离散傅里叶变换DFT.ppt
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离散傅里叶变换(DFT)ppt课件
幅度为
1 N
X~ (k )，其中k
0,1, , N
N
1表示其频谱分布规律
8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)周期序列的傅里叶变换表示
因为周期序列不满足条件： x(n) 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函n数 δ 其DTFT可以用公式
表示。
x(n) x(n kN ),k
周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。
(1)DFS定义
正变换：X
(k)
DFS [ x(n )]
N
1
x(n)e
j 2 N
nk
一般记：
反变换：x(n)
n0
IDFS[X (k)] 1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
j 2
WN e N
6
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
为 ~x对(n于)周的期“序主列值~x区(间n)”，，定主义值其区第间一上个的周序期列n为=0主~N值-1序，
列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为： ~x (n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x (n)的"主值序列"
数学表示：
x(n)
x(n mN ) x((n))N
x(n)
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
第2章 离散傅里叶变换(DFT)
证明IDFT［X(k)］的唯一性。
证明：把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有
N 1 k 0 N 1
1 IDFT [ X (k )] N
m 0 N 1
mk [ x(m)WN ]WN kn m 0
1 x ( m) N
k 0
N 1
k WN ( mn )
1 N
W
n
xa (nT ) (t nT )
n 0
N 1
xa (nT )
0 n N -1
此时频谱为 X(ejΩT)*W(jΩ) ，是Ω的连续周期函数。
14
第2章
离散傅里叶变换(DFT)
(3) 频域采样：将频谱离散化
1 ~ X (k ) ( X (e jT ) W ( j)) T0
~
(3.1.10)
12
第2章
离散傅里叶变换(DFT)
3. 由连续傅里叶变换推导
设xa(t)与Xa(jΩ)构成傅立叶变换对，则
X a ( j) xa (t )e jt dt
1 xa (t ) 2
X a ( j)e jt d
(1)时域采样：将xa(t)离散化
k) k)
e
3 j k 8 16
sin( sin(
4
N 0 n
3
e
j
2 kn 8 16
, k 0,1, ,15
16
5
第2章
离散傅里叶变换(DFT)
2. DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限
nk 长序列，但由于 WN 的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式
离散傅里叶变换ppt
频域信号 周期的 离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
n0
x(n)
IDFT X (k)
1 N
N 1
X (k )WNn,k
k 0
0nN-1
或者： X (k) X~(k)RN (k) x(n) ~x (n)RN (n)
练习题
参考答案
TP 1/ f 0.1(s) T 1/ 2 fh 1/ 8kHz 0.125(ms) N 2 fh / f 800
证明：
DFS[WNmn~x (n)]
N
1
WNmn
~x (n)WNkn
n0
N 1 ~x (n)WN(km)n n0
X~(k m)
WNmn
j 2 mn
eN
j 2 nm
eN
(e
j
2
N
n
)
m
时域乘以虚指数(
j 2
eN
n
)的m次幂，频域搬移m,调制特性。
四.周期卷积和
1.如果 Y~(k) X~1(k)X~2(k)
所以
DFS[~x (n
m)]
N 1m~x (i)WNik
W mk N
im
W mk N
N
1
~x (i)WNik
W mk N
~x (k
离散傅里叶变换DFT及其快速算法FFT共158页PPT
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
离散傅里叶变换DFT及其快 速算法FFT
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
离散傅里叶变换DFT及其快 速算法FFT
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
第4章 离散傅利叶变换(DFT)
（4.21）
离散傅里叶级数的性质
x x 证明 DFS [ ~ (n + m)] = ∑ ~ (n + m)W Nnk
N −1 n =0
令 n′ = n + m
=
m + N −1 n′ = m
x ∑ ~(n′)W
− mk N m + N −1 n′ = m
( n′ − m ) k N
=W
∑
% x(n′)WNn′k
j kl ~ N ∑ X ( k )e =
2π
= ∑ ~ ( n)∑ e x
n =0 k =0
N −1
N −1
j
2π (l −n ) k N
离散傅里叶级数的导出
由正交定理
∑e
k =0
N −1
j
2π (l −n ) k N
⎧N =⎨ ⎩0
l=n l≠n
（4.13）
则有
j kl ⎡ N −1 ~ ⎤ ~ N x ∑ X (k )e = N ⎢∑ x (n)⎥ = N~(l ) k =0 ⎣ n =0 ⎦ n =l N −1
l =0 N −1
（4.26）
4.3 离散傅里叶变换 （DFT）
4.3.1 离散傅里叶变换（DFT）的导出
可以设想把一个长度为 N 的有限长序列 x(n) ，以 N 为周期进行 ~ x x 周期延拓，形成周期序列 ~ ( n) ，然后求 ~ ( n)的离散傅里叶级数X (k )， ~ 再取出X (k )的一个周期 X (k ) ，这样就相当计算了有限序列的离散频谱。 x x(n)与 ~ ( n)的关系可以用以下关系式表示
~ (m ) x2 • 3 •2
0
(b )
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
n0
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
《离散傅里叶变换》课件
$X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}$
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
离散傅里叶变换(DFT)PPT课件
其中：RN(n)为矩形序列。 符号 ((n))N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。 即 n mod N： n M n 1 ,N 0 n 1 N 1
x(n)与 ~x(n) x(n)
…
…
0
n
例： ~x(n)是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。
对于周期序列 ~x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为
~x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n)与 ~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
~ x(n)x(n ()N ) x(n)~ x(n)RN(n)x(n ()N )RN(n)
x(n) 1
0.5
0 0 10 20 30 40
IDFS|X(k)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 10 20 30 40
|X(k)|
arg|X(k)|
12
2
10
8
1
6
0
4
2
-1
-
14
0 10 20 30 40
0 10 20 30 40
序列周期重复次数对序列频谱的影响：
理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级 数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理， 然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以 观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向 离散谱过渡的过程。
101510510151015105101563物理频率分辨率越高就越能真实刻划信号的频率构成成分或者说越能体现细节即在频域中描述得比较精确对离散时间信号x比如你的信号中有个5hz10hz102hz20hz25hz等正弦成分他们相邻的最小频率间隔是1021002hz也就是说你需要把10和102hz这两个成分分开即可如果分辨率太高则数据量太长浪费计算时间如果分辨率太低则无法把这两个频率分开所以你可以选择截取的最小时长为t1102105秒
x(n)与 ~x(n) x(n)
…
…
0
n
例： ~x(n)是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。
对于周期序列 ~x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为
~x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n)与 ~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
~ x(n)x(n ()N ) x(n)~ x(n)RN(n)x(n ()N )RN(n)
x(n) 1
0.5
0 0 10 20 30 40
IDFS|X(k)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 10 20 30 40
|X(k)|
arg|X(k)|
12
2
10
8
1
6
0
4
2
-1
-
14
0 10 20 30 40
0 10 20 30 40
序列周期重复次数对序列频谱的影响：
理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级 数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理， 然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以 观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向 离散谱过渡的过程。
101510510151015105101563物理频率分辨率越高就越能真实刻划信号的频率构成成分或者说越能体现细节即在频域中描述得比较精确对离散时间信号x比如你的信号中有个5hz10hz102hz20hz25hz等正弦成分他们相邻的最小频率间隔是1021002hz也就是说你需要把10和102hz这两个成分分开即可如果分辨率太高则数据量太长浪费计算时间如果分辨率太低则无法把这两个频率分开所以你可以选择截取的最小时长为t1102105秒
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
N 1
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
~ X ( k ) N k ( r pn)
k 0
N 1
~ NX ( r pN ) ~ NX ( r )
j 2 nr N
1 ~ 因此, X (r ) N
~ ( n )e x
n 0
N 1
将r换成k则有 1 ~ X (k ) N
n 0
则有
~ ~ ~ (n) b~ (n) aX (k ) bX (k ) DFSax1 x2 1 2
其中，a,b为任意常数。
二.序列的移位
~ ~(n) X (k ) 如果 DFSx
则有：
~ ~(n m) W mk X (k ) DFSx N e
2 j mk N
即：
N 1 n 0 j 2 kn N
~ ~( n )e X (k ) x ~( n ) 1 x N
N 1 k 0
~ X ( k )e
2 j kn N
~ X (k ) 的周期性 2 N 1 j ( k mN ) n ~ 周期性： ( k m N) ~( n )e N X x
) X (k )
0
0 20
N 0 N
k
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
x(nT)=x(n)
1 2 T0 F0 0
T0 NT
0
x (e
j k 0T
T 2T
1 2
( N 1) ( N 1)
NT N
0
)
2 T s 1 T 2
x(k )
n 0 N 1 j 2 nk N
~ ( n )W nk x N
N 1 n 0
DSP离散傅里叶变换PPT课件
(kmN )
(2) X(k)隐含的周期性 N(周期为NN)
K,m,N均为整数
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
n0
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k)
(3) 序列x(n)隐含的周期性( 周n期0 为N)
n0
N 1
(4)当N足够大时，|X(k)|的包络可逼 近|X(ejw)|曲线；
(
5
)
|
X
(
k
)
|
表
示
w
k
=
2
k
/
N
频
点的幅
第7页/共71页
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.3 DFT的隐含周期性
在DFT变换的定义对中， x(n)与X(k)均为有限长序列。 (1) 旋转因子WknN的周期性(周期为N)
W W , k,m, N k
x(n)WNkn X (k)
n0
x(n+mN)=x(n)
第8页/共71页
3.1 离散傅里叶变换的定义
任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而 x(n)则是 的一个周期， 即:
~~
x(n) x(n mN )
mm
(3.1.5)
x(n)• • 0 •• •
离散傅里叶变换(DFT) 本章主要内容
• 离散傅里叶变换的定义 • 离散傅里叶变换的基本性质 • 频率域采样 • 离散傅里叶变换的应用举例
第1页/共71页
离散傅里叶变换(DFT)
DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样(时域和频
离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT) ppt课件
X (e jT
)e jnT d
T
2 T
取样定理
X (e jT )
x(nT )e jnT
n
1 T
X ( 0)
n
时域的离散化造成频域的周期延拓
时域的非周期对应于频域的连续
北京邮电大学信息与通信工程学院
8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (5)
X (e jw ) x(n)e jnw n
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
X (z) x(n)zn n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
北京邮电大学信息与通信工程学院
3
3.1 问题的提出：可计算性
N 1
X (k ) x(n)WN kn
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WN kn
k0
其中
j 2
WN e N
北京邮电大学信息与通信工程学院
22
DFS 定义：几点说明
在什么条件下不产生混迭失真？
X (k) X (e j ) |2 k N
北京邮电大学信息与通信工程学院
12
DFS 定义：预备知识
基本关系式 若 r，m 都是整数,则:
N N 1 j 2 k(r m )
eN
k0
0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
e W N 1 j 2 k(rm) N
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| ~x(n)||zn |
n
但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样， 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐 波关系的复指数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数 序列的频率是周期序列 ~x(的n)基频（2π/N）的整数倍。这些复 指数序列ek(n)的形式为
ek(n)ej2N k
2
由第一章采样定理的知识，我们 知道：时域离散，将导致频域周期 化，且这个周期是s。
时域离散
频域周期
11
四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)
上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。
思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
§ 3.1 引 言
在第2章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计 算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处 理中就显得很重要， 当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它， 但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序 列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅 里叶变换（Discrete Fourier Transform， 简写为DFT）。它本身 也是有限长序列。
（3-4）
n0
这就是求k=0 到N-1的N个谐波系数 X~(k) 的公式。同时看出 X~(k)
也是一个以N为周期的周期序列，即
X ~ ( k m ) N N 1 ~ x ( n ) e j2 N (k m )n N N 1 ~ x ( n ) e j2 N k nX ~ ( k )
4
作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除 了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法—— 快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着 核心作用。
有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散 傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级 数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几 种可能形式。
n
ekrN(n)
（3-1）
式中, k, r为整数。
由式（3-1）可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也 为N。也就是说, 离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这
是和连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），
因而对离散傅里叶级数，只能取k=0 到N-1的N个独立谐波分量， 不然就会产生二义性。因而 ~x(n)可展成如下的离散傅里叶级数，
7
§3-2傅里叶变换的几种可能形式
傅里叶变换
时域
频域
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
8
一、连续时间，连续频率——傅里叶变换(FT)
这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续 的、非周期的频谱密度函数X(j)。
时域离散、周期
频域周期、离散
12
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 连续和非周期
连续和周期 离散和非周期
散和周期
频率函数 非周期和连续 非周期和离散
周期和连续 周期和离散
x a(t )
|X a( j )|
1
－
o
t
(a )
－ 0
o
0
x p (t )
|X p ( jk )|
o Tp
x (n T )
To N点
T0/2 x(t)ejk 0tdt
T0/2
x(t) X(jk0)ejk0t
k
其中， 0 2F02 T 0
X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。
时域周期
频域离散 10
三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)
X(ej) x(n)ejn
n
x(n)1 X(ej)ejnd
5
一.DFT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、 相关都可以通DFT在计算机上实现。
6 返回目录
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
1
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总体概述
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2
§3-1 引言 §3-2 傅氏变换的几种可能形式 §3-3 周期序列的DFS §3-4 DFS的性质 §3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示 §3-6 DFT的性质 §3-7 抽样Z变换--频域抽样理论 §3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近 3
（3-3）
将式（3-2）两端同乘以
e
j
2 N
rn
，
然
后从
n=0
到N-1的一个
周期内求和，则得到
N
1
~x (n)e
j
2 N
rn
1 N1
N 1
X~
(k
)e
j
2 N
( k r )n
n0
N n0 k0
N1
k 0
X~(k)
1 N
N 1 j 2 (kr)n
eN
n0
X~(r)
把r换成k可得
X~(k)N1~x(n)ej2Nkn
X(j )x(t)ej tdt
x(t)21 X(j)ejtd
时域连续
频域非周期
时域非周期
频域连续
9
二、连续时间，离散频率——傅里叶级数(FS)
这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、 非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有 一个频率分量。
1
X(jk 0)T0
xp(n )
(b ) t
nT
(c)
o
k
|X( ej)|
1/T
－
o
| X ( e jk s)|
o N点
(d ) n
－
o
s
N点
各种形式的傅里叶变换
§ 3.3 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
设 ~x(n) 是一个周期为N的周期序列， 即 ~ x(n)~ x(nrN ) r为任意整数
周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在 任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是
即
~x(n)1N1X~(k)ej2Nkn
Nk0
（3-2）
式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数，X~(k)
是k次谐波的系数。
下面我们来求解系数X~(k)，这要利用复正弦序列的正交特性，即
1
N
N 1 j 2 rn
eN
n0
1 N
j 2 rN
1e N
j2 r
1e N
1
0
r=mN, m为整数 其他r
n
但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样， 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐 波关系的复指数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数 序列的频率是周期序列 ~x(的n)基频（2π/N）的整数倍。这些复 指数序列ek(n)的形式为
ek(n)ej2N k
2
由第一章采样定理的知识，我们 知道：时域离散，将导致频域周期 化，且这个周期是s。
时域离散
频域周期
11
四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)
上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。
思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
§ 3.1 引 言
在第2章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计 算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处 理中就显得很重要， 当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它， 但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序 列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅 里叶变换（Discrete Fourier Transform， 简写为DFT）。它本身 也是有限长序列。
（3-4）
n0
这就是求k=0 到N-1的N个谐波系数 X~(k) 的公式。同时看出 X~(k)
也是一个以N为周期的周期序列，即
X ~ ( k m ) N N 1 ~ x ( n ) e j2 N (k m )n N N 1 ~ x ( n ) e j2 N k nX ~ ( k )
4
作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除 了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法—— 快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着 核心作用。
有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散 傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级 数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几 种可能形式。
n
ekrN(n)
（3-1）
式中, k, r为整数。
由式（3-1）可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也 为N。也就是说, 离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这
是和连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），
因而对离散傅里叶级数，只能取k=0 到N-1的N个独立谐波分量， 不然就会产生二义性。因而 ~x(n)可展成如下的离散傅里叶级数，
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§3-2傅里叶变换的几种可能形式
傅里叶变换
时域
频域
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
8
一、连续时间，连续频率——傅里叶变换(FT)
这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续 的、非周期的频谱密度函数X(j)。
时域离散、周期
频域周期、离散
12
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 连续和非周期
连续和周期 离散和非周期
散和周期
频率函数 非周期和连续 非周期和离散
周期和连续 周期和离散
x a(t )
|X a( j )|
1
－
o
t
(a )
－ 0
o
0
x p (t )
|X p ( jk )|
o Tp
x (n T )
To N点
T0/2 x(t)ejk 0tdt
T0/2
x(t) X(jk0)ejk0t
k
其中， 0 2F02 T 0
X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。
时域周期
频域离散 10
三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)
X(ej) x(n)ejn
n
x(n)1 X(ej)ejnd
5
一.DFT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、 相关都可以通DFT在计算机上实现。
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二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
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§3-1 引言 §3-2 傅氏变换的几种可能形式 §3-3 周期序列的DFS §3-4 DFS的性质 §3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示 §3-6 DFT的性质 §3-7 抽样Z变换--频域抽样理论 §3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近 3
（3-3）
将式（3-2）两端同乘以
e
j
2 N
rn
，
然
后从
n=0
到N-1的一个
周期内求和，则得到
N
1
~x (n)e
j
2 N
rn
1 N1
N 1
X~
(k
)e
j
2 N
( k r )n
n0
N n0 k0
N1
k 0
X~(k)
1 N
N 1 j 2 (kr)n
eN
n0
X~(r)
把r换成k可得
X~(k)N1~x(n)ej2Nkn
X(j )x(t)ej tdt
x(t)21 X(j)ejtd
时域连续
频域非周期
时域非周期
频域连续
9
二、连续时间，离散频率——傅里叶级数(FS)
这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、 非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有 一个频率分量。
1
X(jk 0)T0
xp(n )
(b ) t
nT
(c)
o
k
|X( ej)|
1/T
－
o
| X ( e jk s)|
o N点
(d ) n
－
o
s
N点
各种形式的傅里叶变换
§ 3.3 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
设 ~x(n) 是一个周期为N的周期序列， 即 ~ x(n)~ x(nrN ) r为任意整数
周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在 任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是
即
~x(n)1N1X~(k)ej2Nkn
Nk0
（3-2）
式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数，X~(k)
是k次谐波的系数。
下面我们来求解系数X~(k)，这要利用复正弦序列的正交特性，即
1
N
N 1 j 2 rn
eN
n0
1 N
j 2 rN
1e N
j2 r
1e N
1
0
r=mN, m为整数 其他r