函数的基本概念梳理以及题型.doc

合集下载

第二章 2.1函数

1．函数的基本概念 (1)函数的定义设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域．(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则． 2．常见函数定义域的求法类型 x 满足的条件 2nf (x )，n ∈N ＋f (x )≥0 1f (x )与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x ) f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋π2，k ∈Z3.求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法． 4．函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (2)映射是特殊的函数．( × )(3)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) (4)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( × )(5)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点最多有1个．( √ )1．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x答案 C解析将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等．对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 2．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2－1>0，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 3．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.4．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合．其中真命题的序号有________．答案 ①②解析对于①，函数是映射，但映射不一定是函数；对于②，f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③，函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④，函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一函数的概念例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (x ≥0)，－1， (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．答案 ②③解析对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (x ≥0)，－1， (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应法则不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B. 题型二函数的定义域命题点1 求给定函数解析式的定义域例2 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]，故选A.(2)要使函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1，且x ≠1，故选C.命题点2 求抽象函数的定义域例3 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015](2)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2]答案 (1)B (2)C解析 (1)令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1<x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 015]．故选B.(2)因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C. 命题点3 已知定义域求参数范围例4 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1,0]解析因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 思维升华简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________．(2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为____________________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型三求函数解析式例5 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7， ∴f (x )＝2x ＋7. (3)(解方程组法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)解方程组法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________________. 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ) (－1<x <1) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)解析 (1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．(2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.答案 (1)(－∞，8] (2)C温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解． (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． (3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．[方法与技巧]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应法则是否相同． 2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行． 3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法． 4．分段函数问题要分段求解． [失误与防范]1．复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．A 组专项基础训练 (时间：25分钟)一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x 答案 C解析在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在D 中，定义域不同．2．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x ≥1} C ．∅ D ．{x |－1≤x <1}答案 A解析 M ＝(－1,1)，N ＝(－1，＋∞)，故M ∪(∁R N )＝{x |x <1}，故选A.3．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2 答案 D解析因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2. 4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－x D ．f (x )＝x －2答案 B解析根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .二、填空题6．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________.答案－78解析由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78.7．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则y ＝f (log 2x )的定义域是________．答案 [2，4]解析 ∵函数f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴12≤2x ≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.8．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.三、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；当1≤x <2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －72，－3≤x <－1，32x －12，－1≤x <1，1，1≤x <2.B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,3)解析因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝13的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)．12．若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则 (1)f (2)f (12)＝________； (2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (12 017)＝________. 答案 (1)－1 (2)0解析 (1)∵f (x )＋f (1x )＝x 2－1x 2＋1＋1－x 21＋x 2＝0， ∴f (x )f (1x )＝－1(x ≠±1)，∴f (2)f (12)＝－1. (2)∵f (3)＋f (13)＝0，f (4)＋f (14)＝0，…， f (2 017)＋f (12 017)＝0，∴f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋…＋f (12 017)＝0. 13．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．答案 5解析由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．14．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.15．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．。

6函数的概念、定义域、值域求法-教师版.doc

教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系/,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合3中都有唯一确定的数/(兀)和它对应，那么就称f:A^B为从集合A到集合B 的一个函数。

记作：y = /(X),XG A O其中，兀叫做自变量，兀的取值范围A叫做函数的定义域；与X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{/(X)|XG A}叫做函数的值域。

2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分別相同时,那么这两个函数是同一函数。

3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和= 的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。

分段函数：在用解析法表示函数的吋候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。

分段函数是一个函数，而不是几个函数。

在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。

4、函数的运算：对于两个函数y = ./'(兀X XW DJ，y = ^(xX^e D2),设D = D}r\D2^(j)把函数/(x)+g(x)(x w Q)叫做函数『=/(xXx e £>!)与『=£(疋)(兀丘》2)的和函数把函数/(x)g(x)(xw D)叫做函数丿=/(X X A:e £>!)与y = g(xXxw£>2)的积函数6、复合函数：对于两个函数y = /(%X x w D), y = g(x)(兀w 2)，若满足<?(兀)w 9的x的取值范围为E,设D= Er>D2^(/),把函数y = /(g(x))叫做函数y = f(x\x G £>,),y = 兀w»2)的复合函数，兀是复合函数y = /(g(兀))的自变量,定义域为D，g(x)叫做内函数，/(x)叫做外函数。

高一数学函数的基本性质知识点梳理

高一数学函数的基本性质知识点梳理1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零;2 偶次方根的被开方数不小于零;3 对数式的真数必须大于零;4 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .6指数为零底不可以等于零2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备值域补充1 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .2 . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . 3 . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 函数图象知识归纳1 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x ∈A中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 Px ， y 的集合 C ，叫做函数 y=f x,x ∈A的图象.C 上每一点的坐标 x ， y 均满足函数关系 y=fx ，反过来，以满足 y=fx 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 x ， y ，均在 C 上 . 即记为 C={ Px,y | y= fx , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线或直线 , 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .2 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 x,y 为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法请参考必修4三角函数常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换3 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。

函数的概念知识点总结

函数的概念知识点总结(含例题和答案)(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的概念总结一、知识梳理1．映射的概念：设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f 表示对应法则注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(3)函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、考点分析考点1：映射的概念例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=上述三个对应是A 到B 的映射．B A 、f A B A B B A f →:B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y =例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个，A 到B 的函数有个例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（）()A 8个()B 12个()C 16个()D 18个答案：1.（2）；2．81,64,81；3.D考点2：判断两函数是否为同一个函数方法总结：看化简后的表达式定义域值域是否完全一样。

中考数学函数知识点复习资料归纳

中考数学函数知识点复习资料归纳数学函数是中考数学中非常重要的一个知识点，也是许多学生感到困难的一个难点。

本文将梳理和总结中考数学函数知识点的基础概念、性质、图像、题型，为大家提供一份复习资料归纳，帮助大家举一反三，打好数学函数这个重要难点。

一、基本概念1. 函数的定义简单来说，函数是一种将自变量与因变量对应起来的规律。

具体来讲，函数f是集合A到集合B的一种映射，它将集合A中的每个元素x映射到集合B中的一个唯一确定的元素y。

通常用f(x)表示。

2. 定义域、值域和坐标轴定义域是指函数自变量可以取的全部实数值的集合。

值域是指函数因变量可以取的全部实数值的集合。

常用R表示实数集合。

坐标轴有两个，横坐标轴称为x轴，纵坐标轴称为y轴，坐标系是由x轴和y轴组成的。

3. 基本函数基本函数是函数的最基础的形式，学习基本函数能够更好地理解其他函数。

基本函数有：常函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数。

二、函数性质1. 函数的奇偶性若对于定义域内任何实数x，有f(-x)=f(x)，则函数f称为偶函数；若对于定义域内任何实数x，有f(-x)=-f(x)，则函数f称为奇函数；若函数f既不是偶函数，也不是奇函数，则称f为既非偶函数也非奇函数的函数。

2. 函数的单调性设函数f在[a,b]上可导，若在[a,b]上f(x)>0，则f单调递增；若在[a,b]上f(x)<0，则f单调递减。

3. 函数的周期性设T>0，如果对于定义域内任何实数x，均有f(x+T)=f(x)，则函数f称为周期为T的函数。

三、函数的图像1. 常函数图像常函数的图像是一条平行于x轴的一条直线，方程为f(x)=a（a为常数）。

2. 一次函数图像一次函数的图像是一条经过原点的斜率为k的直线，方程为f(x)=kx。

3. 二次函数图像二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线（又称U 型曲线或n型曲线），方程为f(x)=ax²+bx+c（a≠0）。

函数题型总结

函数题型总结函数题是高中数学中常见的一种题型，也是相对较难的一种题型。

函数题考察的是学生对函数的理解和运用能力，需要掌握函数的基本概念、性质以及函数的应用。

函数题主要分为以下几种类型：1. 函数的定义与性质题：这类题目要求学生根据给定的函数定义或性质，判断函数的取值范围、单调性等性质，或者求函数值、函数的表达式等。

例题1：已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数的零点。

解析：零点即函数取值为0的点，即$f(x)=2x^2-3x+1=0$。

将方程化简，得到$x=\frac{1}{2}$。

所以函数的零点为$\left\{\frac{1}{2}\right\}$。

2. 函数的图象题：这类题目要求学生根据函数的解析式或性质，画出函数的图象或根据图象，判断函数的性质。

例题2：画出函数$f(x)=x^2$的图象。

解析：首先确定图象的范围，然后确定坐标轴的刻度，根据函数的解析式，计算各个点的函数值，最后连接这些点，即可得到函数的图象。

函数$f(x)=x^2$的图象是一个抛物线，开口朝上，顶点在原点(0,0)处。

3. 函数的求最值题：这类题目要求学生根据函数的解析式或性质，求函数的最大值或最小值。

例题3：已知函数$f(x)=x^2-2x+3$，求函数的最小值。

解析：对于二次函数$f(x)=x^2-2x+3$，可以通过求导数的方法得到临界点。

首先求导得到$f'(x)=2x-2$，令导数为0，得到$x=1$。

再代入函数中计算最小值：$f(1)=(1)^2-2(1)+3=2$。

所以函数的最小值为2。

4. 函数的复合题：这类题目要求学生根据已知的函数关系，求出复合函数的表达式。

例题4：已知函数$f(x)=x+3$，$g(x)=2x-1$，求复合函数$(f\circ g)(x)$。

解析：复合函数$(f\circ g)(x)$表示先计算$g(x)$的值，再将$g(x)$的值代入$f(x)$中。

所以$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x-1)=(2x-1)+3=2x+2$。

专题05 函数 5.1函数的三要素题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)

专题四《函数》讲义5.1函数的三要素知识梳理.函数的概念1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示法解析法图象法列表法就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．题型一.定义域考点1.具体函数定义域1．函数f（x）＝（1﹣）−12+（2x﹣1）0的定义域是（）A．（﹣∞，1]B．（−∞，12）∪（12，1）C．（﹣∞，1）D．(12，1)2．函数op=M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪∁R N＝A．[﹣2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，1）考点2.抽象函数定义域3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是．4．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]考点3.已知定义域求参5．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是．6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1的定义域、值域都为R，则实数a满足（）A．a＝﹣1或a=−32B．−139＜＜−1C．a≠﹣1或a≠−32D．a=−32题型二.解析式考点1.待定系数法1．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式是．考点2.换元法3．已知o−1)=−2，则函数f（x）的解析式为．4．已知f（1−1+）=1−21+2，求f（x）的解析式．考点3.凑配法5．（1）已知f（1）=1−2，求f（x）的解析式；（2）已知f（x+1）＝x2+12，求f（x）．6．已知f（3x）＝4x log23+10，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于．考点4.方程组法7．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，则f（1）＝．8．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2•3x，则函数f（x）＝．考点5.求谁设谁9．已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，（1）求f（x）的解析式；（2）当f（x）＞0时．求x的取值范围．10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2﹣x，则当x∈（﹣1，0]时，f（x）的值域为（）A．[−18，0]B．[−14，0]C．[−18，−14]D．[0，14]考点6.利用对称求解析式11．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）12．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．4题型三.值域考点1.利用单调性求值域1．下列函数中，与函数op=(15)的定义域和值域都相同的是（）A．y＝x2+2x，x＞0B．y＝|x+1|C．y＝10﹣x D．=+12．已知函数f（x）＝log3（x﹣2）的定义域为A，则函数g（x）＝（12）2﹣x（x∈A）的值域为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，+∞）考点2.换元法3．函数=2+41−的值域为（）A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，4]C．[0，+∞）D．[2，+∞）4．函数f（x）＝log2（x2﹣2x+3）的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．R D．[2，+∞）考点3.分离常数5．函数=2r1r1在x∈[0，+∞）上的值域是．6．已知函数op=2+4，则该函数在（1，3]上的值域是（）A．[4，5）B．（4，5）C．[133，5)D．[133，5] 7．函数=2+2r2r1的值域是．8．下列求函数值域正确的是（）A．函数=5K14r2，x∈[﹣3，﹣1]的值域是{U≠54}B．函数=2−3r1的值域是{U≤−1，≥−15}C．函数=sB+1K2，∈[2，2)∪(2，p的值域是{U≤4K4，≥1K2} D．函数=+1−2的值域是{U−1≤≤2}课后作业.函数的三要素1．函数op=−2+9+10−2B(K1)的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]2．已知函数f（x）=l2，＞03，＜0，则no14)]的值为（）A．19B．13C．﹣2D．3 3．已知o p=2−2，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）B．f（x）＝x4﹣2x2C．op=−2o≥0)D．op=−24．已知函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，求：f（x）解析式．5．已知f（x）=(1−2p+3o＜1)Bo≥1)的值域为R，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，12）C．[﹣1，12）D．（0，1）6．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为．。

高一数学函数题型及解题技巧总结

高一数学函数题型及解题技巧总结一、基本概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在高中数学课程中，函数是一个重要的内容，学生需要掌握函数的基本概念以及相关的解题技巧。

1.1函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。

数学上通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数可以用一个公式、一个图象、一个表格或者一段描述来表示。

1.2函数的分类函数可以根据其性质进行分类，常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

每种函数都有其特定的表达式和性质。

1.3函数的性质函数有很多性质，例如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

学生需要了解这些性质，以便在解题中灵活运用。

二、题型及解题技巧在高一数学中，关于函数的题型多种多样，接下来我们将针对常见的函数题型及解题技巧进行总结。

2.1函数的图象和性质这种题型要求学生根据函数的表达式画出函数的图象，并分析其性质。

解题时，学生需要掌握函数的图象特征，如开口方向、交点、极值点等，可以通过计算一阶导数和二阶导数来判断函数的单调性和凹凸性。

2.2函数的定义域和值域在这类题型中，学生需要根据函数的表达式确定其定义域和值域。

解题时，可以通过分析函数的分式和根式部分来确定函数的定义域和值域，需要注意的是，对于分式函数，分母不能为0。

2.3函数的性质和变化这类题型要求学生根据函数的表达式和图象，分析其性质和变化规律。

解题时，学生可以通过变换函数的参数来研究函数的性质和图象的变化。

2.4函数的应用函数在实际问题中有着广泛的应用，如匀速运动、生长模型、利润最大化等。

在解决这类问题时，学生需要将实际问题转化为数学模型，并根据函数的性质来解决问题。

2.5函数的求值与方程这类题型包括函数值的计算和方程的解法。

解题时，学生需要根据函数的表达式和条件，求出函数的值或解出方程。

在解决方程时，可以通过化简、配方、倒代入等方法来得到解。

函数的基本定义

§2.1函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法．2．映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 5．函数定义域的求法【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )(3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × )(4)f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x >1或x <－1，则f (－x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1≤x ≤1，－x ＋1，x >1或x <－1.( √ )(5)函数是特殊的映射．( √ )(6)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( × )1．(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x >0，解得x >1或x <0.所以函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为 (－∞，0)∪(1，＋∞)．2．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x答案 C解析将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等．对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值组成的集合为________．答案 {3,0}解析当a >0时，由log 3a ＝1，解得a ＝3>0，符合题意，当a ≤0时，由(13)a ＝1，解得a ＝0，符合题意，综上所述，a ＝0或a ＝3. 4．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合．其中真命题的序号有________．答案 ①②解析对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图像不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一函数的概念例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1，x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．答案 ②③解析对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图像没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图像只有一个交点，即y ＝f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．(1)下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 (2)下列四个图像中，是函数图像的是( )A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④答案 (1)A (2)B解析 (1)A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同．D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)， f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.(2)由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图像，①③④是函数图像．题型二求函数的解析式例2 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)(2013·安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，则f (x )＝________.答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－x (x ＋1)2 (3)2x －1x(x ≠0) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ，得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)把题目中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x，联立方程⎩⎨⎧2f (x )＋f (1x)＝3x ， ①2f (1x )＋f (x )＝3x，②①×2－②得3f (x )＝6x －3x (x ≠0)．即f (x )＝2x －1x (x ≠0)．题型三求函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)(2013·大纲全国)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)答案 (1)B (2)B解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为(1，＋∞)．(2)由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x ＋1)的定义域为(－1，－12)．思维升华简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________． (2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为________________________________________________________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型四分段函数例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2B ．1C. 2D ．－ 2答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a ,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2；当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.思维升华 (1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．(2)在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则f (f (19))＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则方程f (x )＝12的解集为________．答案 (1)14 (2){－1，22，2}解析 (1)f (f (19))＝f (log 319)＝f (－2)＝2－2＝14.(2)当x ≤0时，解2x ＝12得x ＝－1；当x >0时，解|log 2x |＝12得x ＝22或x ＝ 2.所以方程f (x )＝12的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，22，2.分段函数意义理解不清致误典例：已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．易错分析本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．解析当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案－34温馨提醒 (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解． (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.方法与技巧1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解．失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．A 组专项基础训练 (时间：30分钟)1．(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2>1，解得x >2或0<x <12.故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.139答案 D解析由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( )A ．－2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋7 答案 D解析 f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x . 6．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(填序号)①P ＝Z ，Q ＝N ＋，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； ②P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对集合P 中的三角形求面积与集合Q 中的元素对应．答案 ②解析由于在①中，集合P 中的元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中的集合P 不是数集，从而知只有②正确．7．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________. 答案－78解析由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，f (x －2)，x >2，则f (log 27)＝________. 答案 74解析 f (log 27)＝f (log 27－2)＝f (log 274)＝27log 42＝74. 9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . 10．某人开汽车沿一条直线以60km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图像．解 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ， 0≤t ≤52，150， 52<t ≤72，150－50，(t －72) 72<t ≤132. 图像如右图所示． B 组专项能力提升 (时间：15分钟) 11．已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________. A ．11B ．10C ．12D ．9 答案 A解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.12．(微课)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3} 答案 B解析当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]；当a ≤x <0时，f (x )∈[－(12)a ，－1)，所以[－12a ，－1)⊆[－8,1]，－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.13．已知f (x )＋2f (－x )＝3x －2，则f (x )＝______.答案－3x －23解析由f (x )＋2f (－x )＝3x －2，①可得f (－x )＋2f (x )＝－3x －2，②①－②×2得，－3f (x )＝3x －2－2(－3x －2)＝9x ＋2，∴f (x )＝－3x －23. 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0，－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是____________________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3，解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)．15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图像，得⎩⎨⎧ 402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0， ∴y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。

高一数学函数题型及解题技巧总结

高一数学函数题型及解题技巧总结在高一数学中，函数是一个非常重要的概念，它在数学中的地位非常重要。

函数不仅在数学理论中占有重要地位，而且在实际生活中也有很多应用。

因此，学好函数对于高一学生来说至关重要。

下面我们将从函数的基本概念入手，逐步介绍高一数学中常见的函数题型及解题技巧。

一、函数的基本概念首先，我们来了解一下函数的基本概念。

在数学中，函数是一种对应关系，它可以将某一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的一个元素上。

通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

在函数中，自变量的取值范围叫做定义域，因变量的取值范围叫做值域。

函数又可以分为初等函数和非初等函数两大类。

初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等；非初等函数包括幂函数、指数对数函数、三角反三角函数等。

二、高一数学中常见的函数题型1.多项式函数的性质题多项式函数是高中数学中的一个重要内容。

多项式函数的性质题一般包括函数的奇偶性、增减性、最值等。

解这类题目首先要对函数的解析式进行化简，然后根据化简后的函数性质进行分析，找出相应的结论。

解题技巧：1）对于奇偶性的判断，可以利用f(-x)和f(x)来进行判断。

如果f(-x)=f(x)，则是偶函数，如果f(-x)=-f(x)，则是奇函数。

2）对于增减性的判断，可以通过求导或者利用一阶导数的符号进行判断。

3）对于最值的求解，可以通过求导或者利用函数的性质进行判断。

2.指数函数与对数函数的相关题型指数函数与对数函数是初等函数中的重要内容。

它们在数学中有着重要的应用，如在增长与衰减、复利等方面。

指数函数与对数函数的相关题型主要包括函数的性质、指数方程与对数方程的解法、幂函数与对数函数的互化等。

这类题目的解题关键在于熟练掌握指数对数函数的性质以及运用性质解题。

解题技巧：1）对于指数函数与对数函数的性质题，可以利用函数的定义以及性质进行分析求解。

2）对于指数方程与对数方程的解法，可以利用换底公式、对数的性质等进行求解。

函数的基本概念知识点及练习

函数的基本概念一，映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b 叫做a的象，a叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).二，函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y ，x A．f(x)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2，映射与函数设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3，构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.题型一，映射的概念判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射。

1，判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，题型二，函数异同的判断当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：0(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形1，下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)2，判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.。

初中基本函数知识点总结

初中基本函数知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个数集中的每一个数映射成另一个数集中的唯一一个数。

2. 自变量和因变量：在函数中，自变量是输入的值，因变量是输出的值。

3. 函数的表示：一般来说，函数可以用表格、图像、公式或者文字描述。

4. 定义域和值域：在函数中，定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

二、函数的图像和性质1. 函数的图像：函数的图像是自变量和因变量之间的关系的几何表示。

2. 函数的性质：函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等。

三、基本初等函数1. 常数函数：常数函数的表达式是f(x) = C (C为常数)，它的图像是一条水平的直线。

2. 一次函数：一次函数的表达式是f(x) = kx + b (k和b为常数,k≠0)，它的图像是一条斜线。

3. 二次函数：二次函数的表达式是f(x) = ax² + bx + c (a、b、c为常数，且a≠0)，它的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

4. 幂函数：幂函数的表达式是f(x) = xᵐ (m为常数)，它的图像是经过原点的曲线。

5. 指数函数：指数函数的表达式是f(x) = aˣ (a为正实数，且a≠1)，它的图像是逐渐上升或逐渐下降的曲线。

6. 对数函数：对数函数的表达式是f(x) = logₐx (a为正实数，且a≠1)，它的图像是一条拐点在(1,0)处的曲线。

四、函数的运算1. 函数的和、差、积、商：函数的和、差、积、商分别对应于两个函数的和、差、积、商。

2. 复合函数：复合函数是指一个函数的自变量被另一个函数的因变量代替。

3. 反函数：若函数y=f(x)的定义域为D，值域为R，则对于D中的任意一个数x，能使f(x) = y成立的y是唯一的，那么函数y=f(x)的反函数是一个函数，其定义域为R，值域为D。

五、函数的应用1. 函数的应用：在实际生活中，函数的运用十分广泛，包括表示物体的运动规律、生活中的购物花费、投资收益等。

函数基本概念常考题型含详解

函数概念常考基础题型题型一：函数概念1、下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．2、下列对应关系是从集合A 到集合B 的函数的是（）A ．A R =，{}0B x x =>，f ：x y x→=B ．A R =，{}0B x x =>，f ：ln x y x→=C ．A Z =，B N =，f ：x y →=D ．A Z =，B N =，f ：2x y x →=3、判断下列对应是否为函数：（1）f ：x →y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}；（2）f ：x →y ＝16x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}；（3）f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈R ，y ∈R .题型二：区间表示1、用区间表示下列集合：（1）{|13}x x -≤≤；（2）{|01}x x <≤；（3）{|25}x x ≤<；（4）{|02}x x <<；（5）{|3}x x <；（6）{|2}x x ≥.2、若[a,3a－1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．题型三：求函数的定义域1、求下列函数的定义域：（1）1 231y x x =++-；（2）1 y x=；（3）y =+2、解下列各题:（1）已知函数()f x 的定义域是[]1,2，求函数()1f x +的定义域.（2）已知函数()1f x +的定义域是[]1,2，求函数()f x 的定义域.（3）已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，求函数()()122g x f x x =+--的定义域。

（4）已知函数y R ，求实数m 的取值范围．3、若()y f x =的定义域为[1,1]-，则函数(3)3x y f x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为_________.。

函数概念与基本初等函数题型归纳与习题含详解

f (1) 1 ，即 a＋b＋c≥1.
(2)因为 f x ax2 bx c(a 0) 的图像上任意一点都不在直线 y＝x 的下方，取相同 x，二次函数值总大于一次函数值，所以 f x x ，即 ax2 bx c x ，得 ax2 (b 1)x c 0 ，
对任意 x∈R 成立.
解析 f x 1 ＝ x 1 2 2 ,又 x 1 2 或 x 1 ―2,故 f x x2 2
x x
x
x
(x>2 或 x<―2) 评注求函数解析式要注意定义域
变式 1
已知
f x 1 x
x2 1 x2
1 x
求
f x 的解析式
三、方程组法
例 2.7 已知函数 f x 满足： f x 2 f 1 3x x 0 ,求函数 f x 的解析式.
(2) y x 2 的定义域为{ x x 0 }; y x2 的定义域为 R，故该组的两个函数不是同一函
数；
(3)两个函数的定义域均为｛ x x ≠0｝，且对应法则也相同,故该组的两个函数是同一函数
故为同一函数的一组是（3）
评注由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什
(1) p : x 1, 2, x2 a 0 ；
(2) A N , B Z , f : x y (1)x ；
（3）A＝{x|是平面内的三角形}，B＝｛y|y 是平面内的圆｝，f:x→y 是 x 的外接圆；（4）设集合 A＝｛x|是平面内的圆｝，B＝｛y|y 是平面内的矩形｝，f:x→y 是 x 的内接矩形其中能构成映射的是_______ 变式 2 已知函数 y＝f(x),定义域为 A＝｛1,2,3,4｝值域为 C＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共有多少个？

函数的单调性知识点总结与经典题型归纳

欢迎阅读函数的单调性知识梳理1. 单调性概念一般地，设函数()f x 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2. （1（2 （33. 区间【例(1)(2)解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。

【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f (x )=x ;①从左至右图象上升还是下降?②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？（2）f (x )=x 2．①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？解：（1）①从左至右图象是上升的；②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．（2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小；②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大．【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？解：不一定，例如下图：【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---；其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数.【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数.证明：设12,x x 是R 上的任意两个实数，且12x x < （取值）则1212()()(32)(32)f x f x x x -=+-+ （作差）由12x x <，得 120x x -<于是12()()0f x f x -< （定号）所以12()()f x f x <所以，函数()32f x x =+在R 上是增函数。

一次函数知识点总结与常见题型

一次函数知识点总结与常见题型基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式S = vt中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程, 则变量是,常量是__________ 。

在圆的周长公式C=2n r中，变量是__________________________ 常量是_________ .2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断丫是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，丫是否有唯一确定的值与之对应1 2例题：下列函数（1）y=n x（2） y=2x —1（3） y=⑷y= —3x（5） y=x - 1中，是一次函数的有 2（）（A） 4 个（B） 3 个（C） 2 个（D） 1 个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x>2的是（）A. y= \,''2 -xB. y= ---------C. y=叮4 -D. y=■ 2 •-^2J x-2函数y = J x -5中自变量x的取值范围是______________ .1已知函数y = -― x • 2，当一 1 ：：： x乞1时，y的取值范围是（）2A -^^3B. 3<^5C. - <^-D. - <^-2 2 2 2 2 2 2 25、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

函数的概念及其表示

课前案基本知识梳理1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦　;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑧ .(2)函数的三要素:⑨　、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩　相同,且完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为 .(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为 ;当a<0时,值域为.(3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.课中案一、目标导引1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.二、牛刀小试判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数=x 0是同一个函数. ( )(2)f (x 是一个函数. ( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等. ( )(4)函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个.( )2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x 21x-( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( )A.(-1,1)B. 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.(-1,0) D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1三、例题讲解考点一　函数、映射概念的理解例1　(1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y = 11x + ,x ∈A ,y ∈B ;②A = *1|N 2a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ ,B= *1|,N nb b n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭,对应关系f :a →b ,b= 1a ;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A 到B 的映射的为 ( )A.①③B.②④C.①④D.③④(2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y 2B.y y =xx 2+1 D.y 变式练习1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根;②A =R,B =R, f :x →x 的倒数;③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2.其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③2.( )A.f (x )=|x |,g (x f (x g (x 2C.f (x )=211x x --g (x )=x +1 D.f (x g (x考点二　函数的定义域例2　(1)函数f (x x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2](2)函数f (x 2563x x x -+- 的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]角度二　已知函数定义域,求参数的取值范围例3　(1)(2019河北衡水联考)若函数y = 2143mx mx mx -++ 的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)若函数f (x 2ax abx b ++的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为角度三　抽象函数的定义域例4　已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ +f12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域是.考点三　函数的解析式例5　(1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ).(2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ).变式练习(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.考点四　分段函数例6　已知函数f(x)=229,1,4,1,x ax xx a xx⎧-+≤⎪⎨++>⎪⎩ 若f(x)的最小值为f(1),则实数a的取值范围是.角度二　已知函数值,求参数的值(或取值范围)例7　设函数f(x)= 22,0,1,0,x x xx x⎧+<⎨+≥⎩则f(-1)= ; 若f(a)>f(a-1),则实数a的取值范围是 .变式练习(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f(x)=2,0,1,0,x xx-⎧≤⎨>⎩ 则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)课后案1.下面可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={x|0≤x≤1}为值域的函数图象的是( )2.(2020河北邢台模拟,理2)已知集合A={x|lg(x2-x-1)>0},B={x|0<x<3},则A∩B=( )A.{x|0<x<1}B.{x|x<-1}∪{x|x>0}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<1}∪{x|2<x<3}3.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.f(x)=e ln x,g(x)=xB.f(x)=,g(x)=x-2C.f(x)=,g(x)=sin xD.f(x)=|x|,g(x)=5.若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-f(x+3)的值域是( )A.[-8,-3]B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]6.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B C D7.(2020重庆模拟,理13)已知函数f(x)=ln(-x-x2),则函数f(2x+1)的定义域为 .8.(2020辽宁大连一中6月模拟,文3)设f(x)=且f(2)=4,则f(-2)= .9.设函数f(x)=若f(t+1)>f(2t-4),则实数t的取值范围是 .10.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,则f(x)= .B组11.(2020广东华师大附中月考)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]12.(2020河北衡水中学检测)已知函数f(x)=若实数a满足f(a)=f(a-1),则f=( )A.2B.4C.6D.813.(2020山东济南三模,5)“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值,其计算方法是将每一期增长量相加后,除以期数,即国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标,下表是我国2015—2019年GDP数据:年份20202020201516171819国内生产总值/万亿68.8974.6483.291.9399.09根据表中数据,2015—2019年我国GDP的平均增长量为( ) A.5.03万亿 B.6.04万亿C.7.55万亿D.10.07万亿14.已知函数f(x)=则f= .课后案答题纸A组1234567. 8.9. 10.B组1234.。

九年级下册函数知识点

九年级下册函数知识点函数是数学中的重要概念，也是九年级数学下册的重点内容。

本文将介绍九年级下册函数的基本概念、性质、图像以及与函数相关的常见题型和解题思路。

一、函数的基本概念函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合中的唯一元素（称为函数值）。

函数通常用符号y=f(x)表示，其中x为自变量，y为函数值，f为函数名。

函数有定义域和值域两个重要的概念。

定义域是指所有自变量的取值范围，而值域则是函数值的范围。

二、函数的性质1. 单调性：函数的单调性描述了函数图像的变化趋势。

如果对于定义域内的任意两个不同的自变量x1和x2，都有f(x1)<f(x2)，则称函数为严格递增函数。

如果f(x1)>f(x2)，则称函数为严格递减函数。

2. 奇偶性：如果函数满足f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果函数满足f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。

若函数既不满足偶性也不满足奇性，则称函数为非奇非偶函数。

3. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意自变量x，有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数。

周期函数的最小正周期称为函数的周期。

三、函数的图像函数的图像可以通过绘制函数的关系表和绘制坐标轴上的点来得到。

绘制图像时需要注意定义域和值域的范围，选择合适的坐标轴刻度，并画出关键点。

对于一些特殊的函数，如常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数等，可以根据函数的特点作出相应的图像。

四、与函数相关的常见题型和解题思路1. 函数的定义域和值域：根据函数的表达式，求出函数的定义域和值域。

2. 函数的增减性：根据函数的导数或图像，判断函数在定义域上的增减性。

3. 函数的奇偶性：将函数的表达式代入相应的奇偶性定义，判断函数的奇偶性。

4. 函数的图像与变换：根据函数的变换规律，绘制函数的图像，并根据需要进行平移、伸缩、翻转等操作。

5. 函数的复合和逆运算：给定两个函数，求出它们的复合函数和逆函数，并进行相应的运算。

函数的概念

专题一：函数的概念一、基本知识点一）、函数的基本概念1.函数的定义2.函数的定义域、值域；3.函数的三要素：定义域、值域、对应关系；4.相等函数.二）、区间和无穷大1.区间的定义；2.区间的端点和长度；3.无穷大；4.无穷区间三）、映射的概念1.定义：2.具有映射关系的两个集合之间元素的对应方式可以是“一对一”、“多对一”、但不能“一对多”.3.一一映射四）、复合函数如果y 是u 的函数，记为()u f y =，u 又是x 的函数，记为()x g u =，且()x g 的值域与()u f 的定义域的交集非空，则确定了一个关于x 的函数()()x g f y =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f y =叫做外层函数，()x g u =叫做内层函数.二、典例选讲题型一、有关函数和映射的定义问题例1．已知B A f →:是从集合A 到B 的映射，下列说法错误的是（）A. A 中的每一个元素在B 中必有像B. B 中可能有元素在A 中没有原像C. A 中的两个不同的元素在B 中的像一定不相同D. B 中的某个元素在A 中的原像可能不止一个例2．已知集合{}{}1,0,1,,,-==Q c b a P ，映射Q P f →:中满足()0=b f 的映射的个数共有（）A.2个B.4个C.6个D.9个变式1. 集合{}{},7,6,5,4,3==B A 那么可建立从A 到B 的映射个数是________,从B 到A 的映射个数是___________.变式2.下列各项表示同一函数的是（）()()111.2+=--=x x g x x x f A 与 ()()11.2-=-=x x g x x f B 与 ()()xx u g u u u f C -+=-+=1111.与 ()()x x x g x f D 1,1.⋅==与题型二、求函数的定义域例3.求下列函数的定义域.①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④x x x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y例4．()()[]()的定义域；，求函数，的定义域是已知函数2401x f x f()()[).212的定义域，求函数，的定义域是已知函数⎪⎭⎫⎝⎛∞+x f x f()()[]()().12203的定义域，求函数，的定义域是已知函数-==x x f x g x f y()()[)().7,3-124的定义域，求函数的定义域是已知函数x f x f -变式1.若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域变式2.设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域变式3.()()().227,7612的定义域求函数已知x f x x g x x x f -+=-+=-变式4.已知函数()x f 的定义域是[]b a ,，0>->a b ，求函数()()()x f x f x F -+=的定义域. 变式5.()_______________1,21|的定义域为则函数的定义域为若函数⎪⎭⎫⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧>x f x x x f 题型三、利用函数的定义域解题例5．？的定义域为为何值时，函数当R kx kx kx y k 12822++-=变式1.已知函数132+-=mx mx y 在定义域内恒大于0，求m 的取值范围.变式2.已知函数()862++-=m mx mx x f 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.题型四、求函数的值域例6..求下列函数的值域()22111x x y +-=， ()3223222-++-=x x x x y ， ()x x y -+=123 ()314---=x x y例7..3,2,112的值域求函数若++=≥≤≤-ax x y a x变式1.已知函数()222+-=x x x f 在[]1,+∈t t x 上的最小值为()t g ，试写出()t g 的表达式. 变式2.()01≥+=x x y 的反函数为()x f y 1-=，则()x f 1-的值域为（）{}1|.-≥y y A {}1|.-≤y y B R C . {}0|.≥y y D变式3．设函数()12++=x b ax x f 的值域为[]4,1-，求b a ,的值域. 题型五、怎样求函数的最大值和最小值例8.求函数23-=x y 在[]5,3∈x 上的最大值和最小值. 例9..,623,2222的最大值及最小值求满足若y x x y x y x +=+变式1.;1的值域求xx y += 变式2.若,122=+y x 则12--x y 的最小值是_______,43y x +的最大值是_________. 题型六、有关函数概念的综合问题例10．已知二次函数()()0,2≠+=a b a bx ax x f 是常数且满足条件：(),02=f 方程()x x f =有等根. ()()的解析式；求x f .1(2).是否存在实数()n m n m <,，使得()x f 的定义域和值域分别为[]n m ,和[]n m 2,2？如果存在，求出n m ,的值；如果不存在，说明理由.变式1.已知函数()()为常数b a bax x x f ,2+=，方程()012=+-x x f 有两个实根，分别为4,321==x x .试求函数()x f 的解析式.变式2.已知不等式()0314)54(22>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围. 补充练习：求下列函数的值域．（1）y ＝1－2x ，（x ∈R ）；（2）y ＝|x |－1，x ∈｛－2，－1，0，1，2｝；（3）y ＝x 2＋4x ＋3，（－3≤x ≤1）；（4）y ＝|x ＋1|－|x －2|；（5）13432－＋－＝x x y ；（6）2224)1(5＋＋＋＝x x x y ；（7）521＋－＝x x y ；（8）1223222＋＋－－＝x x x x y ；（9）3－2x －x 2，x ∈［－3，1］；（10）21322－－＝x x y ．2011年高考真题精选6.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为A. 4B. 3C. 2D. 122.（江西文3）若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )1(,0)2- B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-⋃+∞ D.1(,2)2-25.（江西理3）若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 定义域为 A. )0,21(- B.]0,21(- C. ),21(+∞- D.),0(+∞。

函数的基本概念梳理以及题型.doc

第二章 2.1函数

6函数的概念、定义域、值域求法-教师版.doc

高一数学函数的基本性质知识点梳理

函数的概念知识点总结

中考数学函数知识点复习资料归纳

函数题型总结

专题05 函数 5.1函数的三要素 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)

高一数学函数题型及解题技巧总结

函数的基本定义

高一数学函数题型及解题技巧总结

函数的基本概念知识点及练习

初中基本函数知识点总结

函数基本概念常考题型含详解

函数概念与基本初等函数题型归纳与习题含详解

函数的单调性知识点总结与经典题型归纳

一次函数知识点总结与常见题型

函数的概念及其表示

九年级下册函数知识点

函数的概念

专题05 函数 5.1函数的三要素题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)