数学物理方法 第2章 复变函数的积分

n 1
e
i ( n 1)
2
i ( n 1)
0
0
n 1 n 1
i 2
一 柯西公式
如果函数 f ( z ) 在 l 所围闭区域 B （可以是复通区域） 上解析， a 为 B 内任一点，则：
f (a )
2 i
1
f ( z ) dz
l
za
（ l 含内外边界线）
， z B ，l 含内外边界线） （
y z1
l ζk zn zk zk-1 x
z0
在 每 一 小 段 z k 1 z k 上 任 取 一 点
k ( k , k ) ，若极限
n k 1 max z k 0 n
lim

f ( k )( z k z k 1 )
存在，则称该极限称为 f ( z ) 沿曲线 l 的积分，记为 f ( z ) dz
( z a ) dz 0
n l
（2） l 包围 a ， n 0 ， ( z a ) 在 l 所围闭区域上解析，
n
( z a ) dz 0
n l
四 一个重要的积分
（3）l 包围 a ，n 0 ，( z a ) 在 l 所围闭区域中的 a 点导数不存在。 如图所示，总是存在 R 0 ，使得
二 复连通区域柯西定理
如果函数 f ( z ) 是闭复连通区域 B 上的解析函数，则
l A A’ B B’ l1 l2 D’ D C’ C

f ( z ) dz
l

i 1
n
f ( z ) dz 0
li
其中：l 是区域的外境界线，诸 l i 是区域的内境界线，积 分沿境界线的正方面进行；或
1 2 i
( z a ) dz 。柯西公式研究闭区域内解析函数
n l
在区域内点的函数值与境界线上的函数值之间的关系。
本章小结
1 如果函数 f ( z ) 是闭单连域 B 上的解析函数，则沿 B 上任 意闭合曲线 l ，则有： f ( z ) dz 0 。
l
2 如果函数 f ( z ) 是闭复连域 B 上的解析函数， f ( z ) 沿 B 则 的外境界线的积分等于沿内境界线的积分的和（积分均沿逆 时针方面） ，即 f ( z ) dz
l
i 到 i 沿左半单位圆； （3）从 i 到 i 沿右半单位圆。
解： （1） z dz i
l
1 1
2
0 y dy i
2 2

（2） z dz
l
3 1de
2
i
e e
i

2 3 2
2i 2i

（3） z dz
l

2

1 de
B 的点，则
n! f ( ) d
l
f
(n)
(z)
2 i
( z )
n 1
（ l 含内外边界线）
本章小结
本章引入复变函数沿曲线 l 的路径积分定义、介绍复 变函数沿曲线 l 的路径积分的基本性质和计算方法。一般 而言，复变函数沿曲线 l 的积分与路径无关。柯西定理研 究复变函数沿曲线 l 的积分与路径无关的条件。研究重要 积分
l
udx
l l
vdy 0 的充要条件为
u y

(v) x
，且
v y
u y
、
v x
连续
vdx udy 0 的充要条件为

v y
u x
，且
、
u x
连续
f ( z ) 为 B 上的解析函数，满足以上的充要条件


f ( z ) dz 0
l
F ( z ) f ( z ) ，即 F ( z ) 是 f ( z ) 的一个原函数。
四 一个重要的积分
0 l( z a ) dz 1 2 i 1
n
n
l 不包围 a ，或 n 1
l 包围 a ，且 n 1
证： （1） l 不包围 a ， ( z a ) 在 l 所围闭区域上解析，
2
i
i

2


2
结论：一般情况，复变函数的积分与路径有关。
一 单连通区域柯西定理
如果函数 f ( z ) 是闭单连通区域 B 上的解析函数，则沿 B 上任一分段光滑闭合曲线 l （也可是 B 的边界）有：

f ( z ) dz 0
l
证明：


f ( z ) dz
l
udx
l
vdy i vdx udy
或 f (z)
2 i
1
f ( ) d
l
z
数学意义：如果函数 f ( z ) 在闭区域上解析，则函数在 区域内各点的值都可由边界线上的值确定。 物理意义：无源的平面标量场的边界条件决定了区域 内部的场。
一 柯西公式
l
证：不失一般性，设 B 是单连通区域
1 2 i
z Rφ a Cε
l
二 复变函数积分的性质
1

f ( z ) dz
l
u ( x , y ) dx
l
v ( x , y ) dy i v ( x , y ) dx u ( x , y ) dy
l
2
[c
l
1
f 1 ( z ) c 2 f 2 ( z )] dz c 1 f 1 ( z ) dz c 2 f 2 ( z ) dz

f ( z ) dz
l

i 1
n
f ( z ) dz （积分均沿逆时针方面）
li
三 不定积分
如果函数 f ( z ) 是单连通区域 B 上的解析函数，z 0 、z 是 区域的内点，则积分
F (z)

z z0
f ( ) d 与 路 径 无 关 ， 记

z z0
f ( z ) dz ， 则 F ( z ) 是 B 上 的 解 析 函 数 ， 且
l l
3

l1 l 2
f ( z ) dz

l
f ( z ) dz
l1

f ( z ) dz
l2
4
l
f ( z ) dz f ( z ) dz
二 复变函数积分的性质
5 如果在 l 上有 f ( z ) M ，路径 l 的长度为 L ，则

f ( z ) dz ML
l
6 如果路径 l 的参数方程为 z ( t ) x ( t ) iy ( t ) ， l 的起点和终 点的参数为 t a 和 t b ，则

f ( z ) dz
l

tb ta
f ( z ( t )) z ( t ) dt
二 复变函数积分的性质
例：计算 z dz ，其中 l 为： （1）从 i 到 i 的直线； （2）从
n
l a
z Rφ
CR
( z a ) 在以 l 为外境界、 R 为内境界的 C
n
复通域内解析，因此
( z a ) dz
n l

( z a ) dz
n CR
2


(R e
0
i
) R e id iR
n
i
n 1

2
e
0
i ( n 1)
d
iR
2 i
1
f ( z ) f (a )
C
max f ( z ) f ( a )
zC
za
dz lim
0

lim max f ( z ) f ( a ) 0
0 zC

f (a )
1 2 i

f ( z ) dz
l
za
二 解析函数的导数
如果函数 f ( z ) 在 l 所围闭区域 B 上解析， z 为
外境界线， z B ） 。
f ( ) d z)
n 1
5 f
(n)
(z)
2 i (
l
n!
， f ( z ) 在 B 上解析， 是 B 的 （ l
内外境界线， z B ） 。

f ( z(a )
1 2 i 1

f ( z ) dz
l
za

f (a ) 2 i

dz
l
za
2 i
f ( z ) f (a )
l
za
1 2
dz lim
0
2 i
1
f ( z ) f (a )
C
za
2
dz

lim
0
第2章 复变函数的积分
本章内容提要
1 复数函数的积分



2 柯西定理、不定积分
3 柯西公式
4 小结
一 复变函数积分定义
如图所示， 如果在复平面上一分 段光滑的曲线 l 上定义了连续函数 f (z) ， 在 l 上 取 一 系 列 分 点
z k , k 0 ,1, n ， l 分成 n 个小段， 将
l

i 1
n
f ( z ) dz 。
li
3 重要积分公式
0 l( z a ) dz 1 2 i 1
n
l 不包围 a ，或 n 1