苏科版-数学-八年级上册-平方根典型例题

典型例题：平方根

例1 说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联系．

解：（1）一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．

（2）一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数．

例2 如图，把12个边长为1cm 的正方形拼在一起．

（1）算出A 点到B.C.D.E.F 之间的长度．

（2）以图中A.B.C.D.E.F 中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？如果有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形．“

分析：利用勾股定理可以算出A 点与C.D.E.F 各点的距离．（2）找到某一点到另外两个点的距离相等，就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形． 解 ：（1）3=AB cm ．17142

2=+=AC cm ． 5254202422=⨯==+=AD cm ．

5253422==+=AE cm ．

133222=+=AF cm ．

（2）图中BEF CEF ∆∆,是等腰三角形，因为2==EF EC cm ，因此CEF ∆是等腰三角形．

又因为

101322=+==BF BE cm ，因此BEF ∆是等腰三角形． 例3 在直角三角形ABC 中，b a 、是两条直角边，c 为斜边，若46.13,23.9==b a ，求c 的长（精确到0．01）．

分析：根据勾股定理2

22c b a =+，代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出c 的值． 解：222c b a =+ ，且46.13,23.9==b a ， ∴32.163645.26646.1323.92

222≈=+=+=b a c ．

例4 求下列各数的平方根．

（1）9 （2）4922

3

（3）0．81 解：（1）∵

9)3(2=± ∴9的平方根是3±，即39±=±．

（2）∵4916949223

=，49169)713(2=±， ∴49169的平方根是713±，即

.71349223±=± （3）∵

81.0)9.0(2=± ∴0．81的平方根是9.0±，即9.081.0±=±．

说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根．

②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．

③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．

例5 求下列各数的平方根和算术平方根．

（1）0.0064 （2）4922

（3）2)1312(1- （4）2)7(- 解答：（1）因为

0064.0)08.0(2=±，所以0.0064的平方根是08.0±算术平方根是0.08． （2）因为491004922

=，而49100)710(2=±，所以4922的平方根是710±，它的算术平方根是710

．

（3）因为1692513144169)1312(122=-=-，而16925)135(2=±，所以

2)1312(1-的平方根是135±，它的算术平方根是135

．

（4）因为49)7(2=-，而49)7(2=±，所以2)7(-的平方根是7±，它的算术平方根是7．

说明：本题考查求平方根和求算术平方根的方法．

因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．当被开方数是带分数时，应把带分数

化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求

它的平方根，不这样做，容易造成错误．例如，说2)7(-平方根是7-，就错了．

例6 求下列各式中的x ：

（1）02892=-x （2）81)1(2=+x ．

分析：根据平方根的定义，或22a x =，则)0(≥±=a a x ，其中（2）中)1(+x 看成一

个整体，先求出)1(+x 的值，再求x 的值．

解答：（1）∵ 02892=-x ，即2892

=x ．

∴ 17289±=±=x ．

（2）∵ 81)1(2=+x ， ∴ 9811±=±=+x ，

当91=+x 时，8=x ；

当91-=+x 时，10-=x ．

例7 已知0144252=-x ，且x 是正数，求代数式1352+x 的值．

分析：只要求出x 的值，代入代数式1352+x 就可以了，关键是解已知方程．

解答1：由0144252=-x 得251442=x ，∴512±=x ，又∵0>x ，∴

512=x ． 当512=

x 时，.1025213512521352==+⨯=+x

解答2：由0144252=-x ，得144252=x ，即

144)5(2=x ， ∴125=x ．把125=x 代入1352+x ，得.10252131221352==+=+x 例8 如果031=+++-++z y x y x ，求z y x ,,的值．

分析：已知条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解．

解答： ∵ 0,03,01≥++≥-≥+z y x y x

∴

031≥+++-++z y x y x ∵031=+++-++z y x y x

∴应有⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+,00

301z y x y x

解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.23

1z y x

说明：求解本题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，如果若干个非负数的和为零，则每个非负数都必须为零．

例9 选择题：下列命题中真命的个数是（ ）．

（1）;2.04.0= （2）;4316

9±= （3）22-的平方根是2-； （4）2)3(-的算术平方根是3-；

（5）57±是25241

的平方根； （6）0的平方根是0，0没有算术平方根； （7）21的算术平方根是41

．

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义．

（1）

4.004.0)2.0(2≠= 2.0∴不是4.0的算术平方根．

故（1）是假命题．

（2）题中169

是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以（2）也是假命题．

（3）题中422

-=-，由平方根性质：负数没有平方根． 所以（3）也是假命题．

（4）中2)3(-的算术平方根应是正数，而3-是个负数，不符合算术平方根的定义． 故（4）也是假命题．