分式函数的图像及性质

高一数学选修课系列讲座（一）-----------------分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。

如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。

2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。

如22112x x y +=-，sin 23sin 3x y x +=-，123x y x -+=+等。

二、学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

小结：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质： （1）定义域： ；（2）值域：；（3）单调性：单调区间为；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；（5）奇偶性：当时为奇函数； （6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

小结：分式函数(,0)by ax a b x=+>的图像与性质： （1）定义域：；（2）值域：；（3）奇偶性：；（4）单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数；（5）渐近线：以轴和直线为渐近线； （6）图象：如右图所示例3、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

结合刚才的两个例子，思考1y x x =--与1y x x=-的图像又是怎样的呢？ 思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)by ax a b R ab x =+∈≠的图像呢？小结：(,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的图像如下：（i ）(0,b y ax a b x =+>>(0,0)b y ax a b =+><(iii) (0,0)by ax a b x=+<>(iv) (0,0)by ax a b x=+<<(,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

探究任务二：函数22(,,,,,)ax bx cy a b c d e f R dx ex f++=∈++的图像与性质 问题3：例4 函数2211x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？思考：函数2121x y x x +=++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 小结：对于分式函数22(,,,,,)ax bx cy a b c d e f R dx ex f++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。

对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。

如：22111(1)221212(1)311x y x x x x x x x x +===≠-++++++-++巩固练习：1、若,,3,x y R xy y +∈+=则x y +的最小值是；2、函数234xyx =+的值域是；3、已知[)221(),1,ax x f x x x--=∈+∞单调递减，则实数a 的取值围是； 4、不等式20x a x-->的在[]2,1有实数解，则实数a 的取值围是； 5、不等式20x a x-->的在[]2,1恒成立，则实数a 的取值围是； 6、已知()af x x x=-+在区间[2,3)单调递减，求a 的取值围是； 7、函数221x xy x x -=-+的值域是8、定义在R 上函数()f x ，集合{A a a =为实数，且对于任意},()x R f x a ∈≥恒成立，且存在常数m A ∈，对于任意n A ∈，均有m n ≥成立，则称m 为函数()f x 在R 上的“定下界”．若21()12x xf x -=+，则函数()f x 在R 上的“定下界”m =__________．9、设(),[0,+)1af x x x x =+∈∞+． （1）当4a =时，求()f x 的最小值；（2）当(0,1)a ∈时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。

10、已知函数()2af x x x=+的定义域为(]0,2（a 为常数）. （1）证明：当8a ≥时，函数()y f x =在定义域上是减函数；（2）求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值。

11、（1）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭的定义域为R +，数a 的取值围； （2）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭的值域为R +，数a 的取值围。

12、已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >,那么该函数在上是减函数，在)+∞上是增函数。

（1）如果函数2by x x=+在(0,4]上是减函数, 在[4,)+∞上是增函数，常数b 的值；（2）设常数[1,4]c ∈，求函数(12)cy x x x=+≤≤的最大值和最小值。

分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。

如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。

2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。

如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，y =等。

二、学习探究探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。

如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞；对称中心：(1,2)。

【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d +=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示xOyxOy12xOy 1问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。

绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。

解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以求出1y x x=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞ 减区间：[1,0),(0,1]-函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞ 函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数(,0)by ax a b x=+>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；（2）值域：{|2,2}y y ab y ab ≥≤-或；xOyy x=xO yy x=1y x=x OyxO y（3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间(,][,+)b ba a-∞-∞上是增函数， 在区间(0,],[,0)b ba a-上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1y x x=-的图像解：函数的定义域为：{|0}x x ≠；根据单调性定义，可以判断出1y x x=-的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)-∞+∞函数的值域为：R 函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：【反思】结合刚才的两个例子，1y x x =--与1y x x =-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与23y x x=-的xO yxOyy x=1y x=y ax=b ab a-2ab2ab-xOy图像是怎样的呢？(,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的图像呢？ 函数1y x=--的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。

【注】()y x x x x =--=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x=+的图像，对称的画出1y x x =--的图像。