七年级下数学练习14(沪教版、周测卷)(最新整理)
2022年精品解析沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测评试题(含答案解析)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，已知ACD ∠为ABC 的外角，60ACD ∠=︒，20B ∠=︒，那么A ∠的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，则下列长度的线段中能作为第三边的是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．10cm3、如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（ ）A ．21B ．24C ．27D ．304、如图，等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④5、如图，∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ，CB ＝CD ，则∠B 与∠ADC 满足的数量关系为（ ）A ．∠B ＝∠ADCB ．2∠B ＝∠ADC C ．∠B +∠ADC ＝180°D ．∠B +∠ADC ＝90°6、将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS7、定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD 是△ABC 的外角．求证：∠ACD ＝∠A +∠B ．下列说法正确的是（ ）A ．证法1用特殊到一般法证明了该定理B ．证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理C ．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整D ．证法2用严谨的推理证明了该定理8、已知：如图，D 、E 分别在AB 、AC 上，若AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝60°，∠B ＝25°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°9、如图，BD 是ABC 的角平分线，∥DE BC ，交AB 于点E ．若30A ∠=︒，50BDC ∠=︒，则BDE ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．50°10、如图，若ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°后与11AB C △重合，则1AB B ∠=（） ．A ．40°B ．50°C ．70°D ．100第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知AB ＝3，AC ＝CD ＝1，∠D ＝∠BAC ＝90°，则△ACE 的面积是 _____．2、如图，已知△ABC 是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么GA =______．3、△ABC 的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F 且DF ＝CD ，则∠ABC ＝______．4、如图，ABC 中，90A ∠=︒，点D 在AC 边上，∥DE BC ，若1145∠=︒，则B 的度数为_______．5、如图，直线ED 把ABC 分成一个AED 和四边形BDEC ，ABC 的周长一定大于四边形BDEC 的周长，依据的原理是____________________________________．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，在△ABC 中，AB =AC ，CD ⊥AB 于点D ，∠A =50°，求∠BCD 的度数．2、已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD＝α，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE．（1）如图1，点D在线段BC上．①根据题意补全图1；②∠AEF＝（用含有α的代数式表示），∠AMF＝°；③用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，并证明．（2）点D在线段BC的延长线上，且∠CAD＜60°，直接用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，不证明．3、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．=，4、如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，AB CF∠=∠+∠．CEA B F（1）求证：EAB F∠=∠；BC=，求BE的长．（2）若105、已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C ＝∠DGC．（1）求证：AB//CD；（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．6、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．7、直线l 经过点A ，ABC 在直线l 上方，AB AC =．（1）如图1，90BAC ∠=︒，过点B ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为D 、E ．求证：ABD CAE ≌（2）如图2，D ，A ，E 三点在直线l 上，若BAC BDA AEC α∠=∠=∠=（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE 、BD 、CE 有何数量关系？并给出证明．（3）如图3，90BAC ∠=︒过点B 作直线l 上的垂线，垂足为F ，点D 是BF 延长线上的一个动点，连结AD ，作90DAE ∠=︒，使得AE AD =，连结DE ，CE ．直线l 与CE 交于点G ．求证：G 是CE 的中点．8、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 边上的点，并且MN ∥BC ．（1）△AMN 是否是等腰三角形？说明理由；（2）点P 是MN 上的一点，并且BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ．①求证：△BPM 是等腰三角形；②若△ABC 的周长为a ，BC ＝b （a ＞2b ），求△AMN 的周长（用含a ，b 的式子表示）．9、如图，AD为△ABC的角平分线．（1）如图1，若BE⊥AD于点E，交AC于点F，AB＝4，AC＝7．则CF＝；（2）如图2，CG⊥AD于点G，连接BG，若△ABG的面积是6，求△ABC的面积；（3）如图3，若∠B＝2∠C，AB＝m，AC＝n，则CD的长为．（用含m，n的式子表示）10、（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”，如图1，ABC中，AC BC AB，P为AC上一点，当AP=_______时，ABP===7,9,10△与CBP是偏等积三角形；（2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，ACB△、DCE是等腰直角三角形，()ACB DCB BCE．90090∠=∠=︒<∠<︒①ACD △与BCE 是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知60m, BE ACD 的面积为22100m ．如图3，计划修建一条经过点C 的笔直的小路CF ，F 在BE 边上，FC 的延长线经过AD 中点G ．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据三角形的外角性质解答即可．【详解】解：∵∠ACD ＝60°，∠B ＝20°，∴∠A ＝∠ACD −∠B ＝60°−20°＝40°，故选：B ．【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．2、C【分析】设三角形第三边的长为x cm ，再根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，找出符合条件的x 的值即可．【详解】解：设三角形的第三边是xcm ．则7-3＜x ＜7+3．即4＜x ＜10，四个选项中，只有选项C 符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．3、C【分析】根据题意在AB 上截取BE =BC ，由“SAS ”可证△CBD ≌△EBD ，可得∠CDB =∠BDE ，∠C =∠DEB ，可证∠ADE =∠AED ，可得AD =AE ，进而即可求解．【详解】解：如图，在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△CBD 和△EBD 中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBD ≌△EBD （SAS ），∴∠CDB ＝∠BDE ，∠C ＝∠DEB ，∵∠C ＝2∠CDB ，∴∠CDE ＝∠DEB ，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．4、A【分析】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【详解】解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，故③正确；④如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO +∠OPE ＝60°，∵∠OPE +∠CPE ＝∠CPO ＝60°，∴∠APO ＝∠CPE ，∵OP ＝CP ，在△OPA 和△CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OPA ≌△CPE （SAS ），∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE +CE ＝AO +AP ，∴AB ＝AO +AP ，故④正确；正确的结论有：①③④，故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．5、C【分析】由题意在射线AD 上截取AE =AB ，连接CE ，根据SAS 不难证得△ABC ≌△AEC ，从而得BC =EC ，∠B =∠AEC ，可求得CD =CE ，得∠CDE =∠CED ，证得∠B =∠CDE ，即可得出结果．【详解】解：在射线AD 上截取AE ＝AB ，连接CE ，如图所示：∵∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠EAC ，在△ABC 与△AEC 中，AC AC BAC EAC AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△AEC （SAS ），∴BC ＝EC ，∠B ＝∠AEC ，∵CB ＝CD ，∴CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠CED ，∴∠B ＝∠CDE ，∵∠ADC +∠CDE ＝180°，∴∠ADC +∠B ＝180°．故选：C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE ，CE ．6、A【分析】根据三根木条即为三角形的三边长，利用全等三角形判定定理确定唯一三角形即可得．【详解】解：三根木条即为三角形的三边长，即为利用SSS确定三角形，故选：A．【点睛】题目主要考查利用全等三角形判定确定唯一三角形，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．7、D【分析】利用测量的方法只能是验证，用定理，定义，性质结合严密的逻辑推理推导新的结论才是证明，再逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解：证法一只是利用特殊值验证三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，证法2才是用严谨的推理证明了该定理，故A不符合题意，C不符合题意，D符合题意，证法1测量够100个三角形进行验证，也只是验证，不能证明该定理，故B不符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质的验证与证明，理解验证与证明的含义及证明的方法是解本题的关键.8、C【分析】根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC＝∠A +∠C ，代入求出即可．【详解】解：在△ABE 和△ACD 中，AE AD A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠C ＝∠B ，∵∠B ＝25°，∴∠C ＝25°，∵∠A ＝60°，∴∠BDC ＝∠A +∠C ＝85°，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．9、B【分析】由外角的性质可得∠ABD ＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC ＝20°，由平行线的性质即可求解.【详解】解：（1）∵∠A ＝30°，∠BDC ＝50°，∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ，∴∠ABD ＝∠BDC −∠A ＝50°−30°＝20°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠DBC ＝∠ABD ＝20°，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠DBC ＝20°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．10、C【分析】根据旋转的性质，可得140BAB ∠=︒ ，1AB AB = ，从而得到11ABB AB B ∠=∠，即可求解．【详解】解：∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°后与11AB C △重合，∴140BAB ∠=︒ ，1AB AB = ， ∴()1111180702ABB AB B BAB ∠=∠=︒-∠=︒． 故选：C【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．二、填空题1、32## 【分析】先根据三角形全等的判定定理证出ABC DEC ≅，再根据全等三角形的性质可得3AB DE ==，然后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：在ABC 和DEC 中，90ACB DCE AC DC BAC D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ABC DEC ASA ∴≅，3AB DE ∴==，则ACE 的面积是11313222AC DE ⋅=⨯⨯=， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 2【分析】延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，根据勾股定理求出AD ，根据重心的概念计算即可．【详解】解：延长AG 交BC 于D ，∵G 是三角形的重心，∴AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32， 由勾股定理得，AD=，∴GA =23AD【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．3、45°或135°【分析】根据题意，分两种情况讨论：①当ABC ∆为锐角三角形时；②当ABC ∆为钝角三角形时；作出相应图形，然后利用全等三角形的判定证明三角形全等，根据其性质及各角直角的等量关系即可得．【详解】解：①如图所示：当ABC ∆为锐角三角形时，∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90BDF ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90C CBE ∠+∠=︒，90C CAD ∠+∠=︒，∴CBE CAD ∠=∠，在ΔΔΔΔ与ADC ∆中，CBE CAD BDF ADC DF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ΔΔΔΔ≅ΔΔΔΔ，∴BD AD =，∵90ADB ∠=︒，∴45ABC DAB ∠=∠=︒；②如图所示：当ABC ∆为钝角三角形时，∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90BDF ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90C CAD ∠+∠=︒，90C CBE ∠+∠=︒，∴CBE CAD ∠=∠，∵DBF CBE ∠=∠，∴DBF CAD ∠=∠，在ΔΔΔΔ与ADC ∆中，DBF CAD BDF ADC DF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ΔΔΔΔ≅ΔΔΔΔ，∴BD AD =，∵90ADB ∠=︒，∴45ABD DAB ∠=∠=︒，18045135ABC ∠=︒-︒=︒，综合①②可得：ABC ∠为45︒或135︒，故答案为：45︒或135︒．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据题意进行分类讨论，作出相应图形是解题关键．4、55︒【分析】先求出∠EDC =35°，然后根据平行线的性质得到∠C =∠EDC =35°，再由直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：∵∠1=145°，∴∠EDC =35°，∵DE ∥BC ，∴∠C =∠EDC =35°，又∵∠A =90°，∴∠B =90°-∠C =55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，求出∠C 的度数是解题的关键．5、三角形两边之和大于第三边【分析】表示出ABC 和四边形BDEC 的周长，再结合ADE 中的三边关系比较即可．【详解】解：ABC 的周长=AC AB BC AE AD CE CB BD ++=++++四边形BDEC 的周长=DE CE CB BD +++∵在ADE 中AE AD DE +>∴AE AD CE CB BD ++++>DE CE CB BD +++即ABC 的周长一定大于四边形BDEC 的周长，∴依据是：三角形两边之和大于第三边；故答案为三角形两边之和大于第三边【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，关键是熟悉三角形两边之和大于第三边的知识点．三、解答题1、25°【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC =∠ACB =65°，进而利用三角形内角和定理得出答案．【详解】∵AB =AC ，∠A =50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵CD⊥BC于点D，∴∠BCD的度数为：180°−90°−65°=25°．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确得出∠B的度数是解题关键．2、（1）①见解析；②60α︒-，60；③MF＝MA＋ME，证明见解析；（2）MF MA ME=-【分析】（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF；③在FE上截取GF＝ME，连接AG，证明△AFG≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF ＝MA＋ME；（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】解：（1）①补全图形如下图：②∵∠CAE=∠DAC=α，∴∠BAE=30°+α∴∠FAE=2×（30°+α）∴∠AEF =()180-2+302α︒⨯︒=60°-α； ∵∠AMF =∠CAE +∠AEF =α+60°-α=60°，故答案是：60°-α，60°；③MF ＝MA ＋ME ．证明：在FE 上截取GF ＝ME ，连接AG ．∵点D 关于直线AC 的对称点为E ，∴△ADC ≌△AEC ．∴∠CAE ＝∠CAD ＝α．∵∠BAC ＝30°，∴∠EAN ＝30°＋α．又∵点E 关于直线AB 的对称点为F ，∴AB 垂直平分EF ．∴AF ＝AE ，∠FAN ＝∠EAN ＝30°＋α，∴∠F ＝∠AEF ＝()180230602αα︒-︒+=︒-．∴∠AMG ＝6060αα︒-+=︒．∵AF ＝AE ，∠F ＝∠AEF ， GF ＝ME ，∴△AFG≌△AEM．∴AG＝AM．又∵∠AMG＝60︒，∴△AGM为等边三角形．∴MA＝MG．∴MF＝MG＋GF＝MA＋ME．（2）MF MA ME=-，理由如下：如图1所示，∵点E与点F关于直线AB对称，∴∠ANM=90°，NE=NF，又∵∠NAM=30°，∴AM=2MN，∴AM=2NE+2EM =MF+ME，∴MF=AM-ME；如图2所示，∵点E与点F关于直线AB对称，∴∠ANM=90°，NE=NF，∵∠NAM=30°，∴AM=2NM，∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF，∴MF=MA-ME；综上所述：MF=MA-ME．【点睛】本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．3、∠AFE=50°．【分析】根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=11804022ACB∠=⨯︒=︒，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．【详解】解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，∴∠ECB =11804022ACB ∠=⨯︒=︒， ∵AD 是△ABC 边BC 上的高，AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠DFC =180°-∠ADC -∠ECB =180°-90°-40°=50°，∴∠AFE =∠DFC =50°．【点睛】本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．4、（1）见解析（2）5BE =【分析】(1)利用CEA ∠是ABE △的外角,以及CEA B F ∠=∠+∠证明即可．(2)证明ABE △≌FCE △,可知BE CE =,从而得出答案．（1）证明：∵CEA ∠是ABE △的外角，∴CEA B EAB ∠=∠+∠．又∵CEA B F ∠=∠+∠，∴EAB F ∠=∠．（2）解：在ABE △和FCE △中，AB FC EAB F AEB FEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE △≌FCE △．∴BE CE =．∵10BC =，∴5BE =．【点睛】本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．5、（1）见解析；（2）见解析；（3）108°【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG ＝∠C ，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；（2）由∠AGE +∠AHF =180°等量代换得∠DGC +∠AHF =180°可判断EC //BF ，两直线平行同位角相等得出∠B =∠AEG ，结合（1）得出结论；（3）由（2）证得EC //BF ，得∠BFC +∠C =180°，求得∠C 的度数，由三角形内角和定理求得∠D 的度数．【详解】证明：（1）∵∠AEG =∠AGE ，∠C =∠DGC ，∠AGE =∠DGC∴∠AEG =∠C∴AB //CD（2）∵∠AGE =∠DGC ，∠AGE +∠AHF =180°∴∠DGC +∠AHF =180°∴EC //BF∴∠B=∠AEG由（1）得∠AEG=∠C∴∠B=∠C（3）由（2）得EC//BF∴∠BFC+∠C=180°∵∠BFC=4∠C∴∠C=36°∴∠DGC=36°∵∠C+∠DGC+∠D=180°∴∠D=108°【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．6、见解析【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．【详解】证明：如图，过A作AF⊥BC于F，∵AB =AC ，AD =AE ，∴BF =CF ，DF =EF ，∴BF -DF =CF -EF ，∴BD =CE ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．7、（1）见解析；（2）猜想：DE BD CE =+，见解析；（3）见解析【分析】（1）先证明BDA AEC ∠=∠和ABD CAE ∠=∠，再根据AAS 证明ABD CAE ≌即可；（2）根据AAS 证明ABD CAE ≌得BD AE =，DA EC =，进一步可得出结论；（3）分别过点C 、E 作CM l ⊥，EN l ⊥，同（1）可证ABF CAM ≌，ADF EAN ≌，得出CM =EN ，证明CMG ENG ≌得CG EG =，从而可得结论．【详解】解：（1）证明：∵BD l ⊥，CE l ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=︒，∴90ABD DAB ∠+∠=︒∴90CAE DAB ∠+∠=︒∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 与CAE 中BDA AEC ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABD CAE AAS ≌（2）猜想：DE BD CE =+，∵BDA BAC α∠=∠=∴180180ABD DAB BDA α∠+∠=︒-∠=︒-，180180CAE DAB BAC α∠+∠=︒-∠=︒-∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 与CAE 中BDA AEC ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABD CAE AAS ≌，∴BD AE =，DA EC =，∴DE AE DA BD CE =+=+（3）分别过点C 、E 作CM l ⊥，EN l ⊥，同（1）可证ABF CAM ≌，ADF EAN ≌，∴AF CM =，AF EN =∵CM l ⊥，EN l ⊥，∴90CMG ENG ∠=∠=︒在CMG 与ENG 中CMG ENG CGM EGN CM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMG ENG AAS ≌，∴CG EG =，∴G 为CE 的中点．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、角的互余关系，证得△ABD ≌△CAE 是解决问题的关键．8、（1）△AMN 是是等腰三角形；理由见解析；（2）①证明见解析；②a ﹣b ．【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，由平行线的性质得到∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，于是得到∠AMN=∠ANM，根据等角对等边即可证得结论；（2）①由角平分线的定义得到∠PBM=∠PBC，由平行线的性质得到∠MPB=∠PBC，于是得到∠PBM=∠MPB，根据等角对等边即可证得结论；②由①知MB=MP，同理可得：NC=NP，故△AMN的周长=AB+AC，再根据已知条件即可求出结果．（1）解：△AMN是是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；（2）①证明：∵BP平分∠ABC，∴∠PBM＝∠PBC，∵MN∥BC，∴∠MPB＝∠PBC∴∠PBM＝∠MPB，∴MB＝MP，∴△BPM是等腰三角形；②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，∵△ABC的周长为a，BC＝b，∴AB+AC+b＝a，∴AB+AC＝a﹣b∴△AMN的周长＝a﹣b．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，列代数式，能够灵活应用这些性质是解决问题的关键．9、（1）3（2）12（3）2nn m【分析】（1）利用ASA证明△AEF≌△ABE，得AE=AB=4，得出答案；（2）延长CG、AB交于点H，设S△BGC=S△HGB=a，用两种方法表示△ACH的面积即可；（3）在AC上取AN=AB，可得CD=DN=n-m，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出CD的长．（1）∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵BE ⊥AD ，∴∠BEA =∠FEA ，在△AEF 和△AEB 中，BAE FAE AE AEAEB AEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△AEB （ASA ），∴AF =AB =4，∵AC =7∴CF =AC -AF =7-4=3，故答案为：3；（2）延长CG 、AB 交于点H ，如图，由（1）知AC =AH ，点G 为CH 的中点，设S △BGC =S △HGB =a ，根据△ACH 的面积可得：S △ABC +2a =2（6+a ），∴S △ABC =12；（3）在AC 上取AN =AB ，如图，∵AD 是△ABC 的平分线，∴∠NAD =∠BAD ，在△ADN 与△ADB 中，AN AB NAD BAD AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ADN ≌△ADB （SAS ），∴∠AND =∠B ，DN =BD ，∵∠B =2∠C ，∴∠AND =2∠C ，∴∠C =∠CDN ，∴CN =DN =AC -AB =n -m ，∴BD =DN =n -m ，根据△ABD 和△ACD 的高相等，面积比等于底之比可得：CD AC BD AB=，∴CD n n m m=-， ∴2()n n m n CD n m m-==-， 故答案为：2n n m-． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．10、（1）72；（2）①ACD △与BCE 是偏等积三角形，理由见详解；②修建小路的总造价为42000元【分析】（1）当AP CP =时，则72AP =，证ABP CBP S S ∆∆=，再证ABP ∆与CBP ∆不全等，即可得出结论；（2）①过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，证()ACM BCN AAS ∆∆≌，得AM BN =，则ACD BCE S S ∆∆=，再证ACD ∆与BCE ∆不全等，即可得出结论；②过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，证得()AGN DGC AAS ∆∆≌，得到AN CD =，再证()ACN CBE SAS ∆∆≌，得ACN CBE ∠=∠，由余角的性质可证CF BE ⊥，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得12BCE S BE CF ∆=⋅，2100BCEACD S S ∆∆==，求出70()CF m =，即可求解． 【详解】解：（1）当72AP CP ==时，ABP ∆与CBP ∆是偏等积三角形，理由如下：设点B 到AC 的距离为h ，则12ABP S AP h ∆=⋅，12CBP S CP h ∆=⋅，ABP CBP S S ∆∆∴=，10AB =，7BC =，AB BC ∴≠，AP CP =、PB PB =，ABP ∴∆与CBP ∆不全等，ABP ∴∆与CBP ∆是偏等积三角形， 故答案为：72；（3）①ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，理由如下： 过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，如图3所示：则90AMC BNC ∠=∠=︒，ACB ∆、DCE ∆是等腰直角三角形，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，3603609090180BCN ACD ACB DCE ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 180ACM ACD ∠+∠=︒，ACM BCN ∴∠=∠，在∆ACM 和BCN ∆中，AMC BNC ACM BCN AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACM BCN AAS ∴∆∆≌，AM BN ∴=，12ACD S CD AM ∆=⋅，12BCE S CE BN ∆=⋅， ACD BCE S S ∆∆∴=，180BCE ACD ∠+∠=︒，090BCE ︒<∠<︒， ACD BCE ∴∠≠∠，CD CE =，AC BC =，ACD ∴∆与BCE ∆不全等， ACD ∴∆与BCE ∆是偏等积三角形； ②如图4，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，则N GCD ∠=∠， G 点为AD 的中点，AG GD ∴=，在AGN ∆和DGC ∆中，N GCD AGN DGC AG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGN DGC AAS ∴∆∆≌，AN CD ∴=，CD CE =，AN CE ∴=，//AN CD ，180CAN ACD ∴∠+∠=︒，90ACB DCE ∠=∠=︒，3609090180ACD BCE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，BCE CAN ∴∠=∠，在ACN ∆和CBE ∆中，AN CE CAN BCE AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACN CBE SAS ∴∆∆≌，ACN CBE ∴∠=∠，1809090ACN BCF ∠+∠=︒-︒=︒，90CBE BCF ∴∠+∠=︒，90BFC ∴∠=︒，CF BE ∴⊥．由①得：ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，12BCE S BE CF ∆∴=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==， 22210070()60BCE S CF m BE ∆⨯∴===， ∴修建小路CF 的总造价为：6007042000⨯=（元)．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明∆∆≌是解题的关键，属于中考常考题型．∆∆ACM BCN≌和ACN CBE。
2021-2022学年沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题练习试卷(含答案详解)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．下列说法正确的是（）A ．证法1用特殊到一般法证明了该定理B ．证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理C ．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整D ．证法2用严谨的推理证明了该定理2、如图，在ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，∠B =35°，则∠BAD =（ ）A ．110°B ．70°C ．55°D ．35°3、已知三条线段的长分别是4，4，m ，若它们能构成三角形，则整数m 的最大值是（） A ．10 B ．8 C ．7 D ．44、在△ABC 中，∠A =50°，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，则∠BOC 等于（ ）A ．65°B ．80°C ．115°D ．50°5、已知，ABC ，DEF ，MNP △的相关数据如图所示，则下列选项正确的是（ ）A ．ABC PNM ≌B ．DEF PNM ≌C ．PN EF =D ．F A ∠=∠6、如图，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，过点D 作直线平行于BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，当A ∠大小变化时，线段EF 和BE CF +的大小关系是( )A ．EF BE CF >+B ．EF BE CF <+C ．EF BE CF =+D ．不能确定7、如图，将ABC 的BC 边对折，使点B 与点C 重合，DE 为折痕，若65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，则B ∠=（ ）．A ．45°B ．60°C ．35°D ．40°8、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69、一副三角板如图放置，点A 在DF 的延长线上，∠D ＝∠BAC ＝90°，∠E ＝30°，∠C ＝45°，若BC //DA ，则∠ABF 的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°10、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）A ．10B ．15C ．17D ．19第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，B BDE ∠=∠，点G 分别为AD 与CF 的中点，若3,5CE EF ==，则AC =______．2、如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE CD =，则BE 的长为__________．3、如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝120°，E 为AB 上一点，∠DCE ＝∠DAE ＝60°，AD ＝2.4，BE＝7，则DE＝_____．4、已知直角三角形△ABC的三条边长分别为3，4，5，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画___条．5、如图，在ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝_______．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠22、如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．3、如图，在△ABC中， AB＝AC，AD是△ABC的中线，BE平分∠ABC交AD于点E，连接EC．求证：CE平分∠ACB．4、如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且75kmAB=．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C 在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求ACB∠的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．5、如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上．（1）求证：∠EAC＝∠BAD；（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数．6、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．7、一个零件形状如图所示，按规定A∠应等于75°，B和C∠应分别是18°和22°，某质检员测得BDC∠=︒，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．1148、如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．9、直线l 经过点A ，ABC 在直线l 上方，AB AC =．（1）如图1，90BAC ∠=︒，过点B ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为D 、E ．求证：ABD CAE ≌（2）如图2，D ，A ，E 三点在直线l 上，若BAC BDA AEC α∠=∠=∠=（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE 、BD 、CE 有何数量关系？并给出证明．（3）如图3，90BAC ∠=︒过点B 作直线l 上的垂线，垂足为F ，点D 是BF 延长线上的一个动点，连结AD ，作90DAE ∠=︒，使得AE AD =，连结DE ，CE ．直线l 与CE 交于点G ．求证：G 是CE 的中点．10、ACB △中，90C ∠=︒，以点A 为中心，分别将线段AB ，AC 逆时针旋转60︒得到线段AD ，AE ，连接DE ，延长DE 交CB 于点F ．（1）如图1，若60A ∠=︒，CFE ∠的度数为________；（2）如图2，当3060A ︒<∠<︒吋，①依题意补全图2；②猜想CF 与AC 的数量关系，并加以证明．-参考答案-一、单选题1、D【分析】利用测量的方法只能是验证，用定理，定义，性质结合严密的逻辑推理推导新的结论才是证明，再逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解：证法一只是利用特殊值验证三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，证法2才是用严谨的推理证明了该定理，故A不符合题意，C不符合题意，D符合题意，证法1测量够100个三角形进行验证，也只是验证，不能证明该定理，故B不符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质的验证与证明，理解验证与证明的含义及证明的方法是解本题的关键.2、C【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．【详解】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵∠B＝35°，∴∠BAD＝90°−35°＝55°．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．3、C【分析】根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m的最大值．【详解】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则4444m-<<+，即08m<<又m为整数，则整数m的最大值是7故选C【点睛】本题考查了求不等式的整数解，三角形三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．4、C【分析】根据题意画出图形，求出∠ABC+∠ACB=130°，根据角平分线的定义得到∠CBD=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理和角的代换即可求解．【详解】解：如图，∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠CBD =12∠ABC ，∠ECB =12∠ACB ，∴∠BOC =180°-∠CBD -∠ECB =180°-（∠CBD +∠ECB ）=180°- 12（∠ABC +∠ACB ）=180°- 12×130°=115°．故选：C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理，并能根据角平分线的定义进行角的代换是解题关键．5、D【分析】根据三角形内角和定理分别求出三个三角形中未知角的度数，然后依据全等三角形的判定定理，从三个三角形中寻找条件证明全等，即可得出选项．【详解】解：180307080C ∠=︒-︒-︒=︒，180308070F ∠=︒-︒-︒=︒，在ABC ∆与ΔΔΔΔ中，C D B E AB EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∆≅ΔΔΔΔ，∴ABC∴A F∠=∠，A、B、C三个选项均不能证明，故选：D．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练运用全等三角形的判定定理是解题关键．6、C【分析】=，则由平行线的性质和角平分线的定义可得EBD EDB∠=∠，则ED BE=，同理可得DF FC =+，可得答案．EF BE CF【详解】EF BC，解：//EDB DBC∴∠=∠，∠，BD平分ABC∴∠=∠，EBD DBCEDB EBD∴∠=∠，∴=，ED BE=，同理DF FC∴+=+，ED DF BE FC=+．即EF BE CF故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键．7、A【分析】由折叠得到∠B =∠BCD ，根据三角形的内角和得∠A +∠B +∠ACB =180°，代入度数计算即可．【详解】解：由折叠得∠B =∠BCD ，∵∠A +∠B +∠ACB =180°，65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，∴65°+2∠B +25°=180°，∴∠B =45°，故选：A ．【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．8、A【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，∴=-=-=．CD BC BD853故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．9、A【分析】先求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由BC∥AD，得到∠EFD=∠FBC=60°，则∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°．【详解】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，∵BC∥AD，∴∠EFD=∠FBC=60°，∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，故选A．【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．10、C【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．二、填空题1、4【分析】根据SAS 证明ACG DFG ≅，由全等三角形的性质得AC DF =，A FDG ∠=∠，由FDG BDE ∠=∠，B BDE ∠=∠得B FDG A ∠=∠=∠，推出BDE ，ABC 都是等腰三角形，故得AC BC DF ==，设BE x =，则DE x =，5DF EF DE x =-=-，3BC CE BE x =+=+，列出等量关系式解出x ，即可得出3AC BC x ==+．【详解】∵点G 分别为AD 与CF 的中点，∴AG DG =，AGC DGF ∠=∠，CG FG =，∴()ACG DFG SAS ≅，∴AC DF =，A FDG ∠=∠，∵FDG BDE ∠=∠，B BDE ∠=∠，∴B FDG A ∠=∠=∠，∴BDE ，ABC 都是等腰三角形，∴AC BC DF ==，设BE x =，则DE x =，5DF EF DE x =-=-，3BC CE BE x =+=+，∴53x x -=+，解得：1x =，∴3314AC BC x ==+=+=．故答案为：4．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题意找出关系式是解题的关键． 2、3【分析】由等腰三角形三线合一的性质，得到AD =DC =1，由BE =BC +CE 不难求解．【详解】 解：三角形ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ＝2， 又 BD 是AC 边的高线，∴DC ＝112122AC =⨯=， CE ∴ CD =＝1，213BE BC CE ∴=+=+=，故答案为：3.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解本题的关键．3、4.6【分析】在AB上截取BF=AD，连接CF，通过证明△ADC≌△BFC，可得∠ACD=∠BCF，CD=CF，由“SAS”可得△DCE≌△FCE，可得DE=EF，即可求得结果．【详解】解：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF，∵CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∵∠DAE＝60°∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30°∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC∴△ADC≌△BFC（SAS）∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120°∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF∴△DCE≌△FCE（SAS）∴DE＝EF∴DE＝BE﹣BF＝BE﹣AD＝7﹣2.4＝4.6，故答案为4.6【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．4、6【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．【详解】解：如图所示：当BC2=CC2，AC1=AC，BC=BC3，BC=CC4，BC=CC5，C6A=C6B都能得到符合题意的等腰三角形．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．5、72°72度【分析】根据AB＝AC求出∠ACB，利用BD＝BC，求出∠BDC的度数．【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴1(180)722ABC ACB A∠=∠=︒-∠=︒，∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠ACB ＝72°，故答案为：72°．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，熟记性质是解题的关键．三、解答题1、见详解．【分析】根据等腰三角形三合一性质以及等边对等角性质得出AD ⊥BC ，∠B =∠C ，根据AF ⊥AD ，利用在同一平面内垂直同一直线的两直线平行得出AF∥BC ，利用平行线性质得出∠1=∠B ，∠2=∠C 即可．【详解】证明：∵△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∠B =∠C ，∵AF ⊥AD ，∴AF∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C ，∴∠1＝∠2．【点睛】本题考查等腰三角形性质，平行线的判定与性质，掌握等腰三角形性质，平行线的判定与性质是解题关键．2、（1）3AE =；（2）80AED ∠=︒．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得3BE BC ==，再根据线段的和差即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得55DBE C ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：（1）∵,3ABC DEB BC ≅=，∴3BE BC ==，∵6AB =，∴633AE AB BE =-=-=；（2）∵ABC DEB ≅△△，∴55DBE C ∠=∠=︒，∵25D ∠=︒，∴552580AED DBE D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．3、见解析【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，从而得到△BDE ≌△CDE ，进而得到∠DCE =∠DBE ，再由BE 平分∠ABC ，可得12DBE ABC ∠=∠ ，进而得到12DCE ACB ∠=∠，即可求证．【详解】解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，∴∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，∵DE =DE ，∴△BDE ≌△CDE ，∴∠DCE =∠DBE ，∵BE 平分∠ABC ， ∴12DBE ABC ∠=∠ ， ∴12DCE ABC ∠=∠， ∴12DCE ACB ∠=∠， ∴CE 平分∠ACB ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．4、（1）70°；（2）15km/h【分析】（1）根据题意得∠BAC =70°，∠ABC =40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB ；（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km ，进而由速度=路程÷时间求解即可．【详解】解：（1）根据题意得∠BAC =70°，∠ABC =40°，∴∠ACB =180°－∠BAC －∠ABC =180°－70°－40°=70°；（2）∵∠BAC =∠ACB =70°，∴BC=AB=75km ，∴轮船的速度为75÷5=15（km/h ）．【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．5、（1）见解析；（2）42°（1）利用边边边证得△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，即可求证；（2）根据等腰三角形的性质，可得∠AEC＝∠C＝69°，再由△ABC≌△ADE，可得∠AED＝∠C＝69°，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE．∴∠BAC＝∠DAE．∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE．即∠EAC＝∠BAD；（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，∴∠AEC＝∠C＝12×(180°－∠EAC)＝12×(180°－42°)＝69°．∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝69°，∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．6、∠AFE=50°．【分析】根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=11804022ACB∠=⨯︒=︒，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．解：∵CE 平分∠ACB ，∠ACB ＝80°，∴∠ECB =11804022ACB ∠=⨯︒=︒， ∵AD 是△ABC 边BC 上的高，AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠DFC =180°-∠ADC -∠ECB =180°-90°-40°=50°，∴∠AFE =∠DFC =50°．【点睛】本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．7、不合格，理由见解析【分析】延长BD 与AC 相交于点E ．利用三角形的外角性质，可得1A B ∠=∠+∠，BDC BEC C ∠=∠+∠，即可求解．【详解】解：如图，延长BD 与AC 相交于点E ．∵1∠是ABE △的一个外角，75A ∠=︒，18B ∠=︒，∴1751893A B ∠=∠+∠=︒+︒=︒，同理可得9322115BDC BEC C ∠=∠+∠=︒+︒=︒∵李师傅量得114BDC ∠=︒，不是115°，∴这个零件不合格．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．8、CM ＝7．【分析】根据题意由“SAS ”可证△AEC ≌△ADB ，可得BD =CE ，由等腰三角形的性质可得DM =ME =2进行分析计算即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠BAE ＝∠DAE ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△AEC 和△ADB 中，AE AD BAD CAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△ADB （SAS ），又∵BD ＝5，∴CE ＝BD ＝5，∵AD ＝AE ，AM ⊥CD ，DE ＝4， ∴114222ME DE ==⨯=， ∴CM ＝CE +EM ＝5+2＝7．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．9、（1）见解析；（2）猜想：DE BD CE =+，见解析；（3）见解析【分析】（1）先证明BDA AEC ∠=∠和ABD CAE ∠=∠，再根据AAS 证明ABD CAE ≌即可；（2）根据AAS 证明ABD CAE ≌得BD AE =，DA EC =，进一步可得出结论；（3）分别过点C 、E 作CM l ⊥，EN l ⊥，同（1）可证ABF CAM ≌，ADF EAN ≌，得出CM =EN ，证明CMG ENG ≌得CG EG =，从而可得结论．【详解】解：（1）证明：∵BD l ⊥，CE l ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=︒，∴90ABD DAB ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒，∴90CAE DAB ∠+∠=︒∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 与CAE 中BDA AEC ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABD CAE AAS ≌（2）猜想：DE BD CE =+，∵BDA BAC α∠=∠=∴180180ABD DAB BDA α∠+∠=︒-∠=︒-，180180CAE DAB BAC α∠+∠=︒-∠=︒-∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 与CAE 中BDA AEC ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABD CAE AAS ≌，∴BD AE =，DA EC =，∴DE AE DA BD CE =+=+（3）分别过点C 、E 作CM l ⊥，EN l ⊥，同（1）可证ABF CAM ≌，ADF EAN ≌，∴AF CM =，AF EN =∴CM EN =，∵CM l ⊥，EN l ⊥，∴90CMG ENG ∠=∠=︒在CMG 与ENG 中CMG ENG CGM EGN CM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMG ENG AAS ≌，∴CG EG =，∴G 为CE 的中点．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、角的互余关系，证得△ABD≌△CAE是解决问题的关键．10、（1）120°（2）①图形见解析；②AC=【分析】（1）根据60A∠=︒进而判断出点E在边AB上，得出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AED=∠ACB=90°最后用三角形的外角的性质即可得出结论；（2）①依题意补全图形即可；②先判断出△ADE≌△ABC（SAS），进而得出∠AEF=90°，即可判断出Rt△AEF≌Rt△ACF，进而求出∠CAF=1∠CAE=30°，即可得出结论．2（1）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，由旋转知，∠CAE=60°=∠CAB，∴点E在边AB上，∵AD=AB，AE=AC，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠CFE=∠B+∠BEF=30°+90°=120°，故答案为120°；（2）（2）①依题意补全图形如图2所示，②如图2，连接AF，∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAD=∠CAB，∵AD=AB，AE=AC，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠AED=∠C=90°，∴∠AEF=90°，∴Rt△AEF≌Rt△ACF(HL)，∴∠EAF=∠CAF，∠CAE=30°，∴∠CAF=12AF，且AC2+CF2=AF2，在Rt△ACF中，CF=12∴AC【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，判断出△ADE≌△ABC是解本题的关键．。
2022年沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步测试练习题(精选含解析)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列四个命题是真命题的有（）①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两个锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个2、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．63、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，直线a∥b，若BC在直线b上，则∠1的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°4、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3 4 8 B．4 4 10 C．5 6 10 D．5 6 115、如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED，BC=20，AB=8，则BE的长度为（）A．12 B．10 C．8 D．66、小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（）A ．180°B ．210°C ．360°D ．270°7、如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．ASAD ．SSS8、如图，在ABC 中，AD 是角平分线，且AD AC =，若60BAC ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．52°D ．58°9、如图，等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④10、如图，∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ，CB ＝CD ，则∠B 与∠ADC 满足的数量关系为（ ）A ．∠B ＝∠ADCB ．2∠B ＝∠ADC C ．∠B +∠ADC ＝180°D ．∠B +∠ADC ＝90°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，ABC 中，90A ∠=︒，点D 在AC 边上，∥DE BC ，若1145∠=︒，则B 的度数为_______．2、小华的作业中有一道数学题：“如图，AC ，BD 在AB 的同侧，BD ＝4，AB ＝4，AC =1，∠CED =120°，点E 是AB 的中点，求CD 的最大值．”哥哥看见了，提示他将△ACE 和△BDE 分别沿CE ，连接A ′B ′．最后小华求解正确，得到CD 的最大值是 _____．3、若2(3)|7|0a b -+-=，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为________．4、如图，在三角形ABC 中，40BAC ∠=︒，点D 为射线CB 上一点，过点D 作DE AC ∥交直线AB 于点E ，DF AB ∥交直线AC 于点F ，CG 平分ACB ∠交DF 于点G ．若:3:4FDC EDC ∠∠=，则DGC ∠=______°．5、如图，已知∠A ＝60°，∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠BDC 的度数为_____．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上的一个动点（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作等腰ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，点D ，E 在直线AC 两旁，连接CE ．（1）如图1，当90BAC ∠=︒时，直接写出BC 与CE 的位置关系；（2）如图2，当090BAC ︒<∠<︒时，过点A 作AF CE ⊥于点F ，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD ，CD ，2EF 之间的数量关系，并证明．2、在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M ，N 分别在等边ABC 的,BC CA 边上，且BM CN =，AM ，BN 交于点Q ．求证：60BQM ∠=︒．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：（1）若将题中“BM CN =”与“60BQM ∠=︒”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．（2）若将题中的点M ，N 分别移动到,BC CA 的延长线上，是否仍能得到60BQM ∠=︒？请你画出图形，给出答案并说明理由．3、已知：如图，AD ，BE 相交于点O ，AB ⊥BE ，DE ⊥AD ，垂足分别为B ，D ，OA =OE ．求证：△ABO ≌△EDO ．4、如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，CE AD ⊥于点E ．求证：ACE B ECD ∠=∠+∠．5、如图，在△ABC 中， AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，连接EC ．求证：CE 平分∠ACB ．6、如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．（1）求证DOB≌AOC；（2）求∠CEB的大小；（3）如图2，OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转（OAB和OCD 不能重叠），求∠CEB的大小．7、“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P 旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB＝13∠AOB．我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．求证：∠APB＝13∠AOB．8、如图，ABC和ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边．求证．BD CE9、如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别同时从A、B、C以同样的速度沿AB、BC、CA方向运动，当点D运动到点B时，三个点都停止运动．（1）在运动过程中△DEF是什么形状的三角形，并说明理由；（2）若运动到某一时刻时，BE=4，∠DEC=150°，求等边△ABC的周长；10、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及等边三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；②相等的角是对顶角，错误，是假命题；③直角三角形两个锐角互余，正确，是真命题；④三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，综上所述真命题有2个，故选：B．【点睛】本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明、推理、证明，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．2、A【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的格点C 点有0个；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的格点C 点有3个．故共有3个点，故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．3、C【分析】根据三角形内角和定理确定50ABC ∠=︒，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：∵40BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴50ABC ∠=︒，∵a b ∥，∴150ABC ∠=∠=︒，故选：C．【点睛】题目主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．4、C【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断求解即可．【详解】解：A．∵3+4＜8，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；B．∵4+4＜10，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；C．∵5+6＞10，∴能组成三角形，故本选项符合题意；D．∵5+6=11，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．5、A【分析】利用角相等和边相等证明ABE ECD≌，利用全等三角形的性质以及边的关系，即可求出BE的长∆∆度．【详解】解：由题意可知：∠ABE =∠AED =∠ECD =90°，1809090AEB DEC ∴∠+∠=︒-︒=︒，90A AEB ∠+∠=︒，A DEC ∴∠=∠，在ABE ∆和ECD ∆中，ABE ECD A DEC AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ECD AAS ∴∆∆≌，8CE AB ∴==，12BE BC CE ∴=-=，故选：A ．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练通过已知条件证明三角形全等，利用全等性质及边的关系，来求解未知边的长度，这是解决本题的主要思路．6、B【分析】已知90C ∠=︒，得到2390∠+∠=︒，根据外角性质，得到1D α∠=∠+∠，4F β∠=∠+∠，再将两式相加，等量代换，即可得解；【详解】解：如图所示，∵90C ∠=︒，∴2390∠+∠=︒，∵1D α∠=∠+∠，4F β∠=∠+∠，∴14D F αβ∠+∠=∠+∠+∠+∠，∵12∠=∠，34∠=∠，∴1423D F D F ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，∵30D ∠=︒，90F ∠=︒，∴23233090210D F ∠+∠+∠+∠=∠+∠+︒+︒=︒；故选D ．【点睛】本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．7、C【分析】根据题意，可知仍可辨认的有1条边和2个角，且边为两角的夹边，即可根据ASA 来画一个完全一样的三角形【详解】根据题意可得，已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，即ASA故选C【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键．8、A【分析】根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可．【详解】解：∵AD是角平分线，60BAC∠=︒，∴∠DCA=12BAC∠=30°，∵AD=AC，∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，故选：A．【点睛】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．9、A【分析】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【详解】解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，故③正确；④如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE ＝180°﹣∠BAC ＝60°，∴△APE 是等边三角形，∴∠PEA ＝∠APE ＝60°，PE ＝PA ，∴∠APO +∠OPE ＝60°，∵∠OPE +∠CPE ＝∠CPO ＝60°，∴∠APO ＝∠CPE ，∵OP ＝CP ，在△OPA 和△CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OPA ≌△CPE （SAS ），∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE +CE ＝AO +AP ，∴AB ＝AO +AP ，故④正确；正确的结论有：①③④，故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．10、C【分析】由题意在射线AD 上截取AE =AB ，连接CE ，根据SAS 不难证得△ABC ≌△AEC ，从而得BC =EC ，∠B =∠AEC ，可求得CD =CE ，得∠CDE =∠CED ，证得∠B =∠CDE ，即可得出结果．【详解】解：在射线AD 上截取AE ＝AB ，连接CE ，如图所示：∵∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠EAC ，在△ABC 与△AEC 中，AC AC BAC EAC AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△AEC （SAS ），∴BC ＝EC ，∠B ＝∠AEC ，∵CB ＝CD ，∴CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠CED ，∴∠B ＝∠CDE ，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°．故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE．二、填空题1、55【分析】先求出∠EDC=35°，然后根据平行线的性质得到∠C=∠EDC=35°，再由直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：∵∠1=145°，∴∠EDC=35°，∵DE∥BC，∴∠C=∠EDC=35°，又∵∠A=90°，∴∠B=90°-∠C=55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，求出∠C的度数是解题的关键．2、7【分析】由翻折的性质可证△EB'A'是等边三角形，则A'B'＝A'E＝2，再根据CD≤A'C+A'B'+B'D，即可求出CD 的最大值．【详解】解：∵AB =4，点E 为AB 的中点，∴AE =BE =2，∵∠CED =120°，∴∠AEC +∠DEB =60°，∵将△ACE 和△BDE 分别沿CE ，DE 翻折得到△A ′CE 和△B ′DE ，∴A 'C =AC =1，AE =A 'E =2，∠AEC =∠CEA '，DB =DB '=4，BE =B 'E =2，∠DEB =∠DEB '，∴∠A 'EB '=60°，A 'E =B 'E =2，∴△EB 'A '是等边三角形，∴A 'B '=A 'E =2，∴当点C ，点A '，点B '，点D 四点共线时，CD 有最大值=A 'C +A 'B '+B 'D =7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等性质，证明△EB 'A '是等边三角形是解题的关键．3、17【分析】先根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再分情况讨论求解即可．【详解】解：∵2(3)|7|0a b -+-=，∴30a -=，70b -=，解得：3a =，7b =，①若3a =是腰长，则底边为7，三角形的三边分别为3、3、7，∵337+<，∴3、3、7不能组成三角形；②若7b =是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，周长为：77317++=，∴以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为17，故答案为：17．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和平方的非负性，以及三角形的三边关系，难点在于要分类讨论求解．4、80【分析】先求解40,DFC 再求解140,60,80,40,EDF FDC FCD FCG 再利用三角形的外角的性质可得答案.【详解】 解： 40BAC ∠=︒，DF AB ∥，40,DFC BACDE AC ∥，180140,EDF DFC:3:4FDC EDC ∠∠=，140,EDC FDC314060,7FDC 180406080,FCDCG平分ACB，1FCG FCD40,2DGC FCG DFC404080.故答案为：80【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的运用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键.5、110°【分析】延长BD交AC于点E，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】延长BD交AC于点E，∵∠DEC是△ABE的外角，∠A＝60°，∠B＝20°，∴∠DEC＝∠A+∠B＝80°，则∠BDC＝∠DEC+∠C＝110°，故答案为：110°．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线DE是解题的关键．三、解答题1、（1）BC CE ⊥（2）2CD BD EF -=或2BD CD EF -=，见解析【分析】（1）根据已知条件求出∠B =∠ACB =45°，证明△BAD ≌△CAE ，得到∠ACE =∠B =45°，求出∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°，即可得到结论BC CE ⊥；（2）根据题意作图即可，证明ABD △≌ACE ．得到BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠，推出ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =，证明ADC ≌AGC ，推出CD CG =．由此得到2CD BD EF -=．同理可证2BD CD EF -=．（1）解：90BAC ∠=︒，AB AC =，∴∠B =∠ACB =45°，∵DAE BAC ∠=∠，∴DAE DAC BAC DAC ∠-∠=∠-∠，即∠BAD =∠CAE ，∵AB AC =，AD AE =，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ACE =∠B =45°，∴∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°，∴BC CE ⊥；（2）解：如图，补全图形；2CD BD EF -=．证明：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠．又∵AB AC =，AD AE =，∴ABD △≌ACE ．∴BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠．∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．∴ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =．∵AF CE ⊥，∴AE AG =．∴AEG G ∠=∠．∵ADB AEC ∠=∠，∴ADC AEG ∠=∠．∴ADC G ∠=∠．∵AC AC =，∴ADC ≌AGC ．∴CD CG =．∵2CG CE EF -=，∴2CD BD EF -=．如图，同理可证2BD CD EF -=．．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．2、（1）仍是真命题，证明见解析（2）仍能得到60BQM ∠=︒，作图和证明见解析【分析】（1）由角边角得出ABM 和BCN △全等，对应边相等即可．（2）由（1）问可知BM =CN ，故可由边角边得出BAN 和ACM △全等，对应角相等，即可得出60BQM ∠=︒．（1）∵60BQM ∠=︒∴60QBA BAM ∠+∠=︒∵60QBA CQN ∠+∠=︒∴BAQ CQN ∠=∠在ABM 和BCN △中有BAQ CQN AB BC ABM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM BCN ASA ≅△（）∴BM CN =故结论仍为真命题．（2）∵BM =CN∴CM =AN∵AB =AC ，18060120ACM BAN ∠=∠=︒-︒=︒，在BAN 和ACM △中有BA AC BAN ACM AN CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAN ACM SAS ≅△（）∴BNA CMA ∠=∠∴60BQM BNA NAQ CMA CAM ACB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故仍能得到60BQM ∠=︒，如图所示【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．3、见解析【分析】利用AAS 即可证明△ABO ≌△EDO ．【详解】证明：∵AB ⊥BE ，DE ⊥AD ，∴∠B =∠D =90°．在△ABO 和△EDO 中,,B D AOB EOD OA OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO≌△EDO．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．4、证明见解析.【分析】延长CE交AB于F，求出∠AEC＝∠AEF，∠FAE＝∠CAE，根据ASA证△FAE≌△CAE，推出∠ACE＝∠AFC，根据三角形外角性质得出∠AFC＝∠B＋∠ECD，代入即可．【详解】证明：延长CE交AB于F，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠AEF，∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE，在△FAE和△CAE中，∵FAE CAEAE AEAEF AEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FAE≌△CAE（ASA），∴∠ACE＝∠AFC，∵∠AFC ＝∠B ＋∠ECD ，∴∠ACE ＝∠B ＋∠ECD ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作辅助线后求出∠AFC ＝∠ACE ．5、见解析【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，从而得到△BDE ≌△CDE ，进而得到∠DCE =∠DBE ，再由BE 平分∠ABC ，可得12DBE ABC ∠=∠ ，进而得到12DCE ACB ∠=∠，即可求证．【详解】解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，∴∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，∵DE =DE ，∴△BDE ≌△CDE ，∴∠DCE =∠DBE ，∵BE 平分∠ABC ， ∴12DBE ABC ∠=∠ ， ∴12DCE ABC ∠=∠， ∴12DCE ACB ∠=∠， ∴CE 平分∠ACB ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．6、（1）见详解；（2）120°；（2）120°．【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质得到OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，则利用根据“SAS ”判断△AOC ≌△BOD ；（2）利用△AOC ≌△BOD 得到∠CAO =∠DBO ，然后根据三角形内角和可得到∠AEB =∠AOB =60°，即可求出答案；（3）如图2，与（1）的方法一样可证明△AOC ≌△BOD ；则∠CAO =∠DBO ，然后根据三角形内角和可求出∠AEB =∠AOB =60°，即可得到答案．【详解】（1）证明：如图1，∵△ODC 和△OAB 都是等边三角形，∴OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，∴∠BOD =∠AOC =120°，在△AOC 和△BOD 中OC OD AOC BOD OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD ；（2）解：∵△AOC ≌△BOD ，∴∠CAO =∠DBO ，∵∠1=∠2，∴∠AEB =∠AOB =60°，∴120CEB ∠=︒；（3）解：如图2，∵△ODC 和△OAB 都是等边三角形， ∴OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，∴∠AOB +∠BOC =∠COD +∠BOC ，即∠AOC =∠BOD ， 在△AOC 和△BOD 中OC OD AOC BOD OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD ；∴∠CAO =∠DBO ，∵∠1=∠2，∴∠AEB =∠AOB =60°，∴120CEB ∠=︒；即∠CEB 的大小不变．【点睛】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；利用类比的方法解决（3）小题．7、见解析【分析】由OA OC PC ==，得出,POC AOC 为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得2CAO APB ∠=∠，再次利用外角的性质及等量代换得3AOB APB ∠=∠，即可证明．【详解】解：OA OC PC ==，,POC AOC ∴为等腰三角形，,APB COP ACO CAO ∴∠=∠∠=∠，由外角的性质得：2ACO APB COP APB ∠=∠+∠=∠，2CAO APB ∠=∠，再由外角的性质得：AOB APB CAO ∠=∠+∠，3AOB APB ∴∠=∠，13APB AOB ∴∠=∠． 【点睛】本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．8、见解析【分析】由ABC ∆和ADE ∆是顶角相等的等腰三角形，得出BAC DAE ∠=∠知AB AC =、AD AE =、BAD CAE ∠=∠，证ABD ACE ∆≅∆即可得证．【详解】解：ABC ∆和ADE ∆是顶角相等的等腰三角形，得出BAC DAE ∠=∠，AB AC ∴=，AD AE =，BAD CAE ∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，BD CE ∴=．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．9、（1）△DEF 是等边三角形，理由见解析（2）等边△ABC 的周长为18【分析】（1）利用△DEF 是等边三角形的性质以及三点的运动情况，求证EBD FCE ∆∆≌和ECF FAD ∆∆≌，进而证明==DE EF FD ，最后即可说明△DEF 是等边三角形．（2）利用题（1）的条件即∠DEC =150°，得出DEB ∆是含30角的直角三角形，求出122BD BE ==，最后求解出等边△ABC 的BC 长，最后即可求出等边△ABC 的周长． 【详解】（1）解：△DEF 是等边三角形，证明：由点D 、E 、F 的运动情况可知：AD BE CF ==，△ABC 是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒,AB BC CA ==，BD AB AD BC BE CE ∴=-=-=,CE BC BE CA CF AF =-=-=，在EBD ∆与FCE ∆中，BD CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EBD FCE SAS ∴∆∆≌，DE EF ∴=，同理可证ECF FAD ∆∆≌，进而有=EF FD ，DE EF FD ∴==，故△DEF 是等边三角形．（2）解：由（1）可知△DEF 是等边三角形，且EBD FCE ∆∆≌，60DEF ∴∠=︒，BDE CEF ∠=∠，BD CE =，150DEC ∠=︒，90BDE CEF DEC DEF ∴∠=∠=∠-∠=︒，在Rt DEB ∆中，9030DEB B ∠=︒-∠=︒，122BD BE ∴==， 6BC BE CE BE BD ∴=+=+=，AB BC CA ==，∴等边△ABC 的周长为318BC =．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的性质及判定、等边三角形的判定及性质和含30角直角三角形的性质，熟练利用等边三角形的性质，找到相等条件，进而证明全等三角形，综合利用全等三角形以及含30角直角三角形的性质，求出对应边长，是解决该题的关键．10、∠AFE=50°．【分析】根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=11804022ACB∠=⨯︒=︒，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．【详解】解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，∴∠ECB=11804022ACB∠=⨯︒=︒，∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，∴∠AFE=∠DFC=50°．【点睛】本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．。
沪教版(五四制)七年级数学下册第14章测试卷题
沪教版（五四制）七年级数学下册第14章测试卷题姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共12题；共24分）1.如图已知△ABE≌△ACD, AB=AC, BE=CD，∠B=40°,∠AEC=120°则∠DAC的度数为（）A. 80°B. 70°C. 60°D. 50°2.在△ABC中，如果∠A=∠B=4∠C，那么∠C的度数是( )A. B. C. D.3.如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°，下列结论不正确的是（）A. EF⊥ACB. AD=4AGC. 四边形ADEF为菱形D. FH=BD4.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A. 17B. 15C. 13D. 13或175.如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形（）A. 1对B. 2对C. 4对D. 8对6.在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（）A. AB=DE，∠A=∠D，BC=EFB. AB=EF，∠A=∠D，AC=DFC. AB=BC，∠B=∠E，DE=EFD. BC=EF，∠C=∠F，AC=DF7.下列说法：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；（3）全等三角形的周长相等；（4）周长相等的两个三角形相等；（5）全等三角形的面积相等；（6）面积相等的两个三角形全等．其中不正确的是（）A. （4）（5）B. （4）（6）C. （3）（6）D. （3）（4）（5）（6）8.根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A. AB=3，BC=4，AC=8B. ∠C=90°，AB=6C. ∠A=60°，∠B=45°，AB=4D. AB=3，BC=3，∠A=30°9.如下图，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）A. 10°B. 12．5°C. 15°D. 20°10.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A. 两个锐角对应相等B. 一条直角边和一个锐角对应相等C. 两条直角边对应相等D. 一条直角边和斜边对应相等11.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A,B是两格点,若C也是格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 912.如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°二、填空题（共7题；共14分）13.已知三角形两边长分别是3cm，5cm，设第三边的长为xcm，则x的取值范围是________．14.如图，∠ACD=121°，∠B=20°，则∠A=________度.15.若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是________ cm．16.如图，BP与CP相交于点P，∠ABP= ∠ABC，∠ACP= ∠ACB，∠A=68°，那么∠P=________°．17.如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…．，根据上述规律请你写出∠A n+1A n C n=________°．（用含n的代数式表示）18.如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△A n B n A n+1的边长为________．19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm 每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为________时，△ACP是等腰三角形．三、解答题（共4题；共19分）20.已知三角形三边长分别为a、b、c，其中a、b满足（a﹣6）2+|b﹣8|=0，求这个三角形最长边c的取值范围．21.在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分成6和12两部分，求三角形三边的长．22.已知O是△ABC中任意一点(如图)．求证：23.如图，P为△ABC中任意一点．证明：AB+BC+CA>PA+PB+PC．四、综合题（共4题；共43分）24.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=72°，∠C=30°．（1）求∠BAE的度数;（2）求∠DAE的度数。
2021-2022学年度沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形章节测试试卷(精选含详解)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形章节测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知三角形的两边长分别为2cm 和3cm ，则第三边长可能是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．3cmD ．1cm2、下列叙述正确的是（ ）A ．三角形的外角大于它的内角B ．三角形的外角都比锐角大C ．三角形的内角没有小于60°的D ．三角形中可以有三个内角都是锐角3、如图，BD 是ABC 的角平分线，∥DE BC ，交AB 于点E ．若30A ∠=︒，50BDC ∠=︒，则BDE ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．50°4、已知三条线段的长分别是4，4，m ，若它们能构成三角形，则整数m 的最大值是（ ）A ．10B ．8C ．7D ．45、尺规作图：作A O B '''∠角等于已知角AOB ∠．示意图如图所示，则说明A O B AOB '''∠=∠的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS6、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．2，3，5B ．4，4，8C ．3，4.8，7D ．3，5，97、定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD 是△ABC 的外角．求证：∠ACD ＝∠A +∠B ．下列说法正确的是（ ）A ．证法1用特殊到一般法证明了该定理B ．证法1只要测量够100个三角形进行验证，就能证明该定理C ．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整D ．证法2用严谨的推理证明了该定理8、BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9、如图，若ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°后与11AB C △重合，则1AB B ∠=（ ） ．A ．40°B ．50°C ．70°D ．10010、如图，在ABD △和ACE 中，AB AD =，AC AE =，AB AC >，50DAB CAE ∠=∠=︒，连接BE ，CD 交于点F ，连接AF ．下列结论：①BE CD =；②50EFC ∠=︒；③AF 平分DAE △；④FA 平分DFE ∠．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，DE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，若AD DE =，点C 是BE 中点，则B ∠=______°．2、小华的作业中有一道数学题：“如图，AC ，BD 在AB 的同侧，BD ＝4，AB ＝4，AC =1，∠CED =120°，点E 是AB 的中点，求CD 的最大值．”哥哥看见了，提示他将△ACE 和△BDE 分别沿CE ，连接A ′B ′．最后小华求解正确，得到CD 的最大值是 _____．3、若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____．4、在ABC 中，若50,A B C ∠=︒∠=∠，则B ∠=_______．5、如图，AB ，CD 相交于点O ，AD CB =，请你补充一个条件，使得ADB CBD △≌△，你补充的条件是______．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，在长方形ABCD 中，AD =3，DC =5，动点M 从A 点出发沿线段AD —DC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD —DA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动．ME ⊥PQ 于点E ，NF ⊥PQ 于点F ，设运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中当M 、N 两点相遇时，求t 的值．（2）在整个运动过程中，求DM 的长．(用含t 的代数式表示)（3）当DEM 与DFN 全等时，请直接写出所有满足条件的DN 的长．2、阅读填空，将三角尺（△MPN ，∠MPN =90°）放置在△ABC 上（点P 在△ABC 内），如图①所示，三角尺的两边PM 、PN 恰好经过点B 和点C ，我们来研究∠ABP 与∠ACP 是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A =50°，则∠PBC +∠PCB = 度，∠ABP +∠ACP = 度．（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A 的关系是 ．（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P 在△ABC 外，三角尺的两边PM 、PN 仍恰好经过点B 和点C ，则∠ABP、∠ACP、∠A 的关系是 ．3、如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB 交AB 于点E ，AD 是△ABC 边BC 上的高，AD 与CE 相交于点F ，且∠ACB ＝80°，求∠AFE 的度数．4、如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是AB 上的高和中线，2ABC S =△，AE =，求CD 的长．5、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，射线AE 交BC 于点P ，∠BAE ＝15°；过点C 作CD ⊥AE 于点D ，连接BE ，过点E 作EF ∥BC 交DC 的延长线于点F ．（1）求∠F 的度数；（2）若∠ABE ＝75°，求证：BE ∥CF ．6、如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AE DF ∥，AE DF =，AB CD =．（1）求证：AEC DFB ≅．（2）若40A ∠=︒，145ECD ∠=︒，求∠F 的度数．7、如图，灯塔B 在灯塔A 的正东方向，且75km AB =．灯塔C 在灯塔A 的北偏东20°方向，灯塔C 在灯塔B 的北偏西50°方向．（1）求ACB的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．8、已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为．9、数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．下面是小路设计的尺规作图过程．作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．根据小路设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)（2）完成下面的证明：证明：连接BD ，BC ，∵直线l 为线段AB 的垂直平分线，∴DA ＝ ，( )（填推理的依据）∴∠A ＝∠ABD ，∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A ．∵BC ＝BD ，∴∠ACB ＝∠ ，( )（填推理的依据）∴∠ACB ＝2∠A ．10、如图，在ABC 中，AD 是角平分线，54B ∠=︒，76C ∠=︒．（1）求BAD ∠的度数；（2）若DE AC ⊥，求EDC ∠的度数．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：3-2＜x＜3+2，解得：1＜x＜5，只有C选项在范围内．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．2、D【分析】结合直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角的含义与大小逐一分析即可.【详解】解：三角形的外角不一定大于它的内角，锐角三角形的任何一个外角都大于内角，故A不符合题意；三角形的外角可以是锐角，不一定比锐角大，故B不符合题意；三角形的内角可以小于60°，一个三角形的三个角可以为：20,70,90,故C不符合题意；三角形中可以有三个内角都是锐角，这是个锐角三角形，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的的内角与外角的含义与大小，掌握“直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角”是解本题的关键.3、B【分析】由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解.【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝20°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC＝20°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．4、C【分析】根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m的最大值．【详解】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则4444m -<<+，即08m <<又m 为整数，则整数m 的最大值是7故选C【点睛】本题考查了求不等式的整数解，三角形三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．5、A【分析】利用基本作图得到OD ＝OC ＝OD ′＝OC ′，CD ＝C ′D ′，则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS ”可判断△OCD ≌△O ′C ′D ′，然后根据全等三角形的性质得到∠A ′OB ′＝∠AOB ．【详解】解：由作法可得OD ＝OC ＝OD ′＝OC ′，CD ＝C ′D ′，所以根据“SSS ”可判断△OCD ≌△O ′C ′D ′，所以∠A ′OB ′＝∠AOB ．故选：A ．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握基本作图和全等三角形的判定定理．6、C【分析】由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．【详解】解：A 、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．7、D【分析】利用测量的方法只能是验证，用定理，定义，性质结合严密的逻辑推理推导新的结论才是证明，再逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解：证法一只是利用特殊值验证三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，证法2才是用严谨的推理证明了该定理，故A不符合题意，C不符合题意，D符合题意，证法1测量够100个三角形进行验证，也只是验证，不能证明该定理，故B不符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质的验证与证明，理解验证与证明的含义及证明的方法是解本题的关键.8、A【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，∴∠ABP =∠CBP =20°，∠ACP =∠MCP =50°，∵∠PCM 是△BCP 的外角，∴∠P =∠PCM −∠CBP =50°−20°=30°，故选：A ．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．9、C【分析】根据旋转的性质，可得140BAB ∠=︒ ，1AB AB = ，从而得到11ABB AB B ∠=∠，即可求解．【详解】解：∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°后与11AB C △重合，∴140BAB ∠=︒ ，1AB AB = ， ∴()1111180702ABB AB B BAB ∠=∠=︒-∠=︒． 故选：C【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．10、C由全等三角形的判定及性质对每个结论推理论证即可．【详解】∵50DAB CAE ∠=∠=︒∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠∴DAC BAE ∠=∠又∵AB AD =，AC AE =∴()DAC BAE SAS ≅△△∴BE CD =故①正确∵DAC BAE ≅∴AEB ACD ∠=∠由三角形外角的性质有ACD CFE AEB CAE ∠+∠=∠+∠则50EFC CAE ∠=∠=︒故②正确作AH DC ⊥于H ，AG BE ⊥于G ，如图所示：则90AGE AHC =∠∠=°，在AHC 和AGE 中，DAC BEA AC AE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AG AHC E AAS ≅∆，∴AH AG =，在AHF △和AGF 中，AH AG AHF AGF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AGF L A H HF ≅∆，∴AFH AFG ∠=∠∴FA 平分DFE ∠故④正确假设AF 平分DAE △则DAF EAF ∠=∠∵DAB CAE ∠=∠∴DAF DAB FAE CAE ∠-∠=∠-∠即BAF CAF ∠=∠由④知AFD AFE ∠=∠又∵BFD CFE ∠∠、为对顶角∴BFD CFE ∠=∠∴BFD AFD CFE AFE ∠+∠=∠+∠∴AFB AFE ∠=∠∴在ABF 和ACF 中，AF AF BFA CAF ⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CF BFA A ASA ≅∆即AB =AC又∵AB AC >故假设不符，故AF 不平分DAE △故③错误．综上所述①②④正确，共有3个正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，灵活的选择全等三角形的判定的方法是解题的关键，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．二、填空题1、67.5°【分析】连接AE ，先得出∠BAC =12∠BAE ，再根据AD DE =，得出∠BAC =22.5°，最后得出结果．【详解】解：连接AE ，∵点C 是BE 中点，∴BC =CE ，∵∠ACB =90°，∴AC⊥BE，∴AB=AE，∠BAE，∴∠BAC=12∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵AD DE，∴∠AED=∠DAE=45°，∠BAE=22.5°，∴∠BAC=12∴∠B=90°-∠BAC=67.5°．故答案为：67.5°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．2、7【分析】由翻折的性质可证△EB'A'是等边三角形，则A'B'＝A'E＝2，再根据CD≤A'C+A'B'+B'D，即可求出CD的最大值．【详解】解：∵AB=4，点E为AB的中点，∴AE=BE=2，∵∠CED=120°，∴∠AEC+∠DEB=60°，∵将△ACE和△BDE分别沿CE，DE翻折得到△A′CE和△B′DE，∴A'C=AC=1，AE=A'E=2，∠AEC=∠CEA'，DB=DB'=4，BE=B'E=2，∠DEB=∠DEB'，∴∠A'EB'=60°，A'E=B'E=2，∴△EB'A'是等边三角形，∴A'B'=A'E=2，∴当点C，点A'，点B'，点D四点共线时，CD有最大值=A'C+A'B'+B'D=7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等性质，证明△EB'A'是等边三角形是解题的关键．3、76【分析】先根据角平分线的定义、三角形的内角和定理求出等腰三角形两底角的度数和，再根据三角形内角和求出顶角的度数即可．【详解】解：∵∠BOC ＝128°，∴∠OBC +∠OCB ＝180°﹣∠BOC ＝180°﹣128°＝52°，∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABC +∠ACB ＝2（∠OBC +∠OCB ）＝104°，∴∠A ＝180°﹣（∠ABC +∠ACB ）＝180°﹣104°＝76°．故答案为：76°．【点睛】本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理，牢记角平分线分得的两个角相等，三角形内角和是180︒是解决本题的关键．4、65°65度【分析】由三角形的内角和定理，得到180A B C ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；【详解】解：在ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=︒，∵50,A B C ∠=︒∠=∠，∴502180B ︒+∠=︒，∴65B ∠=︒；故答案为：65°．本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于360°．5、AB CD =（答案不唯一）【分析】在ADB △与CBD 中，已经有条件：,,AD CB DB BD 所以补充,AB CD =可以利用SSS 证明两个三角形全等.【详解】解：在ADB △与CBD 中，,,AD CB DB BD所以补充：,AB CD =().ADB CBD SSS △≌△∴故答案为：AB CD =【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.三、解答题1、（1）2；（2）当0≤t ≤3时，DM =3-t ，当3＜t ≤8时，DM =t -3；（3）2或1【分析】（1）根据题意得：335t t +=+ ，解得：2t =，即可求解；（2）根据题意得：当0≤t ≤3时，AM =t ，则DM =3-t ，当3＜t ≤8时，DM =t -3，即可求解；（3）根据ME ⊥PQ ，NF ⊥PQ ，可得∠DEM =∠DFN =90°，再由∠ADC =90°，可得∠DME =∠FDN ，从而得到当DEM 与DFN 全等时，DM =DN ，根据题意可得M 到达点D 时，331t == ，M 到达点C 时，8t = ，N 到达点D 时，53t = ，N 到达点A 时，83t =，然后分两种情况：当503t ≤≤时和当5833t <≤时，即可求解．解：（1）根据题意得：335t t +=+ ，解得：2t =，即在运动过程中当M 、N 两点相遇时，t 的值为2；（2）根据题意得：当0≤t ≤3时，AM =t ，则DM =3-t ，当3＜t ≤8时，DM =t -3；（3）∵ME ⊥PQ ，NF ⊥PQ ，∴∠DEM =∠DFN =90°，∴∠EDM + ∠DME =90°，∵∠ADC =90°，∴∠EDM +∠FDN =90°，∴∠DME =∠FDN ， ∴当DEM 与DFN 全等时，DM =DN ，∵M 到达点D 时，331t == ，M 到达点C 时，8t = ， N 到达点D 时，53t = ，N 到达点A 时，83t =， 当503t ≤≤时，DM =3-t ，CN =3t ，则DN =5-3t ，∴3-t =5-3t ，解得：t =1，∴此时DN =5-3t =2， 当5833t <≤时，DM =3-t ，DN =3t -5， ∴3-t =3t -5，解得：2t = ，∴DN =3t -5=1， 综上所述，当DEM 与DFN 全等时，所有满足条件的DN 的长为2或1．本题主要考查了全等三角形的判定和性质，动点问题，利用分类讨论思想解答是解题的关键．2、（1）90，40 ；（2）∠ABP+∠ACP+∠A=90°；（3）∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【分析】△和ABC中的角的关系即可．（1）由三角形内角和为180°计算BPC（2）由（1）所得即可得出∠ABP、∠ACP、∠A的关系为∠ABP+∠ACP+∠A=90°．（3）由三角形外角的性质即可推出∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【详解】△中（1）在BPC∵∠MPN=90°∴∠PBC+∠PCB=180°-∠MPN=180°-90°=90°在ABC中∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°又∵∠ABC=∠PBC+∠ABP，∠ACB=∠ACP+∠BCP∴∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP=180°∵∠PBC+∠PCB=90°，∠A=50°∴∠ABP +∠ACP=180°-90°-50°=40°（2）由（1）问可知∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP=180°又∵∠PBC+∠PCB=90°∴∠A+∠ABP +∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°（3）如图所示，设PN与AB交于点H∵∠A+∠ACP=∠AHP又∵∠ABP+∠MPN=∠AHP∴∠A+∠ACP=∠ABP+∠MPN又∵∠MPN=90°∴∠A+∠ACP=90°+∠ABP∴∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【点睛】本题考查了三角形的性质以及三角尺的角度计算问题，三角板的角度分别为90°，45°，45°；90°，60°，30°两种直角三角尺，三角形内角和是180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3、∠AFE=50°．【分析】根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=11804022ACB∠=⨯︒=︒，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．【详解】解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，∴∠ECB=11804022ACB∠=⨯︒=︒，∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，∴∠AFE =∠DFC =50°．【点睛】本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．4、6cm【分析】先根据中线的定义结合已知条件求得AB ，然后再运用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：∵CE 是AB 边上的中线，∴E 是AB 的中点，∴2AB AE ==， ∵12ABCS CD AB =⋅， ∴2ABC CD AB S ⋅=△，∴2ABC S CD AB =△6(cm)=. 【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义以及三角形的面积公式，掌握三角形中线的定义成为解答本题的关键.5、（1）30F ∠=︒；（2）证明见详解．．【分析】（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，由各角之间的关系及三角形内角和定理可得30PCD ∠=︒，60PDC ∠=︒，最后由平行线的性质即可得出；（2）由题意及各角之间的关系可得30CBE ∠=︒，得出DCB CBE ∠=∠，利用平行线的判定定理即可证明．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，15BAE ∠=︒，AB AC =，∴75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，18015ACD ADC DAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴451530PCD PCA ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴180903060PDC ∠=︒-︒-︒=︒，∵EF BC ∥，∴60DPC PEF ∠=∠=︒，30F DCP ∠=∠=︒，∴30F ∠=︒；（2）∵75ABE ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴754530CBE ∠=︒-︒=︒，由（1）可得30DCP ∠=︒，∴DCB CBE ∠=∠，∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）．【点睛】题目主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．6、（1）见解析；（2）105︒【分析】（1）根据平行线的性质可得A D ∠=∠，根据线段的和差关系可得AC DB =，进而根据SAS 即证明AEC DFB ≅；（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E ，进而根据（1）的结论即可求得∠F ．【详解】（1）证明：AE DF ∥∴A D ∠=∠， AB CD =∴AB BC BC CD +=+即AC BD = 又AE DF =，∴AEC DFB ≅（2）解：40A ∠=︒，145ECD ∠=︒，18035ECA ECD ∴∠=︒-∠=︒180105E A ECA ∴∠=︒-∠-∠=︒AEC DFB ≅F E ∴∠=∠105=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．7、（1）70°；（2）15km/h【分析】（1）根据题意得∠BAC =70°，∠ABC =40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB ；（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km ，进而由速度=路程÷时间求解即可．【详解】解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，∴BC=AB=75km，∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．8、（1）∠A+∠C＝90°；（2）∠C﹣∠A＝90°，见解析；（3）45°【分析】（1）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】（1）过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C＝∠CBE，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝180°﹣∠C，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A+180°﹣∠C＝90°，∴∠C﹣∠A＝90°；（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∠MAB，∴∠GAF＝12∵CH平分∠NCB，∠BCN，∴∠BCF＝12∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝12∠MAB+90°﹣12∠BCN＝90°﹣12（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，由题作出辅助线是解题的关键．9、（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC；等边对等角．【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；(2)解：证明：连接BD，BC，∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC ＝BD ，∴∠ACB ＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）∴∠ACB ＝2∠A ．【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键．10、（1）25BAD ∠=︒；（2）14EDC ∠=︒．【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出50BAC ∠=︒，然后利用角平分线进行计算即可得；（2）根据垂直得出90AED ∠=︒，然后根据三角形内角和定理即可得．（1）解：∵54B ∠︒＝，76C ∠︒＝，∴180180547650BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 是角平分线， ∴1252BAD BAC ∠=∠=︒，∴25BAD ∠=︒；（2）∵DE AC ⊥，∴90AED ∠=︒，∴180180907614EDC AED C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴14EDC ∠=︒．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算等，熟练运用三角形内角和定理是解题关键．。
沪教版七年级(下)数学第十四章三角形单元练习卷一和参考答案
沪教版七年级(下)数学第十四章三角形单元练习卷一和参考答案七年级(下)数学第十四章三角形单元练卷一一、选择题（每题3分，共18分）1、如图，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，那么下列结论错误的是( )A、∠DAC =∠BCA。
B、AC=CA。
C、∠D =∠B。
D、AC=BC2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C，则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是（）A、AD=AE。
B、AB=AC。
C、BE=CD。
D、∠AEB=∠ADC3.如图，∠A+∠B+∠C+∠D +∠E=360°（D、E在AB、BC上），则∠A+∠C+∠E=（）A、90°。
B、180°。
C、270°。
D、360°4.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A、2cm。
3cm。
4cm。
B、4cm。
6cm。
10cm。
C、1cm。
1cm。
3cm。
D、3cm。
4cm。
9cm5.三角形中至少有一个角大于或等于60°。
6.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、斜角三角形二、填空题（每题3分，共33分）7.在△ABC中，∠A+∠B =∠C，则∠C=180°。
8.三角形按边分类，可分为：等边三角形和普通三角形；三角形按角分类，可分为：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形。
9.三角形的三边之间的关系：三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差；如右图，用式子表示为：< AC < AB + BC。
10.在△ABC中，已知两条边长为3和2，且第三边长为偶数，那么第三边长为4.11．等腰三角形周长为14，一腰长为6，则底边长为1.12.在△ABC中，AB=AC，∠B =70°，那么∠A =55°。
13.在等腰△ABC中，∠C =70°，那么∠A =55°。
沪教版七年级(下)数学第十四章三角形课课练及单元测试卷一和参考答案
数学七年级下 第十四章 三角形14.1 三角形的有关概念（1）一、选择题1. 在三角形中，位于三角形外的高最多可能有 （ ）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条2. 如果三角形的两边长分别是4和7，那么第三边长可能是 （ ）A. 3B. 8C. 11D. 133. 已知三条线段0>>>c b a ，则它们能组成三角形的条件是 （ ）A. c b a +=B. b c a >+C. c b a -<D. c b a +<4. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是 （ ）A. 6，3, 6B. 4,4,9C. 2,5,2D. 6,6,125. 若等腰三角形腰长为7,则底边x 的取值范围是 （ ）A. 147<<xB. 70<<xC. 140<<xD. 无法确定6. 已知三角形的一个内角大于与它相邻的外角，那么这个三角形是 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 纯角三角形D. 以上都有可能7. 三角形的一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形一定是 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 纯角三角形D. 以上都有可能8. 三角形的三条高交在三角形的一个顶点，则这个三角形是 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 纯角三角形D. 以上都有可能二、填空题9．一个三角形的两边长分别是5cm 和9cm ，它的第三边长应小于 cm ，大于 cm 。
10. 两条边长分别为5、7，第三边长为整数的三角形共有 个。
11. 已知三角形的周长是36,三边长度之比是2:3:4，那么这个三角形三边的长分别是 。
12. 叫做三角形的角平分线。
13. 叫做三角形的中线。
14. 叫做三角形的高。
15. 在三角形的①三条高、②三条中线、③三条角平分线中，一定在三角形内的线段是。
16.若AD、AE和AF分别是△ABC的角平分线、高和中线，且三条线段互不重合，则线段AD、AE、AF中最短的是，理由是。
2022年最新沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题训练试卷(精选)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．BC ＝EFB ．AB ＝DEC ．∠B ＝∠ED ．∠ACB ＝∠DFE2、已知，ABC ，DEF ，MNP △的相关数据如图所示，则下列选项正确的是（ ）A ．ABC PNM ≌B ．DEF PNM ≌C ．PN EF =D ．F A ∠=∠3、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）A ．10B ．15C ．17D ．194、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°5、如图，在ABC 中，40B ∠=︒，60C ∠=°，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，在AB 上截取AE AC =，则EDB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．20°C ．10°D ．15°6、一个三角形三个内角的度数分别是x ，y ，z ．若2||()0x y x y z -++-=，则这个三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．不存在7、在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝14∠C ，则∠C ＝（ ） A ．70° B ．80° C ．100° D ．120°8、下列三角形与下图全等的三角形是（ ）A．B．C．D．9、下列所给的各组线段，能组成三角形的是：( )A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，1310、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（）A．21 B．24 C．27 D．30第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成 _____）．2、等腰三角形的一条边长为5，周长为20，则该三角形的腰长为__________．3、如图，△ABC中，AB＝AC＝DC，D在BC上，且AD＝DB，则∠BAC＝_____．4、如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到ADE ，点B 的对应点D 恰好落在边BC 上，则ADE ∠=_______．（用含α的式子表示）5、如图，在三角形ABC 中，40BAC ∠=︒，点D 为射线CB 上一点，过点D 作DE AC ∥交直线AB 于点E ，DF AB ∥交直线AC 于点F ，CG 平分ACB ∠交DF 于点G ．若:3:4FDC EDC ∠∠=，则DGC ∠=______°．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、ABC 中，CD 平分ACB ∠，点E 是BC 上一动点，连接AE 交CD 于点D ．（1）如图1，若110ADC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，则B 的度数为______；（2）如图2，若100ADC ∠=︒，53DCE ∠=︒，27B BAE ∠-∠=︒，则BAE ∠的度数为______；（3）如图3，在BC 的右侧过点C 作CF CD ⊥，交AE 延长线于点F ，且AC CF =，2B F ∠=∠．试判断AB 与CF 的位置关系，并证明你的结论．2、如图，已知△ABC ≌△DEB ，点E 在AB 上，AC 与BD 交于点F ，AB ＝6，BC ＝3，∠C ＝55°，∠D ＝25°．（1）求AE 的长度；（2）求∠AED 的度数．3、人教版初中数学教科书八年级上册第36、37页告诉我们作一个角等于已知角的方法： 已知：∠AOB ．求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．作图：（1）以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点C 、D ；（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D ′；（4）过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案写在相应的横线上）．证明：由作图可知，在△O ′C ′D ′和△OCD 中，________O C OC C D OD ''=⎧''==⎪⎨⎪⎩， ∴△O ′C ′D ′≌ ，∴∠A ′O ′B '＝∠AOB ．（2）这种作一个角等于已知角的方法依据是 ．（填序号）①AAS ；②ASA ；③SSS ；④SAS4、如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是AB上的高和中线，2ABC S =△，AE =，求CD 的长．5、如图，AD ，BC 相交于点O ，AO ＝DO ．（1）如果只添加一个条件，使得△AOB ≌△DOC ，那么你添加的条件是 （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明AB ＝DC ．6、已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD＝α，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE．（1）如图1，点D在线段BC上．①根据题意补全图1；②∠AEF＝（用含有α的代数式表示），∠AMF＝°；③用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，并证明．（2）点D在线段BC的延长线上，且∠CAD＜60°，直接用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，不证明．7、已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C ＝∠DGC．（1）求证：AB//CD；（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．8、在ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC =90°，则∠BCE = 度；（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC 上（线段BC 之外）移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．9、如图，在四边形ABCD 中，点E 在BC 上，连接DE 、AC 相交于点F ，∠BAE ＝∠CAD ，AB ＝AE ，AD ＝AC ．（1）求证：∠DEC ＝∠BAE ；（2）如图2，当∠BAE ＝∠CAD ＝30°，AD ⊥AB 时，延长DE 、AB 交于点G ，请直接写出图中除△ABE 、△ADC 以外的等腰三角形．10、如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AB CD =，AE CF ∥，E F ∠=∠．求证：BE DF =．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据AF =DC 求出AC =DF ，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：∵AF =DC ，∴AF +FC =DC +FC ，即AC =DF ，A 、BC =EF ，AC =DF ，∠A =∠D ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项符合题意；B 、AB =DE ，∠A =∠D ，AC =DF ，符合全等三角形的判定定理SAS ，能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项不符合题意；C ．∠B =∠E ，∠A =∠D ，AC =DF ，符合全等三角形的判定定理AAS ，能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项不符合题意；D ．∠ACB =∠DFE ，AC =DF ，∠A =∠D ，符合全等三角形的判定定理ASA ，能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．2、D【分析】根据三角形内角和定理分别求出三个三角形中未知角的度数，然后依据全等三角形的判定定理，从三个三角形中寻找条件证明全等，即可得出选项．【详解】解：180307080C ∠=︒-︒-︒=︒，180308070F ∠=︒-︒-︒=︒，在ABC ∆与ΔΔΔΔ中，C D B E AB EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC ∆≅ΔΔΔΔ，∴A F ∠=∠，A 、B 、C 三个选项均不能证明，故选：D ．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练运用全等三角形的判定定理是解题关键．3、C【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．4、C【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE ，∠ACB =∠DCE 即∠ACD =∠BCE ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B =∠BEC 和∠BCE 即可．【详解】解：∵ABC DEC ≌△△，∴BC=CE ，∠ACB =∠DCE ，∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ，∵75B ∠=︒，∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°，故选：C ．本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．5、B【分析】利用已知条件证明△ADE ≌△ADC （SAS ），得到∠DEA ＝∠C ，根据外角的性质可求EDB ∠的度数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD ＝∠CAD在△ADE 和△ADC 中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△ADC （SAS ），∴∠DEA ＝∠C 60=︒，∵40B ∠=︒，∠DEA ＝∠B +EDB ∠，∴604020EDB ∠=︒-︒=︒；故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE ≌△ADC ．6、C【分析】根据绝对值及平方的非负性可得x y =，x y z +=，再由三角形内角和定理将两个式子代入求解可得45x =︒，290x =︒，即可确定三角形的形状．解：()20x y x y z -++-=，∴0x y -=且0x y z +-=，∴x y =，x y z +=，∴2z x =，∵180x y z ++=︒，∴2180x x x ++=︒，解得：45x =︒，290x =︒，∴三角形为等腰直角三角形，故选：C ．【点睛】题目主要考查绝对值及平方的非负性，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，理解题意，列出式子求解是解题关键．7、D【分析】根据三角形的内角和，180A B C ∠+∠+∠=︒①，进而根据已知条件，将,A B ∠∠代入①即可求得C ∠【详解】解：∵在△ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A ＝∠B ＝14∠C ， ∴1118044C C C ∠+∠+∠=︒解得120C ∠=︒故选D本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．8、C【分析】根据已知的三角形求第三个内角的度数，由全等三角形的判定定理即可得出答案．【详解】由题可知，第三个内角的度数为180514980︒-︒-︒=︒，A.只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项错误；B.两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误；C.两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项正确；D. 两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误．故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．9、D【分析】根据三角形三边关系定理，判断选择即可．【详解】∵2+11=13，∴A不符合题意；∵5+7=12，∴B不符合题意；∵5+5=10＜11，∴C 不符合题意；∵5+12=17＞13，∴D 符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．10、C【分析】根据题意在AB 上截取BE =BC ，由“SAS ”可证△CBD ≌△EBD ，可得∠CDB =∠BDE ，∠C =∠DEB ，可证∠ADE =∠AED ，可得AD =AE ，进而即可求解．【详解】解：如图，在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△CBD 和△EBD 中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBD ≌△EBD （SAS ），∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，∵∠C＝2∠CDB，∴∠CDE＝∠DEB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、填空题1、角边角或【分析】根据全等三角形的判定定理得出即可．【详解】解答：解：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成角边角或ASA，故答案为：角边角或ASA．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．2、7.5【分析】根据腰长是否为5，分两类情况进行求解即可．【详解】解：当腰长为5时，由周长可知：底边长为10，且1055=+故不满足三边关系，不成立，当腰长不为5时，则底边长为5，由周长可得：腰长为7.5满足三边关系，故腰长为7.5，故答案为：7.5．【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练根据腰长来进行分类讨论，这是解决本题的关键．3、108°108度【分析】先设∠B＝x，由AB＝AC可知，∠C＝x，由AD＝DB可知∠B＝∠DAB＝x，由三角形外角的性质可知∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，根据DC＝CA可知∠ADC＝∠CAD＝2x，再在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解．【详解】设∠B＝x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x，∵AD＝DB，∴∠B＝∠DAB＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，∵DC＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝2x，在△ABC中，x+x+2x+x＝180°，解得：x ＝36°．∴∠BAC ＝108°．故答案为：108°．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练进行逻辑推理 4、1802α- 【分析】由旋转的性质可得∠DAB =α，AD =AB ，ADE ∠=∠B ，进而即可求解．【详解】解：∵将ABC 绕点A 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到ADE ，∴∠DAB =α，AD =AB ，ADE ∠=∠B ，∵∠B =1802α-， ∴ADE ∠=1802α-， 故答案是：1802α-． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．5、80【分析】先求解40,DFC 再求解140,60,80,40,EDF FDC FCD FCG 再利用三角形的外角的性质可得答案.【详解】解： 40BAC ∠=︒，DF AB ∥，40,DFC BACDE AC ∥，180140,EDF DFC:3:4FDC EDC ∠∠=，140,EDC FDC314060,7FDC 180406080,FCD CG 平分ACB ∠， 140,2FCGFCD 404080.DGC FCG DFC故答案为：80【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的运用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键.三、解答题1、（1）40°；（2）10°；（3）AB ∥CF ，理由见解析【分析】（1）根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得∠BAC +∠ACB =140°即可求解；（2）根据三角形的外角性质求得∠B +∠BAE =47°即可求解；（3）延长AC 到G ，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠FCG =2∠F ，再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到∠BCF =2∠F ，则有∠B =∠BCF ，根据平行线在判定即可得出结论．【详解】解：（1）∵∠ADC=110°，∴∠DAC+∠DCA=180°－110°=70°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠ACB，∴∠BAC=2∠DAC，∠ACB=2∠DCA，∴∠BAC+∠ACB=2（∠DAC+∠DCA）=140°，∴∠B=180°－（∠BAC+∠ACB）=180°－140°=40°，故答案为：40°；（2）∵∠ADC=∠DCE+∠DEC=100°，∠DCE=53°，∴∠DEC=100°－53°=47°，∴∠B+∠BAE=∠DEC=47°，∵∠B－∠BAE=27°，∴∠BAE=10°，故答案为：10°；（3）AB∥CF，理由为：如图，延长AC到G，∵AC=CF，∴∠F=∠FAC，∴∠FCG=∠F+∠FAC=2∠F，∵CF⊥CD，∴∠BCF+∠BCD=90°，∠FCG+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD，∴∠BCF =∠FCG =2∠F ，∵∠B =2∠F ，∴∠B =∠BCF ，∴AB ∥CF ．【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．2、（1）3AE =；（2）80AED ∠=︒．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得3BE BC ==，再根据线段的和差即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得55DBE C ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：（1）∵,3ABC DEB BC ≅=，∴3BE BC ==，∵6AB =，∴633AE AB BE =-=-=；（2）∵ABC DEB ≅△△，∴55DBE C ∠=∠=︒，∵25D ∠=︒，∴552580AED DBE D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键． 3、（1）CD ，O ′D ′，△OCD ，（2）③【分析】（1）根据SSS 证明△D ′O ′C ′≌△DOC ，可得结论；（2）根据SSS 证明三角形全等．（1）证明：由作图可知，在△D ′O ′C ′和△DOC 中，O C OC C D CD O D OD ''=⎧⎪''=⎨⎪''=⎩， ∴△O ′C ′D ′≌△OCD （SSS ），∴∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．故答案为：CD ，O ′D ′，△OCD ，（2）解：上述证明过程中利用三角形全等的方法依据是SSS ，故答案为：③【点睛】本题考查三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．4、6cm【分析】先根据中线的定义结合已知条件求得AB ，然后再运用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：∵CE 是AB 边上的中线，∴E 是AB 的中点，∴2AB AE ==， ∵12ABCS CD AB =⋅， ∴2ABC CD AB S ⋅=△，∴2ABC S CD AB =△6(cm)=. 【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义以及三角形的面积公式，掌握三角形中线的定义成为解答本题的关键.5、（1）OB =OC （或A D ∠=∠，或B C ∠=∠）；（2）见解析【分析】（1）根据SAS 添加OB =OC 即可；（2）由（1）得△AOB ≌△DOC ，由全等三角形的性质可得结论．【详解】解：（1）添加的条件是：OB =OC （或A D ∠=∠，或B C ∠=∠）证明：在AOB ∆和DOC ∆中AO BO AOB COD BO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以，△AOB ≌△DOC（2）由（1）知，△AOB ≌△DOC所以，AB ＝DC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键6、（1）①见解析； ②60α︒-，60；③MF ＝MA ＋ME ，证明见解析；（2）MF MA ME =-【分析】（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF ；再由三角形外角定理求出∠AMF ； ③在FE 上截取GF ＝ME ，连接AG ，证明△AFG ≌△AEM 且△AGM 为等边三角形后即可证得MF ＝MA ＋ME ；（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】解：（1）①补全图形如下图：②∵∠CAE =∠DAC =α，∴∠BAE=30°+α∴∠FAE=2×（30°+α）∴∠AEF=()180-2+302α︒⨯︒=60°-α；∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=α+60°-α=60°，故答案是：60°-α，60°；③MF＝MA＋ME．证明：在FE上截取GF＝ME，连接AG．∵点D关于直线AC的对称点为E，∴△ADC≌△AEC．∴∠CAE＝∠CAD＝α．∵∠BAC＝30°，∴∠EAN＝30°＋α．又∵点E关于直线AB的对称点为F，∴AB垂直平分EF．∴AF＝AE，∠FAN＝∠EAN＝30°＋α，∴∠F＝∠AEF＝()180230602αα︒-︒+=︒-．∴∠AMG ＝6060αα︒-+=︒．∵AF ＝AE ，∠F ＝∠AEF ， GF ＝ME ，∴△AFG ≌△AEM ．∴AG ＝AM ．又∵∠AMG ＝60︒，∴△AGM 为等边三角形．∴MA ＝MG ．∴MF ＝MG ＋GF ＝MA ＋ME ．（2）MF MA ME =-，理由如下：如图1所示，∵点E 与点F 关于直线AB 对称，∴∠ANM =90°，NE =NF ，又∵∠NAM =30°，∴AM=2MN ，∴AM =2NE +2EM =MF +ME ，∴MF =AM -ME ；如图2所示，∵点E与点F关于直线AB对称，∴∠ANM=90°，NE=NF，∵∠NAM=30°，∴AM=2NM，∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF，∴MF=MA-ME；综上所述：MF=MA-ME．【点睛】本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．7、（1）见解析；（2）见解析；（3）108°【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；（3）由（2）证得EC //BF ，得∠BFC +∠C =180°，求得∠C 的度数，由三角形内角和定理求得∠D 的度数．【详解】证明：（1）∵∠AEG =∠AGE ，∠C =∠DGC ，∠AGE =∠DGC∴∠AEG =∠C∴AB //CD（2）∵∠AGE =∠DGC ，∠AGE +∠AHF =180°∴∠DGC +∠AHF =180°∴EC //BF∴∠B =∠AEG由（1）得∠AEG =∠C∴∠B =∠C（3）由（2）得EC //BF∴∠BFC +∠C =180°∵∠BFC =4∠C∴∠C =36°∴∠DGC =36°∵∠C +∠DGC +∠D =180°∴∠D =108°【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．8、（1）90；（2）180αβ+=︒，见解析；②180αβ+=︒或αβ=【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，∴90DAE BAC ∠=∠=︒，∵AB =AC ，AD =AE ，∴45B ACB ∠=∠=︒，45ADE AED ∠=∠=︒，∵DAE BAC ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD CAE ≅，∴45ACE B ∠=∠=︒，∴90BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒（2）αβ180+=︒或αβ=．理由：①∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠．即BAD CAE ∠=∠．在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABD ACE △≌△．∴B ACE ∠=∠．∴B ACB ACE ACB ∠+∠=∠+∠． ∴B ACB β∠+∠=．∵180B ACB α+∠+∠=︒， ∴180αβ+=︒．②如图：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠． 即BAD CAE ∠=∠．在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE △≌△．∴ABD ACE ∠=∠．∵+ABD ACB α∠=∠，ACE ACB β=∠-∠，ACE ABD βα∴=∠-∠+，αβ∴=．综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．9、（1）见解析；（2）△AEF 、△ADG 、△DCF 、△ECD【分析】（1）根据已知条件得到∠BAE ＝∠CAD ，根据全等三角形的性质得到∠AED ＝∠ABC ，根据等腰三角形的性质得到∠ABC ＝∠AEB ，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】证明：（1）如图1，∵∠BAE ＝∠CAD ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝∠CAD ＋∠CAE ，即∠BAC ＝∠EAD ，在△AED 与△ABC 中，AB AE BAC EAD AD AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AED ≌△ABC ，∴∠AED ＝∠ABC ，∵∠BAE＋∠ABC＋∠AEB＝180°，∠CED＋∠AED＋∠AEB＝180°，∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB，∴∠BAE＋2∠AEB＝180°，∠CED＋2∠AEB＝180°，∴∠DEC＝∠BAE；（2）解：如图2，①∵∠BAE＝∠CAD＝30°，∴∠ABC＝∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝75°，由（1）得：∠AED＝∠ABC＝75°，∠DEC＝∠BAE＝30°，∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴∠CAE＝30°，∴∠AFE＝180°−30°−75°＝75°，∴∠AEF＝∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，②∵∠BEG＝∠DEC＝30°，∠ABC＝75°，∴∠G＝45°，在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，③∠CDF ＝75°−45°＝30°，∴∠DCF ＝∠DFC ＝75°，∴△DCF 是等腰直角三角形；④∵∠CED ＝∠EDC ＝30°，∴△ECD 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．10、见解析【分析】根据平行线的性质得出A FCD ∠=∠，运用“角角边”证明△AEB ≌△CFD 即可．【详解】证明：∵AE CF ∥，∴A FCD ∠=∠，在△AEB 和△CFD 中，E F A FCD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB ≌△CFD ，∴BE DF =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理进行证明．。
精品试题沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形定向练习试卷(精选含详解)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形定向练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列叙述正确的是（ ）A ．三角形的外角大于它的内角B ．三角形的外角都比锐角大C ．三角形的内角没有小于60°的D ．三角形中可以有三个内角都是锐角2、已知三角形的两边长分别为2cm 和3cm ，则第三边长可能是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．3cmD ．1cm3、有两边相等的三角形的两边长为4cm ，5cm ，则它的周长为（ ）A ．8cmB ．14cmC ．13cmD ．14cm 或13cm4、如图，AB DF ∥，AC CE ⊥于点C ，BC 与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，则CED ∠等于（ ）A ．20°B ．50°C ．70°D ．110°5、如图，等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④6、下列说法错误的是（ ）A ．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B ．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C ．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D ．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形7、BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°8、在△ABC 中，∠A =50°，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，则∠BOC 等于（ ）A ．65°B ．80°C ．115°D ．50°9、如图，将ABC 的BC 边对折，使点B 与点C 重合，DE 为折痕，若65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，则B ∠=（ ）．A ．45°B ．60°C ．35°D ．40°10、如图，等边ABC 中，D 为AC 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点，4BP AQ ==，3QD =，在BD 上有一动点E ，则PE QE +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 中，点D 为BC 边延长线上一点，若∠ACD ＝75°，∠A ＝45°，则∠B 的度数为__________．2、如图，在ABC 中，BD 和CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，EF 过点D ，且EF BC ∥，若3BE =，4CF =，则EF 的长为______．3、如图，点A ，C 在直线l 上，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，过E ，B ，D 分别作EF l ⊥，BG l ⊥，DH l ⊥，若6EF =，3BG =，4DH =，则ABC 的面积是______．4、如图，在正方形网格中，∠BAC ______∠DAE ．（填“＞”、“＝”或“＜”）5、如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC 的直角顶点C ，交斜AB 边于点D ；直尺的另一边缘分别交AB 、AC 于点E 、F ，若30B ∠=︒，50AEF ∠=︒，则DCB ∠=___________度．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AE DF ∥，AE DF =，AB CD =．（1）求证：AEC DFB ≅．（2）若40A ∠=︒，145ECD ∠=︒，求∠F 的度数．2、如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，点D 在BC 上，已知∠B ＝70°，求∠CDE 的大小．3、已知：如图，点D 为BC 的中点，BAD CAD ∠=∠，求证：ABC 是等腰三角形．4、如图，CE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，BD ＝CD ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）求证：AE ＝AF ．5、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45︒的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如下图1，在正方形ABCD 中，以A 为顶点的45EAF ︒∠=，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．易证得EF BE FD =+．大致证明思路：如图2，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABH ，由180HBE ︒∠=可得H 、B 、E 三点共线，45HAE EAF ︒∠=∠=，进而可证明AEH AEF ≌，故EF BE DF =+．任务：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=，以A 为顶点的60EAF ︒∠=，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF =+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．6、如图，在ABC 中，8AB cm =，6BC cm =，5AC cm =，BD 是ABC 的角平分线，点E 在AB 边上，2AE cm =．求AED 的周长．7、阅读下面材料：活动1利用折纸作角平分线①画图：在透明纸片上画出PQR ∠（如图1-①）；②折纸：让PQR ∠的两边QP 与QR 重合，得到折痕QH （如图1-②）；③获得结论：展开纸片，QH 就是PQR ∠的平分线（如图1-③）．活动2利用折纸求角如图2，纸片上的长方形ABCD ，直线EF 与边AB ，CD 分别相交于点E ，F ．将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点A '处，折痕EN 与AD 的交点为N ；将BEF ∠对折，点B 落在直线EF 上的点B '处，折痕EM 与BC 的交点为M ．这时NEM ∠的度数可知，而且图中存在互余或者互补的角．解答问题：（1）求NEM ∠的度数；（2）①图2中，用数字所表示的角，哪些与A EN '∠互为余角？②写出A EN '∠的一个补角．解：（1）利用活动1可知，EN 是AEA '∠的平分线，EM 是BEB '∠的平分线，所以12A EN '∠=∠ ，12B EM '∠=∠ ．由题意可知，AEB ∠是平角．所以12NEM A EN B EM ''∠=∠+∠=（∠ ＋∠ ）＝ °． （2）①图2中，用数字所表示的角，所有与A EN '∠互余的角是： ；②A EN '∠的一个补角是 ．8、探究与发现：如图①，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝45°，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且∠ADE ＝∠AED ，连接DE ．（1）当∠BAD ＝60°时，求∠CDE 的度数；（2）当点D 在BC （点B 、C 除外）边上运动时，试猜想∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图②，若∠B ＝∠C ，但∠C ≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系．9、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，射线AE 交BC 于点P ，∠BAE ＝15°；过点C 作CD ⊥AE 于点D ，连接BE ，过点E 作EF ∥BC 交DC 的延长线于点F ．（1）求∠F 的度数；（2）若∠ABE ＝75°，求证：BE ∥CF ．10、如图，ABC 为等边三角形，D 是BC 中点，60ADE ∠=︒，CE 是ABC 的外角ACF ∠的平分线． 求证：AD DE =．-参考答案-一、单选题1、D【分析】结合直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角的含义与大小逐一分析即可.【详解】解：三角形的外角不一定大于它的内角，锐角三角形的任何一个外角都大于内角，故A不符合题意；三角形的外角可以是锐角，不一定比锐角大，故B不符合题意；三角形的内角可以小于60°，一个三角形的三个角可以为：20,70,90,故C不符合题意；三角形中可以有三个内角都是锐角，这是个锐角三角形，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的的内角与外角的含义与大小，掌握“直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角”是解本题的关键.2、C【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：3-2＜x＜3+2，解得：1＜x＜5，只有C选项在范围内．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．3、D【分析】有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为5cm和4cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：当4为底时，其它两边都为5，4、5、5可以构成三角形，周长为14cm ；当4为腰时，其它两边为4和5，4、4、5可以构成三角形，周长为13cm ．综上所述，该等腰三角形的周长是13cm 或14cm ．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．4、C【分析】由AC CE ⊥与20A ∠=︒，即可求得ABC ∠的度数，又由AB DF ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED ∠的度数．【详解】解：∵AC CE ⊥，∴90C ∠=︒，∵20A ∠=︒，∴70ABC ∠=︒，∵AB DF ∥，∴70CED ABC ∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．5、A【分析】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【详解】解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，故③正确；④如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA 和△CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OPA ≌△CPE （SAS ），∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE +CE ＝AO +AP ，∴AB ＝AO +AP ，故④正确；正确的结论有：①③④，故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．6、B【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质判断各选项即可得出答案．【详解】解：A 、任意一个直角三角形一定能分成两个等腰三角形，本选项正确，不符合题意；B 、任意一个等腰三角形不一定能分成两个等腰三角形，本选项错误，符合题意；C 、任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形，本选项正确，不符合题意；D 、任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形，本选项正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形和直角三角形的知识，解题的关键是能判断等腰三角形及直角三角形，可动手操作进行判断．7、A【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．8、C【分析】根据题意画出图形，求出∠ABC+∠ACB=130°，根据角平分线的定义得到∠CBD=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理和角的代换即可求解．【详解】解：如图，∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠CBD=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，∴∠BOC =180°-∠CBD -∠ECB =180°-（∠CBD +∠ECB ）=180°- 12（∠ABC +∠ACB ）=180°- 12×130°=115°．故选：C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理，并能根据角平分线的定义进行角的代换是解题关键．9、A【分析】由折叠得到∠B =∠BCD ，根据三角形的内角和得∠A +∠B +∠ACB =180°，代入度数计算即可．【详解】解：由折叠得∠B =∠BCD ，∵∠A +∠B +∠ACB =180°，65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，∴65°+2∠B +25°=180°，∴∠B =45°，故选：A ．【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．10、C【分析】作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小，最小值PE PQ PE EQ PQ +=+'='，据此求解即可．【详解】解：如图，ABC ∆是等边三角形，BA BC ∴=，∵D 为AC 中点，∴BD AC ⊥，4AQ =，3QD =，7AD DC AQ QD ∴==+=，作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小．最小值PE QE PE EQ PQ +=+'='，4AQ =，7AD DC ==，3QD DQ ∴='=，4CQ BP ∴'==，10AP AQ ∴='=，60A ∠=︒，APQ ∴∆'是等边三角形，10PQ PA ∴'==，PE QE ∴+的最小值为10．故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．二、填空题1、30°【分析】根据三角形的外角的性质，即可求解．【详解】解：∵ACD A B ∠=∠+∠ ，∴B ACD A ∠=∠-∠ ，∵∠ACD ＝75°，∠A ＝45°，∴30B ∠=︒ ．故答案为：30°【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2、7【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质证明∠EBD =∠EDB ，∠FDC =∠FCD ，得到BE =DE ，CF =DF ，即可求解．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，又∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，∴BE=DE，CF=DF，又∵BE=3，CF=4，∴EF=DE+DF=BE+CF=7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．3、15【分析】根据AAS证明△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵EF⊥FG，BG⊥FG，∴∠EFA=∠AGB=90°，∴∠AEF+∠EAF=90°，又∵AE⊥AB，即∠EAB=90°，∴∠BAG+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠BAG，在△AEC 和△CDB 中，AEF BAG EFA AGB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFA ≌△AGB （AAS ）；同理可证△BGC ≌△CHD （AAS ），∴AG =EF =6，CG =DH =4，∴S △ABC =12AC ⨯BG =12(AG +GC )⨯BG =12(6+4)⨯3=15．故答案为：15．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4、>【分析】找到点F ，连接,AF DF （见解析），根据等腰直角三角形的性质、网格特点即可得45B C A E A D F DA ∠∠>∠=︒=． 【详解】解；如图，找到点F ，连接,AF DF ，则ADF 是等腰直角三角形，45DAF DAE ∴∠=︒>∠，又Rt ABC 是等腰直角三角形，45DAF D BAC AE ∠=︒=∴∠>∠，故答案为：>．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、角的大小比较，正确找出点F 是解题关键．5、20【分析】利用平行线的性质求出∠1，再利用三角形外角的性质求出∠DCB 即可．【详解】解：∵EF ∥CD ，∴150AEF ∠=∠=︒，∵∠1是△DCB 的外角，∴DCB ∠=∠1-∠B =50°-30°=20º，故答案为：20．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．三、解答题1、（1）见解析；（2）105︒【分析】（1）根据平行线的性质可得A D ∠=∠，根据线段的和差关系可得AC DB =，进而根据SAS 即证明AEC DFB ≅；（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E ，进而根据（1）的结论即可求得∠F ．【详解】（1）证明：AE DF ∥∴A D ∠=∠， AB CD =∴AB BC BC CD +=+即AC BD = 又AE DF =，∴AEC DFB ≅（2）解：40A ∠=︒，145ECD ∠=︒，18035ECA ECD ∴∠=︒-∠=︒180105E A ECA ∴∠=︒-∠-∠=︒AEC DFB ≅F E ∴∠=∠105=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2、40︒【分析】先由旋转的性质证明,70,AB AD ADE B 再利用等边对等角证明70,ADB B 从而可得答案.【详解】 解： 把△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，∠B ＝70°，,70,AB AD ADE B70,ADB B18040.CDE ADB ADE 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键.3、证明见解析【分析】过点D 作DM AB ⊥，交AB 于点M ，过点D 做DN AC ⊥，交AC 于点N ，根据角平分线性质，得DM DN =；根据全等三角形的性质，通过证明ADM ADN △≌△，通过证明ADM ADN △≌△，得BM CN =，结合等腰三角形的性质，即可完成证明．【详解】如下图，过点D 作DM AB ⊥，交AB 于点M ，过点D 做DN AC ⊥，交AC 于点N∵BAD CAD ∠=∠∴DM DN =直角ADM △和直角ADN △中DM DN AD AD =⎧⎨=⎩∴ADM ADN △≌△∴AM AN =∵点D 为BC 的中点，∴BD CD =直角BDM 和直角CDN △中DM DN BD CD =⎧⎨=⎩∴BDM CDN ≌∴BM CN =∵AB AM BM =+，AC AN CN =+∴AB AC =，即ABC 是等腰三角形．【点睛】本题考查了角平分线、三角形中线、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形中线，全等三角形的性质，从而完成求解．4、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据CE ⊥AB ，BF ⊥AC 就可以得出∠BED =∠CFD =90°，就可以由AAS 得出结论；（2）由（1）得DE =DF ，就可以得出BF =CE ，由AAS 就可以得出△AFB ≌△AEC 就可以得出结论．【详解】证明：（1）∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BED ≌△CFD （AAS ）；（2）∵△BED ≌△CFD ，∴DE ＝DF ，∴BD +DF ＝CD +DE ，∴BF ＝CE ，在△ABF 和△ACE 中，B C A A BF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△ACE （AAS ），∴AE ＝AF ．【点睛】本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5、成立，证明见解析【分析】根据阅读材料将△ADF 旋转120°再证全等即可求得EF = BE +DF ．【详解】解：成立．证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转120︒，得到ABM ∆，ABM ADF ∴∆∆≌，90ABM D ︒=∠=∠，MAB FAD ∠=∠，AM AF =，MB DF =，180MBE ABM ABE ︒∠=∠+∠=∴，M 、B 、E 三点共线，60MAE MAB BAE FAD BAE BAD EAF ︒∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=．AM AF =，MAE FAE ∠=∠，AE AE =，()MAE FAE SAS ∴∆∆≌，EF ME MB BE DF BE ∴==+=+．【点睛】本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．6、7cm【分析】由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出CBD EBD ≅，进而依据AED 的周长AE AD DE AE AD DC =++=++进行求解即可.【详解】解：∵8AB cm =，6BC cm =，2AE cm =，∴826,BE AB AE cm BE BC =-=-==,∵BD 是ABC 的角平分线，∴CBD EBD ∠=∠,在CBD 和EBD △中，BE BC CBD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴CBD EBD ≅，∴CD DE =，∵5AC AD DC cm =+=，∴AED 的周长257AE AD DE AE AD DC cm =++=++=+=.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.7、（1）AEA '，BEB '，AEA BEB ''，，90；（2）①∠1、∠2；②∠CME 或∠NEB ．【分析】()11118090222BEB AEA BEB '''∠=∠+∠=⨯︒=︒ 【详解】解：（1）∵折叠∴EN 是AEA '∠的平分线，EM 是BEB '∠的平分线，∴∠NEA =∠NEA ′=12AEA '∠，∠BEM =∠B′EM=12BEB '∠， ∵AEB ∠是平角．∴∠NEM =∠NEA ′+∠B′EM==12AEA '∠+()11118090222BEB AEA BEB '''∠=∠+∠=⨯︒=︒， 故答案为：AEA '，BEB '，AEA BEB ''，，90；（2）①∵∠1=∠2，∠A′EN =∠3，∠NEM =90°，∴∠A′EN +∠1=∠NEM =90°，∴A EN '∠互为余角为∠1和∠2，故答案为：∠1、∠2；②∵∠A′EN =∠3，∠3+∠NEB =180°，∴∠A′EN 的补角为∠NEB ．∵∠B =90°，∴∠2+∠EMB =90°，∴∠3=∠EMB ，∵∠CME +∠EMB =180°，∴∠3+∠CME =180°，∴∠A′EN 的补角为∠CME ，∴∠A′EN 的补角为∠CME 或∠NEB ．故答案为∠CME 或∠NEB ．【点睛】本题考查折叠性质，平角，角平分线，余角性质，补角性质，掌握折叠性质，平角，角平分线，余角性质，补角性质是解题关键．8、（1）30°；（2）∠BAD＝2∠CDE，理由见解析；（3）∠BAD＝2∠CDE．【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；（2）设∠BAD＝x，根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；（3）设∠BAD＝x，仿照（2）的解法计算．【详解】解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝105°，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝105°﹣75°＝30°；（2）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝45°+x，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣x，∴∠ADE＝∠AED＝902x︒+，∴∠CDE＝45°+x﹣902x︒+＝12x，∴∠BAD＝2∠CDE；（3）设∠BAD＝x，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，∴∠ADE ＝∠AED ＝∠C +12x ，∴∠CDE ＝∠B +x ﹣（∠C +12x ）＝12x ，∴∠BAD ＝2∠CDE ．【点睛】本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形内角和和外角性质，通过设参数计算，发现角之间的关系9、（1）30F ∠=︒；（2）证明见详解．．【分析】（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，由各角之间的关系及三角形内角和定理可得30PCD ∠=︒，60PDC ∠=︒，最后由平行线的性质即可得出；（2）由题意及各角之间的关系可得30CBE ∠=︒，得出DCB CBE ∠=∠，利用平行线的判定定理即可证明．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，15BAE ∠=︒，AB AC =，∴75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，18015ACD ADC DAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴451530PCD PCA ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴180903060PDC ∠=︒-︒-︒=︒，∵EF BC ∥，∴60DPC PEF ∠=∠=︒，30F DCP ∠=∠=︒，∴30F ∠=︒；（2）∵75ABE ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴754530CBE ∠=︒-︒=︒，由（1）可得30DCP ∠=︒，∴DCB CBE ∠=∠，∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）．【点睛】题目主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．10、证明见解析.【分析】过D 作DG ∥AC 交AB 于G ，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG ＝∠BGD ＝60°，于是得到△BDG 是等边三角形，再证明△AGD ≌△DCE 即可得到结论.【详解】证明：过D 作DG ∥AC 交AB 于G ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°，又∵DG ∥AC ，∴∠BDG ＝∠BGD ＝60°，∴△BDG 是等边三角形，∠AGD ＝180°−∠BGD ＝120°，∴DG ＝BD ，∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴DG ＝CD ，∵EC 是△ABC 外角的平分线，∴∠ACE ＝12（180°−∠ACB ）＝60°，∴∠BCE ＝∠ACB ＋∠ACE ＝120°＝∠AGD ，∵AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，又∵∠BDG ＝60°，∠ADE ＝60°，∴∠ADG ＝∠EDC ＝30°，在△AGD 和△ECD 中，AGD ECD GD CDADG EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AGD ≌△ECD （ASA ）．∴AD ＝DE ．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．。
2022年最新沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题练习试卷(精选)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）''，使点C的1、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到A BC对应点C'恰好落在边AB上，则BA A∠'的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，直线a∥b，若BC在直线b上，则∠1的度数为（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°3、在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝14∠C ，则∠C ＝（ ）A ．70°B ．80°C ．100°D ．120°4、已知三条线段的长分别是4，4，m ，若它们能构成三角形，则整数m 的最大值是（ ）A ．10B ．8C ．7D ．45、如图，AB DF ∥，AC CE ⊥于点C ，BC 与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，则CED ∠等于（）A ．20°B ．50°C ．70°D ．110°6、如图，AD ∥BC ，∠C ＝30°，∠ADB ：∠BDC ＝1：2，∠EAB ＝72°，以下四个说法：①∠CDF ＝30°；②∠ADB ＝50°；③∠ABD ＝22°；④∠CBN ＝108°其中正确说法的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的值可能分别是（ ）A ．1，2，3B ．3，4，7C ．2，3，4D ．4，5，108、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69、如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 是等腰三角形；②DE ＝BD +CE ；③若∠A ＝50°，则∠BFC ＝115°；④DF ＝EF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10、下列所给的各组线段，能组成三角形的是：( )A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，13第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在等边三角形ABC中，2AB=，BD是AC边的高线，延长BC至点E，使CE CD=，则BE 的长为__________．2、如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为______________．3、如图，点E，F分别为线段BC，DB上的动点，BE＝DF．要使AE+AF最小值，若用作图方式确定E，F，则步骤是 _____．4、如图，在正方形网格中，∠BAC ______∠DAE ．（填“＞”、“＝”或“＜”）5、如图，AB ，CD 相交于点O ，AD CB ，请你补充一个条件，使得ADB CBD △≌△，你补充的条件是______．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB 的端点都在格点上．要求以AB 为边画一个等腰ABC ，且使得点C 为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰ABC ．2、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为45︒的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如下图1，在正方形ABCD 中，以A 为顶点的45EAF ︒∠=，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．易证得EF BE FD =+．大致证明思路：如图2，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABH ，由180HBE ︒∠=可得H 、B 、E 三点共线，45HAE EAF ︒∠=∠=，进而可证明AEH AEF ≌，故EF BE DF =+．任务：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=，以A 为顶点的60EAF ︒∠=，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF =+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．3、已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．4、已知：（1）O是∠BAC内部的一点．①如图1，求证：∠BOC＞∠A；②如图2，若OA＝OB＝OC，试探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．（2）如图3，当点O在∠BAC的外部，且OA＝OB＝OC，继续探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．5、在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC 上（线段BC 之外）移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．6、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，射线AE 交BC 于点P ，∠BAE ＝15°；过点C 作CD ⊥AE 于点D ，连接BE ，过点E 作EF ∥BC 交DC 的延长线于点F ．（1）求∠F 的度数；（2）若∠ABE ＝75°，求证：BE ∥CF ．7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 边上的点，并且MN ∥BC ．（1）△AMN 是否是等腰三角形？说明理由；（2）点P 是MN 上的一点，并且BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ．①求证：△BPM 是等腰三角形；②若△ABC 的周长为a ，BC ＝b （a ＞2b ），求△AMN 的周长（用含a ，b 的式子表示）．8、如图，ABC 为等边三角形，D 是BC 中点，60ADE ∠=︒，CE 是ABC 的外角ACF ∠的平分线． 求证：AD DE =．9、已知AM ∥CN ，点B 在直线AM 、CN 之间，AB ⊥BC 于点B ．（1）如图1，请直接写出∠A 和∠C 之间的数量关系： ．（2）如图2，∠A 和∠C 满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE 平分∠MAB ，CH 平分∠NCB ，AE 与CH 交于点G ，则∠AGH 的度数为 ．10、如图，AD ，BC 相交于点O ，AO ＝DO ．（1）如果只添加一个条件，使得△AOB ≌△DOC ，那么你添加的条件是 （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明AB ＝DC ．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据旋转可得40A BA ABC ∠'=∠=︒，A B AB '=，得70BAA ∠'=︒．【详解】解：90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒，90904050CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，40A BA ABC ∴∠'=∠=︒，A B AB '=，1(18040)702BAA BA A ∴∠'=∠'=⨯︒-︒=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．2、C根据三角形内角和定理确定50ABC ∠=︒，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：∵40BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴50ABC ∠=︒，∵a b ∥，∴150ABC ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】题目主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．3、D【分析】根据三角形的内角和，180A B C ∠+∠+∠=︒①，进而根据已知条件，将,A B ∠∠代入①即可求得C ∠【详解】解：∵在△ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A ＝∠B ＝14∠C ， ∴1118044C C C ∠+∠+∠=︒解得120C ∠=︒故选D【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．4、C根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m 的最大值．【详解】解：条线段的长分别是4，4，m ，若它们能构成三角形，则4444m -<<+，即08m <<又m 为整数，则整数m 的最大值是7故选C【点睛】本题考查了求不等式的整数解，三角形三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．5、C【分析】由AC CE ⊥与20A ∠=︒，即可求得ABC ∠的度数，又由AB DF ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED ∠的度数．【详解】解：∵AC CE ⊥，∴90C ∠=︒，∵20A ∠=︒，∴70ABC ∠=︒，∵AB DF ∥，∴70CED ABC ∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．6、D【分析】根据AD∥BC，∠C＝30°，利用内错角相等得出∠FDC=∠C=30°，可判断①正确；根据邻补角性质可求∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，根据∠ADB：∠BDC＝1：2，得出方程3∠ADB=150°，解方程可判断②正确；根据∠EAB＝72°，可求邻补角∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°可判断③正确，利用AD∥BC，同位角相等的∠CBN=∠DAN=108°可判断④正确即可．【详解】解：∵AD∥BC，∠C＝30°，∴∠FDC=∠C=30°，故①正确；∴∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，∵∠ADB：∠BDC＝1：2，∴∠BDC=2∠ADB，∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=∠ADB+2∠ADB=3∠ADB=150°，解得∠ADB=50°，故②正确∵∠EAB＝72°，∴∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，∴∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°，故③正确∵AD∥BC，∴∠CBN=∠DAN=108°，故④正确其中正确说法的个数是4个．故选择D．【点睛】本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键．7、C【分析】三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解．【详解】解：A 、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；B 、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；C 、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；D 、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，满足两条较小边的和大于最大边即可．8、A【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，853CD BC BD∴=-=-=．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．9、C【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答．【详解】解：∵BF是∠AB的角平分线，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；故①正确；同理，EF＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴11,22FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，∴∠FBC+∠FCB＝1（∠ABC+∠ACB）＝65°，2∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，但△ABC不一定是等腰三角形，∴DF不一定等于EF，故④错误．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键．10、D【分析】根据三角形三边关系定理，判断选择即可．【详解】∵2+11=13，∴A不符合题意；∵5+7=12，∴B不符合题意；∵5+5=10＜11，∴C不符合题意；∵5+12=17＞13，∴D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．二、填空题1、3【分析】由等腰三角形三线合一的性质，得到AD=DC=1，由BE=BC+CE不难求解．【详解】解：三角形ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝2，又BD是AC边的高线，∴DC＝1121 22AC=⨯=，CE∴CD=＝1，213BE BC CE∴=+=+=，故答案为：3.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解本题的关键．2、3【分析】根据题意依据等腰三角形的性质，即可得到BD=12BC，进而分析计算即可得出结论．【详解】解：由题可得，AR平分∠BAC，又∵AB=AC，∴AD是三角形ABC的中线，∴BD=12BC=12×6=3.故答案为：3．【点睛】本题主要考查基本作图以及等腰三角形的性质，注意掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．3、①连接AD，作CBM ADB∠=∠；②以点B为圆心、AD长为半径画弧，交BM于点P；③连接AP 交BC于点E；④以点D为圆心、BE长为半径画弧，交DB于点F【分析】按照①连接AD，作CBM ADB∠=∠；②以点B为圆心、AD长为半径画弧，交BM于点P；③连接AP 交BC于点E；④以点D为圆心、BE长为半径画弧，交DB于点F的步骤作图即可得．【详解】解：步骤是①连接AD，作CBM ADB∠=∠；②以点B为圆心、AD长为半径画弧，交BM于点P；③连接AP交BC于点E；④以点D为圆心、BE长为半径画弧，交DB于点F；如图，点,E F即为所求．故答案为：①连接AD，作CBM ADB∠=∠；②以点B为圆心、AD长为半径画弧，交BM于点P；③连接AP交BC于点E；④以点D为圆心、BE长为半径画弧，交DB于点F．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、两点之间线段最短、作线段、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．4、>【分析】AF DF（见解析），根据等腰直角三角形的性质、网格特点即可得找到点F，连接,∠>∠∠=︒=．45B C A EA D F DA【详解】AF DF，解；如图，找到点F，连接,则ADF是等腰直角三角形，∴∠=︒>∠，DAF DAE45又Rt ABC是等腰直角三角形，∴∠>∠，∠=︒=BAC AE45DAF D故答案为：>．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、角的大小比较，正确找出点F 是解题关键．5、AB CD =（答案不唯一）【分析】在ADB △与CBD 中，已经有条件：,,AD CB DB BD 所以补充,AB CD =可以利用SSS 证明两个三角形全等.【详解】解：在ADB △与CBD 中，,,AD CB DB BD所以补充：,AB CD =().ADB CBD SSS △≌△∴故答案为：AB CD =【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.三、解答题1、答案见解析【分析】AB 为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可【详解】解：如图，……[答案不唯一]【点睛】本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．2、成立，证明见解析【分析】根据阅读材料将△ADF 旋转120°再证全等即可求得EF = BE +DF ．【详解】解：成立．证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转120︒，得到ABM ∆，ABM ADF ∴∆∆≌，90ABM D ︒=∠=∠，MAB FAD ∠=∠，AM AF =，MB DF =，180MBE ABM ABE ︒∠=∠+∠=∴，M 、B 、E 三点共线，60MAE MAB BAE FAD BAE BAD EAF ︒∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=．AM AF =，MAE FAE ∠=∠，AE AE =，()MAE FAE SAS ∴∆∆≌，EF ME MB BE DF BE ∴==+=+．【点睛】本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．3、见解析【分析】利用AAS 即可证明△ABO ≌△EDO ．【详解】证明：∵AB ⊥BE ，DE ⊥AD ，∴∠B =∠D =90°．在△ABO 和△EDO 中,,B D AOB EOD OA OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABO ≌△EDO ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．4、（1）①见解析；②∠BOC ＝2∠A ，见解析；（2）∠BOC ＝2∠BAC ，见解析【分析】（1）①连接AO 并延长AO 至点E ，根据三角形外角性质解答即可；②延长AO 至点E ，根据三角形外角性质解答即可；（2）根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】证明：（1）①如图所示：连接AO并延长AO至点E，则∠BOE＞∠BAO，∠COE＞∠CAO，∴∠BOC＞∠A；②∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠A；证明：如图所示，延长AO至点E，则∠BOE＝∠BAO+∠B，∠COE＝∠CAO+∠C，∵OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠B，∠CAO＝∠C，∴∠BOC＝∠COE+∠COE＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC；（2）∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠BAC；证明：如图所示，设∠B＝x，∵OA＝OB＝OC，∴∠B＝∠BAO＝x，∠C＝∠OAC＝∠BAC+x；在△BEO和△AEC中，有：∠B+∠BOC＝∠C+∠CAE；即x +∠BOC ＝∠CAE +x +∠CAE ＝2∠BAC +x ；即∠BOC ＝2∠BAC ．【点睛】此题考查三角形综合题，关键是根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答．5、（1）90；（2）180αβ+=︒，见解析；②180αβ+=︒或αβ=【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，∴90DAE BAC ∠=∠=︒，∵AB =AC ，AD =AE ，∴45B ACB ∠=∠=︒，45ADE AED ∠=∠=︒，∵DAE BAC ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD CAE ≅，∴45ACE B ∠=∠=︒，∴90BCE ACB ACE ∠=∠+∠=︒（2）αβ180+=︒或αβ=．理由：①∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠．即BAD CAE ∠=∠．在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABD ACE △≌△．∴B ACE ∠=∠．∴B ACB ACE ACB ∠+∠=∠+∠．∴B ACB β∠+∠=．∵180B ACB α+∠+∠=︒，∴180αβ+=︒．②如图：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠．即BAD CAE ∠=∠．在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABD ACE △≌△．∴ABD ACE ∠=∠．∵+ABD ACB α∠=∠，ACE ACB β=∠-∠，ACE ABD βα∴=∠-∠+，αβ∴=．综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．6、（1）30F ∠=︒；（2）证明见详解．．【分析】（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，由各角之间的关系及三角形内角和定理可得30PCD ∠=︒，60PDC ∠=︒，最后由平行线的性质即可得出；（2）由题意及各角之间的关系可得30CBE ∠=︒，得出DCB CBE ∠=∠，利用平行线的判定定理即可证明．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，15BAE ∠=︒，AB AC =，∴75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，18015ACD ADC DAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴451530PCD PCA ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴180903060PDC ∠=︒-︒-︒=︒，∵EF BC ∥，∴60DPC PEF ∠=∠=︒，30F DCP ∠=∠=︒，∴30F ∠=︒；（2）∵75ABE ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴754530CBE ∠=︒-︒=︒，由（1）可得30DCP ∠=︒，∴DCB CBE ∠=∠，∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）．【点睛】题目主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．7、（1）△AMN 是是等腰三角形；理由见解析；（2）①证明见解析；②a ﹣b ．【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠ABC =∠ACB ，由平行线的性质得到∠AMN =∠ABC ，∠ANM =∠ACB ，于是得到∠AMN =∠ANM ，根据等角对等边即可证得结论；（2）①由角平分线的定义得到∠PBM =∠PBC ，由平行线的性质得到∠MPB =∠PBC ，于是得到∠PBM=∠MPB，根据等角对等边即可证得结论；②由①知MB=MP，同理可得：NC=NP，故△AMN的周长=AB+AC，再根据已知条件即可求出结果．（1）解：△AMN是是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；（2）①证明：∵BP平分∠ABC，∴∠PBM＝∠PBC，∵MN∥BC，∴∠MPB＝∠PBC∴∠PBM＝∠MPB，∴MB＝MP，∴△BPM是等腰三角形；②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，∵△ABC的周长为a，BC＝b，∴AB+AC+b＝a，∴AB+AC＝a﹣b∴△AMN的周长＝a﹣b．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，列代数式，能够灵活应用这些性质是解决问题的关键．8、证明见解析.【分析】过D作DG∥AC交AB于G，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG＝∠BGD＝60°，于是得到△BDG是等边三角形，再证明△AGD≌△DCE即可得到结论.【详解】证明：过D作DG∥AC交AB于G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，又∵DG∥AC，∴∠BDG＝∠BGD＝60°，∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，∴DG ＝BD ，∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴DG ＝CD ，∵EC 是△ABC 外角的平分线，∴∠ACE ＝12（180°−∠ACB ）＝60°，∴∠BCE ＝∠ACB ＋∠ACE ＝120°＝∠AGD ，∵AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，又∵∠BDG ＝60°，∠ADE ＝60°，∴∠ADG ＝∠EDC ＝30°，在△AGD 和△ECD 中，AGD ECD GD CDADG EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AGD ≌△ECD （ASA ）．∴AD ＝DE ．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9、（1）∠A +∠C ＝90°；（2）∠C ﹣∠A ＝90°，见解析；（3）45°【分析】（1）过点B 作BE ∥AM ，利用平行线的性质即可求得结论；（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】（1）过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C＝∠CBE，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．故答案为：∠A+∠C＝90°；（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE，∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN，∴∠C+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝180°﹣∠C，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A+180°﹣∠C＝90°，∴∠C﹣∠A＝90°；（3）设CH与AB交于点F，如图，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝12∠MAB，∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝12∠BCN，∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝12∠MAB+90°﹣12∠BCN＝90°﹣12（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，由题作出辅助线是解题的关键．10、（1）OB =OC （或A D ∠=∠，或B C ∠=∠）；（2）见解析【分析】（1）根据SAS 添加OB =OC 即可；（2）由（1）得△AOB ≌△DOC ，由全等三角形的性质可得结论．【详解】解：（1）添加的条件是：OB =OC （或A D ∠=∠，或B C ∠=∠）证明：在AOB ∆和DOC ∆中AO BO AOB COD BO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以，△AOB ≌△DOC（2）由（1）知，△AOB ≌△DOC所以，AB ＝DC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键。
2022年最新沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形章节测评试卷
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若三条线段中a＝3，b＝5，c为奇数，那么以a、b、c为边组成的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（）．A．40°B．50°C．60°D．70°∠的度数为()3、三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100∠+∠=°，则3A．80︒B．70︒C．45︒D．304、△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC ＝5，则五边形DECHF的周长为（）A ．8B ．10C ．11D ．125、已知等腰三角形有一个角为50°，则这个等腰三角形的底角度数是（ ）．A ．65°B ．65°或80°C ．50°或80°D ．50°或65°6、已知三角形的两边长分别为4cm 和10cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）A ．15cmB ．6cmC ．7cmD ．5cm7、如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，OA =15米，OB ＝10米，A 、B 间的距离不可能是（ ）A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米8、如图，ABC 和DEF 全等，且A D ∠=∠，AC 对应DE ．若6AC =，5BC =，4AB =，则DF 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．无法确定9、有两边相等的三角形的两边长为4cm ，5cm ，则它的周长为（ ）A ．8cmB ．14cmC ．13cmD ．14cm 或13cm10、如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（ ）A ．两点确定一条直线B ．两点之间，线段最短C ．三角形具有稳定性D ．三角形的任意两边之和大于第三边第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE CD =，则BE 的长为__________．2、在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏．游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形．已知乙同学说出的前两个条件是“4AB =，2BC =”．现仅存下列三个条件：①45A ∠=︒；②45B ∠=︒；③45C ∠=︒．为了甲同学画出形状和大小都确定的ABC ，乙同学可以选择的条件有： ______．（填写序号，写出所有正确答案）3、若一个立体图形从正面看和从左面看都是等腰三角形，从上面看是带有圆心的圆，则这个立体图形是_____．4、如图，1AP 为△ABC 的中线，2AP 为△1APC 的中线，3AP 为△2AP C 的中线，……按此规律，n AP 为△1n AP C -的中线．若△ABC 的面积为8，则△n AP C 的面积为_______________．5、如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，连接BD ，BD 平分ABC ∠，E 是直线AD 上一点，8AB =，2DE =，则AE 的长为________．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、已知：（1）O 是∠BAC 内部的一点．①如图1，求证：∠BOC ＞∠A ；②如图2，若OA ＝OB ＝OC ，试探究∠BOC 与∠BAC 的数量关系，给出证明．（2）如图3，当点O 在∠BAC 的外部，且OA ＝OB ＝OC ，继续探究∠BOC 与∠BAC 的数量关系，给出证明．2、如图，在等腰△ABC 和等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE 且C 、E 、D 三点共线，作AM ⊥CD 于M ．若BD ＝5，DE ＝4，求CM ．3、如图，在ABC 中，CD 是ACB ∠的平分线，点E 在边AC 上，且DE CE =．（Ⅰ）求证：∥DE BC ；（Ⅱ）若50A ∠=︒，60B ∠=︒，求BDC ∠的大小．4、已知：如图，∠ABC ＝∠DCB ，∠1＝∠2．求证AB ＝DC ．5、如图，在四边形ABCD 中，E 是CB 上一点，分别延长AE ，DC 相交于点F ，AB CF =，CEA B F ∠=∠+∠．（1）求证：EAB F ∠=∠；（2）若10BC =，求BE 的长．6、如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D 是ACB △内一点，连接CD ，过点C 作CE CD ⊥且CE CD =，连接AD ，BE ．求证：AD BE =．7、已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE=AC ．求证：AD ∥CE ．8、如图，ABC 和ADE 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是这两个等腰三角形的底边．求证BD CE =．9、如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB =DE ，∠B =∠E ，BF =CE ．求证：AC =DF ．10、如图，已知点E 、C 在线段BF 上，BE CF =，AB DE ∥，ACB F ∠=∠．求证：ΔΔΔΔ≅ΔΔΔΔ．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形的个数．【详解】解：c 的范围是：5﹣3＜c ＜5+3，即2＜c ＜8．∵c 是奇数，∴c ＝3或5或7，有3个值．则对应的三角形有3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．2、B【分析】依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：（180°-80°）÷2=100°÷2=50°；答：底角为50°．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．3、A【分析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个60︒的角即可．【详解】⨯︒=︒，解：3180540⨯︒=︒，360180∴︒-︒-︒=︒，540180180180∴∠+∠+∠=︒，123180∠+∠=︒，12100∴∠=︒，380故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．4、B证明△AFH ≌△CHG （AAS ），得出AF =CH ．由题意可知BE =FH ，则得出五边形DECHF 的周长=AB +BC ，则可得出答案．【详解】解：∵△GFH 为等边三角形，∴FH =GH ，∠FHG =60°，∴∠AHF +∠GHC =120°，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =AC =5，∠ACB =∠A =60°，∵∠AHF =180°-∠FHG -∠GHC =120°-∠GHC ，∠HGC =180°-∠C -∠GHC =120°-∠GHC ，∴∠AHF =∠HGC ，在△AFH 和△CHG 中A C AHF HGC FH GH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFH ≌△CHG （AAS ），∴AF =CH ．∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，∴BE =FH ，∴五边形DECHF 的周长=DE +CE +CH +FH +DF =BD +CE +AF +BE +DF ，=(BD +DF +AF )+(CE +BE )，=AB +BC =10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5、D【分析】50︒可以是底角，也可以是顶角，分情况讨论即可．【详解】当50︒角为底角时，底角就是50︒，当50︒角为等腰三角形的顶角时，底角为(18050)265︒-︒÷=︒，因此这个等腰三角形的底角为50︒或65︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．6、C【分析】根据三角形的三边关系可得104104x -<<+，再解不等式可得答案．【详解】解：设三角形的第三边为xcm ，由题意可得：104104x -<<+，即614x <<，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．7、A【分析】根据三角形的三边关系得出5＜AB＜25，根据AB的范围判断即可．【详解】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：15﹣10＜AB＜15+10，即：5＜AB＜25，∴A、B间的距离在5和25之间，∴A、B间的距离不可能是5米；故选：A．【点睛】本题主要考查对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键．8、A【分析】全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．【详解】∵ABC和DEF全等，A D∠=∠，AC对应DE≅∴ABC DFE∴AB=DF=4故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．9、D【分析】有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为5cm和4cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：当4为底时，其它两边都为5，4、5、5可以构成三角形，周长为14cm；当4为腰时，其它两边为4和5，4、4、5可以构成三角形，周长为13cm．综上所述，该等腰三角形的周长是13cm或14cm．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．10、C【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，故选C ．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．二、填空题1、3【分析】由等腰三角形三线合一的性质，得到AD =DC =1，由BE =BC +CE 不难求解．【详解】 解：三角形ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ＝2， 又 BD 是AC 边的高线，∴DC ＝112122AC =⨯=， CE ∴ CD =＝1，213BE BC CE ∴=+=+=，故答案为：3.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解本题的关键．2、②【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，即可求解．【详解】解：①若选45A ∠=︒，是边边角，不能得到形状和大小都确定的ABC ；②若选45B ∠=︒，是边角边，能得到形状和大小都确定的ABC ；③若选45C ∠=︒，是边边角，不能得到形状和大小都确定的ABC ；所以乙同学可以选择的条件有②．故答案为：②【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边及其夹角对应相等的两个三角形全等是解题的关键．3、圆锥【分析】根据立体图形视图、等腰三角形的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，这个立体图形是圆锥故答案为：圆锥．【点睛】本题考查了等腰三角形、圆锥、立体图形视图的知识；解题的关键是熟练掌握立体图形视图的性质，从而完成求解．4、312n -【分析】根据三角形的中线性质，可得△1APC 的面积=182⨯，△2AP C 的面积=2182⨯，……，进而即可得到答案．【详解】由题意得：△1APC 的面积=182⨯，△2AP C 的面积=2182⨯，……，△n AP C 的面积=182n⨯=312n -． 故答案是：312n -．【点睛】 本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分，是解题的关键． 5、6或10【分析】先利用平行线的性质和等角对等边的性质得到AB=AD ，再根据点E 在D 的左边和右边分别求解即可；【详解】∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴ABD △是等腰三角形，∴AB AD =，当点E 在线段AD 上时，∵8AB =，2DE =，∴826AE AD DE =-=-=，当点E 在线段AD 延长线上时，∵8AB =，2DE =，∴8210AE AD DE =+=+=；故答案是：6或10．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，先证出AB=AD 是解题的关键．三、解答题1、（1）①见解析；②∠BOC ＝2∠A ，见解析；（2）∠BOC ＝2∠BAC ，见解析【分析】（1）①连接AO 并延长AO 至点E ，根据三角形外角性质解答即可；②延长AO 至点E ，根据三角形外角性质解答即可；（2）根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】证明：（1）①如图所示：连接AO 并延长AO 至点E ，则∠BOE ＞∠BAO ，∠COE ＞∠CAO ，∴∠BOC ＞∠A ；②∠BOC 与∠BAC 的数量关系：∠BOC ＝2∠A ；证明：如图所示，延长AO 至点E ，则∠BOE ＝∠BAO +∠B ，∠COE ＝∠CAO +∠C ，∵OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠B，∠CAO＝∠C，∴∠BOC＝∠COE+∠COE＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC；（2）∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠BAC；证明：如图所示，设∠B＝x，∵OA＝OB＝OC，∴∠B＝∠BAO＝x，∠C＝∠OAC＝∠BAC+x；在△BEO和△AEC中，有：∠B+∠BOC＝∠C+∠CAE；即x+∠BOC＝∠CAE+x+∠CAE＝2∠BAC+x；即∠BOC＝2∠BAC．【点睛】此题考查三角形综合题，关键是根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答．2、CM＝7．【分析】根据题意由“SAS”可证△AEC≌△ADB，可得BD=CE，由等腰三角形的性质可得DM=ME=2进行分析计【详解】解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠BAE ＝∠DAE ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△AEC 和△ADB 中，AE AD BAD CAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△ADB （SAS ），又∵BD ＝5，∴CE ＝BD ＝5，∵AD ＝AE ，AM ⊥CD ，DE ＝4， ∴114222ME DE ==⨯=， ∴CM ＝CE +EM ＝5+2＝7．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．3、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）85︒【分析】（Ⅰ）由CD 是ACB ∠的平分线得出DCB DCE ∠=∠，由DE CE =得出CDE DCE ∠=∠从而得出DCB CDE ∠=，由平行线的判断即可得证；（Ⅱ）由三角形内角和求出70ACB ∠=︒，由角平分线得出35BCD ∠=︒，由三角形内角和求出BDC∠【详解】（Ⅰ）∵CD 是ACB ∠的平分线，∴DCB DCE ∠=∠，∵DE CE =，∴CDE DCE ∠=∠，∴DCB CDE ∠=，∴∥DE BC ；（Ⅱ）∵50A ∠=︒，60B ∠=︒，∴180506070ACB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴1352BCD ACB ∠=∠=︒，∴18085BDC B BCD ∠=︒-∠-∠=︒．【点睛】本题考查平行线的判定以及三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键4、见解析【分析】由“ASA ”可证△ABO ≌△DCO ，可得结论．【详解】证明：如图，记,AC BD 的交点为,O∵∠ABC ＝∠DCB ，∠1＝∠2，又∵∠OBC ＝∠ABC −∠1，∠OCB ＝∠DCB −∠2，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴OB ＝OC ，在△ABO 和△DCO 中，12OB OC AOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABO ≌△DCO （ASA ），∴AB ＝DC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 5、（1）见解析（2）5BE =【分析】(1)利用CEA ∠是ABE △的外角,以及CEA B F ∠=∠+∠证明即可．(2)证明ABE △≌FCE △,可知BE CE =,从而得出答案．（1）证明：∵CEA ∠是ABE △的外角，∴CEA B EAB ∠=∠+∠．又∵CEA B F ∠=∠+∠，∴EAB F ∠=∠．（2）解：在ABE △和FCE △中，AB FC EAB F AEB FEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE △≌FCE △．∴BE CE =．∵10BC =，∴5BE =．【点睛】本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．6、证明见解析．【分析】先根据角的和差可得ACD BCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理证出ACD BCE ≅△△，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒，90BCE BCD ∠∴∠+=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD △和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴≅，AD BE ∴=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．7、见解析．【分析】先根据角平分线的定义得到∠BAD =12∠BAC ，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E =12∠BAC ，从而得到∠BAD =∠E ，即可证明AD ∥CE ．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =12∠BAC ，∵AE =AC ，∴∠E =∠ACE ，∵∠E +∠ACE =∠BAC ，∴∠E =12∠BAC ，∴∠BAD =∠E ，【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．8、见解析【分析】由ABC ∆和ADE ∆是顶角相等的等腰三角形，得出BAC DAE ∠=∠知AB AC =、AD AE =、BAD CAE ∠=∠，证ABD ACE ∆≅∆即可得证．【详解】解：ABC ∆和ADE ∆是顶角相等的等腰三角形，得出BAC DAE ∠=∠，AB AC ∴=，AD AE =，BAD CAE ∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩， ()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，BD CE ∴=．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．9、见解析【分析】先由BF =CE 说明BC= EF ．然后运用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，最后运用全等三角形的性质即可证明．【详解】证明：∵BF= CE ，∴BC= EF ．在△ABC 和△DEF 中，,,,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．∴AC =DF ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC ≌△DEF 是解答本题的关键．10、见解析【分析】由平行线的性质可证明B DEF ∠=∠．再由BE CF =，可推出BC EF =．最后即可利用“ASA ”直接证明ABC DEF ≅．【详解】证明：AB DE ∥B DEF ∴∠=∠BE CF =BE EC CF EC ∴+=+，即BC EF =．∴在ABC 和DEF 中，B DEF BC EF ACB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABC DEF ASA ∴≅．【点睛】本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．。
2022年最新精品解析沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测试试卷(含答案解析)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．2，3，6 B．2，4，7 C．3，3，5 D．3，3，72、如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．三角形具有稳定性D．三角形的任意两边之和大于第三边3、一副三角板如图放置，点A在DF的延长线上，∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，若BC//DA，则∠ABF的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°4、如图，90A D ∠=∠=︒，AC ，BD 相交于点O ．添加一个条件，不一定能使ABC ≌DCB 的是（ ）A ．AB DC =B ．OB OC = C ．ABO DCO ∠=∠D ．ABC DCB ∠=∠5、如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，点E 、F 在AD 两侧，BF CE ∥，BF CE =，添加下列条件不能判定ACE DBF ≌的是（ ）A ．AE DF =B ．AB CD =C ．E F ∠=∠D ．AE DF ∥6、有两边相等的三角形的两边长为4cm ，5cm ，则它的周长为（ ）A ．8cmB ．14cmC ．13cmD ．14cm 或13cm7、已知：如图，D 、E 分别在AB 、AC 上，若AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝60°，∠B ＝25°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°8、若三条线段中a ＝3，b ＝5，c 为奇数，那么以a 、b 、c 为边组成的三角形共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、下列各条件中，不能作出唯一的ABC 的是（ ）A ．4AB =，5BC =，10AC =B ．5AB =，4BC =，30A ∠=︒ C ．90A ∠=︒，30B ∠=︒，5BC =D ．60A ∠=︒，50B ∠=︒，5AB =10、已知长方形纸片ABCD ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，连接EF ，将∠BEF 对折，点B 落在直线EF 上的点B ′处，得折痕EM ，将∠AEF 对折，点A 落在直线EF 上的点A ′处，得折痕EN ，则图中与∠B ′ME 互余的角有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB ＝CD ，若要判定△ABD ≌△CDB ，则需要添加的一个条件是 ____________．2、如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 _____．3、如图，PA＝PB，请你添加一个适当的条件：___________，使得△PAD≌△PBC．4、边长为1的小正方形组成如图所示的6×6网格，点A，B，C，D，E，F，G，H都在格点上．其中到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是_________．5、若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，CE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，BD ＝CD ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）求证：AE ＝AF ．2、如图，点D 在AC 上，BC ，DE 交于点F ，BA BD =，BC BE =，ABD CBE ∠=∠．（1）求证：ABC DBE ≌；（2）若20ABD ∠=︒，求∠CDE 的度数．3、如图，在等腰△ABC 和等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE 且C 、E 、D 三点共线，作AM ⊥CD 于M ．若BD ＝5，DE ＝4，求CM ．∠=∠，4、如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知OAB OBA ∠=∠．求证：CBA DAB≌；（1）ABC BAD（2）OC OD=．5、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．6、如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．（1）如图（1），若∠DCE ＝33°，则∠BCD ＝ ，∠ACB ＝ ．（2）如图（1），猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系？并说明理由．（3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A 重合在一起，则∠DAB 与∠CAE 的数量关系为 ．7、如图，ABC 是等边三角形，D 点是BC 上一点，2BD CD =，DE AB ⊥于点E ，CE 交AD 于点P ．求APE ∠的度数．8、如图，ADC AEB ∠=∠，AD AE =，求证：OB OC =．9、如图，AD ，BC 相交于点O ，AO ＝DO ．（1）如果只添加一个条件，使得△AOB ≌△DOC ，那么你添加的条件是 （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明AB ＝DC ．10、已知：如图，AC BD =，AD BC =，求证：ABC BAD ≌-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、因为2356+=< ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；B 、因为2467+=< ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；C 、因为3365+=> ，所以能组成三角形，故本选项符合题意；D 、因为3367+=< ，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．2、C【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，故选C．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．3、A【分析】先求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由BC∥AD，得到∠EFD=∠FBC=60°，则∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°．【详解】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，∵BC∥AD，∴∠EFD=∠FBC=60°，∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，故选A．【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．4、C【分析】直接利用直角三角形全等的判定定理（HL 定理）即可判断选项A ；先根据等腰三角形的性质可得ACB DBC ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可判断选项B ；直接利用三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可判断选项D ，由此即可得出答案．【详解】解：当添加条件是AB DC =时，在Rt ABC 和Rt DCB △中，AB DC BC CB =⎧⎨=⎩， ()Rt ABC Rt DCB HL ∴≅，则选项A 不符题意；当添加条件是OB OC =时，ACB DBC ∴∠=∠，在ABC 和DCB 中，90A D ACB DBC BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DCB A AA BC S ∴≅，则选项B 不符题意；当添加条件是ABC DCB ∠=∠时，在ABC 和DCB 中，90A D ABC DCB BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DCB A AA BC S ∴≅，则选项D 不符题意；当添加条件是ABO DCO ∠=∠时，不一定能使ABC DCB ≅，则选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．5、A【分析】根据题意，可得,BE CE FBD ECA =∠=∠，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．【详解】 解：BF CE ∥∴FBD ECA ∠=∠A. ,BE CE FBD ECA =∠=∠，AE DF =，不能根据SSA 证明三角形全等，故该选项符合题意；B. AB CD =AB BC BC CD ∴+=+AC BD ∴=,BE CE FBD ECA =∠=∠,∴ACE DBF ≌()SAS故能判定ACE DBF ≌，不符合题意；C. ,BE CE FBD ECA =∠=∠,E F ∠=∠，∴ACE DBF ≌()ASA ，故能判定ACE DBF ≌，不符合题意；D.AE DF ∥A D ∴∠=∠,BE CE FBD ECA =∠=∠∴ACE DBF ≌()AAS ，故能判定ACE DBF ≌，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．6、D【分析】有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为5cm 和4cm ，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：当4为底时，其它两边都为5，4、5、5可以构成三角形，周长为14cm ；当4为腰时，其它两边为4和5，4、4、5可以构成三角形，周长为13cm ．综上所述，该等腰三角形的周长是13cm 或14cm ．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7、C【分析】根据SAS 证△ABE ≌△ACD ，推出∠C ＝∠B ，求出∠C 的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC ＝∠A +∠C ，代入求出即可．【详解】解：在△ABE 和△ACD 中，AE AD A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠C ＝∠B ，∵∠B ＝25°，∴∠C ＝25°，∵∠A ＝60°，∴∠BDC ＝∠A +∠C ＝85°，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．8、C【分析】根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形的个数．【详解】解：c 的范围是：5﹣3＜c ＜5+3，即2＜c ＜8．∵c是奇数，∴c＝3或5或7，有3个值．则对应的三角形有3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．9、B【分析】根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：A、AB BC AC+<，不能组成三角形；B、根据SSA不可以确定选项中条件能作出唯一三角形；C、根据AAS可以确定选项中条件能作出唯一三角形；D、根据ASA可以确定选项中条件能作出唯一三角形；故答案为：B．【点睛】本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系，解题关键在于对全等判定条件的理解．10、C【分析】先由翻折的性质得到∠AEN=∠A′EN，∠BEM=∠B′EM，从而可知∠NEM=12×180°=90°，然后根据余角的定义找出∠B′ME的余角即可．【详解】解：由翻折的性质可知：∠AEN=∠A′EN，∠BEM=∠B′EM．∠NEM=∠A′EN+∠B′EM=12∠AEA′+12∠B′EB=12×180°=90°．由翻折的性质可知：∠MB′E=∠B=90°．由直角三角形两锐角互余可知：∠B′ME的一个余角是∠B′EM．∵∠BEM=∠B′EM，∴∠BEM也是∠B′ME的一个余角．∵∠NBF+∠B′EM=90°，∴∠NEF=∠B′ME．∴∠ANE、∠A′NE是∠B′ME的余角．综上所述，∠B′ME的余角有∠ANE、∠A′NE、∠B′EM、∠BEM．故选：C．【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、余角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．二、填空题1、∠1=∠2（或填AD=CB）【分析】根据题意知，在△ABD与△CDB中，AB=CD，BD=DB，所以由三角形判定定理SAS可以推知，只需添加∠1=∠2即可．由三角形判定定理SSS可以推知，只需要添加AD=CB即可.【详解】解：∵在△ABD与△CDB中，AB=CD，BD=DB，∴添加∠1=∠2时，可以根据SAS判定△ABD≌△CDB，添加AD=CB时，可以根据SSS判定△ABD≌△CDB，，故答案为∠1=∠2（或填AD =CB ）.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2、90︒【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理证出ABC ADE ≅，再根据全等三角形的性质可得23∠∠=，由此即可得出答案．【详解】解：如图，在ABC 和ADE 中，AC AE A A AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC ADE SAS ∴≅，23∴∠=∠，121390∴∠+∠=∠+∠=︒，故答案为：90︒．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．3、∠D=∠C 或∠PAD =∠PBC 或∠DBC =∠CAD 或PD =PC 或AC =BD ．【分析】已有∠P是公共角和边PA=PB，根据全等三角全等的条件，利用AAS需要添加∠D=∠C，根据ASA需要添加∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD，根据边角边需要添加 PD=PC 或PC=PD．填入一个即可．【详解】解：∵PA=PB，∠P是公共角，∴根据AAS可以添加∠D=∠C，，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠D=∠C，∴△PAD≌△PBC（AAS）．根据ASA可以添加∠PAD=∠PBC，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC，∴△PAD≌△PBC（ASA）．根据ASA可以添加∠DBC=∠CAD，∴180°-∠DBC=180°-∠CAD，即∠PAD=∠PBC，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC，∴△PAD≌△PBC（ASA）．根据SAS可添加PD=PC在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，PD=PC，∴△PAD≌△PBC（SAS）．根据SAS可添加BD=AC，∵PA =PB ，BD =AC ，∴PA +AC =PB +BD 即PC =PD ，在△PAD 和△PBC 中，∵PA =PB ，∠P 是公共角，PD =PC ，∴△PAD ≌△PBC （SAS ）．故答案为：∠D=∠C 或∠PAD =∠PBC 或∠DBC =∠CAD 或PD =PC 或AC =BD ．【点睛】本题考查三角形全等添加条件，掌握三角形全等判定方法与定理是解题关键．4、E【分析】到四边形ABCD 四个顶点距离之和最小的点是对角线的交点，连接对角线，直接判断即可．【详解】如图所示，连接BD 、AC 、GA 、GB 、GC 、GD ，∵GD GB BD +>，GA GC AC +>，∴到四边形ABCD 四个顶点距离之和最小是AC BD +，该点为对角线的交点，根据图形可知，对角线交点为E ，故答案为：E ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题关键是通过连接辅助线，运用三角形三边关系判断点的位置．5、76【分析】先根据角平分线的定义、三角形的内角和定理求出等腰三角形两底角的度数和，再根据三角形内角和求出顶角的度数即可．【详解】解：∵∠BOC＝128°，∴∠OBC +∠OCB ＝180°﹣∠BOC ＝180°﹣128°＝52°，∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABC +∠ACB ＝2（∠OBC +∠OCB ）＝104°，∴∠A ＝180°﹣（∠ABC +∠ACB ）＝180°﹣104°＝76°．故答案为：76°．【点睛】本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理，牢记角平分线分得的两个角相等，三角形内角和是180︒是解决本题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据CE ⊥AB ，BF ⊥AC 就可以得出∠BED =∠CFD =90°，就可以由AAS 得出结论；（2）由（1）得DE =DF ，就可以得出BF =CE ，由AAS 就可以得出△AFB ≌△AEC 就可以得出结论．【详解】证明：（1）∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BED ≌△CFD （AAS ）；（2）∵△BED ≌△CFD ，∴DE ＝DF ，∴BD +DF ＝CD +DE ，∴BF ＝CE ，在△ABF 和△ACE 中，B C A A BF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△ACE （AAS ），∴AE ＝AF ．【点睛】本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．2、（1）证明见解析；（2）∠CDE =20°．【分析】（1）由“SAS ”可证△ABC ≌△DBE ；（2）由全等三角形的性质可得∠C =∠E ，由三角形的外角性质可求解．（1）证明：∵∠ABD =∠CBE ，∴∠ABD +∠DBC =∠CBE +∠DBC ，即：∠ABC =∠DBE ，在△ABC 和△DBE 中，ABC DBE BC BE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DBE （SAS ）；（2）解：由（1）可知：△ABC ≌△DBE ，∴∠C =∠E ，∵∠DFB =∠C +∠CDE ，∠DFB =∠E +∠CBE ，∴∠CDE =∠CBE ，∵∠ABD =∠CBE =20°，∴∠CDE =20°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键．3、CM ＝7．【分析】根据题意由“SAS ”可证△AEC ≌△ADB ，可得BD =CE ，由等腰三角形的性质可得DM =ME =2进行分析计算即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠BAE ＝∠DAE ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△AEC 和△ADB 中，BAD CAE AC AB ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEC ≌△ADB （SAS ），又∵BD ＝5，∴CE ＝BD ＝5，∵AD ＝AE ，AM ⊥CD ，DE ＝4， ∴114222ME DE ==⨯=， ∴CM ＝CE +EM ＝5+2＝7．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．4、（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理可直接证明；（2）根据（1）中结论可得AC BD =，再由等角对等边得出OA OB =，运用等式的性质进行计算即可证明．（1）解：在ABC 与BAD 中，CAB DBA AB BACBA DAB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，（2）≅，由（1）可得：ABC BAD=，∴AC BD∠=∠，∵OAB OBA=，∴OA OB-=-，∴AC OA BD OB=．即OC OD【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．5、见解析【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．【详解】证明：如图，过A作AF⊥BC于F，∴BF=CF，DF=EF，∴BF-DF=CF-EF，∴BD=CE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．6、（1）57°，147°；（2）∠ACB＝180°－∠DCE，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE＝120°【分析】（1）根据角的和差定义计算即可．（2）利用角的和差定义计算即可．（3）利用特殊三角板的性质，角的和差定义即可解决问题．【详解】解：（1）由题意，903357∠=︒-︒=︒；BCD∠=︒+︒=︒；9057147ACB故答案为：57°，147°．（2）∠ACB＝180°－∠DCE，理由如下：∵ ∠ACE＝90°－∠DCE，∠BCD＝90°－∠DCE，∴ ∠ACB＝∠ACE＋∠DCE＋∠BCD＝90°－∠DCE＋∠DCE＋90°－∠DCE＝180°－∠DCE．（3）结论：∠DAB +∠CAE =120°．理由如下：∵∠DAB +∠CAE =∠DAE +∠CAE +∠BAC +∠CAE =∠DAC +∠EAB ，又∵∠DAC =∠EAB =60°，∴∠DAB +∠CAE =60°+60°=120°．故答案为：∠DAB +∠CAE =120°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7、60APE ∠=︒【分析】由题意易得60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，则有30BDE ∠=︒，然后可得BE CD =，进而可证BEC CDA ≌，则有BCE =∠∠CAD ，最后问题可求解．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，∵DE AB ⊥，∴90DEB ∠=︒，∴30BDE ∠=︒，∴2BD BE =，∵2BD CD =，∴BE CD =，∴BEC CDA ≌（SAS ），∴BCE =∠∠CAD ，∵,60APE PAC ACP ACB DAC ACP ∠=∠+∠∠=∠+∠=︒，∴60APE ACB ∠=∠=︒．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．8、证明过程见解析【分析】先证明AEB ADC ≅，得到DB EC =，B C ∠=∠，再证明DOB EOC ≅△△，即可得解；【详解】由题可得，在AEB △和ADC 中，A A AE AD AEB ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AEB ADC ≅，∴AB AC =，B C ∠=∠，又∵AD AE =，∴DB EC =，在DOB 和EOC △中，B C DOB EOC DB EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DOB EOC ≅△△，∴OB OC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．9、（1）OB =OC （或A D ∠=∠，或B C ∠=∠）；（2）见解析【分析】（1）根据SAS 添加OB =OC 即可；（2）由（1）得△AOB ≌△DOC ，由全等三角形的性质可得结论．【详解】解：（1）添加的条件是：OB =OC （或A D ∠=∠，或B C ∠=∠）证明：在AOB ∆和DOC ∆中AO BO AOB COD BO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以，△AOB ≌△DOC（2）由（1）知，△AOB ≌△DOC所以，AB ＝DC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键10、证明见解析【分析】由AC BD =，AD BC =，结合公共边,AB BA 从而可得结论.【详解】证明：在ABC 与BAD 中，AC BDAD BCAB BAABC BAD≌【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明三角形全等”是解本题的关键.。
2021-2022学年度沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步训练练习题(精选)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，过点D 作直线平行于BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，当A ∠大小变化时，线段EF 和BE CF +的大小关系是( )A ．EF BE CF >+B ．EF BE CF <+C ．EF BE CF =+D ．不能确定2、一副三角板如图放置，点A 在DF 的延长线上，∠D ＝∠BAC ＝90°，∠E ＝30°，∠C ＝45°，若BC //DA ，则∠ABF 的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°3、如图，AC ＝BC ，∠C ＝α，DE ⊥AC 于E ，FD ⊥AB 于D ，则∠EDF 等于（ ）．A ．αB ．90°－12αC ．90°－αD ．180°－2α4、如图，将ABC 的BC 边对折，使点B 与点C 重合，DE 为折痕，若65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，则B ∠=（ ）．A ．45°B ．60°C ．35°D ．40°5、如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，OA =15米，OB ＝10米，A 、B 间的距离不可能是（ ）A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米6、BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°7、如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．ASAD ．SSS8、如图，已知ACD ∠为ABC 的外角，60ACD ∠=︒，20B ∠=︒，那么A ∠的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9、若三条线段中a ＝3，b ＝5，c 为奇数，那么以a 、b 、c 为边组成的三角形共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10、已知三角形的两边长分别为4cm 和10cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）A ．15cmB ．6cmC ．7cmD ．5cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）△≌ECB．1、如图，点C是线段AB的中点，DA EC∥．请你只添加一个条件，使得DAC（1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）△与ECB全等的理由是______．（2）依据所添条件，判定DAC2、如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿DF折叠，点A落在BC边上的点E处，且DE⊥BC于E，若∠A＝56°，则∠AFD的度数为________．3、如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为_____．4、如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转某个角度α得到A B C ''，∠A ＝30°，∠1＝70°，则旋转角α的度数为_____．5、如图，已知△ABC 是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么GA =______．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，在ABC 中，CD 是ACB ∠的平分线，点E 在边AC 上，且DE CE =．（Ⅰ）求证：∥DE BC ；（Ⅱ）若50A ∠=︒，60B ∠=︒，求BDC ∠的大小．2、如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到'AP ，连接PP BP ''， ．（1）用等式表示BP ' 与CP 的数量关系，并证明；（2）当∠BPC ＝120°时，①直接写出P BP '∠ 的度数为 ；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．3、如图，ABC 为等边三角形，D 是BC 中点，60ADE ∠=︒，CE 是ABC 的外角ACF ∠的平分线． 求证：AD DE =．4、如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，CE AD ⊥于点E ．求证：ACE B ECD ∠=∠+∠．5、探究与发现：如图①，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝45°，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且∠ADE ＝∠AED ，连接DE ．（1）当∠BAD ＝60°时，求∠CDE 的度数；（2）当点D 在BC （点B 、C 除外）边上运动时，试猜想∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图②，若∠B ＝∠C ，但∠C ≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系．6、如图，ABC 是等边三角形，∥DE BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）求证：ADE 是等边三角形；（2）点F 在线段DE 上，点G 在ABC 外，BF CG =，ABF ACG ∠=∠，求证：AF FG =．7、如图，等边△ABC 中，点D 在BC 上，CE =CD ，∠BCE =60°，连接AD 、BE ．（2）如图2，延长AD 交BE 于点F ，连接DE 、CF ，在不添加任何辅助线和其它字母的情况下，请直接写出等于120°的角．8、在四边形ABCD 中，AB BC ∥，点E 在直线AB 上，且DE CE =．（1）如图1，若90DEC A ∠=∠=︒，3BC =，2AD =，求AB 的长；（2）如图2，若DE 交BC 于点F ，DFC AEC ∠=∠，求证：BC AB AD =+．9、直线l 经过点A ，ABC 在直线l 上方，AB AC =．（1）如图1，90BAC ∠=︒，过点B ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为D 、E ．求证：ABD CAE ≌（2）如图2，D ，A ，E 三点在直线l 上，若BAC BDA AEC α∠=∠=∠=（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE 、BD 、CE 有何数量关系？并给出证明．（3）如图3，90BAC ∠=︒过点B 作直线l 上的垂线，垂足为F ，点D 是BF 延长线上的一个动点，连结AD ，作90DAE ∠=︒，使得AE AD =，连结DE ，CE ．直线l 与CE 交于点G ．求证：G 是CE 的中点．10、已知：直线AB 、CR 被直线UV 所截，直线UV 交直线AB 于点B ，交直线CR 于点D ，∠ABU +∠CDV ＝180°．（2）如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点N在直线AB上，分别连接EN、ED，MG∥EN，连接ME，∠GME＝∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠DEN，MH⊥UV于点H，若∠EDC＝17∠CDB，求∠GMH的度数．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得EBD EDB∠=∠，则ED BE=，同理可得DF FC=，则EF BE CF=+，可得答案．【详解】解：//EF BC，EDB DBC∴∠=∠，BD平分ABC∠，EBD DBC∴∠=∠，EDB EBD∴∠=∠，∴=，ED BE=，同理DF FC∴+=+，ED DF BE FC=+．即EF BE CF故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键．2、A【分析】先求出∠EFD=60°，∠ABC=45°，由BC∥AD，得到∠EFD=∠FBC=60°，则∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°．【详解】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∠E＝30°，∠C＝45°，∴∠EFD=60°，∠ABC=45°，∵BC∥AD，∴∠EFD=∠FBC=60°，∴∠ABF=∠FBC-∠ABC=15°，故选A．【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．3、B【分析】AC ＝BC ，∠C ＝α，DE ⊥AC 于E ，FD ⊥AB 于D ，有1802B A α︒-∠=∠=，90ADE A ∠=︒-∠，90EDF ADE ∠=︒-∠，即可求得角度． 【详解】 解：由题意知：1802B A α︒-∠=∠=，90ADF ∠=︒ 180909022ADE A αα︒-∠=︒-∠=︒-= 90902EDF ADE α∠=︒-∠=︒-故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，几何图形中角度的计算．解题的关键在于确定各角度之间的数量关系．4、A【分析】由折叠得到∠B =∠BCD ，根据三角形的内角和得∠A +∠B +∠ACB =180°，代入度数计算即可．解：由折叠得∠B =∠BCD ，∵∠A +∠B +∠ACB =180°，65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，∴65°+2∠B +25°=180°，∴∠B =45°，故选：A ．【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．5、A【分析】根据三角形的三边关系得出5＜AB ＜25，根据AB 的范围判断即可．【详解】解：连接AB ，根据三角形的三边关系定理得：15﹣10＜AB ＜15+10，即：5＜AB ＜25，∴A 、B 间的距离在5和25之间，∴A 、B 间的距离不可能是5米；【点睛】本题主要考查对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键．6、A【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．7、C【分析】根据题意，可知仍可辨认的有1条边和2个角，且边为两角的夹边，即可根据ASA来画一个完全一样的三角形【详解】根据题意可得，已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，即ASA故选C【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键．8、B【分析】根据三角形的外角性质解答即可．【详解】解：∵∠ACD＝60°，∠B＝20°，∴∠A＝∠ACD−∠B＝60°−20°＝40°，故选：B．【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．9、C【分析】根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形的个数．【详解】解：c的范围是：5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．∵c是奇数，∴c＝3或5或7，有3个值．则对应的三角形有3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．10、C【分析】根据三角形的三边关系可得104104x -<<+，再解不等式可得答案．【详解】解：设三角形的第三边为xcm ，由题意可得：104104x -<<+，即614x <<，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．二、填空题1、AD =CE （或∠D =∠E 或∠ACD =∠B ）（答案不唯一） SAS【分析】（1）由已知条件可得两个三角形有一组对应边相等，一组对应角相等，根据三角形全等的判定方法添加条件即可；（2）根据添加的条件，写出判断的理由即可．【详解】解：（1）添加的条件是：AD =CE （或∠D =∠E 或∠ACD =∠B ）故答案为：AD =CE （或∠D =∠E 或∠ACD =∠B ）（2）若添加：AD =CE∵点C 是线段AB 的中点，∴AC =BC∵DA EC ∥∴A BCE ∠=∠∴DAC △≌ECB (SAS )故答案为：SAS【点睛】本题主要考查了添加条件判断三角形全等，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键． 2、48°48度【分析】先求出∠ABC 和∠ACB 的度数，再利用直角三角形的性质得出∠BDE 的度数，根据由翻折的性质可得：ADF EDF ∠=∠，最后利用三角形的内角和定理得出结论．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝56° ∴18056622ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒， ∵DE ⊥BC ，∴90906228BDE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，由折叠的性质可得：ADF EDF ∠=∠，∵180BDE ADF EDF ∠+∠+∠=︒， ∴18028762ADF EDF ︒-︒∠=∠==︒， ∴∠AFD =180°-∠A -∠ADF =180°-56°-76°=48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握这些性质．3、59°【分析】先利用三角形内角和定理求出∠CAB +∠CBA =180°-∠C =118°，从而利用三角形外角的性质求出∠DAB +∠EBA =2∠C +∠CAB +∠CBA =242°，再由角平分线的定义求出11==12122GAB GBA DAB EBA ++︒∠∠∠∠，由此求解即可． 【详解】解：∵∠C =62°，∴∠CAB +∠CBA =180°-∠C =118°，∵∠DAB =∠C +∠CBA ，∠EBA =∠C +∠CAB ，∴∠DAB +∠EBA =2∠C +∠CAB +∠CBA =242°，∵△ABC 两个外角的角平分线相交于G ， ∴1=2GAB DAB ∠∠，12GBA EBA ∠=∠， ∴11==12122GAB GBA DAB EBA ++︒∠∠∠∠， ∴∠G =180°-∠GAB -∠GBA =59°，故答案为：59°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．4、40︒##【分析】由旋转的性质可得30,A A 再利用三角形的外角的性质求解140,A CA A 从而可得答案.【详解】 解： 把△ABC 绕点C 顺时针旋转某个角度α得到A B C ''，∠A ＝30°，30,A A ∠1＝70°，140,A CA A40.故答案为：40︒【点睛】本题考查的是旋转的性质，三角形的外角的性质，利用性质的性质求解30A A '∠=∠=︒是解本题的关键.5【分析】延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，根据勾股定理求出AD ，根据重心的概念计算即可．【详解】解：延长AG 交BC 于D ，∵G 是三角形的重心，∴AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，由勾股定理得，AD =，∴GA =23AD【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．三、解答题1、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）85︒【分析】（Ⅰ）由CD 是ACB ∠的平分线得出DCB DCE ∠=∠，由DE CE =得出CDE DCE ∠=∠从而得出DCB CDE ∠=，由平行线的判断即可得证；（Ⅱ）由三角形内角和求出70ACB ∠=︒，由角平分线得出35BCD ∠=︒，由三角形内角和求出BDC ∠即可得出答案．【详解】（Ⅰ）∵CD 是ACB ∠的平分线，∴DCB DCE ∠=∠，∵DE CE =，∴CDE DCE ∠=∠，∴DCB CDE ∠=，∴∥DE BC ；（Ⅱ）∵50A ∠=︒，60B ∠=︒，∴180506070ACB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴1352BCD ACB ∠=∠=︒，∴18085BDC B BCD ∠=︒-∠-∠=︒．【点睛】本题考查平行线的判定以及三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键2、（1）BP CP '=，理由见解析；（2）①60°；②PM ＝12AP ，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，再由由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，从而得到BAP CAP '∠=∠，可证得ABP ACP '≌，即可求解 ； （2）①由∠BPC ＝120°，可得∠PBC ＋∠PCB ＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC ＝60°，从而得到∠ABC ＋∠ACB ＝120°，进而得到∠ABP ＋∠ACP ＝60°．再由ABP ACP '≌，可得ABP ACP '∠=∠ ，即可求解；②延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．可先证得△PCM ≌△NBM ．从而得到CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．进而得到BN BP '= ．根据①可得60P BP '∠︒＝，可证得PNB PP B '≌，从而得到PN PP '= ．再由PAP ' 为等边三角形，可得P P AP '= ．从而得到PN AP = ，即可求解．【详解】解：（1）BP CP '= ．理由如下：在等边三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴PAP BAP BAC BAP '∠-∠=∠-∠即BAP CAP '∠=∠在ABP '△和△ACP 中AB AC BAP CAP AP AP =⎧⎪∠=''=∠⎨⎪⎩∴ABP ACP SAS '≌（） ．∴BP CP '= ．（2）①∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．∵在等边三角形ABC 中，∠BAC ＝60°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．∵ABP ACP '≌ ．∴ABP ACP '∠=∠ ，∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝ ；②PM ＝12AP ．理由如下：如图，延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．∵M 为BC 的中点，∴BM ＝CM ．在△PCM 和△NBM 中PM NM PMC NMB CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCM ≌△NBM （SAS ）．∴CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．∴BN BP '= ．∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．∴∠PBC ＋∠NBM ＝60°．即∠NBP ＝60°．∵∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝ ．∴P BP NBP '∠∠＝ ．在△PNB 和P B P ' 中BN BP NBP P BP BP BP ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PNB PP B '≌ （SAS ）．∴PN PP '= ．∵60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴PAP ' 为等边三角形，∴P P AP '= ．∴PN AP = ，∴PM ＝12AP ．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．3、证明见解析.【分析】过D 作DG ∥AC 交AB 于G ，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG ＝∠BGD ＝60°，于是得到△BDG 是等边三角形，再证明△AGD ≌△DCE 即可得到结论.【详解】证明：过D 作DG ∥AC 交AB 于G ，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，又∵DG∥AC，∴∠BDG＝∠BGD＝60°，∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，∴DG＝BD，∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∴DG＝CD，∵EC是△ABC外角的平分线，∴∠ACE＝12（180°−∠ACB）＝60°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，∴∠ADG＝∠EDC＝30°，在△AGD和△ECD中，GD CDADG EDC ⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AGD ≌△ECD （ASA ）．∴AD ＝DE ．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4、证明见解析.【分析】延长CE 交AB 于F ，求出∠AEC ＝∠AEF ，∠FAE ＝∠CAE ，根据ASA 证△FAE ≌△CAE ，推出∠ACE ＝∠AFC ，根据三角形外角性质得出∠AFC ＝∠B ＋∠ECD ，代入即可．【详解】证明：延长CE 交AB 于F ，∵CE ⊥AD ，∴∠AEC ＝∠AEF ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE ＝∠CAE ，在△FAE 和△CAE 中，∵AE AE AEF AEC ⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FAE ≌△CAE （ASA ），∴∠ACE ＝∠AFC ，∵∠AFC ＝∠B ＋∠ECD ，∴∠ACE ＝∠B ＋∠ECD ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作辅助线后求出∠AFC ＝∠ACE ．5、（1）30°；（2）∠BAD ＝2∠CDE ，理由见解析；（3）∠BAD ＝2∠CDE ．【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠ADC ，结合图形计算即可；（2）设∠BAD ＝x ，根据三角形的外角的性质求出∠ADC ，结合图形计算即可；（3）设∠BAD ＝x ，仿照（2）的解法计算．【详解】解：（1）∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC ＝∠BAD +∠B ＝105°，∠DAE ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝30°，∴∠ADE ＝∠AED ＝75°，∴∠CDE ＝105°﹣75°＝30°；（2）∠BAD ＝2∠CDE ，理由如下：设∠BAD ＝x ，∴∠ADC ＝∠BAD +∠B ＝45°+x ，∠DAE ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝90°﹣x ，∴∠ADE ＝∠AED ＝902x ︒+， ∴∠CDE ＝45°+x ﹣902x ︒+＝12x ， ∴∠BAD ＝2∠CDE ；（3）设∠BAD ＝x ，∴∠ADC ＝∠BAD +∠B ＝∠B +x ，∠DAE ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝180°﹣2∠C ﹣x ，∴∠ADE ＝∠AED ＝∠C +12x ，∴∠CDE ＝∠B +x ﹣（∠C +12x ）＝12x ，∴∠BAD ＝2∠CDE ．【点睛】本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形内角和和外角性质，通过设参数计算，发现角之间的关系6、（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，然后根据平行线的性质可得60ADE AED ∠=∠=︒，进而问题可求证；（2）连接AG ，由题意易得AB =AC ，然后可知△ABF ≌△ACG ，则有AF =AG ，进而可得∠FAG =60°，最后问题可求证．【详解】证明：（1）∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，∵DE ∥BC ，∴60,60ADE ABC AED ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴60ADE AED ∠=∠=︒，∴ADE 是等边三角形；（2）连接AG ，如图所示：∵ABC 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB =AC ，∵BF CG =，ABF ACG ∠=∠，∴△ABF ≌△ACG （SAS ），∴,AF AG BAF CAG =∠=∠，∵60BAF FAC BAC ∠+∠=∠=︒，∴60CAG FAC FAG ∠+∠=∠=︒，∴AFG 是等边三角形，∴AF FG =．【点睛】本题主要考查全等三角形及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形及等边三角形的性质与判定是解题的关键．7、（1）见解析；（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．【分析】（1）利用SAS证明△ADC≌△BEC，即可证明AD=BE；（2）证明△CDE为等边三角形，可求得∠BDE=120°；利用全等三角形的性质可求得∠BFD=∠BCA=60°，推出∠DFE=120°；同理可推出∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°．【详解】（1）证明：等边△ABC中，CA=CB，∠ACB=60°，∵CE=CD，∠BCE=60°，∴△ADC≌△BEC(SAS)，∴AD=BE；（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．∵CE=CD，∠BCE=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDE=60°，∴∠BDE=120°；∵△ADC≌△BEC，∴∠DAC=∠EBC，又∠BDF=∠ADC，∴∠BFD=∠BCA=60°，∴∠DFE=120°；同理可求得∠AFC=∠ABC=60°，∴∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°；综上，等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．8、（1）5；（2）证明见解析【分析】（1）推出∠ADE＝∠BEC，根据AAS证△AED≌△CEB，推出AE＝BC，BE＝AD，代入求出即可；（2）推出∠A＝∠EBC，∠AED＝∠BCE，根据AAS证△AED≌△BCE，推出AD＝BE，AE＝BC，即可得出结论．【详解】（1）解：∵∠DEC＝∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∥，∠A＝90°，∵AD BC∴∠B+∠A＝180°，∴∠B＝∠A＝90°，在△AED和△CEB中A BADE BEC，DE EC∴△AED≌△BCE（AAS），∴AE＝BC＝3，BE＝AD＝2，∴AB＝AE+BE＝2+3＝5．∥，（2）证明：∵AD BC∴∠A＝∠EBC，∵∠DFC＝∠AEC，∠DFC＝∠BCE+∠DEC，∠AEC＝∠AED+∠DEC，∴∠AED＝∠BCE，在△AED和△BCE中AED BCEA EBC，DE EC∴△AED≌△BCE（AAS），∴AD＝BE，AE＝BC，∵BC＝AE＝AB+BE＝AB+AD，即AB+AD＝BC．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的运用，掌握“利用AAS证明两个三角形全等”是解本题的关键．=+，见解析；（3）见解析9、（1）见解析；（2）猜想：DE BD CE【分析】（1）先证明BDA AEC ∠=∠和ABD CAE ∠=∠，再根据AAS 证明ABD CAE ≌即可；（2）根据AAS 证明ABD CAE ≌得BD AE =，DA EC =，进一步可得出结论；（3）分别过点C 、E 作CM l ⊥，EN l ⊥，同（1）可证ABF CAM ≌，ADF EAN ≌，得出CM =EN ，证明CMG ENG ≌得CG EG =，从而可得结论．【详解】解：（1）证明：∵BD l ⊥，CE l ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=︒，∴90ABD DAB ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒，∴90CAE DAB ∠+∠=︒∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 与CAE 中BDA AEC ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABD CAE AAS ≌（2）猜想：DE BD CE =+，∵BDA BAC α∠=∠=∴180180ABD DAB BDA α∠+∠=︒-∠=︒-，180180CAE DAB BAC α∠+∠=︒-∠=︒-∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 与CAE 中BDA AEC ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABD CAE AAS ≌，∴BD AE =，DA EC =，∴DE AE DA BD CE =+=+（3）分别过点C 、E 作CM l ⊥，EN l ⊥，同（1）可证ABF CAM ≌，ADF EAN ≌，∴AF CM =，AF EN =∴CM EN =，∵CM l ⊥，EN l ⊥，∴90CMG ENG ∠=∠=︒在CMG 与ENG 中CMG ENG CGM EGN CM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMG ENG AAS ≌，∴CG EG =，∴G 为CE 的中点．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、角的互余关系，证得△ABD ≌△CAE 是解决问题的关键．10、（1）见详解；（2）∠MEB ＝40°，（3）∠GMH =80°【分析】（1）根据等角的补角性质得出∠ABD =∠CDV ，根据同位角相等两直线平行可得AB ∥CD ；（2）根据AB ∥CD ；利用内错角相等得出∠ABD =∠RDB ，根据BE ∥DF ，得出∠EBD =∠FDB ，利用等量减等量差相等得出∠ABE =∠FDR ，根据∠FDR ＝35°，可得∠ABE =∠FDR =35°即可；（3）设ME 交AB 于S ，根据MG ∥EN ，得出∠NES =∠GMS =∠GES ，设∠NES =y °,可得∠NEG =∠NES +∠GES=2∠NES =2y °，根据∠EBD ＝2∠NEG ，得出∠EBD =4∠NES =4y °,根据∠EDC ＝17∠CDB ，设∠EDC =x °，得出∠CDB =7x °，根据AB ∥CD ，得出∠GBE +∠EBD +∠CDB =180°，可得35+4y +7x =180根据三角形内角和∠BDE =∠BDC -∠EDC =7x -x =6x ，∠BED =180°-∠EBD -∠EDB =180°-4y °-6x °，利用EB 平分∠DEN ，得出y °+40°=180°-4y °-6x °，解方程组7414565140x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1510x y =⎧⎨=⎩，可证ME ∥UV ，根据MH ⊥UV ，可求∠SMH =90°，∠SMG =∠NES =10°即可． 【详解】（1）证明：∵∠ABU +∠ABD =180°，∠ABU +∠CDV ＝180°．∴∠ABU=180°-∠ABD，∠CDV＝180°-∠ABU，∴∠ABD=∠CDV，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD；∴∠ABD=∠RDB，∴∠ABE+∠EBD=∠FDB+∠FDR，∵BE∥DF，∴∠EBD=∠FDB，∴∠ABE=∠FDR，∵∠FDR＝35°，∴∠ABE=∠FDR=35°，∴∠MEB＝∠ABE+5°=35°+5°=40°，（3）解：设ME交AB于S，∵MG∥EN，∴∠NES=∠GMS=∠GES，设∠NES=y°,∵∠EBD＝2∠NEG∴∠NEG=∠NES+∠GES=2∠NES=2y°，∴∠EBD=4∠NES=4y°,∵∠EDC＝17∠CDB，设∠EDC=x°∴∠CDB=7x°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，即∠GBE+∠EBD+∠CDB=180°，∴35+4y+7x=180，∵∠BDE=∠BDC-∠EDC=7x-x=6x，∴∠BED=180°-∠EBD-∠EDB=180°-4y°-6x°，∵EB平分∠DEN，∴∠NEB=∠BED，∵∠NEB=∠NES+∠SEB=y°+40°，∴y°+40°=180°-4y°-6x°，∴74145 65140x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得1510xy=⎧⎨=⎩，∴∠EBD=4y°=40°=∠MEB，∴ME∥UV，∵MH⊥UV，∴MH⊥ME，∴∠SMH=90°，，∵∠SMG=∠NES=10°，∴∠GMH=90°-∠SMG=90°-10°=80°．【点睛】本题考查平行线判定与性质，三角形内角和，垂直性质，角平分线定义，角的倍分，二元一次方程组，掌握平行线判定与性质，三角形内角和，垂直性质，角平分线定义，角的倍分，二元一次方程组是解题关键．。
2021-2022学年最新沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测试试题(含答案解析)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，BD 是ABC 的角平分线，∥DE BC ，交AB 于点E ．若30A ∠=︒，50BDC ∠=︒，则BDE ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．50°2、如图，等边ABC 中，D 为AC 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点，4BP AQ ==，3QD =，在BD 上有一动点E ，则PE QE +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．123、已知三条线段的长分别是4，4，m ，若它们能构成三角形，则整数m 的最大值是（ ）A ．10B ．8C ．7D ．44、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．3cm ，4cm ，5cmB ．3cm ，3cm ，6cmC ．5cm ，10cm ，4cmD ．1cm ，2cm ，3cm5、如图，△ ABC ≌△CDA ，∠BAC =80°，∠ABC =65°，则∠CAD 的度数为（ ）A ．35°B ．65°C ．55°D ．40°6、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，则下列长度的线段中能作为第三边的是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．10cm7、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°8、如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．ASAD ．SSS9、如图，AC ＝BC ，∠C ＝α，DE ⊥AC 于E ，FD ⊥AB 于D ，则∠EDF 等于（ ）．A ．αB ．90°－12αC ．90°－αD ．180°－2α10、等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（ ）A ．50°B ．80°C ．50°或80°D ．100°或80°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，上午9时，一艘船从小岛A 出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B 处，若从灯塔C 处分别测得小岛A 、B 在南偏东34°、68°方向，则小岛B 处到灯塔C 的距离是______海里．2、如图，AE CF ∥，ACF ∠的平分线交AE 于点B ，G 是CF 上的一点，GBE ∠的平分线交CF 于点D ，且BD BC ⊥，下列结论：①BC 平分ABG ∠；②∥AC BG ；③与DBE ∠互余的角有2个；④若A α∠=，则1808BDF α∠=︒-．其中正确的是________．（请把正确结论的序号都填上）3、如图，在△ABC 中，∠C ＝62°，△ABC 两个外角的角平分线相交于G ，则∠G 的度数为_____．4、等腰ABC ，AB AC =，底角为70°，点D 在边AC 上，BD 将ABC 分成两个三角形，当这两个三角形有一个是以BD 为腰的等腰三角形时，则ADB ∠的度数是______．5、已知直角三角形△ABC 的三条边长分别为3，4，5，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画___条．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”，如图1，ABC 中，7,9,10===AC BC AB ，P 为AC 上一点，当AP =_______时，ABP △与CBP 是偏等积三角形；（2）如图2，四边形ABED 是一片绿色花园，ACB △、DCE 是等腰直角三角形，()90090∠=∠=︒<∠<︒ACB DCB BCE ．①ACD △与BCE 是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知60m,=BE ACD 的面积为22100m ．如图3，计划修建一条经过点C 的笔直的小路CF ，F 在BE 边上，FC 的延长线经过AD 中点G ．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．2、如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连接AC 和BD ，相交于点E ，连接BC ．（1）求证DOB ≌AOC ；（2）求∠CEB 的大小；（3）如图2，OAB 固定不动，保持△OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕点O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠），求∠CEB 的大小．3、在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上的一个动点（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作等腰ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，点D ，E 在直线AC 两旁，连接CE ．（1）如图1，当90BAC ∠=︒时，直接写出BC 与CE 的位置关系；（2）如图2，当090BAC ︒<∠<︒时，过点A 作AF CE ⊥于点F ，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD ，CD ，2EF 之间的数量关系，并证明．4、如图，在等边△ABC 中，点P 是BC 边上一点，∠BAP ＝α（30°＜α＜60°），作点B 关于直线AP 的对称点D ，连接DC 并延长交直线AP 于点E ，连接BE ．（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB 的度数；（2）用等式表示线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明．分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质…… ②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的． 请根据上述分析过程，完成解答过程．5、如图所示，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，已知OAB OBA ∠=∠，CBA DAB ∠=∠．求证：（1）ABC BAD ≌；（2）OC OD =．6、如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D 是ACB △内一点，连接CD ，过点C 作CE CD ⊥且CE CD =，连接AD ，BE ．求证：AD BE =．7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BE ，∠DAC ＝10°，AE 是∠BAC 的外角∠MAC 的平分线，BF 平分∠ABC 交AE 于点F ，求∠AFB 的度数．8、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．已知：如图，钝角AOB ∠．求作：射线OC ，使AOC BOC ∠=∠．作法：如图，①在射线OA 上任取一点D ；②以点О为圆心，OD 长为半径作弧，交OB 于点E ；③分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，在AOB ∠内，两弧相交于点C ；④作射线OC ．则OC 为所求作的射线．完成下面的证明．证明：连接CD ，CE由作图步骤②可知OD =______．由作图步骤③可知CD =______．∵OC OC =，∴OCD OCE ≌△△． ∴AOC BOC ∠=∠（________）（填推理的依据）．9、如图，AD 是ABC 的高，CE 是ADC 的角平分线．若BAD ECD ∠=∠，70B ∠=︒，求CAD ∠的度数．10、已知∠POQ =120°，点A ，B 分别在OP ，OQ 上，OA ＜OB ，连接AB ，在AB 上方作等边△ABC ，点D 是BO 延长线上一点，且AB =AD ，连接AD（1）补全图形；（2）连接OC ，求证：∠COP =∠COQ ；（3）连接CD ，CD 交OP 于点F ，请你写出一个∠DAB 的值，使CD =OB +OC 一定成立，并证明-参考答案-一、单选题1、B【分析】由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解. 【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝20°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC＝20°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．2、C【分析】作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小，最小值PE PQ PE EQ PQ +=+'='，据此求解即可．【详解】解：如图，ABC ∆是等边三角形，BA BC ∴=，∵D 为AC 中点，∴BD AC ⊥，4AQ =，3QD =，7AD DC AQ QD ∴==+=，作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小．最小值PE QE PE EQ PQ +=+'='，4AQ =，7AD DC ==，3QD DQ ∴='=，4CQ BP ∴'==，10AP AQ ∴='=，60A ∠=︒，APQ ∴∆'是等边三角形，10PQ PA ∴'==，PE QE ∴+的最小值为10．故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．3、C【分析】根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m 的最大值．【详解】解：条线段的长分别是4，4，m ，若它们能构成三角形，则4444m -<<+，即08m <<又m 为整数，则整数m 的最大值是7故选C【点睛】本题考查了求不等式的整数解，三角形三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．4、A【分析】三角形的任意两条之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据原理再分别计算每组线段当中较短的两条线段之和，再与最长的线段进行比较，若和大于最长的线段的长度，则三条线段能构成三角形，否则，不能构成三角形，从而可得答案.【详解】解：345,所以以3cm，4cm，5cm为边能构成三角形，故A符合题意；3+3=6,所以以3cm，3cm，6cm为边不能构成三角形，故B不符合题意；4+510,所以以5cm，10cm，4cm为边不能构成三角形，故C不符合题意；1+2=3,所以以1cm，2cm，3cm为边不能构成三角形，故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是三角形的三边之间的关系，掌握“利用三角形三边之间的关系判定三条线段能否组成三角形”是解本题的关键.5、A【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB=35°，再根据全等三角形性质即可求出∠CAD=35°．【详解】解：∵∠BAC=80°，∠ABC=65°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=35°，∵△ABC≌△CDA，∴∠CAD=∠ACB=35°．故选：A【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，熟知两个定理是解题关键．6、C【分析】设三角形第三边的长为x cm ，再根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，找出符合条件的x 的值即可．【详解】解：设三角形的第三边是xcm ．则7-3＜x ＜7+3．即4＜x ＜10，四个选项中，只有选项C 符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．7、C【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE ，∠ACB =∠DCE 即∠ACD =∠BCE ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B =∠BEC 和∠BCE 即可．【详解】解：∵ABC DEC ≌△△，∴BC=CE ，∠ACB =∠DCE ，∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ，∵75B ∠=︒，∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．8、C【分析】根据题意，可知仍可辨认的有1条边和2个角，且边为两角的夹边，即可根据ASA 来画一个完全一样的三角形【详解】根据题意可得，已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，即ASA故选C【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键．9、B【分析】AC ＝BC ，∠C ＝α，DE ⊥AC 于E ，FD ⊥AB 于D ，有1802B A α︒-∠=∠=，90ADE A ∠=︒-∠，90EDF ADE ∠=︒-∠，即可求得角度． 【详解】 解：由题意知：1802B A α︒-∠=∠=，90ADF ∠=︒ 180909022ADE A αα︒-∠=︒-∠=︒-= 90902EDF ADE α∠=︒-∠=︒-故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，几何图形中角度的计算．解题的关键在于确定各角度之间的数量关系．10、C【分析】已知给出一个角的的度数为80º，没有明确是顶角还是底角，要分类讨论，联合内角和求出底角即可．【详解】解：等腰三角形的一个角是80°，当80º为底角时，它的一个底角是80º，当80º为顶角时，它的一个底角是180801005022︒-︒︒==︒， 则它的一个底角是50º或80º．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，内角和定理，掌握分类讨论的思想是解决问题的关键．二、填空题1、20【分析】根据题干所给的角的度数，易证ABC 是等腰三角形，而AB 的长易求，即可根据等腰三角形的性质，得出BC 的值．【详解】解：据题意得，3468A DBC ∠=︒∠=︒，．∵DBC A C ∠=∠+∠，即6834C ︒=︒+∠，∴34A C ∠=∠=︒，∴AB BC=．由题意可知这艘船行驶的时间为1005=603（小时）．∴512203AB=⨯=（海里），∴20BC=（海里）．故答案为：20．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，再用数学知识解决实际问题．2、①②【分析】由BD⊥BC及BD平分∠GBE，可判断①正确；由CB平分∠ACF、AE∥CF及①的结论可判断②正确；由前两个的结论可对③作出判断；由AE∥CF及AC∥BG、三角形外角的性质可求得∠BDF，从而可对④作出判断．【详解】∵BD平分∠GBE∴∠EBD=∠GBD=12∠GBE∵BD⊥BC∴∠GBD+∠GBC=∠CBD=90°∴∠DBE+∠ABC=90°∴∠GBC=∠ABC∴BC平分∠ABG故①正确∵CB平分∠ACF∴∠ACB=∠GCB∵AE∥CF∴∠ABC=∠GCB∴∠ACB=∠GCB=∠ABC=∠GBC∴AC∥BG故②正确∵∠DBE+∠ABC=90°，∠ACB=∠GCB=∠ABC=∠GBC ∴与∠DBE互余的角共有4个故③错误∵AC∥BG，∠A=α∴∠GBE=α∴12 GBDα∠=∵AE∥CF∴∠BGD=180°－∠GBE=180°−α∴∠BDF=∠GBD+∠BGD=1+18018022ααα︒-=︒-故④错误即正确的结论有①②故答案为：①②【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，互余概念，垂直的定义，角平分线的性质等知识，掌握这些知识并正确运用是关键．【分析】先利用三角形内角和定理求出∠CAB +∠CBA =180°-∠C =118°，从而利用三角形外角的性质求出∠DAB +∠EBA =2∠C +∠CAB +∠CBA =242°，再由角平分线的定义求出11==12122GAB GBA DAB EBA ++︒∠∠∠∠，由此求解即可． 【详解】解：∵∠C =62°，∴∠CAB +∠CBA =180°-∠C =118°，∵∠DAB =∠C +∠CBA ，∠EBA =∠C +∠CAB ，∴∠DAB +∠EBA =2∠C +∠CAB +∠CBA =242°，∵△ABC 两个外角的角平分线相交于G ， ∴1=2GAB DAB ∠∠，12GBA EBA ∠=∠， ∴11==12122GAB GBA DAB EBA ++︒∠∠∠∠， ∴∠G =180°-∠GAB -∠GBA =59°，故答案为：59°．本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．4、100°或110°【分析】画出图形，分两种情况考虑：AD=BD时，则∠ABD=∠A，由三角形内角和可求得∠ADB的度数；BD=BC 时，则∠BDC=∠C=70°，从而可求得∠ADB的度数．【详解】∵AB=AC，底角为70°∴∠ABC=∠C=70°，∠A=180°−(∠ABC+∠C)=40°当AD=BD时，如图1，则∠ABD=∠A=40°∴∠ADB=180°−(∠A+∠ABD)=180°−80°=100°当BD=BC时，如图2，则∠BDC=∠C=70°∴∠ADB=180°−∠BDC=180°−70°=110°综上所述，∠ADB的度数为100°或110°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，涉及分类讨论，关键是等腰三角形的性质，另外要注意分类讨论．5、6【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB ，AC 为底以及为腰得出符合题意的图形即可．【详解】解：如图所示：当BC 2=CC 2，AC 1=AC ，BC =BC 3，BC =CC 4，BC =CC 5，C 6A =C 6B 都能得到符合题意的等腰三角形． 故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．三、解答题1、（1）72；（2）①ACD △与BCE 是偏等积三角形，理由见详解；②修建小路的总造价为42000元【分析】（1）当AP CP =时，则72AP =，证ABP CBP S S ∆∆=，再证ABP ∆与CBP ∆不全等，即可得出结论；（2）①过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，证()ACM BCN AAS ∆∆≌，得AM BN =，则ACD BCE S S ∆∆=，再证ACD ∆与BCE ∆不全等，即可得出结论；②过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，证得()AGN DGC AAS ∆∆≌，得到AN CD =，再证()ACN CBE SAS ∆∆≌，得ACN CBE ∠=∠，由余角的性质可证CF BE ⊥，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得12BCE S BE CF ∆=⋅，2100BCEACD S S ∆∆==，求出70()CF m =，即可求解． 【详解】解：（1）当72AP CP ==时，ABP ∆与CBP ∆是偏等积三角形，理由如下：设点B 到AC 的距离为h ，则12ABP S AP h ∆=⋅，12CBP S CP h ∆=⋅，ABP CBP S S ∆∆∴=，10AB =，7BC =，AB BC ∴≠，AP CP =、PB PB =，ABP ∴∆与CBP ∆不全等，ABP ∴∆与CBP ∆是偏等积三角形， 故答案为：72；（3）①ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，理由如下：过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，如图3所示：则90AMC BNC ∠=∠=︒，ACB ∆、DCE ∆是等腰直角三角形，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，3603609090180BCN ACD ACB DCE ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180ACM ACD ∠+∠=︒，ACM BCN ∴∠=∠，在∆ACM 和BCN ∆中，AMC BNC ACM BCN AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACM BCN AAS ∴∆∆≌，AM BN ∴=，12ACD S CD AM ∆=⋅，12BCE S CE BN ∆=⋅， ACD BCE S S ∆∆∴=，180BCE ACD ∠+∠=︒，090BCE ︒<∠<︒，ACD BCE ∴∠≠∠，CD CE =，AC BC =，ACD ∴∆与BCE ∆不全等，ACD ∴∆与BCE ∆是偏等积三角形；②如图4，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，则N GCD ∠=∠， G 点为AD 的中点，AG GD ∴=，在AGN ∆和DGC ∆中，N GCD AGN DGC AG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGN DGC AAS ∴∆∆≌，AN CD ∴=，CD CE =，AN CE ∴=，//AN CD ，180CAN ACD ∴∠+∠=︒，90ACB DCE ∠=∠=︒，3609090180ACD BCE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，BCE CAN ∴∠=∠，在ACN ∆和CBE ∆中，AN CE CAN BCE AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACN CBE SAS ∴∆∆≌，ACN CBE ∴∠=∠，1809090ACN BCF ∠+∠=︒-︒=︒，90CBE BCF ∴∠+∠=︒，90BFC ∴∠=︒，CF BE ∴⊥．由①得：ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，12BCE S BE CF ∆∴=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==， 22210070()60BCE S CF m BE ∆⨯∴===， ∴修建小路CF 的总造价为：6007042000⨯=（元)．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明ACM BCN ∆∆≌和ACN CBE ∆∆≌是解题的关键，属于中考常考题型．2、（1）见详解；（2）120°；（2）120°．【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质得到OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，则利用根据“SAS ”判断△AOC ≌△BOD ；（2）利用△AOC ≌△BOD 得到∠CAO =∠DBO ，然后根据三角形内角和可得到∠AEB =∠AOB =60°，即可求出答案；（3）如图2，与（1）的方法一样可证明△AOC ≌△BOD ；则∠CAO =∠DBO ，然后根据三角形内角和可求出∠AEB =∠AOB =60°，即可得到答案．【详解】（1）证明：如图1，∵△ODC 和△OAB 都是等边三角形，∴OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，∴∠BOD =∠AOC =120°，在△AOC 和△BOD 中OC OD AOC BOD OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD ；（2）解：∵△AOC ≌△BOD ，∴∠CAO =∠DBO ，∵∠1=∠2，∴∠AEB =∠AOB =60°，∴120CEB ∠=︒；（3）解：如图2，∵△ODC 和△OAB 都是等边三角形，∴OD =OC =OA =OB ，∠COD =∠AOB =60°，∴∠AOB +∠BOC =∠COD +∠BOC ，即∠AOC =∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中OC OD AOC BOD OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD ；∴∠CAO =∠DBO ，∵∠1=∠2，∴∠AEB =∠AOB =60°，∴120CEB ∠=︒；即∠CEB 的大小不变．【点睛】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质；利用类比的方法解决（3）小题．3、（1）BC CE ⊥（2）2CD BD EF -=或2BD CD EF -=，见解析【分析】（1）根据已知条件求出∠B =∠ACB =45°，证明△BAD ≌△CAE ，得到∠ACE =∠B =45°，求出∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°，即可得到结论BC CE ⊥；（2）根据题意作图即可，证明ABD △≌ACE ．得到BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠，推出ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =，证明ADC ≌AGC ，推出CD CG =．由此得到2CD BD EF -=．同理可证2BD CD EF -=．（1）解：90BAC ∠=︒，AB AC =，∴∠B =∠ACB =45°，∵DAE BAC ∠=∠，∴DAE DAC BAC DAC ∠-∠=∠-∠，即∠BAD =∠CAE ，∵AB AC =，AD AE =，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ACE =∠B =45°，∴∠BCE =∠ACB +∠ACE =90°，∴BC CE ⊥；（2）解：如图，补全图形；2CD BD EF -=．证明：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠．又∵AB AC =，AD AE =，∴ABD △≌ACE ．∴BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠．∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．∴ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =．∵AF CE ⊥，∴AE AG =．∴AEG G ∠=∠．∵ADB AEC ∠=∠，∴ADC AEG ∠=∠．∴ADC G ∠=∠．∵AC AC =，∴ADC ≌AGC ．∴CD CG =．∵2CG CE EF -=，∴2CD BD EF -=．如图，同理可证2BD CD EF -=．．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．4、（1）图见解析，∠AEB ＝60°；（2）AE ＝BE ＋CE ，证明见解析【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD ，先求出60CAP α∠=︒-，然后根据轴对称的性质得到==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，求出=260CAD α-︒∠，即可求出()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠，再由==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠进行求解即可； （2）如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ．先证明△BGE 是等边三角形，得到BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°． 再证明∠ABG ＝∠CBE ，即可证明△ABG ≌△CBE 得到AG ＝CE ，则AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE ．【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，AB =AC ，∵BAP α∠=，∴60CAP α∠=︒-，∵B 、D 关于AP 对称，∴==PAD BAP α∠∠，AD =AB =AC ，∠AEC =∠AEB ，∴()==60=260CAD PAD CAP ααα--︒--︒∠∠∠，∴()1==180=1202ACD ADC CAD α︒-︒-∠∠∠， ∴==120EAC AEC ACD α+︒-∠∠∠， ∴60AEC ∠=︒∴∠AEB ＝60°．（2）AE ＝BE ＋CE ．证明：如图，在AE 上截取EG ＝BE ，连接BG ． ∵∠AEB ＝60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG ＝BE ＝EG ，∠GBE ＝60°．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴∠ABG ＋∠GBC ＝∠GBC ＋∠CBE ＝60°， ∴∠ABG ＝∠CBE ．在△ABG 和△CBE 中，AB CB ABG CBE BG BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG ＝CE ，∴AE ＝EG ＋AG ＝BE ＋CE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键5、（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理可直接证明；（2）根据（1）中结论可得AC BD =，再由等角对等边得出OA OB =，运用等式的性质进行计算即可证明．（1）解：在ABC 与BAD 中，CAB DBA AB BACBA DAB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC BAD ≅；（2）由（1）可得：ABC BAD ≅，∴AC BD =，∵OAB OBA ∠=∠，∴OA OB =，∴AC OA BD OB -=-，即OC OD =．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6、证明见解析．【分析】先根据角的和差可得ACD BCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理证出ACD BCE ≅△△，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒，CE CD ⊥，90BCE BCD ∠∴∠+=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD △和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴≅，AD BE ∴=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．7、∠AFB ＝40°．【分析】由题意易得∠ADC ＝90°，∠ACB ＝80°，然后可得11,22MAE MAC ABF ABC ∠=∠∠=∠，进而根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵AD ⊥BE ，∴∠ADC ＝90°，∵∠DAC ＝10°，∴∠ACB ＝90°﹣∠DAC ＝90°﹣10°＝80°，∵AE 是∠MAC 的平分线，BF 平分∠ABC ， ∴11,22MAE MAC ABF ABC ∠=∠∠=∠， 又∵∠MAE ＝∠ABF +∠AFB ，∠MAC ＝∠ABC +∠ACB ，∴∠AFB ＝∠MAE ﹣∠ABF ＝()11111804022222MAC ABC MAC ABC ACB ∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质及角平分线的定义是解题的关键．8、OE ； CE ；全等三角形的对应角相等【分析】根据圆的半径相等可得OD =OE ，CD =CE ，再利用SSS 可证明OCD OCE ≌△△，从而根据全等三角形的性质可得结论．【详解】证明：连接CD ，CE由作图步骤②可知OD =___OE ___．由作图步骤③可知CD =__CE ___．∵OC OC =，∴OCD OCE ≌△△． ∴AOC BOC ∠=∠（__全等三角形对应角相等__）故答案为：OE ； CE ；全等三角形的对应角相等【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．9、50︒【分析】AD 是ABC 的高，有90ADB ADC ∠=∠=︒；由70B ∠=︒知20BAD ∠=︒；CE 是ADC 的角平分线可得12ECD ACD ∠=∠；20BAD ECD ∠=∠=︒，40ACD ∠=︒；在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒． 【详解】解：∵AD 是ABC 的高∴90ADB ADC ∠=∠=︒∵70B ∠=︒∴20BAD ∠=︒∵CE 是ADC 的角平分线 ∴12ECD ACD ∠=∠∵20BAD ECD ∠=∠=︒∴40ACD ∠=︒∴在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．10、（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DAB =150°，见解析【分析】（1）依据题意作出相应图形即可；（2）在BQ 上截取BE =AO ，连接CE ，由等边三角形的性质得，CA =CB ，∠ACB =60°由同角的补角相等得∠CAO =∠CBE ，由SAS 证得△CAO 和△CBE 全等，即可得证；（3）由∠DAB =150°， DA =AB ，得∠ADB =∠ABD =15°，由等边三角形性质，可得∠CAB =∠CBA =∠ACB =60°，故∠CAD =150°，由等边对等角得∠ADC =∠ACD =15°，由此∠DBC =∠DCB =75°，由等角对等边得DB =DC 再由∠POQ =120°，∠BDC =30°，得∠DFO =90°，等量代换即可得证.【详解】解：（1）如图所示：（2）证明如下：在BQ 上截取BE =AO ，连接CE ，∵△ABC 为等边三角形，∴CA =CB ，∠ACB =60°∵∠POQ =120°，∴∠CAO +∠CBO =180°∵∠CBO +∠CBE =180°，∴∠CAO =∠CBE ，在△CAO 和△CBE 中，CA CB CAO CBE AO BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CAO ≌△CBE （SAS ），∴CO =CE ，∠COA =∠CEB ，∴∠COE =∠CEB ，∴∠COP =∠COQ ；（3）∠DAB =150°，如图：∵∠DAB =150°， DA =AB ，∴∠ADB=∠ABD=15°∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°，∴∠CAD=150°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD=15°，∴∠DBC=∠DCB=75°，∴DB=DC，∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，∴∠DFO=90°∵AD=AC，∴DF=FC∴DO=OC∵DB=DO+OB，∴DB=CO+OB，∴CD= OB + OC.【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及添加辅助线构造全等三角形，掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.。
2021-2022学年度沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步测评试题(含详细解析)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC≌DEF，点B、E、C、F在同一直线上，若BC＝7，EC＝4，则CF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．72、△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC ＝5，则五边形DECHF的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．123、一个三角形三个内角的度数分别是x ，y ，z ．若2||()0x y x y z -++-=，则这个三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．不存在4、如图，若ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°后与11AB C △重合，则1AB B ∠=（ ） ．A ．40°B ．50°C ．70°D ．1005、已知三角形的两边长分别为4cm 和10cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）A ．15cmB ．6cmC ．7cmD ．5cm6、下列三角形与下图全等的三角形是（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BE ＝CD D ．∠AEB ＝∠ADC8、如图，E 为线段BC 上一点，∠ABE =∠AED =∠ECD =90°，AE =ED ，BC =20，AB =8，则BE 的长度为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．69、已知：如图，D 、E 分别在AB 、AC 上，若AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝60°，∠B ＝25°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°10、如图，已知AB AC ，要使AEB ADC △≌△，添加的条件不正确．．．的是（ ）A ．BD CE =B ．AEB ADC ∠=∠ C ．B C ∠=∠D ．BE CD =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝120°，E 为AB 上一点，∠DCE ＝∠DAE ＝60°，AD ＝2.4，BE ＝7，则DE ＝_____．2、若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____．3、如图，在边长为4，面积为ABC ∆中，点D 、E 分别是BC 、AB 边的中点，点F 是AD 边上的动点，求BF EF +的最小值___．4、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成 _____）．5、如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转某个角度α得到A B C ''，∠A ＝30°，∠1＝70°，则旋转角α的度数为_____．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、命题：如图，已知,AC EF AC FE =∥，A D B F ,,,共线，（1），那么ABC FDE ∆≅∆．（1）从①AB FD =和②BC DE =两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；（2）根据你选择的条件，判定ABC FDE ∆≅∆的方法是________；（3）根据你选择的条件，完成ABC FDE ∆≅∆的证明．2、已知∠POQ =120°，点A ，B 分别在OP ，OQ 上，OA ＜OB ，连接AB ，在AB 上方作等边△ABC ，点D 是BO 延长线上一点，且AB =AD ，连接AD（1）补全图形；（2）连接OC ，求证：∠COP =∠COQ ；（3）连接CD ，CD 交OP 于点F ，请你写出一个∠DAB 的值，使CD =OB +OC 一定成立，并证明3、如图，CE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，BD ＝CD ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）求证：AE ＝AF ．4、如图，四边形ABCD 中，90BCD BAD ∠=∠=︒，AB AD =，AG CD ⊥于点G ．（1）如图1，求证：AG CG =；（2）如图2，延长AB 交DC 的延长线于点F ，点E 在DG 上，连接AE ，且2AEF F ∠=∠，求证：FG AE EG =+；（3）如图3，在（2）的条件下，点H 在CB 的延长线上，连接EH ，EH 交AG 于点N ，连接CN ，且=CN AE ，当5BH =，9EF =时，求NG 的长．5、ABC 中，CD 平分ACB ∠，点E 是BC 上一动点，连接AE 交CD 于点D ．（1）如图1，若110ADC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，则B 的度数为______；（2）如图2，若100ADC ∠=︒，53DCE ∠=︒，27B BAE ∠-∠=︒，则BAE ∠的度数为______；（3）如图3，在BC 的右侧过点C 作CF CD ⊥，交AE 延长线于点F ，且AC CF =，2B F ∠=∠．试判断AB 与CF 的位置关系，并证明你的结论．6、已知：如图，在ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边BC ，AC 上，AD ＝AE ．（1）若∠BAD ＝30°，则∠EDC ＝ °；若∠EDC ＝20°，则∠BAD ＝ °．（2）设∠BAD ＝x ，∠EDC ＝y ，写出y 与x 之间的关系式，并给出证明．7、△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，从点A 作AE ∥BC 交BD 的延长线于点E ．（1）若∠BAC ＝40°，求∠E 的度数；（2）点F 是BE 上一点，且FE ＝BD ．取DF 的中点H ，请问AH ⊥BE 吗？试说明理由．8、周老师带领同学们在数学课上探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你完成下列问题：（1）已知：如图①，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，直线BD 平分ABC ∠交AC 于点D ．求证：ABD △与DBC △都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小尹同学发现：图②、③两个等腰三角形也具有这种特性，请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小尹又发现：还有一些非等腰三角形也具有这样的特性：即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形，请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．9、已知：如图，点B 、C 在线段AD 的异侧，点E 、F 分别是线段AB 、CD 上的点，∠AEG ＝∠AGE ，∠C ＝∠DGC ．（1）求证：AB //CD ；（2）若∠AGE +∠AHF =180°，求证：∠B =∠C ；（3）在（2）的条件下，若∠BFC =4∠C ，求∠D 的度数．10、已知：如图，AC BD =，AD BC =，求证：ABC BAD ≌-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据全等三角形的性质可得BC EF =，根据CF EF EC =-即可求得答案．【详解】 解：ABC ≌DEF ，∴BC EF =点B 、E 、C 、F 在同一直线上，BC ＝7，EC ＝4，∴CF EF EC =-743BC EC -=-=故选B【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．2、B【分析】证明△AFH ≌△CHG （AAS ），得出AF =CH ．由题意可知BE =FH ，则得出五边形DECHF 的周长=AB +BC ，则可得出答案．【详解】解：∵△GFH 为等边三角形，∴FH =GH ，∠FHG =60°，∴∠AHF +∠GHC =120°，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =AC =5，∠ACB =∠A =60°，∵∠AHF =180°-∠FHG -∠GHC =120°-∠GHC ，∠HGC =180°-∠C -∠GHC =120°-∠GHC ，∴∠AHF =∠HGC ，在△AFH 和△CHG 中A C AHF HGC FH GH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFH ≌△CHG （AAS ），∴AF =CH ．∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，∴BE =FH ，∴五边形DECHF 的周长=DE +CE +CH +FH +DF =BD +CE +AF +BE +DF ， =(BD +DF +AF )+(CE +BE )，=AB +BC =10．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．3、C【分析】根据绝对值及平方的非负性可得x y =，x y z +=，再由三角形内角和定理将两个式子代入求解可得45x =︒，290x =︒，即可确定三角形的形状．【详解】 解：()20x y x y z -++-=，∴0x y -=且0x y z +-=，∴x y =，x y z +=，∴2z x =，∵180x y z ++=︒，∴2180x x x ++=︒，解得：45x =︒，290x =︒，∴三角形为等腰直角三角形，故选：C ．【点睛】题目主要考查绝对值及平方的非负性，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，理解题意，列出式子求解是解题关键．4、C【分析】根据旋转的性质，可得140BAB ∠=︒ ，1AB AB = ，从而得到11ABB AB B ∠=∠，即可求解．【详解】解：∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°后与11AB C △重合，∴140BAB ∠=︒ ，1AB AB = ， ∴()1111180702ABB AB B BAB ∠=∠=︒-∠=︒． 故选：C【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．5、C【分析】根据三角形的三边关系可得104104x -<<+，再解不等式可得答案．【详解】解：设三角形的第三边为xcm ，由题意可得：104104x -<<+，即614x <<，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．6、C【分析】根据已知的三角形求第三个内角的度数，由全等三角形的判定定理即可得出答案．【详解】由题可知，第三个内角的度数为180514980︒-︒-︒=︒，A.只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项错误；B.两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误；C.两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项正确；D. 两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．7、C【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：根据题意可知：AB ＝AC ，A A ∠=∠，若B C ∠=∠，则根据()ASA 可以证明△ABE ≌△ACD ，故A 不符合题意；若AD ＝AE ，则根据(SAS)可以证明△ABE ≌△ACD ，故B 不符合题意；若BE ＝CD ，则根据()SSA 不可以证明△ABE ≌△ACD ，故C 符合题意；若∠AEB ＝∠ADC ，则根据()AAS 可以证明△ABE ≌△ACD ，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．8、A【分析】利用角相等和边相等证明ABE ECD ∆∆≌，利用全等三角形的性质以及边的关系，即可求出BE 的长度．【详解】解：由题意可知：∠ABE =∠AED =∠ECD =90°，1809090AEB DEC ∴∠+∠=︒-︒=︒，90A AEB ∠+∠=︒，A DEC ∴∠=∠，在ABE ∆和ECD ∆中，ABE ECD A DEC AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ECD AAS ∴∆∆≌，8CE AB ∴==，12BE BC CE ∴=-=，故选：A ．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练通过已知条件证明三角形全等，利用全等性质及边的关系，来求解未知边的长度，这是解决本题的主要思路．9、C【分析】根据SAS 证△ABE ≌△ACD ，推出∠C ＝∠B ，求出∠C 的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC ＝∠A +∠C ，代入求出即可．【详解】解：在△ABE 和△ACD 中，AE AD A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠C ＝∠B ，∵∠B ＝25°，∴∠C ＝25°，∵∠A ＝60°，∴∠BDC ＝∠A +∠C ＝85°，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．10、D【分析】已知条件AB ＝AC ，还有公共角∠A ，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：A 、添加BD ＝CE 可得AD ＝AE ，可利用利用SAS 定理判定△ABE ≌△ACD ，故此选项不合题意； B 、添加∠ADC ＝∠AEB 可利用AAS 定理判定△ABE ≌△ACD ，故此选项不合题意；C 、添加∠B ＝∠C 可利用ASA 定理判定△ABE ≌△ACD ，故此选项不合题意；D 、添加BE ＝CD 不能判定△ABE ≌△ACD ，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形），掌握三角形全等的判定方法是解题关键．二、填空题1、4.6【分析】在AB上截取BF=AD，连接CF，通过证明△ADC≌△BFC，可得∠ACD=∠BCF，CD=CF，由“SAS”可得△DCE≌△FCE，可得DE=EF，即可求得结果．【详解】解：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF，∵CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∵∠DAE＝60°∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30°∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC∴△ADC≌△BFC（SAS）∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120°∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF∴△DCE≌△FCE（SAS）∴DE＝EF∴DE＝BE﹣BF＝BE﹣AD＝7﹣2.4＝4.6，故答案为4.6【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．2、76【分析】先根据角平分线的定义、三角形的内角和定理求出等腰三角形两底角的度数和，再根据三角形内角和求出顶角的度数即可．【详解】解：∵∠BOC＝128°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣128°＝52°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝104°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣104°＝76°．故答案为：76°．【点睛】本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理，牢记角平分线分得的两个角相等，三角形内角和是180︒是解决本题的关键．3、【分析】连接CE，交AD于点F，连接BF，则BF EF+的最小值为CE，再由已知求出CE的长即可．【详解】解：连接CE，交AD于点F，连接BF，ABC∆是等边三角形，D是BC边中点，∴点与C点关于AD对称，BBF CF∴=，∴+=+，BF EF CF EF CE∴+的最小值为CE，BF EFE是AB的中点，CE AB∴⊥，AB=，ABC4∆的面积为∴=CE∴+的最小值为BF EF故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质，将军饮马河原理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用将军饮马河原理是解题的关键．4、角边角或【分析】根据全等三角形的判定定理得出即可．【详解】解答：解：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成角边角或ASA ，故答案为：角边角或ASA ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．5、40︒##【分析】由旋转的性质可得30,A A 再利用三角形的外角的性质求解140,A CA A 从而可得答案.【详解】 解： 把△ABC 绕点C 顺时针旋转某个角度α得到A B C ''，∠A ＝30°，30,A A ∠1＝70°，140,A CA A40.故答案为：40︒【点睛】本题考查的是旋转的性质，三角形的外角的性质，利用性质的性质求解30A A '∠=∠=︒是解本题的关键.三、解答题1、（1）①（2）SAS（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）根据（1）直接填写即可；（3）利用SAS 进行证明．（1）解：∵AC EF ∥，∴∠A =∠F ，∵AC=EF ，∴当AB FD =时，可根据SAS 证明ABC FDE ∆≅∆；当BC DE =时，不能证明ABC FDE ∆≅∆，故答案为：①；（2）解：当AB FD =时，可根据SAS 证明ABC FDE ∆≅∆，故答案为：SAS ；（3）证明：在△ABC 和△FDE 中，AC EF A F AB FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC FDE ∆≅∆．【点睛】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DAB =150°，见解析【分析】（1）依据题意作出相应图形即可；（2）在BQ 上截取BE =AO ，连接CE ，由等边三角形的性质得，CA =CB ，∠ACB =60°由同角的补角相等得∠CAO =∠CBE ，由SAS 证得△CAO 和△CBE 全等，即可得证；（3）由∠DAB =150°， DA =AB ，得∠ADB =∠ABD =15°，由等边三角形性质，可得∠CAB =∠CBA =∠ACB =60°，故∠CAD =150°，由等边对等角得∠ADC =∠ACD =15°，由此∠DBC =∠DCB =75°，由等角对等边得DB =DC 再由∠POQ =120°，∠BDC =30°，得∠DFO =90°，等量代换即可得证.【详解】解：（1）如图所示：（2）证明如下：在BQ 上截取BE =AO ，连接CE ，∵△ABC 为等边三角形，∴CA =CB ，∠ACB =60°∵∠POQ =120°，∴∠CAO +∠CBO =180°∵∠CBO +∠CBE =180°，∴∠CAO =∠CBE ，在△CAO 和△CBE 中，CA CB CAO CBE AO BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CAO ≌△CBE （SAS ），∴CO =CE ，∠COA =∠CEB ，∴∠COE =∠CEB ，∴∠COP =∠COQ ；（3）∠DAB =150°，如图：∵∠DAB =150°， DA =AB ，∴∠ADB=∠ABD=15°∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°，∴∠CAD=150°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD=15°，∴∠DBC=∠DCB=75°，∴DB=DC，∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，∴∠DFO=90°∵AD=AC，∴DF=FC∴DO=OC∵DB=DO+OB，∴DB=CO+OB，∴CD= OB + OC.【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及添加辅助线构造全等三角形，掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.3、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据CE⊥AB，BF⊥AC就可以得出∠BED=∠CFD=90°，就可以由AAS得出结论；（2）由（1）得DE=DF，就可以得出BF=CE，由AAS就可以得出△AFB≌△AEC就可以得出结论．【详解】证明：（1）∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BED ≌△CFD （AAS ）；（2）∵△BED ≌△CFD ，∴DE ＝DF ，∴BD +DF ＝CD +DE ，∴BF ＝CE ，在△ABF 和△ACE 中，B C A A BF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△ACE （AAS ），∴AE ＝AF ．【点睛】本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．4、（1）见解析；（2）见解析；（3）2【分析】（1）过点B 作BQ AG ⊥于点Q ，根据AAS 证明△ABQ DAG ≅∆得AG BQ =，再证明四边形BCGQ 是矩形得BQ =CG ，从而得出结论；(2) 在GF 上截取GH =GE ，连接AH ，证明AH =FH ，GE =GH 即可；(3) 过点A 作AP HC ⊥于点P ，在FC 上截取MG GE =，连接,,AM AC AH ，证明()Rt AGE Rt CGN HL ∆≅∆得GN GE MG ==，可证明AC 是EH 的垂直平分线，再证明()Rt APH Rt AGM HL ∆≅∆和△()ABH ADM SAS ≅∆得5BH MD ==可求出4ME =，从而可得结论．【详解】解：（1）证明：过点B 作BQ AG ⊥于点Q ，如图1∵AG CD ⊥90AQB BAD ︒∴∠==∠ABQ BAQ DAG BAQ ∴∠+∠=∠+∠ABQ DAG ∴∠=∠又AB AD =，90AQB AGD ︒∠=∠=∴△()ABQ DAG AAS ≅∆B AG Q ∴=,,BC CD AG CD BQ AG ⊥⊥⊥∴四边形BCGQ 是矩形BQ CG ∴=CG AG ∴=；（2）在GF 上截取GH =GE ，连接AH ，如图2，,HG GE AG GF =⊥AH AE ∴=AEH AHE ∴∠=∠2AEF F ∠=∠2AHE F ∴∠=∠又AHE F FAH ∠=∠+∠F FAH ∴∠=∠FH AH ∴=AE FH ∴=FG FH HG AE EG ∴=+=+（3）过点A 作AP HC ⊥于点P ，在FC 上截取MG GE =，连接,,AM AC AH ，如图3，由（1）、（2）知，AP CG AG ==，,AM AE FM F FAM ==∠=∠∵EF FG GE FM ME =+=+∴9AM ME =+∵,CN AE AG CG ==∴()Rt AGE Rt CGN HL ∆≅∆∴GN GE MG ==∴∠45GNE GEN ︒=∠=∵BC FD ⊥∴∠45CHE CEH ︒=∠=∴CH CE =∵AG CG =∴∠45ACG CAG ︒=∠=∴45ACG ACH ∠=∠=︒∴AC 是EH 的垂直平分线，∴AH AE =∴AH AM =又∵AG AP =∴()Rt APH Rt AGM HL ∆≅∆∴∠HAP MAG =∠∴∠90HAM PAG ︒=∠=∵∠F FAM =∠，90,90FAM MAD F D ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠MAD D =∠∴AM MD =∵,,AP CH HC FD AG FD ⊥⊥⊥∴90PAG ∠=︒∴90MAG PAM ∠+∠=︒∵∠HAP MAG =∠∴90PAH MAP ∠+∠=︒，即90HAM ∠=︒∴90HAB BAM ∠+∠=︒∵90BAD ∠=︒，即90BAM MAD ∠+∠=︒∴HAB MAD ∠=∠在ABH ∆和ADM ∆中，{AA =AA∠AAA =∠AAA AA =AA∴△()ABH ADM SAS ≅∆∴5BH MD ==∴5AM FM ==∴4ME =∴2GN GE MG ===【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5、（1）40°；（2）10°；（3）AB ∥CF ，理由见解析【分析】（1）根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得∠BAC +∠ACB =140°即可求解；（2）根据三角形的外角性质求得∠B +∠BAE =47°即可求解；（3）延长AC 到G ，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠FCG =2∠F ，再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到∠BCF =2∠F ，则有∠B =∠BCF ，根据平行线在判定即可得出结论．【详解】解：（1）∵∠ADC =110°，∴∠DAC +∠DCA =180°－110°=70°，∵AE 平分∠BAC ，CD 平分∠ACB ，∴∠BAC =2∠DAC ，∠ACB =2∠DCA ，∴∠BAC +∠ACB =2（∠DAC +∠DCA ）=140°，∴∠B =180°－（∠BAC +∠ACB ）=180°－140°=40°，故答案为：40°；（2）∵∠ADC =∠DCE +∠DEC =100°，∠DCE =53°，∴∠DEC =100°－53°=47°，∴∠B +∠BAE =∠DEC =47°，∵∠B －∠BAE =27°，∴∠BAE =10°，故答案为：10°；（3）AB∥CF，理由为：如图，延长AC到G，∵AC=CF，∴∠F=∠FAC，∴∠FCG=∠F+∠FAC=2∠F，∵CF⊥CD，∴∠BCF+∠BCD=90°，∠FCG+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD，∴∠BCF=∠FCG=2∠F，∵∠B=2∠F，∴∠B=∠BCF，∴AB∥CF．【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．x，见解析6、（1）15，40；（2）y＝12【分析】（1）设∠EDC＝m，则∠B＝∠C＝n，根据∠ADE＝∠AED＝m+n，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，由∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC即可得∠B+x＝∠B+y+y，从而求解．【详解】解：（1）设∠EDC＝m，∠B＝∠C＝n，∵∠AED＝∠EDC+∠C＝m+n，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝m+n，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2m+n，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝2m，∴2m+n＝n+30，解得m＝15°，∴∠EDC的度数是15°；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝2m＝2×20°＝40°．故答案是：15；40；x，（2）y与x之间的关系式为y＝12证明：设∠BAD＝x，∠EDC＝y，∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠B+x＝∠B+y+y，∴y＝12x．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及一元一次方程的应用，灵活运用等腰三角形的性质成为解答本题的关键．7、（1）∠E＝35°；（2）AH⊥BE．理由见解析．【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后根据两直线平行，内错角相等求出；（2）由“SAS”可证△ABD≌△AEF，可得AD=AF，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAC=40°，∴∠ABC=12（180°-∠BAC）=70°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC=35°，∵AE∥BC，∴∠E=∠CBD=35°；（2）∵BD平分∠ABC，∠E=∠CBD，∴∠CBD=∠ABD=∠E，∴AB=AE，在△ABD 和△AEF 中，AB AE E ABD BD EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△AEF （SAS ），∴AD =AF ，∵点H 是DF 的中点，∴AH ⊥BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 8、（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解；【分析】（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1=∠2=36°，∠C =72°，那么∠BDC =72°，则可得AD =BD =CB ，所以△ABD 与△DBC 都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．（1）证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A=36°，（180°-∠A）=72°，∴∠ABC=∠C=12∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°∴∠3=∠1+∠A=72°，∴∠1=∠A，∠3=∠C，∴AD=BD，BD=BC，∴△ABD与△BDC都是等腰三角形（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：（4）解：特征一：直角三角形（直角边不等）；特征二：2倍内角关系，在△ABC中，∠A=2∠B，0°＜∠B＜45°，其中，∠B≠30°；【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．9、（1）见解析；（2）见解析；（3）108°【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．【详解】证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC∴∠AEG=∠C∴AB//CD（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°∴∠DGC+∠AHF=180°∴EC//BF∴∠B=∠AEG由（1）得∠AEG=∠C∴∠B=∠C（3）由（2）得EC//BF∴∠BFC +∠C =180°∵∠BFC =4∠C∴∠C =36°∴∠DGC =36°∵∠C +∠DGC +∠D =180°∴∠D =108°【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．10、证明见解析【分析】由AC BD =，AD BC =，结合公共边,AB BA 从而可得结论.【详解】证明：在ABC 与BAD 中，ACBD ADBC AB BAABC BAD ≌∴【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明三角形全等”是解本题的关键.。
2022年最新精品解析沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题训练试题(含详解)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．2，3，5B ．4，4，8C ．3，4.8，7D ．3，5，92、如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（ ）A ．21B ．24C ．27D ．303、如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，点E 、F 在AD 两侧，BF CE ∥，BF CE ，添加下列条件不能判定ACE DBF ≌的是（ ）A ．AE DF =B ．AB CD =C ．E F ∠=∠D ．AE DF ∥4、已知：如图，D 、E 分别在AB 、AC 上，若AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝60°，∠B ＝25°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．95°B ．90°C ．85°D ．80°5、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．3cm ，4cm ，5cmB ．3cm ，3cm ，6cmC ．5cm ，10cm ，4cmD ．1cm ，2cm ，3cm6、如图，△ ABC ≌△CDA ，∠BAC =80°，∠ABC =65°，则∠CAD 的度数为（ ）A ．35°B ．65°C ．55°D ．40°7、在△ABC 中，∠A =50°，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，则∠BOC 等于（ ）A ．65°B ．80°C ．115°D ．50°8、如图，ABC 的面积为18，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BD 于点D ，则ADC 的面积是（ ）A ．8B ．10C ．9D ．169、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝40°，直线a ∥b ，若BC 在直线b 上，则∠1的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°10、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，则下列长度的线段中能作为第三边的是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．10cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在ABC 中，若50,A B C ∠=︒∠=∠，则B ∠=_______．2、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，DE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，若AD DE =，点C 是BE 中点，则B ∠=______°．3、如图，在△ABC 和△DBC ，BA =BD 中，请你添加一个条件使得△ABC ≌△DBC ，这个条件可以是________（写出一个即可）．4、如图，PA ＝PB ，请你添加一个适当的条件：___________，使得△PAD ≌△PBC ．5、如图，ABC 中，90A ∠=︒，点D 在AC 边上，∥DE BC ，若1145∠=︒，则B 的度数为_______．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，点D 在BC 上，已知∠B ＝70°，求∠CDE 的大小．2、如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AE DF ∥，AE DF =，AB CD =．（1）求证：AEC DFB ≅．（2）若40A ∠=︒，145ECD ∠=︒，求∠F 的度数．3、如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ．4、已知：如图，AD 是等腰三角形ABC 的底边BC 上的中线，DE ∥AB ，交AC 于点E ．求证：△AED 是等腰三角形．5、如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，CE AD ⊥于点E ．求证：ACE B ECD ∠=∠+∠．6、如图，已知点B ，F ，C ，E 在同一直线上，AB ∥DE ，BF ＝CE ，AB ＝ED ，求证：∠A ＝∠D ．7、如图，在长方形ABCD 中，AD =3，DC =5，动点M 从A 点出发沿线段AD —DC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD —DA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动．ME ⊥PQ 于点E ，NF ⊥PQ 于点F ，设运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中当M 、N 两点相遇时，求t 的值．（2）在整个运动过程中，求DM 的长．(用含t 的代数式表示)（3）当DEM 与DFN 全等时，请直接写出所有满足条件的DN 的长．8、阅读下面材料：活动1利用折纸作角平分线①画图：在透明纸片上画出PQR ∠（如图1-①）；②折纸：让PQR ∠的两边QP 与QR 重合，得到折痕QH （如图1-②）；③获得结论：展开纸片，QH 就是PQR ∠的平分线（如图1-③）．活动2利用折纸求角如图2，纸片上的长方形ABCD ，直线EF 与边AB ，CD 分别相交于点E ，F ．将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点A '处，折痕EN 与AD 的交点为N ；将BEF ∠对折，点B 落在直线EF 上的点B '处，折痕EM 与BC 的交点为M ．这时NEM ∠的度数可知，而且图中存在互余或者互补的角．解答问题：（1）求NEM ∠的度数；（2）①图2中，用数字所表示的角，哪些与A EN '∠互为余角？②写出A EN '∠的一个补角．解：（1）利用活动1可知，EN 是AEA '∠的平分线，EM 是BEB '∠的平分线，所以12A EN '∠=∠ ，12B EM '∠=∠ ．由题意可知，AEB ∠是平角．所以12NEM A EN B EM ''∠=∠+∠=（∠ ＋∠ ）＝ °． （2）①图2中，用数字所表示的角，所有与A EN '∠互余的角是： ；②A EN '∠的一个补角是 ．9、如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．10、如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BD＝CD．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）求证：AE＝AF．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．【详解】解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；C 、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；D 、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．2、C【分析】根据题意在AB 上截取BE =BC ，由“SAS ”可证△CBD ≌△EBD ，可得∠CDB =∠BDE ，∠C =∠DEB ，可证∠ADE =∠AED ，可得AD =AE ，进而即可求解．【详解】解：如图，在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△CBD 和△EBD 中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBD ≌△EBD （SAS ），∴∠CDB ＝∠BDE ，∠C ＝∠DEB ，∵∠C ＝2∠CDB ，∴∠CDE ＝∠DEB ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∴△ABC 的周长＝AD +AE +BE +BC +CD ＝AB +AB +CD ＝27，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3、A【分析】根据题意，可得,BE CE FBD ECA =∠=∠，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．【详解】 解：BF CE ∥∴FBD ECA ∠=∠ A. ,BE CE FBD ECA =∠=∠，AE DF =，不能根据SSA 证明三角形全等，故该选项符合题意；B. AB CD =AB BC BC CD ∴+=+AC BD ∴=,BE CE FBD ECA =∠=∠,∴ACE DBF ≌()SAS故能判定ACE DBF ≌，不符合题意； C. ,BE CE FBD ECA =∠=∠,E F ∠=∠，∴ACE DBF ≌()ASA ，故能判定ACE DBF ≌，不符合题意；D.AE DF ∥A D ∴∠=∠,BE CE FBD ECA =∠=∠∴ACE DBF ≌()AAS ，故能判定ACE DBF ≌，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．4、C【分析】根据SAS 证△ABE ≌△ACD ，推出∠C ＝∠B ，求出∠C 的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC ＝∠A +∠C ，代入求出即可．【详解】解：在△ABE 和△ACD 中，AE AD A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠C ＝∠B ，∵∠B ＝25°，∴∠C ＝25°，∵∠A ＝60°，∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°，故选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．5、A【分析】三角形的任意两条之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据原理再分别计算每组线段当中较短的两条线段之和，再与最长的线段进行比较，若和大于最长的线段的长度，则三条线段能构成三角形，否则，不能构成三角形，从而可得答案.【详解】解：345,所以以3cm，4cm，5cm为边能构成三角形，故A符合题意；3+3=6,所以以3cm，3cm，6cm为边不能构成三角形，故B不符合题意；4+510,所以以5cm，10cm，4cm为边不能构成三角形，故C不符合题意；1+2=3,所以以1cm，2cm，3cm为边不能构成三角形，故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是三角形的三边之间的关系，掌握“利用三角形三边之间的关系判定三条线段能否组成三角形”是解本题的关键.6、A【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB=35°，再根据全等三角形性质即可求出∠CAD=35°．【详解】解：∵∠BAC=80°，∠ABC=65°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=35°，∵△ABC≌△CDA，∴∠CAD=∠ACB=35°．故选：A【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，熟知两个定理是解题关键．7、C【分析】根据题意画出图形，求出∠ABC+∠ACB=130°，根据角平分线的定义得到∠CBD=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理和角的代换即可求解．【详解】解：如图，∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠CBD=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-∠CBD-∠ECB=180°-（∠CBD+∠ECB）=180°- 12（∠ABC+∠ACB）=180°- 12×130°=115°．故选：C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理，并能根据角平分线的定义进行角的代换是解题关键．8、C【分析】延长BD 交AC 于点E ，根据角平分线及垂直的性质可得：BAD EAD ∠=∠，ADB ADE ∠=∠，依据全等三角形的判定定理及性质可得：ABD AED ≌，BD DE =，再根据三角形的面积公式可得：S SSSS =S SSSS ，S SSSS =S SSSS ，得出S SSSS =12S SSSS ，求解即可．【详解】解：如图，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 平分BAE ∠，AD BD ⊥，∴BAD EAD ∠=∠，ADB ADE ∠=∠，在ABD 和AED 中，BAD EAD AD ADADB ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABD AED ≌，∴BD DE =，∴S SSSS =S SSSS ，S SSSS =S SSSS ，∴S SSSS =12S SSSS =12×18=9，故选：C ．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，熟练掌握基础知识，进行逻辑推理是解题关键．9、C【分析】根据三角形内角和定理确定50ABC ∠=︒，然后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：∵40BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴50ABC ∠=︒，∵a b ∥，∴150ABC ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】题目主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．10、C【分析】设三角形第三边的长为x cm ，再根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，找出符合条件的x 的值即可．【详解】解：设三角形的第三边是xcm ．则7-3＜x ＜7+3．即4＜x ＜10，四个选项中，只有选项C 符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．二、填空题1、65°65度【分析】由三角形的内角和定理，得到180A B C ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；【详解】解：在ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=︒，∵50,A B C ∠=︒∠=∠，∴502180B ︒+∠=︒，∴65B ∠=︒；故答案为：65°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于360°．2、67.5°【分析】连接AE ，先得出∠BAC =12∠BAE ，再根据AD DE =，得出∠BAC =22.5°，最后得出结果．【详解】解：连接AE，∵点C是BE中点，∴BC=CE，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BE，∴AB=AE，∴∠BAC=1∠BAE，2∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵AD DE，∴∠AED=∠DAE=45°，∠BAE=22.5°，∴∠BAC=12∴∠B=90°-∠BAC=67.5°．故答案为：67.5°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．（答案不唯一）3、CA CD【分析】由已知有BA=BD，BC边公共，由三角形全等的判定定理，可以添加这两边的夹角相等或第三边相等，均可使得△ABC ≌△DBC．【详解】添加CA=CD，则由边边边的判定定理即可得△ABC ≌△DBC故答案为：CA=CD（答案不唯一）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的几个判定定理是解题的关键．4、∠D=∠C或∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD或PD=PC 或AC=BD．【分析】已有∠P是公共角和边PA=PB，根据全等三角全等的条件，利用AAS需要添加∠D=∠C，根据ASA需要添加∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD，根据边角边需要添加 PD=PC 或PC=PD．填入一个即可．【详解】解：∵PA=PB，∠P是公共角，∴根据AAS可以添加∠D=∠C，，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠D=∠C，∴△PAD≌△PBC（AAS）．根据ASA可以添加∠PAD=∠PBC，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC，∴△PAD≌△PBC（ASA）．根据ASA可以添加∠DBC=∠CAD，∴180°-∠DBC=180°-∠CAD，即∠PAD=∠PBC，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC，∴△PAD≌△PBC（ASA）．根据SAS可添加PD=PC在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，PD=PC，∴△PAD≌△PBC（SAS）．根据SAS可添加BD=AC，∵PA=PB，BD=AC，∴PA+AC=PB+BD即PC=PD，在△PAD和△PBC中，∵PA=PB，∠P是公共角，PD=PC，∴△PAD≌△PBC（SAS）．故答案为：∠D=∠C或∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD或PD=PC 或AC=BD．【点睛】本题考查三角形全等添加条件，掌握三角形全等判定方法与定理是解题关键．5、55【分析】先求出∠EDC=35°，然后根据平行线的性质得到∠C=∠EDC=35°，再由直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：∵∠1=145°，∴∠EDC =35°，∵DE ∥BC ，∴∠C =∠EDC =35°，又∵∠A =90°，∴∠B =90°-∠C =55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，求出∠C 的度数是解题的关键．三、解答题1、40【分析】先由旋转的性质证明,70,AB AD ADE B 再利用等边对等角证明70,ADB B 从而可得答案.【详解】 解： 把△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，∠B ＝70°，,70,AB AD ADE B 70,ADB B18040.CDE ADB ADE 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键.2、（1）见解析；（2）105︒【分析】（1）根据平行线的性质可得A D ∠=∠，根据线段的和差关系可得AC DB =，进而根据SAS 即证明AEC DFB ≅；（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E ，进而根据（1）的结论即可求得∠F ．【详解】（1）证明：AE DF ∥∴A D ∠=∠， AB CD =∴AB BC BC CD +=+即AC BD = 又AE DF =，∴AEC DFB ≅（2）解：40A ∠=︒，145ECD ∠=︒，18035ECA ECD ∴∠=︒-∠=︒180105E A ECA ∴∠=︒-∠-∠=︒AEC DFB ≅F E ∴∠=∠105=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3、见解析【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．【详解】证明：如图，过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，AD=AE，∴BF=CF，DF=EF，∴BF-DF=CF-EF，∴BD=CE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．4、见解析【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE=∠BAD，等量代换得到∠ADE=∠CAD于是得到结论．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD，∴∠ADE=∠CAD，∴AE=ED，∴△AED是等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．5、证明见解析.【分析】延长CE交AB于F，求出∠AEC＝∠AEF，∠FAE＝∠CAE，根据ASA证△FAE≌△CAE，推出∠ACE＝∠AFC，根据三角形外角性质得出∠AFC＝∠B＋∠ECD，代入即可．【详解】证明：延长CE交AB于F，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠AEF，∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE，在△FAE和△CAE中，∵FAE CAE AE AE AEF AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FAE ≌△CAE （ASA ），∴∠ACE ＝∠AFC ，∵∠AFC ＝∠B ＋∠ECD ，∴∠ACE ＝∠B ＋∠ECD ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作辅助线后求出∠AFC ＝∠ACE ．6、见解析【分析】根据平行线的性质得出∠B ＝∠E ，进而利用SAS 证明ABC DEF ≅，利用全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：FB CE =，FB CF CE CF ∴+=+，即BC EF =．//AB DE ，B E ∴∠=∠．在ABC 和DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DEF SAS ∴≅△△A D ∴∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ABC DEF ≅是解题的关键．7、（1）2；（2）当0≤t ≤3时，DM =3-t ，当3＜t ≤8时，DM =t -3；（3）2或1【分析】（1）根据题意得：335t t +=+ ，解得：2t =，即可求解；（2）根据题意得：当0≤t ≤3时，AM =t ，则DM =3-t ，当3＜t ≤8时，DM =t -3，即可求解；（3）根据ME ⊥PQ ，NF ⊥PQ ，可得∠DEM =∠DFN =90°，再由∠ADC =90°，可得∠DME =∠FDN ，从而得到当DEM 与DFN 全等时，DM =DN ，根据题意可得M 到达点D 时，331t == ，M 到达点C 时，8t = ，N 到达点D 时，53t = ，N 到达点A 时，83t =，然后分两种情况：当503t ≤≤时和当5833t <≤时，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：335t t +=+ ，解得：2t =，即在运动过程中当M 、N 两点相遇时，t 的值为2；（2）根据题意得：当0≤t ≤3时，AM =t ，则DM =3-t ，当3＜t ≤8时，DM =t -3；（3）∵ME ⊥PQ ，NF ⊥PQ ，∴∠DEM =∠DFN =90°，∴∠EDM + ∠DME =90°，∵∠ADC =90°，∴∠EDM +∠FDN =90°，∴∠DME =∠FDN ， ∴当DEM 与DFN 全等时，DM =DN ，∵M 到达点D 时，331t == ，M 到达点C 时，8t = ， N 到达点D 时，53t = ，N 到达点A 时，83t =， 当503t ≤≤时，DM =3-t ，CN =3t ，则DN =5-3t ，∴3-t =5-3t ，解得：t =1，∴此时DN =5-3t =2， 当5833t <≤时，DM =3-t ，DN =3t -5， ∴3-t =3t -5，解得：2t = ，∴DN =3t -5=1， 综上所述，当DEM 与DFN 全等时，所有满足条件的DN 的长为2或1．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，动点问题，利用分类讨论思想解答是解题的关键．8、（1）AEA '，BEB '，AEA BEB ''，，90；（2）①∠1、∠2；②∠CME 或∠NEB ．【分析】()11118090222BEB AEA BEB '''∠=∠+∠=⨯︒=︒ 【详解】解：（1）∵折叠∴EN 是AEA '∠的平分线，EM 是BEB '∠的平分线，∴∠NEA =∠NEA ′=12AEA '∠，∠BEM =∠B′EM=12BEB '∠，∵AEB ∠是平角．∴∠NEM =∠NEA ′+∠B′EM==12AEA '∠+()11118090222BEB AEA BEB '''∠=∠+∠=⨯︒=︒， 故答案为：AEA '，BEB '，AEA BEB ''，，90；（2）①∵∠1=∠2，∠A′EN =∠3，∠NEM =90°，∴∠A′EN +∠1=∠NEM =90°，∴A EN '∠互为余角为∠1和∠2，故答案为：∠1、∠2；②∵∠A′EN =∠3，∠3+∠NEB =180°，∴∠A′EN 的补角为∠NEB ．∵∠B =90°，∴∠2+∠EMB =90°，∴∠3=∠EMB ，∵∠CME +∠EMB =180°，∴∠3+∠CME =180°，∴∠A′EN 的补角为∠CME ，∴∠A′EN 的补角为∠CME 或∠NEB ．故答案为∠CME 或∠NEB ．【点睛】本题考查折叠性质，平角，角平分线，余角性质，补角性质，掌握折叠性质，平角，角平分线，余角性质，补角性质是解题关键．9、∠AFB ＝40°．【分析】由题意易得∠ADC ＝90°，∠ACB ＝80°，然后可得11,22MAE MAC ABF ABC ∠=∠∠=∠，进而根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵AD ⊥BE ，∴∠ADC ＝90°，∵∠DAC ＝10°，∴∠ACB ＝90°﹣∠DAC ＝90°﹣10°＝80°，∵AE 是∠MAC 的平分线，BF 平分∠ABC ， ∴11,22MAE MAC ABF ABC ∠=∠∠=∠， 又∵∠MAE ＝∠ABF +∠AFB ，∠MAC ＝∠ABC +∠ACB ，∴∠AFB ＝∠MAE ﹣∠ABF ＝()11111804022222MAC ABC MAC ABC ACB ∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质及角平分线的定义是解题的关键．10、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据CE ⊥AB ，BF ⊥AC 就可以得出∠BED =∠CFD =90°，就可以由AAS 得出结论；（2）由（1）得DE =DF ，就可以得出BF =CE ，由AAS 就可以得出△AFB ≌△AEC 就可以得出结论．【详解】证明：（1）∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BED ≌△CFD （AAS ）；（2）∵△BED ≌△CFD ，∴DE ＝DF ，∴BD +DF ＝CD +DE ，∴BF ＝CE ，在△ABF 和△ACE 中，B C A A BF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△ACE （AAS ），∴AE ＝AF ．【点睛】本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．。
2022年精品解析沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形章节测试练习题(含详解)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形章节测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF 上的点B′处，得折痕EM，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，则图中与∠B′ME互余的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．63、如图，ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则BA A ∠'的度数是（ ）A ．50°B ．70°C ．110°D ．120°4、已知，ABC ，DEF ，MNP △的相关数据如图所示，则下列选项正确的是（ ）A ．ABC PNM ≌B ．DEF PNM ≌C ．PN EF =D ．F A ∠=∠5、如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（）A ．21B ．24C ．27D ．306、如图，已知ACD ∠为ABC 的外角，60ACD ∠=︒，20B ∠=︒，那么A ∠的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°7、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°8、如图，点D 、E 分别在∠ABC 的边BA 、BC 上，DE ⊥AB ，过BA 上的点F （位于点D 上方）作FG ∥BC ，若∠AFG =42°，则∠DEB 的度数为（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°9、如图，将ABC 的BC 边对折，使点B 与点C 重合，DE 为折痕，若65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，则B ∠=（ ）．A ．45°B ．60°C ．35°D ．40°10、如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，点E 、F 在AD 两侧，BF CE ∥，BF CE =，添加下列条件不能判定ACE DBF ≌的是（ ）A ．AE DF =B ．AB CD =C ．E F ∠=∠D ．AE DF ∥第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=______．2、已知：如图，AB = DB ．只需添加一个条件即可证明ABC DBC ≌△△．这个条件可以是______．（写出一个即可）．3、如图，在ABC 中，AB AC =，40A ∠=︒，E 为BC 延长线上一点，ABC ∠与ACE ∠的平分线相交于点D ，则∠D 的度数为______．4、等腰三角形中，一条边长是2cm，另一条边长是3cm，这个等腰三角形的周长是________．5、如图，在ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝_______．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．2、如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，连接DE、AC相交于点F，∠BAE＝∠CAD，AB＝AE，AD＝AC．（1）求证：∠DEC ＝∠BAE ；（2）如图2，当∠BAE ＝∠CAD ＝30°，AD ⊥AB 时，延长DE 、AB 交于点G ，请直接写出图中除△ABE 、△ADC 以外的等腰三角形．3、在等边ABC 中，D 、E 是BC 边上两动点（不与B ，C 重合）（1）如图1，,25AD AE BAD =∠=︒，求AEB ∠的度数；（2）点D 在点E 的左侧，且AD =AE ，点E 关于直线AC 的对称点为F ，连接AF ，DF ．①依题意将图2补全；②求证：AD DF =．4、如图，在△ABC 中， AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，连接EC ．求证：CE 平分∠ACB ．5、如图，ABC 是等边三角形，D 点是BC 上一点，2BD CD =，DE AB ⊥于点E ，CE 交AD 于点P ．求APE ∠的度数．6、如图，在ABC 中，CD 是ACB ∠的平分线，点E 在边AC 上，且DE CE =．（Ⅰ）求证：∥DE BC ；（Ⅱ）若50A ∠=︒，60B ∠=︒，求BDC ∠的大小．7、如图，已知△ABC ≌△DEB ，点E 在AB 上，AC 与BD 交于点F ，AB ＝6，BC ＝3，∠C ＝55°，∠D ＝25°．（1）求AE 的长度；（2）求∠AED 的度数．8、如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，CE AD ⊥于点E ．求证：ACE B ECD ∠=∠+∠．9、已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE=AC ．求证：AD ∥CE ．10、如图，90B ∠=︒，90C ∠=︒，E 为BC 中点，DE 平分ADC ∠．（1）求证：AE 平分DAB ∠；（2）求证：AE DE ⊥；（3）求证：DC AB AD +=．-参考答案-一、单选题1、C 【分析】先由翻折的性质得到∠AEN=∠A′EN，∠BEM=∠B′EM，从而可知∠NEM=12×180°=90°，然后根据余角的定义找出∠B′ME的余角即可．【详解】解：由翻折的性质可知：∠AEN=∠A′EN，∠BEM=∠B′EM．∠NEM=∠A′EN+∠B′EM=12∠AEA′+12∠B′EB=12×180°=90°．由翻折的性质可知：∠MB′E=∠B=90°．由直角三角形两锐角互余可知：∠B′ME的一个余角是∠B′EM．∵∠BEM=∠B′EM，∴∠BEM也是∠B′ME的一个余角．∵∠NBF+∠B′EM=90°，∴∠NEF=∠B′ME．∴∠ANE、∠A′NE是∠B′ME的余角．综上所述，∠B′ME的余角有∠ANE、∠A′NE、∠B′EM、∠BEM．故选：C．【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、余角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．2、A【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的格点C 点有0个；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的格点C 点有3个．故共有3个点，故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．3、B【分析】根据旋转可得40A BA ABC ∠'=∠=︒，A B AB '=，得70BAA ∠'=︒．【详解】解：90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒，90904050CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，40A BA ABC ∴∠'=∠=︒，A B AB '=，1(18040)702BAA BA A ∴∠'=∠'=⨯︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．4、D【分析】根据三角形内角和定理分别求出三个三角形中未知角的度数，然后依据全等三角形的判定定理，从三个三角形中寻找条件证明全等，即可得出选项．【详解】解：180307080C ∠=︒-︒-︒=︒，180308070F ∠=︒-︒-︒=︒，在ABC ∆与ΔΔΔΔ中，C D B E AB EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC ∆≅ΔΔΔΔ，∴A F ∠=∠，A 、B 、C 三个选项均不能证明，故选：D ．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练运用全等三角形的判定定理是解题关键．5、C【分析】根据题意在AB 上截取BE =BC ，由“SAS ”可证△CBD ≌△EBD ，可得∠CDB =∠BDE ，∠C =∠DEB ，可证∠ADE =∠AED ，可得AD =AE ，进而即可求解．【详解】解：如图，在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△CBD 和△EBD 中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBD ≌△EBD （SAS ），∴∠CDB ＝∠BDE ，∠C ＝∠DEB ，∵∠C ＝2∠CDB ，∴∠CDE ＝∠DEB ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∴△ABC 的周长＝AD +AE +BE +BC +CD ＝AB +AB +CD ＝27，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【分析】根据三角形的外角性质解答即可．【详解】解：∵∠ACD ＝60°，∠B ＝20°，∴∠A ＝∠ACD −∠B ＝60°−20°＝40°，故选：B ．【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．7、C【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE ，∠ACB =∠DCE 即∠ACD =∠BCE ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B =∠BEC 和∠BCE 即可．【详解】解：∵ABC DEC ≌△△，∴BC=CE ，∠ACB =∠DCE ，∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ，∵75B ∠=︒，∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得42B AFG ∠=∠=︒，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．【详解】解：∵FG BC ∥，∴42B AFG ∠=∠=︒，∵DE AB ⊥，∴90BDE ∠=︒，∴18048DEB BDE B ∠=︒-∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．9、A【分析】由折叠得到∠B =∠BCD ，根据三角形的内角和得∠A +∠B +∠ACB =180°，代入度数计算即可．【详解】解：由折叠得∠B =∠BCD ，∵∠A +∠B +∠ACB =180°，65A ∠=︒，25ACD ∠=︒，∴65°+2∠B +25°=180°，∴∠B =45°，故选：A ．【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟记折叠的性质是解题的关键．10、A【分析】根据题意，可得,BE CE FBD ECA =∠=∠，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．【详解】 解：BF CE ∥∴FBD ECA ∠=∠ A. ,BE CE FBD ECA =∠=∠，AE DF =，不能根据SSA 证明三角形全等，故该选项符合题意；B. AB CD =AB BC BC CD ∴+=+AC BD ∴=,BE CE FBD ECA =∠=∠,∴ACE DBF ≌()SAS故能判定ACE DBF ≌，不符合题意； C. ,BE CE FBD ECA =∠=∠,E F ∠=∠，∴ACE DBF ≌()ASA ，故能判定ACE DBF ≌，不符合题意；D.AE DF ∥A D ∴∠=∠,BE CE FBD ECA =∠=∠∴ACE DBF ≌()AAS ，故能判定ACE DBF ≌，不符合题意；故选A【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．二、填空题1、180度180︒【分析】如图，连接,BC 记,CD BE 的交点为,G 先证明,DE GBC GCB 再利用三角形的内角和定理可得答案.【详解】解：如图，连接,BC 记,CD BE 的交点为,G180,180,,DE DGE GBC GCB BGC DGE BGC ,DE GBC GCB 180,AABG GBC GCB ACG 180,A ABG ACG D E故答案为：180︒【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键.2、AC =DC【分析】由题意可得，BC 为公共边，AB =DB ，即添加一组边对应相等，可证△ABC 与△DBC 全等．【详解】解：∵AB =DB ，BC =BC ，添加AC =DC ，∴在△ABC 与△DBC 中，AB DB BC BC AC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DBC （SSS ），故答案为：AC =DC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．3、20°度【分析】 根据角平分线的性质得到1,122DBC ABC DCE ACE ∠=∠∠=∠，再利用三角形外角的性质计算． 【详解】解：∵ABC ∠与ACE ∠的平分线相交于点D ， ∴1,122DBC ABC DCE ACE ∠=∠∠=∠， ∵∠ACE=∠A+∠ABC ，∠DCE=∠D +∠DBC ，∴∠D=∠DCE-∠DBC =11()2022ACE ABC A ∠-∠=∠=︒，故答案为：20°．【点睛】此题考查了三角形的外角性质及角平分线的性质，熟记三角形外角的性质定理是解题的关键．4、8cm或【分析】因为已知长度为2cm和3cm两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：①当2cm为底时，其它两边都为3cm，2cm、3cm、3cm可以构成三角形，周长为8cm；②当3cm为底时，其它两边都为2cm，2cm、2cm、3cm可以构成三角形，周长为7cm；故答案为：8cm或7cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，解题的关键是利用分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要．5、72°72度【分析】根据AB＝AC求出∠ACB，利用BD＝BC，求出∠BDC的度数．【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴1(180)722ABC ACB A∠=∠=︒-∠=︒，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠ACB＝72°，故答案为：72°．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，熟记性质是解题的关键．三、解答题1、∠AFE=50°．【分析】根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=11804022ACB∠=⨯︒=︒，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．【详解】解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，∴∠ECB=11804022ACB∠=⨯︒=︒，∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，∴∠AFE=∠DFC=50°．【点睛】本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．2、（1）见解析；（2）△AEF、△ADG、△DCF、△ECD【分析】（1）根据已知条件得到∠BAE＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC ＝∠AEB ，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】证明：（1）如图1，∵∠BAE ＝∠CAD ， ∴∠BAE ＋∠CAE ＝∠CAD ＋∠CAE ，即∠BAC ＝∠EAD ，在△AED 与△ABC 中，AB AE BAC EAD AD AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AED ≌△ABC ，∴∠AED ＝∠ABC ，∵∠BAE ＋∠ABC ＋∠AEB ＝180°，∠CED ＋∠AED ＋∠AEB ＝180°，∵AB ＝AE ，∴∠ABC ＝∠AEB ，∴∠BAE ＋2∠AEB ＝180°，∠CED ＋2∠AEB ＝180°，∴∠DEC ＝∠BAE ；（2）解：如图2，①∵∠BAE ＝∠CAD ＝30°，∴∠ABC ＝∠AEB ＝∠ACD ＝∠ADC ＝75°， 由（1）得：∠AED ＝∠ABC ＝75°，∠DEC ＝∠BAE ＝30°，∵AD ⊥AB ，∴∠BAD ＝90°，∴∠CAE ＝30°，∴∠AFE ＝180°−30°−75°＝75°，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴△AEF 是等腰三角形，②∵∠BEG ＝∠DEC ＝30°，∠ABC ＝75°，∴∠G ＝45°，在Rt △AGD 中，∠ADG ＝45°，∴△ADG 是等腰直角三角形，③∠CDF ＝75°−45°＝30°，∴∠DCF ＝∠DFC ＝75°，∴△DCF 是等腰直角三角形；④∵∠CED ＝∠EDC ＝30°，∴△ECD 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3、（1）85︒；（2）①作图见解析；②证明见解析【分析】（1）等边三角形ABC 中60BAC B C ∠=∠=∠=︒，由AD AE =知ADC AEB ∠=∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，进而求出AEB ∠的值；（2）①作图见详解；②ADE B BAD ∠=∠+∠ ，AED C EAC ∠=∠+∠，BAD EAC ∠=∠，点E ，F 关于直线AC 对称，EAC FAC ∠=∠，AE AF AD ==，60FAC DAC BAD DAC ∠+∠=∠+∠=︒，ADF 为等边三角形，进而可得到AD DF =．【详解】解：（1）ABC 为等边三角形85ADC BAD B ∴∠=∠+∠=︒AD AE =85AEB ADC ∴∠=∠=︒．（2）①补全图形如图所示，②证明：ABC 为等边三角形60B C BAC ∴∠=∠=∠=︒AD AE =ADE AED ∴∠=∠ADE B BAD ∠=∠+∠ ，AED C EAC ∠=∠+∠BAD EAC ∴∠=∠点E ，F 关于直线AC 对称EAC FAC ∠=∠∴，AE AF =60FAC DAC BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠=︒即60DAF=∠︒ADF ∴为等边三角形AD AF ∴=．【点睛】本题考察了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质．解题的关键在于角度的转化．4、见解析【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，从而得到△BDE ≌△CDE ，进而得到∠DCE =∠DBE ，再由BE 平分∠ABC ，可得12DBE ABC ∠=∠ ，进而得到12DCE ACB ∠=∠，即可求证．【详解】解：∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，∴∠ADB =∠ADC =90°，∠ABC =∠ACB ，BD =CD ，∵DE =DE ，∴△BDE ≌△CDE ，∴∠DCE =∠DBE ，∵BE 平分∠ABC ， ∴12DBE ABC ∠=∠ ， ∴12DCE ABC ∠=∠， ∴12DCE ACB ∠=∠， ∴CE 平分∠ACB ．本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．5、60APE ∠=︒【分析】由题意易得60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，则有30BDE ∠=︒，然后可得BE CD =，进而可证BEC CDA ≌，则有BCE =∠∠CAD ，最后问题可求解．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，∵DE AB ⊥，∴90DEB ∠=︒，∴30BDE ∠=︒，∴2BD BE =，∵2BD CD =，∴BE CD =，∴BEC CDA ≌（SAS ），∴BCE =∠∠CAD ，∵,60APE PAC ACP ACB DAC ACP ∠=∠+∠∠=∠+∠=︒，∴60APE ACB ∠=∠=︒．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．6、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）85︒【分析】（Ⅰ）由CD 是ACB ∠的平分线得出DCB DCE ∠=∠，由DE CE =得出CDE DCE ∠=∠从而得出DCB CDE ∠=，由平行线的判断即可得证；（Ⅱ）由三角形内角和求出70ACB ∠=︒，由角平分线得出35BCD ∠=︒，由三角形内角和求出BDC ∠即可得出答案．【详解】（Ⅰ）∵CD 是ACB ∠的平分线，∴DCB DCE ∠=∠，∵DE CE =，∴CDE DCE ∠=∠，∴DCB CDE ∠=，∴∥DE BC ；（Ⅱ）∵50A ∠=︒，60B ∠=︒，∴180506070ACB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴1352BCD ACB ∠=∠=︒，∴18085BDC B BCD ∠=︒-∠-∠=︒．【点睛】本题考查平行线的判定以及三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键7、（1）3AE =；（2）80AED ∠=︒．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得3BE BC ==，再根据线段的和差即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得55DBE C ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：（1）∵,3ABC DEB BC ≅=，∴3BE BC ==，∵6AB =，∴633AE AB BE =-=-=；（2）∵ABC DEB ≅△△，∴55DBE C ∠=∠=︒，∵25D ∠=︒，∴552580AED DBE D ∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．8、证明见解析.【分析】延长CE 交AB 于F ，求出∠AEC ＝∠AEF ，∠FAE ＝∠CAE ，根据ASA 证△FAE ≌△CAE ，推出∠ACE ＝∠AFC ，根据三角形外角性质得出∠AFC ＝∠B ＋∠ECD ，代入即可．【详解】证明：延长CE 交AB 于F ，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠AEF，∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE，在△FAE和△CAE中，∵FAE CAEAE AEAEF AEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FAE≌△CAE（ASA），∴∠ACE＝∠AFC，∵∠AFC＝∠B＋∠ECD，∴∠ACE＝∠B＋∠ECD．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作辅助线后求出∠AFC＝∠ACE．9、见解析．【分析】先根据角平分线的定义得到∠BAD=12∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E=12∠BAC，从而得到∠BAD=∠E，即可证明AD∥CE．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，∵AE=AC，∴∠E=∠ACE，∵∠E+∠ACE=∠BAC，∠BAC，∴∠E=12∴∠BAD=∠E，∴AD∥CE．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．10、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）延长DE交AB延长线于F，由∠B=∠C=90°，推出AB∥CD，则∠CDE=∠F，再由DE平分∠ADC，即可推出∠ADF=∠F，得到AD=AF，即△ADF是等腰三角形，然后证明△CDE≌△BFE得到DE=FE，即E 是DF的中点，即可证明AE平分∠BAD；（2）由（1）即可用三线合一定理证明；（3）由△CDE≌△BFE，得到CD=BF，则AD=AF=AB+BF=AB+CD．【详解】解：（1）如图所示，延长DE交AB延长线于F，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠CDE=∠F，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ADE，∴∠ADF=∠F，∴AD=AF，∴△ADF是等腰三角形，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴△CDE≌△BFE（AAS），∴DE=FE，∴E是DF的中点，∴AE平分∠BAD；（2）由（1）得△ADF是等腰三角形，AD=AF，E是DF的中点，∴AE⊥DE；（3）∵△CDE≌△BFE，∴CD=BF，∴AD=AF=AB+BF=AB+CD．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．。
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y -4
一、选择题
七年级下数学练习（十四）
1、已知点P (x, y) 的坐标满足| x +1| += 0 ，则点P 在（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
2、如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA，且PC=2，点D 为OB 边上的一个动点，则PD
的最小值为（）
A、1
B、2
C、3
D、4
3、如图，点P1的坐标为(0, 2) ，然后向右连续90°翻转，依次落在P2、P3、……则
点P2012 的坐标为（）
A、(1006, 0)
B、(1006,1006)
C、(2012, 0)
D、(2012, 2012)
4、如图，以AB 为腰的等腰三角形的第三个顶点也在格点上，则满足要求的点共有（）
A、2 个
B、4 个
C、5 个
D、6 个
二、填空题
5、如图，已知OA=OD,要使△ABC≌△DOB，则可以添加的一个条件是：；
6、若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为；
7、点P(x, x +y) 与Q( y + 3, x - 3) 关于x 轴对称，则PQ=；
8、如图，已知AB=AC，AD=AE,∠A=50°，∠B=33°，则∠EOC=；
9、将点(2, -4) 向左平移6 个单位，再向上平移2 个单位，得到的点坐标为；
10、已知等腰三角形的腰长为6，则它的周长（设为C）范围为；
11、如图，AB=AC,BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD=；
(第11 题图) (第12 题图) (第13 题图) (第15 题图)
12、如图，∠AOB 是一个钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，在内部加了一些钢
管EF、FG、GH……长度都与OE 相等，则最多能添加根这样的钢管；
13、如图，△ABC、△ADE 都是等腰直角三角形，且B、C、E 共线，∠CAE=20°，则∠ CDE=；
14、位于过点A（-2,1）、垂直于y轴的直线上，且与点A 距离为3 的点坐标为；
15、如图，O为△ABC 内一点，OA=OB=OC，若∠OAB=24，∠OAC=30°，则∠OBC=；
16、如图所示正方形网格，若点A 表示（-2,3），点C 表示（2,2），则按此规律，点B 表示
；
三、简答题
17、已知点A 位于第三象限，且到x 轴、y 轴的距离分别是3 和2，点B 位于直线x = 2 和直线y = 1的交界处。
点C 位于二、四象限坐标轴夹角平分线上且纵坐标为1.
（1）建立正确的直角坐标系，并画出点A、B、C；
（2）求△ABC 的面积；
（3）在坐标轴上找一点D，使得△BCD 成为等腰三角形，则符合条件的点D 共有个；（4）在坐标系中找一点E，使得A、B、C、E 可组成平行四边形，则符合条件的点E 坐标为；
18、已知点A（-2,0），B（-1,2），C（0，-1），D（2,0），E（1,2），求△ABC 的面积。
19、如图所示直角坐标系，四边形ABCD 为等腰梯形，即AD∥BC 且AB=CD。
（1）写出A、B、C、D 各点的坐标；
A 、B
C、D
(2)梯形ABCD 的面积为；若在y 轴负
半轴上有一点P，使得△ADP 的面积和梯形ABCD 的
面积相等，则点P 坐标为；
(3)点C 关于原点的对称点坐标为；
(4)AB 与x 轴的交点坐标为；直线AB、
CD 的交点坐标为；
四、解答题
20、如图，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2=∠3.
求证：∠EMA=∠DNA。
21、如图，△ABC 中，∠ACB>∠ABC，BE、CD 交于点O。
（1）若BE、CD 恰好分别平分∠ABC、∠ACB，且∠A=70°，则∠BOC=；
（2）若BE、CD 为高，且CB=CA，∠EBC=8°，则∠ABE=；
1
（3）若∠1=∠2= ∠A，求证：BD=CE。
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(第1 小问) (第2 小问) (第3 小问)
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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。