离散傅里叶变换DFT.ppt
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4
作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除 了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法—— 快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着 核心作用。
有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散 傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级 数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几 种可能形式。
n
ekrN(n)
（3-1）
式中, k, r为整数。
由式（3-1）可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也 为N。也就是说, 离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这
是和连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），
因而对离散傅里叶级数，只能取k=0 到N-1的N个独立谐波分量， 不然就会产生二义性。因而 ~x(n)可展成如下的离散傅里叶级数，
| ~x(n)||zn |
n
但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样， 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐 波关系的复指数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数 序列的频率是周期序列 ~x(的n)基频（2π/N）的整数倍。这些复 指数序列ek(n)的形式为
ek(n)ej2N k
5
一.DFT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、 相关都可以通DFT在计算机上实现。
6 返回wenku.baidu.com录
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
即
~x(n)1N1X~(k)ej2Nkn
Nk0
（3-2）
式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数，X~(k)
是k次谐波的系数。
下面我们来求解系数X~(k)，这要利用复正弦序列的正交特性，即
1
N
N 1 j 2 rn
eN
n0
1 N
j 2 rN
1e N
j2 r
1e N
1
0
r=mN, m为整数 其他r
§ 3.1 引 言
在第2章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计 算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处 理中就显得很重要， 当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它， 但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序 列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅 里叶变换（Discrete Fourier Transform， 简写为DFT）。它本身 也是有限长序列。
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总体概述
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§3-1 引言 §3-2 傅氏变换的几种可能形式 §3-3 周期序列的DFS §3-4 DFS的性质 §3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示 §3-6 DFT的性质 §3-7 抽样Z变换--频域抽样理论 §3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近 3
（3-3）
将式（3-2）两端同乘以
e
j
2 N
rn
，
然
后从
n=0
到N-1的一个
周期内求和，则得到
N
1
~x (n)e
j
2 N
rn
1 N1
N 1
X~
(k
)e
j
2 N
( k r )n
n0
N n0 k0
N1
k 0
X~(k)
1 N
N 1 j 2 (kr)n
eN
n0
X~(r)
把r换成k可得
X~(k)N1~x(n)ej2Nkn
2
由第一章采样定理的知识，我们 知道：时域离散，将导致频域周期 化，且这个周期是s。
时域离散
频域周期
11
四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)
上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。
思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
时域离散、周期
频域周期、离散
12
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 连续和非周期
连续和周期 离散和非周期
散和周期
频率函数 非周期和连续 非周期和离散
周期和连续 周期和离散
x a(t )
|X a( j )|
1
－
o
t
(a )
－ 0
o
0
x p (t )
|X p ( jk )|
o Tp
x (n T )
To N点
T0/2 x(t)ejk 0tdt
T0/2
x(t) X(jk0)ejk0t
k
其中， 0 2F02 T 0
X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。
时域周期
频域离散 10
三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)
X(ej) x(n)ejn
n
x(n)1 X(ej)ejnd
X(j )x(t)ej tdt
x(t)21 X(j)ejtd
时域连续
频域非周期
时域非周期
频域连续
9
二、连续时间，离散频率——傅里叶级数(FS)
这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、 非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有 一个频率分量。
1
X(jk 0)T0
xp(n )
(b ) t
nT
(c)
o
k
|X( ej)|
1/T
－
o
| X ( e jk s)|
o N点
(d ) n
－
o
s
N点
各种形式的傅里叶变换
§ 3.3 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
设 ~x(n) 是一个周期为N的周期序列， 即 ~ x(n)~ x(nrN ) r为任意整数
周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在 任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是
7
§3-2傅里叶变换的几种可能形式
傅里叶变换
时域
频域
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
8
一、连续时间，连续频率——傅里叶变换(FT)
这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续 的、非周期的频谱密度函数X(j)。
（3-4）
n0
这就是求k=0 到N-1的N个谐波系数 X~(k) 的公式。同时看出 X~(k)
也是一个以N为周期的周期序列，即
X ~ ( k m ) N N 1 ~ x ( n ) e j2 N (k m )n N N 1 ~ x ( n ) e j2 N k nX ~ ( k )
作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除 了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法—— 快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着 核心作用。
有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散 傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级 数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几 种可能形式。
n
ekrN(n)
（3-1）
式中, k, r为整数。
由式（3-1）可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也 为N。也就是说, 离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这
是和连续傅里叶级数的不同之处（后者有无穷多个谐波成分），
因而对离散傅里叶级数，只能取k=0 到N-1的N个独立谐波分量， 不然就会产生二义性。因而 ~x(n)可展成如下的离散傅里叶级数，
| ~x(n)||zn |
n
但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样， 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐 波关系的复指数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数 序列的频率是周期序列 ~x(的n)基频（2π/N）的整数倍。这些复 指数序列ek(n)的形式为
ek(n)ej2N k
5
一.DFT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、 相关都可以通DFT在计算机上实现。
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二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。
傅氏变换
离散量化
信号处理
DFT(FFT)
即
~x(n)1N1X~(k)ej2Nkn
Nk0
（3-2）
式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数，X~(k)
是k次谐波的系数。
下面我们来求解系数X~(k)，这要利用复正弦序列的正交特性，即
1
N
N 1 j 2 rn
eN
n0
1 N
j 2 rN
1e N
j2 r
1e N
1
0
r=mN, m为整数 其他r
§ 3.1 引 言
在第2章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计 算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处 理中就显得很重要， 当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它， 但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序 列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅 里叶变换（Discrete Fourier Transform， 简写为DFT）。它本身 也是有限长序列。
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§3-1 引言 §3-2 傅氏变换的几种可能形式 §3-3 周期序列的DFS §3-4 DFS的性质 §3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示 §3-6 DFT的性质 §3-7 抽样Z变换--频域抽样理论 §3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近 3
（3-3）
将式（3-2）两端同乘以
e
j
2 N
rn
，
然
后从
n=0
到N-1的一个
周期内求和，则得到
N
1
~x (n)e
j
2 N
rn
1 N1
N 1
X~
(k
)e
j
2 N
( k r )n
n0
N n0 k0
N1
k 0
X~(k)
1 N
N 1 j 2 (kr)n
eN
n0
X~(r)
把r换成k可得
X~(k)N1~x(n)ej2Nkn
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由第一章采样定理的知识，我们 知道：时域离散，将导致频域周期 化，且这个周期是s。
时域离散
频域周期
11
四、离散时间，离散频率——离散傅里叶变换(DFT)
上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。
思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：
时域离散、周期
频域周期、离散
12
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 连续和非周期
连续和周期 离散和非周期
散和周期
频率函数 非周期和连续 非周期和离散
周期和连续 周期和离散
x a(t )
|X a( j )|
1
－
o
t
(a )
－ 0
o
0
x p (t )
|X p ( jk )|
o Tp
x (n T )
To N点
T0/2 x(t)ejk 0tdt
T0/2
x(t) X(jk0)ejk0t
k
其中， 0 2F02 T 0
X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。
时域周期
频域离散 10
三、离散时间，连续频率——序列的傅里叶变换(DTFT)
X(ej) x(n)ejn
n
x(n)1 X(ej)ejnd
X(j )x(t)ej tdt
x(t)21 X(j)ejtd
时域连续
频域非周期
时域非周期
频域连续
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二、连续时间，离散频率——傅里叶级数(FS)
这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、 非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有 一个频率分量。
1
X(jk 0)T0
xp(n )
(b ) t
nT
(c)
o
k
|X( ej)|
1/T
－
o
| X ( e jk s)|
o N点
(d ) n
－
o
s
N点
各种形式的傅里叶变换
§ 3.3 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)
设 ~x(n) 是一个周期为N的周期序列， 即 ~ x(n)~ x(nrN ) r为任意整数
周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在 任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是
7
§3-2傅里叶变换的几种可能形式
傅里叶变换
时域
频域
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
8
一、连续时间，连续频率——傅里叶变换(FT)
这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续 的、非周期的频谱密度函数X(j)。
（3-4）
n0
这就是求k=0 到N-1的N个谐波系数 X~(k) 的公式。同时看出 X~(k)
也是一个以N为周期的周期序列，即
X ~ ( k m ) N N 1 ~ x ( n ) e j2 N (k m )n N N 1 ~ x ( n ) e j2 N k nX ~ ( k )