圆周的基本群_代数拓扑

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Theorem1.7 （Allen Hatcher p.29） 设 (1,0) 是 S 1 的基点，映射 φ :
→ π1 (S 1 ) ， n
ωn ，其中
ωn ( s ) = (cos 2π ns,sin 2π ns ) ( s ∈ [0,1]) ，则 φ 是一个同构。
证 作φ:
→ π1 (S 1 ) ， n
则F 令 P = {(0, t ) | 0 ≤ t ≤ 1} ∪ {(1, t ) | 0 ≤ t ≤ 1} ∪ {(t ,0) | 0 ≤ t ≤ 1} ， 将整个 P 映为 (1,0) 。由于 p F = F ，且 P 连通， F 将 P 映为某个整 数。但 F 将{(0, t ) | 0 ≤ t ≤ 1} 映为 0，因此 F ( P ) = 0 。 内由 F ( s,1) 定义的道路是 p γ 的一个提升， 以 0 为起点， 因此 这必然是 γ 。由于 F (1,1) = 0 ，我们有 γ (1) = n = 0 。因此 φ 是单射。 综上所述， φ 是一个同构。 （证完）
f
ωn （直线同伦） 。故 p f
（1）定义平移τ m :
p ωn = ωn 。下证 φ 是同构：
，τ m ( x) = x + m ，则 ωm ⋅ (τ m ωn ) 是 0
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→
到 m + n 的道路。于是 ωn+ m
ωm ⋅ (τ m ωn ) 。
φ (m + n) = [ p ωm+n ] = [ p (ωm ⋅ (τ m ωn ))] =
[φ (n)] ， 其 中 φ ( n) :[0,1] → S 1 ，
s
(cos 2π ns,sin 2π ns ) ( s ∈ [0,1]) 。
设 p:
→ S 1 ，s
(cos 2π s,sin 2π s ) 。ωn :[0,1] →
，s
ns 。
显然有 ωn = p ωn 。 且 f (0) = 0, f (1) = n 。 则有 设 f 是 [0,1] 到 [0, n] 的任意一条道路，
[ f ] ∈ π 1 ( S 1 ) 。 根 据 引 理 1 ， 存 在 f 的 提 升 f :[0,1] →
p f (1) = f (1) = (1,0) ，而 p −1 (1,0) =
。因
⊂
。故 f (1) = n ，
φ (n) = [ p f ] = [ f ] 。所以 φ 是满射。
（3）设 n ∈ ，φ (n) 是 π 1 ( S 1 ) 中的单位元，也就是说，如果用一 条道路 γ 连结 0 到 n ，则 p γ 是一条零伦的环道，即同伦于基点处的 常值环道。取定从 (1,0) ∈ S 1 处的常值环道到 p γ 的一个同伦 F ，由 引理找到 F : I × I → 满足 p F = F ；以及 F (0, t ) = 0, 0 ≤ t ≤ 1 。
p f = f。
Lemma2 若 F : I × I → S 1 是一个连续映射，满足
，使得
F (0, t ) = F (1, t ) ， 0 ≤ t ≤ 1，
则存在唯一的连续映射 F : I × I →
1
满足 p F = F ；以及
F (0, t ) = 0, 0 ≤ t ≤ 1 。
（引理的证明要用到 Lebesgue 数的相关知识， 可参考孙以丰译的 《基 础拓扑学》一书。 ） （ 2 ） 设 f :[0,1] → S 1 是 以 (1,0) 为 基 点 的 一 条 闭 道 路 。 则
[ p ωm ] ⋅ [ p (τ m ωn )] = [ p ωm ] ⋅ [ p ωn )] = φ (m) ⋅ φ (n) 。
故 φ 是同态。 下证 φ 既是满射又是单射。 先给出两个引理： Lemma1 任意一条始于 x0 ∈ S 1 的道路 f :[0,1] → S 1 ，
∀x0 ∈ p −1 ( x0 ) ， 存 在 唯 一 的 始 于 x0 的 提 升 f :[0,1] →