高等代数第三章

例 求排列451362的反序数
解 m1 2, m2 4, m3 2, m4 m5 m6 0.
所以这个排列有8个反序。
一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。 有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个 反序的排列叫做奇排列。
例1 计算排列 32514的反序数.
例2 计算排列217986354的反序数,并讨论其奇偶性.
D叫D的转置行列式。
引理3.3.1 从n阶行列式的第i1 , i 2 , , i n 行和第j1 , j 2 , , j n 列 取出元素作乘积 （3） ai1 j1 ai2 j2 ain jn , 这里 i1 , i2 , , in 和j1 , j2 , , jn 都是1, 2, …, n这n个数码的排列。 那么这一项在行列式中的符号是
称为三阶行列式, 即 主对角线法
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
‘—’三元素乘积取“+”号；
‘—’三元素乘积取“-”号.
a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31
3.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的：
1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。
三、重点难点：
利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
一、二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)
a11 a12 a11 a 22 a12 a 21 我们用记号 表示代数和 a 21 a 22
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到 n阶 行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个 方程的线性方程组.
3.2 排列
一、内容分布 排列、反序与对换
奇、偶排列的定义及性质
二、教学目的
了解排列、反序、对换的定义
三、重点难点
求反序数
一、排列及其相关概念
定义1 n个数码 1,2, n 的一个排列指的是由这n个数码组 成的一个有序组. n个数码的不同排列共有n！个 例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6个，它们是：123，132，231，213，312，321。 定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某 一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。 计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为
a j 2 a jn a n 2 a nn
ห้องสมุดไป่ตู้
an 2 ann
任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变
证明:（1）我们首先看一个特殊的情形，就是被对换的两个 数码是相邻的。设给定的排列为 其中A与B都代表若干个数码.施行对换 i, j , 得
A , i,
j,
B,
, j , i, ,
A
B
比较这两个排列的反序数.经过这个对换后,属于A或B的数 码的位置没有改变,因此这些数码所构成的反序数没有改变. 同时i，j与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。 若在给定的排列中 i j , 那么经过对换 i, j 后, i与j就构成 一个反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数增多一个。 若在给定的排列中 i j , 那么经过对换后，排列的反序数 减少一个。 不论是哪一种情形，排列的奇偶性都有改变。
a11 a31
a12 a32
a13 a33
它的系数作成的三阶行列式 D a21 a22 a23 0,那么方程组(2)有解
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
这里
b1 D1 b2 b3 a12 a 22 a32 a13 a11 b1 b2 b3 a13 a11 a12 a 22 a32 b1 b2 b3 a 23 , D2 a 21 a33 a31 a 23 , D3 a 21 a33 a31
二、对换及其性质
定义3 看n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两 个数码i与j交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新 的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换，并且用 符号（i，j）来表示。
定理3.2.1 设i1i 2 in 和j1 j 2 j n 是n个数码的任意两个 排列，那么总可以通过一系列对换由 i1i2 in 得出j1 j2 jn
m1 个，那么就有 m1 个数码与1构成反序；然后把1划去，再看 有多少个数码排在2的前面，设为 m 2 个，那么就有 m 2 个数 码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面， 设为 m3 个，……，如此继续下去，最后设在 n前面有 mn 个 数码（显然 mn 0 ），那么这个排列的反序数等于 m1 m2 mn 。
, k1 , k 2 , , k s , i , j , .
（2） j , k1 , k 2 , , k s , i, .
但（2）正是对（1）施行 i, j 对换而得到的排列。因此， 对（1）施行对换 i, j 相当于连续施行2s+1次相邻数码的对 换。由（1），每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变 奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性 相反。
( 1) s t , s (i1i2
in ), t ( j1 j2
jn )
证: 如果交换乘积(3)中某两个因子的位置,那么(3)的元素 的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换, 假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为 s 和t ,那么由定理3.2.2， s s和t t 都是奇数。因为两 个奇数的和是一个偶数，所以 ( s t ) ( s t ) ( s s ) (t t ) 是一个偶数。因此 s t 与s t 同时是偶数或同时是奇数， 从而 ( 1)
( 1) s t ( 1) (12n ) ( k1k 2 k n ) ( 1) ( k1k 2 k n )
引理被证明。
二、行列式的性质 命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等，即 D D
命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列）， 行列式改变符号。 证 设给定行列式
b1 a12 a b , D2 11 1 a22 a21 b2
b b2 a22 a b D D 1 , x2 21 2 2 , 其中D1 1 a11 a12 a11 a12 b2 D D a21 a22 a21 a22
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 (2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2) a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2
作业：P107
1，2，3.
3.3
一、 内容分布
n 阶行列式
n阶行列式的定义
行列式的性质 二、教学目的： 1.掌握和理解n阶行列式的定义。 2.会利用定义计算一些特殊的行列式。 3.掌握和理解行列式的性质。 4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。 三、重点难点： 利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式
a11 ai1 D a j1 a n1 a12 ai 2 a1n ain
a11 a j1 D1 ai1 an1 a12 a1n a j 2 a jn (i ) . ai 2 ain ( j )
s t
( 1) s t
另一方面，由定理3.2.1，排列 i1i2 in 总可以经过 若干次对换变为 12 n ，因此，经过若干次交换 因子的次序，乘积（3）可以变为 （4）
a1k1 a2 k 2 ank n
这里 k1 k 2 k n 是n个数码的一个排列。根据行列式 的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符号是 ( k1k 2 k n ) 。然而 (12 n) 0 。由上面的讨论 ( 1) 可知
1 2 n
1
2
n
a 0 0 例1 计算 D 0 c d 0 e f g 0 0
b 0 . 0 h
解：根据定义,D是一个4! = 24项的代数和。然 而在这个行列式里，除了acfh，adeh，bdeg，bcfg 这四项外，其余的项都至少含有一个因子0，因而等 于0，与上面四项对应的排列依次是 蜗牛们 是 1234,1324,4321,4231. 其中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇 排列.因此
二、行列式在线性方程组中的应用
(1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)
a11 它的系数作成的二阶行列式 D a21
a11 x1 a12 x2 b1 a 21 x1 a 22 x2 b2
a12 0 ,那么方程组(1)有解 a22
b1 x1
a12
a11
一、 n阶行列式的定义 定义1 用符号
a11 a 21 a n1 a12 a 22 a1n a2n
a n 2 a nn
表示的n阶行列式指的是n!项的代数和, 这些项是一 切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元 素的乘积 a1 j a2 j anj . 项 a1 j a2 j anj 的符号为 ( 1) ( j1 j2 jn ) , 也就是说,当 j1 , j 2 , j n 是偶排列时,这 一项的符号为正,当 j1 , j 2 , j n 是奇排列时,这一项的 符号为负.

i, j
定理3.2.3 在n个数码(n>1)的所有n！个排列， n! 其中奇偶排列各占一半.即各为 个。
2
证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列 共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换 i, j ,
那么由定理3.2.2,我们得到p 个偶排列.由于对这p 个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列, 所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶 排列,所以 p q. 同样可得 q p. 因此 p q.
证明: 我们已经知道，通过一系列对换可以由 i1i2 in得出12 n. 我们只需证明， 通过一系列对换可由
12 n得出j1 j2 jn , 而通过一系列对换可由 j1 j2 jn 得出12 n
按照相反的次序施行这些对换，就可由 12 n得出j1 j2 jn
定理3.2.2 .
D acfh adeh b deg bcfg .
转置
a11
a12
a1n
a21 一个n阶行列式 D an1
a22 a2 n an 2 ann
如果把D的行变为列, 就得到一个新的行列式 a11 a21 an1 a12 a22 an 2 D a1n a2 n ann
称为二阶行列式, 即
a11 a12 a11 a 22 a12 a 21 a 21 a 22
a11 a31
a12 a32
a13 a33
我们用记号 a 21 a 22 a 23 表示代数和
a11 a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21 a 32 a11 a 23 a 32 a12 a 21 a 33 a13 a 22 a 31
（2）现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我 们用 k1 , k 2 , , k s 来代表。这时给定的 排列为 （1） , i, k1 , k 2 , , k s , j , . 先让i向右移动，依次与 k1 , k 2 , , k s 交换。这样，经过 s次相邻的两个数码的对换后（1）变为 再让j向左移动，依次与 i, k s , , , k 2 , k1 交换。经过s+1次 相邻的两个数码的对换后，排列变为