第三章静电场及其边值问题的解法

电磁场与波
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电磁场与波
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场基本方程与电位方程 3.3 静电场中的导体与电容 3.4 静电场的边界条件 3.5 静电场的边值问题，惟一性定理 3.6 镜像法 3.7 分离变量法
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
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电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
ln[(D a)
a]
0
ln (D a)
F/m
电磁场与波
3.4 静电场的边界条件
电场强度和电位移矢量在不同媒质分界面上的边界条件
或
D1n D2n S
E1t E2t 0
若分界面上不存在面电荷，即ρS＝0，则
或
D1n D2n E1t E2t
若媒质1为介质，媒质2为导体，则
或
ED11tn
可见外导体起了屏蔽作用。
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电磁场与波
(b) 利用高斯定理可得
当 0 1
D1
ˆ
l1 1
, E1
D1
1
ˆ
l1 11
b ɛ2
当 1 2
D2
ˆ
2
l 2
1
U
a
E2
D2
2
ˆ
2
l 2
1 2
U
b a
E1
ˆd
l1 11
ln
b a
从而得
E1
ˆ
U
ln
b
(b)图
U
b a
E2
ˆ d
2
l 2
1 2
s
0
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电磁场与波
场矢量的折射关系 tan1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan2 E2t / E2n 2 / D2n 2
特例：场量只有法向分量，即θ1= θ2 =0
介质与导体间的边界条件
介质1
nˆ E1 1
1
介质2
E2
2
2
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边
C sE ds l E dl
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电磁场与波
计算电容的步骤： (1) 假定两导体上分别带电荷+q 和 -q ；
(2) 计算两导体间的电场强度E；
(3) 由
，求出两导体间的电位差；
(4) 求比值 C q ，即得出所求电容。
U
或： (1) 假定两导体间电压U；
(2) 由
，求出电场强度E；
(3) 根据
解: 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 l 和 l ， 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
内外导体间的电位差
ab
l ln(b / a)
2
故得同轴线单位长度的电容为
C1
l
U
2
ln(b / a)
同轴线
F/m
19
电磁场与波
例 3.4 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的
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电磁场与波
3.2 静电场中的导体与电容 静电场中的导体具有以下特征： 1.导体内部各处电场强度均为0 2.导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分 布于导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面
4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
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电磁场与波
任何两个导体都可看作一电容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁
同心导体间的电压
b
U Edr
q
(1 1)
q
ba
a
40 a b 40 ab
b
oa
球形电容器的电容 C q 40ab
U ba
当 b 时，C 40a
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孤立导体球的电容
电磁场与波
例3.3 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间
填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
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电磁场与波
两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为
C q q
U 1 2
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
8
电磁场与波
由此，A，B球表面的电位分别为
a
Qa
4 a
,b
Qb
4 b
关键点
由于有细导线相连，二球的电位是相同，即
Qa Qb
4 a 4b
考虑到Q Qa Qb ，便可求得
a
b
Qa a b Q,Qb a b Q
由
E
rˆ
Q
4 r2
知，A，B球表面的电场强度分别为
Ea
Qa
4 a2
Q
4 a(a b) , Eb
Qb
4 b2
Q
4b(a b)9
电磁场与波
例 3.1 求电偶极子的电位和电场强度。 电偶极子:一对等值异号的电荷相距 一个小的距离d
解: 利用
在球坐标系中
z
+q r1
d
o
r r2
－q
P(r, , )
电偶极子
r1 r2 (d / 2)2 rd cos
r2 r2 (d / 2)2 rd cos (1 x)a 1 ax
n |S2 f2 (S2 )
电磁场与波
周期边界条件
(2 )
自然边界条件 （无界空间）
lim r 有限值
r
2
衔接条件
不同媒质分界面上的边界条件，如
1
2 ,
2
2
n
-
1
1
n
=s
28
r
S
1
1
2 2
电磁场与波
例：
y
b
U0
o
ax
例：
y
b 0 x
o
29
U0 0 x
ax
2 x2
2 y 2
选参考点
令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；
两点间电位差有定值
应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远 作电位参考点；
同一个问题只能有一个参考点。
6
电磁场与波
5. 电位的微分方程 在均匀介质中，有
标量泊松方程
2 v
在无源区域， 0
ln
b a
a
从而得
E2
ˆ
U
ln
b
此结果表明， 0, 1 处边界条件成立 E1t E2t a
由前面二等式又得
l1
11U
ln b
, l2
2
1 2U
ln b
a
a
1
ɛ1
电磁场与波
3.5 静电场的边值问题，惟一性定理
边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或
拉普拉斯方程
3.5.1 静电场的边值问题
当导体至于静电场中时，导体中将呈现静电感应现象，形成导 体中电荷的重新分布。在外加电场的作用下，正电荷将沿电场 方向、负电荷沿其反方向向导体表面移动，同时，这些正负电 荷又形成与外场反向的二次电场来抵消电场的作用。最终导致 导体中的合电场为零，电荷运动停止，这种状态称为静电平衡。
我们的讨论都限于达到平衡状态以后的现象。
4
例（1.4-3）
电磁场与波
3. 电位差 将
两端点乘 ，则有
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点
所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；
电位差也称为电压，可用U 表示；
c
a E1 ˆd
b c
E2
ˆd
l 2
1
1
ln
c a
1 2
ln
b c
l =?
24
电磁场与波
故将 l 用U表示后得
l
1
2U
ln c 1
ln b
1 a 2 c
E1
ˆ
百度文库
ln
c a
U
1 2
ln
b c
,
E1
ˆ
2 1
U ln c
a
ln
b c
内导体表面处为 l ，外导体内表面为 -l 。对外总电荷为0，
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
qd
4 0 r 3
(rˆ2 cos
ˆ sin )
－q
电偶极子电场的特点：
1.远区电场按 r3 反比变化；
2.各分量大小与方向 有关；
电场线 等位线
3.无 分量远区电场具有轴对称性
（对称轴为d ）。
电偶极子的场图
11
电磁场与波
3.2 静电场中的导体与电容 导体：含有大量自由电荷的物体。
导体至于静电场中时，导体中自由电荷的运动情况？
…
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法
…
30
电磁场与波
3.5.2 惟一性定理 静电场边值问题归结于在给定边界条件下求解泊松方程和拉普 拉斯方程的问题。那么，在什么条件下方程的解是惟一的呢？
2 0
拉普拉斯方程
很多静电场问题都是通过先求电位分布再来求电场分布。特别是， 在大多实际静电场问题中，空间中并不存在电荷，而只是在导体 表面有面电荷分布，因而在空域中只需求解拉普拉斯方程。
导电物体上包含有效的尖点，则这些尖点处的电场 的大小与平滑部分的电场大小相比，结果如何？
7
电磁场与波
例：一根细长导线将两个半径分别为a 和b的导体球连接起来，如右图所示。 两个相连的导体球
分布型问题
静 态 场
给定场源分布，求 任意点场强或位函 数
问
题
边值型问题
给定边界条件，求 任意点位函数或场 强
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已知场域边界上各点电位值 |S f1(S)
第一类边界条 件，狄利克雷 问题
第二类边界条 件，诺伊曼问 题
第三类 边界条件
已知场域边界
上各点电位的
法向导数
n
|S
f2 (S )
一、二类边界条 件的线性组合， 即 |S1 f1(S1)、
2
电磁场与波
3.1 静电场的基本方程和电位方程 1. 基本方程
微分形式：
积分形式：
本构关系： 3.1.2 电位定义 1. 电位函数的定义
由
即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 f 称为静
电场的标量电位或简称电位。
3
电磁场与波
2. 电位的表达式 对于连续的体分布电荷，由 Q
故得 面电荷的电位： 线电荷的电位： 点电荷的电位：
电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
5
电磁场与波
4. 电位参考点 静电位不惟一，可以相差一个常数，即
C ( C)
为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点， 且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值， 所以该点的电位也就具有确定值，即
计算导体表面的电量；
(4) 求比值 C q ，即得出所求电容。
U
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电磁场与波
例3.2 同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间 填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。
解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的
电场
D = rˆ q
4p r2
E = rˆ q
4per2
用二项式展开，由于 r d ，得
r1
r
d 2
cos , r2
r
d 2
cos
代入上式，得
表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
电磁场与波
由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度
E r (rˆ ˆ 1 ˆ 1 )
z
P(r, , )
r r r sin
+q r1
d
o
r r2
将此组合充电至带电量Q，求每个球
的带电量和其表面电场强度。
a
b
解: 假定二导体球A、B相距很远， A
使二球上的电荷仍为均匀分布；并
B
且连线很细，其上电荷可略，即Q Qa Qb
Qa ,Qb 分别是A、B球的带电量。
对带电量Q的孤立导体球，容易求得球外离球心距离r处M点电场强
度为
E
rˆ
Q
4 r2
取无穷远处为电位参考点，则其电位为
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
扇形区域填充ɛ1介质。求内外导体间的电场强度及内外导体表面线
电荷密度 l
ɛ2
解： (a) 利用高斯定理可得
当a<ρ<c:
D1
ˆ
l 2
, E1
D1
1
ˆ
l 21
U
当c<ρ<b:
D2
ˆ
l 2
, E2
D2
2
ˆ
l 2 2
c ɛ1 a
b
不难看出，上述条件满足分界面ρ=c处边界条件：D1n D2n (a)图
U
0
(0, y) 0,(a, y) 0
(x, 0) 0,(x,b) U0
（第一类边值问题）
2 2 0
x2 y2
x x0 0, x xa 0
(x, 0) 0,(x,b) U0
（第三类边值问题）
电磁场与波
边值型问 题解法
计算法
实验法 图解法
解析法
数值法
镜像法
分离变量法
复变函数法 格林函数法
轴线距离为D，且D >> a，求传输线单位长度的电容。
解: 设两导线单位长度带电量分别为 l 和l 。由于 D ，a 故
可近似地认为电荷分别均匀分布在两
y
导线的表面上。应用高斯定理和叠加原
理，可得到两导线之间的平面上任一点
P 的电场强度为
a
z
x D
x
两导线间的电位差
故单位长度的电容为
20
C1
l
U
0