中山大学文科数学期考题A

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广东高考数学文科试卷含答案(WORD版)

普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（）.A.xx212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x x xx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1）求A 的值；（2）若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336cos sin 333cos 31cos ,()336f A A A f x x f f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∴-=解由得1sin()3sin()3cos 3 1.6323πππθθθ-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4x y C a b a b C P x y C P C P c c e a b a c a a x y C x y +=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x x x y y k x x y k x k y kx x y kx k y kx y kx k y kx -±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.k y x k x y k y k k x x y P x y +=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a R f x a x f x f =+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,14221487214872148:,0,,8447+2148,01,721484x a x f x f x x a a a a a a ax x a a ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<<<-<若存在使得必须在上有解方程的两根为只能是依题意即0000025711,492148121,,12127+2148155=,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。

中山大学历年考试试题总结

3．（10分）设A＝ .（1）.证明：（2）.求
4．（20分）设的线性变换在标准基下的矩阵A＝ .
（1）.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA的特征值和特征向量.（2）.求的一组标准正交基，使在此基下的矩阵为对角矩阵.
5．（20分）设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换如下：
证明：
（1）.为第二类的正交变换（称为镜面反射）.
3．（16分）设在[0,1]连续，求。
4．（16分）求极限。
5．（16分）（1）证明级数在一致收敛；
（2）令，，证明在一致连续。
2009.1.11数据库（871）
2008.1.20数据库（879）
（2）.V的正交变换是镜面反射的充要条件为1是的特征值，且对应的特征子空间的维数为n－1.
2009.1.15数学分析（650）
2008.1.20数学分析（636）
2007.1.21数学分析（752）
2006.1.15数学分析
2003年数学分析试题
1．（16分）求在上的极值；求方程有两个正实根的条件。2．（16分）计算，S为V：的表面外侧。
中山大学历年考研真题
2009.11.1线性代数（651）
2009.1.11 高等代数（870）
2008.1.20线性代数（651）
2008.1.20高等代数（851）
2007.1.21高等代数（441）
2006.1.25高等代数
2004年高等代数试题（70分）
1．（10分）计算下列n阶行列式：
2．（10分）设是数域P上线性空间V中一线性无关向量组，讨论向量组的线性相关性。

普通高等学校招生国统一考试数学文试题广东卷,含答案

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，含答案〕本试题一共4页，21小题，总分值是150分，考试用时120分钟。

本卷须知：1．答卷前，所有考生必须用黑色字迹“条形码粘贴处〞。

2．选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项之答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或者签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求答题之答案无效。

4．答题选做题时，请先需要用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再答题。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

在在考试完毕之后以后，将试卷和答题卡一起交回。

参考公式：锥体体积公式13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，样本数据12,,,n x x x 的HY 差，(n s x x =++-，其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，那么1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++．一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，总分值是50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1．设复数z 满足1iz=，其中i 为虚数单位，那么z =A．i-B．i C．1-D．1 1．〔A〕．2．集合{(,)|,A x y x y=为实数，且221}x y+=，{(,)|,B x y x y=为实数，且1}x y+=，那么A B⋂的元素个数为A．4B．3 C．2D．1 2．〔C〕3．向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c．假设λ为实数，()λ+a b∥c，那么λ=A．14B．12C．1D．23．〔B〕4．函数1()lg(1)1f x xx=++-的定义域是A．(,1)-∞-B．(1,)+∞C．(1,1)(1,)-⋃+∞D．(,)-∞+∞4．〔C〕．5．不等式2210x x-->的解集是A．1(,1)2-B．(1,)+∞C．(,1)(2,)-∞⋃+∞D．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞5．〔D〕6．平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组2xyx⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤给定．假设(,)M x y为D上的动点，点A的坐标为，那么z OM OA=⋅的最大值为A．3B．4 C．．6．〔B〕正视图侧视图图2俯视图图37．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数一共有A ．20B ．15C ．12D ．10 7．〔D 〕8．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，那么C 的圆心轨迹为 A．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆 8．〔A〕．9．如图1~3，某几何体的正视图〔主视图〕，侧视图〔左视图〕和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，那么该几何体的体积为 A ．．4 C ．．29．〔C 〕10．设(),(),()f x g x h x 是R ()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R ，()f g ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ，那么以下等式恒成立的是 A ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()x B ．(()f g h )()x=(()f h ()g h )()x C ．(()f g h )()x =(()f g ()g h )()x D ．(()f g h )()x =(()f g 　()g h )()x 10．〔B 〕二、填空题：本大题一一共5小题，考生答题4小题，每一小题5分，总分值是20分．〔一〕必做题〔9~13题〕11．{}n a 是递增的等比数列，假设22a =，434a a -=，那么此数列的公比q =．11．2．2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或者1q =-∵{}n a 是递增的等比数列，∴2q =12．设函数3()cos 1f x x x =+．假设()11f a =，那么()f a -=．12．9-3()cos 111f a a a =+=，即3()cos 10f a a a ==，那么33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=-13．为理解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间是之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间是x 〔单位：小时〕与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为． 13．0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++=3x =，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii nii x x y y b x x ==--++++-===-+-+++-∑∑，0.47a y bx =-=∴线性回归方程0.010.47y x =+，那么当6x =时，0.53y =∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53 〔二〕选做题〔14~15题，考生只能从中选做一题〕14．〔坐标系与参数方程选做题〕两曲线参数方程分别为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和图4BAC D E F254x ty t ⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．14．25(1,)5．5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(5501)x y -<≤≤≤且，254x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =22221(5501)5450145x y x y x x x y x ⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或者5x =-〔舍去〕，又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25(1,)515．〔几何证明选讲选做题〕如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，4AB =，2CD =，,E F 分别为,AD BC 上的点，且3EF =，EF ∥AB ，那么梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．15．75如图，延长,AD BC ，AD BC P =∵23CD EF=，∴49PCD PEF S S ∆∆= ∵24CD AB=，∴416PCD PEF S S ∆∆= ∴75ABEFEFCDS S =梯形梯形三、解答题：本大题一一共6小题，总分值是80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．PBAC D E F16．〔本小题总分值是12分〕函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．〔1〕求(0)f 的值；〔2〕设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值．16．解：〔1〕(0)2sin()16f π=-=-〔2〕110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β==∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=17．〔本小题总分值是13分〕在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n =的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：〔1〕求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的HY 差s ；〔2〕从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间〔68，75〕中的概率．17．解：〔1〕61(7076727072)756x +++++=，解得690x =C C E'图5HY差6(7s x x =++-==〔2〕前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ，,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠那么根本领件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)一共10种这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间〔68，75〕中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间〔68，75〕中〞那么A 中的根本领件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)一共4种，那么42()105P A ==18．〔本小题总分值是13分〕图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右程度平移后得到的．,,,A A B B ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点，1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点．〔1〕证明：12,,,O A O B ''四点一共面；〔2〕设G 为AA '中点，延长1A O ''到H '，使得11O H A O ''''=．证明：2BO '⊥平面H B G ''．18．证明：〔1〕连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径 ∵,,A B B ''分别为C D '',DE ,D E ''的中点∴1290A O D B O D ''''''∠=∠=∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O O '，四边形22O O B B''是平行四边形∴2BO ∥2BO '∴1A O ''∥2BO∴12,,,O A O B ''四点一共面〔2〕延长1A O '到H ，使得11O H AO ''=，连接1,,HH HO HB ''∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B ''，四边形12O O B H ''''是平行四边形∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥，122O O B O ''''⊥，2222O O B O O ''''=∴12O O ''⊥面22O O B B '' ∴H B ''⊥面22O O B B ''，2BO '⊂面22O O B B ''∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形，且边长2AA '=∵11tan 2HH HO H O H '''∠==''，1tan 2A G A H G A H '''∠=='' ∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠=∴190HO H A H G ''''∠+∠=∴1HO H G ''⊥易知12O O ''//HB ，四边形12O O BH ''是平行四边形∴2BO '∥1HO '∴2BO H G ''⊥，H GH B H ''''=∴2BO '⊥平面H B G ''． 19．〔本小题总分值是14分〕设0a >，讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性．19．解：函数()f x的定义域为(0,)+∞令2()2(1)2(1)1 g x a a x a x=---+①当13a<<时，∆>，令()0f x'=，解得x=那么当0x<<或者x>时，()0f x'>x<<时，()0 f x'<那么()f x在，)+∞上单调递增，在上单调递减②当113a≤≤时，∆≤，()0f x'≥，那么()f x在(0,)+∞上单调递增③当1a>时，0∆>，令()0f x'=，解得x=∵x>，∴x=那么当0x<<时，()0f x'>当x>()0f x'<那么()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减20．〔本小题总分值是14分〕设b>，数列{}n a满足1a b=，111nnnnbaaa n--=+-(n≥2)．〔1〕求数列{}na的通项公式；〔2〕证明：对于一切正整数n ，2n a ≤11n b ++．20．〔1〕解：∵111n n n nba a a n --=+-∴111n n n a ba n a n --=+- ∴1111nn n n a b a b --=⋅+ ①当1b =时，111n n n n a a ---=，那么{}n n a 是以1为首项，1为公差的等差数列 ∴1(1)1n nn na =+-⨯=，即1na = ②当0b >且1b ≠时，11111()11nn n n a b b a b --+=+--当1n =时，111(1)n n a b b b +=--∴1{}1n n a b +-是以1(1)b b -为首项，1b 为公比的等比数列∴111()11n nn a b b b +=⋅-- ∴111(1)1(1)nn n n n b a b b b b b -=-=---∴(1)1n n n n b b a b -=- 综上所述(1),01111nnn n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且，〔2〕证明：①当1b =时，1212n n a b +=+=；②当0b >且1b ≠时，211(1)(1)nn n b b b b b ---=-++++要证121nna b+≤+，只需证12(1)11nnnn b bbb+-≤+-，即证2(1)1 1n n n bbb b-≤+-即证2121 1n n nnbb b b b--≤+ ++++即证211()(1)2n nnb b b b nb--+++++≥即证21121111()()2n nn nb b b b nb b b b--+++++++++≥∵21121111()()n nnnb b b bb b b b--+++++++++122nb n-≥+=，∴原不等式成立∴对于一切正整数n，2n a≤11nb++．21．〔本小题总分值是14分〕在平面直角坐标系xOy上，直线l：2x=-交x轴于点A．设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO AOP ∠=∠．〔1〕当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；〔2〕(1,1)T-，设H是E上动点，求HO HT+的最小值，并给出此时点H的坐标；〔3〕过点(1,1)T-且不平行于y轴的直线1l与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线1l的斜率k的取值范围．21．解：〔1〕如下列图，连接OM，那么PM OM=∵MPO AOP ∠=∠，∴动点M满足MP l⊥或者M在x的负半轴上，设(,)M x yxTxT①当MP l⊥时，2MP x =+，OM =2x +=，化简得244y x =+(1)x ≥- ②当M 在x 的负半轴上时，0y =(1)x <-综上所述，点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或者0y =(1)x <- 〔2〕由〔1〕知M 的轨迹是顶点为(1,0)-，焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <-①假设H 是抛物线上的动点，过H 作HNl ⊥于N由于l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有HO HN=那么HO HT HN HT+=+当,,N H T 三点一共线时，HN HT+有最小值3TN =求得此时H 的坐标为3(,1)4--②假设H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点显然有3HO HT +>综上所述，HO HT +的最小值为3，此时点H 的坐标为3(,1)4--〔3〕如图，设抛物线顶点(1,0)A -，那么直线AT 的斜率12AT k =-∵点(1,1)T -在抛物线内部，∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点那么直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论：①当12k ≤-时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点②当102k -<<时，直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点③当0k=时，直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点④当0k>时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点综上所述，直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。

普通高等学校招生国统一考试数学文试题广东卷,含答案试题

2021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，含答案〕本套试卷一共4页，21小题，满分是150分。

考试用时120分钟。

考前须知：1．答卷前，所有考生必须用黑色字迹的钢笔或者签字笔将本人的姓名和考生号、试室号、座位号填写上在答题卡上。

需要用2B 铅笔将试卷类型〔B 〕填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处〞。

2．选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项之答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

不按以上要求答题之答案无效。

4．答题选做题时．请先需要用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再答题。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

在在考试完毕之后以后，将试卷和答题卡一起交回。

参考公式：锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，满分是50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．假设集合A =｛0，1，2，3｝，B =｛1，2，4｝，那么集合A B =A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝2．函数，f (x )=lg (x -1)的定义域是A ．(2，+∞) B．(1,+∞) C．[1，+∞) D ．[2，+∞)3．假设函数f(x)=3x +3x -与g(x)=33x x--的定义域均为R ，那么A ．f(x)与g(x)均为偶函数B ．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C ．f(x)与g(x)均为奇函数D ．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数4．数列{n a }为等比数列，n S 是它的前n 项和．假设2a *3a =2a 1，且4a 与27a 的等差中项为54，那么5s = A ．35 B ．33 C ．31 D ．295．假设向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a —b )·c =30，那么x=A ．6B ．5C ．4D ．36．假设圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，那么圆O 的方程是A ．22(5)5x y -+=B ．22(5)5x y ++=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++=7．假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是A ． 45B ．35C ．25D ．158．“x >0”是“32x >0”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件9．如图1，ABC 为正三角形，'''////AA BB CC ，''''32CC BB CC AB ⊥===平面ABC 且3AA ，那么多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是10．在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗ ()a c ⊕=A ．aB ．bC ．cD ．d二、填空题：本大题一一共5小题．考生答题4小题．每一小题5分，满分是20分．〔一〕必做题(11～13题)11．某城缺水问题比拟突出，为了制定节水管理方法，对全居民某年的月均用水量进展了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为1x ，…，4x (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，假设1x ，2x ，3x 4x ，分别为1，1.5，1.5，2，那么输出的结果s 为 . 12．某居民2021～2021年家庭年平均收入x 〔单位：万元〕与年平均支出Y 〔单位：万元〕的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系.13．a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，假设a =1，b =3，A +C =2B ，那么sin A = .〔二〕选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题〕14．〔几何证明选讲选做题〕如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD =a ，CD =2a ，点E ，F 分别为线段AB ，CD 的中点，那么EF = .15．〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系〔ρ，θ〕〔02θπ≤＜〕中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为三、解答题：本大题一一共6小题，满分是80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．〔本小题满分是l4分〕设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期．〔1〕求()0f ；〔2〕求()f x 的解析式；〔3〕94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 17．〔本小韪满分是12分〕某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：〔1〕由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关?〔2〕用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名?〔3〕在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．18.(本小题满分是14分)如图4，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB =5a .〔1〕证明：EB FD ⊥；〔2〕求点B 到平面FED 的间隔 .19.〔本小题满分是12分〕某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .假如一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?20.〔本小题满分是14分〕函数()f x 对任意实数x 均有()(2)f x kf x =+，其中常数k 为负数，且()f x 在区间[]0,2上有表达式()(2)f x x x =-.〔1〕求(1)f -，(2.5)f 的值；〔2〕写出()f x 在[]3,3-上的表达式，并讨论函数()f x 在[]3,3-上的单调性；〔3〕求出()f x 在[]3,3-上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.21.〔本小题满分是14分〕曲线2n C y nx =：，点(,)(0,0)n n n n n P x y x y >>是曲线n C 上的点(1,2n =…). 〔1〕试写出曲线n C 在点n P 处的切线n l 的方程，并求出n l 与y 轴的交点n Q 的坐标〔2〕假设原点(0,0)O 到n l 的间隔与线段n n P Q 的长度之比获得最大值，试求试点n P 的坐标(,n n x y )；〔3〕设m 与k 为两个给定的不同的正整数，n x 与n y 是满足〔2〕中条件的点n P 的坐标，证明：n 1,2,)=…参考答案一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，满分是50分.1． A 2． B 3． D 4． C 5． C6． D 7． B 8． A 9． D 10． A二、填空题：本大题一一共5小题，考生答题4小题，每一小题5分，满分是20分。

中山大学2019高数上期末考试A卷试题与答案

考试题（A 卷）一、计算下列数列或函数的极限（请从三道题目中任选二道题，多选的话则按照前两道题目给分。

每题5分，合计10分）1. n211lim 1x n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭.解（方法一）22n n22n(1)12111lim 1lim 11li 1.m x x n n n n x n n n n n e n →∞→∞--→∞-⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（方法二）222n 1nln 1211limnln 1limn 111lim 1li .m x x n n x x n n n n e n n eee e →∞→∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞-⎛⎫-+⋅⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭====2.2()()limxx x t f t dtx →-⎰，其中()f x 是一个连续函数.解220()()()()limlim()()()lim2()(0)lim 22.xx xx x x x x x t f t dtx f t dt tf t dtxxf t dt xf x xf x xf x f →→→→--=+-===⎰⎰⎰⎰3. 求二元函数()()()()44,0,0lim2ln x y x y x y →++的极限. 解（方法一）平面极坐标为(),ρθ。

由于()(),0,0x y →，不妨设11,22x y ≤≤，于是()()44444444max ,,21,414ln lnln 2ln 24ln ,x y x y x y x y ρρρρ≥+≥+=≤=-+所以()()()4402ln 6ln 22ln 0x y x y ρρ≤++≤-→()()()()44,0,0lim2ln 0x y x y x y →++=解（方法二）有界量与无穷小量之积是无穷小量，所以()()()()()()()()()()44,0,01444441,0,0444lim2ln 2lim ln 0x y x y x y x y x y x y x y x y →→++⎡⎤+⎢⎥=⋅++=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦二、（8分）过原点作抛物线()y f x ==D 是该切线与上述抛物线及x 轴围成的平面区域. 求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解设切点为()00,x y ，则00y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解方程组得()()00,2,1x y =。

中山大学2019级高数期中考试试题

)13nM =⋅。

装订密封线年级：学号：姓名：课室名称：学院：专业：任课教师：座位号：7、cos 0lim ln(1)x x e ex x →-+ .()()2cos 122200011cos 12lim lim lim2x x x x e x e e e x e x x x -→→→⎛⎫- ⎪--⎝⎭====-8、lim x →+∞⎛⎫.33limlim 3x x ===9、利用定积分的定义求极限：222111lim ...(1)(2)()n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭. 解22222211200111lim ...(1)(2)()1111lim (121111111)1(1)122n n n n n n n n n n n n dx x x →∞→∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-=-=++⎰10、 22212lim ...122n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++++⎝⎭. 解2222211(1)(1)1222 (21221)n n n n n n n n n n n n n n n ++≤+++≤++++++++ 由于21(1)1212n n n n +→++、21(1)1222n n n n +→+，根据夹逼定理222121lim ...1222n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++++⎝⎭二、下列函数的导函数（6分） 1、xx y e =.解做复合函数分解：uy e =，ln x x x v u x e e ===，ln v x x =。

根据复合函数链式法则，()()1ln 1ln x u v x x dy dy du dve e x e x x dx du dv dx=⋅⋅=⋅⋅+=+。

2、()sin xy x =.解做微分演算()()()()()()lnsin lnsin lnsin ln sin ln sin ln sin 1sin ln sin sin sin cos sin ln sin sin x xx x x x x x dy de e d x x e x dx xd x x x dx x d x x x x x dx x dx x ===⋅+⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭所以()()sin ln sin cot xdy x x x x dx=+三、设()f x 在x a =点可导，求极限0(2)()lim 2t f a t f a t t→+-+.（6分）解0000'''(2)()(2)()()()limlim22(2)()1()()lim lim2211()()()22t t t t f a t f a t f a t f a f a f a t t tf a t f a f a t f a t tf a f a f a →→→→+-++-+-+=+-+-=-=-=四、设22 x y x e =，求100100 d y dx.（6分）解()()()()100(100)(99)(98)221222100100100210021992298210010010022 222222*********x x x x x x xd y xe C x e C e dxx e C x e C e x x e =+⋅+⋅=+⋅+⋅⋅=++五、设 ()y y x =是由()y f x y =+确定的隐函数，求22 d y dx.（6分）解两边求导数()'''()1y f x y y =++''''''()111,1()1()1()f x y y y f x y f x y f x y +==-+=-+-+-+，1+()()()"'"23''()1()"1()1()f x y y f x y y f x y f x y +⋅++==-+-+六、设1100()ln(1)10x ex x f x x x -⎧⎪>≠=⎨⎪+-<≤⎩且，求()f x 的间断点，并说明间断点的类型.（6分）解函数的定义域为()1,+-∞，001x ∀≠、，在0x 的一个小邻域内，()f x 是一个初等函数，根据初等函数的连续性定理，()f x 在0x 连续。

2018年广东省中山市高考数学试卷(文科)(6月份)

2018年广东省中山市高考数学试卷（文科）（6月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M={1, 2, 3, 4}，N={−2, 2}，下列结论成立的是( )A.N⊆MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}2. 若复数z满足z−2=i(1+i)（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S5=30，则a7+a8+a9=()A.45B.63C.81D.934. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为()A.π64B.π32C.π16D.π85. y=|x|cosxe x+e−x的部分图象大致为()A.B.C.D.6. 如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（）A.7π3B.28π9C.14√7π9D.4π37. 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f(x)=3x+a，则f(2)的值为（）A.89B.19C.−89D.−198. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是( )A.c=a；i≤9B.b=c；i≤9C.c=a；i≤10D.b=c；i≤109. 若仅存在一个实数t∈(0,π2)，使得曲线C:y=sin(ωx−π6)(ω>0)关于直线x=t对称，则ω的取值范围是（）A.[13,73) B.[43,103) C.(13,73] D.(43,103]10. 已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N，若四边形CMNF的面积等于7，则E的方程为（）A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x11. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E // 平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是( )A.√33B.13C.√22D.1212. 设函数f(x)=2x+1−(ax+1)e x，其中a>0，若存在唯一的整数x0使得f(x0)>0，则实数a 的取值范围是（） A.(0, 4] B.(0,1+3e 22]C.(e +1, 8]D.(0,3e −1)∪(e +1,1+3e 22]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．设向量a →，b →满足|a →|=2,|b →|=1，且b →⊥(a →+b →)，则向量b →在向量a →+2b →方向上的投影为________．已知x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 ，则z =yx+2的最大值为________．已知双曲线C:x 2a 2−y 22=1经过圆M:x 2+y 2−6x +4y −1=0的圆心，则C 的离心率为________．已知数列a n ={n,n =2k −1,k ∈N ∗a n 2,n =2k,k ∈N ∗ ，若f(n)=a 2+a 4+a 6+a 8+a 10+⋯+a 2n (n ∈N ∗)，则f(n)的表达式为：f(n)=________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.如图，a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，bsinA +acosB =√2a ，sin∠BAC =45．(1)求sinC 的值；(2)若点D 在边BC 上,BD =3CD ，△ABC 的面积为14，求AD 的长度．如图ABFE −DCGH 是一个四棱锥被一个平行于底面的平面所截得到的四棱台．底面ABFE 为矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC =CD =AD =AE =1，AB =2．（1）求证：平面ADHE ⊥平面BDHF ；（2）求四棱台ABFE −DCGH 的侧面积．已知点A(1, 0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O:x 2+y 2=4． (Ⅰ)求动点B 的轨迹方程；(Ⅱ)已知点P(2, 0)，Q(2, −1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．《舌尖上的中国》介绍了一种美味食材–“雷笋”，雷笋保鲜时间很短，一般10天之内可以食用，10天之后就长成了竹子．某竹笋生产公司根据往年采摘记录，整理以往100天的采摘产量数据（单位：吨）：（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（2）(ⅰ)每天雷笋的采摘量与天气有一定关系，该公司为研究这种规律，从日采摘量为[4, 5),[5, 6),[6, 7),[7, 8]的四组数据中，用分层抽样的方法抽取13天的采摘数据，则从日采摘量为[6, 7)的分组中应抽取多少天的数据？(ⅱ)利用以往100天的采摘数据，估计该公司每天采摘雷笋重量的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；已知函数f(x)=(x −1)e 2x +ax 2−ax ．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个不同的零点，求a 的取值范围．请考生在22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中，直线C 1:√3x +y −4=0，曲线C 2:{x =cosφy =1+sinφ （φ为参数），以以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(I)求C1，C2的极坐标方程；)，且曲线C3分别交C1，C2于点A，(II)若曲线C3的极坐标方程为θ=α(ρ>0,0<α<π2B两点，求OB的最大值．OA[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x−2a|+|x+3|，g(x)=|x−2|+3．（1）解不等式|g(x)|<6；（2）若对任意的x2∈R，均存在x1∈R，使得g(x1)=f(x2)成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省中山市高考数学试卷（文科）（6月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D【考点】交集及其运算并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】由M={1, 2, 3, 4}，N={−2, 2}，则可知，−2∈N，但是−2∉M，则NM，M∪N= {1, 2, 3, 4, −2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．【解答】解：A、由M={1, 2, 3, 4}，N={−2, 2}，可知，−2∈N，但是−2∉M，则NM，故A错误；B、M∪N={1, 2, 3, 4, −2}≠M，故B错误；C、M∩N={2}≠N，故C错误；D、M∩N={2}，故D正确．故选D.2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】由z−2=i(1+i)=−1+i，可得z=1+i，则z=1−i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(1, −1)，位于第四象限．3.【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的前n项和公式列出方程，求出a1=0，d=3，由此能求出a7+a8+a9．【解答】∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=9，S5=30，∴ {3a 1+3×22d =95a 1+5×42d =30，解得a 1=0，d =3，∴ a 7+a 8+a 9=a 1+6d +a 1+7d +a 1+8d =63． 4.【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据题意求出正方形中各个圆的半径和面积，计算所求的概率值即可．【解答】解：根据题意知，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42−π×22−4×π×12=8π，所以所求的概率为:P =8π82=π8．故选D . 5.【答案】 A【考点】函数图象的作法【解析】先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．【解答】解：f(−x)=|−x|cos(−x)e −x +e x=|x|cosxe x +e −x =f(x)，则f(x)是偶函数，排除C ，f(π)=|π|cosπe π+e −π=−πe π+e −π<0，排除B ，D ，故选A . 6.【答案】 C【考点】由三视图求体积球的体积和表面积【解析】根据三视图求解外接球的半径，可得球的体积，求解三视图体积，即可得结论．【解答】解：由题意，俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，设等边三角形的边长为a ，可得几何体的体积为V =13×a2×√32a ×a =√312a 3．根据三视图，等边三角形的外接圆半径r=√3．设几何体的外接球的半径为R，球心到底面的距离为d，则可得R2=d2+(√3)2=(a−d)2+(√3)2，解得d=a2，∴R=√7a2√3．球的体积V=43πR3=√7a318√3．球的体积与该几何体的体积的比为√7a3 18√3÷√312a3=14√79π.故选C.7.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】由题意可得f(0)=0，解得a=−1，代入计算可得f(2)=−f(−2)的值．【解答】函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f(x)=3x+a，可得f(0)=1+a=0，解得a=−1，则f(2)=−f(−2)=−(3−2−1)=89，8.【答案】B【考点】程序框图【解析】由斐波那契数列从第三项起每一项等于前两项的和，由程序框图从而判断空白矩形框内应为：b=c，模拟执行程序框图，当第8次循环时，i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出S的值，即可得判断框内应为i≤9．【解答】解：由题意，斐波那契数列0，1，1，2，…，从第三项起每一项等于前两项的和，分别用a，b来表示前两项，c表示第三项，S为数列前n项和，故空白矩形框内应为：b=c，第1次循环：a=0，b=1，S=0+1=1，i=3，求出第3项c=1，求出前3项和S =0+1+1=2，a =1，b =1，满足条件，i =4，执行循环；第2次循环：求出第4项c =1+1=2，求出前4项和S =0+1+1+2=4，a =1，b =2，满足条件，i =5，执行循环； …第8次循环：求出第10项c ，求出前10项和S ，此时i =10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出S 的值．故判断框内应为i ≤9．故选B . 9.【答案】 D【考点】正弦函数的图象【解析】根据三角函数的性质求解对称的，令k =0，和k =1，求解对称轴，根据存在一个实数t ∈(0,π2)建立不等式即可求解．【解答】函数y =sin(ωx −π6)(ω>0)，其对称方程为ωx −π6=π2+kπ，可得x =2π3+kπω．∵ 对称轴t ∈(0, π2)．则当k =0时，可得对称性：2π3+kπω<π2，解得：ω>43．当k =1时，可得对称性：2π3+kπω≥π2，解得：ω≤103故得ω的取值范围是(43, 103] 10.【答案】 C【考点】抛物线的求解【解析】联立方程组求出各点坐标，根据面积公式计算p 的值得出答案．【解答】F(p2, 0)，直线AB 的方程为：y =x −p2．联立方程组{y 2=2px y =x −p 2 ，可得：x 2−3px +p 24=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=3p ，y 1+y 2=x 1+x 2−p =2p ， ∴ M(3p 2, p)，∴ N(0, p)，直线MC 的方程为y =−x +5p 2．∴C(5p2, 0)，∴四边形CMNF的面积为S梯形OCMN −S△ONF=(3p2+5p2)∗p2−12∗p2∗p=7p24=7，∴p=2，即抛物线E的方程为：y2=4x．11.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】解：如图所示，连接AD1,AB1,B1D1，因为AB1//DC1，AD1//BC1，B1D1//BD，所以平面ADB1//平面BDC1，则点E在AD1上运动，直线B1E与直线AB所成角为∠A1B1E，又B1A1⊥平面ADD1A1，所以B1A1⊥A1E，△A1B1E是直角三角形，所以sin∠A1B1E=A1EEB1，【解答】解：如图所示，连接AD 1,AB 1,B 1D 1，因为AB 1//DC 1，AD 1//BC 1，B 1D 1//BD ，所以平面AD 1B 1//平面BDC 1，则点E 在AD 1上运动，直线B 1E 与直线A 1B 1所成角为∠A 1B 1E ，又B 1A 1⊥平面ADD 1A 1，所以B 1A 1⊥A 1E ，△A 1B 1E 是直角三角形，所以sin∠A 1B 1E =A 1EEB 1，当且仅当B 1E ⊥AD 1时取得最小值，设正方体的边长为1，则A 1E =√22，B 1E =√62，则sin∠A 1B 1E =√33.故选A . 12.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的极值【解析】函数f(x)=2x +1−(ax +1)e x ，其中a >0，设g(x)=e x (ax +1)，y =ℎ(x)=2x +1，g(0)=ℎ(0)=1．存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)>0，因此存在唯一的整数x 0，使得g(x 0)在直线y =2x +1的下方，g′(x)=(ax +1+a)e x =a(x +a+1a)e x ，可得其单调性．①如图1所示，要求：{g(−1)<ℎ(−1)g(−2)≥ℎ(−2) ，②如图2所示，要求：{g(1)<ℎ(1)g(2)≥ℎ(2) ，解出即可得出．【解答】函数f(x)=2x +1−(ax +1)e x ，其中a >0，设g(x)=e x (ax +1)，y =ℎ(x)=2x +1，g(0)=ℎ(0)=1． ∵ 存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)>0，∴ 存在唯一的整数x 0，使得g(x 0)在直线y =2x +1的下方， ∵ g′(x)=(ax +1+a)e x =a(x +a+1a)e x ，∴ 当x <−a+1a时，g′(x)<0，当x >−a+1a时，g′(x)>0，∴ 当x =−a+1a=−1−1a 时，[g(x)]min =g(−a+1a)=−ae−a+1a．①如图1所示，要求：{g(−1)<ℎ(−1)g(−2)≥ℎ(−2) ，即{(1−a)e −1<−1e −2(1−2a)≥−3 ，解得：1+e <a ≤1+3e 22．及其a >0，解得0<a <3e −1．综上可得：实数a 的取值范围为：(0,3e −1)∪(1+e,1+3e 22]．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得b →⋅(a →+b →)=a →⋅b →+b →2=0，进而由(a →+2b →)2=a →2+4a →⋅b →+4b →2，计算可得|a →+2b →|=2，结合向量数量积的计算公式可得向量b →在向量a →+2b →方向上的投影为b →∗(a →+2b →)|a →+2b →|=a →∗b →+2b →2|a →+2b →|，代入数据计算可得答案．【解答】根据题意，若b →⊥(a →+b →)，则b →⋅(a →+b →)=a →⋅b →+b →2=0，又由|a →|=2,|b →|=1，则a →⋅b →=−1，则(a →+2b →)2=a →2+4a →⋅b →+4b →2=4+4−4=4，则|a →+2b →|=2，则向量b →在向量a →+2b →方向上的投影为b →∗(a →+2b →)|a →+2b →|=a →∗b →+2b →2|a →+2b →|=12；【答案】 13【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，再由z =yx+2的几何意义，即可行域内的动点与定点P(−2, 0)连线的斜率求解．【解答】由约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 作出可行域如图，联立{x −y =0x +y =2，解得A(1, 1)， z =yx+2的几何意义为可行域内的动点与定点P(−2, 0)连线的斜率， ∵ k PA =1−01−(−2)=13， ∴ z =yx+2的最大值为13．【答案】 √153【考点】双曲线的离心率【解析】求出圆的圆心，代入双曲线方程，求出a ，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】过圆M:x 2+y 2−6x +4y −1=0的圆心(3, −2)，由题意可得：9a 2−42=1，解得a =√3，则c =√5，双曲线的离心率为：e =√5√3=√153．【答案】 4n−1+23【考点】数列递推式【解析】由a n ={n,n =2k −1,k ∈N ∗a n 2,n =2k,k ∈N ∗ ，可得a 2n =a n ，于是f(n)=a 2+a 4+a 6+a 8+a 10+⋯+a 2n =a 1+a 2+a 3+……+a 2n−1−1+a 2n−1=(a 1+a 3+⋯⋯+a 2n−1−1)+f(n −1)，可得：f(n)−f(n −1)=1+3+……+2n−1−1=4n−2．利用累加求和即可得出．【解答】∵ a n ={n,n =2k −1,k ∈N ∗a n 2,n =2k,k ∈N ∗ ，∴ a 2n =a n ，∴ f(n)=a 2+a 4+a 6+a 8+a 10+⋯+a 2n=a 1+a 2+a 3+……+a 2n−1−1+a 2n−1=(a 1+a 3+⋯⋯+a 2n−1−1)+f(n −1)，可得：f(n)−f(n −1)=1+3+……+2n−1−1=2n−2(1+2n−1−1)2=4n−2．f(n)=4n−2+4n−3……+4+1+1=4n−1−14−1+1=4n−1+23．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 【答案】解：(1)由题知sinBsinA +sinAcosB =√2sinA ，则sinB +cosB =√2，sin(B +π4)=1，因B 为锐角，所以B =π4，由sin∠BAC =45，得cos∠BAC =35，所以sinC =sin(B +∠BAC)=sinBcos∠BAC +cosBsin∠BAC =7√210.(2)由正弦定理BC AB=sin∠BAC sinC=4√27，又12BC ×AB ×sinB =14，BC ×AB =28√2，解得AB =7,BC =4√2，所以BD =3√2，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cosB ，解得AD =5. 【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理【解析】（1）利用两角和与差的三角函数转化求出B 的大小，利用两角和的正弦函数求解C 的正弦函数值即可．（2）利用正弦定理求出BD ，然后利用余弦定理求解AD 即可．【解答】解：(1)由题知sinBsinA +sinAcosB =√2sinA ，则sinB +cosB =√2，sin(B +π4)=1，因B 为锐角，所以B =π4，由sin∠BAC =45，得cos∠BAC =35，所以sinC =sin(B +∠BAC)=sinBcos∠BAC +cosBsin∠BAC =7√210. (2)由正弦定理BC AB=sin∠BAC sinC=4√27，解得AB =7,BC =4√2，所以BD =3√2，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cosB ，解得AD =5. 【答案】证明：因为ABFE 为矩形，所以EA ⊥AB ，由平面ABFE ⊥平面ABCD ，所以EA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以EA ⊥BD ．过D 点作DM ⊥AB 交AB 于M ，由题意得，AM =12AD =12，所以∠MAD =60∘，∠ADM =30∘，DM =√32，BM =32=√3DM ，所以∠BDM =60∘，所以∠ADB =90∘，即AD ⊥BD ．由AD ∩AE =A ，所以BD ⊥平面ADHE ．由BD ⊂平面BDHF ，所以平面ADHE ⊥平面BDHF ．侧面ABCD 的面积为S 梯形ABCD =(1+2)×√32×12=3√34，因为ABFE −DCGH 是四棱台，CD =12AB ，所以DH =12AE =12，所以S 梯形ADHE =S 梯形BCGF =(12+1)×1×12=34．过H 作HP ⊥AE 交AE 于P ，HQ ⊥EF 交EF 于Q ，则HP =AD =1，AP =HD =12，EP =1−AP =12，EQ =AM =12则HE 2=HP 2+EP 2=1+14=54，HQ =√HE 2−EQ 2=√54−14=1所以S 梯形EFGH =(1+2)×1×12=32，所以S 侧=S 梯形ABCD +S 梯形ADHE +S 梯形BCGF +S 梯形EFGH =3√34+34+34+32=3+3√34．【考点】柱体、锥体、台体的面积求解平面与平面垂直【解析】（1）证明EA ⊥平面ABCD ，推出EA ⊥BD ．过D 点作DM ⊥AB 交AB 于M ，推出AD ⊥BD ，证明BD ⊥平面ADHE ．然后证明平面ADHE ⊥平面BDHF ．113HP ⊥AE 交AE 于P ，HQ ⊥EF 交EF 于Q ，求解S 侧=S 梯形ABCD +S 梯形ADHE +S 梯形BCGF +S 梯形EFGH ．即可．【解答】证明：因为ABFE 为矩形，所以EA ⊥AB ，由平面ABFE ⊥平面ABCD ，所以EA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以EA ⊥BD ．过D 点作DM ⊥AB 交AB 于M ，由题意得，AM =12AD =12，所以∠MAD =60∘，∠ADM =30∘，DM =√32，BM =32=√3DM ，所以∠BDM =60∘，所以∠ADB =90∘，即AD ⊥BD ．由AD ∩AE =A ，所以BD ⊥平面ADHE ．由BD ⊂平面BDHF ，所以平面ADHE ⊥平面BDHF ．侧面ABCD 的面积为S 梯形ABCD =(1+2)×√32×12=3√34，因为ABFE −DCGH 是四棱台，CD =12AB ，所以DH =12AE =12，所以S 梯形ADHE =S 梯形BCGF =(12+1)×1×12=34．过H 作HP ⊥AE 交AE 于P ，HQ ⊥EF 交EF 于Q ，则HP =AD =1，AP =HD =12，EP =1−AP =12，EQ =AM =12则HE 2=HP 2+EP 2=1+14=54，HQ =√HE 2−EQ 2=√54−14=1所以S 梯形EFGH =(1+2)×1×12=32，所以S 侧=S 梯形ABCD +S 梯形ADHE +S 梯形BCGF +S 梯形EFGH =3√34+34+34+32=3+3√34．【答案】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵ O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴ A′B =20C ．∴ |BA′|+|BA|=20C +2AC =20C +2CD =20D =4>|AA′|=2 依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2，∴ 动点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1．（2）证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2，此时直线l 与椭圆x 24+y 23=1相切，与题意不符．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 1+x 2=16k 2+8k4k 2+3x 1x 2=16k 2+16k−84k +3△>0⇒k <12 ， ∴ k PM +k PN =y 1x 1−2+y 2x 2−2=k(x 1−2)−1x 1−2+k(x 2−2)−1x 2−2=2k −(1x 1−2+1x 2−2)=2k −x 1+x 2−4(x 1−2)(x 2−2)=2k −x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −(16k 2+8k4k 2+3)−416k 2+16k−84k 2+3−2(16k 2+8k4k 2+3)+4=2k +3−2k =3．∴ 直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．【考点】轨迹方程圆锥曲线的综合问题【解析】(Ⅰ)设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A′(−1, 0)．圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，由此能求出动点B 的轨迹方程．(Ⅱ)设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0．由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能证明直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．【解答】依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线， ∵ O 为AA′的中点，C 为AB 中点，∴ A′B =20C ．∴ |BA′|+|BA|=20C +2AC =20C +2CD =20D =4>|AA′|=2 依椭圆得定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，其中：|BA′|+|BA|=2a =4，|AA′|=2c =2， ∴ a =2，c =1，∴ b 2=a 2−c 2=3， ∴ 动点B 的轨迹方程为x 24+y 23=1．（2）证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x =2，此时直线l 与椭圆x 24+y 23=1相切，与题意不符．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y +1=k(x −2)．由{y +1=k(x −2)x 24+y 23=1 得(4k 2+3)x 2−(16k 2+8k)x +16k 2+16k −8=0．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则{x 1+x 2=16k 2+8k4k 2+3x 1x 2=16k 2+16k−84k 2+3△>0⇒k <12 ， ∴ k PM +k PN =y 1x 1−2+y 2x2−2=k(x 1−2)−1x 1−2+k(x 2−2)−1x 2−2=2k −(1x1−2+1x2−2)=2k −x 1+x 2−4(x 1−2)(x 2−2)=2k −x 1+x 2−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k −(16k 2+8k4k 2+3)−416k 2+16k−84k 2+3−2(16k 2+8k4k 2+3)+4=2k +3−2k =3．∴ 直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值3．【答案】由频数分布表得频率分布直方图为：(ⅰ)抽取比例为1325+20+15+5=15．所以从日采摘量为[6, 7)的分组中应抽取15×15=3天的数据．(ⅱ)产量指标的样本平均数为：x=1.5×0.05+2.5×0.10+3.5×0.20+4.5×0.25+5.5×0.20+6.5×0.15+7.5×0.05=4.6，产量指标的样本方差为s2=(−3.1)2×0.05+(−2.1)2×0.10+(−1.1)2×0.20+(−0.1)2×0.25+0.92×0.20+1.92×0.15+2.92×0.05=2.29．【考点】频率分布直方图【解析】（1）由频数分布表能求出频率分布直方图．(2)(ⅰ)先求出抽取比例，由此能求出从日采摘量为[6, 7)的分组中应抽取多少天的数据．(ⅱ)利用频率分岂有此理直方图能求出产量指标的样本平均数和产量指标的样本方差．【解答】由频数分布表得频率分布直方图为：(ⅰ)抽取比例为1325+20+15+5=15．所以从日采摘量为[6, 7)的分组中应抽取15×15=3天的数据．(ⅱ)产量指标的样本平均数为：x=1.5×0.05+2.5×0.10+3.5×0.20+4.5×0.25+5.5×0.20+6.5×0.15+ 7.5×0.05=4.6，产量指标的样本方差为s2=(−3.1)2×0.05+(−2.1)2×0.10+(−1.1)2×0.20+【答案】f ′(x)=e 2x +2(x −1)e 2x +2ax −a =(2x −1)(e 2x +a)，………①当a ≥0时，e 2x +a >0恒成立，令f ′(x)>0，则x >12，所以f(x)的单调增区间为(12,+∞)．同理可得f(x)的单调减区间为(−∞,12)． ……… ②当a <0时，令f ′(x)=0，则x =12或x =ln(−a)2．(ⅰ)当ln(−a)2>12，即a <−e 时，令f ′(x)>0，则x <12或x >ln(−a)2，所以f(x)的单调增区间为(−∞,12)和(ln(−a)2,+∞)． ………同理f(x)的单调减区间为(12,ln(−a)2)；(ⅱ)当ln(−a)2=12，即a =−e 时，当x ≤12时，x −1≤0，e 2x +a ≤e 1−e =0，所以f ′(x)≥0，同理x >12时，f ′(x)>0．故f(x)的单调增区间为(−∞, +∞)； ……… (ⅲ)当ln(−a)2<12，即−e <a <0时．令f ′(x)>0，则x <ln(−a)2或x >12，所以f(x)的单调增区间为(−∞,ln(−a)2)和(12,+∞)，同理f(x)的单调减区间为(ln(−a)2,12)． ………综上所述，当a <−e 时，f(x)的单调增区间为(−∞,12)和(ln(−a)2,+∞)，单调减区间为(12,ln(−a)2)；当a =−e 时，f(x)的单调增区间为(−∞, +∞)；当−e <a <0时，f(x)的单调增区间为(−∞,ln(−a)2)和(12,+∞)，单调减区间为(ln(−a)2,12)；当a ≥0时，f(x)的单调增区间为(12,+∞)，单调减区间为(−∞,12)． ………因为f(x)=(x −1)(e 2x +ax)，所以f(x)有一个零点x =1，……… 由于f(x)有两个零点，所以e 2x +ax =0只有一个不是1的零点，解法1：令g(x)=e 2x +ax ，g ′(x)=2e 2x +a ，（1）当a >0时，g ′(x)=2e 2x +a >0恒成立，所以g(x)=e 2x +ax 在(−∞, +∞)上单调递增，对任意a >0，g(0)=e 0=1>0，g(−1a )=e−2a−1<1−1=0，由零点存在定理g(x)在(−1a ,0)上存在零点，因为g(x)=e 2x +ax 在(−∞, +∞)上单调递增，所以g(x)只有一个不是1的零点，时，令g ′(x)=2e 2x +a >0，解得x >12ln(−a2)；令g ′(x)=2e 2x +a <0，解得x <12ln(−a 2)；所以g(x)=e 2x +ax 在(−∞,12ln(−a2))上单调递减，在(12ln(−a2),+∞)上单调递增．所以g(x)=e 2x +ax 在x =12ln(−a2)取得极小值，也是最小值．所以函数g(x)min =g(12ln(−a2))=−a2+a2ln(−a2)，…… 依题意g(x)=e 2x +ax 只有一个不是1的零点，由于当x <0时，g(x)>0，且g(x)在(−∞,12ln(−a2))上单调递减，在(12ln(−a2),+∞)上单调递增．则g(x)min =g(12ln(−a2))=−a2+a2ln(−a2)=0或{g(1)=e 2+a =0g(x)min =g(12ln(−a2))=−a2+a2ln(−a2)<0解得a =−2e 或a =−e 2，…………综上所得，a 的取值范围为{−2e, −e 2}∪(0, +∞)． ………解法2：当x =0时，f(0)=−1<0，所以x =0不是e 2x +ax =0的零点，则a =−e 2x x，………令g(x)=−e 2x x，所以g ′(x)=e 2x (1−2x)x ，令g ′(x)=e 2x (1−2x)x 2>0，则x <12且x ≠0；令g ′(x)=e 2x (1−2x)x 2<0，所以x >12，所以g(x)在(−∞, 0)、(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，……… 所以g(x)在x =12处取得极大值，极大值为g(12)=−2e ，……… 由g(x)=−e 2x x可知，当x <0时，g(x)>0；当x >0时，g(x)≤−2e ； ………因为e 2x +ax =0只有一个零点，所以y =a 与g(x)只有一个交点，由图象可得，a >0或a =−2e ，又g(1)=−e 2，所以y =a 与g(x)只有一个不是1的交点，所以a 的取值范围为{−2e, −e 2}∪(0, +∞)． ………【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可判断函数f(x)的单调性；（2）方法1：由题意构造辅助函数g(x)=e 2x +ax ，求导，根据函数零点的判断，即可求得a 的取值范围；方法2：根据题意，构造函数g(x)=−e 2x x，求导，根据函数的单调性求得g(x)的最值，由y =a 与g(x)只有一个交点，即可求得a 的取值范围．【解答】f ′(x)=e 2x +2(x −1)e 2x +2ax −a =(2x −1)(e 2x +a)，………①当a ≥0时，e 2x +a >0恒成立，令f ′(x)>0，则x >12，所以f(x)的单调增区间为(12,+∞)．同理可得f(x)的单调减区间为(−∞,12)． ……… ②当a <0时，令f ′(x)=0，则x =12或x =ln(−a)2．(ⅰ)当ln(−a)2>12，即a <−e 时，令f ′(x)>0，则x <12或x >ln(−a)2，所以f(x)的单调增区间为(−∞,12)和(ln(−a)2,+∞)． ………同理f(x)的单调减区间为(12,ln(−a)2)；(ⅱ)当ln(−a)2=12，即a =−e 时，当x ≤12时，x −1≤0，e 2x +a ≤e 1−e =0，所以f ′(x)≥0，同理x >12时，f ′(x)>0．故f(x)的单调增区间为(−∞, +∞)； ……… (ⅲ)当ln(−a)2<12，即−e <a <0时．令f ′(x)>0，则x <ln(−a)2或x >12，所以f(x)的单调增区间为(−∞,ln(−a)2)和(12,+∞)，同理f(x)的单调减区间为(ln(−a)2,12)． ………综上所述，当a <−e 时，f(x)的单调增区间为(−∞,12)和(ln(−a)2,+∞)，单调减区间为(12,ln(−a)2)；当a =−e 时，f(x)的单调增区间为(−∞, +∞)；当−e <a <0时，f(x)的单调增区间为(−∞,ln(−a)2)和(12,+∞)，单调减区间为(ln(−a)2,12)；当a ≥0时，f(x)的单调增区间为(12,+∞)，单调减区间为(−∞,12)． ………因为f(x)=(x −1)(e 2x +ax)，所以f(x)有一个零点x =1，……… 由于f(x)有两个零点，所以e 2x +ax =0只有一个不是1的零点，解法1：令g(x)=e 2x +ax ，g ′(x)=2e 2x +a ，（1）当a >0时，g ′(x)=2e 2x +a >0恒成立，所以g(x)=e 2x +ax 在(−∞, +∞)上单调递增，对任意a >0，g(0)=e 0=1>0，g(−1a )=e−2a−1<1−1=0，由零点存在定理g(x)在(−1a ,0)上存在零点，因为g(x)=e 2x +ax 在(−∞, +∞)上单调递增，所以g(x)只有一个不是1的零点，所以当a >0时，满足题意．（2）当a =0时，g(x)=e 2x 无零点，舍去．（3）当a <0时，令g ′(x)=2e 2x +a >0，解得x >12ln(−a2)；令g ′(x)=2e 2x +a <0，解得x <12ln(−a 2)；所以g(x)=e 2x +ax 在(−∞,12ln(−a2))上单调递减，在(12ln(−a2),+∞)上单调递增．所以g(x)=e 2x +ax 在x =12ln(−a2)取得极小值，也是最小值．所以函数g(x)min =g(12ln(−a2))=−a2+a2ln(−a2)，…… 依题意g(x)=e 2x +ax 只有一个不是1的零点，由于当x <0时，g(x)>0，且g(x)在(−∞,12ln(−a2))上单调递减，在(12ln(−a2),+∞)上单调递增．则g(x)min =g(12ln(−a2))=−a2+a2ln(−a2)=0或{g(1)=e 2+a =0g(x)min =g(12ln(−a2))=−a2+a2ln(−a2)<0解得a =−2e 或a =−e 2，…………综上所得，a 的取值范围为{−2e, −e 2}∪(0, +∞)． ………解法2：当x =0时，f(0)=−1<0，所以x =0不是e 2x +ax =0的零点，则a =−e 2x x，………令g(x)=−e 2x x，所以g ′(x)=e 2x (1−2x)x ，令g ′(x)=e 2x (1−2x)x 2>0，则x <12且x ≠0；令g ′(x)=e 2x (1−2x)x 2<0，所以x >12，所以g(x)在(−∞, 0)、(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，……… 所以g(x)在x =12处取得极大值，极大值为g(12)=−2e ，……… 由g(x)=−e 2x x可知，当x <0时，g(x)>0；当x >0时，g(x)≤−2e ； ………因为e 2x +ax =0只有一个零点，所以y =a 与g(x)只有一个交点，由图象可得，a >0或a =−2e ，又g(1)=−e 2，所以y =a 与g(x)只有一个不是1的交点，所以a 的取值范围为{−2e, −e 2}∪(0, +∞)． ………请考生在22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程]【答案】（1）∵ 直线C 1:√3x +y −4=0，x =ρcosθ，y =ρsinθ， ∴ 曲线C 1的极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−4=0，∵ 曲线C 2:{x =cosφy =1+sinφ ，∴ 消去参数φ得曲线C 2的普通方程为x 2+(y −1)2=1，∵ x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴ C 2的极坐标方程为：(ρcosθ)2+(ρsinθ−1)2=1，∴ρ2−2ρsinθ=0，∴C2的极坐标方程为：ρ=2sinθ．（2）曲线C3为θ=α(ρ>0,0<α<π2)，设A(ρ1, α)，B(ρ2, α)，ρ1=3cosα+sinαρ2=2sinα，则|OB||OA|=ρ2ρ1=14×2sinα(√3cosα+sinα)=14[sin(2α−π6)+1]，∴α=π3，|OBOA|max=12．【考点】圆的极坐标方程【解析】（I）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C1的极坐标方程；曲线C2消去参数φ得曲线C2的普通方程为x2+(y−1)2=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C2的极坐标方程．(II)设A(ρ1, α)，B(ρ2, α)，ρ1=√3cosα+sinαρ2=2sinα，则|OB||OA|=ρ2ρ1=14[sin(2α−π6)+1]，由此能求出OBOA的最大值．【解答】（1）∵直线C1:√3x+y−4=0，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−4=0，∵曲线C2:{x=cosφy=1+sinφ，∴消去参数φ得曲线C2的普通方程为x2+(y−1)2=1，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C2的极坐标方程为：(ρcosθ)2+(ρsinθ−1)2=1，∴ρ2−2ρsinθ=0，∴C2的极坐标方程为：ρ=2sinθ．（2）曲线C3为θ=α(ρ>0,0<α<π2)，设A(ρ1, α)，B(ρ2, α)，ρ1=√3cosα+sinαρ2=2sinα，则|OB||OA|=ρ2ρ1=14×2sinα(√3cosα+sinα)=14[sin(2α−π6)+1]，∴α=π3，|OBOA|max=12．[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)=|x−2a|+|x+3|≥|(x−2a)−(x+|=|2a+3|，g(x)=|x−2|+3≥3．∵对任意x2∈R，都存在x1∈R，使得g(x1)=f(x2)成立，∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}，所以|2a+3|≥3，∴a≥0或a≤−3，∴实数a的取值范围为(−∞, −3]∪[0, +∞)．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）将a=2代入f(x)，通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）问题转化为{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}，分别求出f(x)，g(x)的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】f(x)=|x−2a|+|x+3|≥|(x−2a)−(x+|=|2a+3|，g(x)=|x−2|+3≥3．∵对任意x2∈R，都存在x1∈R，使得g(x1)=f(x2)成立，∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}，所以|2a+3|≥3，∴a≥0或a≤−3，∴实数a的取值范围为(−∞, −3]∪[0, +∞)．。

2018-2019学年度广东省中山市高二第二学期期末水平测试文科数学试题(含答案)

高二文科数学试卷第1页（共18页）2018-2019学年度中山市高二级第二学期期末统一考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i 是虚数单位，则ii21-的虚部是( ) A ．-2B ．-1C ．i -D ．i 2-2．用反证法证明“方程)0(02≠=++a c bx ax 至多有两个解”的假设中，正确的是( ) A ．至少有两个解 B ．有且只有两个解 C ．至少有三个解 D ．至多有一个解 3. 若抛物线ay x =2的焦点到准线的距离为1，则a=（） A. 2B ．4C ．±2D ．±44. ”的＞”是“＞“33ba22b a （） A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性？（）A.甲B．乙C．丙D．丁6.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”。

执行如图所示的程序框图，若输入11x=，22x=，0.1d=，则输出n的值为（）高二文科数学试卷第2页（共18页）高二文科数学试卷第3页（共18页）A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 7. 某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下22⨯的列联表：由公式))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，算得82.72≈K附表：参照附表，以下结论正确的是（）A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”8．（a +b ）n（n ∈N *）当n ＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式高二文科数学试卷第4页（共18页）借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是（） A ．5，9B ．5，10C ．6，10D ．6，99． A ． a c b << B ． C ．b c a <<D ．＜10．已知，是椭圆C ：12222=+by a x ( ＞＞ )的左右焦点，B 为椭圆C 短轴的一个端点，直线与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2是等腰三角形，则21AF AF =( )A ．31B ．21 C ．32D ．311．函数x x x x f sin )(2+=的图像大致为（）高二文科数学试卷第5页（共18页）12．已知双曲线)0,(12222>=-b a by a x ，过x 轴上点p 的直线l 与双曲线的右支交于M ，N两点(M 在第一象限)，直线MO 交双曲线左支于点 Q (O 为坐标原点)，连接QN ，若∠MPO ＝60°，∠MNQ ＝30°，则该双曲线的离心率为 ( )A ．2B ．3C ． 2D ． 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13．曲线在点(0，-1)处的切线方程为_______。

2023年中山大学强基计划测试数学试题

2023年中山大学强基计划测试数学试题共4道解答题，考试时间2023年7月1日，时长为45分钟1.已知*n N ∈，求1022k nk k n +=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑的值.2.已知*n N ∈，求证：7不整除12n +.3.解方程：222cos cos 2cos 31x x x ++=4.解不等式：229x <+2023年中山大学强基计划测试数学试题解析1.已知*n N ∈，求1022k nk k n +=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑的值.分析：中学求和无非是等比数列类型或裂项类型的，本体不是等差等比数列，所以尝试裂项求和.解：显然1121222k k k n n ++⎡⎤+⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦根据取整等号的性质有：[]122x x x +⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以111121222222k k k k k n n n n n ++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以得：110100222222k n n k k k n k k n n n n n n +++==⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑2.已知*n N ∈，求证：7不整除12n +.分析：同余性质解：3321(mod 7)21(mod 7)k ≡∴≡ 易知313222(mod 7),24(mod 7)k k ++≡≡，总之21(mod 7)n≠-，所以原命题成立.3.解方程：222cos cos 2cos 31x x x ++=分析：降幂，和差化积.解：21cos 1cos 42cos 32x x x ++++=，和差化积得：22cos cos32cos 30x x x +=再次和差化积cos cos 2cos30x x x =所以cos 0cos 20cos30x x x ===或或当且仅当22()2436k x k k k ππππππ=±±±∈ 或或4.解不等式：229x <+分析：分母有理化解：易知120,1x +≥≠12x ≥-且0x ≠，22229291)29LHS x x x =<+⎡⎤<++<+所以化简得：457,8x <<综上可得：145,0(0,28x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦。

2021广东高考文科数学试题及答案

【３】谢倩．我国医院手术室术前访视的现状及展望叨．中华护理杂志，
２００３，３８（１０）：８０９．
［４１谢小玉术前访视需求调查硼．现代ｌ临床医学，２００５，１６（６）：４＿４３＿＿４４４．（收稿日期：２０１２一ｌ２ — １７）
１一般资料
间加重。护理人员要仔细观察患者头痛性质、部位、持续时间、
程度、伴随症状或减轻的因素等情况，以协助早期确诊。
４意识的观察
意识的变化是估计患者病变部位、性质及预后的标志之
一
本组患者６２例，其中男５Ｏ例，女１２例；年龄４０岁一５９岁２２例，６ｏ岁～８Ｏ岁加例。
缘不整，光反射迟钝或消失，血压上升（收缩压较原水平升高
瞳孔的对光反射和角膜反射，可以反映患者的视觉通路，特别是中脑的机能状态。本组病例中有２１例患者的瞳孔改变明显。仔细观察瞳孔大小、两侧是否对称、对光反射情况，如一侧瞳孔扩大，对侧上下肢瘫痪，多表示瞳孔扩大侧有血肿存在
，
也是辨别是否发生颅内压升高的依据之一。脑血管意外患
者，在发病初期，不一定都有明显的意识改变，以后则根据损伤的部位及程度，出血量的多少，以及病情的变化而有所不同。短
２早期症状的观察
患者在发病前常有早期症状。如脑血栓形成患者，由于夜间血流缓慢，脉搏变慢，故多在清晨和午觉起来时发病，发病前数Ｅｌ常有头晕、头闷、肢体麻木等早期症状，一般意识清楚。本组患者中半数以上病例有上述表现。高血压患者中，１６例患者血压高于２００１１２０ＩＴｌｍＨｇ，有９例发生了脑出血。患者体温、脉搏、呼吸、血压的变化可能与颅内出血部位、

中山大学考研数学分析2018年真题及答案

中山大学2018年数学分析真题题目一、解答下面各题（每小题9分，共54分） 1. 求极限：lim x→0(1+tan x )2018x。

2. 若已知函数f(x)的二阶导数存在，f ′(x)≠0且存在x =f −1(y)，求(f −1)′′(y)。

3. 求极限：lim n→∞(1n +1n+1+ (1)2n)。

4. 设f (x,y )=xy 2z 3，函数z (x,y )满足 x 2+y 2+z 2=3xyz ，求ðfðx |(1,1,1)。

5. 计算∬(√x +√y)dxdy √x+√y≤1。

6. 计算∮x 2yzdx +(x 2+y 2)dy +(x +y +z)dz C，其中L 为曲面x 2+y 2+z 2=5与曲面z =1+x 2+y 2的交线，从z 轴正向看过去时顺时针方向。

二、（10分）判断级数∑n√n+(−1)n∞的收敛性。

三、（10分）求f (x,y,z )=xyz 在约束条件x 2+y 2+z 2=1与x +y +z =0下的极值。

四、（10分）证明：∑1n 2+1∞n=1<12+π4。

五、（10分）设f (x )在(−∞,+∞)上连续，且lim x→−∞f(x)与lim x→+∞f(x)存在，证明f (x )在(−∞,+∞)上一致连续。

六、（20分）f (x )在(x 0−1,x 0+1)上连续，在(x 0−1,x 0)∪(x 0,x 0+1)上可导，且lim x→x 0f ′(x)=a 。

证明：f ′(x 0)存在，且f ′(x 0)=a 。

七、（10分）求级数∑(1+12+···+1n )x n 的收敛域。

八、（10分）求f (x )=e x +e −x +2cos x 的极值。

九、（10分）判断f (x )=xsinx 14在[0,+∞)上的一致连续性。

十、（10分）讨论∑x n nlnn ∞n=2在[0,1)上的一致收敛性。

中山大学2013级大一上学期高数三期末考A卷(附答案)

2 2
2
x
0
2
t (t 1)et dt
2
2
x
0
2
t t2 e dt 2
C
1 2 x2 x e e 4 4
第- 5 -页 / 共 5 页
* x
2be x be x be x 2e x ， b 1 ，所以特解为 y* ( x) e x 。于是所求微分方程的通
解为
x 2
y ( x) C1e C2 e x e x
其中 C1 , C2 为任意常数。
第- 3 -页 / 共 5 页
考试形式：闭卷
考试形式：闭卷
考试时间 : 2 小时
中山大学珠海校区 2013 年度第二学期
《高等数学（三）》期末考试题（A 卷答案）
警示《中山大学授予学士学位工作细则》第六条考试作弊不授予学士学位姓名：________________ 题目分数一、填空题（每小题 3 分，5 题，共计 15 分）填空题计算题应用题学号：________________ 证明题附加题总分
b b a a
2 f (x)dx (x a)(x b) f '' (x)dx 2 f (x)dx (x a)(x b)df ' (x)
a a b b
2 f (x)dx (2 x (a b)) f ' (x)dx
a a
b
b
2 f (x)dx (2 x (a b))df (x)
x2 5 的定义域是 1. 函数 y x ln x 4 arcsin

普通高等学校招生国统一考试数学文试题广东卷,解析试题

{}02021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，解析版〕本套试卷一共4页，21小题，满分是150分。

考试用时120分钟。

考前须知：1.答卷时，所有考生必须用黑色字迹的钢笔或者签字笔将本人的姓名和考生号、试室、座位号填写上在答题卡上。

需要用2B 铅笔将试卷类型〔B 〕填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处〞。

2.选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项之答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或者签字笔答题，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求答题之答案无效。

4.答题选作题时，请先需要用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再答题。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

在在考试完毕之后以后，将试卷和答题卡一起交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，满分是50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.{}3,2,1,0=A ，{}4,2,1=B 那么集合=⋃B AA. {}4,3,2,1,0B. {}4,3,2,1C. {}2,1D. 解：并集，选A.)1lg()(-=x x f 的定义域是A.),2(+∞B. ),1(+∞C. ),1[+∞D. ),2[+∞ 解：01>-x ，得1>x ，选B.x x x f -+=33)(与x x x g --=33)(的定义域均为R ，那么A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数解:由于)(33)()(x f x f x x=+=----,故)(x f 是偶函数,排除B 、C由题意知，圆心在y 轴左侧，排除A 、C在AO Rt 0∆，210==k A OA ，故50510500=⇒==O O O A ，选D7.假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是 A.54 B.53 C. 52 D. 51{}d c b a,,,上定义两种运算○+和○*如下○+ a b c d aabcdb bb bb ccb cb ddbbd那么d ○*a (○+=)cA.aB.bC.cD.d解：由上表可知：a (○+c c =),故d ○*a (○+=)c d ○*a c =，选A二、填空题：本大题一一共5小题，考生答题4小题，每一小题5分，满分是20分。

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