2015年高二数学学业水平考试复习学案(1318)立体几何
高中学业水平测试数学复习学案 第15课时空间几何体概念及三视图
学业水平测试数学复习学案第15课时 空间几何体概念及三视图一．知识梳理1、空间几何体的结构特征（1）直棱柱：指的是侧棱垂直于底面的棱柱，当底面是正多边形时，这样的直棱柱叫正棱柱； （2）正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥。
特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体；（3）平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱。
2、棱锥的几何性质（1）如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比（2）正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形3、三棱锥的顶点射影在底面位置4、旋转体的面积和体积公式6．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全=3a 2 (2)体积：V=122a 3 (3)内切球半径：r=126a (4)外接球半径 R=46a ；7、球的截面性质用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离d,球半径R ，截面半径r 有关系： r=22d -R .（4）球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 8、几何体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”注意虚、实线的区别 二．课前自测1、如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有 对.2.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( )A.1:2B.1:3C.1:4D.1:53.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ).4.2.3.6A B C D +++4、如图已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2A B B C C A ===，球的表面积是 。
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第八章 立体几何 8.3
§8.3直线、平面平行的判定与性质1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b 2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (×)(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. (√)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α. (×)(4)空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD. (√)(5)若α∥β，直线a∥α，则a∥β. (×)2.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交答案 B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的.3.下列命题中，错误的是()A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案 C解析由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确.对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面.4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.答案 2解析因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝12AC，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22，所以EF＝ 2.5.已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是________.答案②解析因为α∥β，a⊂α，所以a∥β，在平面β内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题②为真命题，命题①为假命题.在平面β内存在无数条直线与直线a垂直，故命题③为假命题.题型一直线与平面平行的判定与性质例1(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.思维启迪(1)利用等腰△EDB底边中线和高重合的性质证明；(2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行.证明(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.方法二如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因为∠AFB＝30°，所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点.连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.证明因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.题型二平面与平面平行的判定与性质例2如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.思维启迪要证四点共面，只需证GH∥BC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.题型三 平行关系的综合应用例3 如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和 CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪 利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面 形状，再建立目标函数求最值. 解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形.设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角).又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋yb ＝1，即y＝ba(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αa x (a －x ).∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b 2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大. 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD . 解 在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ， 连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD . ∴F 即为所求的点.又P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面P AB . ∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2. 设P A ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2，由PB ·BC ＝BE ·PC 得： a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝a 2－(63a )2＝33a ， ∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .立体几何中的探索性问题典例：(12分)如图，在四面体P ABC 中，PC ⊥AB ，P A ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ， AC ，BC ，PB 的中点. (1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体P ABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由. 思维启迪 (1)利用DE ∥PC 证明线面平行；(2)利用平行关系和已知PC⊥AB证明DE⊥DG；(3)Q应为EG中点.规范解答(1)证明因为D，E分别是AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，所以DE∥平面BCP. [3分] (2)证明因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形. [7分] (3)解存在点Q满足条件，理由如下：[8分]连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝12EG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝12EG，所以Q为满足条件的点.[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论.第二步：证明探求结论的正确性.第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.方法与技巧1.平行问题的转化关系线∥线判定性质线∥面判定性质面∥性质判定面2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.失误与防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A.a平行于α内的所有直线B.α内有无数条直线与a平行C.直线a上的点到平面α的距离相等D.α内存在无数条直线与a成90°角答案 A解析若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确.又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确.2.若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D3.已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A.a∥b，b⊂α，则a∥αB.a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC.a⊥α，b∥α，则a⊥bD.当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b答案 C解析A选项是易错项，由a∥b，b⊂α，也可能推出a⊂α；B中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；C正确；D中的直线a，b也可能异面.4.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A.BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形答案 B解析 如图，由题意得，EF ∥BD ， 且EF ＝15BD .HG ∥BD ，且HG ＝12BD .∴EF ∥HG ，且EF ≠HG . ∴四边形EFGH 是梯形.又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行. 故选B.5.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④答案 B解析 ①中易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B 可得出AB ∥平面MNP (如图). ④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP .二、填空题6.过三棱柱ABC —A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线有________条. 答案 6解析 如图，E 、F 、G 、H 分别是A 1C 1、B 1C 1、BC 、AC 的中点，则 与平面ABB 1A 1平行的直线有EF ，GH ，FG ，EH ，EG ，FH 共6条.7.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________. 答案223a 解析 ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a .8.在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的 为________. ①AC ⊥BD ； ②AC ∥截面PQMN ； ③AC ＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°. 答案 ③解析 ∵PQMN 是正方形， ∴MN ∥QP ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，则AC ∥截面PQMN ， 同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故①②正确.又∵BD ∥MQ ，∴异面直线PM 与BD 所成的角即为∠PMQ ＝45°，故④正确. 三、解答题9.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点.(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥E －BCD 的体积.(1)证明 取BC 中点G ，连接AG ，EG .因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1.由直棱柱知，AA 1綊BB 1，而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD ， 所以四边形EGAD 是平行四边形.所以ED ∥AG . 又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC .(2)解 因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE ， 所以V E －BCD ＝V D －BEC ＝V A －BCE ＝V E －ABC ， 由(1)知，DE ∥平面ABC .所以V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD ·12BC ·AG＝16×3×6×4＝12. 10.如图E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、 C 1D 1、AA 1的中点.求证： (1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ， 由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1. 如图，连接HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1.设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m ∥β且l 1∥αB.m ∥l 1且n ∥l 2C.m ∥β且n ∥βD.m ∥β且n ∥l 2答案 B解析 对于选项A ，不合题意；对于选项B ，由于l 1与l 2是相交直线，而且由l 1∥m 可得l 1∥α，同理可得l 2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l 1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B ；对于选项C ，由于m ，n 不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D ，由于n ∥l 2可转化为n ∥β，同选项C ，故不符合题意.综上选B. 2.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________. 答案 24或245解析 根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD 的长分别为245或24.3.空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行 于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是 ________. 答案 (8,10)解析 设DH DA ＝GHAC ＝k ，∴AH DA ＝EHBD＝1－k ，∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.又∵0<k<1，∴周长的范围为(8,10).4.平面α内有△ABC ，AB ＝5，BC ＝8，AC ＝7，梯形BCDE 的底DE ＝2， 过EB 的中点B 1的平面β∥α，若β分别交EA 、DC 于A 1、C 1，求△A 1B 1C 1 的面积. 解 ∵α∥β，∴A 1B 1∥AB ，B 1C 1∥BC ， 又因∠A 1B 1C 1与∠ABC 同向. ∴∠A 1B 1C 1＝∠ABC .又∵cos ∠ABC ＝52＋82－722×5×8＝12，∴∠ABC ＝60°＝∠A 1B 1C 1.又∵B 1为EB 的中点，∴B 1A 1是△EAB 的中位线， ∴B 1A 1＝12AB ＝52，同理知B 1C 1为梯形BCDE 的中位线， ∴B 1C 1＝12(BC ＋DE )＝5.则S △A 1B 1C 1＝12A 1B 1·B 1C 1·sin 60°＝12·52·5·32＝258 3. 故△A 1B 1C 1的面积为2583.5.如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点. (1)求三棱锥A —PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由.解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD . 又因ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD . 因PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ， 所以AD 是三棱锥A —PDE 的高. 因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，所以S△PDE＝12S△PDC＝12×⎝⎛⎭⎫12×4×4＝4.又AD＝2，所以V A—PDE＝13AD·S△PDE＝13×2×4＝83.(2)取AC中点M，连接EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM∥P A.又因为EM⊂平面EDM，P A⊄平面EDM，所以P A∥平面EDM.所以AM＝12AC＝ 5.即在AC边上存在一点M，使得P A∥平面EDM，AM的长为 5.。
2015年云南省普通高中学业水平考试
（2）不妨设 ，则 为等
腰直角三角形．
取 中点 ，连结 ，则 ．
又 平面 ，所以 ，而 ，
所以 面 ．
取 中点 ，连结 ，则 ．
连结 ，则 ．
故 为二面角 的平面角
．
所以二面角 的大小为 ．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 ．
设 ，则
，
．
取 的中点 ，则 ．
平面 平面 ，
所以 平面 ．
（1）求证AB⊥面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
证法一：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB
又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD
（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角
（1）求证：BC⊥平面A1AM；
（2）求两条异面直线AC与A1M所成角的余弦值。
答案：（1）因为 平面ABC,所以 .
又因为AB=AC，M为BC的中点，所以 .
又 ,所以BC⊥平面A1AM。…3分
（2）取AB的中点E，连接ME,因为M为BC的中点,所以ME .
所以异面直线AC与A1M所成角即为 .
易知
所以 ，所以异面直线AC与A1M所成角余弦值 。7分
5.（2005年高考数学全国卷Ⅲ试题）设三棱柱ABC-A1B1C1的体积是V，P.Q分别是侧棱1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（）
A. B. C. D.
6.（2005年高考数学全国卷Ⅲ试题）（本小题满分12分）四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
学业水平复习题(立体几何部分)
高二数学学业水平考试系列——立体几何部分一、选择题1．用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是( )A ．A ∈l ，l ∉αB ．A ∈l ，l ⊄αC ．A ⊂l ，l ⊂αD ．A ⊂l ，l ∈α2．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（ ）3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是( )A ．b ∥αB ．b 与α相交C ．b ⊂αD ．b ∥α或b 与α相交4、三凌锥P-ABC 的侧棱长相等，则点P 在底面的射影O 是△ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心5、下列三视图(依次为正视图、侧视图、俯视图)表示的几何体是（ ）A ．六棱柱B ．六棱锥C ．六棱台D ．六边形6、下列命题中错误的是：（ ） A ．如果βα⊥，那么α内一定存在直线平行于平面β B ．如果βα⊥，那么α内所有直线都垂直于平面βC ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果l =⋂⊥⊥βαγβγα,,，那么γ⊥l7、一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形'''A B O ，若''1O B =，那么原∆ABO 的面积是（ ）A ．12B ．22C 2D ． 228、若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ） A ．1:2:3 B ．2：3：4 C ．3:2:4 D ．3:1:29．高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )A 'B ' y 'x 'O '10、点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点， 若AC=BD ，且AC 与BD 成900角，则四边形EFGH 是（ ） A ．菱形 B ．梯形 C ．正方形 D ．空间四边形11、下列四个命题:①过三点确定一个平面 ②矩形是平面图形 ③四边相等的四边形是平面图形④三条直线两两相交则确定一个平面， ⑤三角形的平行投影只能得到三角形， 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是 ()A ．(80＋162)cm 2B ．84 cm 2C ．(96＋162)cm 2D ．96 cm 213．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60º角； ④EM 与BN 垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） A.①②③ B.②④ C. ②③④ D.③④14、已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是（）（1）m l ⊥⇒βα// （2）m l //⇒⊥βα （3）βα⊥⇒m l // （4）βα//⇒⊥m l A ．（1）与（2） B ．（3）与（4） C ．（2）与（4） D ．（1）与（3）15．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是 （ ）二、填空题：16. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 . 17．已知,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面：①a ∥c ,b ∥c ⇒a ∥b ； ②a ∥γ,b ∥γ⇒a ∥b ；③a ∥c ,c ∥α⇒a ∥α；EA FB CMN DFCB④a ∥γ,a ∥αα⇒∥γ；⑤a α⊄,b α⊂,a ∥b ⇒a ∥α.其中正确的命题是18．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是____和_______．18题图 20题图19、正方体1AC 中，F E 、分别是DC BC 、的中点，则异面直线EF AD 与1所成角的大小为 20、如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、、DD 2的中点,沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。
2015高考总复习数学(文)课件：13.1空间几何体的三视图和直观图
注意：(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底 面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正 多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正 多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正棱 锥叫做正多面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点 在底面的射影是底面正多边形的中心．
(2)(2013 年湖南)已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个 面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 2的矩形，则该正方 体的正视图的面积等于( 3 A. 2 B．1 ) 2＋1 C. 2 D. 2
解析：正方体的侧视图面积为 2，所以侧视图的底边长为 2.正视图和侧视图完全相同，所以面积也为 2.
侧 视图和______ 俯 视图一样宽． 样长，______
注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分 界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
4．用斜二测画法画水平放置的平面图形 (1)步骤：画轴、取点、成图．
(2)图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中仍平行于 x′轴
且长度保持不变，平行于 y 轴的线段，在直观图中仍平行于 y′ 轴且长度变为原来的一半，与坐标轴不平行的线段，可通过确 定端点的办法来解决． (3)画空间图形的直观图时，只需增加一个竖直的 z′轴， 图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z′轴且长度保 持不变．
直观图A′B′C′的面积为(
3 2 A. 4 a 3 2 B. 8 a
)
6 2 C. 8 a 6 2 D. 16 a
解析：如图 13-1-8(1)(2)所示的实际图形和直观图．
图13-1-8
1 3 由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝2OC＝ 4 a. 在图 1318(2)中作 C′D′⊥A′B′于 D′， 2 6 则 C′D′＝ 2 O′C′＝ 8 a. 1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′＝2A′B′·C′D′＝2× a× 8 a＝ 16 a .
高中数学 第一章 立体几何初步章末复习学案 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学学案
第一章立体几何初步章末复习学习目标 1.整合知识结构，形成知识网络、深化所学知识.2.会画几何体的直观图，并能计算几何体的表面积和体积.3.熟练掌握线线、线面、面面间的平行与垂直关系．1．空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．这三种几何体都是多面体．(2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．2．空间几何体的直观图斜二测画法为：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．3．几何体的表面积和体积的有关计算(1)常见几何体的侧面积和体积的计算公式面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrl V＝13Sh＝13πr2h ＝13πr2l2－r2圆台S 侧＝π(r 1＋r 2)lV ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h＝13πh (r 21＋r 22＋r 1r 2) 直棱柱 S 侧＝ch V ＝Sh 正棱锥S 侧＝12ch ′ V ＝13Sh正棱台S 侧＝12(c ＋c ′)h ′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S 球面＝4πR 2V ＝43πR 3(2)求几何体体积常用技巧 ①等体积法；②割补法． 4．平行关系 (1)基本性质4平行于同一条直线的两条直线平行．即如果直线a ∥b ，c ∥b ，那么a ∥c . (2)直线与平面平行的判定与性质定理 条件结论 符号语言判定如果不在一个平面的一条直线和平面内的一条直线平行 这条直线和这个平面平行 l ⊄α，m ⊂α， l ∥m ⇒l ∥α 性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交这条直线和两平面的交线平行l ∥α，l ⊂β， α∩β＝m ⇒l ∥m(3)平面与平面平行的判定①文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． ②符号语言：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α. ③图形语言：如图所示．(4)平面与平面平行的性质定理①文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． ②符号语言：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b . ③图形语言：如图所示．④作用：证明两直线平行． 5．垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线与平面垂直的性质性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b .性质2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． (3)面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (4)面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 6．共面与异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面． (2)异面直线：既不平行又不相交的直线．1．菱形的直观图仍是菱形．( × )2．简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ ) 3．夹在两平行平面的平行线段相等．( √ )类型一 空间几何体的表面积与体积例1 如图，从底面半径为2a ，高为3a 的圆柱中，挖去一个底面半径为a 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S 1与挖去圆锥后的几何体的表面积S 2之比．解 由题意知，S 1＝2π×2a ×3a ＋2π×(2a )2＝(43＋8)πa 2，S 2＝S 1＋πa (3a )2＋a 2－πa 2＝(43＋9)πa 2，∴S 1∶S 2＝(43＋8)∶(43＋9)．反思与感悟 空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体．总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决． (3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题． (4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．跟踪训练1 如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求三棱锥A 1－AB 1D 1的高．解 设三棱锥A 1－AB 1D 1的高为h ， 则111A AB D V －＝13h ×34×(2a )2＝3a 2h 6. 又111A AB D V －＝111B AA D V －＝13a ×12a 2＝a 36，所以3a 2h 6＝a 36，所以h ＝33a .所以三棱锥A 1－AB 1D 1的高为33a .类型二空间中的平行问题例2 如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明 (1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB ，易证OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OG 綊BE ，四边形BEGO 为平行四边形． ∴OB ∥GE .∵OB ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ，∴GE ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ， ∵B 1D 1⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF . 连接HB ，D 1F ，易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF . ∵HD 1⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ， ∴HD 1∥平面BDF .∵B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .反思与感悟 (1)判断线线平行的方法 ①利用定义：证明线线共面且无公共点．②利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线． ③利用线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .④利用面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b .⑤利用线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b .(2)判定线面平行的方法①利用定义：证明直线a与平面α没有公共点，往往借助反证法．②利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.③利用面面平行的性质的推广：α∥β，a⊂β⇒a∥α.(3)判定面面平行的方法①利用面面平行的定义：两个平面没有公共点．②利用面面平行的判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β.③垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β.④平行于同一个平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.跟踪训练2 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA 的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.证明∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.类型三空间中的垂直关系例3 如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE 沿AE 折起，使得DE ⊥EC .(1)求证：AE ⊥平面CDE ； (2)求证：FG ∥平面BCD ；(3)在线段AE 上找一点R ，使得平面BDR ⊥平面DCB ，并说明理由． (1)证明 由已知得DE ⊥AE ，AE ⊥EC . ∵DE ∩EC ＝E ，DE ，EC ⊂平面DCE ， ∴AE ⊥平面CDE .(2)证明 取AB 的中点H ，连接GH ，FH ，∴GH ∥BD ，FH ∥BC .∵GH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴GH ∥平面BCD . 同理，FH ∥平面BCD ， 又GH ∩FH ＝H ， ∴平面FHG ∥平面BCD ， ∵GF ⊂平面FHG ， ∴GF ∥平面BCD .(3)解 取线段AE 的中点R ，DC 的中点M ，DB 的中点S ，连接MS ，RS ，BR ，DR ，EM ， 则MS 綊12BC .又RE 綊12BC ，∴MS綊RE，∴四边形MERS是平行四边形，∴RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中点，∴EM⊥DC.由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，∴BC⊥平面CDE.∵EM⊂平面CDE，∴EM⊥BC.∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD.∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD.∵RS⊂平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.反思与感悟空间中垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法利用线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性)．②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)．③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)．④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)．⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(3)面面垂直的判定方法利用面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．跟踪训练3 如图，在△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面EBC ⊥平面ACD ； (3)求几何体A －DEBC 的体积V .(1)证明 如图，取BE 的中点H ，连接HF ，GH .因为G ，F 分别是EC 和BD 的中点，所以HG ∥BC ，HF ∥DE .又因为四边形ADEB 为正方形， 所以DE ∥AB ，从而HF ∥AB . 所以HF ∥平面ABC ，HG ∥平面ABC . 又因为GH ∩HF ＝H ，所以平面HGF ∥平面ABC ，又GF ⊂平面HGF ， 所以GF ∥平面ABC .(2)证明 因为四边形ADEB 为正方形， 所以EB ⊥AB .又因为平面ABED ⊥平面ABC ， 平面ABED ∩平面ABC ＝AB ， 所以BE ⊥平面ABC ，所以BE ⊥AC . 又因为CA 2＋CB 2＝AB 2， 所以AC ⊥BC . 又因为BE ∩BC ＝B ， 所以AC ⊥平面BCE . 又因为AC ⊂平面ACD ， 从而平面EBC ⊥平面ACD .(3)解 取AB 的中点N ，连接CN ，因为AC ＝BC ， 所以CN ⊥AB ，且CN ＝12AB ＝12a .又平面ABED ⊥平面ABC ， 平面ABED ∩平面ABC ＝AB ， 所以CN ⊥平面ABED .因为C －ABED 是四棱锥，所以V C －ABED ＝13S ABED ·CN ＝13a 2·12a ＝16a 3.即几何体A －DEBC 的体积V ＝16a 3.1．已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为( ) A ．96π cm 3B ．48π cm 3C ．962π cm 3D ．482π cm 3答案 A解析 圆锥的侧面积为πrl ＝10πr ＝60π，得r ＝6. 则h ＝l 2－r 2＝102－62＝8，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×62×8＝96π.2．若l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 答案 B解析 当l 1⊥l 2，l 2⊥l 3时，l 1也可能与l 3相交或异面，故A 错；l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3，B 正确；当l 1∥l 2∥l 3时，l 1，l 2，l 3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；l 1，l 2，l 3共点时，l 1，l 2，l 3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D 错． 3．设有不同的直线m ，n 和不同的平面α，β，下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α 答案 D解析 选项A 中当m ∥α，n ∥α时，m 与n 可以平行、相交、异面；选项B 中满足条件的α与β可以平行，也可以相交；选项C 中，当α⊥β，m ⊂α时，m 与β可以垂直，也可以平行等．故选项A 、B 、C 均不正确．4.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ＝________.答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMNQ ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3.5.如图，在棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA .又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决． 2．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为一、选择题1.如图，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则( )A ．EF 与GH 互相平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上 答案 D解析 因为F ，G 分别是BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23， 所以GF ∥BD ，并且GF ＝23BD ，因为点E ，H 分别是边AB 、AD 的中点，所以EH ∥BD ， 并且EH ＝12BD ，所以EH ∥GF ，并且EH ≠GF ，所以EF 与GH 相交，设其交点为M ，所以M ∈面ABC ， 同理M ∈面ACD ， 又面ABC ∩面DAC ＝AC ， 所以M 在直线AC 上．故选D. 2．下列命题中假命题是( )A ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直B ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行 答案 A解析 垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，A 错误；选A.3．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①有水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值． 其中正确的说法是( ) A ．②③④ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③答案 C解析 ①有水的部分始终呈棱柱状：从棱柱的特征平面AA 1B 1B 平行平面CC 1D 1D 即可判断①正确；②水面四边形EFGH 的面积不改变：EF 是可以变化的，EH 不变的，所以面积是改变的，②不正确；③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行：由直线与平面平行的判定定理及A 1D 1∥EH ，可判断③正确；④当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值：水的体积是定值，底面面积不变，所以④正确．故选C.4．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ②若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β； ③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β. 其中真命题是( ) A ．①③ B ．①② C ．③④ D ．①④答案 D解析 对于①，垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；对于②，不满足平面与平面平行的判断定理，错误；对于③，平面α，β可能相交，错误；对于④，满足平面α与平面β平行，正确．5．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24 cm ，深为8 cm 的空穴，则这个球的半径为( ) A ．13 cm B ．26 cm C ．13 2 cm D ．2 3 cm 答案 A解析 冰面空穴是球的一部分，截面图如图所示，设球心为O ，冰面圆的圆心为O 1，球半径为R ，由图知OB ＝R ，O 1B ＝12AB ＝12，OO 1＝OC －O 1C ＝R －8，在Rt△OO 1B 中，由勾股定理R 2＝(R －8)2＋122， 解得R ＝13(cm)．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比值为( )A.316B.916C.38D.58 答案 A解析 如图所示是过球心的截面图，r ＝ R 2－14R 2＝32R ， S 圆S 球＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 24πR 2＝316. 7.如图所示，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，高为8，则一质点从A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路径的长为( )A ．10B ．9C ．8D ．7答案 A解析 如图所示，将两个三棱柱的侧面沿侧棱AA 1展开并拼接，则最短路径为l ＝62＋82＝10.8．如图，四边形ABCD 是圆柱的轴截面，E 是底面圆周上异于A 、B 的一点，则下列结论中错误的是( )A ．AE ⊥CEB ．BE ⊥DEC ．DE ⊥平面CEBD ．平面ADE ⊥平面BCE 答案 C解析 由AB 是底面圆的直径，则∠AEB ＝90°， 即AE ⊥EB .∵四边形ABCD 是圆柱的轴截面， ∴AD ⊥底面AEB ，BC ⊥底面AEB . ∴BE ⊥AD ，AD ∩AE ＝A ， 因此BE ⊥平面ADE .同理可得：AE ⊥CE ，平面BCE ⊥平面ADE . 可得A ，B ，D 正确．而DE ⊥平面CEB 不正确．故选C. 二、填空题9．一个正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为________．答案a 24解析 在平面VAC 内作直线PD ∥AC ，交VC 于D ，在平面VBA 内作直线PF ∥VB ，交AB 于F ，过点D 作直线DE ∥VB ，交BC 于E ，连接EF .∵PF ∥DE ，∴P ，D ，E ，F 四点共面，且面PDEF 与VB 和AC 都平行， 则四边形PDEF 为边长为a2的正方形，故其面积为a 24.10.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则当油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．答案 14－12π解析 设圆柱桶的底面半径为R ，高为h ， 油桶直立时油面的高度为x ，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为π2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ，所以x h ＝14－12π.11．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________． 考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题 答案 144π解析 如图所示，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°， ∴S △AOB ＝12R 2.∵V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －AOB ， 而△AOB 的面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，三棱锥O －ABC 的体积最大，∴当动点C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大， 此时V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，解得R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π. 三、解答题12．已知三棱锥O —ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，求三棱锥O —ABC 的体积． 解 设球O 的半径为R ，因为S △AOC ＋S △BOC ＝12R 2(sin∠AOC ＋sin∠BOC )，所以当∠AOC ＝∠BOC ＝90°时，S △AOC ＋S △BOC 取得最大值，此时OA ⊥OC . OB ⊥OC ，OB ∩OA ＝O ，OA ，OB ⊂平面AOB ，所以OC ⊥平面AOB ， 所以V 三棱锥O —ABC ＝V 三棱锥C —OAB ＝13OC ·12OA ·OB sin∠AOB ＝16R 3sin∠AOB ＝233. 13．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，A 1B 1⊥BC ，BC ＝1，AA 1＝AC ＝2，E ，F 分别为A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：C 1F ∥平面EAB ； (2)求三棱锥A －BCE 的体积．(1)证明 方法一 取AB 中点G ，连接EG ，FG .∵G ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴FG ∥AC ，且FG ＝12AC . 又∵AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， E 为A 1C 1的中点，∴FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，∴四边形FGEC 1为平行四边形， ∴C 1F ∥EG .又∵EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， ∴C 1F ∥平面ABE .方法二 取AC 中点H ，连接C 1H ，FH ， 则C 1E ∥AH ，且C 1E ＝AH ，∴四边形C 1EAH 为平行四边形， ∴C 1H ∥EA .又∵EA ⊂平面ABE ，C 1H ⊄平面ABE ， ∴C 1H ∥平面ABE ，∵H 、F 分别为AC 、BC 的中点， ∴HF ∥AB .又∵AB ⊂平面ABE ，FH ⊄平面ABE ， ∴FH ∥平面ABE .又∵C 1H ∩FH ＝H ，C 1H ⊂平面C 1HF ，FH ⊂平面C 1HF ， ∴平面C 1HF ∥平面ABE .又∵C 1F ⊂平面C 1HF ，∴C 1F ∥平面ABE .(2)解 ∵AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， ∴AB ＝CA 2－CB 2＝3，∴三棱锥A －BCE 的体积为 V A －BCE ＝V E －ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. 四、探究与拓展14．如图，在三棱锥V －ABC 中，VO ⊥平面ABC ，O ∈CD ，VA ＝VB ，AD ＝BD ，则下列结论中一定成立的是________．①AC ＝BC ；②VC ⊥VD ；③AB ⊥VC ；④S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO . 答案 ①③④解析 因为VA ＝VB ，AD ＝BD ， 所以VD ⊥AB .因为VO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以VO ⊥AB .又VO ∩VD ＝V ，所以AB ⊥平面VCD .又CD ⊂平面VCD ，VC ⊂平面VCD ， 所以AB ⊥VC ，AB ⊥CD .又AD ＝BD ，所以AC ＝BC (线段垂直平分线的性质)． 因为VO ⊥平面ABC ，所以V V －ABC ＝13S △ABC ·VO . 因为AB ⊥平面VCD ，所以V V －ABC ＝V B －VCD ＋V A －VCD＝13S △VCD ·BD ＋13S △VCD ·AD ＝13S △VCD ·(BD ＋AD ) ＝13S △VCD ·AB ， 所以13S △ABC ·VO ＝13S △VCD ·AB ， 即S △VCD ·AB ＝S △ABC ·VO .故①③④正确．15．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ＝BC ＝AA 1＝a ，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1中点．(1)求证：C1D⊥平面A1B1BA；(2)请问，当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．(1)证明∵A1C1＝B1C1，∴△A1B1C1为等腰三角形，又∵A1D＝DB1，∴C1D⊥A1B1，∵C1D⊥A1A，AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面A1B1BA.(2)解由(1)可得C1D⊥AB1，又要使AB1⊥平面C1DF，只要DF⊥AB1即可，又∵∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，且AC＝BC＝AA1＝a，∴A1B1＝2a，∵△AA1B1∽△DB1F，∴AA1DB1＝A1B1B1F，∴B1F＝a.即当F点与B点重合时，会使AB1⊥平面C1DF.。
学业水平复习 立体几何
2013 年
月
日
课题 学习重点 一、
学业水平复习之四：立体几何
课型
反馈课
能识别三视图所表示的立体模型，了解球、棱柱、棱锥的表面积和体积公式。 理解线面平行和线面垂直的判断内容和性质内容。
知识回顾
１、说出球、正方体、棱柱、棱锥的表面积和体积公式表面积。 2 、说出三视图三个面如何投影成图的？ 3、线面平行和线面垂直的判断内容和性质内容 判定定理（画出图形） 直线与平面平行 性质定理（画出图形）
月
日
示,则此多面体的体积是（ ） A.
2cm3
3
B.
4cm3
C.
6cm3
3
2 2 2 侧视图
D. 12cm
正视图
2
俯视图 (第 6 题) 9、一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面积为 ，则球的表面积为（ ） A. 8 2 B. 8 C. 4 2 D. 4
10、如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A， B 的任意一点， 求证：平面 PAC⊥平面 PBC。
6、如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画 出了某多面体的三视图， 则这个多面体最长的一条棱的 长为 .
7、 如图(1)放置的一个机器零件， 若其主视图如图(2)， 则其俯视图是（ ）
8、若某多面体的三视图(单位：cm)如图所
编辑：赵春波
2012——2013 学年高二在三棱锥 S－ABC 中，BC⊥ 平面 SAC，AD⊥ SC． （I）求证：AD⊥ 平面 SBC； （II）试在 SB 上找一点 E，使得 BC//平面 ADE，并证明
S
你的结论．
期末复习 立几2
第 2 课时
时间：2015-1
画川高级中学高二数学导学案
课 题： 期末复习 立体几何（2） 主备人： 学习目标：1.会判断并证明空间直线与平面、平面与平面的位置关系； 范秉洲
2.会探究空间直线与平面、平面与平面的平行与垂直的充要条件； 3.了解空间直线与平面、平面与平面所成角与距离的概念．
1
2014-2015 学年第一学期高二数学期末复习学案（立几）
第 2 课时
时间：2015-1
学习心得 二、合作探究 探究一 如何探究几何图形中的平行与垂直？ 例 1 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，棱长为 a ， M , N 分别为 A1B 和 AC 上 的点，且 A1M AN
C
2 .求证： MN ∥平面 BB C C 。 a 1 1 3
D N
B
A
C1 M B1 A1
D1
变式： 如图， 四棱锥 P ABCD 中， 底面 ABCD 为平行四边形, E 为 CD 中点， 在 PC 上找一点 F ，使得 PA ∥平面 BEF ． （思考：若 BF ∥平面 PAD 呢？）
P
F
D E
C
A
B
例 2 如图，已知平行四边形 ABCD，直线 BC⊥平面 ABE，F 为 CE 的中点． 若 AEB 90 ，求证：平面 BDF⊥平面 BCE．
2
2014-2015 学年第一学期高二数学期末复习学案（立几）
第 2 课时
时间：2015-1
探究二 如何利用代数运算推理证明几何图形中的平行与垂直？ 例 3 如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB 2 AA1 ,点 D 为 AC 1 1 的中
高三数学高考导学练系列教案：立体几何
．
4． 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两
角
．
5． 异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内
的直线是异面直线 (作用：判定两条直线是异
面直线 )
6． 异面直线的距离：和两条异面直线
的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的
公垂线在
的长度，叫两异面直线的距离．
B
M
A
C1 N
易证∠ GNA 就是 BM 与 AN 所成的角．
设： BC＝CA＝ CC1＝ 2，则 AG＝ AN＝ 5 ， GN＝ B1M ＝ 6 ，
B
A
C
cos∠ GNA＝ 6 5 5
30 。
2 6 5 10
例 4． 如图，四棱锥 P－ ABCD的底面是正方形， PA⊥底
面 ABCD，AE⊥ PD， EF∥ CD， AM ＝EF．
O
A1
B1 A
C1 C
B 证明： (1) ∵ AA1∩ BB1＝ 0，∴ AA1与 BB1 确定平面 α，又∵ A∈ a，B∈α，A1∈ α，B1∈ α，∴ AB α，
A1 B1 α，∴ AB、 A1B1 在同一个平面内 同理 BC、B1C1、 AC、 A1C1 分别在同一个平面内 (2) 设 AB∩Ａ1B1＝ X， BC∩Ｂ1C1＝Y， AC∩Ａ1C1＝Z，则只需证明 X、 Y、Z 三点都是平面 A1B1C1 与
CN 与 AM 所成角为
arc cos 2 .
5
D1 A1
M D A
C1
B1 P
N C
B
(2) 是． NP 是其公垂线段 , D1P 与 AN 的距离为 1. 变式训练 3：如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， ∠ BCA＝ 90°， M 、N 分别是 A1B1 和 A1C1 的中点， 若 BC＝ CA＝ CC1，求 NM 与 AN 所成的角． 解： 连接 MN ，作 NG∥ BM 交 BC于 G，连接 AG，
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第八章 立体几何 8.1
§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1.空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.2.空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.3.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°).(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.(4)在已知图形中过O 点作z 轴垂直于xOy 平面，在直观图中对应的z ′轴也垂直于x ′O ′y ′平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z ′轴且长度不变. 4.柱、锥、台和球的表面积和体积名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. ( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同. ( × ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形.( √ ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ ) 2.(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3.(2013·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器， 容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接 触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A.500π3cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析 作出该球轴截面的图象如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4， 设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球 的半径AD ＝5， 所以V ＝43πR 3＝500π3.4.一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________. 答案62解析 由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，所以原三角形的面积为62. 5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________. 答案33π 解析 侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝33π.题型一 空间几何体的结构特征 例1 (1)下列说法正确的是( )A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3思维启迪从多面体、旋转体的定义入手，可以借助实例或几何模型理解几何体的结构特征.答案(1)B(2)A解析(1)A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠P AB，∠PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点.(2)①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.思维升华(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱.(2)既然棱台是由棱锥定义的，所以在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.(3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到，还要看旋转轴是哪条直线.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为() A.30° B.45°C.60°D.90°答案 C解析 还原正方体，如图所示，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三 角形，则∠ABC ＝60°.题型二 空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它 的直观图的面积是________.思维启迪 (1)由正视图和侧视图可知该几何体的高是1，由体积是12可求出底面积.由底面积的大小可判断其俯视图是哪一个. (2)按照直观图画法规则确定平面图形和其直观图面积的关系. 答案 (1)C (2)616a 2 解析 (1)由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是12，D 的面积是π4，故选C. (2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如 图).D ′为O ′A ′的中点.易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.思维升华 (1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.(1)(2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B. 2C.2－12 D.2＋12(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形答案(1)C(2)C解析(1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2 2＝4 2 cm，CD＝C′D′＝2 cm.∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6 cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形.题型三空间几何体的表面积与体积例3(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.48B.32＋817C.48＋817D.80(2)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12思维启迪 先由三视图确定几何体的构成及度量，然后求表面积或体积. 答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是 边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂 直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为 4，长为42＋12＝17.所以S 表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体，如 图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平 面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，所以三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt △ABC 是半球底面的内接三角形，所以球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，所以半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故 所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.思维升华 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征，判断是否为组合体，由哪些简单几何体构成，并准确判断这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积.(2012·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22答案 A解析 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍.在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的 等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC ′到M 的最短路线长为29，设这条最短路线 与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)三棱锥C —MNP 的体积.思维启迪 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好. 规范解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如下图，设PC ＝x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2.∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3， ∴x ＝2，即PC ＝2.又NC ∥AM ，故PC P A ＝NC AM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离， 即h ＝32×3＝332. ∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝13·h ·S △PCN＝13×332×45＝235.[12分]温馨提醒 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图.缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方法与技巧1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.2.旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状.3.三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”.4.直观图画法：平行性、长度两个要素.5.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.6.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.失误与防范1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.2.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.3.几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有 ( )A.20B.15C.12D.10答案 D解析 如图，在五棱柱ABCDE －A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对 角线有两条：AC 1，AD 1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两 条，共2×5＝10(条).2.(2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个 几何体不可以是( )A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱答案 D解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得.球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A 和C. 对于如图所示三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时， 其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同， 故答案选D.3.(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603B.5803C.200D.240答案 C解析 由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝(2＋8)×42＝20.又棱柱的高为10，所以体积V ＝Sh ＝20×10＝200.4.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 ( )答案 D解析 由俯视图可知是B 和D 中的一个，由正视图和侧视图可知B 错. 5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32πB.π＋ 3C.32π＋ 3D.52π＋ 3 答案 C解析 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2.二、填空题6.如图所示，E 、F 分别为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面 BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的投影 是________.(填序号)答案 ②解析 四边形在面DCC 1D 1上的投影为②：B 在面DCC 1D 1上的投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误.7.已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 答案 3π解析 如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有 棱长都为2，所以正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.所以该正方体的 外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球就是正方体ANDM —FBEC 的外接球，所以三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝⎛⎭⎫322＝3π. 8.(2013·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析 设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V1 V2＝13h⎝⎛⎭⎫12AD·AE·sin∠DAE(2h)12(2AD)(2AE)sin∠DAE＝124.三、解答题9.一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积.解这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解如图所示，三棱台ABC—A 1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高.由题意知A1B1＝20，AB＝30，则OD＝53，O1D1＝1033，由S侧＝S上＋S下，得12×(20＋30)×3DD1＝34×(202＋302)，解得DD1＝1333，在直角梯形O1ODD1中，O1O＝DD21－(OD－O1D1)2＝43，所以棱台的高为4 3 cm.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 答案 D解析 设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点， 所以V M —ABCD ＝12V .所以V E —MBC ＝12V －V E —MDC .而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ， 所以V E —MBC V E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32. 所以V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V . 2.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A.28＋6 5B.30＋6 5C.56＋12 5D.60＋12 5答案 B解析 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3， AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5. 又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ， 则CD ⊥平面ABD ， 故CD ⊥AD ，所以AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt △ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝2 5. 在Rt △BCD 中，BD ＝5，CD ＝4， 故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10. 在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41， 则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5.因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋6 5.3.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________. 答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .则12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.4.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直， 图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角 三角形.(1)根据图所给的正视图、俯视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求P A .解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2. (2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由正视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，所以在Rt △APD 中， P A ＝PD 2＋AD 2＝(62)2＋62＝6 3 cm.5.已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示.因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R H x ，所以S 圆柱侧＝2πrx＝2πRx －2πR H (0<x <H ).(2)因为－2πR H <0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2时，S 圆柱侧最大.故当x ＝H2，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.。
高三数学复习导学案《立体几何二轮复习-----解答题
高三数学复习导学案《立体几何二轮复习-----解答题》【学习目标】１．会用平行、垂直之间的转化证明或判断线、面位置关系；２．继续规范立体几何解答题的答题步骤.【课前案】（一）知识篇１．写出平面几何中证明下列问题的常用方法：（1）平行：（2）垂直：２．熟练掌握下面的转化关系，将自己遗忘或是不熟练的转化关系配辅助图形，写出应用形式：直线∥直线直线∥平面平面∥平面直线⊥直线直线⊥平面平面⊥平面（二）应用篇P 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、如图，在四棱锥ABCDAD的中点．（１）求证：直线EF∥平面PCD；（２）求证：平面BEF⊥平面PAD．（一）规范解答，查漏补缺：如图，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面ABCD，E、F分别是AB、PC 的中点．（１）求证：PDCD⊥；（２）求证：EF∥平面PAD．反思：D AEBCFP如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知AB DD DC 21==，AD DC AB DC ⊥，∥． （１）求证：11D C AC ⊥；（２）在DC 上是否存在一点E , 使E D 1∥平面BD A 1？如果存在，请确定位置并证明；如果不存在， 请说明理由．变式：将条件“AB DC 2=”改成“AB DC 3=”、“AB DC 4=”，还存在E 点吗？改成“DC >AB ” 呢？如果存在，E 点位置如何确定？反思： BCDA1A1D1C1B如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 在棱1CC 的延长线上，且AB BC E C CC 2111=== （１）求证：E D 1∥平面1ACB ； （２）求证：平面⊥E B D 11平面1DCB .变式：平面C DB 1与平面11D AB 是否垂直？平面11EB D 与平面11DB A 呢？反思：（三）静心感悟，自我总结： A 1BED 1C 1B 1DCA【课后案】时间：40分钟 (请根据自己的学习情况，选做C 组题目) 课后思考１．不改变“热身演练”题目中的条件，将四棱锥 补成长方体后，请用异于课堂的方法，证明结论．２．在课堂“垂直探究”题目的图中，你还能找出与题中类似的具有垂直关系的“三角形”所在的平面吗？找到后，请证明．直面高考A 组（2011北京节选）如图，在四面体PABC 中，AB PC ⊥，BC PA ⊥，点D 、E 、F 、G 分别是棱AP 、AC 、BC 、PB 的中点．（１）求证：DE ∥平面BCP ； （２）求证：四边形DEFG 为矩形．PA BCDB 1C 1D 1FEB 组（2011山东）如图，在四棱台1111D C B A ABCD -中，D D 1⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AD AB 2=，11B A AD =，BAD ∠＝60°．（１）求证：BD AA ⊥1；（２）求证：1CC ∥平面BD A 1．C 组（2009浙江改编）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 、F 、O 分别为PA 、PB 、AC 的中点，16AC =，10PA PC ==． （１）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；（２）在ABO ∆内是否存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ？并证明．（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
高二普通班立体几何复习新学案3
如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，称这条直线和这个平面垂直，记作：_______________ 其中，直线叫做这个平面的垂线，平面叫做这条直线的垂面，交点叫垂足注：①直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况 ②定义中“任何”表示所有，不能理解为“无数”。
若直线与平面内的无数条 直线垂直，则直线不一定垂直于平面； ③l ⊥α等价于对任意的直线m ⊂α，都有l ⊥m 。
符号表示：定理说明：证明线面垂直的关键在于证明两个线线垂直，简述为： 注：（1）定理中“两条相交直线”二字不可忽视，否则线面垂直的结论不成立（2）证明线面垂直归结为证明线线垂直，证明无数多线线垂直减弱为只需证明两个线线垂直即可（1）过直线外一点可作_____条直线与该直线平行，可作______条直线与该直线垂直；（2）过平面外一点可作_____条直线与该平面平行，可作______条直线与该平面垂直。
2．一条直线与一个平面垂直的条件是 ( )A. 垂直于平面内的一条直线B. 垂直于平面内的两条直线C. 垂直于平面内的无数条直线D. 垂直于平面内的两条相交直线3．如果平面α外的一条直线a 与α内两条直线垂直，那么 ( )A. a ⊥αB. a ∥αC. a 与α斜交D. 以上三种均有可能4．判断题：（对的打“√”，错的打“×”）(1) 过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ( )(2) 过已知平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行 ( )(3) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ( )(4) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ( )(5) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 ( )(6) 过已知直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行。
( )l ⊥平面α⇒l ⊥平面α内任一条直线符号表示：1．已知PA ⊥平面ABC ， BC ⊥AC. 求证：BC ⊥平面PAC 。
因PA ⊥平面ABC ，⇒PA ⊥平面ABC 内部任意一条直线⇒ BC ⊥__________.又 BC ⊥AC.,而A C ∩PA=___________.⇒ BC ⊥平面__________.2.如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，求证：CD ⊥平面PAD3..三棱锥P-ABC ，PB=PC ，AB=AC ，D 为BC 中点，证明：BC ⊥平面PAD4.如图，四棱锥P-ABCD 中PA ⊥平面ABCD ，底面PABCD 为直角梯形，且BA ⊥AD ，AB//CD ，AC=BC=1,AB=2．求证：BC ⊥平面PAC5如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是直角梯形， BC ⊥DC ，AB//CD ，又，PC=BC=1,PB，，AB PC ⊥．求证：PC ⊥平面ABCD ；一条直线PA 和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线， 交点叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A ，直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角ABCPlB'O'A'BO Aβα平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
四川省成都市玉林中学高2015届高二数学下期零诊试题 第18课时 空间几何体、三视图和直观图复习资料
第18课时立体几何空间几何体、三视图和直观图【知识点梳理】1. 1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面________，侧棱都________且____________，上底面和下底面是________的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．(3)棱台可由__________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其____________旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕__________________或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其________旋转得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括________、____________、________.4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用________画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝________.(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于__________的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度变为___________________．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度________．5．中心投影与平行投影(1)平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形．自我检测1．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④2．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )3．(2011·金华月考)将正三棱柱截去三个角(如图1所示)，A ，B ，C 分别是△G HI 三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )4.(2010·广东)如图，△ABC 为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′＝32BB′＝CC′＝AB ，则多面体ABC －A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )5．(2011·山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 【课堂讲解】1、探究点一 空间几何体的结构例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________． 变式迁移1 下列结论正确的是( ) A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 探究点二 空间几何体的三视图例2 (2009·福建)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )变式迁移2 (2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )探究点三 直观图及斜二测画法 例3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )变式迁移3 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( )A.24a2B．22a2C.22a2D.223a2一．选择题1.、选择题(每小题5分，共25分)1．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱2．(2011·汕头月考)已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为2a的正三角形，则原△ABC的面积为( )A.2a2B.3 2a2C.62a2D.6a23．有一个正三棱柱，其三视图如图所示：则其体积等于( )A．3 cm3B．1 cm3C.332cm3D．4 cm34．(2011·青岛模拟)如下图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )A.36B.423C.433D.835．(2011·福州质检)某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a等于( )A. 2B. 3 C．1 D．2二．填空题6．(2010·湖南)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h ＝________cm.7．已知正三角形ABC的边长为a，则△ABC的水平放置直观图△A′B′C′的面积为________．8．(2011·宜昌月考)棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R＝________.三．解答题14.三、解答题(共38分)9．(12分)画出下列几何体的三视图．10．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．11．(14分)(2011·石家庄月考)已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图．(2)求出侧视图的面积．解答自主梳理1．(1)平行平行长度相等全等(2)公共顶点(3)平行于棱锥底面相似 2.(1)一边所在直线(2)一条直角边所在直线(3)垂直于底边的腰所在直线(4)直径 3.正视图侧视图俯视图 4.斜二测(1)45°(或135°)(2)x′轴、y′轴(3)不变原来的一半(4)不变例1解题导引解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．③④⑤⑥解析①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面不一定都全等；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的四棱锥C1—ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.变式迁移1 D [A 错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B 错误．如下图，若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C 错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D 正确．]例2 解题导引 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系．C [当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.]变式迁移2 D [由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D .]例3 解题导引 本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．A [按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A 符合题意．] 变式迁移3B [根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x 轴上(或与x 轴平行)的线段，其长度保持不变；在y 轴上(或与y 轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面积为S′＝12·22·S＝24S.可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积S ＝a 224＝22a 2.]课后练习区1．C2．D [斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a)2，∴S＝6a 2.]3．D [由给出的三视图可以得知该正三棱柱的高等于正视图和侧视图的高为 3 cm ，若设该正三棱柱的底面边长为a cm ，则有32a ＝2，所以a ＝433，故该正三棱柱的体积为V＝12·32·⎝ ⎛⎭⎪⎫4332·3＝4 (cm 3)．] 4．C [由三视图知该几何体为一正四棱锥，记为S —ABCD ，如图，其中AB ＝2，△SCD 中CD 上的高为2，即SE ＝2，设S 在底面上的射影为O ，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2，∴SO＝22－12＝3.∴V＝13S ABCD ×SO＝13×4×3＝433.] 5．B [可以把该几何体形象为一长方体AC 1，设AC 1＝a ，则由题意知A 1C 1＝AB 1＝BC 1＝2，设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则x 2＋y 2＝2，y 2＋z 2＝2，z 2＋x 2＝2，三式相加得2(x 2＋y 2＋z 2)＝2a 2＝6.∴a＝ 3.] 6．4解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面是一个直角边长分别是5和6的直角三角形，几何体的高为h ，则该几何体的体积V ＝13·12·5·6·h＝20.∴h＝4.7.616a 2解析 如图A′B′＝AB ＝a ，O′C′＝12OC ＝34a ，过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a ，所以S △A‘B ’‘′＝12A′B′·C′D′＝616a 2. 8.64a 解析如图所示，设正四面体ABCD 内接于球O ，由D 点向底面ABC 作垂线，垂足为H ，连接AH ，OA ，则可求得AH ＝33a ，DH ＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝6a 3， 在Rt △AOH 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2＝R 2，解得R ＝64a. 9．解 图(1)中几何体的三视图如图①、②、③，图(2)中几何体的三视图如图④、⑤、⑥.(6分)(12分)10．解 (1)由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥．(4分) (2)侧视图(如图)(6分)其中AB ＝AC ，AD⊥BC，且BC 长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，AD ＝3a ，所以侧视图的面积为S ＝12×3a×3a ＝32a 2.(12分)11．解 (1)如图．(7分)(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， 侧视图中VA 为42－23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.(14分)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
俯视图侧视图正视图高二学考必修二学案第1课 空间几何体的结构、三视图和直观图一、要点知识：1、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的结构特征：（1）___________________________________,_______________________________________, _______________________________________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
（2）___________________________________,____________________________由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
（3）______________________________________________________这样的多面体叫做棱台。
（4）______________________________________________________叫做圆柱，旋转轴叫做_______，垂直与轴的边旋转而成的圆面叫做_______，平行与轴的边旋转而成的曲面叫做______，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做___________(5) _____________________________________________________所围成的旋转体叫做圆锥。
(6) _____________________________________________________叫做圆台。
(7) _____________________________________________________叫做球体，简称球。
2、中心投影、平行投影及空间几何体的三视图、直观图 （1）光由一点向外散射形成的投影，叫做______________（2）在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影。
3、正视图：光线从物体的_______投影所得的投影图，它能反映物体的_______和长度。
侧视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的高度和宽度。
俯视图：光线从物体的________投影所得的投影图，它能反映物体的长度和宽度。
学业水平考试怎么考1. 下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ）. A .圆柱 B.圆锥 C.球 D.三菱柱 2、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ） A 、球 B 、圆柱 C 、圆台 D 、圆锥 3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ）A.球B.圆锥C.圆柱D.圆台二、课前小练：1、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A 、棱台 B 、棱锥 C 、棱柱 D 、都不对2、下列结论中 （1）．有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形的几何体叫棱柱 ； （2）．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； （3）．用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台； （4）．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
其中正确的结论是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3、将图1所示的三角形绕直线l 旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（ ）4、下面多面体是五面体的是（ ）C ′A ′ Y ′ D ′A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥5、如图，水平放置的三角形的直观图，D ′是A ′B ′边上的一点，且''31''B A A D =,'//''Y B A 轴，'//'X CD 轴， 那么''A C 、''B C 、''D C 三条线段对应原图形中的线段CA 、CB 、CD 中（ ）A. 最长的是CA ，最短的是CBB.最长的是CB ，最短的是CAC.最长的是CB,最短的是CDD.最长的是CA ，最短的是CD三、典例分析：例1、如图所示的空间几何体中，是柱体或由柱体组合而成的是（ ）A.（1）（2）（3）（4）B. （2）（4）（5）C. （1）（2）D.（1）（2）（5） 例2、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径之比是1:4,截得的小圆锥母线长是3cm,求圆台的母线长。
例3、若一个正三棱柱的三视图如下，则这个三棱柱的高和底面的边长分别为( )A. 32,2B. 2,22C. 4,2D.2,4四、巩固练习：1．棱柱的侧面都是（ ）（A ）正方形 （B ）平行四边形 （C ）五边形 （D ）菱形 2．下面几何体的截面图不可能是圆的是（ ）（A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）球 （D ）棱柱 3、一个直立在水平面上的圆柱正视图、侧视图、俯视图分别是（ ） A. 矩形、矩形、圆 B. 矩形、圆、矩形 C. 圆、矩形、矩形 D.矩形、矩形、矩形第2课 空间几何体的表面积与体积一、要点知识：下表中，'c ,c 分别表示上、下底面的周长，h 表示高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长，r 表示圆柱、圆锥的底面半径，21,r r 分别表示圆台上、下底面半径，R 表示球半径。
名称 侧面积（S 侧） 全面积（S 全） 体积（V ） 直棱柱 ___________________ S 侧+ 2S 底 ___________ 正棱锥 ____________________ S 侧+ S 底 _______________正棱台 _____________________ S 侧+ S 上底+ S 下底 31h （S 上底+ S 下底+下底上底S S ⋅） 圆柱 _____________________ _______________ 圆锥 _____________________ __________________圆台 _______________________________________________ 球____________________________________________学业水平考试怎么考 （1） （2） （3） （4） （5） 正视图侧视图俯视图21.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.2．两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为（ ） A ．2:3B ．4:9C ．2:3D ．22:33二、课前小练：1、已知四棱椎P —ABCD 的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA=8，则该四棱椎的体积是 。
2、一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱的表面积是（ ） A. π2 B. π3 C. π4 D. π63、若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为__________-4、棱长都是1的正三棱柱的体积是_____________5、已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2 则这个长方体的对角线是_______，它的体积为___________三、典例分析：例1.一几何体按比例绘制的三视图如图所示，(单位：m) ○1)试画出它的直观图；○2求它的体积。
例2、如下图为一个几何体的三视图， 其中俯视图为正三角形，A 1B 1=2，AA 1=4， 求该几何体的表面积和体积 例3、如图，在四边形ABCD 中，，， ，，AD=2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.四、巩固练习：1、已知三棱锥P —ABC 的顶点为P,PA 、PB 、PC 为两两垂直的侧棱，又三条侧棱长分别为3、3、4，则三棱锥的体积为_________2、圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥轴截面的顶角的大小为（ ） A.ο30 B. ο45 C. ο60 D. ο903、如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为_________4、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为5、用一个平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，为则球心到截 面的距离是________．第3课 空间平面、直线与直线的位置关系1111A 1B 1C C 1正视图侧视图俯视图2 2 2 33一、要点知识：1、平面：公理1：① 公理2：② 公理3：③ 推论1：④ ，可确定一个平面 推论2：⑤ ，可确定一个平面 推论3：⑥ ，可确定一个平面 2、（1）空间中两条直线的位置关系有三种位置关系：⑦ ⑧ ⑨ （2 和 统称为共面直线。
（3）异面直线：不同在 一个平面的两条直线叫做异面直线 3、直线与平面的位置关系：（1）直线与平面相交：有且只有 个交点； （2）直线在平面内：有 个交点（3）直线与平面平行：有 个交点4、空间中两平面的位置关系： 、5、空间中的平行关系的转化与联系：。
学业水平考试怎么考1、如图, ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体.若BC=CC 1，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小.1、 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ， 且PA=AB.求异面直线BC 与PD 所成的角.3、如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥D D 1底面ABCD ，底面ABCD 是正方形， 且AB=1，21=D D 。
求直线B D 1与平面ABCD所成角的大小。
二、课前小练：1、若直线上有两个点在平面外，则（ ） A ．直线上至少有一个点在平面内 B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内 2、两条异面直线是指（ ）A ．不同在任何一个平面内的两条直线 B.空间中不相交的两条直线C.分别位于不同平面内的两条直线D.某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 3、一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．相交或异面 4、如图:棱长均为a 的四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，a EF 22=，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°三、典例分析： BAFE CS AD 1 C 1B 1A 1 DCBBCDAPFEA例1、下列结论中：（1）公理1可以用符号语言表述为：若αα∈∈∈∈B A l B l A ,,,，则必有α⊂l ；（2）平面的形状是平行四边形；（3）三点确定一个平面;(4)任何一个平面图形都是一个平面；（5）若任意四点不共面，则其中任意三点不共面。