历年高考数学概率与分布列解析汇编

第十一章 高考概率与统计考点解析

概率与统计试题是高考的必考内容。当求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率，解此类题目常应用以下知识：

(1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)

()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤：

① 计算一次试验的基本事件总数n ;

② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ;

③ 依公式()m P A n

=求值;

④ 答，即给问题一个明确的答复。

(2) 互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B );

特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1。

(3) 相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );

特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(。其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项。

(4) 解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

① 求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件

n 次独立重复试验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种。

第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件。 第三步，运用公式()()()()()()()()(1)

k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复。

考点1 考查等可能事件概率计算

在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A 包含的结果有m 个，那么P （A ）= n

m 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。 例1、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。

(I) 求所选3人都是男生的概率；

(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；

(III)求所选3人中至少有1名女生的概率。

解：(I) 所选3人都是男生的概率为 34361.5

C C =

(II) 所选3人中恰有1名女生的概率为 1224363.5

C C C = (III) 所选3人中至少有1名女生的概率为12212424364.5

C C C C C +=

考点2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算

不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算。

事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，则A 、B 叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为B A ⋅。用概率的法公式()()()B P A P B A P ⋅=⋅计算。

高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。

例2、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；

（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。

解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分

则A 、B 、C 相互独立，由题意得：P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05

P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1，P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125………4分

解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5

所以， 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分

（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴A

B C 、、相互独立，……………………………………7分 ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为

()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=……………………………10分 ∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-⋅⋅=-=……12分

考点3 考查对立事件概率计算

必有一个发生的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件。即-=A B 或-

=B A 。用概率的减法公式()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=_1A P A P 计算其概率。 高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。

例3、甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5

221

与。 （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率。

解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则

.5

3)(,21)(,52)(,21)(====B P A P B P A P ∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为B A ⋅+⋅

.2

152215321)()()(=⨯+⨯=

⋅+⋅=⋅+⋅∴B A P B A P B A B A P 答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.21 （Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为100

953532121=⨯⨯⨯=P