2.2集合上的运算

设A、B、C和D是论述域U的任意子集合, 那么下列断言是真:

(a) A∪A=A ; 等幂律

(b) A∩A=A ;

(c) A∪∅=A ; 同一律

(d) A∩∅=∅; 零律

(e) A-∅=A ;

(f) A-B ⊆A ;

(g) 如果A ⊆B和C ⊆D, 那么, (A∪C) ⊆(B∪D) ;

(h) 如果A ⊆B和C ⊆D, 那么, (A∩C) ⊆(B∩D) ;

(i) A ⊆A∪B ;

(j) A∩B ⊆A ;

(k) 如果A ⊆B, 那么, A∪B=B ;

(l) 如果A ⊆B, 那么, A∩B=A

A∪B=B。

推论2.2-3 (a) A∪U = U零律

(b) A∩U= A 同一律

离散数学

定理 2.2-9
A ⊕ B = ( A U B) I ( A U B ) = ( A U B) − ( A I B)
证 因为
A⊕ B = AI B U B I A = ( A I B U B) I ( A I B U A ) = ( A U B) I ( A U B )
但
( A U B) I ( A U B ) = ( A U B) I A I B = ( A U B) − ( A I B)
_______
所以,
A ⊕ B = ( A U B) I ( A U B ) = ( A U B) − ( A I B)

推论 2.2-9 （b）为交换律 ）
(a ) A ⊕ B = A ⊕ B, (b) A ⊕ B = B ⊕ A, (c ) A ⊕ A = φ
定理 2.2-10 结合律
( A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ ( B ⊕ C )
分配律（只对∩） 定理 2.2-11 分配律（只对 ）
C I ( A ⊕ B ) = (C I A) ⊕ (C I B )

结合律的证明
证明思路： 分解成“基本 单位”, 例如:
1. 2. 3. 4. A∩~B∩~C A∩ B∩~C A∩ B∩ C ~A∩~B∩~C
A⊕B⊕C
2011-1-10
离散数学
33

证明: 首先,
A⊕B = (A-B)∪(B-A) (⊕定义) = (A∩~B)∪(B∩~A) (补交转换律) = (A∩~B)∪(~A∩B) (∩交换律) (*)
A⊕B
2011-1-10
离散数学
34

其次, A⊕(B⊕C) = (A∩~(B⊕C))∪(~A∩(B⊕C)) = (A∩~((B∩~C)∪(~B∩C)))∪ (~A∩((B∩~C)∪(~B∩C))) = (A∩(~(B∩~C)∩~(~B∩C)))∪ (~A∩((B∩~C)∪(~B∩C)))
(*) (*) (德•摩根律)
= (A∩(~(B∩~C)∩~(~B∩C)))∪ (~A∩((B∩~C)∪(~B∩C))) = (A∩(~B∪C)∩(B∪~C)))∪ (~A∩((B∩~C)∪(~B∩C))) = (A∩B∩C)∪(A∩~B∩~C) (~A∩B∩~C)∪(~A∩~B∩C)
(德•摩根律) (分配律…)

同理, (A⊕B)⊕C
= (A⊕B)∩~C)∪(~(A⊕B)∩C) = (((A∩~B)∪(~A∩B))∩~C)∪ (~((A∩~B)∪(~A∩B))∩C) = (((A∩~B)∪(~A∩B))∩~C)∪ ((~(A∩~B)∩~(~A∩B))∩C) = (((A∩~B)∪(~A∩B))∩~C)∪ ((~(A∩~B)∩~(~A∩B))∩C) = (((A∩~B)∪(~A∩B))∩~C)∪ ((~A∪B)∩(A∪~B))∩C) = (A∩~B∩~C)∪(~A∩B∩~C)∪ (~A∩~B∩C)∪(A∩B∩C)
(*) (*) (德•摩根律)
(德•摩根律) (分配律…)
∴ A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C. #

以上两个定理留给读者自证。但注意并在环和上不可分配 并在环和上不可分配, 并在环和上不可分配 环和在交上不可分配。即, 通常 环和在交上不可分配
A U ( B ⊕ C ) ≠ ( A U B) ⊕ ( A U C )
A∩(B⊕C)=(A∩B)⊕(A∩C) √
A ⊕ ( B I C ) ≠ ( A ⊕ B) I ( A ⊕ C )
A⊕(B∪C)=(A⊕B)∪(A⊕C) ?

2.2定义 2.2-6 A、B两集合的环积 A⊙B, 是集合: 环积
A ⊗ B = A ⊕ B = A I B U B I A = ( A U B ) I ( B U A) = ( A I B) U ( A I B ) = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B ∨ x ∉ A ∧ x ∉ B}
________
___________________
图 2.2 - 2
2011-1-10 离散数学 38

定理 2.2-12
(a ) A ⊗ B = A ⊗ B, (b) A ⊗ B = B ⊗ A, (c ) A ⊗ A = U
定理 2.2-13 证
( A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ ( B ⊗ C )
A ⊕ B = ( A U B ) I ( B U A) ( A U B ) I ( A I B ) = ( A U B ) − ( A I B )  = ( B U A) I ( A I B ) = ( B U A) − ( B I A) 
所以, 所以
A⊗ B = A ⊕ B = A⊕ B

根据定理2.2-10 得 根据定理
( A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C)
两边取补, 即得
( A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ ( B ⊗ C )
定理 2.2-14
A U ( B ⊗ C ) = ( A U B) ⊗ ( A U C )
请读者自证
2011-1-10 离散数学 40