6种安排方法，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A3则此时有3×2×6=36种安排方案；③、A排在第三位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，3=6种安排方法，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A3则此时有3×2×6=36种安排方案；则符合题意要求的安排方案有36+36+48=120种；故选：D．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素或位置．9．【分析】利用辅助角公式化积，结合y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数、余弦函数的奇偶性得出结论．【解答】解：=，将函数f（x）2=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=2sin[2（x+）﹣]=2sin2x的图象，显然，y=sin2x为奇函数，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，是中档题．10．【分析】利用三角函数的特殊角的函数值，判断选项即可．【解答】解：当x=时，y=（1+0）=，对应点在第一象限，排除C，D 选项；当x=时，y=1+cosπ=0，对应点在x轴上，排除选项B，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断，利用特殊点判断选项是常用方法，也可以化简函数的解析式，判断函数的图象．11．【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得+=，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．【解答】解：设抛物线的方程：y2=2px（p＞0），则16=2p×2，则2p=8，∴抛物线的标准方程：y2=8x，焦点坐标F（2，0），由直线PQ过抛物线的焦点，则+==，圆C2：（x﹣2）2+y2=1圆心为（2，0），半径1，|PN|+4|QM|=|PF|+1+4（|QF|+1）=|PF|+4|QF|+5=2（|PF|+4|QF|）×（+）+5=2（5++）+5≥2（5+2）+5=23，∴|PN|+4|QM|的最小值为23，故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．12．【分析】由f（x）=32﹣x﹣1=0，解得x=2，由g（x）=x2﹣ae x=0，解得x2=ae x，设其解为x，由f（x）=32﹣x﹣1与g（x）=x2﹣ae x互为“1度零点函数“，得1＜x＜3，设h（x）=，则，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=32﹣x﹣1=0，解得x=2，由g（x）=x2﹣ae x=0，解得x2=ae x，设其解为x，∵f（x）=32﹣x﹣1与g（x）=x2﹣ae x互为“1度零点函数“，∴|x0﹣2|＜1，解得1＜x＜3，∵，∴a=，设h（x）=，则，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，=h（2）=，h（1）=，h（3）=，∴h（x）max∴实数a的取值范围为（，]．故选：B．【点评】本题考查实数取值范围的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【分析】根据二项式展开式的二项式系数和求得n的值，再根据展开式的通项公式求出x2的系数．【解答】解：二项式（2x﹣3）n的展开式中二项式系数之和为2n=64，解得n=6；∴（2x﹣3）6的展开式中通项公式为=•（2x）6﹣r•（﹣3）r，Tr+1令6﹣r=2，解得r=4，∴展开式中x2的系数为•22•（﹣3）4=4860．故答案为：4860．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式与二项式系数和的应用问题，是基础题．14．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=，再利用z的几何意义求最值，只需求出区域内的点Q与点P（﹣3，0）连线的斜率的取值范围即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=，将z转化区域内的点Q与点P（﹣3，0）连线的斜率，当动点Q在点A（1，2）时，z的值为：=，最大，∴z=最大值：．故答案为：．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．15．【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为三棱锥，结合图形求出外接球的半径，代入球的表面积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，∵△ABD与△ACD均为直角三角形，∴AD为该多面体外接球的直径，AD=，∴该多面体外接球的半径R=．∴该几何体外接球的表面积为．故答案为：12π．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16．【分析】求得椭圆的方程，利用“点差法”求得直线直线AB的斜率，同理即可求得．【解答】解：由c=1，e==，则a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），由A，B在椭圆上，则3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减得到：=﹣•，所以k1==﹣•=﹣•，即=﹣，同理=﹣，=﹣，所以=﹣（++），直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则=﹣，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程，直线的斜率公式，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【分析】（Ⅰ）利用已知条件通过正弦定理以及余弦定理转化求解即可得到A；（Ⅱ）以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在△ABE中，．在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°．求出AC，然后求解三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，2R（sin2B﹣sin2A）=（b﹣c）sinC可化为bsinB﹣asinA=bsinC﹣csinC 即b2﹣a2=bc﹣c2．（Ⅱ）以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在△ABE中，．在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°．即：，解得，AC=2．故．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18．【分析】（Ⅰ）记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A，求出概率，由年用电量不超过600度的户数为X，X服从二项分布，求解期望即可．（Ⅱ）设该县山区居民户年均用电量为E（Y），利用线性关系求解期望，然后推出结果．【解答】解：（Ⅰ）记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A，则．由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，X服从二项分布，即，故．（Ⅱ）设该县山区居民户年均用电量为E（Y），由抽样可得，则该自然村年均用电量约156 000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益144000×0.8=115200元．【点评】本题考查随机变量的期望的求法，二项分布的期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．【分析】（Ⅰ）通过三角形全等证明∠FED=∠FEA，推出EF⊥AD，证明FG∥PA．可得GF⊥AD，即可证明AD⊥平面CFG．然后证明平面PAD⊥平面CGF．（Ⅱ）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，求出平面BCP的法向量，平面DCP的法向量利用向量的数量积求解平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△BCD中，EB=ED=EC，故，因为△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而有．∴∠FED=∠FEA，故EF⊥AD，AF=FD．又PG=GD，∴FG∥PA．又PA⊥平面ABCD，故GF⊥平面ABCD，∴GF⊥AD，CF∩EF=F故AD⊥平面CFG．又AD⊂平面CFG，∴平面PAD⊥平面CGF．（Ⅱ）解：以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则．故，，．设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则解得即．设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则解得即=（1，）．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．【分析】（Ⅰ）设PF的中点为S，切点为T，连OS，ST，则|OS|+|SF|=|OT|=2，推出点B的轨迹是以F'，F为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解曲线C方程．（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0，m），设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2）．由消去x，得（3+4k2）x2+4kx﹣11=0．利用韦达定理以及∠MQO=∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零．求解m即可．【解答】解：（Ⅰ）设PF的中点为S，切点为T，连OS，ST，则|OS|+|SF|=|OT|=2，取F关于y轴的对称点F'，连F'P，故|F'P|+|FP|=2（|OS|+|SF|）=4．所以点B的轨迹是以F'，F为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=1，曲线C方程为．（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0，m），设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2）．由消去y，得（3+4k2）x2+4kx﹣11=0．由直线l过椭圆内一点作直线故△＞0，由求根公式得：，由得∠MQO=∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零．故，．所以m=6，存在定点（0，6），当斜率不存在时定点（0，6）也符合题意．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，存在性问题的解决方法，考查计算能力．21．【分析】（Ⅰ）求出导数，可得可得切点坐标及切线的斜率，代入点斜式，可得曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，只证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，又x≥lnx+1，即，即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x﹣2x，由题设得f'（1）=e﹣2，f（1）=e﹣1，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1．（Ⅱ）f'（x）=e x﹣2x，f''（x）=e x﹣2，∴f'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=e﹣1，x∈[0，1]．f（x）过点（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1，故可猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方．下证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，则g'（x）=e x﹣2x﹣（e﹣2），g''（x）=e x﹣2，g'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，又g'（0）=3﹣e＞0，g'（1）=0，0＜ln2＜1，∴g'（ln2）＜0，所以，存在x0∈（0，1n2），使得g'（x）=0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x，1）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）=e x﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，当且仅当x=1时取等号，故．又x≥lnx+1，即，当x=1时，等号成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）由直线l过点A可得，从而，进而得到直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离，由此能求出曲线C1上的点到直线l的距离的最大值．（Ⅱ）直线l的倾斜角为，求出直线l1的参数方程和曲线C1的普通方程，把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程，依据参数t的几何意义可求出|BM|•|BN|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，由直线l过点A可得，解得，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0，根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离：，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l的倾斜角为，则直线l1的参数方程为（t为参数）．曲线C1的普通方程为．把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得，∴，依据参数t的几何意义可知．【点评】本题考查曲线上的点到直线的距离的最大值的求法，考查两线段的乘积的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）f（x）+|x﹣1|≥2可化为利用绝对值的几何意义，转化求解即可．（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知．化简函数为分段函数，利用函数的单调性求解函数的最小值推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+|x﹣1|≥2可化为．∵∴，解得：a≤0或a≥4．∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知．∴如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，解得：．∴．【点评】本题考查函数的最值的求法，绝对值的几何意义，分段函数的应用，考查计算能力．。
2018年河南省安阳市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|y＝log2x}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[1，2]B．（0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣∞，2]【解答】解：A＝{x|x＞0}，且B＝{x|﹣2≤x≤2}；∴A∩B＝（0，2]．故选：B．2．（5分）若复数z＝1﹣i，z为z的共轭复数，则复数izz−1的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【解答】解：∵z＝1﹣i，∴zz=|z|2=2，则izz−1=i2−1=i的虚部为1．故选：C．3．（5分）如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半圆，则该积木的表面积为（）A．26B．26+πC．26﹣πD．26−π2【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，长方体挖去一个半圆柱，两个底面面积为：2×2×4﹣π＝16﹣π，侧面积为：10×1+π×1＝10+π故该几何体的表面积S＝16﹣π+10+π＝26，故选：A．4．（5分）已知命题p：∃x0∈（﹣∞，0），2x0＜3x0，则￢p为（）A．∃x0∈[0，+∞），2x0＜3x0B．∃x0∈（﹣∞，0），2x0≥3x0C．∀x0∈[0，+∞），2x＜3xD．∀x∈（﹣∞，0），2x≥3x【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x0∈（﹣∞，0），2x0＜3x0，则￢p为：∀x∈（﹣∞，0），2x≥3x，故选：D．5．（5分）在某校连续5次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图．已知甲同学5次成绩的平均数为81，乙同学5次成绩的中位数为73，则x+y的值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：根据茎叶图中甲同学的5次成绩的平均数为1×（72+77+86+80+x+90）＝81，解得x＝0；5乙同学5次成绩按大小排列为67，70，（70+y），85，91，其中位数为73，∴y＝3；∴x+y＝0+3＝3．故选：A．6．（5分）若执行如图所示的程序框图，其中rand[0，1]表示区间[0，1]上任意一个实数，则输出数对（x，y）的概率为（）A ．12B ．π6C ．π4D ．√32【解答】解：由程序框图知{−1≤x ≤1−1≤y ≤1，求x 2+y 2≤1的概率，作出对应的图象如图： 则对应的概率P =14π×121×1=π4，故选：C ．7．（5分）已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A ．若a ⊥α，b ⊥β，α∥β，则a ∥bB ．若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥βC ．若a ⊥α，a ⊥b ，α∥β，则b ∥βD ．若α∩β＝a ，a ∥b ，则b ∥a 或b ∥β【解答】解：对于A ，若a ⊥α，α∥β，则a ⊥β，又b ⊥β，故而a ∥b ，故A 正确； 对于B ，若a ⊥α，a ⊥b ，则b ⊂α或b ∥α，∴存在直线m ⊂α，使得m ∥b ，又b ⊥β，∴m ⊥β，∴α⊥β．故B 正确；对于C ，若a ⊥α，a ⊥b ，则b ⊂α或b ∥α，又α∥β， ∴b ⊂β或b ∥β，故C 错误；对于D ，若α∩β＝a ，a ∥b ，则b ∥α或b ∥β，故D 正确． 故选：C ．8．（5分）若实数x ，y 满足{2x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0，则z ＝|x ﹣y |的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．23D ．13【解答】解：依题画出实数x ，y 满足{2x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0可行域如图，可见△ABC 及内部区域为可行域，令m ＝y ﹣x ，则m 为直线l ：y ＝x +m 在y 轴上的截距， 由图知在点A （0，1）处m 取最大值是1， 在O （0，0）处最小值是0， 所以m ∈[0，1]， 而z ＝|x ﹣y |＝|m |， 所以z 的最大值是1， 故选：B ．9．（5分）将y ＝3sin4x 的图象向左平移π12个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y ＝f（x ）的图象，若f （m ）＝a ，则f （π3−m ）＝（ ）A ．﹣aB ．﹣a ﹣3C ．﹣a +3D ．﹣a ﹣6【解答】解：y ＝3sin4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到：y ＝3sin （4x +π3），再向下平移3个单位长度得到y ＝f （x ）＝3sin （4x +π3）﹣3的图象． 由于：f （m ）＝a ， 则：3sin （4m +π3）＝a +3． 所以：f （π3−m ）＝3sin （4π3−4m +π3）﹣3＝﹣a ﹣3﹣3＝﹣a ﹣6．故选：D ．10．（5分）已知圆C 1：x 2+y 2﹣kx +2y ＝0与圆C 2：x 2+y 2+ky ﹣4＝0的公共弦所在直线恒过定点P （a ，b ），且点P 在直线mx ﹣ny ﹣2＝0上，则mn 的取值范围是（ ） A ．（0，14）B ．（0，14]C ．（−∞，14）D ．（−∞，14]【解答】解：由圆C 1：x 2+y 2﹣kx +2y ＝0，圆C 2：x 2+y 2+ky ﹣4＝0， 得圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线方程为：k （x +y ）﹣2y ﹣4＝0， 联立{x +y =0−2y −4=0，解得{x =2y =−2，即a ＝2，b ＝﹣2，又P （2，﹣2）在直线mx ﹣ny ﹣2＝0上， ∴2m +2n ﹣2＝0，即n ＝1﹣m ．∴mn =m(1−m)=−m 2+m =−(m −12)2+14≤14． ∴mn 的取值范围是（﹣∞，14]．故选：D ．11．（5分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos C ＝a ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM ．若b ＝6CM ＝6，则cos ∠BCM ＝（ ）A ．√104B ．34C ．√74D ．√64【解答】解：b cos C ＝a ，由正弦定理可得sin B cos C ＝sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 即有cos B sin C ＝0，由sin C ＞0，可得cos B ＝0， 由0＜B ＜π，可得B =π2， 设∠ACM ＝∠BCM ＝α，由S △ABC ＝S △ACM +S △BCM ，且b ＝6CM ＝6， 可得12•6a sin2α=12•6•1•sin α+12a sin α，即为12a cos α＝6+a ，在直角三角形BCM 中，a ＝cos α， 则12cos 2α﹣cos α﹣6＝0， 解得cos α=34或−23（舍去）， 故选：B ．12．（5分）设函数f （x ）＝ln （x +1）+a （x 2﹣x ），若f （x ）在区间（0，+∞）上无零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[﹣1，0]C ．[0，2]D ．[﹣1，1]【解答】解：令f （x ）＝0可得ln （x +1）＝﹣a （x 2﹣x ）， ∵f （x ）在区间（0，+∞）上无零点，∴g （x ）＝ln （x +1）与h （x ）＝﹣a （x 2﹣x ）在y 轴右侧无交点． 显然当a ＝0时符合题意；当a ＜0时，作出g （x ）＝ln （x +1）与h （x ）＝﹣a （x 2﹣x ）的函数图象如图所示：显然两函数图象在y 轴右侧必有一交点，不符合题意；当a ＞0时，作出g （x ）＝ln （x +1）与h （x ）＝﹣a （x 2﹣x ）的函数图象如图所示：若两函数图象在y 轴右侧无交点，则h ′（0）≤g ′（0），即a ≤1． 综上，0≤a ≤1． 故选：A ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知sin2α=14，则2cos 2（α−π4）＝ 54．【解答】解：∵sin2α=14，∴2cos 2（α−π4）=1+cos(2α−π2)=1+sin2α=1+14=54． 故答案为：54．14．（5分）已知焦点在x 轴上的双曲线x 28−m+y 24−m=1，它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是 （0，2） ． 【解答】解：根据题意，双曲线x 28−m+y 24−m=1的焦点在x 轴上，则其标准方程为x 28−m−y 2m−4=1，且有{8−m ＞0m −4＞0，解可得4＜m ＜8，且a =√8−m ，b =√m −4， 又由4＜m ＜8，则0＜b ＜2，双曲线中焦点到渐近线的距离为b ，则它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是（0，2）； 故答案为：（0，2）．15．（5分）已知在△OAB 中，OA ＝OB ＝2，AB ＝2√3，动点P 位于线段AB 上，则当PA →⋅PO →取最小值时，向量PA →与PO →的夹角的余弦值为 −√217 ．【解答】解：以AB 所在的直线为x 轴，以A 为原点，建立平面直角坐标系， 则A （0，0）、B （2√3，0）、O （√3，1），设点P （x ，0），x ∈[0，2√3]，向量PA →与PO →的夹角为θ， PA →•PO →=（﹣x ，0）•（√3−x ，1）＝﹣x （√3−x ）＝x 2−√3x =(x −√32)2−34，故当x =√32时，PA →⋅PO →取最小值为−34， 此时，|PA →|=√32，|PO →|=√72， 则cos θ=PA →⋅PO→|PA →|⋅|PO →|=−3432⋅72=−√217，故答案为：−√217．16．（5分）已知定义在R 上奇函数f （x ）和偶函数g （x ）满足12f(x)−g(x)=x−1x 2+1，若g （x +5）+g （1x−1）＜g （x ）+g （1x），则x 的取值范围是 {x |x ＞﹣2且x ≠0且x ≠1} ．【解答】解：根据题意，12f(x)−g(x)=x−1x +1，①则有12f （﹣x ）﹣g （﹣x ）=−x−1x 2+1， 又由f （x ）为奇函数而g （x ）为偶函数，则有f （﹣x ）﹣g （﹣x ）=−12f （x ）﹣g （x ）=−x−1x 2+1，② ①+②可得：﹣2g （x ）=−2x 2+1，则g （x ）=1x 2+1， 若g （x +5）+g （1x−1）＜g （x ）+g （1x），即1(x+5)2+1+1(1x−1)2+1＜1x 2+1+11x 2+1，且x ≠0，x ≠1，变形可得：（x +5）2＞（x ﹣1）2， 解可得：x ＞﹣2；故x 的取值范围是{x |x ＞﹣2且x ≠0且x ≠1}； 故答案为：{x |x ＞﹣2且x ≠0且x ≠1}．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）在函数f （x ）＝x 2+Bx +C ﹣1（B ，C ∈R ）的图象上，且a 1＝C ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列b n ＝a n （a 2n−1+1），求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+（a 1−d2）n ，又S n ＝n 2+Bn +C ﹣1，两式比较得d2=1，B ＝a 1−d2，C ﹣1＝0，又a 1＝C ．解得d ＝2，C ＝1＝a 1，B ＝0． ∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1．（2）b n ＝a n （a 2n−1+1）＝（2n ﹣1）（2×2n ﹣1﹣1+1）＝（2n ﹣1）•2n ，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2+3×22+5×23+……+（2n ﹣1）•2n ， ∴2T n ＝22+3×23+……+（2n ﹣3）•2n +（2n ﹣1）•2n +1， ∴﹣T n ＝2+2（22+23+ (2)）﹣（2n ﹣1）•2n +1＝2+2×4(2n−1−1)2−1−（2n ﹣1）•2n +1，解得T n ＝（2n ﹣3）•2n +1+6．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，侧棱AA 1＝3，点E 在BB 1上，点F 在CC 1上，且BE ＝1，CF ＝2． （1）证明：平面CAE ⊥平面ADF ； （2）求二面角F ﹣AD ﹣E 的余弦值．【解答】解：（1）∵△ABC 等边三角形，D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1，得AD ⊥CE ．① 在侧面BCC 1B 1中，tan ∠CFD =CD CF =12，tan ∠BCE =BE BC =12， ∴tan ∠CFD ＝tan ∠BCE ，∠CFD ＝∠BCE∴∠BCE +∠FDC ＝∠CFD +∠FDC ＝90°，∴CE ⊥DF ．②结合①②，又∵AD ∩DF ＝D ，∴CE ⊥平面ADF ， 又∵CE ⊂平面CAE ，∴平面CAE ⊥平面ADF （2）：如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ．则A （√3，0，0），F （0，﹣1，2），E （0，1，1）．得DA →=(√3，0，0)，DF →=(0，−1，2)，DE →=(0，1，1)．设平面DAF 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅DA →=√3x =0m →⋅DF →=−y +2z =0，取m →=(0，2，1)．同理可得，平面ADE 的法向量n →=(0，−1，1)． ∴cos ＜m →，n →＞=5×2=−√1010．则二面角F ﹣AD ﹣E 的余弦值为√1010．19．（12分）随着互联网技术的快速发展，人们更加关注如何高效地获取有价值的信息，网络知识付费近两年呈现出爆发式的增长，为了了解网民对网络知识付费的态度，某网站随机抽查了35岁及以上不足35岁的网民共90人，调查结果如下：支持 反对 合计 不足35岁 30 8 35岁及以上32合计90（1）请完成上面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能否认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关？（2）在上述样本中用分层抽样的方法，从支持和反对网络知识付费的两组网民中抽取9名，若在上述9名网民中随机选2人，设这2人中反对态度的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【解答】解：（1）2×2列联表如下：支持反对合计不足35岁30838 35岁及以上203252合计504090K2=90×(30×32−20×8)250×40×38×52≈14.575＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，可以认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关；（2）易知抽取的9人中，有5人支持，4人反对．X的可能取值为0，1，2，且P（X＝0）=C52C92=518，P（X＝1）=C51⋅C41C92=59，P（X＝2）=C42C92=16；X的分布列为X012P5185916X的数学期望为E（X）＝0×518+1×59+2×16=89．20．（12分）已知椭圆x2a+y2=1（a＞1）的上顶点与抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F重合．（1）设椭圆和抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝4√√2−1，求椭圆的方程；（2）设直线L 与抛物线和椭圆均相切，切点分别为P ，Q ，记△PFQ 的面积为S ，求证：S ＞2．【解答】解：（1）易知F （0，1），则抛物线的方程为x 2＝4y ， 由|AB |＝4√√2−1及图形的对称性，不妨设x B ＝2√√2−1， 代入x B 2＝4y B ，得y B =√2−1，则B （2√√2−1，√2−1）． 将之代入椭圆方程得4(√2−1)a 2+（√2−1）2＝1，得a 2＝2，所以椭圆的方程为x 22+y 2＝1．证明：（2）设切点P （2m ，m 2），x 2＝4y 即y =14x 2，求导得y ′=12x ， 则切线l 的斜率为m ，方程y ﹣m 2＝m （x ﹣2m ），即y ＝m （x ﹣m ）， 将之与椭圆x 2a 2+y 2＝1联立得（1+a 2m 2）x 2﹣2a 2m 3x +a 2（m 4﹣1）＝0，令判别式△＝4a 4m 6﹣4a 2（1+a 2m 2）（m 4﹣1）＝0化简整理得1+a 2m 2＝m 4，a 2=m 4−1m 2，此时x Q =a 2m 31+a 2m 2=m 4−1m 3设直线l 与y 轴交于点R （0，﹣m 2），则S ＝S △PFE ﹣S △QFE =12|FR |•|x P ﹣x Q |=12（1+m 2）•|2m −m 4−1m 3|=(1+m 2)(m 4+1)2|m|3 由基本不等式得1+m 2≥2√m 2=2|m |≥0，得1+m 4≥2m 2≥0， 则S ≥2|m|×2m 22|m|3=2，仅当|m |＝1时取等号，但此时a 2＝0，故等号无法取得，于是S ＞2．21．（12分）已知函数f （x ）＝e 2x ﹣kx 2﹣2x ﹣1，e 为自然对数的底数． （1）若当x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求k 的取值范围；（2）设k ＝0，若f （x ）≥2（a ﹣1）x +b ﹣1对∀x ∈R 恒成立，求ab 的最大值． 【解答】解：（1）由题意得f （0）＝0，且f ′（x ）＝2e 2x ﹣2kx ﹣2，注意到f ′（0）＝0， 设m （x ）＝f ′（x ），则m ′（x ）＝4e 2x ﹣2k ，则m ′（x ）为增函数，且m ′（0）＝4﹣2k ， 讨论如下：①若k ≤2，m ′（x ）≥m ′（0）≥0，得f ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，有f ′（x ）≥f ′（0）＝0，得f （x ）在[0，+∞）上单调递增，有f （x ）≥f （0）＝0，符合题意；②若k ＞2，令m ′（x ）＜0，得x ＜12ln k 2，得f ′（x ）在[0，12ln k2）上单调递减，有f ′（x ）＜f ′（0）＝0，综上，k 的取值范围（﹣∞，2]．（2）当k ＝0时，f （x ）＝e 2x ﹣2x ﹣1≥2（a ﹣1）x +b ﹣1，即e 2x ﹣2ax ≥b ， 令t ＝2x ，则原问题转化为e t ﹣at ≥b 对∀t ∈R 恒成立， 令g （t ）＝e t ﹣at ，g ′（t ）＝e t ﹣a ，若a ＜0，则g ′（t ）＞0，得g （t ）单调递增，当t →﹣∞时，g （t ）→﹣∞，g （t ）≥b 不可能恒成立，舍去； 若a ＝0，则ab ＝0；若a ＞0，则易知g （t ）在t ＝lna 处取得最小值g （lna ）＝a ﹣alna ， 所以b ≤a ﹣alna ，ab ≤a 2（1﹣lna ）＝a 2（1−12lna 2），将a 2看做新的自变量x ，即求函数h （x ）＝x （1−12lnx ）的最大值， 则h ′（x ）=12−12lnx ，令h ′（x ）＝0，得x ＝e ， 所以h （x ）在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）上递减，所以h （x ）max ＝h （e ）=e2， 即ab 的最大值为e2，此时a =√e ，b =√e2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x +√3y =5√3，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ． （1）求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程；（2）射线OP ：θ=π6与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长． 【解答】解：（1）直线l ：x +√3y =5√3， 转换为极坐标方程为：ρcosθ+√3ρsinθ=5√3， 化简得2ρsin(θ+π6)=5√3． 即为直线l 的极坐标方程．圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．转换为直角坐标方程为：x+（y﹣2）2＝4；（2）ρA=4sin π6=2，ρB=5√32sin(π6+π6)=5，所以：|AB|＝|ρA﹣ρB|＝3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣1|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意满足m+n＝1的正实数m，n，若总存在实数x0，使得1m +1n≥f(x0)成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，当x≤﹣1时，由f（x）＝﹣2x＜4，得x＞﹣2，则﹣2＜x≤﹣1；当﹣1＜x≤1时，f（x）＝2＜4恒成立；当x＞1时，由f（x）＝2x＜4，得x＜2，则1＜x＜2．综上，不等式f（x）＜4的解集为{x|﹣2＜x＜2}；（2）由题意1m +1n=（1m+1n）（m+n）＝2+nm+m n≥4，由绝对值不等式得f（x）＝|x+a|+|x﹣1|≥|a+1|，当且仅当（x+a）（x﹣1）≤0时取等号，故f（x）的最小值为|a+1|，由题意得4≥|a+1|，解得：﹣5≤a≤3．。
2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=lnx}，B={x|x+1x−3≤0}，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（0，3]C．（﹣1，0）D．（3，+∞）【解答】解：由A＝{x|y＝lnx}＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1≤x＜3}则A∩B＝{x|0＜x＜3}，故选：A．2．（5分）若复数z满足为i(z+3)=3−i(i虚数单位），则|z|＝（）A．√13B．3C．4D．5【解答】解：∵i(z+3)=3−i(i虚数单位），∴z+3=3−ii=−i(3−i)−i⋅i=−1﹣3i，∴z=−4﹣3i，∴z＝﹣4+3i．则|z|=√(−4)2+32=5．故选：D．3．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A若A，B都是锐角，显然有“sin A＞sin B”成立，若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤π2，此时有sin（π﹣A）＝sin A＞sin B综上，△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充分条件2°研究sin A＞sin B，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，综上在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的必要条件综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充要条件，故选：A．4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（）A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n【解答】解：A选项中的命题是正确的，分别垂直于两个平面的两条直线一定垂直，故不是正确选项；B选项中的命题是错误的，因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故是正确选项；C选项中的命题是正确的，因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故不是正确选项；D选项中的命题是正确的因为n⊥β且α∥β，可得出n⊥α，再由m⊥α，可得出m∥n故不是正确选项．故选：B．5．（5分）在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5【解答】解：（1+x）2（1﹣x）5＝（1+2x+x2）（1﹣5x+10x2﹣10x3+5x4﹣x5），∴展开式中含x5项为﹣x5+2x•5x4+x2•（﹣10x3）＝﹣x5；∴含x5项的系数是﹣1．故选：B．6．（5分）数学家发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的n＝20，则输出的结果为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得n＝20，i＝1不满足条件n是奇数，n＝10，i＝2不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝5，i＝3不满足条件n＝1，执行循环体，满足条件n是奇数，n＝16，i＝4不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝8，i＝5不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝4，i＝6不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝2，i＝7不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝1，i＝8满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．7．（5分）若x，y满足约束条件{x−2y+1≤03x−y+3≥02x+y−3≤0，则z=2x+y+2x+2的最小值于最大值的和为（）A．−32B．−12C．32D．52【解答】解：由约束条件x ，y 满足约束条件{x −2y +1≤03x −y +3≥02x +y −3≤0，则作可行域如图，∵z =2x+y+2x+2=2x+4+y−2x+2=2+y−2x+2， 即z ﹣2=y−2x+2，其几何意义是可行域内的动点 与定点P （﹣2，2）连线斜率，由图可知，当可行域内的动点为A 时，k P A 最大，z ＝2+3−20+2=52， 当可行域内的动点为B 时，k PB 最小，z ＝2+0−2−1+2=0， ∴z =2x+y+2x+2的最小值与最大值的和为52+0=52， 故选：D ．8．（5分）如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ） A ．1320B ．720C ．12D ．512【解答】解：任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631， 145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532， 307，370，703，730，406，460，604，640，共40个， 其中奇数有20个，∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为p=2040=12．故选：C．9．（5分）设函数f(x)=2017x+sinx2018+2019x−12019x+1，已知正实数a，b满足f（2a）+f（b﹣4）＝0，则1a +2b的最小值为（）A．1B．2C．2√2D．4【解答】解：根据题意，f(x)=2017x+sinx2018+2019x−12019x+1，则f（﹣x）＝2017（﹣x）+sin（−x2018）+2019−x−12019−x+1＝﹣（2017x+sinx2018+2019x−12019x+1=−f（x），则函数f（x）为奇函数；f(x)=2017x+sin x2018+2019x−1x=2017x+sinx2018−22019x+1+1，则f′（x）＝2017+12018cosx2018+2ln2019×2019x(2019+1)＞0，函数f（x）为增函数，若f（2a）+f（b﹣4）＝0，则f（2a）＝﹣f（b﹣4）＝f（4﹣b），则有2a＝4﹣b，即2a+b ＝4，则1a +2b=2a+b4（1a+2b）=14（4+ba+4a b）＝1+14（ba+4ab）≥1+14×2×√b a×4a b=2，当且仅当b＝2a时等号成立；故选：B．10．（5分）若锐角φ满足sinφ−cosφ=√22，则函数f（x）＝cos2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ−5π12，2kπ+π12]，(k∈Z)B．[kπ−5π12，kπ+π12]，(k∈Z)C．[2kπ+π12，2kπ+7π12]，(k∈Z)D．[kπ+π12，kπ+7π12]，(k∈Z)【解答】解：锐角φ满足sinφ−cosφ=√2 2，∴1﹣2sinφcosφ=1 2，∴sin2φ=1 2；又sin φ＞√22，∴2φ=5π6， 解得φ=5π12； ∴函数f （x ）＝cos 2（x +φ） =1+cos(2x+2φ)2 =12+12cos （2x +5π6）， ∴2k π﹣π≤2x +5π6≤2k π，k ∈Z ； 解得k π−11π12≤x ≤k π−5π12，k ∈Z ；∴f （x ）的单调增区间为[k π−11π12，k π−5π12]（k ∈Z ）， 即[k π+π12，k π+7π12]，k ∈Z ． 故选：D ．11．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，以F 1F 2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M ，线段MF 1与双曲线的左支交于点N ，若点N 恰好平分线MF 1，则双曲线离心率为（ ） A ．√13B ．√11C ．√7D ．√5【解答】解：如图所示：∵F 1F 2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M ， ∴MF 1⊥MF 2，∵点N 恰好平分线MF 1， ∴|NF 1|=12|MF 1|，设|MF 1|＝2m ，则|MF 2|＝2m ﹣2a ， ∴|NF 2|＝m +2a ，在Rt △NMF 2中，|NF 2|2＝|MN |2+|MF 2|2， ∴（m +2a ）2＝m 2+（2m ﹣2a ）2， 整理解得m ＝3a ， ∴|MF 2|＝2m ﹣2a ＝4a ，在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|2＝|MF 1|2+|MF 2|2，∴4c2＝（6a）2+（4a）2＝52a2，即c=√13a，∴e=ca=√13故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣1，g(x)=12+ln x2，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．ln2−12B．ln2+12C．1+ln2D．1﹣ln2【解答】解：设y＝e a﹣1，则a＝1+lny，y=12+lnb2，则b＝2e y−1 2，则b﹣a＝2e y−12−lny﹣1，则（b﹣a）′＝2e y−12−1y，∴（b﹣a）′递增，∴y=12时，（b﹣a）′＝0，∴（b﹣a）′有唯一零点，∴y =12时，b ﹣a 取最小值， 2ey−12−lny ﹣1＝1+ln 2，故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若a →=(2，4)，b →=(3，−4)，则向量a →在向量b →方向上的投影为 ﹣2 ． 【解答】解：根据题意，a →=(2，4)，b →=(3，−4)， 则a →•b →=2×3+4×（﹣4）＝﹣10， |b →|=√32+(−4)2=5，则向量a →在向量b →方向上的投影a →⋅b →|b →|=−105=−2；故答案为：﹣2．14．（5分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若4S ＝a 2﹣（b ﹣c ）2，且b +c ＝4，则S 的最大值为 2 ． 【解答】解：∵满足4S ＝a 2﹣（b ﹣c ）2，b +c ＝4， ∴4×12×bc sin A ＝2bc ﹣（b 2+c 2﹣a 2）＝2bc ﹣2bc cos A ， 化为sin A ＝1﹣cos A ， 又∵sin 2A +cos 2A ＝1， ∴解得：sin A ＝1， ∴S =12bc sin A =12bc ≤12（ b+c 2）2＝2，当且仅当b ＝c ＝2时取等号．故答案为：2．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为100π3．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC 为直角三角形，面P AC 为等边三角形，且面P AC ⊥底面ABC ，取BC 中点G ，则G 为三角形ABC 的外心，过G 作平面ABC 的垂线，取等边三角形P AC 的外心为H ，过H 作平面P AC 的垂线，则两垂线交于点O ，O 为三棱锥P ﹣ABC 外接球的球心， OG =12PH =2√33，GC =12BC =√7， ∴OC =(2√33)2+(√7)2=5√33， ∴三棱锥外接球表面积为4π×(5√33)2=100π3． 故答案为：100π3．16．（5分）已知直线y ＝2x +2与抛物线y ＝ax 2（a ＞0）交于P ，Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线，交抛物线于点A ，若|AP →+AQ →|=|AP →−AQ →|，则a ＝ 2 ． 【解答】解：联立方程组{y =2x +2y =ax2，消元得：ax 2﹣2x ﹣2＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=2a ，x 1x 2=−2a． ∴A （1a，1a ），∵|AP →+AQ →|=|AP →−AQ →|，即AP →2+AQ →2+2AP →⋅AQ →=AP →2+AQ →2−2AP →⋅AQ →， 即AP →⋅AQ →=0， ∴AP ⊥AQ ．∴y 1−1ax 1−1a⋅y 2−1a x 2−1a=−1，即x 1x 2−1a （x 1+x 2）+y 1y 2−1a （y 1+y 2）+2a 2=0， 又y 1y 2＝a 2x 12x 22＝4，y 1+y 2＝2（x 1+x 2）+4=4a+4， ∴2a +3a−2＝0，解得：a ＝2． 故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＝5，a 1，a 2，a 5成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =1a n 2+4n−2，S n 是数列{b n }的前n 项和，若对任意正整数n ，不等式2S n +(−1)n+1⋅a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解（1）根据题意，因为a 3＝5，a 1，a 2，a 5成等比数列，所以{a 1+2d =5(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)，解得a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣1． （2）因为b n =1n 2=1(2n−1)2+4n−2=12=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， 所以S n =b 1+b 2+⋯+b n =12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)， 依题意，对任意正整数n ，不等式1−12n+1+(−1)n+1a ＞0，当n 为奇数时，1−12n+1+(−1)n+1a ＞0，即a ＞−1+12n+1，所以a ＞−23；当n 为偶数时，1−12n+1+(−1)n+1a ＞0，即a ＞1−12n+1，所以a ＜45； 所以实数a 的取值范围是(−23，45)．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点．（1）求证：AB ⊥PD ；（2）若∠PBC ＝90°，求二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：取AB 的中点为O ，连接OD ，OP ， ∵P A ＝PB ，∴AB ⊥OP ， ∵OD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥OD ，又OD ∩OP ＝O ， ∴AB ⊥平面POD ， 从而AB ⊥PD ；（2）解：∵∠PBC ＝90°，即PB ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PBA ，∴OD ⊥平面PBA ，∴OD ⊥OP ，以O 为坐标原点，OB ，OD ，OP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设OB ＝1，则B(1，0，0)，P(0，0，√3)，D(0，1，0)，C(1，2，0)， ∴BD →=(−1，1，0)，PD →=(0，1，−√3)，DC →=(1，1，0)，设m →=(x ，y ，z)是平面PDB 的一个法向量，则{m →⋅BD →=0m →⋅PD →=0，即{−x +y =0y −√3z =0， 不妨设z ＝1，则x =y =√3，∴m →=(√3，−√3，−1)， 同理可求得平面PDC 的一个法向量为n →=(√3，−√3，−1)，∴cos〈m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−17，∵二面角B ﹣PD ﹣C 是锐二面角，∴其余弦值为17．19．（12分）某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C ）有关．如果最高气温不低于25，需求量600桶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为400桶，如果最高气温低于20，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 （10，15） （15，20） （20，25） （25，30） （30，35） （35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率． （1）六六月份这种冰激凌一天需求量X （单位：桶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y （单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量n （单位：桶）为多少时，Y 的数学期望取得最大值？【解答】解：（1）由已知得，X 的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件A 1，最高气温位于区间[20，25）为事件A 2，最高气温不低于25为事件A 3， 根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知P(X =200)=P(A 1)=1890=15，P(X =400)=P(A 2)=3690=25，P(X =600)=P(A 3)=3690=25，故六月份这种冰激凌一天的需求量X （单位：桶）的分布列为：X 200 400 600 P152525（2）结合题意得当n ≤200时，E （Y ）＝2n ≤400， 当200＜n ≤400时，E(Y)=15×[200×2+(n −200)×(−2)]+45×n ×2=65n +160∈(400，640]，当400＜n ≤600时，E(Y)=15×[200×2+(n −200)×(−2)]+25×[400×2+(n −400)×(−2)]+25×n ×2=−25n +800∈[560，640)， 当n ＞600时，E(Y)=15×[200×2+(n −200)×(−2)]+25×[400×2+(n −400)×(−2)]+25×[600×2+(n −600)×(−2)]=1760−2n ＜560， 所以当n ＝400时，Y 的数学期望E （Y ）取得最大值640．20．（12分）如图，已知圆G ：（x ﹣2）2+y 2=49是椭圆T ：x 216+y 2b2=1（0＜b ＜4）的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC ． （1）求椭圆T 的标准方程；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，试判断直线EF 与圆G 的位置关系并说明理由．【解答】解：（1）设B(83，y 0)，y 0＞0，AB 与圆G 切于点D ，BC 交x 轴于点H ，连接DG ，由DG AG=HB AB，得236=0√9+y 0，解得y 02=59，又点B(83，y 0)，在椭圆上，故64916+y 02b2=49+59b 2=1，解得b 2＝1，故所求椭圆T 的标准方程为x 216+y 2=1．（2）设过点M （0，1）与圆(x −2)2+y 2=49相切的直线方程为y ﹣1＝kx ， 则23=√1+k2，即32k 2+36k +5＝0， 设MF ，ME 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2=−98，k 1k 2=532， 将y ﹣1＝kx ，代入x 216+y 2=1，得（16k 2+1）x 2+32kx ＝0，解得x =−32k 16k 2+1或0，设F （x 1，k 1x 1+1），E （x 2，k 2x 2+1），则x 1=−32k 116k 12+1，x 2=−32k 216k 22+1，于是直线EF 的斜率为k EF =k 2x 2−k 1x 1x 2−x 1=k 2+k 11−16k 1k 2=34，从而直线EF 的斜率为y +32k 1216k 12+1−1=34(x +32k 116k 12+1)，将32k 12=−36k 1−5代入上式化简得y =34x −73，则圆心（2，0）到直线EF 的距离d =|32−73|√1+916=23，故直线EF 与圆G 相切．21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）与直线x ﹣y ﹣1﹣ln 2＝0相切，求实数a 的值； （2）若函数y ＝f （x ）有两个零点x 1，x 2，证明1lnx 1+1lnx 2＞2．【解答】解：（1）由f （x ）＝lnx ﹣ax ，得f′(x)=1x −a ，设切点横坐标为x 0，依题意得{1x 0−a =1x 0−1−ln2=lnx 0−ax 0，解得{x 0=12a =1，即实数a 的值为1．（2）不妨设0＜x 1＜x 2，由{lnx 1−ax 1=0lnx 2−ax 2=0，得lnx 2﹣lnx 1＝a （x 2﹣x 1），即1a=x 2−x 1lnx 2−lnx 1，所以1lnx 2+1lnx 1−2=1ax 1+1ax 2−2=x 2−x 1lnx 2−lnx 1(1x 1+1x 2)−2=x 2x 1−x 1x 2−2ln x 2x 1ln x 2x 1， 令t =x2x 1＞1，则ln x2x 1＞0，x2x 1−x1x 2−2ln x2x 1=t −1t −2lnt ，设g(t)=t −1t −2lnt ，则g′(t)=t 2−2t+1t 2＞0，即函数g （t ）在（1，+∞）上递减， 所以g （t ）＞g （1）＝0，从而x 2x 1−x 1x 2−2ln x 2x 1ln x 2x 1＞0，即1lnx 2+1lnx 1＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程是ρ=2√2sin(θ−π4)，直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα（t 为参数，0≤α＜π），设P （1，2），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． （1）当α＝0时，求|AB |的长度； （2）求|P A |2+|PB |2的取值范围．【解答】解：（1）曲线C 的方程是ρ＝2√2sin （θ−π4），化为ρ2=2√2ρ(√22sinθ−√22cosθ)， 化为ρ2＝2ρsin θ﹣2ρcos θ， ∴x 2+y 2＝2y ﹣2x ，曲线C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝2． 当α＝0时，直线l ：y ＝2，代入曲线C 可得x +1＝±1．解得x ＝0或﹣2． ∴|AB |＝2．（2）设t 1，t 2为相应参数值t 2+（4cos α+2sin α）t +3＝0，△＞0， ∴35＜sin 2(α+φ)≤1，∴t 1+t 2＝﹣（4cos α+2sin α），t 1t 2＝3．∴|P A |2+|PB |2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=（4cos α+2sin α）2﹣6＝20sin 2（α+φ）﹣6，∴|P A |2+|PB |2∈（6，14]．23．已知函数f(x)=|x −a|+12a (a ≠0)（1）若不等式f （x ）﹣f （x +m ）≤1恒成立，求实数m 的最大值；（2）当a ＜12时，函数g （x ）＝f （x ）+|2x ﹣1|有零点，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f(x)=|x −a|+12a ，∴f(x +m)=|x +m −a|+12a ， ∴f （x ）﹣f （x +m ）＝|x ﹣a |﹣|x +m ﹣a |≤|m |， ∴|m |≤1，∴﹣1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1； （2）当a ＜12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a ={−3x +a +12a +1，x ＜a −x −a +12a +1，a ≤x ≤123x −a +12a−1，x ＞12∴g （x ）在（﹣∞，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增．∴g(x)min =g(12)=12−a +12a =−2a 2+a+12a≤0， ∴{0＜a ＜12−2a 2+a +1≤0或{a ＜0−2a 2+a +1≥0，∴−12≤a ＜0，∴实数a 的取值范围是[−12，0)．。
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(5)4},{|}A x x x B x x a =->=≤，若A B B =，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数322a i z i+=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）4. 已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin[2()]πθ-等于（ ） A ．13- B ．13 C ．23 D ．23- 5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点 1.5S =（单位：升）则输入k 的值为 （ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．96. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．．4 D ．7. 若()f x 为奇函数，且0x 是函数()xy f x e =-的一个零点，额下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ） A ．()1xy f x e -=-⋅- B ．()1x y f x e -=⋅+ C ．()1x y f x e -=⋅- D ．()1xy f x e-=-⋅+8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103 B ．113 C ．4 D ．1439. 在ABC ∆中，060,5,4,BAC AB AC D ∠===是AB 上一点，且5AB CD ⋅=，则BD 等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．110. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13 B ．25C ．5D ．311. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A BE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,A C DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值12.若曲线()21(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．2(,)e e B ．2(,)2e e C ．2(1,)e D ．[1,)e二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= ．14．已知{a n }是首项为32的等比数列，S n 是其前n 项和，且=，则数列{|log 2a n |}前10项和为 ．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ．16．若曲线C 1：y=ax 2（a ＞0）与曲线C 2：y=e x 存在公切线，则a 的取值范围为 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB+bcosA=0． （1）求角A 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A ，C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，tan ∠EAB=． （1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ﹣ADE 体积最大时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F （1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1-5:DCDCB 6-10: ABACD 11、C 12：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= 3 ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：向量=（﹣1，1），=（1，0），∴=2， =1，=﹣1；又（﹣）⊥（2+λ），∴（﹣）•（2+λ）=2+（λ﹣2）•﹣λ=0，即2×2+（λ﹣2）•（﹣1）﹣λ•1=0，解得λ=3．故答案为：3．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为58 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，求出q，可得a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|log2a n|}前10项和．【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故答案为：．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为[，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=e x2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•co sA，则…即，解得或，…又，所以．…18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C 三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】CS：概率的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有1人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE的法向量为，，即，∴，…设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F （1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【考点】6P：不等式恒成立的问题．【分析】（1）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】（1）解：∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣e x，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=﹣，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（2）证明：x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证，下面证明x＞﹣1时，不等式成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标．（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4，点P（）．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为=，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．2017年5月23日。
2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M ＝{y |y ＝x 2﹣1，x ∈R }，N ={x|y =√3−x 2}，则M ∩N ＝（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．[−1，√3]C ．[√3，+∞)D ．∅【解答】解：当x ∈R 时，y ＝x 2﹣1≥﹣1 ∴M ＝[﹣1，+∞）又当3﹣x 2≥0时，−√3≤x ≤√3 ∴N =[−√3，√3] ∴M ∩N =[−1，√3] 故选：B ．2．（5分）已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i −ai1−i 是实数，则a 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4【解答】解：∵2i −ai1−i =2i −ai(1+i)(1−i)(1+i)=2i +a2−ai2=a2+4−a2i 是实数， ∴4−a 2=0，即a ＝4．故选：D ．3．（5分）在边长为2的正三角形△ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是（ ） A ．1−√3π3B ．√3π3C ．1−√3π6D ．√3π6【解答】解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示： 其中正三角形ABC 的面积S 三角形=√34×4=√3， 满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示， 则S 阴影=12π，则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于1的概率是： P ＝112π√3=1−√3π6． 故选：C ．4．（5分）已知点（a ，12）在幂函数f （x ）＝（a ﹣1）x b 的图象上，则函数f （x ）是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数【解答】解：点(a ，12)在幂函数f （x ）＝（a ﹣1）x b 的图象上， ∴a ﹣1＝1，解得a ＝2； 又2b =12，解得b ＝﹣1， ∴f （x ）＝x ﹣1；∴函数f （x ）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数． 故选：A ．5．（5分）已知焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√132B ．√133C ．√102D ．√153【解答】解：根据题意，双曲线C 的点在y 轴上且渐近线方程为3x ±2y ＝0， 设双曲线的方程为y 29t−x 24t=1，（t ＞0），则a =√9t =3√t ，b =√4t =2√t ， 则c =√a 2+b 2=√13t ， 该双曲线的离心率e =c a √133， 故选：B ． 6．（5分）定义n p 1+p 2+⋯+p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }，的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n =an 5，则1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b 10b 11=（ ） A ．817B ．919C ．1021D ．1123【解答】解：∵数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n，∴n S n=15n，∴S n =5n 2，∴a 1＝S 1＝5，n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝（5n 2）﹣[5（n ﹣1）2]＝10n ﹣5， n ＝1时，上式成立， ∴a n ＝10n ﹣5， ∴b n =a n5=2n ﹣1，1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1）， ∴1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b 10b 11=12（1−13+13−15+15−17+⋯+119−121） =12(1−121) =1021． 故选：C ．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．17π2B ．9πC ．19π2D ．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与14球的组合体． 圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+4π×12×14+12π×12+12π×12=9π． 故选：B ．8．（5分）已知条件p ：关于x 的不等式|x ﹣1|+|x ﹣3|＜m 有解；条件q ：f （x ）＝（7﹣3m ）x为减函数，则p 成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：条件p ：∵|x ﹣1|+|x ﹣3|≥|3﹣1|＝2，而关于x 的不等式|x ﹣1|+|x ﹣3|＜m 有解，∴m ＞2；条件q ：f （x ）＝（7﹣3m ）x 为减函数，∴0＜7﹣3m ＜1，解得2＜m ＜73． 则p 成立是q 成立的必要不充分条件． 故选：B ．9．（5分）已知函数f(x)=2x+11−2x ⋅cosx ，则y ＝f （x ）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【解答】解：当x ∈[−π2，0）时，f （x ）＞0，所以排除A ，C ，； 当x ∈（0，π2）时f （x ）＜0，故选D ．故选：D ．10．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是1.99，则（ ）A ．a ＝98B ．a ＝99C ．a ＝100D ．a ＝101【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S =11×2+12×3+13×4+⋯+1k(k+1)=1−12+12−13+⋯+1k −1k+1=1−1k+1=1.99， 解得：k ＝99，k +1＝100＞99，故a ＝99， 故选：B ．11．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，PC 为球O 的直径，该三棱锥的体积为√26，则球O 的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【解答】解：根据题意作出图形设球心为O ，球的半径r ．过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ， 延长CO 1交球于点D ，则PD ⊥平面ABC ． ∵CO 1=√33， ∴OO 1=√r 2−13，∴高PD ＝2OO 1＝2√r 2−13， ∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =√34，∴V 三棱锥P ﹣ABC =13×√34×2√r 2−13=√26， ∴r ＝1．则球O 的表面积为4π． 故选：A ．12．（5分）已知函数f(x)={x 2+4x ，x ≤0xlnx ，x ＞0，g （x ）＝kx ﹣1，若方程f （x ）﹣g （x ）＝0在x ∈（﹣2，2）有三个实根，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(1，ln2√e) B ．(ln2√e ，32) C ．(32，2)D ．(1，ln2√e)∪(32，2)【解答】解：显然，x ＝0不是方程f （x ）﹣g （x ）＝0的根， 则f （x ）﹣g （x ）＝0，即为k =f(x)+1x， 可设k =φ(x)={x +1x +4，x ＜01x+lnx ，x ＞0， 由x ＜0，可得φ（x ）＝x +1x+4≤﹣2√(−x)⋅1−x+4＝2，即有φ（x ）在x ＜0时，有最大值φ（﹣1）＝2； 当x ＞0时，φ（x ）=1x +lnx 的导数为φ′（x ）=−1x 2+1x =x−1x2， 在x ＞1时，φ′（x ）＞0，φ（x ）递增；在0＜x ＜1时，φ′（x ）＜0，φ（x ）递减． 可得x ＝1处取得最小值1． 作出φ（x ）在x ∈（﹣2，2）图象得在1＜k ＜ln 2+12或﹣2−12+4＜k ＜2时，直线y ＝k 和y ＝φ（x ）的图象均有三个交点．则k 的取值范围是（1，ln 2√e ）∪（32，2）．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x ，y 满足{y ≥x x +y ≤1y ≥−1，则目标函数z ＝2x ﹣y 的最大值是 12 ．【解答】解：由约束条件满足{y ≥xx +y ≤1y ≥−1，则目作出可行域如图，联立{y =xx +y =1，解得A （12，12）．化目标函数z ＝2x ﹣y 为y ＝2x ﹣z ，由图可知， 当直线y ＝2x ﹣z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为 1−12=12． 故答案为：12．14．（5分）已知|a →|=1，|b →|=2，(a →+b →)⋅b →=3，设a →与b →的夹角为θ，则θ等于 23π ．【解答】解：由|a →|=1，|b →|=2，(a →+b →)⋅b →=3， 得a →•b →+b →2＝3， 即|a →|•|b →|cos θ+b →2＝3，则2cos θ+4＝3，则cos θ=−12， ∵0≤θ≤π，∴θ=2π3， 故答案为：2π315．（5分）已知圆C 的圆心是直线x ﹣y +2＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝9相外切，若过点P （﹣1，1）的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为 x +y ＝0 ．【解答】解：圆C 的圆心是直线x ﹣y +2＝0与x 轴的交点， 则：圆心C （﹣2，0）．设圆C 的半径为r ． 由于：圆C 与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝9相外切， 则：r +3=√32+42=5， 解得：r ＝2．故圆C 的方程为：（x +2）2+y 2＝4，若过点P （﹣1，1）的直线l 与圆C 交于两点，则点P 在圆的内部， 当过P 的直线与圆的直径垂直时，∠ACB 最小，所以：直线A 和B 的交点的直线方程为：y ﹣1＝﹣1（x +1）， 整理得：x +y ＝0． 故答案为：x +y ＝0．16．（5分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1=23，a n+1=2S n −2n ，则a 5＝ ﹣11 ． 【解答】解：∵a n +1＝2S n ﹣2n ，① 当n ＝1时，a 2＝2a 1﹣2＝3﹣2＝1， ∴a n ＝2S n ﹣1﹣2n ﹣1，n ≥2，②．由①﹣②可得a n +1﹣a n ＝2a n ﹣2n ﹣1，即a n +1＝3a n ﹣2n ﹣1，即a n +1﹣2n ＝3（a n ﹣2n ﹣1），∵a 2＝1， ∴a 2﹣2＝﹣1，∴{a n ﹣2n ﹣1}是从第二项开始是以﹣1为首项以3为公比的等比数列，∴a n ﹣2n ﹣1＝（﹣1）×3n ﹣2，∴a n ＝2n ﹣1﹣1×3n ﹣2，n ≥2，∴a 5＝16﹣27＝﹣11． 故答案为：﹣11．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）如图，已知扇形的圆心角∠AOB =2π3，半径为4√2，若点C 是AB̂上一动点（不与点A ，B 重合）．（1）若弦BC =4(√3−1)，求BC ̂的长； （2）求四边形OACB 面积的最大值．【解答】解：（1）在△OBC 中，BC =4(√3−1)，OB =OC =4√2，由余弦定理cos∠BOC =OB 2+OC 2−BC 22OB⋅OC =√32，所以∠BOC =π6， 于是BĈ的长为π6⋅4√2=2√23π． （2）设∠AOC =θ，θ∈(0，23π)⇒∠BOC =2π3−θ， 所以四边形的面积为S ， 则S =S △AOC +S △BOC =12⋅4√2⋅4√2sinθ+12⋅4√2⋅4√2sin(2π3−θ)=24sinθ+8√3cosθ=16√3sin(θ+π6)由θ∈(0，23π)，所以θ+π6∈(π6，5π6)，当θ=π3时，四边形OACB 的面积取得最大值16√3．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝AC ＝4，AB⊥AC，点E，F分别在线段AB，PD上．（1）证明：平面PDC⊥平面P AC；（2）若三棱锥E﹣DCF的体积为4，求FDPD的值．【解答】（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，∴AC ⊥CD，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵AC∩P A＝A，∴CD⊥平面P AC，∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面P AC；（2）解：∵AC⊥CD，AB＝AC＝CD＝4，∴S△DEC=12×4×4=8，设点F到平面ABCD的距离为d，∴V E−DCF=V F−DEC=13S△DEC×d=4，解得d=3 2，∴FDPD =dPA=38．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：温度x/℃212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：x=16∑6i=1x i=26，y=16∑6i=1y i=33，∑6i=1(x i−x)(y i−y)=557，∑6i=1(x i−x)2=84，∑6i=1(y i−y)2=3930，线性回归模型的残差平方和∑6i=1(y i−y i)2=236.64，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i＝1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程y=b x+a（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为y=0.06e0.2303x，且相关指数R2＝0.9522．（i）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计为b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x；相关指数R2=1−∑ni=1(y i−y i)2∑n i=1(y i−y)2．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n＝6，b=∑6i=1(x i−x)(y i−y)∑6i=1(x i−x)2=55784≈6.6，…．…（2分）≈33﹣6.6×26＝﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为y=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i）利用所给数据，∑6i=1(y i−y i)2=236.64，∑6i=1(y i−y)2=3930得，线性回归方程y=6.6x﹣138.6的相关指数R2=1−∑6i=1(y i−y i)2∑6i=1(y i−y)2=1−236.643930≈1−0.0602=0.9398．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程y=0.06e0.2303x比线性回归方程y=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）（ii）由（i）得温度x＝35℃时，y=0.06e0.2303×35＝0.06×e8.0605…..…..…（9分）又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴y≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x ＝35℃时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）20．（12分）在直角坐标xOy 中，已知椭圆E 中心在原点，长轴长为8，椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2﹣4x +2＝0的圆心． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设P 是椭圆E 上y 轴左侧的一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．【解答】（1）由圆的方程x 2+y 2﹣4x +2＝0，得C ：（x ﹣2）2+y 2＝2， 则圆心为点C （2，0）， 从而可设椭圆E 的方程为x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，其焦距为2c ，由题意设2a ＝8，c ＝2，所以a ＝4，b 2＝a 2﹣c 2＝12， 故椭圆E 的方程为x 216+y 212=1．（2）设点P 的坐标为（x 0，y 0），直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2， 则l 1，l 2的方程分别为l 1：y ﹣y 0＝k 1（x ﹣x 0），l 2：y ﹣y 0＝k 2（x ﹣x 0），由题意知，k 1⋅k 2=12，由l 1与圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝2相切得1010√k 12+1=√2，即[(2−x 0)2−2]k 12+2(2−x 0)y 0k 1+y 02−2=0， 同理可得[(2−x 0)2−2]k 22+2(2−x 0)y 0k 2+y 02−2=0从而k 1，k 2是方程[(2−x 0)2−2]k 2+2(2−x 0)y 0k +y 02−2=0的两个实根，于是，{(2−x 0)2−2≠0△=8[(2−x 0)2+y 02−2]＞0且k 1k 2=y 02(2−x 0)2−2=12， 由{ x 0216+y 0212=1y 02−2(2−x 0)2−2=12得5x 02−8x 0−36=0，解得x 0=−2(x 0=185舍去）， 由x 0＝﹣2得y 0＝±3，它们均满足上式， 故点P 的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣3）． 21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）．（Ⅰ）若曲线y ＝f （x ）与直线x ﹣y ﹣1﹣ln 2＝0相切，求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式（x +1）f （x ）≤lnx −xe 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由f （x ）＝lnx ﹣ax ，得f′(x)=1x −a ，设切点横坐标为x 0，依题意得{1x 0−a =1x 0−1−ln2=lnx 0−ax 0，解得{x 0=12a =1，即实数a 的值为1．（Ⅱ）由在(x +1)f(x)=(x +1)(lnx −ax)≤lnx −x e定义域内恒成立， 得a ≥lnx x+1+1e(x+1)在定义域内恒成立，令g(x)=lnx x+1+1e(x+1)(x ＞0)，则g′(x)=1−1e +1x −lnx (x+1)2， 再令ℎ(x)=1−1e +1x −lnx ，则ℎ′(x)=−(1x+1x 2)＜0， 即y ＝h （x ）在（0，+∞）上递减，又h （e ）＝0，所以当x ∈（0，e ）时，h （x ）＞0，从而g '（x ）＞0，g （x ）在x ∈（0，e ）递增； 当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＜0，从而g '（x ）＜0，g （x ）在x ∈（e ，+∞）递减， 所以g （x ）在x ＝e 处取得最大值g(e)=lne e+1+1e(e+1)=1e ， 所以实数a 的取值范围是[1e，+∞)．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程是ρ=2√2sin(θ−π4)，直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα（t 为参数，0≤α＜π），设P （1，2），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． （1）当α＝0时，求|AB |的长度； （2）求|P A |2+|PB |2的取值范围．【解答】解：（1）曲线C 的方程是ρ＝2√2sin （θ−π4），化为ρ2=2√2ρ(√22sinθ−√22cosθ)，化为ρ2＝2ρsin θ﹣2ρcos θ， ∴x 2+y 2＝2y ﹣2x ，曲线C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝2． 当α＝0时，直线l ：y ＝2，代入曲线C 可得x +1＝±1．解得x ＝0或﹣2． ∴|AB |＝2．（2）设t 1，t 2为相应参数值t 2+（4cos α+2sin α）t +3＝0，△＞0，∴35＜sin 2(α+φ)≤1，∴t 1+t 2＝﹣（4cos α+2sin α），t 1t 2＝3．∴|P A |2+|PB |2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=（4cos α+2sin α）2﹣6＝20sin 2（α+φ）﹣6， ∴|P A |2+|PB |2∈（6，14]．23．已知函数f(x)=|x −a|+12a (a ≠0)（1）若不等式f （x ）﹣f （x +m ）≤1恒成立，求实数m 的最大值；（2）当a ＜12时，函数g （x ）＝f （x ）+|2x ﹣1|有零点，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f(x)=|x −a|+12a ，∴f(x +m)=|x +m −a|+12a ， ∴f （x ）﹣f （x +m ）＝|x ﹣a |﹣|x +m ﹣a |≤|m |， ∴|m |≤1，∴﹣1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1； （2）当a ＜12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a={−3x +a +12a +1，x ＜a −x −a +12a +1，a ≤x ≤123x −a +12a−1，x ＞12∴g （x ）在（﹣∞，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增．∴g(x)min =g(12)=12−a +12a =−2a 2+a+12a ≤0，∴{0＜a ＜12−2a 2+a +1≤0或{a ＜0−2a 2+a +1≥0，∴−12≤a ＜0，∴实数a 的取值范围是[−12，0)．。
2018年河南省安阳市高考数学二模试卷(理科)
2018年河南省安阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|y=log2x}，B={x|−2≤x≤2}，则A∩B=()A.[1, 2]B.(0, 2]C.[−2, 2]D.(−∞, 2]2. 若复数z=1−i，z为z的共轭复数，则复数i的虚部为（）zz−1A.iB.−iC.1D.−13. 如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半圆，则该积木的表面积为（）A.26B.26+πC.26−πD.26−π24. 已知命题p:∃x0∈(−∞, 0)，2x0<3x0，则￢p为（）A.∃x0∈[0, +∞)，2x0<3x0B.∃x0∈(−∞, 0)，2x0≥3x0C.∀x0∈[0, +∞)，2x<3xD.∀x∈(−∞, 0)，2x≥3x5. 在某校连续5次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图．已知甲同学5次成绩的平均数为81，乙同学5次成绩的中位数为73，则x+y的值为（）A.3B.4C.5D.66. 若执行如图所示的程序框图，其中rand[0, 1]表示区间[0, 1]上任意一个实数，则输出数对(x, y)的概率为（）A.12B.π6C.π4D.√327. 已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ） A.若a ⊥α，b ⊥β，α // β，则a // b B.若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β C.若a ⊥α，a ⊥b ，α // β，则b // β D.若α∩β=a ，a // b ，则b // a 或b // β8. 若实数x ，y 满足{2x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0 ，则z =|x −y|的最大值是（ ）A.0B.1C.23D.139. 将y =3sin4x 的图象向左平移π12个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y =f(x)的图象，若f(m)=a ，则f(π3−m)=( )A.−aB.−a −3C.−a +3D.−a −610. 已知圆C 1:x 2+y 2−kx +2y =0与圆C 2:x 2+y 2+ky −4=0的公共弦所在直线恒过定点P(a, b)，且点P 在直线mx −ny −2=0上，则mn 的取值范围是（ ） A.(0, 14)B.(0, 14]C.(−∞,14)D.(−∞,14]11. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，bcosC ＝a ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM ．若b ＝6CM ＝6，则cos∠BCM ＝（ ） A.√104B.34C.√74D.√6412. 设函数f(x)=ln(x +1)+a(x 2−x)，若f(x)在区间(0, +∞)上无零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.[0, 1] B.[−1, 0] C.[0, 2] D.[−1, 1] 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知sin2α=14，则2cos 2(α−π4)=________．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28−m+y 24−m =1，它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是________．已知在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于线段AB 上，则当PA →∗PO →取最小值时，向量PA →与PO →的夹角的余弦值为________．已知定义在R 上奇函数f(x)和偶函数g(x)满足12f(x)−g(x)=x−1x 2+1，若g(x +5)+g(1x−1)<g(x)+g(1x)，则x 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n, S n )在函数f(x)=x 2+Bx +C −1(B, C ∈R)的图象上，且a 1=C ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列b n =a n (a 2n−1+1)，求数列{b n }的前n 项和T n ．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，侧棱AA 1=3，点E 在BB 1上，点F 在CC 1上，且BE =1，CF =2．(1)证明：平面CAE ⊥平面ADF ；(2)求二面角F −AD −E 的余弦值．随着互联网技术的快速发展，人们更加关注如何高效地获取有价值的信息，网络知识付费近两年呈现出爆发式的增长，为了了解网民对网络知识付费的态度，某网站随机抽查了35岁及以上不足35岁的网民共90人，调查结果如下：（1）请完成上面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能否认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关？（2）在上述样本中用分层抽样的方法，从支持和反对网络知识付费的两组网民中抽取9名，若在上述9名网民中随机选2人，设这2人中反对态度的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．已知椭圆x2a+y2=1(a>1)的上顶点与抛物线x2=2py(p>0)的焦点F重合．（1）设椭圆和抛物线交于A，B两点，若|AB|=4√√2−1，求椭圆的方程；（2）设直线L与抛物线和椭圆均相切，切点分别为P，Q，记△PFQ的面积为S，求证：S>2．已知函数f(x)=e2x−kx2−2x−1，e为自然对数的底数．（1）若当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求k的取值范围；（2）设k=0，若f(x)≥2(a−1)x+b−1对∀x∈R恒成立，求ab的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x+√3y=5√3，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP:θ=π6与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x+a|+|x−1|．（1）若a=1，解不等式f(x)<4；（2）对任意满足m+n=1的正实数m，n，若总存在实数x0，使得1m +1n≥f(x0)成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2018年河南省安阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】容易得到A={x|x>0}，然后进行交集的运算即可．【解答】A={x|x>0}，且B={x|−2≤x≤2}；∴A∩B=(0, 2]．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】由已知可得zz=2，代入izz−1得答案．【解答】∵z=1−i，∴zz=|z|2=2，则izz−1=i2−1=i的虚部为1．3.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，长方体挖去一个半圆柱，两个底面面积为：2×2×4−π=16−π，侧面积为：10×1+π×1=10+π故该几何体的表面积S=16−π+10+π=26，4.【答案】D【考点】命题的否定 【解析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定． 【解答】由特称命题的否定为全称命题，可得 命题p:∃x 0∈(−∞, 0)，2x 0<3x 0， 则￢p 为：∀x ∈(−∞, 0)，2x ≥3x ， 5.【答案】 A【考点】 茎叶图 【解析】根据茎叶图中的数据，计算平均数和中位数，求出x 、y 的值，再计算x +y 的值． 【解答】根据茎叶图中甲同学的5次成绩的平均数为15×(72+77+86+80+x +90)=81，解得x =0；乙同学5次成绩按大小排列为67，70，(70+y)，85，91， 其中位数为73，∴ y =3； ∴ x +y =0+3=3． 6.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】根据程序框图的功能进行求解即可． 【解答】由程序框图知{−1≤x ≤1−1≤y ≤1 ，求x 2+y 2≤1的概率， 作出对应的图象如图： 则对应的概率P =14π×121×1=π4，7.【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】根据空间线面位置的定义、性质或判定定理进行判断． 【解答】对于A ，若a ⊥α，α // β，则a ⊥β，又b ⊥β，故而a // b ，故A 正确；对于B ，若a ⊥α，a ⊥b ，则b ⊂α或b // α，∴ 存在直线m ⊂α，使得m // b ， 又b ⊥β，∴ m ⊥β，∴ α⊥β．故B 正确；对于C ，若a ⊥α，a ⊥b ，则b ⊂α或b // α，又α // β，∴ b ⊂β或b // β，故C 错误；对于D ，若α∩β=a ，a // b ，则b // α或b // β，故D 正确． 8.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】根据题意，作出实数x ，y 满足{2x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0 的可行域，令m =y −x ，分析可得m 的取值范围，而z =|x −y|=|m|，分析可得z 的最大值，即可得答案． 【解答】依题画出实数x ，y 满足{2x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0 可行域如图， 可见△ABC 及内部区域为可行域，令m =y −x ，则m 为直线l:y =x +m 在y 轴上的截距， 由图知在点A(0, 1)处m 取最大值是1， 在O(0, 0)处最小值是0， 所以m ∈[0, 1]，而z =|x −y|=|m|， 所以z 的最大值是1， 9.【答案】 D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用函数图象的伸缩变换求出结果． 【解答】y =3sin4x 的图象向左平移π12个单位长度， 得到：y =3sin(4x +π3)，再向下平移3个单位长度得到y =f(x)=3sin(4x +π3)−3的图象． 由于：f(m)=a ，则：3sin(4m +π3)=a +3．所以：f(π3−m)=3sin(4π3−4m +π3)−3=−a −3−3=−a −6． 10.【答案】 D【考点】直线与圆的位置关系【解析】把两圆的方程作差即可得出公共弦所在直线方程，再利用直线系方程求出x ，y 的值，即a ，b 的值，然后代入直线方程mx −ny −2=0，由配方法即可求mn 的取值范围． 【解答】由圆C 1:x 2+y 2−kx +2y =0，圆C 2:x 2+y 2+ky −4=0， 得圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线方程为：k(x +y)−2y −4=0， 联立{x +y =0−2y −4=0 ，解得{x =2y =−2 ，即a =2，b =−2， 又P(2, −2)在直线mx −ny −2=0上，∴ 2m +2n −2=0，即n =1−m ．∴ mn =m(1−m)=−m 2+m =−(m −12)2+14≤14． ∴ mn 的取值范围是(−∞, 14]． 11.【答案】 B【考点】 解三角形三角形的面积公式 【解析】运用正弦定理可得B =π2，设∠ACM ＝∠BCM ＝α，由S △ABC ＝S △ACM +S △BCM ，运用三角形的面积的公式，化简整理，结合a ＝cosα，解方程即可得到所求值． 【解答】bcosC ＝a ，由正弦定理可得sinBcosC ＝sinA ＝sin(B +C)＝sinBcosC +cosBsinC ， 即有cosBsinC ＝0，由sinC >0，可得cosB ＝0， 由0<B <π，可得B =π2，设∠ACM ＝∠BCM ＝α，由S △ABC ＝S △ACM +S △BCM ，且b ＝6CM ＝6， 可得12⋅6asin2α=12⋅6⋅1⋅sinα+12asinα， 即为12acosα＝6+a ，在直角三角形BCM 中，a ＝cosα， 则12cos 2α−cosα−6＝0， 解得cosα=34或−23（舍去）， 12.【答案】若两函数图象在y轴右侧无交点，则h′（0）≤g′（0），即a≤1综上，0≤a≤1故选：A【考点】函数零点的判定定理【解析】令g(x)=ln(x+1)与ℎ(x)=−a(x2−x)在y轴右侧无交点，根据函数图象得出a的范围．【解答】令f(x)=0可得ln(x+1)=−a(x2−x)，∵f(x)在区间(0, +∞)上无零点，∴g(x)=ln(x+1)与ℎ(x)=−a(x2−x)在y轴右侧无交点．显然当a=0时符合题意；当a<0时，作出g(x)=ln(x+1)与ℎ(x)=−a(x2−x)的函数图象如图所示：显然两函数图象在y轴右侧必有一交点，不符合题意；当a>0时，作出g(x)=ln(x+1)与ℎ(x)=−a(x2−x)的函数图象如图所示：若两函数图象在y轴右侧无交点，则ℎ′(0)≤g′(0)，即a≤1．综上，0≤a≤1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】54【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】直接利用倍角公式及诱导公式结合已知求解． 【解答】 ∵ sin2α=14，∴ 2cos 2(α−π4)=1+cos(2α−π2)=1+sin2α=1+14=54． 【答案】 (0, 2) 【考点】双曲线的离心率 【解析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得{8−m >0m −4>0 ，解可得4<m <8，又由b =√m −4，分析可得b 的取值范围，又由双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，即可得答案． 【解答】 根据题意，双曲线x 28−m +y 24−m=1的焦点在x 轴上，则其标准方程为x 28−m−y 2m−4=1，且有{8−m >0m −4>0，解可得4<m <8， 且a =√8−m ，b =√m −4， 又由4<m <8，则0<b <2，双曲线中焦点到渐近线的距离为b ，则它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是(0, 2)； 【答案】−√217【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】建立平面直角坐标系，利用两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积，两个向量的夹角公式，求得向量PA →与PO →的夹角的余弦值．≈≈ 【解答】以AB 所在的直线为x 轴，以A 为原点，建立平面直角坐标系， 则A(0, 0)、B(2√3, 0)、O(√3, 1)，设点P(x, 0)，x ∈[0, 2√3]，向量PA →与PO →的夹角为θ， PA →⋅PO →=(−x, 0)⋅(√3−x, 1)=−x(√3−x)=x 2−√3x =(x −√32)2−34，故当x =√32时，PA →∗PO →取最小值为−34，此时，|PA →|=√32，|PO →|=√72，则cosθ=PA →∗PO →|PA →|∗|PO →|=−34√32∗√72=−√217， 【答案】{x|x >−2且x ≠0且x ≠1}【考点】抽象函数及其应用 【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得12f(−x)−g(−x)=−x−1x 2+1，结合函数的奇偶性可得f(−x)−g(−x)=−12f(x)−g(x)=−x−1x 2+1，分析可得g(x)的解析式，则有g(x +5)+g(1x−1)<g(x)+g(1x )，即1(x+5)2+1+1(1x−1)2+1<1x 2+1+11x 2+1，且x ≠0，x ≠1，解可得x的范围，即可得答案． 【解答】根据题意，12f(x)−g(x)=x−1x 2+1，①则有12f(−x)−g(−x)=−x−1x 2+1，又由f(x)为奇函数而g(x)为偶函数，则有f(−x)−g(−x)=−12f(x)−g(x)=−x−1x 2+1，②①+②可得：−2g(x)=−2x 2+1，则g(x)=1x 2+1， 若g(x +5)+g(1x−1)<g(x)+g(1x )，即1(x+5)+1+1(1x−1)2+1<1x +1+11x 2+1，且x ≠0，x ≠1，变形可得：(x +5)2>(x −1)2， 解可得：x >−2；故x 的取值范围是{x|x >−2且x ≠0且x ≠1}；三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，又S n =n 2+Bn +C −1，两式比较得d2=1，B =a 1−d2，C −1=0，又a 1=C ．解得d =2，C =1=a 1，B =0． ∴ a n =1+2(n −1)=2n −1．b n =a n (a 2n−1+1)=(2n −1)(2×2n−1−1+1)=(2n −1)⋅2n ， ∴ 数列{b n }的前n 项和T n =2+3×22+5×23+……+(2n −1)⋅2n ， ∴ 2T n =22+3×23+……+(2n −3)⋅2n +(2n −1)⋅2n+1， ∴ −T n =2+2(22+23+……+2n )−(2n −1)⋅2n+1=2+2×4(2n−1−1)2−1−(2n −1)⋅2n+1，解得T n=(2n−3)⋅2n+1+6．【考点】数列的求和【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，可得S n=d2n2+(a1−d2)n，又S n=n2+Bn+C−1，两式比较得d2=1，B=a1−d2，C−1=0，又a1=C．解出即可得出．（2）b n=a n(a2n−1+1)=(2n−1)⋅2n，再利用错位相减法即可得出．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，则S n=na1+n(n−1)2d=d2n2+(a1−d2)n，又S n=n2+Bn+C−1，两式比较得d2=1，B=a1−d2，C−1=0，又a1=C．解得d=2，C=1=a1，B=0．∴a n=1+2(n−1)=2n−1．b n=a n(a2n−1+1)=(2n−1)(2×2n−1−1+1)=(2n−1)⋅2n，∴数列{b n}的前n项和T n=2+3×22+5×23+……+(2n−1)⋅2n，∴2T n=22+3×23+……+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1，∴−T n=2+2(22+23+……+2n)−(2n−1)⋅2n+1=2+2×4(2n−1−1)2−1−(2n−1)⋅2n+1，解得T n=(2n−3)⋅2n+1+6．【答案】(1)证明：∵△ABC等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，得AD⊥CE．①在侧面BCC1B1中，tan∠CFD=CDCF =12，tan∠BCE=BEBC=12，∴tan∠CFD=tan∠BCE，∠CFD=∠BCE ∴∠BCE+∠FDC=∠CFD+∠FDC=90∘，∴CE⊥DF．②结合①②，又∵AD∩DF=D，∴CE⊥平面ADF，又∵CE⊂平面CAE，∴平面CAE⊥平面ADF.(2)解：如图建立空间直角坐标系D−xyz．则A(√3, 0, 0)，F(0, −1, 2)，E(0, 1, 1)．得DA →=(√3,0,0)，DF →=(0,−1,2)，DE →=(0,1,1)． 设平面DAF 的法向量m →=(x, y, z)， 则{m →×DA →=√3x =0,m →×DF →=−y +2z =0,取m →=(0,2,1)．同理可得，平面ADE 的法向量n →=(0,−1,1)． ∴ cos <m →,n →>=√5×√2=−√1010． 则二面角F −AD −E 的余弦值为√1010．【考点】用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定 【解析】（1）可得AD ⊥CE ．在侧面BCC 1B 1中，tan∠CFD =CDCF =12，tan∠BCE =BEBC =12可得，∠CFD =∠BCE ，即∠BCE +∠FDC =∠CFD +∠FDC =90∘，CE ⊥DF ．结合①②，又∵ AD ∩DF =D ，∴ CE ⊥平面ADF ，又CE ⊂平面CAE ，⇒平面CAE ⊥平面ADF ；（2）建立空间直角坐标系D −xyz ．求出平面DAF 的法向量m →=(x, y, z)，平面ADE 的法向量n →=(0,−1,1)．可得cos <m →,n →>=5×2=−√1010．即可得二面角F −AD −E 的余弦值． 【解答】(1)证明：∵ △ABC 等边三角形，D 为BC 的中点， ∴ AD ⊥BC ，∴ AD ⊥平面BCC 1B 1，得AD ⊥CE ．① 在侧面BCC 1B 1中，tan∠CFD =CDCF =12，tan∠BCE =BEBC =12， ∴ tan∠CFD =tan∠BCE ，∠CFD =∠BCE ∴ ∠BCE +∠FDC =∠CFD +∠FDC =90∘， ∴ CE ⊥DF ．② 结合①②，又∵ AD ∩DF =D ， ∴ CE ⊥平面ADF ，又∵ CE ⊂平面CAE ， ∴ 平面CAE ⊥平面ADF .(2)解：如图建立空间直角坐标系D −xyz ．则A(√3, 0, 0)，F(0, −1, 2)，E(0, 1, 1)．得DA →=(√3,0,0)，DF →=(0,−1,2)，DE →=(0,1,1)． 设平面DAF 的法向量m →=(x, y, z)， 则{m →×DA →=√3x =0,m →×DF →=−y +2z =0,取m →=(0,2,1)．同理可得，平面ADE 的法向量n →=(0,−1,1)． ∴ cos <m →,n →>=5×2=−√1010． 则二面角F −AD −E 的余弦值为√1010．【答案】2×2列联表如下：K 2=90×(30×32−20×8)250×40×38×52≈14.575>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，可以认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关；易知抽取的9人中，有5人支持，4人反对． X 的可能取值为0，1，2，且 P(X =0)=C 52C 92=518，P(X =1)=C 51∗C41C 92=59，P(X =2)=C 42C 92=16；X 的分布列为X 的数学期望为E(X)=0×518+1×59+2×16=89．【考点】 独立性检验 【解析】（1）根据题意填写列联表，计算K 2，对照临界值得出结论； （2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值， 再写出分布列，求出数学期望值． 【解答】2×2列联表如下：K 2=90×(30×32−20×8)250×40×38×52≈14.575>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，可以认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关；易知抽取的9人中，有5人支持，4人反对． X 的可能取值为0，1，2，且 P(X =0)=C 52C 92=518，P(X =1)=C 51∗C41C 92=59，P(X =2)=C 42C 92=16；X 的分布列为X 的数学期望为E(X)=0×518+1×59+2×16=89． 【答案】易知F(0, 1)，则抛物线的方程为x 2=4y ，由|AB|=4√√2−1及图形的对称性，不妨设x B =2√√2−1，代入x B 2=4y B ，得y B =√2−1，则B(2√√2−1, √2−1)．将之代入椭圆方程得4(√2−1)a 2+(√2−1)2=1，得a 2=2，所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．证明：设切点P(2m, m 2)，x 2=4y 即y =14x 2，求导得y′=12x ，则切线l 的斜率为m ，方程y −m 2=m(x −2m)，即y =m(x −m)， 将之与椭圆x 2a 2+y 2=1联立得(1+a 2m 2)x 2−2a 2m 3x +a 2(m 4−1)=0，令判别式△=4a 4m 6−4a 2(1+a 2m 2)(m 4−1)=0 化简整理得1+a 2m 2=m 4，a 2=m 4−1m 2，此时x Q =a 2m 31+a 2m 2=m 4−1m 3设直线l 与y 轴交于点R(0, −m 2)，则S =S △PFE −S △QFE =12|FR|⋅|x P −x Q |=12(1+m 2)⋅|2m −m 4−1m 3|=(1+m 2)(m 4+1)2|m|3由基本不等式得1+m 2≥2√m 2=2|m|≥0，得1+m 4≥2m 2≥0， 则S ≥2|m|×2m 22|m|3=2，仅当|m|=1时取等号，但此时a 2=0，故等号无法取得，于是S >2． 【考点】 椭圆的定义 【解析】（1）根据椭圆和双曲线的简答性质即可求出，（2）设切点P(2m, m 2)，根据导数的几何意义求出切线方程，与椭圆联立，根据判别式求出1+a 2m 2=m 4，再设直线l 与y 轴交于点R(0, −m 2)，表示出面积的表达式，利用基本不等式即可证明 【解答】易知F(0, 1)，则抛物线的方程为x 2=4y ，由|AB|=4√√2−1及图形的对称性，不妨设x B =2√√2−1，代入x B 2=4y B ，得y B =√2−1，则B(2√√2−1, √2−1)．将之代入椭圆方程得4(√2−1)a 2+(√2−1)2=1，得a 2=2，所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．证明：设切点P(2m, m 2)，x 2=4y 即y =14x 2，求导得y′=12x ，则切线l 的斜率为m ，方程y −m 2=m(x −2m)，即y =m(x −m)， 将之与椭圆x 2a 2+y 2=1联立得(1+a 2m 2)x 2−2a 2m 3x +a 2(m 4−1)=0，令判别式△=4a 4m 6−4a 2(1+a 2m 2)(m 4−1)=0 化简整理得1+a 2m 2=m 4，a 2=m 4−1m 2，此时x Q =a 2m 31+a 2m 2=m 4−1m 3设直线l 与y 轴交于点R(0, −m 2)，则S =S △PFE −S △QFE =12|FR|⋅|x P −x Q |=12(1+m 2)⋅|2m −m 4−1m |=(1+m 2)(m 4+1)2|m|由基本不等式得1+m 2≥2√m 2=2|m|≥0，得1+m 4≥2m 2≥0， 则S ≥2|m|×2m 22|m|3=2，仅当|m|=1时取等号，但此时a 2=0，故等号无法取得，于是S >2．【答案】由题意得f(0)=0，且f′(x)=2e 2x −2kx −2，注意到f′(0)=0，设m(x)=f′(x)，则m′(x)=4e 2x −2k ，则m′(x)为增函数，且m′(0)=4−2k ， 讨论如下：①若k ≤2，m′(x)≥m′(0)≥0，得f′(x)在[0, +∞)上单调递增，有f′(x)≥f′(0)=0，得f(x)在[0, +∞)上单调递增，有f(x)≥f(0)=0，符合题意；②若k >2，令m′(x)<0，得x <12ln k2，得f′(x)在[0, 12ln k2)上单调递减，有f′(x)<f′(0)=0，综上，k 的取值范围(−∞, 2]．当k =0时，f(x)=e 2x −2x −1≥2(a −1)x +b −1，即e 2x −2ax ≥b ， 令t =2x ，则原问题转化为e t −at ≥b 对∀t ∈R 恒成立， 令g(t)=e t −at ，g′(t)=e t −a ，若a <0，则g′(t)>0，得g(t)单调递增，当t →−∞时，g(t)→−∞，g(t)≥b 不可能恒成立，舍去； 若a =0，则ab =0；若a >0，则易知g(t)在t =lna 处取得最小值g(lna)=a −alna ， 所以b ≤a −alna ，ab ≤a 2(1−lna)=a 2(1−12lna 2)， 将a 2看做新的自变量x ，即求函数ℎ(x)=x(1−12lnx)的最大值， 则ℎ′(x)=12−12lnx ，令ℎ′(x)=0，得x =e ，所以ℎ(x)在(0, e)上递增，在(e, +∞)上递减，所以ℎ(x)max =ℎ(e)=e2， 即ab 的最大值为e2，此时a =√e ，b =√e2．【考点】导数求函数的最值 【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间，从而判断a 的具体范围即可；（2）令t =2x ，则原问题转化为e t −at ≥b 对∀t ∈R 恒成立，令g(t)=e t −at ，求出函数的导数，求出g(t)的最小值，从而求出ab 的最大值即可． 【解答】由题意得f(0)=0，且f′(x)=2e 2x −2kx −2，注意到f′(0)=0，设m(x)=f′(x)，则m′(x)=4e 2x −2k ，则m′(x)为增函数，且m′(0)=4−2k ， 讨论如下：①若k ≤2，m′(x)≥m′(0)≥0，得f′(x)在[0, +∞)上单调递增，有f′(x)≥f′(0)=0，得f(x)在[0, +∞)上单调递增，有f(x)≥f(0)=0，符合题意； ②若k >2，令m′(x)<0，得x <12ln k2，得f′(x)在[0, 12ln k2)上单调递减，有f′(x)<f′(0)=0，综上，k 的取值范围(−∞, 2]．当k =0时，f(x)=e 2x −2x −1≥2(a −1)x +b −1，即e 2x −2ax ≥b ， 令t =2x ，则原问题转化为e t −at ≥b 对∀t ∈R 恒成立， 令g(t)=e t −at ，g′(t)=e t −a ，若a <0，则g′(t)>0，得g(t)单调递增，当t →−∞时，g(t)→−∞，g(t)≥b 不可能恒成立，舍去； 若a =0，则ab =0；若a >0，则易知g(t)在t =lna 处取得最小值g(lna)=a −alna ，所以b ≤a −alna ，ab ≤a 2(1−lna)=a 2(1−12lna 2)， 将a 2看做新的自变量x ，即求函数ℎ(x)=x(1−12lnx)的最大值， 则ℎ′(x)=12−12lnx ，令ℎ′(x)=0，得x =e ，所以ℎ(x)在(0, e)上递增，在(e, +∞)上递减，所以ℎ(x)max =ℎ(e)=e2， 即ab 的最大值为e2，此时a =√e ，b =√e2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】直线l:x +√3y =5√3，转换为极坐标方程为：ρcosθ+√3ρsinθ=5√3， 化简得2ρsin(θ+π6)=5√3．即为直线l 的极坐标方程．圆C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．转换为直角坐标方程为：x +(y −2)2=4； ρA =4sin π6=2， ρB =5√32sin(π6+π6)=5，所以：|AB|=|ρA −ρB |=3． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）直接利用极坐标方程求出极径，最后求出线段的长． 【解答】直线l:x +√3y =5√3，转换为极坐标方程为：ρcosθ+√3ρsinθ=5√3， 化简得2ρsin(θ+π6)=5√3．即为直线l 的极坐标方程．圆C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．转换为直角坐标方程为：x +(y −2)2=4； ρA =4sin π6=2， ρB =5√32sin(π6+π6)=5，所以：|AB|=|ρA −ρB |=3． [选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)=|x +1|+|x −1|，当x ≤−1时，由f(x)=−2x <4，得x >−2，则−2<x ≤−1；当−1<x≤1时，f(x)=2<4恒成立；当x>1时，由f(x)=2x<4，得x<2，则1<x<2．综上，不等式f(x)<4的解集为{x|−2<x<2}；由题意1m +1n=(1m+1n)(m+n)=2+nm+mn≥4，由绝对值不等式得f(x)=|x+a|+|x−1|≥|a+1|，当且仅当(x+a)(x−1)≤0时取等号，故f(x)的最小值为|a+1|，由题意得4≥|a+1|，解得：−5≤a≤3．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论x的范围，解绝对值不等式即可；（2）根据基本不等式的性质求出1m +1n≥4，由绝对值不等式得f(x)≥|a+1|，问题转化为4≥|a+1|，解出即可．【解答】f(x)=|x+1|+|x−1|，当x≤−1时，由f(x)=−2x<4，得x>−2，则−2<x≤−1；当−1<x≤1时，f(x)=2<4恒成立；当x>1时，由f(x)=2x<4，得x<2，则1<x<2．综上，不等式f(x)<4的解集为{x|−2<x<2}；由题意1m +1n=(1m+1n)(m+n)=2+nm+mn≥4，由绝对值不等式得f(x)=|x+a|+|x−1|≥|a+1|，当且仅当(x+a)(x−1)≤0时取等号，故f(x)的最小值为|a+1|，由题意得4≥|a+1|，解得：−5≤a≤3．。
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2018年河南省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（）A．﹣i B． +i C．1 D．﹣1﹣2i2．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．4．已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（）A．2 B．3 C．5 D．75．设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．37．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=（）A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣20178．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（）A．B．C．D．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（）A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．312．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为．14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=．15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为．16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面积．18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．20．已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B 关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．21．已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．2018年河南省高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（）A．﹣i B． +i C．1 D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=|1﹣i|+i=+i，则复数z=﹣i．故选：A．【点评】本题考查了复数的模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得：若B⊆A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．【解答】解：∵B⊆A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．当a=1时，B={1，﹣1}，满足B⊆A．②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，当a=﹣1时，B={1，3}，满足B⊆A，当a=3时，B={1，3}，满足B⊆A．综上，若B⊆A，则a=±1或a=3．故选：B．【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．3．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到==2 •，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，∴（）•=﹣2 =0，（）•=﹣2 =0，∴==2，设与的夹角为θ，则由两个向量的夹角公式得cosθ====，∴θ=60°，故选B．【点评】本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用．4．已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】等比数列的性质．【分析】利用等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，可得d=a1，即可求出．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，∴a42=a2a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），∴d2=a1d，∵d≠0，∴d=a1，∴==3．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和公式和倍角公式对a，b，c分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后利用正弦函数的单调性求得答案．【解答】解：a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin（40°+127°）=sin167°=sin13，b=（sin56°﹣cos56°）=sin56°﹣cos56°=sin（56°﹣45°）=sin11°，=cos239°﹣sin239°=cos78°=sin12°，∵sin13°＞sin12°＞sin11°，∴a＞c＞b．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和公式，二倍角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，=四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED=，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=（）A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣2017【考点】数列的应用．【分析】利用a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．即可得出．【解答】解：∵a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．∴（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=11008×（﹣1）1007=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了斐波那契数列的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2017时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2017，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：C．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（）A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】利用正方体的结构特征求解．【解答】解：正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（3）不正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确．故选：B．【点评】本题考查水面在容器中的形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，即可求得点A 到抛物线的准线的距离．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∴|AM|=6，∴点A到抛物线的准线的距离为6故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据f（x）为奇函数，设x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正确；由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性求f（x）的值域，可得∀x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正确．【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正确；对于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3个零点，②错误；对于③，x＜0时，f（x）=e x（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；对于④，x＜0时，f′（x）=e x（x+2），得x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；综上，正确的命题是①③④，共3个．故选：B．【点评】本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，由点M、N的坐标结合中点坐标公式可得C的坐标，又由2r=|MN|，结合两点间距离公式可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，又由点M（2，0）、N（0，4）；则有，解可得，又有2r=|MN|==，则r2=5；故要求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=76．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得a1+9d=a10=4，再由等差数列的前n项和公式得S19=（a1+a19）=19a10，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，∴，解得a1+9d=a10=4，S n为数列{a n}的前n项和，则S19=（a1+a19）=19a10=76．故答案为：76．15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为e．【考点】对数的运算性质；基本不等式．【分析】点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，可得，两边取对数可得lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，可得lnt=lna•lnb，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，∴，可得lnb=2﹣lna，即lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，∴lnt=lna•lnb≤=1，当且仅当lna=lnb=1，即a=b=e时取等号．∴t≤e．故答案为：e．16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求解面积最大值时的点的坐标，利用焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，可得c=1，两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S=4mn，≥2=，当且仅当时，mn≤，此时四边形的面积取得最大值，解得m=，n=，可得双曲线的实轴长2a=﹣===，双曲线的离心率为：=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化简后求出cosC；（2）由条件求出b，由内角的范围和平方关系求出sinC，由余弦定理列出方程化简后求出a，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵B=2C，2b=3c，∴由正弦定理得，，则，即cosC==；（2）∵2b=3c，且c=4，∴b=6，∵0＜C＜π，cosC=，∴sinC==，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则，即a2﹣9a+20=0，解得a=4或a=5，当a=4时，△ABC的面积S===，当a=5时，△ABC的面积S===．18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为0.45，由此能求出最高矩形的高．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）女生打分的平均分为：=（68+69+75+76+70+79+78+82+87+96）=78，男生打分的平均分为：=（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）=69．从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为：=0.45，∴最高矩形的高h==0.045．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数n==20，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，∴有女生被抽中的概率p=1﹣=1﹣=．19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．【解答】解：（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC．连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，∴OB=2OD，∵PB=2PA，∴OP∥AD，∵AD⊄平面MPC，OP⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC；（Ⅱ）由题意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，∴P到平面MBC的距离为，==1，△MBC中，MC=BC=，MB=2，∴MC⊥BC，∴S△MBC==．△MPC中，MP==CP，MC=，∴S△MPC设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得，∴h=．20．已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B 关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）由题意可知圆心M的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=﹣1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心M的轨迹方程；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．代入抛物线方，由韦达定理及直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣（x+x2），把根与系数的关系代入可得4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，即可得出直线恒过定点．【解答】解：（1）∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，∴动点M的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2，∴动点M的轨迹方程为x2=4y；（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx+8=0，△=16k2﹣32＞0，解得k＞或k＜﹣．∴x1+x2=4k，x1x2=8．直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣（x+x2），又∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，∴4ky﹣4k（kx2﹣2）=（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，化为4y=（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），∵x1=4k﹣x2，∴4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，则y=2，∴直线AC恒过一定点（0，2）．21．已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）令f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，使用分离参数法求出a的范围；（II）令h′（x）=0，结合二次函数的性质和极值点的定义可判断h（x1）＜h（x2），根据根与系数的关系化简|h（x1）﹣h（x2）|=﹣x12++2lnx1，求出右侧函数的最大值即可证明结论．【解答】解：（I）∵f（x）在区间（0，1）上单调递增，∴f′（x）=a+≥0，x∈（0，1），即a，∵x∈（0，1），∴﹣＜﹣1，∴a≥﹣1．（II）证明：h（x）=﹣﹣ax﹣lnx，h′（x）=﹣x﹣a﹣，x∈（0，+∞）．令h′（x）=0得x2+ax+1=0，∵函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），∴方程x2+ax+1=0有两解x1、x2，且x1∈[，1），∴x1•x2=1，x1+x2=﹣a，且ax1=﹣1﹣x12，ax2=﹣1﹣x22，x2∈（1，2]．∴当0＜x＜x1时，h′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，h′（x）＞0，当x＞x2时，h′（x）＜0，∴x1为h（x）的极小值点，x2为h（x）的极大值点，∴|h（x1）﹣h（x2）|=h（x2）﹣h（x1）=﹣x22﹣ax2﹣lnx2+x12+ax1+lnx1=x22﹣x12+ln=﹣x12++2lnx1，令H（x1）=﹣x12++2lnx1，则h′（x1）=﹣x1﹣+==﹣＜0，∴H（x1）在[，0）上是减函数，∴H（x1）≤H（）=﹣2ln2＜2﹣ln2，即|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先求出曲线C2方程，再求出参数方程；（Ⅱ）将直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化简整理，运用韦达定理，即可得到所求|MA|•|MB|的值．（Ⅰ）由题意知，曲线C1的极坐标方程是ρ=1，直角坐标方程为x2+y2=1，【解答】解：曲线C2方程为x2+y2=1，参数方程为（θ为参数）．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2=1，化简得5t2+t﹣8=0，即有t1t2=﹣，可得|MA|•|MB|=|t1t2|=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得出不等式x2﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，解得x＜3，∴≤x＜3；当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，解得x＞1，∴1＜x＜；综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴方程x2﹣mx+n=0的两实数根为1和3，∴，∴m﹣n=4﹣3=1；（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）=3（ab+bc+ca）=3；∴a+b+c的最小值是．。