《因式分解》课件
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七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
电子设备应用
许多电子设备和在线应用程序也具有因式分解的功 能。这些应用程序可以轻松地将表达式转化为简单 的乘积形式，使学生更容易地完成作业和考试。
因式分解实战：练习题解析
1
练习题1
将2x²+4x+2分解为乘积的形式。
练习题2
2
将5x³-10x²+5x分解为乘积的形式。
3
练习题3
将3x²-12分解为乘积的形式。
2
组项法
当一个多项式无法使用其它因式分解法进行处理时，我们可以尝试使用组项法将 其转化为易于操作的形式。
3
结合运用
拆项法和组项法可以结合使用，以便更深入地理解一个多项式的性质和因式分解 的方法。
如何判断一个表达式能否进行因式分 解？
1 首先看表达式的形式
如果一个表达式不是多项式，那么它就不能进行因式分解。例如无理数、指数、对数等 等。
因式分解
在学习数学时，我们会遇到各式各样的方程式。因式分解是解决这些方程式 的关键。这个PPT将会为你详细介绍因式分解的基本概念、方法和应用。
什么是因式分解？
方程式
因式分解是指将一个式子拆分成不可再分解的乘积 的过程。
因式分解
因式分解可以用来简化复杂的算术问题，从而使它 们更容易被理解。
类比
因式分解就像是把一个拼图拆散，然后把每个单独 的拼图拼接起来，最后形成整个图片。
常见错误及优化Βιβλιοθήκη 略错误1 ：略过公因数当多项式中存在公因数时，一些学生可能会疏 忽掉它，导致无法正确进行因式分解。应该一 步步进行，先找到公因数，再继续进行因式分 解。
策略：重复练习
因式分解是一个需要反复练习的过程。只有在 实践中不断尝试和发现错误，才能逐渐掌握因 式分解的规律和技巧，并且在考试或其它应用 中更准确、更快捷地进行因式分解。
因式分解复习课件
五项:常考虑二三分组
例1：把a2 ab ac bc分解因式。 解：原式 (a2 ab) (ac bc)
a(a b) c(a b) (a b)(a c)
练习:：把m2 5n mn 5m分解因式。 把x2 y2 ax ay分解因式。
例2：把a2 2ab b2 c2分解因式。 解：原式 (a2 2ab b2 ) c2 (a b)2 c2 (a b c)(a b c)
提公因式法：
（1）x-y=-(y-x)
(2) -x-y=-(x+y)
(3) (x-y)2=(y-x)2
(4) (x-y)3=-(y-x)3
3.一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
顺口溜：
x
5
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱
x
3
(3x) (5x) 8x
例4 分解因式 a2 10ab 9b2 (a 9b)(a b)
a
9b
a
b
练习: (1) x2 5x 6
(2) a2 2a 3
分
组 分
分组后能直接提取公因式
解
法
分组后能直接运用公式
四项:常考虑一三分组或者是二二分 组
解：(1)-x3z+x4y=x33(-z+xy).
(2)3x(a-b)+ 2y(b-a) =3x(a-b)-2y(a-b) =(a-b)(3x-2y)
把下列各式分解因式： （ x －y）3 － （ x －y） a2 － x2y2 (2)4p(1-q)3+2(q-1)2
例1：把a2 ab ac bc分解因式。 解：原式 (a2 ab) (ac bc)
a(a b) c(a b) (a b)(a c)
练习:：把m2 5n mn 5m分解因式。 把x2 y2 ax ay分解因式。
例2：把a2 2ab b2 c2分解因式。 解：原式 (a2 2ab b2 ) c2 (a b)2 c2 (a b c)(a b c)
提公因式法：
（1）x-y=-(y-x)
(2) -x-y=-(x+y)
(3) (x-y)2=(y-x)2
(4) (x-y)3=-(y-x)3
3.一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a)
顺口溜：
x
5
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱
x
3
(3x) (5x) 8x
例4 分解因式 a2 10ab 9b2 (a 9b)(a b)
a
9b
a
b
练习: (1) x2 5x 6
(2) a2 2a 3
分
组 分
分组后能直接提取公因式
解
法
分组后能直接运用公式
四项:常考虑一三分组或者是二二分 组
解：(1)-x3z+x4y=x33(-z+xy).
(2)3x(a-b)+ 2y(b-a) =3x(a-b)-2y(a-b) =(a-b)(3x-2y)
把下列各式分解因式： （ x －y）3 － （ x －y） a2 － x2y2 (2)4p(1-q)3+2(q-1)2
人教版八年级上册数学公开课《因式分解课件PPT》
3、12a2b3－8a3b2－16ab4
4、－5a2b+15ab2
巧妙计算:
1.13.8x0.125+86.2x1/8
2.已知a+b=5,ab=3,求a 2b+ab 2得值
3.计算5×34+24×33+63×32.
智力抢答
(1) 259x1/3+259x1/5+259x7/15
(2) 99 2+99
诊断：小明解得有误吗？
（1）把12x 2y+18xy 2分解因式 解：原式=3xy（4x+6y）
（2）把3x 2-6xy+x分解因式 解：原式=x(3x-6x)
（3）把-x 2+xy-xz分解因式 解：原式=-x(x+y-z)
注意:1.公因式要提尽 2.某项提出莫漏1 3.首项有负常提负
1、3mx-6my 2、x2y+xy2
( 5 ) 2x+4y+6z=2(x+2y&共的因式m,我们把因式 m叫做这个多项式的 公因式 由m(a+b+c) = ma+mb+mc可得:
ma+mb+mc =m(a+b+c)这样就把 ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个 因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是 ma+mb+mc除以 m所得的商,像这种分解因式的方 法叫做 提公因式法 .
综合闯关：
1、计算（-2）101+（-2）100
2已知，2x+y=4,xy=3,求代数式2x 2y+xy 2的值
因式分解
x2-1
4、－5a2b+15ab2
巧妙计算:
1.13.8x0.125+86.2x1/8
2.已知a+b=5,ab=3,求a 2b+ab 2得值
3.计算5×34+24×33+63×32.
智力抢答
(1) 259x1/3+259x1/5+259x7/15
(2) 99 2+99
诊断：小明解得有误吗？
（1）把12x 2y+18xy 2分解因式 解：原式=3xy（4x+6y）
（2）把3x 2-6xy+x分解因式 解：原式=x(3x-6x)
（3）把-x 2+xy-xz分解因式 解：原式=-x(x+y-z)
注意:1.公因式要提尽 2.某项提出莫漏1 3.首项有负常提负
1、3mx-6my 2、x2y+xy2
( 5 ) 2x+4y+6z=2(x+2y&共的因式m,我们把因式 m叫做这个多项式的 公因式 由m(a+b+c) = ma+mb+mc可得:
ma+mb+mc =m(a+b+c)这样就把 ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个 因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是 ma+mb+mc除以 m所得的商,像这种分解因式的方 法叫做 提公因式法 .
综合闯关：
1、计算（-2）101+（-2）100
2已知，2x+y=4,xy=3,求代数式2x 2y+xy 2的值
因式分解
x2-1
24《因式分解法》课件(共35张PPT)ppt课件
x＋2 = 0 或 3x－5 = 0
∴ x1 =－2 ，
x2 =
5 3
（3）x2－4 = 0
解：因式分解，得 (x＋2) (x－2) = 0 x＋2 = 0 或 x－2 = 0 ∴ x1 = －2， x
解：因式分解，得
3x 1 5 3x 1 5 = 0
PPT教学课件
回顾与复习
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法 (x+m)2=n (n≥0)
公式法
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
回顾与复习
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
以上解方程 x10 4.9 x 0的方法
是如何使二次方程降为一次的？
x10 4.9x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开 方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而 实现降次，这种解法叫做因式分解法．
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？
（精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
x2
100 49
x
50 49
例3.解下列方程 :
《因式分解》ppt全文课件
思路点拨：因式分解法解一元二次方程的步骤是： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解． 但要具体情况具体分析．
解：(1)方程可变形为 y(y＋7)＝0， ∴y＋7＝0 或 y＝0.∴y1＝－7，y2＝0. (2)∵方程可变形为 t(2t－1)－3(2t－1)＝0， ∴(2t－1)(t－3)＝0. ∴2t－1＝0 或 t－3＝0.∴t1＝12，t2＝3.
∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.
∴3x＋2＝0 或 12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
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4．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方 法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中 任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
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2．用因式分解法解下列方程： (1)(x－4)(x＋1)＝0； (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)． 解：(1)(x－4)(x＋1)＝0，即 x－4＝0 或 x＋1＝0. ∴x1＝4，x2＝－1. (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)， ∴(5x－1)(x＋1)－(6x＋1)(x＋1)＝0， (x＋1)(5x－1－6x－1)＝0. ∴(x＋1)(－x－2)＝0. 即 x＋1＝0 或－x－2＝0.∴x1＝－1，x2＝－2.
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
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【跟踪训练】
人教版《因式分解》ppt课件
因式分解的依据是什么？
因式，分解后得公因式和剩余因式相乘.
想一想：我们今天 学习了哪些知识？
25
归纳总结
1.因式分解： 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样
的式子变形叫做这个多项式的因式分解.
注：(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
(2)因式分解 互逆运算
整
式乘法
26
归纳总结
=(x-y)(3x-3y+2)
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-15xy÷5xy=-3
-10a2÷(-2a)=5a
-15xy÷5xy=-3
二提：提出公因式，用原式除以公因式得剩余
找出下列各题中的公因式：
注意：不要丢掉+1这项！
(2)因式分解
整式乘法
(1) ma +mb；
-2a÷(-2a)=1
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式 分 (解2).变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
5
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
pa＋pb＋pc pa pb pc
我们发现： 各项都有公共的因式p，我们把因式p叫做这
是把几个整式乘积的形式化为多项式.
你能尝试分解因式pa＋pb＋pc吗？
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-6a3÷(-2a)=3a2
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
=-2a(3a2+5a+1)
=(b-3a)2+2 (b-3a)
《因式分解》(上课)课件PPT2
＝(a＋b－c)(a－b＋c)． 第十四章 整式的乘法与因式分解
第十四章 整式的乘法与因式分解 (x＋3)(3x－4)
第十四章 整式的乘法与因式分解
(x＋3)(3x－4)
(x＋3)(3x－4)
第十四章 整式的乘法与因式分解
第十四章 整式的乘法与因式分解
第十四章 整式的乘法与因式分解
(x＋3)(3x－4)
１、板书课题：可贵的沉默。
多媒体课件。
沙沙春雨的声音。
教学本课可用1—2课时。
课件出示：
（3）再读句子。
(3)4xy(x＋y)2－6x2y(x＋y)．
解：4xy(x＋y)2－6x2y(x＋y) ＝2xy(x＋y)[2(x＋y)－3x] ＝2xy(x＋y)(2y－x)．
2．用简便方法计算： 22 022－5×22 021＋6×22 020＋2 022.
(x＋3)(3x－4)
换元法 8．下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4 进行因式分解的 过程． 解：设 x2－4x＝y，则 原式＝(y＋2)(y＋6)＋4 (第一步) ＝y2＋8y＋16 (第二步) ＝(y＋4)2 (第三步) ＝(x2－4x＋4)2. (第四步) 回答下列问题：
请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m3－2m2－4m＋8；
解：m3－2m2－4m＋8 ＝m2(m－2)－4(m－2)＝(m－2)(m2－4) ＝(m－2)(m＋2)(m－2)＝(m＋2)(m－2)2.
(2)x2－2xy＋y2－9.
解：x2－2xy＋y2－9＝(x－y)2－32
配方法
10．阅读下面文字内容： 对于形如 x2＋2ax＋a2 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分 解成(x＋a)2 的形式．但对于二次三项式 x2＋4x－5，就不能直接用完全平方 公式分解了．对此，我们可以添上一项 4，使它与 x2＋4x 构成一个完全平 方式，然后再减去 4，这样整个多项式的值不变，即 x2＋4x－5＝(x2＋4x＋ 4)－4－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1)．像这样，把一个 二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 请用配方法来解下列问题：
课件《因式分解》[实用版]_人教版2
![课件《因式分解》[实用版]_人教版2](https://img.taocdn.com/s3/m/83855fea4431b90d6d85c79e.png)
温故而知新
1.到目前为止，我们已经学过哪些解一元二 次方程的方法？
主要有：估算法、直接开平方法、配方法、公式法等。
用因式分解认法识求一解元一二元次二方次程方程
温故而知新
2.解下列方程
①. x22x150
②. x(x3)x3
用因式分解认法识求一解元一二元次二方次程方程
课题导入：
新知探索
问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
用因式分解法求解一元二次方程
解得, x 1= 0 , x2=
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
由方程 ，得
二看字母（找相同字母的最低次幂）。
（1）
（2）
x(5x4)0
x0 ， 或 5x40 .
∴
x1 = 0,
x2
4 5
用因式分解法求解一元二次方程
（2）原方程可变形为
x(x2)(x2)0
(x2)(x1)0
x 2 0 ， 或 x 1 0 .
∴
x1 2，x2 1.
新知探索
体现了一种什么 样的数学思想？
提问：1.例1主要用到了因式分解中的什么方法？ 提公因式法
5x + 1 = ±1.
2. 解下列方程： 用因式分解法求解一元二次方程
适合运用因式分解法
；
三化-----方程化为两个一元一次方程;
用因式分解法求解一元二次方程
(1)(3x2) 4(3x2) 主要有：估算法、直接开平方法、配方法、公式法等。 2
1.到目前为止，我们已经学过哪些解一元二 次方程的方法？
主要有：估算法、直接开平方法、配方法、公式法等。
用因式分解认法识求一解元一二元次二方次程方程
温故而知新
2.解下列方程
①. x22x150
②. x(x3)x3
用因式分解认法识求一解元一二元次二方次程方程
课题导入：
新知探索
问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
用因式分解法求解一元二次方程
解得, x 1= 0 , x2=
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
由方程 ，得
二看字母（找相同字母的最低次幂）。
（1）
（2）
x(5x4)0
x0 ， 或 5x40 .
∴
x1 = 0,
x2
4 5
用因式分解法求解一元二次方程
（2）原方程可变形为
x(x2)(x2)0
(x2)(x1)0
x 2 0 ， 或 x 1 0 .
∴
x1 2，x2 1.
新知探索
体现了一种什么 样的数学思想？
提问：1.例1主要用到了因式分解中的什么方法？ 提公因式法
5x + 1 = ±1.
2. 解下列方程： 用因式分解法求解一元二次方程
适合运用因式分解法
；
三化-----方程化为两个一元一次方程;
用因式分解法求解一元二次方程
(1)(3x2) 4(3x2) 主要有：估算法、直接开平方法、配方法、公式法等。 2
《公式法》因式分解PPT课件(第1课时)
(1)( + ) −( − )
解： (1)( + ) −( − )
= ( + )
− ( − )
多项式
= + + ( − ) + − ( − )
=( + + − )( + − + )
=( + )( + )
＝4×100×7=2800.
连接中考
( −)( −)
（2020•河北）若
则 =
= × × ，
.
解析：方程两边都乘以，
得 − − = × × ，
∴ + − + − = × × ，
）
平方差公
式因式分
解的步骤
一找 二套 三彻底
解： 4x2+8x+11
=4(x2+2x)+11
=4(x2+2x+1-1)+11
=4(x+1)2-4+11
=4(x+1)2+7
∵4(x+1)2≥0，
∴4(x+1)2+7>0
即4x2+8x+11>0，所以小刚说得对.
课堂小结
公式
− = ( + )( − )
公式法
分解因式
（平方差公式
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
能力提升题
已知 = + ， = + ， ≠ ，则
+ + 的值为
16
.
解析：将 = + ， = + 相减，
初中数学精品课件： 因式分解
【答案】 D
2．(2019·临沂)将 a3b－ab 进行因式分解，正确的是 ( )
A．a(a2b－b)
B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1)
D．ab(a2－1)
【答案】 C
3．(2案】 x(y＋2)(y－2)
4．(2019·衢州)已知实数 m，n 满足mm－ ＋nn＝ ＝13， ，则代数式
利用因式分解将多项式分解之后整体代入求值，也可 逆向思维，根据因式分解后的几个多项式(因式)结合恒等 变形的性质求值．
【典例 2】 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分 解法”生成密码的方法：如将多项式 x3＋2x2－x－2 进行因 式分解，结果为(x－1)(x＋1)(x＋2)．当 x＝19 时，x－1＝ 18，x＋1＝20，x＋2＝21，此时可得到数字密码 182021. (1)根据上述方法，当 x＝37，y＝12 时，对于多项式 x3－xy2 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)? (2)将多项式 x3＋(m－3n)x2－nx－21 因式分解后，利用题 目中所示的方法，当 x＝87 时可以得到密码 808890，求 m，n 的值．
联
立
m＋n＝0， m－n＝2，
解得mn＝＝－1，1，
∴m2
＋
n2－
mn ＝1
＋
1
＋
1
＝3.
【答案】 3
4．分解因式：(x2＋4)2－16x2.
【解析】 原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x) ＝(x＋2)2(x－2)2.
5．运用简便方法计算：
(1)992＋110908＋1．
(2)1982－396×98＋982．
【解析】 (1)∵x3－xy2＝x(x－y)(x＋y)， ∴当 x＝37，y＝12 时，x－y＝25，x＋y＝49， ∴可得到数字密码 372549 或 374925(答案不唯一)． (2)∵当 x＝87 时，密码为 808890，且 x3 的系数是 1， ∴由(1)可知：x－7＝80，x＋1＝88，x＋3＝90， ∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－7)(x＋1)(x＋3)＝x3－3x2 －25x－21， ∴m－3n＝－3，n＝25，∴m＝72，n＝25.
2．(2019·临沂)将 a3b－ab 进行因式分解，正确的是 ( )
A．a(a2b－b)
B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1)
D．ab(a2－1)
【答案】 C
3．(2案】 x(y＋2)(y－2)
4．(2019·衢州)已知实数 m，n 满足mm－ ＋nn＝ ＝13， ，则代数式
利用因式分解将多项式分解之后整体代入求值，也可 逆向思维，根据因式分解后的几个多项式(因式)结合恒等 变形的性质求值．
【典例 2】 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分 解法”生成密码的方法：如将多项式 x3＋2x2－x－2 进行因 式分解，结果为(x－1)(x＋1)(x＋2)．当 x＝19 时，x－1＝ 18，x＋1＝20，x＋2＝21，此时可得到数字密码 182021. (1)根据上述方法，当 x＝37，y＝12 时，对于多项式 x3－xy2 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)? (2)将多项式 x3＋(m－3n)x2－nx－21 因式分解后，利用题 目中所示的方法，当 x＝87 时可以得到密码 808890，求 m，n 的值．
联
立
m＋n＝0， m－n＝2，
解得mn＝＝－1，1，
∴m2
＋
n2－
mn ＝1
＋
1
＋
1
＝3.
【答案】 3
4．分解因式：(x2＋4)2－16x2.
【解析】 原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x) ＝(x＋2)2(x－2)2.
5．运用简便方法计算：
(1)992＋110908＋1．
(2)1982－396×98＋982．
【解析】 (1)∵x3－xy2＝x(x－y)(x＋y)， ∴当 x＝37，y＝12 时，x－y＝25，x＋y＝49， ∴可得到数字密码 372549 或 374925(答案不唯一)． (2)∵当 x＝87 时，密码为 808890，且 x3 的系数是 1， ∴由(1)可知：x－7＝80，x＋1＝88，x＋3＝90， ∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－7)(x＋1)(x＋3)＝x3－3x2 －25x－21， ∴m－3n＝－3，n＝25，∴m＝72，n＝25.
解一元二次方程因式分解法-完整版PPT课件
当堂检测
(5)3x(2x 1) 4x 2
解 : (2x 1)(3x 2) 0.
x1
1 2
,
x2
2. 3
(6)( x 4)2 (5 2x)2
解 : x 4 (5 2x).
x1 3, x2 1.
得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径
解:设小圆形场地的半径为r
(r 5)2 2r 2
11
11
x1 2 , x2 2 .
课堂小结
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零”
（2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程
（3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是
常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解
公式法： 把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
探索新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么 物体经过 s离地面的高度单位：m为 10－2 根据上规律，物体经过多少秒落回地面结果保留小数点后两位？
例3 解下列方程: 1-2-2=0;
解：x(x 2) x 2 0,
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 ,
4
4
解 : 移项, 合并同类项, 得：
x 2x 1 0.
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A：（x+2）（x–2）= x2–4 B：x4－5x6y = x2（x2－5x4y） C：x2－4＋3x = （x +2）（x–2）＋3x
判断下列各式可用什么方法进行因式分解？
1 6a6c (2) a2 9b2 (3) x5 x3 (4) x26x9 (5)2x24x2
特点： (1) 所给因式是二次项系数为1的二次三项式 (2)常数项可分解成两个整数的乘积的形 式，并且这两个整数的和恰好等于一 次项的系数.
练习：1、当a=101，b=99时，求a2-b2的值.
2、分解下列三个数的质因数 （1）42； （2）56；（3）11.
因式分解的概念
一个多项式→几个整式的积→因式分解 要注意的问题： （1）因式分解是对多项式而言的一种变形； （2）因式分解的结果仍是整式； （3）因式分解的结果必是一个积； （4）因式分解与整式乘法正好相反.
数学表达式：
x2 pxq (xa)(xb)
当 ab ab
x 2 (a b )x a b (x a )(x b )
1、分解因式 x21x110
分析：①它是二次项系数为1的三项式 ②常数项10可分为2×5，(-2) ×(-5)，1×10， (-1) ×(-10)；恰好1+10=11，即它们的和等于 一次项系数，所以我们选择1与10这一组数.
再见！
变形： x21x110 练习：(1)x28x15 (2)t27t6
(3)x22x15 (4)a24a21
探索：在 x2px6中，p( 方法分解因式？
)时，可用以上
分析：6可分解为2×3，(－ 2) ×(－ 3)，1×6， (－ 1) ×(－ 6)，所以p有四种情况.
(1)p=2+3=5 (3)p=1+6=7
提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？
分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有 公因式，也不好用公式法.怎么办？
利用分组来分解因式的方法叫做 分组分解法.
把下列各式分解因式：
①p-q+k(p-q) ②5m(a+b)-a-b ③a2+2ab-ac-2bc ④mn+m-n-1
分组分解法，要注意分组时要选择分组 方法，要保证分组后各组有公因式.
项式分解因式，这种分解因式的方法，叫做 公式法.
举例分析
1 对下列多项式进行因式分解： （1）－5a2＋25a； （2）3a2－9ab； （3）25x2－16y2； （4）x2＋4xy＋4y2. 2 对下列多项式进行因式分解： （1）4x3y＋4x2y2＋xy3； （2）3x3－12xy2.
1． 判断下列因式分解是否正确，并简要说明理 由：
(2)p=(－ 2)+(－ 3)=－5 (4)p=(－ 1)+(－ 6)=－7
∴p=±5，±7
试一试：你能当一回小 老师，出几个因式分解的题 目给大家做做吗？ (用我们刚 学的方法)
小结：
1、形如 x2pxq的二次三项式 如 ab ab
则可分解为 (xa)x (b)
2、无论用什么方法因式分解，共同 的要求都是要分解到最简为原则.
（1） 4a2－4a＋1＝4a（a－1）＋1 （2） x2－4y2＝（x＋4y）（x－4y） 2． 把下列各式分解因式： （1）a2＋a；（2）4ab－2a2b；（3）9m2－n2； （4）2am2－8a；（5）2a2＋4ab＋2b2.
3、丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方 体和圆柱体，放在一起，恰好一样高.丁丁和
因式分解
自主 合作 创新
填空题：
（1） m（a＋b＋c）=_________ （2）（5a＋b）（5a－b）= _________ （3）（a＋b）2 =__________
反过来：
（1） ma+mb+mc= m（a+ b+c）； （2） 25a2–b2 =（5a + b）（5a–b）； （3） a2+2ab+b2=（a + b）2 .
冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有
尺子，只找到一根短绳，他们量得长方体底 面的长正好是3个绳长，宽是2个绳长，圆柱 体的底面周长是10个绳长.你知道哪一个体积 较大吗？大多少？（提示：可设绳长为a厘米， 长方体和圆柱体的高均为h厘米）如果给你一 架天平，你有办法知道哪一个体积较大吗？
小结：
想一想：下列式子从左边到右边是因式分 解吗，为什么？
公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，称之源自公因式(common factor).
提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可
以把这个公因式提到括号外面，将多项式写 成因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫 做提公因式法.如 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多
判断下列各式可用什么方法进行因式分解？
1 6a6c (2) a2 9b2 (3) x5 x3 (4) x26x9 (5)2x24x2
特点： (1) 所给因式是二次项系数为1的二次三项式 (2)常数项可分解成两个整数的乘积的形 式，并且这两个整数的和恰好等于一 次项的系数.
练习：1、当a=101，b=99时，求a2-b2的值.
2、分解下列三个数的质因数 （1）42； （2）56；（3）11.
因式分解的概念
一个多项式→几个整式的积→因式分解 要注意的问题： （1）因式分解是对多项式而言的一种变形； （2）因式分解的结果仍是整式； （3）因式分解的结果必是一个积； （4）因式分解与整式乘法正好相反.
数学表达式：
x2 pxq (xa)(xb)
当 ab ab
x 2 (a b )x a b (x a )(x b )
1、分解因式 x21x110
分析：①它是二次项系数为1的三项式 ②常数项10可分为2×5，(-2) ×(-5)，1×10， (-1) ×(-10)；恰好1+10=11，即它们的和等于 一次项系数，所以我们选择1与10这一组数.
再见！
变形： x21x110 练习：(1)x28x15 (2)t27t6
(3)x22x15 (4)a24a21
探索：在 x2px6中，p( 方法分解因式？
)时，可用以上
分析：6可分解为2×3，(－ 2) ×(－ 3)，1×6， (－ 1) ×(－ 6)，所以p有四种情况.
(1)p=2+3=5 (3)p=1+6=7
提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？
分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有 公因式，也不好用公式法.怎么办？
利用分组来分解因式的方法叫做 分组分解法.
把下列各式分解因式：
①p-q+k(p-q) ②5m(a+b)-a-b ③a2+2ab-ac-2bc ④mn+m-n-1
分组分解法，要注意分组时要选择分组 方法，要保证分组后各组有公因式.
项式分解因式，这种分解因式的方法，叫做 公式法.
举例分析
1 对下列多项式进行因式分解： （1）－5a2＋25a； （2）3a2－9ab； （3）25x2－16y2； （4）x2＋4xy＋4y2. 2 对下列多项式进行因式分解： （1）4x3y＋4x2y2＋xy3； （2）3x3－12xy2.
1． 判断下列因式分解是否正确，并简要说明理 由：
(2)p=(－ 2)+(－ 3)=－5 (4)p=(－ 1)+(－ 6)=－7
∴p=±5，±7
试一试：你能当一回小 老师，出几个因式分解的题 目给大家做做吗？ (用我们刚 学的方法)
小结：
1、形如 x2pxq的二次三项式 如 ab ab
则可分解为 (xa)x (b)
2、无论用什么方法因式分解，共同 的要求都是要分解到最简为原则.
（1） 4a2－4a＋1＝4a（a－1）＋1 （2） x2－4y2＝（x＋4y）（x－4y） 2． 把下列各式分解因式： （1）a2＋a；（2）4ab－2a2b；（3）9m2－n2； （4）2am2－8a；（5）2a2＋4ab＋2b2.
3、丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方 体和圆柱体，放在一起，恰好一样高.丁丁和
因式分解
自主 合作 创新
填空题：
（1） m（a＋b＋c）=_________ （2）（5a＋b）（5a－b）= _________ （3）（a＋b）2 =__________
反过来：
（1） ma+mb+mc= m（a+ b+c）； （2） 25a2–b2 =（5a + b）（5a–b）； （3） a2+2ab+b2=（a + b）2 .
冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有
尺子，只找到一根短绳，他们量得长方体底 面的长正好是3个绳长，宽是2个绳长，圆柱 体的底面周长是10个绳长.你知道哪一个体积 较大吗？大多少？（提示：可设绳长为a厘米， 长方体和圆柱体的高均为h厘米）如果给你一 架天平，你有办法知道哪一个体积较大吗？
小结：
想一想：下列式子从左边到右边是因式分 解吗，为什么？
公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，称之源自公因式(common factor).
提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可
以把这个公因式提到括号外面，将多项式写 成因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫 做提公因式法.如 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多