湖北汽车工业学院线性代数答案 行列式的定义
2017版 华工《线性代数与概率统计》(工程数学)随堂练习参考答案
《线性代数与概率统计》随堂练习参考答案1.计算？（）A．B．C．D．参考答案：A2.行列式？A．3B．4C．5D．6参考答案：B3.利用行列式定义计算n阶行列式：=?( ) A．B．C．D．参考答案：C4.用行列式的定义计算行列式中展开式，的系数。
A．1, 4B．1，-4C．-1，4D．-1，-4参考答案：B5.计算行列式=？（）A．-8B．-7C．-6D．-5参考答案：B6.计算行列式=？（）A．130B．140C．150D．160参考答案：D7.四阶行列式的值等于（）A．B．C．D．参考答案：D8.行列式=？（）A．B．C．D．参考答案：B9.已知，则？A．6mB．-6mC．12mD．-12m参考答案：A10.设＝，则?A．15|A|B．16|A|C．17|A|D．18|A|参考答案：D21.(单选题) 设矩阵，求=？A．-1；B．0；C．1；D．2.参考答案：C11.设矩阵，求=？A．-1B．0C．1D．2参考答案：B12.计算行列式=?A．1500B．0C．1800D．1200参考答案：C13.齐次线性方程组有非零解，则=？（）A．-1B．0C．1D．2参考答案：C14.齐次线性方程组有非零解的条件是=？（）A．１或－３B．１或３C．－１或３D．－１或－３参考答案：A16.(单选题) 如果非线性方程组系数行列式，那么，下列正确的结论是哪个？A．无解;B．唯一解;C．一个零解和一个非零解;D．无穷多个解参考答案：B17.(单选题) 如果齐次线性方程组的系数行列式，那么，下列正确的结论是哪个？A．只有零解;B．只有非零解;C．既有零解，也有非零解;D．有无穷多个解.参考答案：A15.齐次线性方程组总有___解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有___解。
A．零零B．零非零C．非零零D．非零非零参考答案：B16.设，，求=？（）A．B．C．D．参考答案：D17.设矩阵，，为实数，且已知，则的取值分别为？（）A．1，-1，3B．-1，1，3C．1，-1，-3D．-1，1，-3参考答案：A18.设, 满足, 求=？（）A．B．C．D．参考答案：C19.设，，求=？（）A．B．C．D．参考答案：D20.如果，则分别为？（）A．0，3B．0，-3C．1, 3D．1，-3参考答案：B21.设,矩阵，定义，则=？（）A．0B．C．D．参考答案：B26.(单选题) 设,n>1，且n为正整数，则=？A．0 ;B．-1 ;C．1 ;D．.参考答案：D22.设,n为正整数，则=？（）A．0B．-1C．1D．参考答案：A23.设为n阶对称矩阵，则下面结论中不正确的是（）A．为对称矩阵B．对任意的为对称矩阵C．为对称矩阵D．若可换，则为对称矩阵参考答案：C24.设为m阶方阵，为n阶方阵，且,,,则=？（）A．B．C．D．参考答案：D25.下列矩阵中，不是初等矩阵的是：（）A． B．C． D．参考答案：C26.设，求=？（）A．B．C．D．参考答案：D27.设，求矩阵=？（）A． B．C． D．参考答案：B28.设均为n阶矩阵，则必有（）A．B．C．D．参考答案：C29.设均为n阶矩阵，则下列结论中不正确的是（）A．若，则都可逆B．若，且可逆，则C．若，且可逆，则D．若，且，则参考答案：D30.设均为n阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．（k为正整数）D．（k为正整数）参考答案：B31.利用初等变化，求的逆=?（）A． B．C． D．参考答案：D32.设，则=?( )A． B．C． D．参考答案：B33.设,是其伴随矩阵，则=？（）A． B．C． D．参考答案：A34.设n阶矩阵可逆，且，则=？（）A． B．C． D．参考答案：A35.阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是。
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
行列式定义推导
行列式定义推导
行列式是一个数学概念，通常用于线性代数中。
它最初是由数学家莱布尼茨在17世纪提出的，用于解决线性方程组的问题。
行列式的定义和性质在矩阵理论、线性变换、微分方程等多个领域都有广泛的应用。
行列式的定义有多种方式，其中一种常见的是通过排列和逆序数的概念来定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|或det(A)。
按照定义，|A|是所有取自A的n个不同行、n个不同列的元素的乘积的代数和，其中每个元素的符号由它所在的行号和列号共同决定。
具体来说，对于A中的元素a_ij（i为行号，j为列号），它的符号是(-1)^(i+j)，即当i+j 为奇数时符号为负，为偶数时符号为正。
在推导行列式的定义时，我们可以从二阶行列式开始，逐步推广到n阶行列式。
对于二阶行列式，它只有两个元素，所以定义相对简单。
当推广到n阶行列式时，我们通常使用拉普拉斯展开式或递归定义来计算。
拉普拉斯展开式是将行列式按照某一行或某一列展开，得到一系列低阶行列式的和。
递归定义则是通过行列式的性质，如行列式的转置性质、行列式的行列性质等，来逐步计算出行列式的值。
行列式的定义和性质具有很多重要的应用。
例如，在解线性方程组时，行列式可以用于判断方程组的解的情况；在矩阵理论中，行列式可以用于判断矩阵是否可逆、计算矩阵的逆等；在微分方程中，行列式可以用于判断线性微分方程组的解的存在性和唯一性等。
因此，行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它的定义和性质值得我们深入学习和理解。
线性代数讲义-01行列式
第一章 行列式第一节 行列式的定义.一 排列的逆序数将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列.按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列.定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数.在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n .定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列).例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列.定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换.定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性.证 如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变.考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性.如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数.例1.1 求排列32514的逆序数.解 按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++.例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半.证 将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等.二 行列式定义以前学过二阶与三阶行列式:2112221122211211a a a a a a a a -=;333231232221131211a a a a a a a a a 322113312312332211a a a a a a a a a ++=312213332112322311a a a a a a a a a ---. 为了将他们推广, 首先研究三阶行列式的结构. 行列式中的数ij a 称为它的元素. 其中元素321,,i i i a a a 组成行列式的第i 行, 元素j j j a a a 321,,组成行列式的第j 列, 元素332211,,a a a 组成行列式的主对角线. 每个元素有两个下标. 第一个是行标i , 表示该元素属于第i 行. 第二个是列标j , 表示该元素属于第j 列.在形式上, 三阶行列式是一个数表. 而实质是其元素的一个多项式. 这个多项式由六项组成, 每项包含三个元素的乘积. 这三个元素分别属于不同的行, 不同的列. 现在每一项中元素的行标组成标准排列, 则其列标恰组成所有的三阶排列. 而且, 如果列标排列是奇排列, 则前面是负号. 如果列标排列是偶排列, 则前面是正号. 于是, 可以将三阶行列式写作333231232221131211a a a a a a a a a ∑-=321321)1(p p p t a a a , 其中t 是列标排列321p p p 的逆序数, 求和遍及所有三阶排列.按照三阶行列式的结构进行推广, 得到n 阶行列式的定义. 定义1.4 称111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(为n 阶行列式, 其中t 是列标排列n p p p 21的逆序数, 而求和遍及所有n 阶排列.常将行列式简记作D . 如果需要明确行列式的阶, 则将n 阶行列式记作n D .一个n 阶行列式有!n 项. 当1>n 时, 其中正项与负项各占一半.与三阶行列式类似，n 阶行列式也是其元素的多项式. 因此, 如果行列式的元素都是数, 则行列式也是数. 如果行列式的元素是某些字母的多项式, 则行列式也是这些字母的多项式.注意 一阶行列式||11a 与数的绝对值的符号相同, 但意义不同. 作为行列式2|2|-=-,而作为数的绝对值2|2|=-. 因此必须用文字严格区分这两种不同对象.例1.3 求四阶行列式中包含元素23a 的所有负项.解 在四阶排列中, 数3在第二个位置的共有6个. 其中的奇排列为1324, 2341与4312. 于是, 四阶行列式中包含元素23a 的负项为44322311a a a a -, 41342312a a a a -, 42312314a a a a -.当n 较大时, n 阶行列式中的项很难一一列举. 不过, 如果一个行列式的许多元素等于0, 则不等于0的项数将大大减少.例1.4 求证：行列式1112122200n n nna a a a a a nn a a a 2211=.证 为了得到非零项, 在第n 行中只能取nn a . 此后不能再取第n 列的其他元素. 因此,在第1-n 行只能取1,1--n n a . 继续这个讨论可得: 行列式只有一个正项nn a a a 2211.在这个行列式中, 主对角线下面的元素都等于0, 称为上三角行列式. 类似定义下三角行列式, 且有相同结果.例1.5 求证: 行列式12,1100000n n n a a a -11,212/)1()1(n n n n n a a a ---=.证 仿照例1.4的推理, 这个行列式也只有一个非零项. 当该项的行标组成标准排列时, 它的列标排列为1)1( -n n . 逆序数为2/)1(1)2()1(-=++-+-n n n n .例1.6 求证：行列式000000044434241343332312111=a a a a a a a a a a .证 因为行列式的每一项需要在前两行取不同列的元素， 所以行列式的每一项都至少包含一个等于0的元素. 因此该行列式等于0.前面将行列式中每项的行标组成标准排列, 由列标排列的逆序数决定符号. 现在考虑列标组成标准排列时的情形.定理 1.2 行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n p p p s n a a a 2121)1(. 其中s 是行标排列n p p p 21的逆序数.证 行列式定义中的一般项为n np p p ta a a 2121)1(-. 对换它的两个元素, 该项中的元素乘积n np p p a a a 2121不变. 考虑该项前面的符号. 原来的符号是t)1(-, 其中t 是行标组成标准排列时, 列标排列的逆序数. 经过对换两个元素, 根据定理 1.1, 其行标排列与列标排列同时改变奇偶性. 然而, 行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性. 继续这个过程, 使列标组成标准排列. 由于标准排列的逆序数等于0, 此时行标排列的奇偶性与原来列标排列的奇偶性相同. 即=-s)1(t)1(-.定理1.2说明行标排列与列标排列的地位是相同的. 从定理1.2的证明中还可以看到: 当行标排列与列标排列都不是标准排列时, 行列式的项的符号可以由行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性决定.习题1-11. 求下列九阶排列的逆序数，从而确定其奇偶性. (1) 135792468; (2) 219786354.2. 选择i 与k 使下列九阶排列(1) 9561274k i 为偶排列; (2) 4897251k i 为奇排列.3. 求证: 用对换将奇(偶)排列变成标准排列的对换次数为奇(偶)数.4. 已知排列n p p p 21的逆序数为k ，求排列11n n p p p - 的逆序数.5. 在六阶行列式中, 确定下列项的符号.(1) 233146521465a a a a a a ; (2) 256651144332a a a a a a . 6. 计算下列行列式.(1) 613322131; (2) 0551111115----. 7. 计算下列行列式.(1)00000012,11,11,2222111,11211n n n n n n a a a a a a a a a a ----; (2)nn 0000100200100-.8. 求证: 0000000052514241323125242322211514131211=a a a a a a a a a a a a a a a a . 9. 设一个n 阶行列式至少有12+-n n 个元素等于0，求证：这个行列式等于0.第二节 行列式的性质用行列式定义计算一般的高阶行列式非常困难. 而计算三角行列式特别简单. 本节研究行列式的性质, 以寻找简单的计算方法.定义1.5 将行列式D 的行列互换, 而不改变行与列的先后顺序(第一行变成第一列, 第二行变成第二列等等), 所得到的行列式称为原行列式的转置, 记作D '.例如, 行列式613322131的转置是631123321. 性质1.1 行列式的转置与原行列式相等. 即D D ='.证 设行列式D 的元素为ij a , 转置D '的元素为ij b , 则有ji ij a b =. 根据定理1.2, 有D '∑-=n np p p t b b b 2121)1(D a a a n p p p t n =-=∑ 2121)1(.注意 在行列式中, 行与列的地位是相同的. 因此, 对行列式的行成立的命题, 对列也同样成立.性质1.2 交换行列式的两行(列), 行列式改变符号.证 交换D 的第h 行与第k 行产生的新行列式记作hk D . 设hk D 的元素为ij b , 则有kj hj a b =, hj kj a b =,n j ,,2,1 =, 而hk D 的其他行的元素与D 相同. 设n 阶行列式D 的一般项为n k h np kp hp p ta a a a 11)1(-, 其中t 是列标排列n k h p p p p 1的逆序数. 在hk D 的定义中与上面D 的一般项具有相同元素的项为11(1)h k n s p kp hp np b b b b -= 11(1)k h n s p hp kp np b b b b - ,其中s 是列标排列n h k p p p p 1的逆序数. 根据定理 1.1, 这两个排列的奇偶性不同, 因此相应的两项符号相反. 因为hk D 与D 的具有相同元素的项符号都相反, 所以D D hk -=. 推论1.1 如果行列式D 中有两行的元素对应相等, 则0=D .证 设行列式D 的第h 行与第k 行相同, 交换这两行产生的行列式记作hk D , 则D D hk =. 然而根据性质1.2, 又有D D hk -=. 于是0=D .性质1.3 用数k 乘以行列式的一行的每个元素，相当于用k 乘以原行列式. 即有111111j n i ij in n njnn a a a ka ka ka a a a111111j ni ij in n nj nna a a a a a k a a a =. 证 设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a a aD 11)1(, 用数k 乘以其第i 行的每个元素产生的新行列式记作)(k D i , 根据定义, 有)(k D i ∑-=n i np ip p t a ka a )()1(11kD a a a k n i np ip p t =-=∑ 11)1(.这个性质可以看作提取行列式的一行(或一列)元素的公因数.推论1.2 如果行列式D 的某两行的元素对应成比例, 则0=D .证 设行列式第h 行的每个元素是第i 行的对应元素的k 倍, 提取第h 行元素的公因数k , 根据性质 1.3, 原行列式等于数k 乘以一个新行列式. 由于这个新行列式中有两行相同, 根据推论1.1, 有0=D .性质1.4 如果行列式的一行的每个元素都是两个数的和，则原行列式等于两个行列式的和. 即有1111111j n i i ij ij in in n njnna a abc b c b c a a a +++111111j n i ij in n nj nna a ab b b a a a =111111j n i ij in n nj nna a a c c c a a a +. 证 设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a b aD 111)1(,∑-=n i np ip p t a c a D 112)1(,其中只有第i 行不同. 将两个行列式的第i 行求和, 其他行不变产生的新行列式记作)(+i D ,根据行列式定义, 有)(+i D ∑+-=n i i np ip ip p t a c b a )()1(11∑-=n i np ip p t a b a 11)1(∑-+n i np ip p t a c a 11)1(21D D +=.可以将性质1.3看作行列式的数乘运算, 而将性质1.4看作行列式的加法. 行列式的加法与数乘都是对一行进行, 而不是对整个行列式. 此外, 性质 1.4可以推广为: 如果行列式的一行中所有元素都是k 个数的和, 则它等于k 个行列式的和.性质1.5 将行列式的某一行的每个元素加上另一行对应元素的k 倍, 行列式不变. 证 设n 阶行列式∑-=n h i np hp ip p ta a a aD 11)1(, 将第i 行的元素加上第h 行的对应元素的k 倍产生的新行列式记作)(k D ih , 根据性质1.4与推论1.2, 有)(k D ih ∑+-=n h h i np hp hp ip p t a a ka a a )()1(11∑-=n h i np hp ip p t a a a a 11)1(∑-+n h h np hp hp p t a a ka a )()1(11D a a a a n h i np hp ip p t =-=∑ 11)1(.例1.7 求证: 行列式h g i g ih e d f d fe b a c a cb +++++++++i h g f e dc b a 2=. 证 先用性质1.4将等式左边分成两个行列式, 再用性质1.5, 得h g i g i h e d f d f e b a c a c b +++++++++h g i g h e d f d e b a c a b ++++++=h g i g i e d f d fb ac a c +++++++ gi g hd fd e a c a b +++=hg gi e d d fb a ac ++++gihd fe a c b =hgie df b a c +ihgf e dc b a 2=. 例1.8 计算行列式4321651005311021.解 用性质1.5, 得43216510053110213300651015101021-=3300700015101021-=21700330015101021-=--=.注意 用性质将行列式变成三角行列式, 再用定义计算. 这种方法称为消元法.例1.9 计算行列式3111131111311113.解 先将下面各行加到第一行, 提取第一行的公因数6， 再用下面各行分别减去第一行. 得31111311113111133111131111316666=31111311113111116=4820000200002011116==.注意 如果行列式的列和(或行和)相等, 常使用上述技巧.例1.10 计算行列式yyx x-+-+1111111111111111.解 用第一列减第二列, 提取x ; 第三列减第四列, 提取y . 再用第二列, 第四列分别减第一列与第三列, 得yy x x -+-+1111111111111111yy y xx x --=110110101101y x xy--=111111010111011yx xy--=1000100001000122y x =.有时需要仔细观察行列式的结构, 才能找到最简捷的方法. 计算行列式时, 往往有多种方法. 应该考察各种路线, 从中选择最佳方案.习题1-21. 求证: bzay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax +++++++++yxzx z y z y x b a )(33+=. 2. 计算行列式efcfbfde cd bdae ac ab---. 3. 计算下列行列式.(1)2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a ; (2) n222232222222221.4. 求t 的值, 使得行列式226332111=tt .5. 计算下列行列式(1)3214214314324321; (2)121212n n n x mx x x x m x x x x m---.6. 计算行列式01211111001na a a a, 其中021≠n a a a .7. 用两种方法计算行列式ab cc abbc a， 从而证明因式分解: ))((3222333bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++.8. 计算行列式111212122212n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------, 其中2>n .9. 计算行列式1231110000220000020011n n nn n------.10. 计算行列式aba ba b b a b a ba D n=2，其中未写出的元素都等于0.第三节 行列式的展开在本节中研究行列式按照一行或一列展开的公式, 从而可以将一个高阶行列式的计算转化为若干低阶行列式的计算.定义1.6 考虑n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(. 将行列式的元素ij a 所在的行与列删除(其余元素保持原来的相对位置), 得到的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式, 记作ij M . 而称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式.例如，行列式333231232221131211a a a a a a a a a 中元素12a 的余子式为2123123133aa M a a =， 而代数余子式为212312123133(1)a a A a a +=-.注意 左上角元素11a 的代数余子式11A 取正号, 其余正负相间. 特别, 主对角元素iia 的代数余子式ii A 全取正号.引理1.1 如果一个n 阶行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0, 则这个行列式等于ij a 与其代数余子式ij A 的乘积. 即ij ij A a D =.证 先考虑n j i ==的特殊情况. 根据定义, 为了产生非零项, 在行列式D 的第n 行只能取nn a . 于是, 有∑---=nn p n p p t a a a a D n 121)1(21)1( ∑---=121)1(21)1(n p n p p t nn a a a a ,其中t 是列标排列n p p p n 121- 的逆序数, 求和遍及1,,2,1-n 的所有排列121-n p p p . 然而排列n p p p n 121- 与排列121-n p p p 的逆序数相等, 因此, 上式右边的和式为nn p n p p tM a a an =-∑--121)1(21)1( nn nn n n A M =-=+)1(.于是, 有nn nn A a D =.现在考虑一般情况, 设行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0. 将D 的第i 行与第1+i 行交换, 再将所得行列式的第1+i 行与第2+i 行交换, 继续进行, 直到D 的第i 行移到最后一行, 而其他行的上下顺序不变. 在这个过程中, 共进行i n -次交换行. 用同样的方法, 将所得的行列式的第j 列逐步移到最后一列, 而其他列的左右顺序不变. 在这个过程中, 共进行j n -次交换列. 最后得到的行列式记作B , 则在B 的最后一行中只有最后一个元素ij a 不等于0, 而且ij a 在B 中的代数余子式就是ij a 在D 中的余子式ij M . 由前面证明的特殊情况, 有ij ij M a B =. 另一方面, 根据性质1.2, 有D B j n i n )()()1(-+--=, 即B D j i +-=)1(. 于是,有ij ij ij ij ji A a M a D =-=+)1(.定理1.3 对于n 阶行列式D , 有in in i i i i A a A a A a D +++= 2211; nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.证 将行列式D 的第i 行的每个元素改写成n 个数的和, 其中由ij a 改写成的和中的第j 个加数等于ij a , 其他元素等于0. 用性质1.4的推广, 则D 等于n 个行列式的和. 在第j 个行列式的第i 行中, 只有属于第j 列的元素等于ij a , 其他元素等于0.对这n 个行列式分别用引理1.1, 得in in ij ij i i A a A a A a D ++++= 11.注意 用定理 1.3, 可以将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1-n 阶行列式的计算. 不过, 当行列式的阶数较大时, 计算量仍然相当大. 除非在行列式中有很多元素等于0. 联合使用消元与按照一行(列)展开, 常能得到最简捷的计算路线.例1.11 计算行列式500134267002430.解 先按照第四行展开, 得50013426700243043032(1)5006241+=-321018006=-=-.有时用数学归纳法计算n 阶行列式是比较方便的. 不过此时需要行列式n D 与1-n D ,2-n D 之间的关系.例1.12 求证: 000100010000001n a b ab a b ab a b D a b ab a b+++=++b a b a n n --=++11. 证 计算可得ba b a b a D --=+=221, b a b a b ab a D --=++=33222. 设命题对于1-n 阶与2-n 阶行列式成立.考虑n 阶行列式, 按第一行展开, 得0001000100000001n a b ab a b ab a b D a bab a b +++=++00100()0001a baba b a b a b ab a b++=+++1000000001ab a b ab a bab a b+-++21)(---+=n n abD D b a b a b a n n --=++11.例1.13 求证: 123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=∏<-=ji i j x x )(. 解 当2=n 时, 有122x x D -=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 从下边开始, 下面一行减去上面一行的1x 倍, 得123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------232131122223111()()()n n n n n nx x x x x x x x x x x x ---=---111312)())((----=n n D x x x x x x ∏<-=ji i j x x )(.与前面的例题不同, 这里不是下面各行减去第一行, 而是下面一行减去其上面一行. 当然现在必须从第n 行开始, 逐行向上做.这个行列式称为范德蒙行列式. 易见, 当n x x x ,,,21 两两不同时, 范德蒙行列式不等于0. 这个性质产生了范德蒙行列式的许多应用.例1.14 求证: 211212212221212n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++=+)1(!12∑=+=nk kka n .解 当1=n , 2111a D +=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 按照最后一行分成两个行列式的和, 得21121221222121200n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++=+++21121221221200n na a a a a a a a a a n++= 211212212221212n nn n na a a a a a a a a a a a a a a +++21121122122121112112(1)n n n n n a a a a a a a a a a na a a a n a -----++=-+110002nn na a a a +=21)!1(nn a n nD -+-211[(1)!(1)]n k k a n n k -==-+∑2(1)!n n a +-)1(!12∑=+=nk k ka n .推论 1.3 行列式的任意一行(列)的元素与另一行的元素的代数余子式的乘积之和等于零. 即当j i ≠时, 有02211=+++nj ni j i j i A a A a A a ; 02211=+++jn in j i j i A a A a A a .证 只证第一个等式. 反向用定理1,3, 则nj ni j i j i A a A a A a +++ 2211等于一个n 阶行列式. 这个行列式的第i 行与第j 行相同, 根据推论1.1, 该行列式等于0.习题1-31. 计算行列式11312111311021---=D 的第二行所有元素的余子式与代数余子式.2. 计算行列式0000000000000000n x y x y x D x y yx =.3. 求证: 11211000010000000001n nn n x x x D xa a a a a +----=-n n n n a x a x a x a ++++=--1110 .4. 求证: 210001210001200100021012n D n ==+.5. 设常数c b a ,,两两不等, 解方程01111)(33332222==x c b a x c b a x c b a x f .6. 求证: 12322221231231111nn n n n n nn n n nnx x x x D x x x x x x x x ----=∑∏=<-=nk k ij j i x x x 1)(.7. 求证: 1231111111111111111n na a D a a ++=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑=ni i n aa a a 12111 , 其中 021≠n a a a .补充材料一 拉普拉斯展开前面是行列式按一行或一列展开. 这个结果可以推广为按若干行展开.行列式中任意k 行与k 列交叉处的元素, 按照原来相对位置组成的k 阶行列式称为原行列式的一个k 阶子式k D . 删除这k 行与k 列得到的k n -阶行列式k M 称为k 阶子式k D 的余子式， 而=k A ∑-+hh h j i )()1(k M 称为k D 代数余子式. 其中h h j i ,是k D 所在的行标与列标. 命题 设||A 是n 阶行列式, 任意取其中的k 行,n k <<0, 则行列式等于这k 行中所有k 阶子式与其代数余子式的乘积之和.证明略.注意 这个命题称为行列式的拉普拉斯展开. 展开时有kn C 项, 每项是一个k 阶子式与其代数余子式的乘积.例1 求证：行列式aba ba b b a b a b a D n=2n n b a b a )()(-+=.证 按照第一行与第n 2行展开， 得)1(2222)(--=n n D b a D . 用这个递推式即可得到所需结果.例2 求证:nnk n nkn nk k k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a1,1,11,1.11,111110000++++++kk k k a a a a 1111=nnk n n k k k a a a a 1,,11,1++++ 证 按照前k 行展开.注意 由于右上角的元素都等于0，左下角的元素对行列式没有贡献. 当然, 如果左下角的元素都等于0, 也有类似结果.。
《线性代数》—行列式的定义和性质
D' =
D’称为 D 的转置行列式 性质 1 D 与 D’相等 证 设 D 的第 i 行第 j 列元素为 bij，则 bij=aji(ij=1,2…n)
D' =
∑ (−1)
j1 j2 L jn
τ ( j1 j2 L jn )
b1 j1b2 j 2 L bnjn =
∑ (−2)
j1 j2 L jn
τ ( j1 j2 L jn )
(− 1)τ ( j j L j ) a1 j1a2 j 2 L anjn = (− 1)τ (i i Li ) ai11ai 22 L ainn .
1 2 n 12 n
线性代数—学习笔记一
a11 a 21 L a n1
a12 L a1n a 22 L a 2 n L L L a n 2 L a nn
x =0 2
解2 4 3 x
x = 8 + 6 x − 2 x + 12 − 8 − x 2 = 0 2
即 12+4x-x2=0 , （6-x）(2+x)=0 得 x=-2 ,x=6 以上二、三阶行列式定义都是通过对角线上元素之积的代数和给出的，这种 对角线法则只适用二、三阶行列式，为给出四阶及更高阶的行列式需利用排列与 逆序的概念 2．排列与逆序， 排列与逆序，n 阶行列式 n 个数 1，2，3，……，n 按一定排列组成一个有序数组，称为一个民阶排 列，例如三个数 1,2,3,可以有三阶排列 123,231,312,132,213,321 共 6 个，n 个数构成 n 阶排列的总数为 n！ n 个数由小到大依自然顺序排列成 123……n 称为标准排列，若在 n 阶排列中一 个较大的数排在一个较小数的前面，称这两个数构成一个逆序，在 n 阶排列 i1,i2……in 中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作 τ（i1,i2……in） 。 例如 3 阶排列 231 中“2”排在“1”前构成一个逆序。 “3”排在“1”前又构成 一个逆序，231 的逆序数为 2，即 τ（231）=2，同理 τ（312）=2，τ（132） =1，τ（32451）=5 逆序数为奇数的排列称为奇数排列，逆序为偶数的排列称为 偶排列，排列具有以下性质: 1．对换排列中的任意两个数，排列改变奇偶性 证、先考虑两个相邻无素的对换，例如排列为……ij……，对换 i,j 得排列…… ji……在这两个排列中 i 或 j 与其它元素的相对位置没有改变， 故之 i 或 j 与其 它元素的逆序没有改变，而 ij 的相对位置变了，若 i＜j，圣贤换后逆序数增加 1，若 i＞j 对换后逆序数减少 1，故改变了排列的奇偶性。 再考虑不相邻二元素的对换，若在热排列…ik1k2…ksj…中对换 i 和 j 得排 列…
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
《线性代数》行列式的概念
《线性代数》的先修课为高等数学，是高等院校各专业的重 要基础课，同时也是研究生入学考试数学科目的基本内容，因 此学好《线性代数》课程非常重要. 本课程要求各位同学理解 各个定义之间的内在逻辑，掌握相关的运算技能.
希望各位同学能够按时上课，认真并及时完成作业.
平时成绩占期末考试的20%，分为考勤成绩(40分)；
每一项都是三个元素的乘积. 每一项的三个元素都位于不同的行和列. 行列式的6项恰好对应于1, 2, 3的6种排列. 各项符号与对应的列标的排列的奇偶性有关.
写出三阶行列式的一般形式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
j1 j2 j3的逆序数
=
(-1) a a a ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
0 … 0 0 b1 0 … 0 b2 * D= … … … … …
0 bn-1 * * * bn * * * *
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取b1，第二行只能取b2， ，第n-1行只能
取bn-1，第 n 行只能取bn .这样不为零的乘积项只有
b1b2b3 bn， 所以
类似引入符号， 称D为三阶行列式.
a11 a12 a13
D = a21 a22 a23 = a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
当D
0时，x j
=
Dj D
，j = 1,2,3.
其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.
作业成绩(40分，通常每位同学有7次成绩，其中作业成绩5 次，小测试以及提问成绩2次)；附加成绩(20分，包括小论
《线性代数》课后习题答案
第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。
（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数第1章行列式n阶行列式的定义
行列式中如果有两行（ 列）元素成比例，则此 行列式等于零。
把行列式的某一列（行 ）的各元素乘以同一数 然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列 式不变。
行列式的计算
80%
直接计算法
按照定义直接计算，适用于低阶 行列式。
100%
降阶法
利用性质将高阶行列式降为低阶 行列式计算，适用于高阶行列式 。
80%
将深入讲解特征值与特征向量的定义、性质以及 计算方法等。
向量与线性方程组
将探讨向量的概念、向量的线性组合与线性方程 组的关系等内容。
二次型与正定矩阵
将介绍二次型的概念、正定矩阵的判定以及二次 型的标准化等内容。
学习建议与要求
熟练掌握行列式的定义、性 质和计算方法，能够灵活运 用所学知识解决相关问题。
线性代数第1章行列式n阶行列 式的定义
目
CONTENCT
录
• 引言 • n阶行列式的定义 • 行列式的性质与计算 • 克莱姆法则 • 行列式的应用 • 总结与展望
01
引言
线性代数的重要性
02
01
03
是数学的一个分支，研究线性方程组、向量空间、矩 阵等概念和性质。
在计算机科学、物理学、工程学等领域有广泛应用， 如计算机图形学、量子力学、电路分析等。
本章内容与目标
01
掌握n阶行列式的定义和性质，理解行列式与矩阵的关系。
02
学会计算低阶行列式，了解高阶行列式的计算方法和技巧。
03
了解克拉默法则及其在线性方程组中的应用，理解行列式在 解决实际问题中的意义和作用。
02
n阶行列式的定义
行列式的概念
行列式是数学中的一个基本概念，表示一个方阵的 数值特征。
关于行列式的一般定义及计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§ 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n nn a a a a a a a a a212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
行列式的定义计算方法
行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。
行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。
本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。
行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。
行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。
掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。
对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。
二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。
选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。
【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。
考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。
线性代数1.行列式定义与性质
ai1
ai 2
ain
a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0, j s.
ak1 ak 2
akn
证 把行列式 D按第 j 行展开，有 an1 an2
例如
2 3 5 1 2 2 624
A23 1 23 M23
2
6
3 2
14
8
于是：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11M11 a12M12 a13M13 a11A11 a12 A12 a13 A13
0___k___1____1___0
0
00k2 0 0 k2 0
k 2 (k 1)(k2 4)
2k
002k 0 0 2k
所以，D=0的充要条件是 k 1 或 k 2
27
定理
n 阶行列式的任一行（列）各元素与另一行（列）对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a11
a12
a1 n
ai1Ak1 ai2 Ak2 ain Akn 0, i k.
a11
证明： D
as1
at 1
an1
a12
as2
at 2
an2
a1n
a11
a12
asn
rs krt
as1 kat1
as2 kat2
atn
at1
at 2
ann
an1
an 2
a1n asn katn
华工《线性代数与概率统计》(工建数学)随堂练习参考答案
《线性代数与概率统计》随堂练习参考答案1.计算？（A）A． B． C． D．2.行列式？(B)A．3 B．4 C．5 D．63.利用行列式定义计算n阶行列式：=?( C) A． B．C． D．4.用行列式的定义计算行列式中展开式，的系数。
(B) A．1, 4 B．1，-4 C．-1，4 D．-1，-45.计算行列式=？（B ）A．-8 B．-7 C．-6 D．-56.计算行列式=？（D ）A．130 B．140 C．150 D．1607.四阶行列式的值等于（ D）A． B．C． D．8.行列式=？（B ）A． B． C． D．9.已知，则？(A) A．6m B．-6m C．12m D．-12m10.设＝，则? (D)A．15|A| B．16|A| C．17|A| D．18|A|11.设矩阵，求=？(B)A．-1 B．0 C．1 D．212.计算行列式=?(C)A．1500 B．0 C．1800 D．120013.齐次线性方程组有非零解，则=？（C ）A．-1 B．0 C．1 D．214.齐次线性方程组有非零解的条件是=？（A）A．１或－３ B．１或３ C．－１或３ D．－１或－３15.齐次线性方程组总有___解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有_B__解。
A．零零 B．零非零 C．非零零 D．非零非零16.设，，求=？（D ）A． B． C． D．17.设矩阵，，为实数，且已知，则的取值分别为？（A ）A．1，-1，3 B．-1，1，3 C．1，-1，-3 D．-1，1，-318.设, 满足, 求=？（C ）A． B． C． D．19.设，，求=？（D ）A． B． C． D．20.如果，则分别为？（B ）A．0，3 B．0，-3 C．1, 3 D．1，-321.设,矩阵，定义，则=？（ B）A．0 B． C． D．22.设,n为正整数，则=？（ A）A．0 B．-1 C．1 D．23.设为n阶对称矩阵，则下面结论中不正确的是（C ）A．为对称矩阵 B．对任意的为对称矩阵C．为对称矩阵 D．若可换，则为对称矩阵24.设为m阶方阵，为n阶方阵，且,,,则=？（ D）A． B． C． D．25.下列矩阵中，不是初等矩阵的是：（ C）A． B． C． D．26.设，求=？（ D）A． B． C． D．27.设，求矩阵=？（ B）A． B． C． D．28.设均为n阶矩阵，则必有（C ）A． B． C． D．29.设均为n阶矩阵，则下列结论中不正确的是（D ）A．若，则都可逆 B．若，且可逆，则C．若，且可逆，则 D．若，且，则30.设均为n阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（ B）A． B．C．（k为正整数） D．（k为正整数）31.利用初等变化，求的逆=?（ D）A BC D．32.设，则=?( B)A． B． C． D．33.设,是其伴随矩阵，则=？（A ）A． B． C． D．34.设n阶矩阵可逆，且，则=？（A ）A． B．C． D．35.阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是(C)A． B． C． D．36.设矩阵的秩为r，则下述结论正确的是（ D）A．中有一个r+1阶子式不等于零 B．中任意一个r阶子式不等于零C．中任意一个r-1阶子式不等于零 D．中有一个r阶子式不等于零37.初等变换下求下列矩阵的秩，的秩为？（C ）A．0 B．1 C．2 D．338.求的秩为？（D ）A．2 B．3 C．4 D．539. 44．，且，则=？（ B）A．1 B．-3 C．1或-3 D．-140.求矩阵的秩=？(B)A．1 B．2 C．3 D．441.设，则？(C)A． B． C． D．42.用消元法解线性方程组，方程的解为：(A)A． B． C． D．43.齐次线性方程组有非零解，则必须满足（ D）A． B． C． D．44.已知线性方程组：无解，则=？（A）A．-1 B．0 C．1 D．245.非齐次线性方程组中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵的秩为r，则（A ）A．r=m时，方程组有解 B．r=n时，方程组有唯一解C．m=n时，方程组有唯一解 D．r<n时，方程组有无穷多个解46.设是矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分条件是（ B）A.的列向量组线性相关 B．的列向量组线性无关C．的行向量组线性无关 D．的行向量组线性无关47.线性方程组：有解的充分必要条件是=？（ A）A． B．-1 C． D．148.求齐次线性方程组的基础解系是（ C）A． B．C． D．49.求齐次线性方程组的基础解系为（A）A． B．C． D．50.设n元非齐次方程组的导出组仅有零解，则（D）A．仅有唯一解 B．必有无穷多解 C．必无解 D．未必有解51.设为矩阵，线性方程组的对应导出组为，则下面结论正确的是（C）A．若仅有零解，则有唯一解 B．若有非零解，则有无穷多解C．若有无穷多解，则有非零解 D．若有无穷多解，则仅有零解52.写出下列随机试验的样本空间及下列事件的集合表示：掷一颗骰子，出现奇数点。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数 行列式
线性代数 —— 第一章 行列式定义和定理：1. n 个不同的元素排成一列，称为这n 个元素的全排列，简称排列。
n 个不同元素的所有排列个数，通常用n P （!n P n =）表示。
将自然数由小到大的排列称为自然序排列。
在一个排列中，若一个大数排在一个小数之前，就称这两个数构成一个逆序。
在一个排列中出现的逆序总数称为逆序数，设n j j j 21是一个n 元排列，它的逆序数就记作)(21n j j j σ。
逆序数为偶数的排列为偶排列，反之为奇排列。
在一个排列中，对掉其中两个数，而其它数不动，可得到另一个排列，这种变换称为对换，相邻两个数对换称为相邻对换。
一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
n 个不同元素（1>n ）共有!n 种全排列，其中奇偶排列各占一半。
2. 将2n 个数排成n 行n 列，并规定如下运算法则：（求和符号∑nj j j 21表示对n 个元素的所有排列n j j j 21的求和。
横为行——row ，纵为列——column ，简记为r 和c ）∑-=nn n j j j nj j j j j j nnn n n na a a a a a a a a a a a21212121)(212222111211)1(σ称为n 阶行列式，简记作)det(ij a 。
利用对换性质，行列式也可以如下定义：（行列式按任一行/列展开，其值都相等）∑-=nn n i i i n i i i i i i ij a a a a 21212121)()1()det(σn （2≥n ）阶行列式的展开式中共有!n 项，其中每一项都是不同行不同列的n 个元素的乘积，在全部!n 项中，带正号的项和带负号的项各占一半。
特别地，当1=n 时，一阶行列式a 就是数a 。
在行列式中，nn a a a ,,,2211 所在的对角线称为主对角线，主对角线上的元素称为主对角元，另一条对角线称为副对角线。
3. n 阶行列式的性质： 性质一：行列式与它的转置行列式相等。
湖北汽车工业学院线性代数答案 行列式的定义
线性代数习题册解答·第一章 行列式1 行列式的定义一、 填空题 1．在行列式44⨯ij a 中，项44322113a a a a 和项42142331a a a a 的符号分别为 +和 - .2．行列式44⨯ija 中含有因子2311a a 的项是 44322311a a a a -和 42342311a a a a .二、 决定i 与j ，使9761245j i 成（1）奇排列；（2）偶排列. 解: 要9761245j i 为 (1) 奇排列, 则 3 , 8==j i ; (2) 偶排列, 则8 , 3==j i .三、 求下列行列式的值:1．32121-3412解: 原式.78942426=--+++-=2．ba c a cbc b a解: 原式.3333333c b a abc a b c cab bac acb ---=---++=3.1112222b b a a b ab a + . 解:11202111222222222131b b a b ab b ab a b b a a b ab a c c c c ++-+=-+ .)(120)()(32232b a b b a b b a b b a c c -=---=-4. 1112222ωωωωωω, 其中231i+-=ω.解: 原式=)1( 0)1(2113236343364==-=+-=---++ωωωωωωωωω线性代数习题册解答·第一章 行列式四、 用行列式定义证明 0000000052514241323125242322211514131211==a a a a a a a a a a a a a a a a D . 证明:由定义,在D 中的项5432154321i i i i i a a a a a 中, ) (543i i i 为从 5 , 4 , 3 , 2 , 1这5个数中取3个数 的某一排列, 从而至少有一个元素取自 5 , 4 , 3中. 不妨设为3i , 则033=i a .从而 05432154321=i i i i i a a a a a .由定义,有.0543215432154321==∑i i i i i i i i i i a a a a aD五．用行列式定义计算 000 1000 0200 0010 D n n -=解: ∑-=nn n i i i i i i i i i a a a D 212121111)1(）（τ因为在第一行中除112=a 外, 其余均为零, 所以只有取21=i , 才会使n i i i a a a 11121 可能不为零在第二行中除223=a 外, 其余均为零, 所以只有取32=i , 才会使n i i i a a a 11121 可能不为零 依次类推,在第n 行中除n a n =1外, 其余均为零, 所以只有取1=n i , 才会使n i i i a a a 11121 可能不为零 于是, 有 !)1()1(2)1()1(112312312312123n n n a a a D n n n n n --=⋅-⋅⋅-=-=∑ ）（）（ττ六、在n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a f ---------=λλλλ212222111211)(（ij a 为常数）中,nλ的系数为多少？1-n λ的系数又为多少？解: 由定义,)(λf 应为取自不同行不同列元素乘积的代数和. 故含有nλ和1-n λ的项必来自于对角线上元素的乘积 (否则,λ的次数将不超过2-n ), 即)())((2211nn a a a ---λλλ故nλ的系数为1; 1-n λ的系数为 ).(2211nn a a a +++-。
线性代数行列式基本概念
目录目录 (1)一、行列式 (2)见ppt。
(2)二、矩阵特征值 (2)三、正定矩阵 (2)四、幺模矩阵 (3)五、顺序主子阵 (4)六、正定二次型 (6)七、矩阵的秩 (6)八、初等变换（elementary transformation） (7)一、行列式见ppt。
二、矩阵特征值设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
求矩阵特征值的方法Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。
|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。
|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。
如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。
三、正定矩阵设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。
行列式的定义是什么
行列式的定义是什么行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。
行列式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于行列式的定义，欢迎大家前来阅读!行列式的定义一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义：其中s g n(σ)是排列σ的符号差。
对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线(左上至右下)元素的乘积减去副对角线(右上至左下)元素的乘积(见图中红线和蓝线)。
2阶： 3阶：。
但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n!项，并不是这样的形式。
二维向量组的行列式行列式是向量形成的平行四边形的面积设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。
两个向量 X和X’的行列式是：经计算可知，行列式表示的是向量 X和X ’形成的平行四边形的有向面积。
并有如下性质：行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。
如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量X和X’逆时针排列(如图)。
行列式是一个双线性映射。
三维向量组的行列式设E是一个三维的有向欧几里得空间。
三个三维向量的行列式是：这时的行列式表示 X、X’和X’’三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。
同样的，可以观察到如下性质：行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。
这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有，对第二、第三个向量也是如此。
基底选择在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。
这并不是说平行六面体的体积不唯一。
恰恰相反，基底变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底变换对“体积”的影响。
可以证明，对于所有同定向的标准正交基底，向量组的行列式的值是一样的。
也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基底之下，平行六面体的体积是唯一的。
行列式的定义、排列
由 x 2 5 x 0 解得
x 2 或 x 3.
例4
解线性方程组 x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3
解
由于方程组的系数行列式
1 D 2 1
Pn的计算公式
举例
Pnn(n1)(n2) 321n!
由a b c组成的所有排列为abc acb bac bca cab cba abb是排列吗?
22 2018/1/4
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准 排列的次序不同 就说这两个元素构成一个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 记作 提示 以下我们只讨论n个自然数的全排列
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成 3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
关于行列式的一般定义和计算方法
n
aaa
1n2n3n
0
n
(1)D
n
当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn= 0.
3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元
素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3计算n阶行列式
abbb
babb
Dbbab
bbba
解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，
nn11
6．利用范德蒙行列式
例6计算行列式
111
x1x1xn1
12
222
Dxxxxxx
1122nn
n1n2n1n2n1n2
xxxxxx
1122nn
解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以
此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式
111
xxx
12n
222
Dxxx(xx)
ik）
推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行
列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行
列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列
式值等于零。
a
11
a
12
a
1n
a
11
a
12
a
1n
kakakakaaa
100x
1
n
a
j1
j
x
aaa
12
n
0x00
00x0
000x
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线性代数习题册解答·第一章 行列式
1 行列式的定义
一、 填空题 1．在行列式4
4⨯ij a 中，项44322113a a a a 和项42142331a a a a 的符号分别为 +和 - .
2．行列式4
4⨯ij
a 中含有因子2311a a 的项是 44322311a a a a -和 42342311a a a a .
二、 决定i 与j ，使9761245j i 成（1）奇排列；
（2）偶排列. 解: 要9761245j i 为 (1) 奇排列, 则 3 , 8==j i ; (2) 偶排列, 则8 , 3==j i .
三、 求下列行列式的值:
1．3
2121-3412
解: 原式.78942426=--+++-=
2．b
a c a c
b
c b a
解: 原式.33
3
3
3
3
3
c b a abc a b c cab bac acb ---=---++=
3.
1112222
b b a a b ab a + . 解:
1
1
20211
1
2222
2222
213
1b b a b ab b ab a b b a a b ab a c c c c ++-+=
-+ .)(1
20)()(32
2
3
2b a b b a b b a b b a c c -=---=
-
4. 1
1
1
2
22
2
ωωωω
ωω
, 其中2
31i
+-=ω.
解: 原式=)1( 0)1(2113
2
36
3
4
3
3
6
4
==-=+-=---++ωωωωωωωωω
线性代数习题册解答·第一章 行列式
四、 用行列式定义证明 00
00000052
51
4241
3231
25
24232221
15
14131211
==a a a a a a a a a a a a a a a a D . 证明:由定义,在D 中的项5432154321i i i i i a a a a a 中, ) (543i i i 为从 5 , 4 , 3 , 2 , 1这5个数中取3个数 的某一排列, 从而至少有一个元素取自 5 , 4 , 3中. 不妨设为3i , 则033=i a .从而 05432154321=i i i i i a a a a a .由定义,有
.05
43215432
154321==
∑i i i i i i i i i i a a a a a
D
五．用行列式定义计算 0
00 1000 0
200 0010 D n n -=
解: ∑-=
n
n n i i i i i i i i i a a a D 212121111)1(）
（τ
因为在第一行中除112=a 外, 其余均为零, 所以只有取21=i , 才会使n i i i a a a 11121 可能不为零
在第二行中除223=a 外, 其余均为零, 所以只有取32=i , 才会使n i i i a a a 11121 可能不为零 依次类推,
在第n 行中除n a n =1外, 其余均为零, 所以只有取1=n i , 才会使n i i i a a a 11121 可能不为零 于是, 有 !)1()1(2)1()1(11231
2312312123n n n a a a D n n n n n --=⋅-⋅⋅-=-=∑ ）（）
（ττ
六、在n 阶行列式nn
n n n
n a a a a a a a a a f ---------=
λλλλ
21
22221
112
11
)(（ij a 为常数）中,n
λ的系数为多少？
1
-n λ
的系数又为多少？
解: 由定义,)(λf 应为取自不同行不同列元素乘积的代数和. 故含有n
λ和1
-n λ的项必来自于对角
线上元素的乘积 (否则,λ的次数将不超过2-n ), 即
)())((2211nn a a a ---λλλ
故n
λ的系数为1; 1
-n λ的系数为 ).(2211nn a a a +++-。