第三章静电场及其边值问题的解法
第3章 边值问题及静电场的求解
r r
Q Q
const.
若镜像位置满足
OQ ~ P OPQ
r r
R0 a
const .
由三角形相似，
b R0 R0 a
2 R0 b a Q R0 Q a
导体球外部空间的电势为
Q R 0Q 4 0 r ar 1 4 0 1 Q R a 2 Ra cos
sin d
(sin
sin
0
该方程的解有两种情况
■
1 d
2
d
2
m
2
的解
0,
当电位与方位角无关时，
2 即： m 0
( ) A
■
1 d R dr
(r
2
2
dR dr
) n ( n 1) 的解
1
(1) n 0 时， R ( r ) A0 B 0 r
n
|S f 2 ( S )
称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。 这类问题称为第 二类边值问题。 （3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性 组合值， 即给定
( N ) |S f 3 ( S )
称为第三类边界条件或“混合边界条件”。 这类问题称为 第三类边值问题。
P
Q Q 4 0 r r 1
考察空间：导体球外部空间。 镜像电荷：用位于对称轴上的等效代
替导体球面上的感应电荷。
球面上任意点P 的电势
Q Q ( P) 0 4 0 r r 1
r r
Q Q
镜像电荷不应随P 变化，
第3章---- 静电场及其边值问题的解法--4
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
结论：
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 , n
π n
为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角 域中的场可以用镜像法求解;
当n=3时：
/3
q
/3
q
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
q
q
当n=3时：
r
2π
r
S
衔接条件
----不同媒质分界面上的边界条件，如
1 2 1 2 , 1 2 n n
1 2
1
2
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
例：
b
y
U0
2 2 2 0 2 x y (0, y) 0, (a, y) 0
1
d1
q d2 2 q1 d2
d1 R1
d1 R
q
d2
d2
q3
R3
d1
R2
d1
d2
q2
电位函数 q 1 1 1 1 ( ) 4π R R1 R2 R3
镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(－d1, －d2 )
镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )
（第三类边值问题）
§3.5 电磁场
静电场边值问题，唯一性定理
第3章 静电场及其边值问题的解法
3. 边值型问题的解法
解析法
镜像法
分离变量法
复变函数法 格林函数法 计算法
…
有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法
第3章---- 静电场及其边值问题的解法 (1)
积分形式:
∫ D ⋅ dS = q ∫ E ⋅ dl = 0
S l
微分形式：
∇⋅D = ρ ∇× E = 0
D = εE
静电场:无旋有散场
本构关系:
线形、各向同性媒质
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、静电场的无旋性与电位
一 、静电场的无旋性
试验电荷q0位移dl时，电场力作功：
dA= F ⋅ dl = q0E ⋅ dl
从A点移到B点：
A = ∫ q0 E ⋅ dl
A
B
定义： A、B点间电压：
U AB
A = = ∫ E ⋅ dl q A
B
(2 - 19)
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = 0
_____ _____
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
均匀电场中带电粒子的 轨迹
阴极射线示波器原理
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁分离器 回旋加速器
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁悬浮列车
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁录音原理：
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
§3.1 静电场基本方程与电位方程 一、静电场的麦克斯韦方程组
∞
r
ρ 0a ρ 0a dr = 2 3ε 0 r 3ε 0 r
3
3
当r<a时，
ϕ = ∫ Er dr = ∫ Er dr + ∫
r r
∞
a
第三章 静电场边值关系
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
静电场的解法
静电场的解法第三章静电场的解法第三章静电场的解法静电场问题的类型唯一性定理分离变量法镜像法有限差分法第三章静电场的解法静电场问题的类型分布型问题已知全空间的电荷分布利用电场强度或电位的计算公式直接计算场中各点的电场强度或电位这类问题称为分布型问题对此问题有如下几种解法。
、根据电荷分布利用场源积分式直接求解电场。
、根据电荷分布利用场源积分式直接求解电位再根据计算电场。
、若电荷分布具有某种对称性从而判断场的分布也具有某种对称性时可用高斯定理直接求解电场此法主要是要正确选取高斯面一般高斯面上的场强要保持常量并且方向与所在面的法向相同计算才可化简。
第三章静电场的解法边值型问题已知确定区域中的电荷分布和其边界上的电位或电位函数的法向导数分布求解该区域中电位的分布状况这类问题称为边值型问题或简称为边值问题边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三种类型。
第一类边值问题：给定整个边界上的电位函数求区域中电位分布这类问题又称为狄利克莱问题。
第二类边值问题：给定整个边界上电位函数的法向导数求区域中电位分布这类问题又称为诺伊曼问题。
第三类边值问题：一部分边界上的电位给定另一部分边界上的法向导数给定求区域中电位分布这类问题又称为混合型边值问题。
如果边界是导体则上述三类问题分别变为：已知导体表面的电位已知各导体的总电量已知一部分导体表面上的电位和另一部分导体表面上的电量。
第三章静电场的解法唯一性定理唯一性定理：满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解必定唯一。
或：如果给定一个区域中的电荷分布和边界上的全部边界条件则这个区域中的解是唯一的。
格林定理格林定理是由散度定理直接导出的数学恒等式。
将散度定理用于闭合面S所包围的体积V内任一矢量场式中参量是在区域内两个任意的标量函数并要求在边界上一阶连续在区域内二阶连续。
第三章静电场的解法则有格林第一恒等式上述两式相减得格林第二恒等式第三章静电场的解法唯一性定理的证明设φφ是同一无源区域的边值问题的解。
第三章静电场边值问题
第三章 静电场边值问题在上一章中，我们已经知道了几种从电荷分布求静电场的问题。
一种是直接积分式(2-2-1)求得已知电荷分布情况下的电场；另一种是利用式(2-2-4)高斯定理求解某些具有对称性电荷分布的静电场问题；再一种就是由式(2-2-10)求出静电势，再利用关系式ϕ=-∇E求出电场，这些问题一般都不存在边界。
然而，对于许多实际静电问题，电荷的分布是复杂的，计算积分很困难，甚至是不能积分，有些静电问题只给出了边界上的面电荷或电势。
在这种情况下，需有其它有效的方法求解静电问题，这种方法就是求解静电势所满足的偏微分方程。
这偏微分方程就是由式(2-2-10)给出的方程：2ρϕε∇=-因此，对于有边界存在的情况下，我们不得不求解给定边界条件下静电势微分方程，然后求出静电场，这一问题称为静电场边值问题错误！未找到引用源。
即求出满足给定边界条件的泊松方程的解。
在这一章中，我们首先介绍静电唯一性定理，它是解决静电场边值问题的基础。
基于静电唯一性定理，我们主要介绍两种求解静电场边值问题的方法：电像法和分离变量法。
当然，求解边值问题还有其它的方法。
值得一提的是，本章所介绍的方法不仅仅适用于静电场，它同样适用于静磁场和时变电磁场。
3-1 静电唯一性定理我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。
这就是静电唯一性定理错误！未找到引用源。
下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。
在由边界面s 包围的求解区域V 内，若： 1) 区域V 内的电荷分布给定；2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数snϕ∂∂，则V 内的电势唯一确定。
以上的表述就是静电唯一性定理。
下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。
证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(r )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ϕ或电势法向偏导数snϕ∂∂)。
即：2212,ρρϕϕεε∇=-∇=-并有12sssϕϕϕ==或12sssnnnϕϕϕ∂∂∂==∂∂∂式中s ϕ和snϕ∂∂为给定的边界条件。
第三章静电场及其边值问题的解
在圆柱面坐标系中，取 E 0与x轴方向一致，即 E 0 e E ，而 x 0
r r r r ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
由此解得
C1
利用边界条件，有
x 0 处， 1 (0) 0 2 (a) 0 x a处， x b 处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x 0 x x b
所以 D 0 1 C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2 C2 C1 S 0 0
故单位长度的电容为
l
U
0
ln ( D a)
F/m
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
19
例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体
间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 ll， ll 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于
导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面 4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
En en E s /
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
14
任何两个导体都可看作一点容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • • • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
第三章 静电场的边值问题
oP adq′r′OP adq′r′为常数。
对于不接地的导体球，若引入镜像电荷 q' 后，为了满足电荷守 恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须令q ′′ = − q ′P a O d q′ r′ r q f而且，为了保证球面边界是 一个等位面，镜像电荷 q′′ 必须位 于球心。
事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等于零。
由q 及 q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷 q“ 以提供一定的电位。
（思考：等位线的形状是否和以前一样？）（3）线电荷与带电的导体圆柱。
P a O d f -ρl已知线电荷为rr′ρl，导体圆柱单位ρl长度的电荷量为-ρl 。
在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根 镜像线电荷 − ρ l 。
求d 的大小。
已知无限长线电荷产生的电场强度为E=ρl er 2πε r因此，离线电荷 r 处，以 r0 为参考点的电位为ϕ=∫r0rEdr =ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠若令镜像线电荷 − ρ l 产生的电位也取相同的 r0 作为参考点， 则 ρ l 及 − ρ l 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为P a O d f -ρlr′rρlϕP =ρl ⎛ r0 ⎞ ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ − ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠ 2πε ⎝ r ′ ⎠ ρl ⎛ r ′ ⎞ = ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠已知导体圆柱是一个等位体,即 ϕ p 是一个常数，因此，为了 满足这个边界条件，必须要求比值r′ r为常数。
2a r′ a d 与前同理，可令 = = ，由此得 d = r f a f可以想象与实际导体圆柱对称位置的右侧，也存在一个圆柱等位 面，如上图，则可计算两根平行导线间的电容（P79）。
（4）点电荷与无限大的介质平面。
qq′ Enr0r0′E'E t′ Etq"ε1 ε2et en=ε1 ε1q'θ+ε2 ε2r0′′θ′ E n′E t′′EnEE"为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚电 荷的作用，将整个空间变为介电常数为ε1 的均匀空间。
第三章 边值问题的解法
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B
U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d
)2 1/ 2
(d
2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q
1
b1
a12 d1
q1
q1
第3章---- 静电场及其边值问题的解法--5 (1)讲诉
a
r2 q
b
r1
M
q
1 q q c ( )0 4π 0 r1 r2
d
q ab q d a
r2 q q r1
q a b q d a
a q q d
a2 b d
空间任意点 ( r , ) 的电位： q 1 a 2 2 2 2 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra 2 cos a 4 )1/ 25
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
a2
o
r
q2
b2
r2
r1
q2
d1
d2
球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 (a2 , , ) 0 的位置和大小分别为 根据球面镜像原理，镜像电荷 q2 2 a2 a2 q2 q2 b2 d2 d2 球壳外区域任一点电位为 a2 q 1 外 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2d2 r cos d2 ) (d2 r 2d 2 ra2 cos a2 )
9
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 球壳内：边界为r = a1的导体球面， 边界条件为 (a1 , , ) 0 根据球面镜像原理，镜像电 荷 q1 的位置和大小分别为 a1 a12 q q1 b1 1 d1 d1 q 内 球壳内区域任一点电位为 4π 0
q
d
q 1 a a 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra cos a ) dr
第3章-静电场及其边值问题的解法
q + q′ = 0 得 q′ = −q 4πεR0
()
()
()
R R R
φ r′ = φ r′ = φ r′ =
( ) ( ) ( )
1 4 πε 1 4 πε 1 4 πε
0 0 0
∫ ∫ ∫
ρv r′ ρ s r′ ρl r′
v
( )d v ′
s
( )d s ′
l
( )d l ′
式中 R =| r − r ′ | ，为源点至场点的距离。
5
§3.1
因此，任一极化介质区域内部的体束缚电荷总量与其表面的总束缚电荷是等值 异性的，介质整体呈电中性。
13
§3.2
静电场中的介质
二、介质中的高斯定理，相对介电常数
介质中的高斯定理： ∇ ⋅ E =
′ ρv + ρv ε0
′ 带入可得： 将 ρv
∇⋅ ε0 E + P = ρv
(
)
定义电通量密度： D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e )E = ε E 式中： ε = ε0εr ,
第3章 静电场及其边值问题解法
本章先研究静电场的电位方程和介质特性。 本章还将介绍两种求解静电场边值问题的方法。
主要内容 静电场与电位方程 静电场的介质 镜像法 分离变量法
§3.1 静电场基本方程与电位方程
一、静电场基本方程
静电场的场源电荷和所有场量都不随时间变化，只是空间坐标的函数。
由麦克斯韦方程组得静电场基本方程：
r>a:
2 ∫ E ⋅ ds = rˆE ⋅ rˆ 4π r = s
E 4π r 2 =
− ρ0 4 3 πa , ε0 3
3静电场及其边值问题的解法
第3章 静电场及其边值问题的解法3.1 / 3.1-1 一个半径为a ，壁厚d 极薄的肥皂泡对无穷远点的电位为U 0。
当它破灭时假定全部泡沫集中形成一个球形水滴。
试求此水滴（drop ）对无穷远处的电位U d 。
若U 0=20V ，a=3cm ，d=10μm ，则U d =? [解] 均匀带电球在场点()ϕθ,,r 处电场可由高斯定理得出：,4ˆˆ02επQr r E r s d E S=⋅=⋅⎰ 204ˆrQ rE πε=故均匀带电球表面至无穷远处的电位为 aQ dr rQ l d E U aa020044πεπε==⋅=⎰⎰∞∞（1）得肥皂泡带电量为 004aU Q πε=水滴上将载有相同的电量，其电位也由(1)式得出，只是其半径为b ，该半径可根据肥皂泡壁体积求出：d a b 23434ππ= 得 323d a b = 从而有 V da aU da aU U d 2001010109320103334436423232000=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===---πεπε3.2 / 3.1-2空气中有一半径为a 的球形电荷分布，已知球体内的电场强度为2ˆCr r E =（r<a ），C 为常数。
求：a)球体内的电荷分布；b)球体外的电场强度；c)球内外的电位分布；d)验证静电场的电位方程。
[解] a) 由高斯定理0ερvE =⋅∇，得()()Cr Cr r drd r E r v 02220041εεερ=⋅=⋅∇= (r<a) b) 由dv s d E vv S⎰⎰=⋅ρε01，对球外区域得,44414042002⎰=⋅=⋅aCa dr r Cr r E ππεεπ24ˆra C r E = (r>a) c) 取 ∞→r 处为电位参考点，得 ()333332424333:r a C Ca Cr Ca dr ra C dr Cr Edr a r arar-=+-=+==<⎰⎰⎰∞∞φ⎰∞==>rra C E d r a r :φd) 022224331:ερφv Cr r C r r r a r -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅∂∂=∇< 得证。
[工学]静电场及其边值问题的解法
![[工学]静电场及其边值问题的解法](https://img.taocdn.com/s3/m/923e28d2551810a6f524866c.png)
a）高斯定律的微分形式
（真空中） E v 0
（电介质中） E v v 0
代入v P ,得
E
1 0
(v
P)
(0E P) v
定义电位移矢量（ Displacement） D 0E P 则有 D 电介质中高斯定律的微分形式
2 0l
ln R2
R1
3) 球形电容器
Q
E 40r 2
R2
R1
U＝ Q
4 0
R2 R1
dr＝ Q
r2 4 0
1 R1
1 R2
C0
Q U1 U2
4 0
R1 R2 R2 R1
15
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.1 E 和 D 的边界条件
q q 0 得 q q 4 R0
于是，
q
4
1 R
1 R
q4 来自1x2 y2 (z h)2
1
x2 y2 (z h)2
R
1
40
＝8.99 109 (m)
103
Re
12
§3.3 静电场中的导体
二、两个导体的电容
Q
ssds
nˆ Eds
s
E ds
s
B
U A E dl l E dl
C Q ＝ sE ds U E dl
求电容的两条途径 l
折射定律
16
第3章 边值问题的解法
静电场的边值问题
一、泊松方程和拉普拉斯方程
二、松方程和拉普拉斯方程 泊松方程：
v
2
拉普拉斯方程（在 v 0 区域内）：
0
2
上述方程为二阶偏微分方程。其中▽2 (拉普拉斯算子）
2 2 2 在直角坐标系下 ： 2 2 2 2 x y z
本章小结
主要内容及关键公式：见教材
要掌握的重点：
1. 静电场、恒定电场的基本方程形式 （积分形式、微分形式） ，及其物理意义。 2. 静电场、恒定电场的边界条件（方程、 物理意义、应用） 3. 会计算电场强度、电位函数、电容、 电导、分布电荷密度
三、边值问题的解法
基于唯一性定理，寻求解拉普拉斯方程（或泊松方 程）的方法——解析法，数值法。 镜像法 解析法 分离变量法
镜像法 应用背景：当电荷存在于无限大导电区域附近时， 可用镜像法求解电场。
暂时忽略边界的存在，在所求区域之外，放置虚拟电 荷来代替实际导体表面上复杂的电荷分布。
该虚拟电荷被称为实际电荷的镜像电荷。 即：镜像电荷在求解域之 外，而导体被忽略。
在圆柱坐标，球坐标系中的表示：见 P16
二、唯一性定理
静电场中，在每一类边界条件下(P.50)，泊松方程
或拉普拉斯方程的解必定是唯一的。 即：不管采用什么方法，只要能找到一个 既能满足（1）给定的边界条件，
又能满足（2）拉普拉斯方程（或泊松方程）
的电位函数， 则这个解（即此电位函数）一定是正确的。
第3章---- 静电场及其边值问题的解法--2
ˆ r
P 0
介质内表面(r=a)的束缚电荷面密度：
r 1 Q P n ˆ P r ˆ S 2 r 4a
ˆ ： 介质表面外法线方向； n
介质外表面(r=b)的束缚电荷面密度：
r 1 Q P n ˆ P r ˆ S 2 r 4b
介质中的电场强度为
D
(与未加介质板前相同)
U ˆ Ed x r 0 9d
D
D
(是未加介质板前场强的1/9)
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
(2) 介质中的极化强度
8 s ˆ P 0 xe Ed 0 ( r 1) Ed x 9 P 0 v 上 P n ˆ上 s 下 P n ˆ下 s 8 s 9 8 s 9 8 s ˆx ˆ x 9 8 s ˆ ( x ˆ) x 9
——已知源电荷分布，求空间场分布
(r) P (r) n ˆ S
(r) P (r) v
右式又可写为积分形式
q P dS
S
由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表
面束缚电荷是等值异性的。
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 极化强度矢量
P
为了计算电介质内所有电偶极子产生的宏观电场 , 我们用极
称为束缚电荷（或极化电荷）；
☆ 介质中的场强为自由电荷与束缚电荷产生的场强的叠加；
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中 以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场 Es 又
影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变
第三章静电场边值问题
导体B = 常数
∫ S D ⋅ dS = −τ ,
电荷分布不均匀
能否用高斯定理求解？ 能否用高斯定理求解？ 根据唯一性定理，寻找等效线电荷 电轴。 根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴。 电轴
y p ρ1 +τ b o ρ2 b −τ x
2. 两根细导线产生的电场
h
图3.2.10
h
两根细导线的电场计算
• • • •
有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法 实验法 实测法 模拟法 定性 定量 模拟电荷法
• • • •
边值问题 研究方法
数学模拟法 物理模拟法
• • • •
作图法
图3.1.2 边值问题研究方法框图
例3.1.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形， 铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为
q1 = − q q2 = − q q3 = q
d2 y
F = F1 + F 2+ F3
d1
q2
d2 d2
d1 o
q
d2 d2
q2 F1 = − y 4πε 0 (2d 2 ) 2 q2 F2 = − x 4πε 0 (2d1 ) 2 x
∧ ∧ F3 = 2d1 x + 2d 2 y 2 2 3/ 2 4πε 0 (2d1 ) + (2d 2 ) ∧
边界条件
C3 ϕ2( r ) = + C4 r
ϕ1
r →0
ϕ1
ε0
r=a
= ϕ2
r =a
r=a
⇒ 有限值 =0
参考点电位
∂ϕ 1 ∂r
= ε0
∂ϕ 2 ∂r
第3章静电场及其边值问题的解法
2
y 2
2
z2
0
二维问题 0：
z
2 2
x2 y 2 0
设 因此 即
于是有
(x, y, z) X (x)Y ( y)
YZ d 2 X XZ d 2Y 0
dx2
dy 2
s
n
z0
z
z0
2
qh x2 y2 h2
3 2
导体表面的总感应电荷
Qi
S sds
2
d
0
0
qh 2
(
2
d h2
)3
2
qh
q
2 h2 0
ห้องสมุดไป่ตู้
可见， 镜像电荷 q 代q 替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。
9
§ 3.6 镜像法
二、导体劈间的点电荷
设有两块接地半无限大导体平板相交成角，且 ＝n为n，正整数，交角内置一点电荷
11
§3.7 分离变量法The Method of Separation of Variables
* 分离变量法是一种最经典的微分方程解法。
* 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解; * 只有当场域边界与正交坐标面重合(或平行)时，才可确定积分常数，
从而得到边值问题的特解。
x2 y2 (z h)2
可见，引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所
求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
注意：仅对上半空间等效。
8
§ 3.6 镜像法
（2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：
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电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
15
电磁场与波
两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为
C q q
U 1 2
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
电磁场与波
1
电磁场与波
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场基本方程与电位方程 3.3 静电场中的导体与电容 3.4 静电场的边界条件 3.5 静电场的边值问题，惟一性定理 3.6 镜像法 3.7 分离变量法
s
0
21
电磁场与波
场矢量的折射关系 tan1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan2 E2t / E2n 2 / D2n 2
特例：场量只有法向分量，即θ1= θ2 =0
介质与导体间的边界条件
介质1
nˆ E1 1
1
介质2
E2
2
2
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边
将此组合充电至带电量Q，求每个球
的带电量和其表面电场强度。
a
b
解: 假定二导体球A、B相距很远， A
使二球上的电荷仍为均匀分布；并
B
且连线很细，其上电荷可略，即Q Qa Qb
Qa ,Qb 分别是A、B球的带电量。
对带电量Q的孤立导体球，容易求得球外离球心距离r处M点电场强
度为
E
rˆ
Q
4 r2
取无穷远处为电位参考点，则其电位为
8
电磁场与波
由此，A，B球表面的电位分别为
a
Qa
4 a
,b
Qb
4 b
关键点
由于有细导线相连，二球的电位是相同，即
Qa Qb
4 a 4b
考虑到Q Qa Qb ，便可求得
a
b
Qa a b Q,Qb a b Q
由
E
rˆ
Q
4 r2
知，A，B球表面的电场强度分别为
Ea
Qa
4 a2
Q
4 a(a b) , Eb
扇形区域填充ɛ1介质。求内外导体间的电场强度及内外导体表面线
电荷密度 l
ɛ2
解： (a) 利用高斯定理可得
当a<ρ<c:
D1
ˆ
l 2
, E1
D1
1
ˆ
l 21
U
当c<ρ<b:
D2
ˆ
l 2
, E2
D2
2
ˆ
l 2 2
c ɛ1 a
b
不难看出，上述条件满足分界面ρ=c处边界条件：D1n D2n (a)图
U
C sE ds l E dl
16
电磁场与波
计算电容的步骤： (1) 假定两导体上分别带电荷+q 和 -q ；
(2) 计算两导体间的电场强度E；
(3) 由
，求出两导体间的电位差；
(4) 求比值 C q ，即得出所求电容。
U
或： (1) 假定两导体间电压U；
(2) 由
，求出电场强度E；
(3) 根据
电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
5
电磁场与波
4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即
C ( C)
为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点， 且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值， 所以该点的电位也就具有确定值，即
计算导体表面的电量；
(4) 求比值 C q ，即得出所求电容。
U
17
电磁场与波
例3.2 同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间 填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。
解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的
电场
D = rˆ q
4p r2
E = rˆ q
4per2
当导体至于静电场中时，导体中将呈现静电感应现象，形成导 体中电荷的重新分布。在外加电场的作用下，正电荷将沿电场 方向、负电荷沿其反方向向导体表面移动，同时，这些正负电 荷又形成与外场反向的二次电场来抵消电场的作用。最终导致 导体中的合电场为零，电荷运动停止，这种状态称为静电平衡。
我们的讨论都限于达到平衡状态以后的现象。
解: 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 l 和 l ， 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
内外导体间的电位差
ab
l ln(b / a)
2
故得同轴线单位长度的电容为
C1
l
U
2
ln(b / a)
同轴线
F/m
19
电磁场与波
例 3.4 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的
12
电磁场与波
3.2 静电场中的导体与电容 静电场中的导体具有以下特征： 1.导体内部各处电场强度均为0 2.导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分 布于导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面
4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
13
电磁场与波
任何两个导体都可看作一电容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
用二项式展开，由于 r d ，得
r1
r
d 2
cos , r2
r
d 2
cos
代入上式，得
表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
电磁场与波
由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度
E r (rˆ ˆ 1 ˆ 1 )
z
P(r, , )
r r r sin
+q r1
d
o
r r2
Qb
4 b2
Q
4b(a b)9
电磁场与波
例 3.1 求电偶极子的电位和电场强度。 电偶极子:一对等值异号的电荷相距 一个小的距离d
解: 利用
在球坐标系中
z
+q r1
d
o
r r2
－q
P(r, , )
电偶极子
r1 r2 (d / 2)2 rd cos
r2 r2 (d / 2)2 rd cos (1 x)a 1 ax
轴线距离为D，且D >> a，求传输线单位长度的电容。
解: 设两导线单位长度带电量分别为 l 和l 。由于 D ，a 故
可近似地认为电荷分别均匀分布在两
y
导线的表面上。应用高斯定理和叠加原
理，可得到两导线之间的平面上任一点
P 的电场强度为
a
z
x D
x
两导线间的电位差
故单位长度的电容为
20
C1
l
U
0
…
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法
…
30
电磁场与波
3.5.2 惟一性定理 静电场边值问题归结于在给定边界条件下求解泊松方程和拉普 拉斯方程的问题。那么，在什么条件下方程的解是惟一的呢？
2
电磁场与波
3.1 静电场的基本方程和电位方程 1. 基本方程
微分形式：
积分形式：
本构关系： 3.1.2 电位定义 1. 电位函数的定义
由
即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 f 称为静
电场的标量电位或简称电位。
3
电磁场与波
2. 电位的表达式 对于连续的体分布电荷，由 Q
故得 面电荷的电位： 线电荷的电位： 点电荷的电位：
ln
b a
a
从而得
E2
ˆ
U
ln
b
此结果表明， 0, 1 处边界条件成立 E1t E2t a
由前面二等式又得