2021新高考数学新课程一轮复习课件：第八章第6讲双曲线

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高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线课件

(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的
轨迹是双曲线．( )
(2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(
)
第八章平面解析几何
第六节双曲线
[考试要求] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.理解数形结合思想. 4.了解双曲线的简单应用．
01
走进教材·夯实基础
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的
轨迹是双曲线．( )
(2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(
)
(3)双曲线mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝
(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S△PF1F2＝b2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
()
1234
A [设所求的双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由椭圆x42＋y32 ＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－y32＝1.]

2021版新高考数学一轮复习讲义：第八章第六讲双曲线 (含解析)

第六讲双曲线ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__顶点坐标：A1__(0，－a)__，A2__(0，a)__ 渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的__实轴__，它的长|A1A2|＝__2a__；线段B1B2叫做双曲线的__虚轴__，它的长|B1B2|＝__2b__；__a__叫做双曲线的__实半轴长__，b叫做双曲线的__虚半轴长__a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)重要结论双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b ．(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a(通径)．过双曲线的交点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为2b 2a ；与两支相交所得弦长的最小值为2a ．(4)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |．(5)双曲线的离心率公式可表示为e ＝1＋b 2a 2．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线B ．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线C ．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2D ．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)题组二走进教材2．(必修2P 61T1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( A )A ． 5B ．5C ． 2D ．2[解析] 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b 2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝5．3．(必修2P 61A 组T3)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析] 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.题组三考题再现4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x[解析] 由题意e ＝ca＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A ．5．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1[解析] 椭圆x 212＋y 23＝1的一焦点为(3,0)，∴双曲线C 中有c ＝3，且焦点在x 轴上，又b a ＝52，且c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＝4，b 2＝5，∴C的方程为x 24－y 25＝1，故选B ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一双曲线的定义及其应用——自主练透例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( B )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)(2020·河南洛阳统考)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为__9__．[解析](1)如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点， ∴|MF 2|＝2．∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图形可知，当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9．名师点拨 ☞(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．〔变式训练1〕(1)在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足条件sin B －sin C ＝12sin A 时，则点A 的轨迹方程为 x 24－y 212＝1(x >2) ．(2)(2019·西安模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( B )A ．52 B ．102C ．152D ． 5[解析] (1)设A 的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC |2R －|AB |2R ＝12 |BC |2R .又∵|BC |＝8，∴|AC |－|AB |＝4，因此A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a ＝4,2c ＝8，即a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝12.所以所求A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x >2)．(2)因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，故10a 2＝4c 2，即e ＝c a ＝102.故选B ．考点二双曲线的标准方程——师生共研例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线x 2－4y 2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (2)渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． [解析] (1)设所求双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，将(2,2)的坐标代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12． ∴所求双曲线方程为y 23－x 212＝1．(2)设所求双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2λ＝1，∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；。

9.6双曲线-2021届高三数学(新高考)一轮复习PPT教学课件(34页)

(2)若双曲线经过点(3， 2)，且渐近线方程是 y＝±13x，则双曲线的标准方程是________．
答案：y2－x92＝1 解析：设双曲线的方程是 y2－x92＝λ(λ≠0)，因为双曲线过点(3， 2)，所以 λ＝2－99＝1.故双曲线的标准方程为 y2－x92＝1.
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线的方程为 y＝±bax，由题意可得ab＝tan3π＝ 3，a＝ 3b，可得 c＝2 3 3a，则
e＝2
3
3.综上可得
e＝2
或
e＝2
3
3 .
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答案：D 解析：动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，有四种情况：①动圆 M 与两圆都外切；②动圆 M 与两圆都内切；③动圆 M 与圆 C1 外切、与圆 C2 内切；④动圆 M 与圆 C1 内切、与圆 C2 外切．在①②情况下，动圆圆心 M 的轨迹方程为 x＝0；在③的情况下，设动圆 M 的半径为 r，则|MC1|＝r＋ 2，|MC2|＝r－ 2.故得|MC1|－|MC2|＝2 2；在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝2 2.由③④得|MC1|－|MC2|＝±2 2.已知|C1C2|＝8，根据双曲线定义，可知点 M 的轨迹是以 C1(－4,0)，C2(4,0) 为焦点的双曲线，且 a＝ 2，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为x22－1y42 ＝1，故选 D.

高三数学人教A数学(理)高考一轮复习课件：第八章第六节双曲线

栏目导引
第十二章
选考部分
知识点二
易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对 a，b 的要求只是 a>0，
知识点一
b>0 易误认为与椭圆标准方程中 a，b 的要求相同．若 a>b>0，则双曲线的离心率 e∈(1， 2)；若 a＝b>0，则双曲线的离心率 e＝ 2；若 0<a<b，则双曲线的离心率 e> 2. (2)注意区分双曲线与椭圆中的 a，b，c 的大小关系：在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2. (3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在 x b a 轴上，渐近线斜率为±a，当焦点在 y 轴上，渐近线斜率为±b.
知识点二
6 5 A．2 B. C. D．1 2 2
栏目导引
第十二章
选考部分
知识点二
试题
解析
知识点一
x2 y2 4．已知 F 是双曲线 2－ 2＝ 3a a 1(a>0)的右焦点， O 为坐标原点，设 P 是双曲线 C 上一点，则∠
3 ∵两条渐近线 y＝± x 的倾 3 斜角分别为 30° ，150° ， ∴ 0≤ ∠ POF<30°或 150° < ∠POF≤180° ，故选 C.
知识点二
F1，F2 _____________＝ ||MF1|－|MF2|| 2a 2a<|F1F2|
线
栏目导引
第十二章
选考部分
知识点一
知识点一
易误提醒双曲线的定义中易忽视 2a<|F1F2|这一条件．若 2a＝|F1F2|，则轨迹是以 F1，F2 为端点的两条
知识点二
射线；若 2a>|F1F2|则轨迹不存在．

高三数学第一轮复习双曲线 PPT

利用两圆内、外切得充要条件找出M 点思满维足启得迪几何条件,结合双曲线定义求解、
解设动圆M得半径为r,
则由已知|MC1|=r+ ,
|MC2|=r- ,
2
∴|MC1|-|MC22|=2 、
又C1(-4,0),C2(4,0),
2
∴|C1C2|=8,∴2 ＜|C1C2|、
根据双曲线定义知,点M得轨迹就是以C1(-4,0)、
94
49
(3)由(2)所设方程
可得ba
2 3
或ba
2 3
,
2a 6 2a 6
故解所得求双ba曲线23方或程为ba
3 9. 2
x2 y2 1或 y2 4x2 1.
94
9 81
探究提高待定系数法就是求曲线方程最常用得方法之一、
(1)与双曲线有共同渐近线得双曲
线方程可表示为
x2 a2
2∵e=
y
2
,∴e2=
1
∴4 6
6
2
、即x2 y2 1
4
3 2
故1B0选项ac正22确、23
.
a2 b2 a2
3 2
.
b a
2 2
1. 2
5、若m＞0,点
P
线左焦点得距离为
m在, 52双、曲线
x2 上,y则2 点 P1到该双曲 45 13
2
解析
在双曲线
上,且m＞0,
代入双P曲 m线,方52 程解得m=3,双x42曲线y52左焦1 点F1(-3,0),
13 PF1 2 PF2 2 F1 F2 2 2 PF1 PF2
102 42 (2 13)2 4.
210 4
5
探究提高在研究双曲线得性质时,实半轴、虚

2024届高考数学一轮复习第8章第6节双曲线课件

第八章平面解析几何
第六节双曲线
考试要求：1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．了解双曲线的简单几何性质．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差___的_绝__对__值___等于非零常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的_焦__点__，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦__距__．
焦点三角形，其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边． (1)在椭圆中， ①焦点三角形的周长是定值，l＝2a＋2c. ②△PF1F2中三边的关系，除定义|PF1|＋|PF2|＝2a外，还有余弦
定理： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos θ. ③|PF1|·|PF2|的最大值为a2(当且仅当x0＝0时取得)，最小值为
图2
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解． C 解析：如图，作PM⊥AF于点M，
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式． 2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式．本题的解答体现了数学运算的核心素养． 3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0， c>0. (1)当a<c时，点P的轨迹是双曲线． (2)当a＝c时，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线． (3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质

高考数学大一轮复习第八章第6节双曲线课件

【答案】 A
6．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知双曲线ax22－y32＝1(a>0)的离
心率为 2，则 a＝( )
A．2
B.
6 2
5 C. 2
D．1
【答案】 D
考向一 [147] 双曲线的定义及应用
(1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右
焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴：坐标轴
对称性
对称中心：原点
y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴对称中心：原点
性顶点顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
【尝试解答】椭圆 D 的两个焦点为 F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c＝5.
设双曲线 G 的方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)， ∴渐近线方程为 bx±ay＝0 且 a2＋b2＝25. 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r＝3， ∴ b|52＋a| a2＝3，得 a＝3，b＝4. ∴双曲线 G 的方程为x92－1y62 ＝1.
【答案】 C
3．设 P 是双曲线1x62 －2y02 ＝1 上一点，F1，F2 分别是双曲
线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1
B．17
C．1 或 17

一轮复习双曲线ppt(共47张PPT)

3．(2009年全国Ⅰ高考)设双曲线
(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的那一支．
顶顶点(坐a,0)标，
点 A1
，A2
y≤－a或y≥a
坐标轴
对称轴：原点对称中心：
(0，－a)
顶点坐标：A1 (0，a) ， A2
渐近线
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|2Aa 1A2|＝；线段B1B2叫做双曲
2b
线的虚轴，它的长|B1B2|＝；a 叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲
线的虚半轴长. a、b、
3．等轴双曲线实轴和虚等轴长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
离心率e＝，渐近线方程为
.
y＝±x
A．k＞5
B．2＜k＜5
C．－2＜k＜2 D．－2＜k＜2或k＞5
【解析】由题意知(|k|－2)(5－k)＜0，
解得－2＜k＜2或k＞5.
【答案】 D
课时作业
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(a＞0，b＞0)
(2)可根据(1)中k的范围及|AB|＝6 求出k的值，得到直线AB的方程，再求m的值及C点的坐标，从而可得△ABC的面积．
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线．
1．将本例中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2＋y2＝2一个内切、一个外切，那么动圆圆心M的轨迹方程如何？

高三一轮总复习文科数学课件8-6双曲线

26
求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的值．与双曲线ax22－by22＝1 有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为ax22－by22＝λ(λ≠0)． (2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值.
一点，A(0,6 6)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．
28
【解析】 (1)如图，内切圆圆心 M 到各边的距离分别为 MA，MB，MC，切点分别为 A，B，C，由三角形的内切圆的性质有|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|， ∴|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，∴|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.
又双曲线的一个焦点为( 5，0)，所以 a2＋b2＝5.② 由①②得 a＝1，b＝2.
答案：1 2
18
3
考点疑难突破
19
求双曲线的标准方程
[题组训练]
1．(2016 年天津卷)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦距为 2 5，且双曲线的
一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂直，则双曲线的方程为( )
31
[自主演练]
1．已知双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点．若|PF1|
＝43|PF2|，则△F1PF2 的面积为(
)
A．48
B．24
C．12
D．6
32
解析：由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1| ＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形，

高三数学复习课件第6节双曲线

索引
3.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2
＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( A)
7 A. 2
13 B. 2
C. 7
D. 13
解析设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝ m2＋9m2－2·3m·m·cos 60°＝ 7m，
索引
5.(易错题)双曲线x92－1y62 ＝1 上一点 P 到焦点 F1(－5，0)的距离为 7，则点 P 到焦
点 F2(5，0)的距离为___1_3____.
解析在双曲线x92－1y62 ＝1 中，a＝3，由题意得|PF1|＝7，由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|7－|PF2||＝6，解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.
索引
感悟提升
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
索引
训练1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1 及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_____x_2－__y_82_＝__1_(_x_≤__－__1.) 解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1| ＝|BC2|－|AC1|＝2，
索引
若 2＜t＜3，则 0＜3－t＜t－1，故方程3x－2 t＋t－y21＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆；若 1＜t＜2，则 0＜t－1＜3－t，故方程3x－2 t＋t－y21＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆；若 t＝2，则方程3x－2 t＋t－y21＝1，即为 x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选 AD.

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第8章 §8.6 双曲线

是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
教材改编题
1.已知曲线 C 的方程为k＋x21＋5－y2 k＝1(k∈R)，若曲线 C 是焦点在 y 轴上
(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等
边三角形，则双曲线的标准方程为
A.x42－1y22 ＝1 C.x32－y2＝1
B.1x22 －y42＝1
√D.x2－y32＝1
性质
对称性顶点
轴
对称轴：_坐__标__轴__；对称中心：_原__点___
_A__1(_－__a_,0_)_，__A_2_(_a_,0_)_
_A_1_(_0_，__－__a_)，__A_2_(_0_，__a_)_
实轴：线段__A_1_A_2__，长：__2_a_；虚轴：线段B1B2，
长：__2_b__，实半轴长：_a__，虚半轴长：_b__
4.若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲线
的左、右焦点，则 S△
＝
PF1F2
b2θ，其中 θ 为∠F1PF2.
tan 2
常用结论
5.与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为ax22－by22 ＝t(t≠0).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹

新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6节双曲线课件新人教B版

y＝±abx
e＝ac，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a2＋b2
性实虚轴
质
a，b，c 的关系
实轴|A1A2|＝_2_a__；虚轴|B1B2|＝_2_b__；半实轴长为_a_，半虚轴长为_b_
c2＝_a_2_＋__b_2_ (c>a>0，c>b>0)
3.常用结论 (1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2ab2，也叫通径． (2)与双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)有共同的渐近线的方程可表示为 ax22－by22＝λ(λ≠0)． (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b. (4)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
二、基本技能·思想·活动体验 1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)平面内到点 F1(0,2)，F2(0，－2)距离之差的绝对值等于 4 的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 y 轴上的双曲线．( × )
12345
(3)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝ 0，即mx ±ny＝0.( √ )
12345
5．已知双曲线 x2－1y62 ＝1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 4，那么点 P 到另一个焦点的距离等于________．
6 解析：设双曲线的焦点为 F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6 或 2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 c－a＝ 17－ 1，故|PF2|＝6.
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.

高考数学一轮复习第八章平面解析几何第6讲双曲线课件文

12/13/2021
第二十七页，共四十页。
【解】 (1)证明：设 P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是 x－2y＝0 和 x＋2y＝0.
点 P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是|x1－52y1|和|x1＋52y1|，
它们的乘积是|x1－2y1|·|x1＋2y1|＝|x21－4y12|＝4，
12/13/2021
第十九页，共四十页。
双曲线的几何性质(高频考点) (1)已知双曲线 E：xa22－by22＝1(a>0，b>0)．矩形 ABCD
的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且
2AB＝3BC，则 E 的离心率是_____2_______．
(2)(2017·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy
(2)等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两
条渐近线互相垂直(位置关系)．
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第十页，共四十页。
1．已知双曲线 C：xa22－by22＝1 的焦距为 10，点 P(2，1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为____2x_02_－__y52_＝__1_____． [解析] 由已知可得双曲线的焦距 2c＝10，a2＋b2＝52＝25，又由一条渐近线方程为 y＝bax＝12x，得12＝ba，解得 a2＝20， b2＝5，故双曲线 C 的方程为2x02－y52＝1.
12/13/2021
第十八页，共四十页。
[解析] 由题意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－ 2a，要求 AP＋AF2 的最小值，只需求 AP＋AF1 的最小值，当 A，P，F1 三点共线时，取得最小值，则 AP＋AF1＝PF1＝ 37，所以(AP＋AF2)min＝AP＋AF1－ 2a＝ 37－2 5.

2021年高考数学复习精选课件第六节双曲线

= ,所以a2 =b2,所以c2 =2a2,所以双曲线的离心率为 ,应选A.
| 2b |
2
2
a2 b2
栏目索引
6.设中|心在原点的双曲线与椭圆 x2 +y2 =1有公共的焦点,且它们的离心
率互为倒数,那么该双曲线的方程2是
.
答案 2x2 -2y2 =1
解析 ∵椭圆的焦点为(±1,0),∴双曲线的焦点为(±1,0).∵椭圆的离心
D.(- 2,60=,)10,
3
∴a2 =1,b2 = ,∴c2 =a2 +b2x=2 y2,∴右焦点坐标为 .
11
2
1
3
2
2
6 2
,
0
栏目索引
3.假设双曲线Ex2: y2- =1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且 |PF1| =3,那么|P9F21|等6 于 ( ) A.11 B.9 C.5 D.3 答案 B |PF1| =3<a +c =8,故点P在双曲线的左支上,由双曲线的定义得 |PF2| -|PF1| =2a =6,所以|PF2| =9,应选B.
7 4
(2)由题易得椭圆焦ac点2为7 (± ,0),离心率为 ,
∴在双曲线中x2 有y2 a2 +b2 =7且e = = , 结合a2 +b2 =4c23解得a2 =4,b2 =3,
∴双曲线的方程为 - =1.
栏目索引
方法技巧 (1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即 "到两定点(焦点)的间隔之差的绝|对值为一个常数,且该常数必须小于两定点间的间隔〞.假设去掉定义中的 "绝|对值〞,那么点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用. (2)求双曲线方程时,一是注意标准形式的判断;二是注意a、b、c的关系.

2024届新高考一轮总复习人教版第八章第6节双曲线课件(48张)

2．已知双曲线a＋x2 4－a－y2 4＝1(a>4)的实轴长是虚轴长的 3 倍，则实数 a＝(
)
A．5
B．6
C．8
D．9
解析：由双曲线a＋x2 4－a－y2 4＝1(a>4)的实轴长是虚轴长的 3 倍，
可得 a＋4＝3 a－4，可得 a＋4＝9(a－4)，解得 a＝5.
答案：A
3．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线 l：x＋2y＋5＝0，则双
第八章平面解析几何
[课标解读] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.了解双曲线的简单应用．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识 1．双曲线的定义平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的_差__的__绝__对__值___等于非零常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫双曲线．这两个_定__点___叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．其数学表达式：集合 P＝{M||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0， c>0： (1)若__a_<_c__，则集合 P 为双曲线； (2)若 a＝c，则集合 P 为_两__条__射__线___； (3)若__a_>_c__，则集合 P 为空集．
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0) A1(0，－a)，A2(0，a)
几何性质
渐近线离心率 a，b，c 的关系
实虚轴
bHale Waihona Puke y＝__±_a_x__a y＝__±_b_x__
e＝ac，e∈_(_1_，__＋__∞__)__

高考数学第八章第6讲-课件

x，所以ba＝
π tan ＝
6
3，所以 3
a＝
3b，c＝
a2＋b2＝2b，故
双曲线
C
的离心率
e＝ca＝
2b ＝2 3. 3b 3
栏目导引
第八章平面解析几何
4．(2015·高考北京卷)已知(2，0)是双曲线 x2－yb22＝1(b＞0) 的一个焦点，则 b＝____3____．解析：由题意得，双曲线的焦点在 x 轴上，且 c＝2.根据双曲线的标准方程，可知 a2＝1.又 c2＝a2＋b2，所以 b2＝3.又 b>0，所以 b＝ 3.
C.
栏目导引
第八章平面解析几何
2．(2015·高考广东卷)已知双曲线 C：xa22－yb22＝1 的离心率
e＝5，且其右焦点为 4
F2(5，0)，则双曲线
C
的方程为(
C
)
A. x2－y2 ＝ 1 43
B.x2－y2 ＝1 9 16
C. x2 －y2＝1 16 9
x2 D.
－y2＝
1
34
解析：因为 e＝ca＝54，F2(5，0)，所以 c＝5，所以 a＝4，b2 ＝c2－a2＝9，所以双曲线 C 的标准方程为x2 －y2＝1.
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2| ＝2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线
的半虚轴长
a、b、c 的关系
c2 ＝ _a_2_＋__b_2__(c＞ a＞ 0， c＞ b＞ 0)
栏目导引
第八章平面解析几何
1．辨明三个易误点 (1)双曲线的定义中易忽视 2a＜|F1F2|这一条件．若 2a＝ |F1F2|，则轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线，若 2a＞|F1F2|，则轨迹不存在． (2)区分双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2. (3)双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0， 1)．