基本波动方程的求解方法

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基本波动方程的求解方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

关于弦振动的求解方法

李航

一、无界弦振动

1、一维齐次波动方程

达朗贝尔方程解无界的定解问题

⎰+-+-++=at x at

x d a at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中,通常是先求方程的通解,然后利用定解条件确定通解所含的任意常数,从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式,解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定,称区间

],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域,在t x -平面上,它可看作是过点),(t x ,斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。

2、一维非齐次波动方程的柯西问题

达朗贝尔方程解非齐次定解问题

令),(),(),(t x V t x U t x u +=,可将此定解分解成下面两个定解问题: (I) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== , )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ

(II) ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== , 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出:

⎰+-+-++=at x at

x d a at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。 对于问题(II),有下面重要的定理。

定理(齐次化原理)设),,(τωt x 是柯西问题

的解)0(≥τ,则⎰=t d t x t x V 0

),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程

1、分离变量法

齐次条件的分离变量法

(1) (2) (3)

设)()(),(t T x X t x u =,代入方程(1)得:

上式右端不含x ,左端不含t ,所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为λ-,则有:

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0

),(),0(0,0,010

22222x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ

0)()(''=+x X x X λ (4)

0)()(2'=+t T a t T λ (5)

所齐次边界条件可得:

0)()(,0)0('=+=l hX l X X (6)

从而特征值问题:

对λ的取值分三种情况0>λ,,0=λ0<λ进行讨论。

这个定解的特点是:偏微分方程是齐次的,边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解,通过叠加求定解问题的解。

非齐次条件分离变量法

分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏,则不能采用分离变量法解。

分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的,这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来,如果边界条件非齐次,则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时,必须设法将边界条件化成齐次的。如:

设),(),(),(t x W t x V t x u +=,通过适当选取),(t x W 使新的未知函数满足齐次边界条件,这只须使),(t x W 满足:

)(),0(11t g t W =,)(),(21t g t l W =

即可。

小结:分离变量法的解题步骤

a ,

令)()(),(t T x X t x U += b , 将试探解带入泛定方程。

c , 将等式两边同时乘以

xx u a 21,进行分离变量,获得两个常微分方程。 d , 由边界条件,将)(x X 方程解出需要讨论本征值λ(0>λ,,0=λ0<λ)三种情

况,获得本正值和本征函数。

e ,

写出)t (T 解的形式后与)(x X 一起构成),(t x U 通解形式。 f , 由初始条件确定待定系数。

三、无界、有界,齐次、非齐次的通解方法

傅里叶级数解法

设),(),(),(t x W t x V t x U +=(4),其中构造)()(t t ),(B A t x V +=让其满足(2)则:

所以对),(t x W 有:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<+∂∂=∂∂==)()()( 8)(|),(|70),(),0(60,0,t sin t 0102

22222

x u x u t l W t W t l x A x W a t W t t φϕωω 令)()(9t kx sin t ),(0k k ∑∞==πT t x W

(9)式带回到(6)式

)()(9t kx sin t ),(0k 1k ∑∞==πT t x W

解出: 整理出),(t x W 与),(t x V 构成),(t x U 的解,再带回到(3)是求出待定系数。 小结:一般傅里叶级数的求解步骤

1、令∑∞

==0k k k )x (t ),(X T t x U )(,其中展开基)x (k X 为对应齐次函数本征函数(由边界条件

决定)

2、将∑∞

==0k k k )x (t ),(X T t x U )(带入泛定方程后,将),(t x f 也按)x (k X 展为傅里叶级数,

比较等式两边,获得)(t k

T 的常微分方程。

3、将∑∞==0k k k )x (t ),(X T t x U )(带入初始条件,得到关于)(t k

T 方程的定解条件。

4、解关于)(t k

T 的常微分方程。

5、将)(t k T 解的通解形式带回到∑∞==0k k k )x (t ),(X T t x U )(中即可。(此时即为方程的解)

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