湖北汽车工业学院线性代数答案 行列式的定义

线性代数习题册解答·第一章 行列式

1 行列式的定义

一、 填空题 1．在行列式4

4⨯ij a 中，项44322113a a a a 和项42142331a a a a 的符号分别为 +和 - .

2．行列式4

4⨯ij

a 中含有因子2311a a 的项是 44322311a a a a -和 42342311a a a a .

二、 决定i 与j ，使9761245j i 成（1）奇排列；

（2）偶排列. 解: 要9761245j i 为 (1) 奇排列, 则 3 , 8==j i ; (2) 偶排列, 则8 , 3==j i .

三、 求下列行列式的值:

1．3

2121-3412

解: 原式.78942426=--+++-=

2．b

a c a c

b

c b a

解: 原式.33

3

3

3

3

3

c b a abc a b c cab bac acb ---=---++=

3.

1112222

b b a a b ab a + . 解:

1

1

20211

1

2222

2222

213

1b b a b ab b ab a b b a a b ab a c c c c ++-+=

-+ .)(1

20)()(32

2

3

2b a b b a b b a b b a c c -=---=

-

4. 1

1

1

2

22

2

ωωωω

ωω

, 其中2

31i

+-=ω.

解: 原式=)1( 0)1(2113

2

36

3

4

3

3

6

4

==-=+-=---++ωωωωωωωωω

线性代数习题册解答·第一章 行列式

四、 用行列式定义证明 00

00000052

51

4241

3231

25

24232221

15

14131211

==a a a a a a a a a a a a a a a a D . 证明:由定义,在D 中的项5432154321i i i i i a a a a a 中, ) (543i i i 为从 5 , 4 , 3 , 2 , 1这5个数中取3个数 的某一排列, 从而至少有一个元素取自 5 , 4 , 3中. 不妨设为3i , 则033=i a .从而 05432154321=i i i i i a a a a a .由定义,有

.05

43215432

154321==

∑i i i i i i i i i i a a a a a

D

五．用行列式定义计算 0

00 1000 0

200 0010 D n n -=

解: ∑-=

n

n n i i i i i i i i i a a a D 212121111)1(）

（τ

因为在第一行中除112=a 外, 其余均为零, 所以只有取21=i , 才会使n i i i a a a 11121 可能不为零

在第二行中除223=a 外, 其余均为零, 所以只有取32=i , 才会使n i i i a a a 11121 可能不为零 依次类推,

在第n 行中除n a n =1外, 其余均为零, 所以只有取1=n i , 才会使n i i i a a a 11121 可能不为零 于是, 有 !)1()1(2)1()1(11231

2312312123n n n a a a D n n n n n --=⋅-⋅⋅-=-=∑ ）（）

（ττ

六、在n 阶行列式nn

n n n

n a a a a a a a a a f ---------=

λλλλ

21

22221

112

11

)(（ij a 为常数）中,n

λ的系数为多少？

1

-n λ

的系数又为多少？

解: 由定义,)(λf 应为取自不同行不同列元素乘积的代数和. 故含有n

λ和1

-n λ的项必来自于对角

线上元素的乘积 (否则,λ的次数将不超过2-n ), 即

)())((2211nn a a a ---λλλ

故n

λ的系数为1; 1

-n λ的系数为 ).(2211nn a a a +++-