大学物理A1机械振动

x
x
A1 A2
x2 x1
同相
T
A1 A2
o
to
- A2
- A2
x1
反相
来自百度文库
T
t x2
-A1
-A1
超前和落后
若 = 2- 1>0, 则称 x2 比 x1 超前(或 x1 比 x2 落后) . 超前、落后以- < < 的相位角来判断.
4. 振幅和初相位的求法
设 t =0 时: x0 Acos , v0 Asin
6cm x
t = 0 时，x0 = 0.06m , v0 > 0
π
x 0.12 cos(π t π ) m
3
3
(2) x 0.12 cos(π t π ) 0.10 m
t 0.5s
3 t 0.5s
v t 0.5s
dx dt
t 0.5s
0.12π sin(
πt
π 3
) t 0.5s
0.19 m/s
x2 0
v2 0
2
A2 (sin 2
cos2 )
A2
振幅：
A
x0
2
v0
2
初相位： 说明
arctan( v0 ) x0
(1) 不是唯一的, 与坐标正向有关, 需要具体分析.
(2) 振幅和初相位由初始条件决定.
例: 一轻弹簧, 一端固定, 另一端连接一定质量的物体.整个系统 位于水平面内, 系统的角频率为6.0s-1. 今将物体沿平面向右 拉长到 x0=0.04m处释放.
旋 模为简谐运动的振幅.
转 矢
角速度
为简谐运动的角频率.
量 与x轴的夹角(t+)为简谐运动的相位.
t
P
x
A t=0时，与x轴的夹角 为初相位.
旋转矢量 A旋转一周，P点完成一次全振动.
周期： T 2π
结论：投影点的运动为简谐运动.
x Acos( t )
5.2.2 旋转矢量图的应用
1. 求初相位
(2) 由(1)中结果 0.02 0.04 cos 6.0t
cos 6.0t 1 2
v dx 0.24sin 6.0t dt
sin 6.0t
1 cos2 6.0t
1
1
2
3
2
2
依题意，v＜0 则
v 0.24 3 0.208 m s1
2
5.2 简谐运动的旋转矢量表示法
5.2.1 旋转矢量表示法
频率ν： 单位时间内所完成的振动次数.
单位：赫兹(Hz) (s-1)
x Acos t Acos (t T )
T 2
2π 2π
T
2. 振幅A: 描述物体振动强弱的物理量(离开平衡位 置的最大位移，取绝对值).
单位：m、cm、mm、nm
3. 初相位、相位和相位差
相位ωt+ ： 描述质点在t 时刻振动状态的物理量. 初相 ： t=0时的相位，与初始条件有关；
物体在一定位置(中心)附近作的周期性往复运动.
振动的分类:
受迫振动 自由振动
阻尼自由振动 无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动
(简谐运动)
简谐运动: 是最基本、最简单的振动.
5.1 简谐运动
5.1.1 简谐运动的特征及其运动方程 弹簧振子——理想模型
1. 简谐运动的基本依据: f kx
第2篇 机械振动 机械波
第5章 机械振动
内容提要
5.1 简谐运动 5.2 简谐运动的旋转矢量表示法(重点) 5.3 单摆和复摆 5.4 振动的能量 5.5 简谐运动的合成 5.6 阻尼振动 受迫振动 共振
振动: 任何一个物理量(物体的位置、电流强度、电场
强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化. 机械振动:
5. 简谐运动的速度与加速度
v
dx dt
Asin( t )
vm cos( t
π) 2
a
dv dt
2 Acos( t
)
am
cos( t
π)
5.1.2 简谐运动方程中的三个基本物理量
1. 角频率 : 2秒内往复振动的次数.
k
m
单位：弧度/秒 (rad·s-1)
周期T: 完成一次完整的振动所需要的时间.
2. 简谐运动的动力学特征:
由牛顿第二定律:
a
f m
k m
x
d2x dt 2
令: 2 k
m
d2 dt
x
2
2
x
0
3. 简谐运动的动力学微分方程
d2x dt 2
2
x
0
4. 简谐运动的运动学方程
微分方程的解： x Acos(t )
——振动表达式(简谐运动位移)
任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足 简谐运动的微分方程，或遵从余弦(或正弦) 规律，则 广义地说，这一物理量在作简谐运动.
求: (1) 振动表达式；
(2) t = 0.5s时, 质点的位置、速度和加速度； (3)若某时刻质点位于 x = -0.6cm, 且向x轴负方向
运动, 求从该位置回到平衡位置所需要的时间.
解：A=12cm, T=2s, x0=6cm. 且 v0＞0 (1) 2π π s1 T
x 0.12cos(πt ) m
a t 0.5s
dv dt
t 0.5s
0.12π2
cos(π t
π )
3 t 0.5s
1.0 m/s 2
(3) Δ 3π 2π 5π
23 6
Δ ωΔt
Δt Δ 5π 5 s
ω 6π 6
2π
3
3π
x
2
相位差 Δ ：设有同频率两振子的振动方程分别为:
则相位差:
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
(t 2 ) (t 1) 2 1 单位：弧度（rad）
同相和反相
当= 2k, ( k =0,1,2,…),两振动步调相同,称同相.
当= (2k+1), ( k =0,1,2,…),两振动步调相反, 称反相.
x O A
t=0时刻，质点位于x=A/2 处，且向x 轴正向运动.
3
t=0时刻，质点位于x= - A/2
x 处，且向x 轴负向运动.
OA
2 3
2. 用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
例: 一质点沿x轴作简谐运动, 振幅为12cm, 周期为2s. 当t = 0时, 位移为6cm, 且向x轴正方向运动.
求：(1)简谐运动表达式； (2)物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速度.
解：(1) x0 0.04m, v0 0, 6.0s1
振幅： A
x02
v02
02
x0 0.04m
初相位： arctan v0 0 (为什么不取π) x0
得： x 0.04cos 6.0t (m)