2021年高三数学第一次诊断性考试试题 文

2021年高三数学第一次诊断性考试试题文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，，则
(A){ x|－1≤x＜2} (B){ x|－1＜x≤2}
(C){ x|－2≤x＜3} (D){ x|－2＜x≤2}
2．在复平面内，复数3－4i，i(2＋i)对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为
(A)－2＋2i (B) 2－2i (C)－1＋i (D) 1－i
3．已知a，bR，下列命题正确的是
(A)若，则(B)若，则
(C)若，则(D)若，则
4．已知向量，，，则
(A) A、B、C三点共线(B) A、B、D三点共线
(C) A、C、D三点共线(D) B、C、D三点共线
5．已知命题p R，．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
6．将函数的图象向右平移()个单位，所得图象关于原点O对称，则的最小值为(A) (B)
(C) (D)
7．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为
(A) (B)
(C) (D)
8．若执行右面的程序框图，输出S的值为
(A)
(B)
(C)3
(D)2
9．已知函数，，则下列不等式正确的是
(A)x1＞x2 (B) x1＜x2 (C) x1＋x2＜0 (D) x1＋x2＞0 10．已知，函数，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数的定义域为___________．
12．已知向量a＝(2, 1)，b＝(0,－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝．13．已知点A是不等式组所表示的平面区域内的一个动点，点，O为坐标原点，则的取值范围是____________．
14. 若两个正实数x，y满足，则的最小值为________．
15．已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x 成立，则称f(x)是回旋函数，其回旋值为t．给出下列四个命题：
①函数为回旋函数的充要条件是回旋值t＝－1；
②若(a>0，且a≠1)为回旋函数，则回旋值t＞1；
③若为回旋函数，则其最小正周期不大于2；
④对任意一个回旋值为t(t≥0)的回旋函数f(x)，方程均有实数根．
其中为真命题的是__________．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）
在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列．
(Ⅰ) 求等比数列的通项公式；
(Ⅱ) 若数列满足，求数列的前n项和的最大值.
17.（本小题满分12分）
已知向量m，n，，且m·n＝5．
(Ⅰ) 求|m＋n|；
(Ⅱ) 设向量m与n的夹角为β，求的值．
18.（本小题满分12分）
已知函数在点处的切线方程是，其中e是自然对数的底数．
(Ⅰ) 求实数a、b的值；
(Ⅱ) 求函数的极值．
19.（本小题满分12分）
已知函数()在区间上的值域为．
(Ⅰ) 求函数的单调递增区间；
(Ⅱ) 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，△ABC的面积为，求边长a的值．
20.（本小题满分13分）
已知数列的前n项和为，，．
(Ⅰ) 求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(Ⅱ) 设数列的前n项和为，，点在直线上，在(Ⅰ)的条件下，若不等式对于恒成立，求实数t的取值范围．
21.（本小题满分14分）
设函数（a∈R）．
(Ⅰ) 求函数的单调区间；
(Ⅱ) 设，若对于任意给定的，方程在内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）
资阳市高中xx级第一次诊断性考试
（数学学科）参考答案及评分意见（文史类）
一、选择题：BDDBA，CACDA．
二、填空题：11. ；12. 5；13. ；14. 8；15. ①③④.
三、解答题：共6大题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. (Ⅰ)设数列的公比为q，
因为，，成等差数列，所以，则，
所以，解得或(舍去)， 4分
又，所以数列的通项公式．6分
(Ⅱ) ，8分
则，，故数列是首项为9，公差为－2的等差数列，
所以， 10分
所以当时，的最大值为25．12分
17. (Ⅰ)由m·n，解得， 2分
因为，所以，． 4分
则，，所以m＋n，
所以|m＋n|．6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，则，8分
，所以，10分
所以． 12分
18. (Ⅰ) 由，得，
因为函数在点处的切线方程是，
所以即
解得，．6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，8分
令，得或．
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，极大值＝；当时，函数取得极小值，极小值＝．12分
19. (Ⅰ)
，3分
当时，，则．
由，则解得，，所以，5分
由()，
故函数的单调递增区间是，．7分
(Ⅱ)由，即，所以．8分
因为，所以，则， 9分
又△ABC 面积为, 所以，即， 10分 所以，，则，所以． 12分 20. (Ⅰ)由，得()， 两式相减得，即， 2分 所以()， 4分
又，，则，所以对任意成立，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列． 所以，数列的通项公式． 6分
(Ⅱ)因为点在直线上，所以，故是以为首项，为公差的等差数列，则，所以， 当时，，满足该式，所以． 8分 不等式，即为， 令，则，两式相减得
231111112
(1)122222
222n n n n n n R -+-=++++
+
-=-，所以． 10分
所以． 11分
由恒成立，即，解得或． 13分 21. (Ⅰ) ， 1分
由，得，该方程的判别式△＝，
可知方程有两个实数根，又，故取，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
则函数的单调递增区间是；递减区间是．4分
（Ⅱ），当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，知函数在区间上的极大值为，也为该区间上的最大值，于是函数在区间的值域为．6分
令，则，
由，结合(Ⅰ)可知，方程在上有一个实数根，若，则在上单调递增，不合题意，可知在有唯一的解，且在上单调递增；在上单调递减． 8分
因为，方程在内有两个不同的实数根，所以，且．10分
由，即，解得．
由，即，，
因为，所以，代入，得，
令，知函数在上单调递增，而，则，
所以，而在时单调递增，可得，
综上所述，实数a的取值范围是．14分z
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