(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结

1、一元二次方程的一般式：2

0 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法

（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2

(0)x

a a =≥

解为：x = ②2

()(0)x a b b +=≥

解为：x a += ③2

()(0)ax b c c +=≥

解为：ax b += ④2

2()

()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+

（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

（3）公式法：一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222

4()24b b ac x a a -+= ①当2

40b ac ∆=->

时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a

-=② 当2

40b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a

=-

③ 当2

40b

ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：2

0 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c

②求出2

4b

ac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =

3、一元二次方程的根与系数的关系

法1：一元二次方程2

0 (0)ax

bx c a ++=≠的两个根为：

1222b b x x a a

-+-==

所以：12b

x x a

+=

+=-，

221222()422(2)4b b b ac c

x x a a a a a

-+----⋅=⋅===

定理：如果一元二次方程2

0 (0)ax

bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：

1212,b c

x x x x a a

+=-=

法2：如果一元二次方程2

0 (0)ax

bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么

2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：

2212120()0b c x x x x x x x x a a

+

+=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12c

x x a •=

法3：如果一元二次方程2

0 (0)ax

bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么

2

1122200

ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩

①-②得：12

b

x x a

+=-

（余下略） 常用变形：

222121212()2x x x x x x +=+-，

12

1212

11x x x x x x ++=，

22121212()()4x x x x x x -=+-，

12||x x -=

2212121212()x x x x x x x x +=+，

221112

121212

22212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==

等 练习：

【练习1】若12,x x 是方程2

220070x

x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1)

2212x x +；

(2)

12

11

x x +；

(3)

12(5)(5)x x --；

(4)

12||x x -．

【练习2】已知关于x 的方程2

21

(1)104

x

k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．

(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

【练习3】已知12,x x 是一元二次方程2

4410kx

kx k -++=的两个实数根．

(1) 是否存在实数k ，使1

2123

(2)(2)2

x x x x --=-

成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．

(2) 求使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题

（1）平均增长率的问题：(1)n a x b +

= 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，

①

②

b 表示增长后的数量。 （2）面积问题：注意平移思想的使用

5、换元法 例：2

22()5()60x x x x ---+=

解：令2y x x =- 则原方程可化为：2560y y -+= 解得：12y = 23y = ①当2

2x

x -=时，求得：121,2x x =-=

②当2

3x

x -=时，求得：3,4

x =4个解） 练习：22

1211x x x x +-=+

()m x m m ±=⇒≥=,02

※※对于

()m a x =+2，()()

2

2

n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法

例1、解方程：

();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x

例2、解关于x 的方程：02

=-b ax

例3、若()()

2

2

21619

+=-x x ，则x 的值为 。

）

A.12322

-=+x x B.()022

=-x C.x x -=+132 D.092=+x

)()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或

0”，

()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，

0222=++a ax x

例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）

A

25=

x B 3=x C 3,2

521==x x D 52

=x 例2、若

()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。

例3、方程062

=-+x x

的解为（ ）