(完整版)13级统计专业《随机过程》期末试卷B
随机过程期末复习试题
期末复习试题一、填空题1. 假设()0.4,P A =()0.7P A B =， 若A 与B 互不相容，则()________P B =； 若A 与B 相互独立，则()________P B =.2.设0<P (A )<1,0<P (B )<11=+)|()|(B A P B A P ,则A 与B 满足什么关系__________.3．设A 与B 为两个事件，()0.9P A =，()0.3P AB =，则()P AB =___________.4. 设()0.5P A =，()0.3P B =()0.2P B A =，则()P B A ⋃=___________. 5．设随机变量X 的分布率为{}7aP X k ==，（ 1, 2, ,7k =）则常数a =_______.6．设随机变量X 的密度函数为, 01,()0, ax x f x <<⎧=⎨⎩其它.则常数a =_________7. 设X 和Y 是两个随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥=， 则{max(,)0}P X Y ≥= ______________8. 设随机变量()Xπλ,且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=___________.9．设随机变量(,)XB n p 的二项分布，且()4,()3,E X D X ==则n =___，p =___10. 设X 服从2(,)N μσ，随σ增大，概率{}P X μσ-<的值________________. 11. 设X 服从(1,4)N ，则2()E X 为 ________________.12．设随机变量X 和Y 独立，且都服从(,1)N μ，若{1}0.5P X Y +≤=，则μ为____13．设随机变量X 和Y 独立，且X 服从(1,2)N ，Y 服从(0,1)N ，则23Z X Y =-+服从_________14. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则由切比雪夫不等式，有{||6}P X Y +≥≤_______________.15. 某人不断地掷骰子．设n X 表示前n 次抛掷中出现的最大点数，那么随机序列{},1n X n ≥的状态空间是____________________.16．设计数过程{(),0}N t t ≥是强度为λ的泊松过程，令00t =，则均值函数为_____，方差函数为_____.17．设{(),0}W t t ≥是以2σ为参数的维纳过程，则0, ()t W t ∀>___________________.18．已知1{,}n X n T ∈为马尔可夫链，12{,,}I a a =为状态空间，对于120,r t t t m ≤<<<<（1,,i t m m n T +∈），都有1122{,,,,}r r m n t i t i i i m i p X a X a X a X a X a +======______二、简单计算题1. 已知1()()(),4P A P B P C ===1()0, ()(),8P AC P AB P BC ===求,,A B C 至少有一个发生的概率2．设X 的密度函数为, 0 1,()0, .ax x f x <<⎧=⎨⎩其他试求：（1）常数a ；（2）1{0}2P X ≤≤．3．设X 的密度函数为121, 0,()20, .x e x f x -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他求以a 为未知数的一元二次方程2240a Xa ++=有实根的概率。
随机过程考试真题
1、设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P（1）求两步转移概率矩阵)2(P及当初始分布为0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P时，经两步转移后处于状态2的概率。
（2）求马尔可夫链的平稳分布。
5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010007.03.0000000100004.06.0003.04.03.0P求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。
以i N 记在i 第层进入电梯的人数。
假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。
在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，1ijj ip>=∑。
令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。
（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么（3）j O 与k O 的联合分布是什么8、一质点在1，2，3点上作随机游动。
随机过程2012B'卷及答案
河北科技大学2012——2013 学年第一学期《应用随机过程》试卷（B′）学院理学院班级姓名学号一．概念简答题（每题5分，共40分）1. 写出ARMA（p,q）模型的定义2. 写出卡尔曼滤波的算法公式3. 一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每位顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为111,,236，彼此如何订阅是相互独立的，每订阅一年，店主即获利5元，设()Y t是[0,)t时段内，店主从订阅中所获得总收入。
试求：（1）[()]E Y t（即[0,)t时段内总收入的平均收入）；（2）[()]D Y t 。
4. 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为2424()109X w S w w w +=++，试求其自相关函数()X R τ。
5. 设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次，试求在使用期限内只维修过一次的概率。
6. 设()X t 为二阶矩过程，212()12(,)t tX R t t e --=，若()()()d Y t X t X t dt=+，试求12(,)Y R t t 。
7. 随机过程2{()(),,(,)}X t A t t T A N ϕμσ=∈ 是否为正态过程，试求其有限维分布的协方差阵。
8. 什么是随机过程，随机序列？ 二．综合题（每题10分，共60分）1. 设{(),0}X n n ≥是具有3个状态1,2,3的齐次马尔可夫链，一步转移概率矩阵为1/41/21/41/21/41/401/43/4P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，初始分布为 123(0){(0)1}1/2,(0)1/3,(0)1/6p P X p p =====（1） 试求{(0)1,(2)3};P X X == （2） 试求{(2)2};P X = （3） 此链是否具有遍历性？ （4） 试求其平稳分布。
2. 设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为P=0.50.40.10.30.40.30.20.30.5⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其相应的极限分布。
随机过程习题与答案
西 南 交 通 大 学本科生考试试卷B课程名称 随 机 过 程二零零三年二零零四年第一学期 考试日期班级 学号 姓名 成绩一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令为t 时刻的队长)(t X 即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待时间}),({},),({T t t Y T t t X ∈∈是随机过程吗为什么二试写出随机过程),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=t t A t X ω的任意两个样本函数并画出其图形 1若A 是在(上均匀分布的随机变量)1 ,1−−ω在(0, 2π)上服从均匀分布而Θ为常数 2若A 服从上均匀分布)1 ,1(−Θ服从(0, 2π)上均匀分布而ω为常数三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程每位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y (t )是[0, t )时段内店主从订阅中所获得总收入试求 1)]([t Y E 即[0, t )时段内总收入的平均收入2)]([t Y D四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出C C −,且对于任意的t电路中电流X (t )具有概率分布2121)(i p C Ct X −因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的设X (t )在[0, t )内变量的次数N (t )为强度λ的泊松过程试讨论{的平稳性}0),(≥t tX五若每隔一分钟观察噪声电压以X (n )表示第n分钟观察噪声电压所得结果则X (n )为一随机变量}1),({≥n n X 为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么六一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N 格质点以概率p 顺时针游动一格以概率逆时针移动一格p q −=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵七设一齐次马氏链的概率转移图如下图}0),({≥n n X 且已知其初始分布为31})0({==i XP 3,2,1=i21试求1 二步转移概率矩阵2 3)3(,2)1({==X X P }2)5(,=X参考解答一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令)(t X 为时刻的队长t 即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待时间}),({},),({T t Y T t t X ∈∈是随机过程吗t 为什么解答若令X (t )为t 时刻的队长,则固定t 时, X (t )为一随机变量,其可能取值为0,1,2,…, 其参数空间为表示t 时刻的状态,故状态空间为因此为一随机过程}0|{≥=t t T ,n t X =)(},2,1,0{L =E , }0),({≥t t X若令Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待的时间, 则固定t 时, Y (t ) 为一随机变量,其可能取值为即其参数空间为为t 时刻的状态,故状态空间为因此亦为一随机过程0≥t , }0|{≥=t t T ,s t X =)(}0|{≥=s s E ,}0),({≥t t Y 二试写出.(1) 若A 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数解答()sin()()X t A t t R ω=+Θ∈的任意两个样本函数,ωΘ图1取 12A =±得随机过程的两个样本函数图形如图111(sin(x t ω=+Θ2))21()sin()2t x t t ω=−+Θ(2)若 服为常Θ从(0,2),,U A πω数 解答 ()12,ππ=2()sin()cos()2sin()sin()X t A tA t X t A t A t πωωωπωΘ=+==+=−取三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度的一个泊松过程图2每为6位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y (t [0t )时段内)是, 店主从订阅中所获得总收入试求1)]([t Y E 即[0, )时段内总收入的平均收入t2)]([t YD解答(1) 法一 设N(t)为订阅杂志的顾客数, 为订阅j 年的顾客数()j N t 123()()()()()N t N t N t N t N t ⇒=++且 (6)t π故由已知π123232323()3),()(2),()()()[0,)()10()15()()()10()15()531021550()2()100()225()2531002225500N t t N t t N t t Y t t t N t N t EY t t EN t EN t t t t tDY t t DN t DN t t t t tππ++∴=++=×+×+==++=⋅+⋅+=111服从服从服从均为泊松过程记为内店主的总收入则Y(t )=5N 5EN 5D N法二 设店主从第n 个订阅者处获利X(n)则5 10 15X(n) p k 1/2 1/3 1/6X(n)相互独且 立 EX(n)=50/6, DX(n)=500/6()()()N t Y t X n =∑总获利100221()[(()/())](()/())(())5050(())(())5066(2)()(()())[[(()())/()]]500(())5006n k k EY t E E Y t N t E Y t N t k P N t k kP N t k E N t tDY t E Y t EY t E E Y t EY t N t E N t t =∞=∞==========−=−==∑∑四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出C C −,且对于任意的t电路中电流X (t )具有概率分布2121)(ip C Ct X − 因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的 设X (t )在[0, t )内变量的次数N (t )为强度λ的泊松过程试讨论}0),({≥t t X的平稳性解答1对于任意的tEX (t)=02 +∞<=22)(c t EX3对于 时21t t <})()({})()({)()(),(221222122121c t X t X P c c t X t X P c t X t EX t t R X −=−===})({})({122122奇数偶数=−−=−=t t N P c t t N P c )(0121220)(21221212)!12())(()!2())((t t k k k t t k e k t t c e k t t c −−+∞=++∞=−−∑∑+−−−=λλλλ )(!))((122)(22)(01221212t t R c e c e k t t c X t t t t k k −==−−=−−−−+∞=∑λλλ类似地, 对于时, 有12t t <)(),(21221t t R c t t R X X −=因此,合并两式即得, )(),(122222112t t R c ec t t R X t t X −==−−λ与无关,可见,t }0),({≥t t X为宽平稳过程五 若每隔一分钟观察噪声电压以X (n )表示第n 分钟观察噪声电压所得结果则X (n )为一随机变量}1),({≥n n X 为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么解答: 由于第n 分钟观察噪声电压所得结果与其它各次观察噪声电压所得结果互不影响,显然为独立随机序列}1),({≥n nX 因此对于任意的正整数, 的条件联合分布函数为 n n n n m <<<<L 21)(),(,),(),(21n X n X n X n X m L })(,)(|)({),,,,,,,|,(112121m m m n x n X x n X x n X P n n n x x x n x F ≤≤≤=L L L })(,)({})(,)(,)({1111m m m m x n X x n X P x n X x n X x n X P ≤≤≤≤≤=L L})({})({})({})({})({})({})({})({1111m m m m m m m m x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P ≤≤≤=≤≤≤≤≤=L L},|,{})(|)({})({})(,)({m m m m m m m m n x n x F x n X x n X P x n X P x n X x n X P =≤≤=≤≤≤=满足马尔科夫性,因此此过程是马氏过程六 一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N 格质点以概率p 顺时针游动一格以概率逆时针移动一格p q −=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵解答 将N 个格点分别记为1,2,…..,N如图排列 用X(n)表示n 时质点的位置显然它只与 X(n-1)时的位置有关与X(n-1)以前的位置无关满足马尔科夫性,因此为马氏过程}1),({≥n n X 其状态空间为E={ 1, 2, . . . . . .,N},参数空间为}1{≥=n T 故 为一马氏链}1),({≥n n X 其一步转移概率为((1)/())111ij p P X k j X k i p j i q j i i N o =+===+⎧⎪==−<<⎨⎪⎩其它1((1)/()1)2((1)/())11j N j p P X k j X k p j q j N o p P X k j X k N p j q j N o =+===⎧⎪==⎨⎪⎩=+===⎧⎪==−⎨⎪⎩其它其它七设一齐次马氏链{的概率转移图如下图}0),(≥n n X 且已知其初始分布为31})0({==i XP 3,2,1=i21试求1二步转移概率矩阵2}2)5(,=X 3)3(,2)1({==X XP解答1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0012/12/102/12/10P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/104/14/12/14/14/12/10012/12/102/12/100012/12/102/12/102P 2}2)5(,3)3(,2)1({===X X X P}3)3(|2)5({}2)1(|3)3({}2)1({======X X P X X P X P2412141]02121[31])0([)2(31)2(23231=××++==∑=p p p p i i i西 南 交 通 大 学本科生考试试卷A课程名称随 机 过 程二零零二年二零零三年第一学期 考试日期 2003.1.6班级 学号 姓名 成绩 一10分设质点M 在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数点上移动质点M 的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 二20分试写出随机过程),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=t t A t X ω的任意两个样本函数并画出其图形1若A 是上均匀分布的随机变量)1 ,1(−ω, Θ均为常数2若Θ服从(0, 2π)上的均匀分布A , ω为常数三10分试求随机过程的一维分布函数} , cos )({R t t A t X ∈=ω一维概率密度函数自相关函数与协方差函数其中A 服从标准正态分布N (0,1)四20分设在[0, t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3=λ人/分的泊松过程试求1在5分钟内有7位乘客到达售票处的概率2第3位乘客在3分钟内到达售票处的概率 五10分设)},( sin cos )({+∞−∞∈+=t t B t A t X ωωω为常数为一随机过程其中A 与B 是互不相关随机变量且 0)()(==B E A E2)()(σ==B D A D 试问此随机过程是否平稳过程为什么六20分设在每次试验中事件A 发生的概率为)10(<<p p 现将这项试验独立地重复进行多次以X (n )表示到第n 次为止事件A 发生的次数1试问{是何种随机过程},2,1),(L =n n X2试写出{的一维概率分布},2,1),(L =n n X七10分一只老鼠放在迷宫内见下图每隔单位时间老鼠在迷宫中移动一次随机地通过格子也就是说如果有R 条通路供离开那么选取其中任一条通路的概率为R1试用马氏链描述老鼠的移动规律给出它的状态空间和一步转移矩阵参考解答:一10分设质点M 在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数点上移动质点M 的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 解答设Y 为第n 个单位时刻质点M 所在位置, 而令随机变量n⎩⎨⎧−=向左移动一个整数单位质点向右移动一个整数单位质点M M X i 11L ,2,1=i 由于质点M 的移动是随机的, 故 21}1{}1{=−===X P X P 则在时刻 t=n 时, 质点所在的位置为M 1nn i i Y X ==∑,易知参数集为状态集为, 因此}1,{≥=n n T ,},2,1,0{L ±±=E {,1}n Y n ≥成为描述上述随机现象的随机过程二试写出. (1) 若A 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数解答()sin()()X t A t t R ω=+Θ∈的任意两个样本函数,ωΘ图1取 12A =±得随机过程的两个样本函数图形如图111(sin(x t ω=+Θ2))21()sin()2t x t t ω=−+Θ 见图1(2)若 服为常Θ从(0,2),,U A πω数解答 ()12,2()sin()cos()2sin()sin()Xt A t A t X t A t A t πππωωωπωΘ=取=+==+=− 见图2{()cos ,}X t A t t R ωω=∈是一常数三试求随机过程的一维分布函数一维概率其中A 服从标准正态分布N (0, 1)密度函数自相关函数与自协方差函数 解答在一个给定时刻t 0随机变量X (t )为A 的性函数0线而A 服从标准正态分布N (0, 1)由概率论知(t X 0)服从正态分布0(0,(cos ))N t ω2故一维率密度函数为概一维分布函数为自相关函数为12=((),())R X t X t 212(cos cos E A t t ωω)])t t DA A ωω=+212cos cos ([E 因为所以自协方差函数1,0,DA EA ==12cos cos t t ωω= 12121(2),())((),())()()X X C X t X t R X t X t m t m t =−0 所以 Co 2t X 2ωω=(因为,()X t R m t ∀∈=))(),((v 1t X 1t t cos cos 四设在[0,t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3=λ人/分的泊松过程试求1在5分钟内有7位乘客到达售票处的概率2第3位乘在客3分钟内到达售票处的概率 解答设N(t)为[0t 内到达的乘客数则 N(t)(1) (3)t π773515(35((5)7N ==)15)7!7!P e e −×−×= 153315(3)((3)3)!n k k n P P N ek ττ∞−=≤=≥=∑表第个乘客到达的时间()21000 cos t 0cos 2t ωω⎧⎫⎛⎞⎪≠⎬⎪⎭1(,)f x t =()200 cos t 0cos 2dx t ω⎧⎫⎛⎞⎪≠⎬⎪⎭101(,)xF x t ω−∞=∫(2)。
13级统计专业《随机过程》期末试卷B
.数学与统计学院2013级统计学专业（本科）《应用随机过程》期末试卷（B ）2015 — 2016 学年 第一学期 考试时间120 分钟 满分100分一、判断题（每题2分，满分10分）1.布朗运动和排队模型都属于随机过程。
（ ）2.如果随机过程{}(),X t t T ∈是严平稳过程，则它也是宽平稳过程。
（ ）3.Poisson 过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程。
（ ）4.i 为零常返状态⇔0lim )(=∞→n iin p。
（ ） 5.如果状态i 为非常返状态，且是非周期的，则i 是遍历状态。
（ ）二、填空题（每空2分，满分20分）1.设{}(),X t t T ∈是平稳过程，则[()]E X t = 。
2.乘客以10人/小时的平均速率到达售票处，则[0,t]内到达的乘客数{}()N t 是强度为 的Poisson 过程。
3.自相关函数(,)X R s t = 。
4.更新过程的时间间隔 ,,21X X 是分布函数为F 的独立同分布序列。
如果允许1X 服从其他分布G ，则称由 ,,21X X 确定的计数过程是 。
5. 有“开”、“关”两种状态的更新过程，称作 。
6.有一类随机过程，它具备 ，即要确定过程将来的状态，只需知道它现在的状态，而不需要知道它过去的状态。
7.设Markov 链一步转移概率矩阵为()ij p P =，n 步转移矩阵为())()(n ij n p P =，则二者之间的关系为 。
8.在Markov 链中，若()11n ii ii n f f ∞===∑，则称状态i 为 。
9.更新过程中有()N t n ≥⇔ 。
10.若状态j i ,同属一类，则两状态的周期)()(j d i d 与的关系是 。
三、计算题（每题10分，满分30分）1.假设某天文台观测到的流行数是一个泊松过程，根据以往资料统计为每小时平均观测到5颗流星。
试求：上午8:00 -12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率？观察到3颗的概率？2.设顾客在[0,t)内进入商场的人数是一泊松过程，平均每10min 进入25人。
(完整版)12-13随机过程试题B卷答案
专业：
院（系）：
= E[X (t )X (t)]E[Y (t )Y (t)] = RX ( )RY ( ) , 与 t 无关。
E | Z (t) |2 = RZ (0) = RX (0)RY (0) < 因此 Z (t) 是平稳过程。
7 设 N(t) 为 Poisson 过程，对 s t ，证明在t 时刻到达 k 次的条件下 s 时刻达到次数的概率，即
N (t)
N (t)
E(W (t)) E{ (t k )} E{E[ (t k ) | N(t)]}
k 1
k 1
N (t)
n
E[ (t k ) | N(t) n] nt E[k | N(t) n]
k 1
k 1
由定理在 N(t)=n 条件下 n 个k 的联合分布等价与[0,t]上 n 个相互独立服从均匀分布的随机变量
(s) s 1 1 s 1 s2 , 解得消亡概率为 s 1 42 4
得分 评阅人
四、综合题：（共 2 题，每题 12 分）
12．叙述马氏链状态的划分（5 分！）。应用相关理论讨论下例的各个状态。
设 {X n , n 0} 是马氏链，其状态空间 E {0,1, 2,L }，转移概率为
p0,0
p0,0
1 2
0, 从而
0
是非周期的，因此
0
是遍历的。因为整个状态空间 E
是连通的，所以，
对任意的状态i ，它都是遍历的。
13．用数学语言描述布朗运动的主要性质，并对一维布朗运动 Bt 计算 E(Bt Bs ) ， E(Bt4 ) ，
解：布朗运动有很多好性质比如 布朗运动是时齐的独立增量过程，也是时齐的马氏过程。
h0
lim
(完整版)随机过程题库1
随机过程综合练习题一、填空题(每空3 分)第一章1．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g(t)，则X1 X2 X n 的特征函数是。
2．E E(X Y) 。
3．X 的特征函数为g(t)，Y aX b，则Y的特征函数为。
4．条件期望E(X Y)是的函数，(是or不是)随机变量。
5．X1,X2, X n是独立同分布的随机变量，X i 的特征函数为g i(t)，则X1 X 2 X n 的特征函数是。
6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。
第二章7．宽平稳过程是指协方差函数只与有关。
8．在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为p(0 p 1)，以X(n)记进行到n次试验为止 A 发生的次数，则｛X(n),n 0,1,2, ｝是过程。
9．正交增量过程满足的条件是。
10．正交增量过程的协方差函数C X (s,t) 。
第三章11．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0 的齐次泊松过程，其均值函数为；方差函数为。
12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1， 2 ，3且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。
13．｛X(t), t ≥0｝为具有参数0的齐次泊松过程，( t)n e n! 14．n15．240000 16．复合；17．71 4eP X(t s) X(s) n14．设{X(t), t ≥0} 是具有参数0的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n的数学期望15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000 元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额。
16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t) 相互独立，则在[0 ，t]内到达汽车总站的乘客总数是(复合or 非齐次)泊松过程．17．设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过 3 人的概率是．第四章18．无限制随机游动各状态的周期是。
《随机过程》期末试题
《随机信号》期末试题学号：姓名：计算题和解答题（注：答题纸上作答，请写出必要的步骤，直接写出答案不得分）1、(10分)设随机过程(),(0,)X t Vt b t =+∈∞，b 为常数，V 是服从正态分布N(0,1)的随机变量。
求X(t)的一维概率密度、均值和相关函数。
2、(15分)设随机过程1nn j j Y X ==∑，其中X j (j=1,2,…,n)是相互独立的随机变量，且P{Xj=1}=p ，P{Xj=0}=1-p=q ，求{Yn ，n=1,2,…}的均值函数和协方差函数。
3、(15分)设电话总机在(0,t]内接到电话呼叫数X(t)是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率；4、(15分)某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达最高峰20人/时。
从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人。
假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8:30-9:30问无顾客到达商店的概率是多少?在这段时间内到达商店的顾客数的数学期望是多少?5、(15分)设马尔科夫链的状态空间为I={1，2，3，4，5，6}，状态转移图如下所示，写出转移概率矩阵。
6、(15分)设马尔科夫链的转移概率矩阵分别为（1）11221233⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）112233000p q p q q p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算1112,,1,2,3n n f f n =7、(15分)设S(t)是一周期为T 的函数，θ在(0,T )上均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。
随机过程期末试题及答案(2)
{N(t),t ≥ 0} 独立，令 X(t)=∑X(t)] = λ tE {Y1} 。
k=1
N(t)
2
证明：由条件期望的性质 E [X(t) ] = E E ⎡ ⎣ X(t) N(t) ⎤ ⎦ ，而 E ⎡ ⎣ X(t) N(t) = n ⎤ ⎦ = E⎢
P(X(t) ≤ x X(t1 )=x1 , X(t 2 )=x 2 , X(t n )=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n X(t1 )-X(0)=x1 , X(t 2 )-X(0)=x 2 , X(t n )-X(0)=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n ) ，又因为 P(X(t) ≤ x X(t n )=x n )= P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n X(t n )=x n ) = P(X(t)-X(t n ) ≤ x-x n ) ，故 P(X(t) ≤ x X(t1 )=x1 , X(t 2 )=x 2 , X(t n )=x n ) = P(X(t) ≤ x X(t n )=x n )
2 2
0 0 1 4 0
4 0
0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥ 1 ⎥ 4⎥ 1⎥ ⎦
（2） p33 = 1, 而p30，p31，p32 均为零，所以状态 3 构成一个闭集，它是吸收态，记 C1 = {3} ；0， 1 两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记 C2 = {0， 1}，且它们都是正常返 非周期状态；由于状态 2 可达 C1，C 2 中的状态，而 C1，C 2 中的状态不可能达到它，故状态 2 为非 常返态，记 D= {2} 。 （3）状态空间 I 可分解为： E=D ∪ C1 ∪ C2 四.简答题（6 分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。 答： （略）
概率统计随机过程-期末试卷-参考答案
7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15
D S 2 2 15
2
得 D S
2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二 参考答案 一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}
12-13随机过程期末试题
12-13随机过程期末试题⼀．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X 服从标准正态分布)1,0(N ，则X 的特征函数为____________.2．设Bt A t X +=)(,0≥t ，其中A 与B 是相互独⽴的随机变量，均服从标准正态分布，则X(t)的相关函数=)2,1(X R ________.3．强度为λ的泊松过程{}X(t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T (n=1,2,) 服从___________________________分布.4．设{}X(t),t 0≥是参数为λ的泊松过程，在n t X =)(的条件下，对于t s <<0，)(s X 服从_____________________________分布.5．设随机过程 X(t))cos(0Φ+=t a ω,∞<<∞-t ,其中常数a>0，00>ω，随机变量Φ的分布列为则随机过程的期望=)(t EX _________.6．马⽒链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记绝对概率j n p (n)P(X =j)=，⼀步转移概率{}i j n +1n p p X j X i ===，则ij j j p n p n p ),1(),(-三者之间的关系式为__________________. 7．设{}n X ,n 0≥为马⽒链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，⼀步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，则{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == ________________.8．在马⽒链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥则)(n ij f 表⽰ ________________________________________.9．在直线上，如果质点每次向前移动1步的概率都是p ，向后移动5步的概率是p q -=1，则每个状态的周期=d _________. 10．如果状态j ⾮常返或零常返，则(n)ij n lim p →∞=_______，i I ?∈. ⼆．证明题（每题6分，共24分）1.设连续型随机变量Y X 与的期望存在，证明[])(Y X E E EX =.2.设G F E ,,为三个随机事件，证明：)()()()()(F G P F E P F EG P F G P EF G P =?=.3. 设随机过程{}0),(≥t t X 为连续时间马尔科夫链，状态空间I {}0,≥=n i n ，则对任意实数0,≥s t ，及任意i,j I ∈，证明：∑∈=+I k kj ik ij s p t p s t p )()()(.4. 设{}n X ,n 0≥为离散时间马⽒链，状态空间为I {}0,≥=n i n ，证明：{}{}2233112233,i X i X P i X i X i X P ======.三．计算题（共50分）1. （10分）设随机过程2)(At t X =，+∞<<∞-t ，其中A 是随机变量，具有分布列如右图:（1）给出样本函数集合；（2）求⼀维分布函数)2;(x F .2.（10分）设电话总机在(0，t]内接到电话的呼叫数)(t X 是具有强度(每分钟)为6的泊松过程，求（1）3分钟内接到2次呼叫的概率；（2）在3分钟内呼叫数的平均数；（3）两次呼叫到达的时间间隔在2分钟到4分钟之间的概率.3.(10分)设马尔可夫链的状态空间为{} ,2,1,0=I ，其转移概率为,21,2101==+i ii p p ,2,1,0=i ，试画出状态转移图并对状态分类.4.（10分）设马⽒链的转移概率矩阵为=2/12/102/102/102/12/1P ，求其平稳分布及极限分布.5.（10分）设转移概率矩阵四.简答题（6分）平稳过程与平稳增量过程的区别是什么？,2,1,0}0,{的马⽒链是具有三个状态≥n X n ,4/14/304/12/14/104/14/3=P .2,1,0,3/1}{)0(0====i i X P p i 初始分布}.1{)2(};1,0{)1(:220===X P X X P 试求。
随机过程期末复习题
随机过程期末复习题随机过程期末复习题库（2015）⼀、填空题1.对于具有常数均值的⼆阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当⼆元函数只与有关, ⽽与和⽆关。
2.对于具有常数均值的⼆阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当⼆元函数只与有关, ⽽与和⽆关。
3.设随机变量服从泊松分布，且，则 2 .4.已知随机变量的⼆阶矩存在，且的矩母函数为，则.5.已知随机变量的⼆阶矩存在，且的特征函数为，则.6.设是平稳序列，其协⽅差函数为，请给出的均值具有遍历性的⼀个充分条件：．7.设是平稳过程，其协⽅差函数为，请给出的均值具有遍历性的⼀个充分条件：．8.已知平稳过程的均值，协⽅差函数为，则该过程的⾃相关函数．9.设为两个随机事件，，则 0.6 ．10.设为⼆随机变量，，则 2 ．11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的泊松分布．12.是⼆维正态分布，即，．13.设随机变量的数学期望均存在，则．14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则．15.在强度为的泊松过程中，相继事件发⽣的间隔时间是相互独⽴的随机变量，且服从均值为的同⼀指数分布.16.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则的分布函数为.17.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则．18.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则．解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发⽣的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独⽴同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有19.是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔.则.解题思路：注意到与独⽴，且同服从参数为的指数分布即得．20.设，是速率为的泊松过程. 则对于，.21.设，是速率为的泊松过程. 对于，.解对于，有增量与独⽴22.是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔.则对，.解题思路：注意到与独⽴，且同服从参数为的指数分布即得．23.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔，则.24.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则.25.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则服从参数为和的分布.26.⾮齐次泊松过程，其强度函数为，则.解对于，有27.设是⼀个强度函数为的⾮齐次泊松过程，为过程均值函数的反函数，则随机过程是⼀个强度为 1 的泊松过程．28.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，如果每次事件发⽣时能够以概率被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独⽴．如以表⽰到时刻被记录下来的事件总数，则是⼀个强度为的泊松过程．29.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，如果每次事件发⽣时能够以概率被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独⽴．如以表⽰到时刻被记录下来的事件总数，则的均值函数．30.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，设事件在时刻发⽣被记录到的概率是，若以表⽰到时刻记录的事件数，则计数过程是⾮时齐的泊松过程，的分布，31.设是⼀个速率为的泊松过程，并且假设在时间发⽣的⼀个事件独⽴于前发⽣的事件，并以概率计数．以记直到时间为⽌被计数的事件个数，则计数过程是⼀个强度函数为的⾮时齐的泊松过程．32.设是⼀个速率为的泊松过程，并且假设在时间发⽣的⼀个事件独⽴于33.设和是独⽴的泊松过程，分别具有强度和，则是具有强度的泊松过程.34.设和是独⽴的泊松过程，分别具有强度和．如果过程在时间发⽣⼀个事件，则这个在时间发⽣的事件以概率来⾃过程．35.设和是独⽴的⾮时齐的泊松过程，分别具有强度函数和，则是具有强度函数的⾮时齐泊松过程.36.设和是独⽴的⾮时齐的泊松过程，分别具有强度函数和．如果过程在时间发⽣⼀个事件，则这个在时间发⽣的事件以概率来⾃过程．37.保险公司接到的索赔次数服从⼀个泊松过程，每次要求赔付的⾦额都相互独⽴，且有相同分布，每次的索赔数额与它发⽣的时刻⽆关，表⽰时间内保险公司需要赔付的总⾦额，则随机过程是⼀个复合泊松过程．38.在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均每⽉两次的速率的泊松过程到达保险公司．每次赔付服从均值为10000元的正态分布，则⼀年中保险公司的平均赔付额是240000元．解题思路：索赔次数为⼀速率为（次⽉）泊松过程，每次的赔付⾦额,总索赔⾦额为⼀复合泊松过程，故⼀年中保险公司的平均赔付额为39.设顾客以每分钟6⼈的平均速率进⼊某商场，这⼀过程可以⽤泊松过程来描述．⼜设表⽰进⼊该商场的第位顾客在该商场所花费的⾦额（单位：元），且有，且每位顾客是否买东西互不影响，也与进⼊该商场的顾客数⽆关．则该商场⼀天（12⼩时）的平均营业额为432000 元．解题思路：到达顾客数为⼀速率为（⼈⼩时）泊松过程，每个顾客的消费⾦额,商场营业⾦额为⼀复合泊松过程，故该商场⼀天（12⼩时）的平均营业额为40.假设家庭以每星期的泊松速率移民到⼀个地区．如果每个家庭的⼈数是独⽴的，⽽且分别以概率取值1，2，3，4，那么在固定的5个星期中移民到这个地区的平均⼈数为25 ．解题思路：移民家庭数为⼀速率为（户星期）泊松过程，每个家庭的平均⼈数为移民⼈数为⼀复合泊松过程，故在固定的5个星期中移民到这个地区的平均⼈数为41.设是复合泊松过程，存在，则．42.设是复合泊松过程，，则．43.在任意给定的⼀天，加⾥的⼼情或者是快乐的(cheerful，C)，或者是⼀般的(so-so，S)，或者是忧郁的(glum，G). 如果今天他是快乐的，则明天他分别以概率0.5，0.4，0.1是C，S，G．如果今天他感觉⼀般，则明天他分别以概率0.3，0.4，0.3为C，S，G．如果今天他是忧郁的，则明天他分别以概率0.2，0.3，0.5为C，S，G．以记加⾥在第天的⼼情，则马尔可夫链的状态空间，，，⼀步转移概率矩阵.44.假设明天下⾬的机会只依赖于前⼀天的天⽓条件，即今天是否下⾬，⽽不依赖过去的天45.的概率解释是：为从出发经步⾸次到达的概率.46.的概率解释是：从出发，经有限步⾸次到达的概率.47.设系统有三种可能状态. “1”表⽰系统运⾏良好，“2”表⽰运⾏正常，“3”表⽰系统失效. 以表⽰系统在时刻的状态，并设是⼀马尔可夫链. 在没有维修及更换条件下，其⾃然转移概率矩阵为则系统初始处于运⾏良好状态，在内运⾏的概率为.解题思路：系统初始处于运⾏良好状态，在时刻1失效的概率为：系统初始处于运⾏良好状态，在时刻2失效的概率为：故系统在内运⾏的概率为48.设系统有三种可能状态. “1”表⽰系统运⾏良好，“2”表⽰运⾏正常，“3”表⽰系统失效. 以表⽰系统在时刻的状态，并设是⼀马尔可夫链. 在没有维修及更换条件下，其⾃然转移概率矩阵为则系统初始处于运⾏正常状态，在内运⾏的概率为.解题思路：系统初始处于运⾏正常状态，在时刻1失效的概率为：系统初始处于运⾏正常状态，在时刻2失效的概率为：故系统在内运⾏的概率为49.如果，则 0 ；反之亦然.50.如果，则 >0 ；反之亦然.51.如果，则对，有 0 .52.状态是周期的，且周期为，则对，当不能被整除时，使 0 .53.如果状态是常返的，则 0 .54.如果状态是零常返的，则从出发再回到的平均回转时间.55.如果状态是正常返的，则从出发再回到的平均回转时间.56.马尔可夫链从出发到达的平均次数为.57.状态是常返的充要条件是.58.状态是⾮常返的充要条件是.59.为从状态出发经有限步返回的概率．如果，则.60.设马⽒链的⼀步转移概率矩阵，步转移概率矩阵，⼆者之间的关系为.61.设为马尔可夫链，状态空间，初始分布为，的概率分布为==(=), ，步转移概率矩阵()=，三者之间的关系为.⼆、单选题1.下⾯的随机过程中不⼀定是⼆阶矩过程的是（A）A. 严平稳过程B. 宽平稳过程C. 正态过程2.设与分别是事件与是否发⽣的⽰性函数，即若发⽣若不发⽣，若发⽣若不发⽣如果，则（C）是不正确的.A. B.C. D.解题思路：注意到：，；，，以及即得.3.设与分别是事件与是否发⽣的⽰性函数，即若发⽣若不发⽣，若发⽣若不发⽣如果，则（C）是不正确的.A. B.C. D.4.对于任意两个随机变量和，若，则( B ).A、B、C、和独⽴D、和不独⽴5.已知标准正态分布随机变量的矩母函数为，则的矩母函数（A）.A. B.C. D.6.已知参数为的泊松随机变量的矩母函数为，设与分别是以和为参数的独⽴的泊松随机变量，则的矩母函数( B ).A. B.C. D.7.已知是维纳过程，则下⾯错误的是( B ).A. 是独⽴增量过程B. 是平稳过程C. 是平稳增量过程D.是正态过程8.( A )的有限维分布关于时间是平移不变的.B. 宽平稳过程C. 平稳增量过程D. 独⽴增量过程9.设是泊松过程，下述结论不正确的是（B）.A. 是平稳独⽴增量过程B. 宽平稳过程C. 是独⽴增量过程D. ⼆阶矩过程10.设是泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则下⾯正确的是( B ).A. B.C. D.11.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔，表⽰第个事件发⽣的时刻，，则下⾯正确的是( B ).12.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔，表⽰第个事件发⽣的时刻，，则下⾯错误的是( D ).解题思路注意到在条件下，对，有且在条件下，服从上的均匀分布，故有＝13.设是强度函数为的⾮齐次泊松过程，则下⾯错误的是( D ).服从参数为的泊松分布．14.设是强度函数为的⾮齐次泊松过程，则下⾯错误的是( B ).是独⽴增量过程；是平稳增量过程；是⼀个泊松随机变量．15.设和是独⽴的⾮时齐的泊松过程，分别具有强度函数和．如果过程在时间发⽣⼀个事件，则这个在时间发⽣的事件是来⾃过程的概率为( A ).16.设是复合泊松过程，，则下⾯说法错误的是( B ).A. B.C. D.17.设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法⼀定正确的是( D ).A. 所有状态都是遍历状态C. 所有状态都是正常返状态D. 没有零常返状态18.设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法⼀定正确的是( C ).A. 所有状态都是遍历状态B. 所有状态都是⾮常返状态C. ⼀定存在常返状态D. 所有状态都是正常返状态19.设马尔可夫链的状态满⾜，表⽰从状态出发再回到状态的平均回转时间，若，称为( C ).A. 遍历状态B. ⾮常返状态C. 正常返状态D. 零常返状态20.设Markov链的状态空间为，转移概率矩阵为：按状态互通关系，该链的状态可分为以下等价类( B )．A. 和B. ，和C. ，和D. ，和21.设Markov链的状态空间为，转移概率矩阵为：则该链的状态分类为( A )．A. 1和2都是遍历状态，3和4是⾮常返状态；B. 1和2都是遍历状态，3和4是零返状态；C. 1和2都是零常返状态，3和4是正常返状态；D. 1和2都是⾮常返状态，3和4是遍历状态．三、判断题1.设与为⼆随机变量，且与独⽴，则＝. ( )2.设与为⼆随机变量，且与独⽴，则＝. ( )3.设与为⼆随机变量，则关于的条件期望是的函数. ( )4.严平稳过程⼀定是宽平稳过程． ( )5.⼆阶矩存在的严平稳过程⼀定是宽平稳过程． ( )6.平稳增量过程是平稳过程． ( )7.宽平稳过程是平稳增量过程． ( )8.严平稳过程是平稳增量过程． ( )则的均值具有遍历性． ( )10.设是平稳过程，其协⽅差函数为，若，则的均值具有遍历性． ( )11.平稳过程的均值具有遍历性． ( )12.平稳过程的均值函数和⽅差函数均为常数． ( )13.对于严平稳过程⽽⾔，有限维分布关于时间是平移不变的． ( )14.平稳独⽴增量过程的均值函数⼀定是时间的线性函数． ( )15.随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述． ( )16.设是⼀计数过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔. 如果是独⽴且参数同为的指数随机变量，则是强度为的泊松过程. ( )17.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻. 在的条件下，的条件分布函数与个在上相互独⽴同均匀分布的顺序统计量的分布函数相同. ( ) 18.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻. 则在的条件下，服从上的均匀分布. ( )19.时齐泊松过程是独⽴平稳增量过程. ( )20.时齐泊松过程是平稳过程. ( )21.⾮时齐泊松过程是独⽴平稳增量过程. ( )22.⾮时齐泊松过程是独⽴增量过程. ( )23.设为⾮齐次泊松过程，则的分布与⽆关. ( )24.设为⾮齐次泊松过程，则的分布与⽆关. ( )25.由时齐泊松过程的时间的抽样可⽣成⼀个⾮时齐的泊松过程. ( )26.⼀个强度函数为有界的⾮时齐泊松过程可以由⼀个时齐泊松过程的时间的抽样⽣成．( )27.复合泊松过程是独⽴增量过程. ( )28.复合泊松过程是计数过程. ( )29.如果，则对，必有. ( )30.令为不可约、⾮周期Markov链的转移概率矩阵，则必存在，使得当时．步转移概率矩阵的所有元素都⾮零. ( )31.令为不可约、⾮周期、有限状态Markov链的转移概率矩阵，则必存在，使得当时．步转移概率矩阵的所有元素都⼤于零. ( )32.如果为零常返状态，且，则必有. ( )33.如果为遍历状态，且，则必有. ( )34.如果为常返状态，且，则必有． ( )35.为⾮周期的有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限36.为⾮周期的Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在，且极限与状态⽆关. ( )37.为不可约⾮周期的有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在，且极限与状态⽆关. ( )38.为有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在.( )39.为⾮周期的Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在.( )40.对任何Markov链，极限⼀定存在. ( )41.对任何Markov链，极限⼀定存在. ( )42.马尔可夫链的初始分布是平稳分布，则该马尔可夫过程是严平稳过程. ( )43.马尔可夫链是严平稳过程，则该马尔可夫链的初始分布必是平稳分布. ( )44.不可约⾮周期的有限状态Markov链⼀定存在平稳分布. ( )45.不可约⾮周期正常返的Markov链⼀定存在唯⼀的平稳分布. ( )46.如果状态是零常返的，从出发再回到的平均回转时间是有限的. ( )47.如果状态是遍历状态，从出发再回到的平均回转时间是有限的. ( )48.如果状态是零常返的，则从出发访问的期望次数是有限的. ( )49.如果状态是⾮常返的，则从出发访问的期望次数是有限的. ( )50.如果状态可达状态，则状态具有与状态相同的状态分类性质. ( )51.如果状态与状态互通，则状态与状态具有相同的状态分类性质. ( )52.若状态是常返的，则必有．( )53.如果为常返状态，且，则必为常返状态，且. ( )四、计算题1.设随机过程，其中相互独⽴，同服从，试求的均值函数和协⽅差函数.解据题意，于是2.设为维纳过程，试求的均值函数和协⽅差函数，并讨论其平稳性．解因为维纳过程，故满⾜：(1) ；(2) 有平稳独⽴增量；(3) 对每个，服从正态分布．于是，的均值函数和协⽅差函数为增量独⽴性，3.设，是参数为的泊松过程，，计算.解4.设，是速率为的泊松过程. 对于，求(1)； (2)；(3)； (4).解 (1)；(2)(3)(4)⾸先，在的条件下，服从参数为⼆项分布. 事实上故，5.设是⼀个强度为泊松过程．记. 计算.解：的均值函数为：⼜，，有＋不妨设．当时，区间与不相交，故由独⽴增量性，与独⽴．从⽽当时，＋6.设和是强度分别为与的泊松过程，且两个泊松过程独⽴．试求(1) 的概率分布；(2) 的数学期望与⽅差；(3) 在的任⼀相邻事件发⽣的时间间隔内，有两个事件发⽣的概率．解：(1) 据题意，，，，且与独⽴，于是，由泊松分布的可加性知，，其概率分布为(2) 的数学期望与⽅差为；(3) 设表⽰过程的第个事件与第个事件发⽣的时间间隔.表⽰过程的第个事件发⽣的时刻．则在的任⼀相邻事件发⽣的时间间隔内，有两个事件发⽣的概率为7.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，设事件在时刻发⽣被记录到的概率是，且每次事件发⽣时，对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独⽴．若以表⽰到时刻被记录的事件总数，求．解显然，．设．由于每次事件是否被记录是独⽴的，则在的条件下，可以看作在次独⽴试验中有次成功（被记录）和次失败（不被记录）的概其中是每次试验成功的概率．由定理3.2.3，在已知内发⽣了次事件的前提下，各次事件发⽣的时刻（不排序）可看作相互独⽴的随机变量，且都服从上的均匀分布．因此事件在内发⽣且被记录事件在内发⽣且被记录事件在时刻发⽣于是有＝其中．8.设Markov链的状态空间为，初始分布为，转移概率矩阵为(1) 画出状态转移图；(2) 求；(3) 求．解(1) 状态转移图如下：(2)(3) 因初始分布为，于是的分布为：所以，9.设马尔可夫链的状态空间为，转移概率矩阵为(1) 画出状态转移图；(2) 是否为遍历链？说明理由；(3) 分析说明的各状态是什么状态？解 (1) 状态转移图如下：(2) 不是遍历链. 因遍历链是不可约的正常返链，⽽即状态4是⾮常返状态，故不是遍历链.(3) ⼜因故状态3和状态4为⾮常返状态，状态1和2都是正常返状态，且⾮周期，从⽽状态1和2是遍历状态.解法⼆(2) 不是遍历链. 因遍历链是不可约的正常返链，⽽，即该链是可约的，故不是遍历链.(3) ⼜因所以，状态3和状态4为⾮常返状态．再由，及该链是有限状态空间的马⽒链知，状态1和2都是正常返状态，且⾮周期，从⽽状态1和2是遍历状态.10.设马尔可夫链，，转移概率矩阵为：(1) 求；(2) 求；(3) 求.解(1) 因，故，于是的分布为所以，(2) 由于故⽽的分布：所以，的分布律为：(3) 由于从⽽，的分布律为：11.设马尔可夫链，，，的转移概率矩阵为：（1）求和；（2）该链的平稳分布是否存在？该链的极限分布是否存在？为什么？（3）求该链各状态的平均返回时间。
随机过程期末试题及答案
随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？A. 属于随机现象。
B. 具有随机变量。
C. 具有时间集合。
D. 具有马尔可夫性质。
答案：D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？A. 泊松过程。
B. 布朗运动。
C. 维纳过程。
D. 马尔可夫链。
答案：D3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？A. 随机过程的概率分布不随时间变化。
B. 随机过程的均值不随时间变化。
C. 随机过程的方差不随时间变化。
D. 随机过程的偏度不随时间变化。
答案：A4. 下列哪个是离散时间的随机过程？A. 随机游走。
B. 指数分布过程。
C. 广义强度过程。
D. 随机驱动过程。
答案：A二、填空题1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。
2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。
3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。
4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。
三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。
随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。
它由两个基本要素组成：时间集合和取值集合。
时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。
取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。
2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。
时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。
即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。
例如，离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。
在随机游走中，每次移动的概率分布不随时间变化，且每次移动的步长独立同分布。
3. 什么是马尔可夫链？它有哪些性质？马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫链的性质包括：首先，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关。
2013级研究生随机过程期末考试试题
2013级研究生第一学期考试试题(共2页第1页)考试科目：随机过程及应用任课教师：吴秋新考试日期：2013年11月19日设随机过程,其中随机变量A的分布为：，，随机变量B的分布为：，，且A与B独立，试求：（1）一维分布函数和；（2）二维分布函数；（3）均值函数，协方差函数。
(注：要求先写出概率分布表，再写分布函数) （12分）设随机过程，其中为常数，相互独立且服从正态分布，相互独立且服从（0，π）上均匀分布，且与相互独立，求X(t)的均值函数和自相关函数，并判断是否为平稳过程。
（12分）设在时间区间[0,t]内到达商场的顾客数N(t)是强度为λ的泊松过程，每个顾客购买货物概率为p，不购买货物概率为1-p，0<p<1，且他们是否购买货物是相互独立的，令Y(t)为[0，t]内购买货物的顾客数，为[0，t]内第k个购买货物的顾客的购买金额数，k=1,2,…，它们独立同分布，数学期望为a元。
(1)试证{Y(t)，t≥0}是一个以λp为强度的泊松过程；(2)求第三个时间单位里有两个顾客购买货物的概率；(3)写出该商场[0,t]内的收入总金额表达式和其数学期望。
（12分）设齐次马尔可夫链状态空间为E={1,2,3}，一步转移概率矩阵为：，另外已知初始分布为：(12分)试求：（1）两步转移概率矩阵，绝对分布；(2) 证明该链是遍历链；(3) 求该链的平稳分布；(4) 画出状态转移图，并分析状态2的分类属性。
一质点在1，2，3点上作随机游动。
若在时刻t质点位于这三个质点之一，则在[t，t+h]内，它以概率分别转移到其它二点之一。
试求：(1) 质点随机游动的速度矩阵Q和柯尔莫哥洛夫后退方程；(2)求该过程转移概率，；(3)求平稳分布。
（12分）2013级研究生第一学期考试试题(共2页第2页)考试科目：随机过程及应用任课教师：吴秋新考试日期：2013年11月19日设有随机过程X(t)=A sin(λt)+B cos (λt)，其中A、B是均值为0，方差为的相互独立的正态随机变量。
05通信《随机过程(B)》
北 京 交 通 大 学2007-2008学年第一学期《随机过程》期末考试试卷(B)学院_____________ 专业_______通信_____ 班级______05级______ 学号_______________ 姓名_____________1.（本题满分10分）已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，其密度函数为(),0x f x e x λλ-=≥ 求：（1）X 的矩母函数()X t Φ；（2）()E X ，()Var X2.（本题满分10分）设{(),0}i N t t ≥（1,2,,i n = ）是独立同强度λ的泊松过程。
记T 为在全部n 个过程中至少发生了一个随机事件的时刻，求T 的概率分布。
3. （本题满分10分）设马氏链n X 的状态空间{1,2}E =，其一步转移概率矩阵21331122P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦初始分布0(1)P X p ==，0(2)1P X p ==-，(01)p <<求：（1）2(1)n n P X X +=;(2)(1)n P X =;(3)是否具有遍历性？为什么？；（4）极限分布4.（本题满分10分）设马氏链{}n X 的状态空间{1,2,3,4}E =，转移矩阵123311144210000100000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦分解此链，指出其基本常返闭集和非常返闭集，并说明常返闭集中的状态是否为正常返态。
5. （本题满分10分）设到达某路口的蓝、黑、灰色汽车的到达强度分别为123,,λλλ，且均为泊松过程，它们相互独立。
求（1）相邻两辆蓝色汽车到达时间间隔的概率密度；（2）相邻两辆汽车到达时间间隔的概率密度。
6. （本题满分10分）一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客是强度为6的一个泊松过程，每位顾客订阅1年、2年、3年的概率分别为111,,236，彼此如何订阅是相互独立的，每订阅一年，店主即获利5元。
设t Y 是(0,]t 内店主从订阅中获得的总收入，计算 （1）t EY ；（2）t VarY7. （本题满分10分）记i Z （1,2,i = ） 为一串独立同分布的离散随机变量，1()0k p Z k p ==≥（0,1,2,k = ），01k k p ∞==∑ 令1nn i i X Z ==∑（1,2,n = ）并约定00X=，证明：n X 为马氏链，并求一步转移概率矩阵。
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随机过程复习一、回答： 1 、 什么是宽平稳随机过程？2 、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3 、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？4 、什么是白噪声？性质？二、计算：1 、随机过程 X (t) Acos t + Bsin t ，其中 是常数， A 、B 是相互独 立统计的高斯变量， 并且 E[A]=E[B]=0 ， A2 ]=E[ B 2 ]= 2 。
求： X (t)E[ 的数学期望和自相关函数？2 、判断随机过程 X (t )A cos( t) 是否平稳？其中 是常数，A 、 分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。
af ( )12；f A ( a)a2e 2 2a 023 、求随机相位正弦函数 X (t)A cos( 0 t) 的功率谱密度， 其中 A 、 0是常数， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量。
4 、求用 X (t ) 自相关函数及功率谱表示的 Y (t ) X (t) cos(0 t)的自相关函数及谱密度。
其中， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量， X (t ) 是与 相互独立的随机过程。
5 、设随机过程 { X (t ) Acos( 0t Y),t} ，其中 0 是常数， A 与 Y是相互独立的随机变量， Y 服从区间 (0,2 ) 上的均匀分布， A 服从瑞利分布，其概率密度为x 2x2e 2 2x 0f A (x)0 x 0试证明 X (t ) 为宽平稳过程。
解：（ 1） m X (t) E{ Acos(0 t Y)} E( A)E{cos( 0t Y )}x 2x22e 2 2 dxy)dy 0 与 t 无关2 cos( 0t 0（ 2） X 2 (t)E{ X 2 (t )}E{ A cos( 0t Y)}2E( A 2 ) E{cos 2 ( 0t Y )} E( A 2 )3x2tE( A 2)x1 2t2e 2 2dt ， 2 e 22dx2tttte 2 2|0e 2 2 dt2 2e 2 2|0 22所以X2(t )E{ X 2 (t )}（3） R X (t 1,t 2 ) E{[ A cos( 0t 1 Y)][ A cos( 0t 2 Y )]}E[ A 2] E{cos(0t1Y ) cos( 0t 2 Y)}22 2 10t10t 2 y) cos 0 (t 2 t 1)] 1 dy[cos(222cos 0(t 2 t 1 )只与时间间隔有关，所以 X (t ) 为宽平稳过程。
09-10下学期随机过程B卷及答案
7. 对于有有限二阶矩的随机过程来说, 其严平稳性与宽平稳性是( a. 等价的; b. 不等价的.
8. 设 { X (t ), t 0} 为一 Brown 运动, 则对任意 0 r s t , 随机变量 N ( s) N (r ) 与 N (t ) N ( s) ( a. 独立; ). b. 不独立.
t 的 Poisson 分布.
5. 设 {N (t ), t 0} 是一强度为 的 Poisson 过程, 则发生第 n 次事件的时刻 Wn 的均
值为
n
, n 1, 2, .
6. 若以 P ( n ) 表示时齐离散时间 Markov 链 { X n , n 0} 的 n 步转移概率矩阵, 则
).
a. 常返状态的平均总返回次数有限; b. 瞬过状态的平均总返回次数有限. 5. 时齐 Markov 链状态间的互达性( a. 是; 6. 时齐 Markov 链在某时刻之后( a. 平均在有限时间内; )等价关系. b. 不是. )返回正常返状态 i 的平均总次数为 . b. 平均在无限时间内. ).
2. 设 { X n , n 1, 2,} 是一独立同分布随机变量序列, P ( X 1 1) p , P ( X 1 1) q , p q 1 , 令 S n {Sn , n 1, 2,} 的自协方差函数为 1 ( X 1 X n ) , n 1, 2, , 则随机序列 n min{m, n} [1 ( p q) 2 ] . mn
-1-
矩阵, 则 P ( m n ) 与 P ( m ) 和 P ( n ) 之间的关系是
, m, n 1, 2, .
7. 设 { X n , n 0,1, 2,} 是一状态空间为 {0,1, 2} 的时齐 Markov 链, 其转移概率
随机过程试题
第一单元1. 下列常见的分布中属于离散型随机变量的分布有（）：(2.0分)A.二项式分布B.均匀分布C.泊松分布D.正态分布E.(0-1)分布2. 下列常见的分布中属于连续型随机变量的分布有（）：(2.0分)A.二项式分布B.均匀分布C.泊松分布D.正态分布E.(0-2)分布3. 下列关于随机变量分布函数性质的描述，正确的是（）：(2.0分)A.分布函数是一个不减函数B.分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性C.分布函数的最大值为无穷大D.分布函数是右连续函数E.离散型随机变量的分布函数是一系列冲激函数的线性组合4. 下列关于随机变量概率密度性质的描述，正确的是（）：(2.0分)A.概率密度是一个不减函数B.概率密度能够完整地描述随机变量的统计规律性C.只有连续型随机变量才存在概率密度D.概率密度是非负的函数E.随机变量的概率密度一定存在5. 随机试验有什么特点？(2.0分)6. 基本事件是随机试验中最简单的随机事件。
(2.0分)7. 两个事件乘积的概率等于其中一个事件的概率乘以另一事件在此事件发生的条件下的条件概率。
(2.0分)8. 全概率公式用于在许多情况(B1，B2，…，Bn)下都可能发生事件A，求发生A 的全概率；贝叶斯公式则用于当A已经发生的情况下，求发生事件A的各种可能原因的条件概率。
(2.0分)9. 随机变量是样本空间上的单值实函数。
(2.0分)10. 两个随机变量如果相互独立，则它们的联合分布函数等于这两个随机变量的一维分布函数的乘积。
(2.0分)11. 如果要使两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量的数学期望之和，则要求这两个随机变量是相互独立的。
(2.0分)12. 如果要使两个随机变量之和的方差等于这两个随机变量的方差之和，则要求这两个随机变量是相互独立的。
(2.0分)13. 两个随机变量如果是不相关的，则它们必定是相互独立的。
(2.0分)14. 当一个随机变量的数学期望为零时，它的方差和均方值相等。
随机过程期末考题(2018.1.9)
中国科学技术大学期末考试题考试科目：随机过程（B ） 得分： 学生所在系： 姓名： 学号：（2018年1月9日，半开卷）一、( 20分) 判断是非与填空： （1）（每空2分）设{,0}n X X =≥为一不可约、有限（N 个）状态的马氏链，且其转移概率矩阵P为双随机的（行和与列和均为1），则：.a X 的平稳分布不一定存在 ( ) ； .b X的平稳分布存在但不必唯一( ) ；Xc .的平稳分布为) (1)11N N N ，，，（（ ）； .d X的极限分布为：) (1)11N N N ，，，（（ ） 。
（2）（每空3分）设公路上某观察站红、黄、蓝三种颜色的汽车到达数分别是强度为2、3和5（辆/分钟）的泊松过程。
则：.a 第一辆车到达的平均时间为( ) ； .b 红车首先到达的概率为 ( ) ；.c 在第一辆红车到达之前恰好到达k 辆非红车的概率为（ ）。
（3）（3分）有关某种商品的销售状况共有24个季度的连续数据 ( 1—畅销，0—滞销 )：，，1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,10,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1若该商品销售状况满足齐次马氏链，则据以上数据可估计出该马氏链的转移概率矩阵P 为（ ）。
二、（15分）设到达某计数器的脉冲数}0),({≥t t N 是一速率为λ的泊松过程，每个脉冲被记录的概率均为p ，且各脉冲是否被记录是相互独立的。
现以)(1t N 表示被记录的脉冲数，试求)(1t N 的矩母函数)()(1v g t N 以及)(1t EN ,)]([1t N Var 和))(),((11t N s N Cov 。
三、（20分）设马氏链}0,{≥n X n 的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323132313231000321P（1）设30=X ，试求：)3,2,1(},{)2(},{121=====i i X P i X P i i ππ）（，并求： )(1X E 和)(2X E ；（2）试求该马氏链的极限分布：)3,2,1,(,)(,lim ==∞→j i p n j i n j π；（3）当初始分布)3,2,1(0=i i ）（π为什么分布时，该马氏链为严格平稳过程？并求此时的)(n X E 。
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数学与统计学院2013级统计学专业（本科）
《应用随机过程》期末试卷（B ）
2015 — 2016 学年 第一学期 考试时间120 分钟 满分100分
一、判断题（每题2分，满分10分）
1.布朗运动和排队模型都属于随机过程。
（ ）
2.如果随机过程{}(),X t t T ∈是严平稳过程，则它也是宽平稳过程。
（ ）
3.Poisson 过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程。
（ ）
4.i 为零常返状态⇔0lim )
(=∞
→n ii
n p。
（ ） 5.如果状态i 为非常返状态，且是非周期的，则i 是遍历状态。
（ ）
二、填空题（每空2分，满分20分）
1.设{}(),X t t T ∈是平稳过程，则[()]E X t = 。
2.乘客以10人/小时的平均速率到达售票处，则[0,t]内到达的乘客数{}()N t 是强度为 的Poisson 过程。
3.自相关函数(,)X R s t = 。
4.更新过程的时间间隔Λ,,21X X 是分布函数为F 的独立同分布序列。
如果允许1X 服从其他分布G ，则称由Λ,,21X X 确定的计数过程是 。
5. 有“开”、“关”两种状态的更新过程，称作 。
6.有一类随机过程，它具备 ，即要确定过程将来的状态，只需知道它现在的状态，而不需要知道它过去的状态。
7.设Markov 链一步转移概率矩阵为()ij p P =，n 步转移矩阵为()
)
()(n ij n p P =，则二者
之间的关系为 。
8.在Markov 链中，若()1
1n ii ii n f f ∞
===∑，则称状态i 为 。
9.更新过程中有()N t n ≥⇔ 。
10.若状态j i ,同属一类，则两状态的周期)()(j d i d 与的关系是 。
三、计算题（每题10分，满分30分）
1.假设某天文台观测到的流行数是一个泊松过程，根据以往资料统计为每小时平均观测到5颗流星。
试求：上午8:00 -12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率？观察到3颗的概率？
2.设顾客在[0,t)内进入商场的人数是一泊松过程，平均每10min 进入25人。
再设每位顾客购物的概率为0.2，而每位顾客是否购物相互独立 ，且与进入商场的顾客数相互独立。
令)(t X 表示[0,t)时段内在该商场购物的顾客人数。
(1)求一天在该商场购物的平均顾客数； (2)相邻两购物顾客的购物时间间隔的分布。
学院 专业 级 班 姓名 学号
3.某控制器用一节电池供电，设电池的寿命2~(25,2)(1,2,)i X N i =L ，电池失效
时需要去仓库领取，领取新电池的时间~(0,1)(1,2,)i Y U i =L 。
求长时间工作时，控制器更换电池的速率。
四、计算题（每题10分，满分20分）
1. 设{}114i P X ==，{}3
24
i P X ==，求{(2)}P N k =。
（10分）
2. 设{}(),1X n n ≥为齐次Markov 链，状态空间{}1,2,3,4S =,其转移概率为
124411
1
1,1,,2,33
ii ii ii P P P P P i +-====== 其余为0，试求： （1）从状态3经过两步到达状态3的概率；（5分） （2）从状态2经过四步达到状态4的概率。
（5分）
学院 专业 级 班 姓名 学号
五、综合题（每题10分，满分20分）
1.设 Markov 链的状态空间为{
}4,3,2,1=S ，其一步转移概率矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=02
10
2
10323100001002121P （1）画出状态转移图；（4分） （2）对状态进行分类。
（6分）
2.设齐次马氏链{}(),1X n n ≥的状态空间{}1,2,3S =，其一步转移概率为
1
1022110221102
2
P ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
（1）判断此Markov 链是否具有遍历性；（5分） （2）若具有遍历性，求出极限分布。
（5分）
学院 专业 级 班 姓名 学号。