初数-构造辅助圆解题教法解析
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BC
(3) 在图 2 中，固定 △AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出 PM 的最大值.
B
A
M
O P
N
B
A
M
O
P
N
D
C
D
C
二、作三角形的外接圆
总结：寻找直角三角形直角顶点时， 可以考虑以斜边为直径构造辅助圆
在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（1，0），点P
在y轴上，且△ABP为直角三角形，∠APB=90°. 请问满
(1) 如图 1，若 A 、 O 、 C 三点在同一直线上，且∠ABO 60 ，则△PMN 的形状是
________________，此时 AD ________； BC
(2) 如图 2，若 A 、O 、C 三点在同一直线上，且∠ABO 2 ，证明△PMN∽△BAO ，
并计算 AD 的值（用含 的式子表示）；
总结：若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P,
且PA·PB＝PC·PD, 则它的四个顶点共圆.
如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线
，AD⊥PO于D．求证：PB PC ． PD CD 思路：因所证比例线段不是对应边， 故不能通过判定△PBD与△PCD相 似证明．PA²=PD·PO=PB·PC，B、 C、O、D共圆，这样连OB，就得 多对相似三角形，以此达到证明的 目的．
如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44° 求∠CAD的度数
思路：由圆的定义构造辅助圆，再 由根据圆的性质表示各角关系，即 可求解。
例题 Example
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：当出现同侧直角三角形时，
可以考虑构造辅助圆
△ABC中, 作BD⊥AC于D, CE⊥AB于E, 连DE, 若
（1）求反比例函数 y k 的解析式
x
y2 x
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P
的坐标.
思路：由PA=OA可知，P在以A为 圆心0A为半径的圆上，圆及坐标轴 交点即为点P，由等腰三角形性质 即可求P坐标
例题 Example
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：共端点等线段出现三条时，
例题 Example
一、利用圆的定义添补辅助圆 1.直接用定义 2.间接用定义：共斜边的等腰直角三角形
例题 Example
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：需要多条共端点等线段时，
可以利用圆定义构造辅助圆
在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图象与反比例函数
y
k x
的图象的一个交点为A（-1，n）.
构造辅助圆解题
教法解析
内容简介
Contents
教学内容分析 学生情况分析 教学设计思想 知识点回顾 典例分析
教学内容分析
【教学内容分析】
本节课的授课内容是学完《圆》后, 作为对学生能力提升的一个引申和补充的 内容，也属于构造辅助线的一种。
直线形 直线型辅助线
曲线形
圆 辅助圆
学生情况分析
教学设计思想
求证：∠CPO=∠DPO．
思路：切线长定理可知，OA⊥AP， AM⊥OP，可得AM²=OM·MP，由 相交弦定理可知CM·MD=AM·MB, 因此可得CM·MD=OM·MP，所以C、
例题 O、D、P四点共圆，由CO=BO即
可证得。 Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助圆（不在11月月考范围内）
回顾 Problem
三角形的外接圆与内切圆：
外心：垂直平分线交点 内心：角平分线交点
四点共圆的判定：
回顾 A.可以使用 B部分可以使用 C不P可r以o使b用lem
四点共圆的判定：
① 若一个四边形的一组对角互补, 则它的四个顶点共圆. ② 同底同侧张等角的三角形, 各顶点共圆. ③ 若四边形ABCD的对角线相交于P, 且PA·PC=PB·PD,
思路：由圆的定义构造辅助圆，再 由△PAD∽△PCB求出PA、PD， 进而求出AD，在Rt△ABD中即可 求解。
例题 Example
已知：△AOB 中， AB OB 2 ，△COD 中，CD OC 3 , ∠ABO ∠DCO . 连
接 AD 、 BC ，点 M 、 N 、 P 分别为 OA 、OD 、 BC 的中点.
如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且
∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，且GB=GC，
∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG平分∠BHF．
思路：经计算可得∠A=45°，△ABE， △BFH皆为等腰直角三角形，只需证 ∠GHB=∠GHF=22.5°．
由∠BGC=3∠A=135°=∠BHC，得B、G、 H、C四点共圆，由∠GCB=∠GHB=22.5°
④ 若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P,
且PA·PB＝PC·PD, 则它的四个顶点共圆.（割线定理逆定理）
⑤一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个
凸四边形内接于圆（托勒密定理的逆定理）
图中无圆，心中有圆
谢谢
Thanks
∠ABC=45°, 则∠EDB的度数为
.
思路：由直角三角形斜边中等于斜 边一半可求得MB=MF=MC=MD， 可构造以M为圆心BM为半径的圆， 根据圆周角定理可求得 ∠EDB=45°
B
例题 Example
A
E D
O
C
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：当出现共斜边直角三角形时，
可以考虑构造辅助圆
凸四边形ABCD中, ∠ABC＝60°, ∠BAD＝∠BCD＝90°, AB＝2, CD＝1, 对角线AC、BD交于点O, 则tan∠ACB＝____.
可以考虑构造辅助圆
在四边形ABCD中，AB=AC=AD,∠BAC=25°， ∠CAD=75°，求∠BDC,∠DBC的度数.
思路：由AB=AC=AD可构造以A点 为圆心AC为半径的圆，由圆周角 的性质即可求得角的度数
例题 Example
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：共端点等线段出现三条时，
可以考虑构造辅助圆
例题 本题运用圆中角转化灵活的特点证明． Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助圆（不在11月月考范围内）
总结：若四边形ABCD的对角线相交于P, 且PA·PC=PB·PD, 则它的四个顶点共圆.
如图，P是⊙O外一点，PA和PB是⊙O的切线，A，B为切
点，P O与AB交于点M，过M任作⊙O的弦CD．
关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、 F与P、E、C、F分别共圆， ∠DPF=180°-∠ABC=∠180°-∠ACB=∠EPF， ∠DFP=∠DBP=∠BCP=∠PFE 突破角是解题的关键．
例题 Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助圆（不在11月月考范围内）
总结：同底同侧张等角的三角形, 各顶点共圆.
例题 Example
2r
b sin∠B
二、作三角形的外接圆
总结：三角形中涉及到倒角的题目， 可以考虑构造三角形外接圆
在△ABC中，AD是BC边的中线，且∠B+∠CAD=90°.
试判断△ABC的形状，并加以证明.
思路：由需要倒角而想到构造外接 圆，根据90°进而确定直径，结合 垂径定理推论，分类讨论后即可得 到答案
例题 Example
二、作三角形的外接圆
总结：三角形中涉及到倒角的题目， 可以考虑构造三角形外接圆
如图, 在锐角△ABC中, A, B, C的对边
分别为a,b,c .
求证:
a sin a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b sin b
c sin c
思路：由PA=OA可知，P在以A为 圆心0A为半径的圆上，圆及坐标轴 交点即为点P，由等腰三角形性质 即可求P坐标
（3）四点共圆的条件（不在11月月考范围内）
例题 Example
四点共圆的判定：
回顾 Problem
① 若一个四边形的一组对角互补, 则它的四个顶点共圆.
② 同底同侧张等角的三角形, 各顶点共圆.
③ 若四边形ABCD的对角线相交于P, 且PA·PC=PB·PD,
则它的四个顶点共圆.（相交弦定理逆定理）
知识点回顾
圆的定义：
回顾 Problem
从动态角度定义圆： 在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点A所形成的图形叫做圆.
从集合角度定义圆： 平面上到定点O的距离等于定长r的点的集合是以O为圆心、以 r为半径的圆.
圆的性质：
回顾 Problem
垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
思路：题意可知，直角三角形斜边 即为外接圆直径，由勾股定理即可 求出斜边，从而求出半径
例题 Example
二、作三角形的外接圆
在△ABC中, ∠B =2∠C. 求证: AC< 2AB.
总结：三角形中涉及到倒角的题目， 可以考虑构造三角形外接圆
思路：
作BE平分∠ABC,过A作AD∥BC， 易证AC=BD，AB=AD，故2AB>AC 作△ABC的外接圆，在其圆上取一点 D，使得AB=BD，连接BD，CD和AD， 则易证AD=AC，可证AC<2AB
则它的四个顶点共圆.（相交弦定理逆定理） ④ 若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P,
且PA·PB＝PC·PD, 则它的四个顶点共圆.（割线定理逆定理） ⑤一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个 凸四边形内接于圆（托勒密定理的逆定理）
典例分析
构造辅助圆的常见方法主要有: (1) 利用圆的定义添补辅助圆; (2) 作三角形的外接圆; (3) 运用四点共圆的判定方法（不在11月月考范围内）.
例题 Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助圆（不在11月月考范围内）
总结： 若一个四边形的一组对角互补, 则它的四个顶点共圆.
直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB
、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为 2 6 ． 思路：连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的
足条件的点P有几个？ 并求出它们的坐标.
思路：作以AB为直径的圆，P在圆 与y轴的交点上，根据圆的定义和 勾股定理即可求P坐标
例题 Example
二、作三角形的外接圆
总结：直角三角形斜边即为直角三 角形外接圆半径
若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的
外接圆半径为_____________.
弧、弦、圆心角关系定理：同圆或等圆中，“知一推二”
圆周角定理及推论
1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． 3．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．推论3：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角 三角形． A 可以用 B 不可以用 5．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
例题 Example
思路：
例题 Example △DCB≌△FCB △DAB≌△DAF FD=BD=FB ∠DBF=60° ∠CBD=30°.
例题 Example
例题 Example
【总结】 1. 辅助线的构造可以是直线形, 亦可为曲线形; 2. 具备何种条件可以构造辅助圆？其常见模型主要有: （1）两个直角三角形有公共的斜边, 可以构造辅助圆 ; （2）三角形一定存在外接圆.
(3) 在图 2 中，固定 △AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出 PM 的最大值.
B
A
M
O P
N
B
A
M
O
P
N
D
C
D
C
二、作三角形的外接圆
总结：寻找直角三角形直角顶点时， 可以考虑以斜边为直径构造辅助圆
在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（1，0），点P
在y轴上，且△ABP为直角三角形，∠APB=90°. 请问满
(1) 如图 1，若 A 、 O 、 C 三点在同一直线上，且∠ABO 60 ，则△PMN 的形状是
________________，此时 AD ________； BC
(2) 如图 2，若 A 、O 、C 三点在同一直线上，且∠ABO 2 ，证明△PMN∽△BAO ，
并计算 AD 的值（用含 的式子表示）；
总结：若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P,
且PA·PB＝PC·PD, 则它的四个顶点共圆.
如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线
，AD⊥PO于D．求证：PB PC ． PD CD 思路：因所证比例线段不是对应边， 故不能通过判定△PBD与△PCD相 似证明．PA²=PD·PO=PB·PC，B、 C、O、D共圆，这样连OB，就得 多对相似三角形，以此达到证明的 目的．
如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44° 求∠CAD的度数
思路：由圆的定义构造辅助圆，再 由根据圆的性质表示各角关系，即 可求解。
例题 Example
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：当出现同侧直角三角形时，
可以考虑构造辅助圆
△ABC中, 作BD⊥AC于D, CE⊥AB于E, 连DE, 若
（1）求反比例函数 y k 的解析式
x
y2 x
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P
的坐标.
思路：由PA=OA可知，P在以A为 圆心0A为半径的圆上，圆及坐标轴 交点即为点P，由等腰三角形性质 即可求P坐标
例题 Example
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：共端点等线段出现三条时，
例题 Example
一、利用圆的定义添补辅助圆 1.直接用定义 2.间接用定义：共斜边的等腰直角三角形
例题 Example
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：需要多条共端点等线段时，
可以利用圆定义构造辅助圆
在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图象与反比例函数
y
k x
的图象的一个交点为A（-1，n）.
构造辅助圆解题
教法解析
内容简介
Contents
教学内容分析 学生情况分析 教学设计思想 知识点回顾 典例分析
教学内容分析
【教学内容分析】
本节课的授课内容是学完《圆》后, 作为对学生能力提升的一个引申和补充的 内容，也属于构造辅助线的一种。
直线形 直线型辅助线
曲线形
圆 辅助圆
学生情况分析
教学设计思想
求证：∠CPO=∠DPO．
思路：切线长定理可知，OA⊥AP， AM⊥OP，可得AM²=OM·MP，由 相交弦定理可知CM·MD=AM·MB, 因此可得CM·MD=OM·MP，所以C、
例题 O、D、P四点共圆，由CO=BO即
可证得。 Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助圆（不在11月月考范围内）
回顾 Problem
三角形的外接圆与内切圆：
外心：垂直平分线交点 内心：角平分线交点
四点共圆的判定：
回顾 A.可以使用 B部分可以使用 C不P可r以o使b用lem
四点共圆的判定：
① 若一个四边形的一组对角互补, 则它的四个顶点共圆. ② 同底同侧张等角的三角形, 各顶点共圆. ③ 若四边形ABCD的对角线相交于P, 且PA·PC=PB·PD,
思路：由圆的定义构造辅助圆，再 由△PAD∽△PCB求出PA、PD， 进而求出AD，在Rt△ABD中即可 求解。
例题 Example
已知：△AOB 中， AB OB 2 ，△COD 中，CD OC 3 , ∠ABO ∠DCO . 连
接 AD 、 BC ，点 M 、 N 、 P 分别为 OA 、OD 、 BC 的中点.
如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且
∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，且GB=GC，
∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG平分∠BHF．
思路：经计算可得∠A=45°，△ABE， △BFH皆为等腰直角三角形，只需证 ∠GHB=∠GHF=22.5°．
由∠BGC=3∠A=135°=∠BHC，得B、G、 H、C四点共圆，由∠GCB=∠GHB=22.5°
④ 若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P,
且PA·PB＝PC·PD, 则它的四个顶点共圆.（割线定理逆定理）
⑤一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个
凸四边形内接于圆（托勒密定理的逆定理）
图中无圆，心中有圆
谢谢
Thanks
∠ABC=45°, 则∠EDB的度数为
.
思路：由直角三角形斜边中等于斜 边一半可求得MB=MF=MC=MD， 可构造以M为圆心BM为半径的圆， 根据圆周角定理可求得 ∠EDB=45°
B
例题 Example
A
E D
O
C
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：当出现共斜边直角三角形时，
可以考虑构造辅助圆
凸四边形ABCD中, ∠ABC＝60°, ∠BAD＝∠BCD＝90°, AB＝2, CD＝1, 对角线AC、BD交于点O, 则tan∠ACB＝____.
可以考虑构造辅助圆
在四边形ABCD中，AB=AC=AD,∠BAC=25°， ∠CAD=75°，求∠BDC,∠DBC的度数.
思路：由AB=AC=AD可构造以A点 为圆心AC为半径的圆，由圆周角 的性质即可求得角的度数
例题 Example
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：共端点等线段出现三条时，
可以考虑构造辅助圆
例题 本题运用圆中角转化灵活的特点证明． Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助圆（不在11月月考范围内）
总结：若四边形ABCD的对角线相交于P, 且PA·PC=PB·PD, 则它的四个顶点共圆.
如图，P是⊙O外一点，PA和PB是⊙O的切线，A，B为切
点，P O与AB交于点M，过M任作⊙O的弦CD．
关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、 F与P、E、C、F分别共圆， ∠DPF=180°-∠ABC=∠180°-∠ACB=∠EPF， ∠DFP=∠DBP=∠BCP=∠PFE 突破角是解题的关键．
例题 Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助圆（不在11月月考范围内）
总结：同底同侧张等角的三角形, 各顶点共圆.
例题 Example
2r
b sin∠B
二、作三角形的外接圆
总结：三角形中涉及到倒角的题目， 可以考虑构造三角形外接圆
在△ABC中，AD是BC边的中线，且∠B+∠CAD=90°.
试判断△ABC的形状，并加以证明.
思路：由需要倒角而想到构造外接 圆，根据90°进而确定直径，结合 垂径定理推论，分类讨论后即可得 到答案
例题 Example
二、作三角形的外接圆
总结：三角形中涉及到倒角的题目， 可以考虑构造三角形外接圆
如图, 在锐角△ABC中, A, B, C的对边
分别为a,b,c .
求证:
a sin a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b sin b
c sin c
思路：由PA=OA可知，P在以A为 圆心0A为半径的圆上，圆及坐标轴 交点即为点P，由等腰三角形性质 即可求P坐标
（3）四点共圆的条件（不在11月月考范围内）
例题 Example
四点共圆的判定：
回顾 Problem
① 若一个四边形的一组对角互补, 则它的四个顶点共圆.
② 同底同侧张等角的三角形, 各顶点共圆.
③ 若四边形ABCD的对角线相交于P, 且PA·PC=PB·PD,
则它的四个顶点共圆.（相交弦定理逆定理）
知识点回顾
圆的定义：
回顾 Problem
从动态角度定义圆： 在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点A所形成的图形叫做圆.
从集合角度定义圆： 平面上到定点O的距离等于定长r的点的集合是以O为圆心、以 r为半径的圆.
圆的性质：
回顾 Problem
垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
思路：题意可知，直角三角形斜边 即为外接圆直径，由勾股定理即可 求出斜边，从而求出半径
例题 Example
二、作三角形的外接圆
在△ABC中, ∠B =2∠C. 求证: AC< 2AB.
总结：三角形中涉及到倒角的题目， 可以考虑构造三角形外接圆
思路：
作BE平分∠ABC,过A作AD∥BC， 易证AC=BD，AB=AD，故2AB>AC 作△ABC的外接圆，在其圆上取一点 D，使得AB=BD，连接BD，CD和AD， 则易证AD=AC，可证AC<2AB
则它的四个顶点共圆.（相交弦定理逆定理） ④ 若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P,
且PA·PB＝PC·PD, 则它的四个顶点共圆.（割线定理逆定理） ⑤一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个 凸四边形内接于圆（托勒密定理的逆定理）
典例分析
构造辅助圆的常见方法主要有: (1) 利用圆的定义添补辅助圆; (2) 作三角形的外接圆; (3) 运用四点共圆的判定方法（不在11月月考范围内）.
例题 Example
三、运用四点共圆的判定方法构造辅助圆（不在11月月考范围内）
总结： 若一个四边形的一组对角互补, 则它的四个顶点共圆.
直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB
、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为 2 6 ． 思路：连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的
足条件的点P有几个？ 并求出它们的坐标.
思路：作以AB为直径的圆，P在圆 与y轴的交点上，根据圆的定义和 勾股定理即可求P坐标
例题 Example
二、作三角形的外接圆
总结：直角三角形斜边即为直角三 角形外接圆半径
若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的
外接圆半径为_____________.
弧、弦、圆心角关系定理：同圆或等圆中，“知一推二”
圆周角定理及推论
1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． 3．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．推论3：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角 三角形． A 可以用 B 不可以用 5．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
例题 Example
思路：
例题 Example △DCB≌△FCB △DAB≌△DAF FD=BD=FB ∠DBF=60° ∠CBD=30°.
例题 Example
例题 Example
【总结】 1. 辅助线的构造可以是直线形, 亦可为曲线形; 2. 具备何种条件可以构造辅助圆？其常见模型主要有: （1）两个直角三角形有公共的斜边, 可以构造辅助圆 ; （2）三角形一定存在外接圆.