2020年高考文科数学推理与证明 专项练习题 含解析
2020年真题+模拟题 专项版解析 文科数学——10 不等式、推理与证明、算法初步、复数(学生版)
y 1 0,
为
.
x y 1， 18．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若x，y满足约束条件 x y 1，则 z x 2 y 的最大值是
2x y 1,
__________．
x y 0, 19．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】若 x，y 满足约束条件 2x y 0，,则 z=3x+2y 的最大值
D． 3 4 i 55
4．【河北省正定中学 2019-2020 学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】在复平面内，若
复数
z
i3
2 i4
2
所对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第四象限
D．虚轴
5．【广东省深圳市高级中学 2020 届高三下学期 5 月适应性考试数学】设 i 为虚数单位，复
数 z (i 1)2 8 的实部为 i 1
12．【2020 年高考江苏】已知 i 是虚数单位，则复数 z (1 i)(2 i) 的实部是 ▲ ．
13．【2020 年高考江苏】已知 5x2 y2 y4 1(x, y R) ，则 x2 y2 的最小值是 ▲ ．
14．【2020 年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出 y 的值为 2 ，则输入 x 的值是_____.
C．1
D． 1
11．【2020
届四川省成都市石室中学高三下学期
5
月月考数学】复数
z
2 3i 3 2i
，则
z
z
A． i
A． a2 b2 1 2
B． 2ab 1 2
C． log2 a log2 b 2
D． a b 2
7．【2020
年高考浙江】若实数
x，y
满足约束条件
2020年高考数学《新高考创新题型》之11：推理与证明(含精析)
2020年高考数学（新高考创新题型）之11.推理与证明（含精析）一、选择题。
1．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（ ）A ．由a n =2n ﹣1，求出S 1=12，S 2=22，S 3=32，…，推断：数列{a n }的前n 项和S n =n 2B ．由f （x ）=xcosx 满足f （﹣x ）=﹣f （x ）对R x ∈∀都成立，推断：f （x ）=xcosx 为奇函数C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积S=πr 2，推断：椭圆=1的面积S=πabD ．由3222122)13(,2)12(,2)11(>+>+>+，…，推断：对一切*N n ∈，（n+1）2＞2n2．已知111()123f n n=++++（n N *∈），计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，由此推算：当2n ≥时，有（ ）A.21(2)2n f n +>（n N *∈）B.2(1)1(2)2n f n +->（n N *∈）C.21(2)2n n f +>（n N *∈）D.2(2)2n n f +>（n N *∈）3．将2n 个正整数1、2、3、 、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．43D ．324．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。
如，在平行四边形ABCD 中，有)(22222AD AB BD AC +=+，那么在图（2）的平行六面体1111D C B A ABCD -中有21212121DB CA BD AC +++等于( )A ．22212()AB AD AA ++ B ．22213()AB AD AA ++C ．22214()AB AD AA ++ D ．223()AB AD +5．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下： 当n 是偶数时，!!(2)(4)642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅，当n 是奇数时，!!(2)(4)531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅现在有如下四个命题：①(2003!!)(2002!!)20032002321⋅=⨯⨯⨯⨯⨯；②10012002!!210011000321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯；③2002!!的个位数是0 ④2003!!的个位数是5。
2020年高考文科数学《推理与证明》题型归纳与训练
12020年高考文科数学《推理与证明》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 归纳推理 例1 已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为_____． 【答案】12014xx+【解析】由1()1x f x x =+，得2()()112x x f x f x x==++， 可得32()(())13x f x f f x x ==+，故可归纳得2014()12014xf x x=+．例2 观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-= 2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 ．【答案】12－22+32－42+…+（－1）n +1n 2=（－1）n +1·(1)2n n +（n ∈*N ） 【解析】 观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(1)n-·(1)2n n +，所以第n 个式子可为12－22+32－42+…+12(1)n n +-=（－1）n+1·(1)2n n +（n ∈*N ）．例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为 (),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n =五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =-可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = ． 【答案】1000【解析】观察2n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故()2,241110N n n n =-，()10,241000N ∴=题型二 类比推理例1 若数列{}n a 是等差数列，则数列na a ab nn ++=21也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且{}n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为（ ） A .n c c c d n n ++=21 B .nc c c cd nn ⋅⋅⋅=321C .n nnnnn nc c cd +++= 21 D .n n n c c c d 21=【答案】D例2 若直角三角形的两条直角边长度分别为b a ,，则此三角形的外接圆半径222b a r +=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径=R ．【答案】2222c b a R ++=例3 已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2=GDAG”,若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则=OMAO． 【答案】3例4 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：222b ac +=.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用1S ，2S ，3S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到3的结论是__________．【答案】24232221S S S S =++【解析】将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得24232221S S S S =++.故填24232221S S S S =++.【易错点】类比推理所涉及高中的知识点存在漏洞。
2020年新高考III卷数学逻辑推理题及答案
2020年新高考III卷数学逻辑推理题及答案1. 题目分析与答案解析第一题：以下是一组数字序列: 1, 3, 6, 10, 15, 21...请问下一个数字是多少？解析：从第一项开始，每一项都比前一项多1，所以下一个数字是21 + 6 = 27。
答案：27第二题：某商场正在进行打折促销活动，折扣力度为7折（即商品价格打7折），购物满200元再减40元。
小明购买了一部手机，原价300元。
请问他实际需要支付多少钱？解析：首先，将商品价格打7折：300元 * 0.7 = 210元。
接着，考虑满200元再减40元的优惠。
由于小明购买的商品价格并没达到200元，所以无法再享受这个优惠。
因此，小明需要支付的金额是210元。
答案：210元第三题：某书店正在进行促销活动，原价为160元的教材打8折，折上折，再减30元。
小红购买了这本教材，请问她实际需要支付多少钱？解析：首先，将教材原价打8折：160元 * 0.8 = 128元。
接着，考虑再减30元的优惠。
小红可以享受折上折的优惠，所以需要使用优惠后的价格来计算。
128元 - 30元 = 98元。
因此，小红需要支付的金额是98元。
答案：98元2. 数学逻辑推理题讨论本卷共有三道数学逻辑推理题，涉及到计算和推论等方面的技能。
题目的答案解析已经给出，并且给出了具体计算过程，使读者能够理解和掌握解题方法。
数学逻辑推理题在高考中占有重要的一部分，考察学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
通过做这些题目，可以培养学生的思维灵活性和解决问题的能力，同时也能提高他们的数学水平。
3. 结语通过解析2020年新高考III卷数学逻辑推理题，我们可以看到这一类题目涉及到数学计算和逻辑推理，需要学生掌握一定的数学知识和解题技巧。
希望本文的分析能对读者有所帮助，提高他们在数学逻辑推理题上的应试能力。
2020高考模拟试题推理与证明部分解答题汇编(含答案)
2020高考模拟试题推理与证明部分解答题汇编（含答案）1．设集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*，n≥2），A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数不大于集合B中的最小数，记满足条件的集合对（A，B）的个数为P n．（1）求P2的值；（2）求P n的表达式．2．如图是某地5月1日至15日日平均温度变化的折线图，日平均温度高于20度低于27度时适宜户外活动，某人随机选择5月1日至5月14日中的某一天到达该地停留两天（包括到达当日）．（Ⅰ）求这15天日平均温度的极差和均值；（Ⅱ）求此人停留期间只有一天的日平均温度适宜户外活动的概率；（Ⅲ）由折线图判断从哪天开始连续三天日平均温度的方差最大？（写出结论，不要求证明）3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点P（x，y），定义|OP|＝|x|+|y|．任取点A（x1，y1），B（x2，y2），记A'（x1，y2），B'（x2，y1），若此时|OA|2+|OB|2≥|OA'|2+|OB'|2成立，则称点A，B相关．（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；①A（﹣2，1），B（3，2）；②C（4，﹣3），D（2，4）．（Ⅱ）给定n∈N*，n≥3，点集Ωn＝{（x，y）|﹣n≤x≤n，﹣n≤y≤n，x，y∈Z}．（i）求集合Ωn中与点A（1，1）相关的点的个数；（ii）若S⊆Ωn，且对于任意的A，B∈S，点A，B相关，求S中元素个数的最大值．4．设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…，t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}．对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…，y n），记M（α，β）＝[（x1+y1+|x1﹣y1|）+（x2+y2+|x2﹣y2|）+…+（x n+y n+|x n﹣y n|）]．（Ⅰ）当n＝3时，若α＝（0，1，1），β＝（0，0，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n＝4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β，证明：M（α，β）≤M（α，α）+M（β，β）．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素α，β，M（α，β）＝M（α，α）+M（β，β）．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．5．设数阵A0＝，其中a11，a12，a21，a22∈{1，2，…6}．设S＝{e1，e2，…e l}⊆{1，2…6}，其中e1＜e2＜…＜e l，l∈N*且l≤6．定义变换φk为“对于数阵的每一行，若其中有k或﹣k，则将这一行中每个数都乘以﹣1；若其中没有k且没有﹣k，则这一行中所有数均保持不变”（k＝e1，e2，…e l）．φs（A0）表示“将A0经过φ变换得到A1，再将A1经过φ变换的到A2，…，以此类推，最后将A l﹣1经过φ变换得到A l”，记数阵A l中四个数的和为T S（A0）．（Ⅰ）若A0＝，写出A0经过φ2变换后得到的数阵A1；（Ⅱ）若A0＝，S＝{1，3}，求T S（A0）的值；（Ⅲ）对任意确定的一个数阵A0，证明：T S（A0）的所有可能取值的和不超过﹣4．6．已知n∈N*，n≥2，给定n×n个整点（x，y），其中1≤x，y≤n，x，y∈N*．（Ⅰ）当n＝2时，从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点（x1，y1），（x2，y2），求x1+x2的所有可能值；（Ⅱ）从上面n×n个整点中任取m个不同的整点，．（i）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1′），（x2，y2），（x2′，y2′），满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；（ii）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1），（x2，y2），（x2′，y2），满足x1+x1′＝x2+x2′，y1≠y2．7．观察以下各等式：sin230°+cos260°+sin30°cos60°＝sin220°+cos250°+sin20°cos50°＝sin215°+cos245°+sin15°cos45°＝分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．8．已知a，b为非负实数，求证：a3+b3≥（a2+b2）．9．如图，将一个正三角形ABC的每一边都n（n≥2）等分后，过各分点作其它两边的平行线形成一个三角形网．记f（n）为n等分后图中所有梯形的个数．（1）求f（2），f（3）的值；（2）求f（n）（n≥4）的表达式．10．在平面直角坐标系xOy中，有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进1个单位长度，例如：该机器人在点（1，0）处时，下一步可行进到（2，0）、（0，0）、（1，1）、（1，﹣1）这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O出发、行进n步后落在y轴上的不同走法的种数为L（n）．（1）求L（1），L（2），L（3）的值；（2）求L（n）的表达式．11．对于集合A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…，b m}，n∈N*，m∈N*．A+B＝{x+y|x∈A，y∈B}．集合A中的元素个数记为|A|．规定：若集合A满足，则称集合A具有性质T．（Ⅰ）已知集合A＝{1，3，5，7}，，写出|A+A|，|B+B|的值；（Ⅱ）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}，{a n}为等比数列，a n＞0，且公比为，证明：A 具有性质T；（Ⅲ）已知A，B均有性质T，且n＝m，求|A+B|的最小值．12．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）13．设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a（1﹣b），4b（1﹣c），4c（1﹣d），4d（1﹣a）这四个数不可能都大于1．14．对于n维向量A＝（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i＝0或a i＝1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B ，定义．（1）若A＝（1，0，1，0，1），B＝（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（2）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3…，若A1＝（1，1，1，1，1）且满足：d （A i，A i+1）＝2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．15．已知a，b＞0，且a+b＝1，求证：．16．如果一条信息有n（n＞1，n∈N）种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为p1，p2，…，p n，则称H＝f（p1）+f（p2）+…f（p n）（其中f（x）＝﹣x log a x，x∈（0，1））为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为A1，A2，…，A n）参加，若当k＝1，2，…，n ﹣1时，选手A k获得冠军的概率为2﹣k，求“谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式．17．设A2n＝（a1，a2，…，a2n）是由2n个实数组成的有序数组，满足下列条件：①a i∈{1，﹣1}，i＝1，2，…，2n；②a1+a2+…+a2n＝0；③a1+a2+…+a i≥0，i＝1，2，…，2n﹣1．（Ⅰ）当n＝3时，写出满足题设条件的全部A6；（Ⅱ）设n＝2k﹣1，其中k∈N*，求a1+a2+…+a n的取值集合；（Ⅲ）给定正整数n，求A2n的个数．18．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：（1）cos（﹣60°）+cos60°+cos180°；（2）cos（﹣13°）+cos107°+cos227°；（3）cos30°+cos150°+cos270°；（4）cos40°+cos160°+cos280°．（Ⅰ）试从上述四个式子中选择一个式子，进行化简求值；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，请你写出一个以题设的四个式子为特例的一般性命题，并给出证明．19．设函数f（x）＝|2x﹣a|，g（x）＝x+2．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+f（﹣x）≤g（x）的解集；（2）求证：中至少有一个不小于．20．，先分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．21．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（1＝a1＜a2＜…＜a n，n≥4）具有性质P：对任意的k （2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得a k＝a i+a j成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：a4≤2a1+a2+a3；（Ⅲ）若a n＝72，求n的最小值．22．对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），（a i，b i∈R+，i＝1，2，3，…，n），记f0（y）＝0（y≥0），f k（y）＝{b k x k+f k﹣1（y﹣a k x k）}（y≥0，1≤k≤n），其中m为不超过的最大整数．（注：{b k x k+f k﹣1（y﹣a k x k）}表示当x k取0，1，2，3，…，m时，b k x k+f k﹣1（y﹣a k x k）中的最大数）已知数对序列P：（2，3），（3，4），（3，p），回答下列问题：（Ⅰ）写出f1（7）的值；（Ⅱ）求f2（7）的值，以及此时的x1，x2的值；（Ⅲ）求得f3（11）的值时，得到x1＝4，x2＝0，x3＝1，试写出p的取值范围．（只需写出结论，不用说明理由）．23．若存在n个不同的正整数a1，a2，…，a n，对任意1≤i＜j≤n，都有∈Z，则称这n个不同的正整数a1，a2，…，a n为“n个好数”．（1）请分别对n＝2，n＝3构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数n（n≥2），均存在“n个好数”．24．如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形，除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x1，x2，…x k，其中x i∈{0，1}（1≤i≤k），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x0；（1）当k＝4时，若要求x0为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？（2）当k＝11时，若要求x0为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？25．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1＝a2+a3，a2＝a4+a5，a3＝a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？26．设正整数a，b，c满足：对任意的正整数n，a n+b n＝c n+1（1）求证：a+b≥c（2）求出所有满足题设的a，b，c的值．27．设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1、x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．（1）证明函数是定义域上的C函数；（2）判断函数是否为定义域上的C函数，请说明理由；（3）若f（x）是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C 函数．28．如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD＝AC，AE＝AB，BD，CE相交于点F．（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．29．已知，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点M、N在△ABC的边上，将△ABC 沿直线MN对折后，它的一个顶点正好落在对边上，且折痕MN截△ABC所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与△ABC相似．请在下列图（不一定都用，不够可添）中分别画出折痕MN各种可能的位置，并说明画法及直接写出折痕的长．30．用部分自然数构造如图的数表：用a ij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N+），使得a i1＝a ii＝i，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和．设第n（n为N+）行的第二个数为b n（n≥2），（1）写出第6行的第三个数；（2）写出b n+1与b n的关系并求b n（n≥2）；（3）设（b n﹣1）c n＝1（n≥2），求证：1≤c2+c3+…+c n＜2．31．若a，b，c，d∈R，且ac＝2（b+d），求证：一元二次方程x2+ax+b＝0和x2+cx+d＝0中至少有一个方程有实根．32．一种计算装置，有一个数据输入口A和一个运算结果输出口B，执行的运算程序是：①当从A口输入自然数1时，从B口输出实数，记为f（1）＝；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一结果f（n﹣1）的倍．（1）求f（2），f（3）的值；（2）归纳猜想f（n）的表达式，并证明；（3）求f（i）．33．如图，设A是由n×n个实数组成的n行n列的数表，其中a ij（i，j＝1，2，3，…，）n 表示位于第i行第j列的实数，且a ij∈{1，﹣1}．记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈（n，n），记r i（A）为A的第i行各数之积，c j（A）为A的第j列各数之积．令．a11a12 (1)a21a22 (2)…………a n1a n2…a nn（Ⅰ）请写出一个A∈S（4，4），使得l（A）＝0；（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）＝0？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n，对于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．34．记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①0∉S；②若s1∈S，s2∈S，则∈S；③存在非零有理数q，q∉S且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中s∈S．（1）若s∈S，t∈S，求证：st∈S；（2）若u是非零有理数，且u∉S，求证：u2∈S；（3）求证：x∈S，则存在y、z∈S，使x＝y+z．35．如图所示，在平面上，设h a，h b，h c分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为p a，p b，p c，可以得到结论++＝1．通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．36．已知函数．（1）若t＞0，用分析法证明：；（2）若a＞0，b＞0，且a+b＞4，求证：af（b）与bf（a）中至少有一个大于．37．将全体自然数填入如表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同．第1行…第2行…第3行…对于正整数a，b，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意n∈N，都有n，n+a，n+b分别在表格的不同行，则称数对（a，b）为自然数集N的“友好数对”．（Ⅰ）试判断数对（1，2）是否是N的“友好数对”，并说明理由；（Ⅱ）试判断数对（1，3）是否是N的“友好数对”，并说明理由；（Ⅲ）若b＝4，请选择一个数a，使得数对（a，b）是N的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对（a，b）是N的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）．38．已知以下四个式子的值都等于同一个常数．sin226°+cos234°﹣sin26°cos34°；sin239°+cos221°﹣sin39°cos21°；sin2（﹣52°）+cos2112°﹣sin（﹣52°）cos112°；sin230°+cos230°﹣sin30°cos30°．（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数．（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论．39．已知x为正数，a＝﹣x+，b＝5x﹣，用反证法证明：a，b中至少有一个不小于6．40．一转眼2020年已经过半，趁着端午小长假，大家都紛纷外出走亲访友，甚至是举杯畅饮，放松一下身心，但是喝酒后千万别驾车上路行驶．为进一步消除道路交通安全隐患，确保节日期间广大市民出行平安，端午节假期前后，某市公安局交管支队第二大队连续开展了5次酒驾醉驾统一行动．交警小王在某路口连续5天对行驶的汽车每隔10辆汽车，就对司机进行酒驾呼气检测一次，确认酒驾检测结果如图所示：（1）问交警小王对驾驶人员的酒驾检测抽查采用的是什么抽样方法？（2）用分层抽样的方法对确认酒驾的驾驶人员进行抽样，若男性司机有4名，则女性司机的应抽取几名？（3）在（2）的条件下，在上述抽出酒驾的驾驶人员中任取2名，求这2名驾驶人员一名是男性，一名是女性的概率．1．【解答】解：（1）当n＝2时，即S＝{1，2}，此时A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1， (2)分（2）当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1，2，…，k﹣1中任取若干个（包含不取），所以集合A共有种情况，…6分此时，集合B的元素只能在k+1，k+2，…，n中任取若干个（至少取1个），所以集合B共有种情况，所以，当集合A中的最大元素为“k”时，集合对（A，B）共有2k﹣1（2n﹣k﹣1）＝2n﹣1﹣2k﹣1对，…8分当k依次取1，2，3，…，n﹣1时，可分别得到集合对（A，B）的个数，求和可得．…12分2．【解答】解：（Ⅰ）由折线图最高日平均温度40度，最低温度21度，故日平均温度的极差为40﹣21＝19度，设日平均温度的均值为，则＝＝29.6度（Ⅱ）由题意此人停留的可能时间有14种情况，只有一天的日平均温度适宜户外活动共有3﹣4日，7﹣8日，8﹣9日，11﹣12日，14﹣15日这5种情况，故概率．（Ⅱ）从5月7日开始连续三天的日平均温度方差最大．3．【解答】解：若点A（x1，y1），B（x2，y2）相关，不妨设x1，y1，x2，y2≥0，则，∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0，（1）①（2﹣3）（1﹣2）≥0，因此相关；②（4﹣2）（3﹣4）＜0，因此不相关，（2）（i）在第一象限内，（x﹣1）（y﹣1）≥0，可知1≤x≤n且1≤y≤n，有n2个点，同理可得在第二，第三，第四象限内，各有n2个点，在x轴正半轴上，点（1，0）满足条件，在y轴正半轴上，点（0，1）满足条件，原点（0，0）满足条件，因此集合Ωn中共有4n2+5个点与点A（1，1）相关，（ii）若两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2）相关，其中x1，x2≥0，y1，y2≥0，可知（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0，下面证|（x1+y1）﹣（x2+y2）|≥1，若x1＝x2，则y1≠y2，成立，若x1＞x2，则y1≥y2，若x1＜x2，则y1≤y2，亦成立，由于|（x1+y1）﹣（x2+y2）|≤（n+n）﹣（0+0）＝2n，因此最多有2n+1个点两两相关，其中最多有2n﹣1个点在第一象限，最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点，因此S中元素个数的最大值为4（2n﹣1）+2×1+1＝8n﹣1．4．【解答】解：（Ⅰ）因为α＝（0，1，1），β＝（0，0，1），所以，；（Ⅱ）证明：当n＝4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β，设α＝（x1，x2，x3，x4），β＝（y1，y2，y3，y4），有M（α，α）＝x1+x2+x3+x4，M（β，β）＝y1+y2+y3+y4．对于任意的x i，y i，i＝1，2，3，4，当x i≥y i时，有，当x i≤y i时，有，即，所以，有M（α，β）＝max{x1，y1}+max{x2，y2}+max{x3，y3}+max{x4，y4}．又因为x i，y i∈{0，1}，所以max{x i，y i}≤x i+y i，i＝1，2，3，4，当且仅当x i y i＝0时等号成立．所以，max{x1，y1}+max{x2，y2}+max{x3，y3}+max{x4，y4}≤（x1+y1）+（x2+y2）+（x3+y3）+（x4+y4）＝（x1+x2+x3+x4）+（y1+y2+y3+y4），即M（α，β）≤M（α，α）+M（β，β），当且仅当x i y i＝0（i＝1，2，3，4）时等号成立；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的α＝（x1，x2，x3，…，x n），β＝（y1，y2，y3，…，y n），若M（α，β）＝M（α，α）+M（β，β），则x i y i＝0，i＝1，2，3，…，n成立．所以，考虑设A0＝{（x1，x2，x3，…，x n）|，x1＝x2＝…＝x n＝0}，A1＝{（x1，x2，x3，…，x n）|x1＝1，x i∈{0，1}，i＝2，3，…，n}，对于任意的k＝2，3，…，n，A k＝{（x1，x2，x3，…，x n）|（x1，x2，x3，…，x n）∈A，x1＝x2＝…＝x k﹣1＝0，x k＝1}．所以A＝A0∪A1∪…∪A n．假设满足条件的集合B中元素个数不少于n+2，则至少存在两个元素在某个集合A k（k＝1，2，…，n﹣1）中，不妨设为α＝（x1，x2，x3，…，x n），β＝（y1，y2，y3，…，y n），则x k＝y k＝1．与假设矛盾，所以满足条件的集合B中元素个数不多于n+1．取e0＝（0，0，…0）；对于k＝1，2，…，n﹣1，取e k＝（x1，x2，x3，…，x n）∈A k，且x k+1＝…＝x n＝0；e n∈A n．令B＝{e0，e1，…，e n}，则集合B满足条件，且元素个数为n+1．故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．5．【解答】解：（Ⅰ）解：A0＝，A0经过φ2变换后得到的数阵A1＝．（Ⅱ）解：A0＝，S＝{1，3}，A0经过s变换后，得到，∴T S（A0）＝1+3﹣3﹣6＝﹣5．（Ⅲ）证明：若a11≠a12，在{1，2，3，4，5，6}的所有非空子集中，含有a11且不含有a12的子集共有24个，经过变换后第一行均变为﹣a11，﹣a12，含有a12，不含有a11的子集共有24个，经过变换后第一行均变为﹣a11，﹣a12，同时含有a11且含有a12的子集共有24个，经过变换后第一行均变为a11，a12，不含有a11且不含有a12的子集共有24﹣1个，经过变换后第一行均变为a11，a12，∴经过变换后所有A i的第一行的所有数的和为：+＝﹣a11﹣a12，若a11＝a12，则{1，2，3，4，5，6}的所有非空子集中，含有a11的子集共25个，经过变换后第一行变为﹣a11，﹣a12，不含有a11的子集共有25﹣1个，经过变换后仍为a11，a12，∴经过变换后所有A i的第一行的所有数的和为：25×（﹣a11﹣a12）+（25﹣1）×（a11+a12）＝﹣a11﹣a12，同理，经过变换后所有A i的第二行的所有数的和为﹣a21﹣a22，∴T s（A0）的所有可能取值的和为﹣a11﹣a12﹣a21﹣a22，∵a11，a12，a21，a22∈{1，2，…，6}，∴T S（A0）的所有可能取值的和不超过﹣4．6．【解答】解：（Ⅰ）当n＝2时，4个整点分别为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；（Ⅱ）（i）假设不存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1′），（x2，y2），（x2′，y2′），满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i（1≤i≤n，i∈N+）中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n﹣1+n＝2n﹣1，而2n﹣1＜n﹣1，与已知m≥﹣1矛盾，故存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1′），（x2，y2），（x2′，y2′），满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；（ii）设直线y＝i（1≤i≤n，i∈N+）有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1＜x2＜…＜x n，由x1+x2＜x1+x3＜x2+x3＜x2+x4＜x3+x4＜+，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n﹣3个，而＝2m﹣3n≥5n﹣2﹣3n≥2n﹣3，可知存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1），（x2，y2），（x2′，y2），满足x1+x1′＝x2+x2′，y1≠y2．7．【解答】解：观察以下各式：∵sin230°+cos260°+sin30°cos60°＝，sin220°+cos250°+sin20°cos50°＝，∴sin230°+cos2（30°+30°）+sin30°cos（30°+30°）＝，sin220°+cos2（20°+30°）+sin20°cos（20°+30°）＝，于是根据各式的共同特点，则具有一般规律的等式可得出．证明：左边＝＝＝＝＝右边．8．【解答】证明：由a，b是非负实数，作差得a3+b3﹣（a2+b2）＝a2（﹣）+b2（﹣）＝（﹣）[（）5﹣（）5]．当a≥b时，≥，从而（）5≥（）5，得（﹣）[（）5﹣（）5]≥0；当a＜b时，＜，从而（）5＜（）5，得（﹣）[（）5﹣（）5]＞0．所以a3+b3≥（a2+b2）．9．【解答】解：（1）根据已知条件得到：f（2）＝3，f（3）＝15．（2）显然这些梯形分为三大类，第一类是水平放置的，这一类逆时针或者顺时针转120°得到另外两大类，这三大类的梯形的个数显然是一样多，现在只要求出第一类的个数．而第一大类的梯形又分为两大类，一类是正放的（上底小于下底），另一类是倒置的（上底大于下底）．1．下面先求正放的个数．正放的梯形里，可先求高度为一层的个数，最下面一层的总数为（n﹣1）+（n﹣2）+…+1＝，再上面的一层的这种梯形个数为：（n﹣2）+（n﹣3）+…+1＝，所以全部的一层高的梯形个数为：+++…+＝．下面再求高度为两层的正放梯形，跟一层的求法完全一样，只是项的个数不同．易有，高度为两层的正放梯形总个数为：+++…+＝，高度为三层的正放梯形的总个数为：2．下面再求倒置的梯形的个数．一样的，先求高为一层的总个数，最后为．下面看高度为两层的总个数：最下面两层的高度为两层的个数为：（n﹣4）+（n﹣5）+…+1＝，稍上两层的高度为两层的个数为：，所以高度为两层的倒置梯形总个数为：，依此，高度为三层的倒置梯形的总个数为：，所以，所有倒置的梯形总个数为：上面的和式，当n为奇数时以结尾，而当n为偶数时以结尾．3．综上所述，全部的梯形个数为：a n＝3（），4．下面来简化这个式子，令S n＝（当n为奇数时以结尾，而当n为偶数时以结尾），易于计算：，将两相邻两项合并后求和．①当n模4余2时：S n＝（+）+（+）+…+（+＝（43+83+…+（n﹣2）3）+（4+8+…+（n﹣2））＝＝＝②当n模4余0时：S n＝S n﹣2+＝＝综合①②得，当n为偶数时：S n＝③当n为奇数时，由于S n+S n﹣1＝，所以有：S n＝＝，综上所述，当n为奇数时，a n＝3（+）＝而n为奇数时，a n＝n为偶数时，a n＝，所以，两式可以合并为a n＝[]即：a n＝[]，其中[t]表示t的整数部分．10．【解答】解：（1）L（1）＝2，L（2）＝6，L（3）＝20．（2）设m为沿x轴正方向走的步数（每一步长度为1），则反方向也需要走m步才能回到y轴上，所以m＝0，1，2，……，[]（其中[]为不超过的最大整数），总共走n步，首先任选m步沿x轴正方向走，再在剩下的n﹣m步中选m步沿x轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择（向上或向下），即，所以L（n）＝＝等价于求（x+1）2n中含x n项的系数为，（x+1）2n＝（x2+2x+1）n＝[（2x+1）+x2]n＝，其中含x n项的系数为＝＝＝，故L（n）＝C．11．【解答】解：（I）A+A＝{2，4，6，8，10，12，14}，则|A+A|＝7；B+B＝{，1，，3，，2，，，4，}，则|B+B|＝10．…．（4分）（II）要证A具有性质T，只需证明，若n1＜n2≤n3＜n4，则．假设上式结论不成立，即若n1＜n2≤n3＜n4，则．即，即，，．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立．故假设不成立，原命题成立．…．（10分）（III）由题意，集合A具有性质T，等价于任意两个元素之和均不相同．如，对于任意的a＜b≤c＜d，有a+d≠b+c，等价于d﹣c≠b﹣a，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令A*＝{x﹣y|x∈A，y∈A，x＞y}，所以A具有性质T．因为集合A，B均有性质T，且n＝m，所以|A+B|＝n2﹣|A*∩B*|，当且仅当A＝B时等号成立．所以|A+B|的最小值为．…．（14分）12．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467＝1000，被该企业录用的人数为264+169＝433．所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（3分）（Ⅱ）记应聘E岗位的男性为M1，M2，M3，被录用者为M1，M2；应聘E岗位的女性为F1，F2，F3，被录用者为F1，F2．（4分）从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：M1F1，M1F2，M1F3，M2F1，M2F2，M2F3，M3F1，M3F2，M3F3．（7分）这2人均被录用的情况有4种，即：M1F1，M1F2，M2F1，M2F2．（8分）记“从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K，则．（10分）（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E．（13分）13．【解答】证明：假设4a（1﹣b）＞1，4b（1﹣c）＞1，4c（1﹣d）＞1，4d（1﹣a）＞1，则有a（1﹣b）＞，b（1﹣c）＞，c（1﹣d）＞，d（1﹣a）＞．所以＞，＞，＞，＞．又因为≤，≤，≤，≤，所以＞，＞，＞，＞．将上面各式相加得2＞2，矛盾．所以4a（1﹣b），4b（1﹣c），4c（1﹣d），4d（1﹣a）这四个数不可能都大于1．14．【解答】解：（1）d（A，B）＝1+1+0+1+1＝4．（2）证明：假设序列中存在一个含5维T向量序列，不妨设A m＝（0，0，0，0，0），∵向量A1＝（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，∴从A1到A m共发生了奇数次变化，又∵d（A i，A i+1）＝2，∴从A i到A i+1共有2个分量发生改变，即从A i到A i+1共发生了偶数次变化，∴从A1到A m共发生了偶数次变化，矛盾．∴该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．15．【解答】证明：∵a+b＝1，由≤可得：a+1+b+1+2≤6，∴2≤3由不等式的性质可得：2≤a+1+b+1＝3，当且仅当a＝b时取等号．∴．16．【解答】解：（1）由，可得，解之得a＝2．…（2分）由32种情形等可能，故，…（4分）所以，答：“谁被选中”的信息熵为5．…（6分）（2）A n获得冠军的概率为，…（8分）当k＝1，2，…，n﹣1时，，又，故，…（11分），以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为．…（14分）17．【解答】解：（Ⅰ）A6＝（1，1，1，﹣1，﹣1，﹣1），A6＝（1，1，﹣1，1，﹣1，﹣1），A6＝（1，1，﹣1，﹣1，1，﹣1），A6＝（1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1），A6＝（1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1），共5个．…（3分）（Ⅱ）首先证明a1＝1，且a2n＝﹣1．在③中，令i＝1，得a1≥0．由①得a1＝1．由②得a2n＝﹣（a1+a2+…+a2n﹣1）．在③中，令i＝2n﹣1，得a1+a2+…+a2n﹣1≥0，从而a2n＝﹣（a1+a2+…+a2n﹣1）≤0．由①得a2n＝﹣1．考虑A2n＝（1，…，1，﹣1，…，﹣1），即a1＝a2＝…＝a n＝1，a n+1＝a n+2＝…＝a2n＝﹣1，此时a1+a2+…+a n＝n为最大值．现交换a n与a n+1，使得a n＝﹣1，a n+1＝1，此时a1+a2+…+a n＝n﹣2．现将a n＝﹣1逐项前移，直至a2＝﹣1．在前移过程中，显然a1+a2+…+a n＝n﹣2不变，这一过程称为1次移位．继续交换a n与a n+2，使得a n＝﹣1，a n+2＝1，此时a1+a2+…+a n＝n﹣4．现将a n＝﹣1逐项前移，直至a4＝﹣1．在前移过程中，显然a1+a2+…+a n＝n﹣4不变，执行第2次移位．依此类推，每次移位a1+a2+…+a n的值依次递减2．经过有限次移位，a1，a2，…，a n一定可以调整为1，﹣1交替出现．注意到n为奇数，所以a1+a2+…+a n＝1为最小值．所以，a1+a2+…+a n的取值集合为{1，3，5，…，2k﹣1}．…（8分）（Ⅲ）由①、②可知，有序数组（a1，a2，…，a2n）中，有n个+1，n个﹣1．显然，从a1，a2，…，a2n中选n个+1，其余为﹣1的种数共有种．下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足条件③，记该数为t n．如果（a1，a2，…，a2n）不满足条件③，则一定存在最小的正整数s（s≤n），使得（ⅰ）a1+a2+…+a2s﹣2＝0；（ⅱ）a2s﹣1＝﹣1．将a1，a2，…，a2s﹣1统统改变符号，这一对应f为：（a1，a2，…，a2s﹣1，a2s，…，a2n）→（﹣a1，﹣a2，…，﹣a2s﹣1，a2s，…，a2n），从而将（a1，a2，…，a2n）变为n+1个+1，n﹣1个﹣1组成的有序数组．反之，任何一个n+1个+1，n﹣1个﹣1组成的有序数组（a1，a2，…，a2n）．由于+1多于﹣1的个数，所以一定存在最小的正整数s（s≤n），使得a1+a2+…+a2s﹣1＝1．令对应f﹣1为：（a1，a2，…，a2s﹣1，a2s，…，a2n）→（﹣a1，﹣a2，…，﹣a2s﹣1，a2s，…，a2n），从而将（a1，a2，…，a2n）变为n﹣1个+1，n+1个﹣1组成的有序数组．因此，t n就是n+1个+1，n﹣1个﹣1组成的有序数组的个数．所以A2n的个数是．…（13分）18．【解答】解：（Ⅰ）选择（1）式计算，可得cos（﹣60°）+cos60°+cos180°＝+﹣1＝0；…（4分）（Ⅱ）一般性的命题为cos（α﹣120°）+cosα+cos（α+120°）＝0；…（6分）证明：左边＝cos（α﹣120°）+cosα+cos（α+120°）＝cosαcos120°+sinαsin120°+cosα+cosαcos120°﹣sinαsin120°…（10分）＝﹣cosα+cosα﹣cosα＝0＝右边．…（12分）所以命题成立．19．【解答】（1）解：当a＝1时，|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，无解；，解得；，解得．综上，不等式的解集为．（2）证明：若都小于，则，前两式相加得与第三式矛盾．故中至少有一个不小于．20．【解答】解：∵，∴f（0）+f（1）＝+＝＝，同理可得：f（﹣1）+f（2）＝，f（﹣2）+f（3）＝．．证明：设x1+x2＝1，则f（x1）+f（x2）＝+＝＝．21．【解答】解：（Ⅰ）因为2＝1+1，4＝2+2，6＝2+4，所以{1，2，4，6}具有性质P．因为不存在a i，a j∈{1，3，4，7}，使得3＝a i+a j．所以{1，3，4，7}不具有性质P．（Ⅱ）因为集合A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，所以对a4而言，存在a i，a j∈{a1，a2，…，a n}，使得a4＝a i+a j又因为1＝a1＜a2＜a3＜a4…＜a n，n≥4所以a i，a j≤a3，所以a4＝a i+a j≤2a3．同理可得a3≤2a2，a2≤2a1将上述不等式相加得a2+a3+a4≤2（a1+a2+a3）所以a4≤2a1+a2+a3．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…，又a1＝1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72所以n≥8构造数集A＝{1，2，4，5，9，18，36，72}（或A＝{1，2，3，6，9，18，36，72}），经检验A具有性质P，故n的最小值为8．22．【解答】解：（Ⅰ）f1（7）＝{3x i}＝max{0，3，6，9}＝9，当x1＝3时，f1（7）＝9；（Ⅱ）f2（7）＝{4x2+f1（7﹣3x2）}＝max{0+f1（7），4+f1（4），8+f1（1）}，x2＝1时，f1（4）{3x i}＝max{0，3，6}＝6，∴x1＝2时，f1（4）＝6，x2＝2时，f1（1）＝＝0，∴x1＝0时，f1（1）＝0，∴f2（7）＝max{9，4+6，8+0}＝10，即x2＝1，x1＝2时，f2（7）＝10；（Ⅲ）求得f3（11）的值时，得到x1＝4，x2＝0，x3＝1，4＜p≤4.5．23．【解答】解：（1）当n＝2时，取数a1＝1，a2＝2，因为＝3∈Z，当n＝3时，取数a1＝2，a2＝3，a3＝4，则＝﹣5∈Z，＝﹣7∈Z，＝﹣3∈Z，即a1＝2，a2＝3，a3＝4可构成三个好数．（2）证：①由（1）知当n＝2，3时均存在，②假设命题当n＝k（k≥2，k∈Z）时，存在k个不同的正整数a1，a2，…，a k，使得对任意1≤i＜j≤k，都有∈Z成立，则当n＝k+1时，构造k+1个数A，A+a1，A+a2，…，A+a k，（*）其中A＝1×2×…×a k，若在（*）中取到的是A和A+a i，则＝﹣﹣1∈Z，所以成立，若取到的是A+a i和A+a j，且i＜j，则＝+，由归纳假设得∈Z，又a j﹣a i＜a k，所以a j﹣a i是A的一个因子，即∈Z，所以＝+∈Z，所以当n＝k+1时也成立．所以对任意正整数，均存在“n个好数”．24．【解答】解：（1）当k＝4时，第4层标注数字依次为x1，x2，x3，x4，第3层标注数字依次为x1+x2，x2+x3，x3+x4，第2层标注数字依次为x1+2x2+x3，x2+2x3+x4，所以x0＝x1+3x2+3x3+x4．因为x0为2的倍数，所以x1+x2+x3+x4是2的倍数，则x1，x2，x3，x4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1+C42+1＝8种标注方法．（2）当k＝11时，第11层标注数字依次为x1，x2，…，x11，第10层标注数字依次为x1+x2，x2+x3，…，x10+x11，第9层标注数字依次为x1+2x2+x3，x2+2x3+x4，…，x9+2x10+x11，以此类推，可得x0＝x1+C101x2+…+C109x10+x11．因为C102＝C108＝45，C103＝C107＝120，C104＝C106＝210，C105＝252均为3的倍数，所以只要x1+C101x2+C109x10+x11是3的倍数，即只要x1+x2+x10+x11是3的倍数，所以x1、x2、x10、x11四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个可以取0或1，这样共有（1+C43）×27＝640种标注方法．25．【解答】解：（1）若第四层四个数为0或1，则a1＝a7+3a8+3a9+a10，则a7，a8，a9，a10中有一个1，或有三个1，若a7，a8，a9，a10中有一个1，则有4种情况；若a7，a8，a9，a10中有三个1，则有4种情况；共8种情况；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1＝a56+10（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66均为0，a57，a58，a65任意，则第十一层十一个数共有29＝512种不同取法．26．【解答】证明：（1）当n＝1时，a+b＝c2，则a+b﹣c＝c2﹣c＝c（c﹣1），∵c∈N•，∴c（c﹣1）≥0，从而a+b﹣c≥0，即a+b≥c成立．（2）不妨设a≥b，易得，若a＞c，则＞1，故（）n＜c，解得n＜，与n为任意的正整数矛盾．若a≤c，则0＜≤1，0＜≤1，故0＜（）n≤1，0＜（）n≤1，从而0＜c≤2，∵c∈N•，∴c＝1或2．当c＝1时，a n+b n＝1，而a n+b n≥2，矛盾，舍去，当c＝2时，（）2+（）2＝2，从而＝1，＝1，故a＝b＝c＝2．综上a＝b＝c＝2．27．【解答】证明：（1）对任意实数x1，x2及α∈（0，1），有f（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf（x1）﹣（1﹣α）f（x2）＝＝＝，即f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），∴是C函数；（2）不是C函数，说明如下（举反例）：取x1＝﹣3，x2＝﹣1，，则f（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf（x1）﹣（1﹣α）f（x2）＝，即f（αx1+（1﹣α）x2）＞αf（x1）+（1﹣α）f（x2），∴不是C函数；（3）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）．（i）若f（m）＜f（n），记x1＝m，x2＝m+T，，则0＜α＜1，且n＝αx1+（1﹣α）x2，那么f（n）＝f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2）＝αf（m）+（1﹣α）f（m+T）＝f（m），这与f（m）＜f（n）矛盾；（ii）若f（m）＞f（n），记x1＝n，x2＝n﹣T，，同理也可得到矛盾；∴f（x）在[0，T）上是常数函数，又因为f（x）是周期为T的函数，所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾．所以f（x）不是R上的C函数．28．【解答】（Ⅰ）证明：∵AE＝AB，∴BE＝AB，∵在正△ABC中，AD＝AC，∴AD＝BE，又∵AB＝BC，∠BAD＝∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADF+∠AEF＝π，所以A，E，F，D四点共圆．…（5分）（Ⅱ）解：如图，取AE的中点G，连接GD，则AG＝GE＝AE，∵AE＝AB，∴AG＝GE＝AB＝，∵AD＝AC＝，∠DAE＝60°，∴△AGD为正三角形，∴GD＝AG＝AD＝，即GA＝GE＝GD＝，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．…（10分）29．【解答】（本小题满分12分）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点M、N在△ABC的边上，将△ABC 沿直线MN对折后，它的一个顶点正好落在对边上，且折痕MN截△ABC所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与△ABC相似，∴前3图分别为△ABC的中位线，长度分别是3、4、5…（6分）图4中N为AB的中点，MN垂直平分AB，MN＝，…（8分）图5中D为AB的中点，MN垂直平分CD，MN＝．…（12分）30．【解答】解：（1）由已知中的图象可得：第6行的第三个数为25；（2）由已知得b n+1＝b n+n，∴b n+1﹣b n＝n，∴b n﹣b n﹣1＝n﹣1，b n﹣1﹣b n﹣2＝n﹣2，…，b3﹣b2＝2，b2﹣b1＝1，累加得：b n﹣b1＝n﹣1+n﹣2+…+2+1＝，又∵b1＝1，∴b n＝+1证明：（3）∵（b n﹣1）c n＝1，即c n＝1，∴c n＝＝2（），∴c2+c3+…+c n＝2（1+…+）＝2（1），∵n≥2，∴0＜≤，∴1≤c2+c3+…+c n＜2．31．【解答】证明：假设上述两个方程中都没有实数根．则两个方程的判别式△1＝4b2﹣4a＜0，△2＝4d2﹣4c＜0，即b2＜a，d2＜c，不等式两边同时相加得b2+d2＜a+c，∵a+c＝2bd．∴不等式等价为b2+d2＜2bd，这与b2+d2≥2bd矛盾，故假设不成立，即上述两个方程中至少有一个方程有实数根．32．【解答】解：（1）由题意可知f（n）＝f（n﹣1），n≥2，∴f（2）＝×＝，f（3）＝×＝；（2）由f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（3）＝＝，归纳猜想f（n）＝；∵＝，∴•…＝×××…×，∴＝，∴f（n）＝．（3）∵f（n）＝＝（﹣）∴f（i）＝[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（1﹣）＝33．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．﹣1﹣1﹣1﹣1111111111111（Ⅱ）解：不存在A∈S（9，9），使得l（A）＝0．证明如下：假设存在A∈S（9，9），使得l（A）＝0．因为r i（A）∈{1，﹣1}，c j（A）∈{1，﹣1}，（i，j＝1，2，3，…，9），所以r1（A），…，r9（A）；c1（A），…，c9（A），这18个数中有9个1，9个﹣1．令M＝r1（A）•…r9（A）c1（A）…c9（A）．一方面，由于这18个数中有9个1，9个﹣1，从而M＝﹣1．①另一方面，r1（A）•…r9（A）表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；c1（A）•…c9（A）也表示m，从而M＝m2＝1．②①、②相矛盾，从而不存在A∈S（9，9），使得l（A）＝0．（Ⅲ）解：记这n2个实数之积为P．一方面，从“行”的角度看，有P＝r1（A）•r2（A）…r n（A）；另一方面，从“列”的角度看，有P＝c1（A）c2（A）…c n（A）．从而有r1（A）•r2（A）…r n（A）＝c1（A）c2（A）…c n（A）．③注意到r i（A）∈{1，﹣1}，c j（A）∈{1，﹣1}，（i，j＝1，2，3，…，n），下面考虑r1（A），…，r n（A）；c1（A），…，c n（A），这些数中﹣1的个数：由③知，上述2n个实数中，﹣1的个数一定为偶数，该偶数记为2k（0≤k≤n）；则1的个数为2n﹣2k，所以l（A）＝（﹣1）×2k+1×（2n﹣2k）＝2（n﹣2k）．对数表A0：a ij＝1，（i，j＝1，2，3，…，n），显然l（A0）＝2n．将数表A0中的a11由1变为﹣1，得到数表A1，显然l（A1）＝2n﹣4．将数表A1中的a22由1变为﹣1，得到数表A2，显然l（A2）＝2n﹣8．依此类推，将数表A k﹣1中的a kk由1变为﹣1，得到数表A k．。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)
高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
2020年高考数学(文科)复习 第十一单元 推理与证明、算法、复数 作业答案
课时作业(五十一)1.B[解析]由S1,S2,S3猜想出S n的表达式,是从特殊到一般的推理,是归纳推理,故选B.2.C[解析]因为大前提“正弦函数是奇函数”正确,但小前提“f(x)=sin(x2+1)是正弦函数”不正确,所以结论“f(x)=sin(x2+1)是奇函数”不正确,故选C.3.C[解析]平面上关于正三角形的内切圆的性质可类比为空间中关于正四面体的内切球的性质,可以推断,在空间几何中有“正四面体的内切球与各面相切,切点是各面的中心”,即各面内某条高的三等分点.4.123[解析]观察可得各式等号右边的值构成数列1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前面相邻两项的和,继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,….由题意得所求值为数列中的第十项,则a10+b10=123.5.A[解析]类比平面几何的射影定理,可以推理出:在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,AO⊥平面BCD,O 为垂足,则(S△ABC)2=S△BOC·S△BDC.故选A.6.D[解析]易知大前提是②,小前提是③,结论是①.故排列的次序应为②→③→①.7.D[解析]若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意,故选D.8.C[解析]∵m2=1+3+5+…×6=36,∴m=6.∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29.+11=1+112∵p3的分解式中最小的正整数是21,∴p3=53,p=5,∴m+p=6+5=11,故选C.9.①②③[解析]∵所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康保险,∴所有纺织工都投了健康保险,故①正确;∵所有纺织工都是工会成员,所有工会成员都投了健康保险,部分纺织工是女工,∴有些女工投了健康保险,故②正确;∵部分梳毛工是女工,没有一个梳毛工投了健康保险,∴有些女工没有投健康保险,故③正确;∵所有工会成员都投了健康保险,∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的,故④错误. 故答案为①②③.10.①③④ [解析] 由已知条件可得如下符合规律的等式:4=1+3,9=3+6,16=6+10,25=10+15,36=15+21,49=21+28,64=28+36,81=36+45,…, 故答案为①③④. 11.144√3143[解析] 根据题意可知a∶b∶c=2√3∶3∶2,故可设a=2√3x ,b=3x ,c=2x ,其中x>0,由S=√14[a 2×c 2-(a2+c 2-b 22) 2]=12ah a =12bh b =12ch c ,可得x=12√143.由余弦定理可得cos A=112,所以sin A=√14312,所以由正弦定理得三角形外接圆半径为a 2sinA =2√3x 2sinA =144√3143. 课时作业(五十二)1.B [解析] 综合法的基本思路是“由因导果”,即从已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后得到待证结论.故本题证明的过程应用了综合法.2.A [解析] 根据反证法的定义,可知“若a ∈R ,则函数y=x 3+ax+b 至少有一个零点”的反设应为“若a ∈R ,则函数y=x 3+ax+b 没有零点”,故选A .3.C [解析] 因为a>b>c ,且a+b+c=0,所以b=-a-c ,c<0,要证√b 2-ac <√3a ,只需证b 2-ac<3a 2,只需证(-a-c )2-ac<3a 2,即证a 2-ac+a 2-c 2>0,即证a (a-c )+(a+c )(a-c )>0,即证(a-b )(a-c )>0.4.√3 [解析] 不妨设a=sin α,b=cos α,x=√3sin β,y=√3cos β,则ax+by=√3sin αsin β+√3cos αcos β=√3(sin αsin β+cos αcos β)=√3cos (α-β)≤√3,故ax+by 的最大值是√3.5.①③④ [解析] 要使b a +a b ≥2成立,需b a >0且a b >0成立,即a ,b 都不为0且同号,故①③④能使b a +a b≥2成立.6.A [解析] 用分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立,∴②是①的充分条件.故选A .7.A [解析] ∵a+b 2≥√ab ≥2aba+b,当且仅当a=b 时取等号,且f (x )=12x在R 上是减函数,∴fa+b 2≤f (√ab )≤f2ab a+b,即A ≤B ≤C.8.C [解析] 用反证法证明时,其假设应否定命题的结论. 证明①:“已知p 3+q 3=2,求证:p+q ≤2”时,可假设“p+q>2”;证明②:“若x 2=4,则x=-2或x=2”时,可假设“x ≠-2且x ≠2”.故选C .9.C [解析] 要证(ac+bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2),只要证a 2c 2+2abcd+b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2,即证2abcd ≤a 2d 2+b 2c 2,即证(ad-bc )2≥0,该式显然成立.10.② [解析] 正确的假设为“假设1+x y ≥2,1+yx≥2”. 11.> [解析] 猜想√8-√5>√10-√7.要证√8-√5>√10-√7,只要证√8+√7>√10+√5,即证(√8+√7)2>(√10+√5)2,即证15+2√56>15+2√50,即证√56>√50, 即证56>50,显然成立, 故√8-√5>√10-√7,猜想正确.12.C [解析] 若a=12,b=23,则a+b>1, 但a<1,b<1,故①推不出; 若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a 2+b 2>2,但a<1,b<1,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,但a<1,b<1,故⑤推不出. 对于③,若a+b>2,则a ,b 中至少有一个大于1. 用反证法证明如下:假设a ≤1且b ≤1, 则a+b ≤2,与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a ,b 中至少有一个大于1.13.3√32[解析] ∵f (x )=sin x 在区间(0,π)上是凸函数,且A ,B ,C ∈(0,π),∴f(A)+f(B)+f(C)3≤f A+B+C3=fπ3,即sin A+sin B+sin C ≤3sin π3=3√32,∴sin A+sin B+sin C 的最大值为3√32. 课时作业(五十三)1.B [解析] 由算法的概念可知,求解某一类问题的算法必须在有限步内完成. 对于A ,S=1+2+3+4,可四步完成; 对于B ,S=1+2+3+…,不知其多少步完成; 对于C ,S=1+12+13+…+1100,可100步完成;对于D ,S=12+22+32+…+1002,可100步完成. 故选B .2.A [解析] 根据程序框图可知,其功能为计算分段函数y={x +3,x <0,0,x =0,x -5,x >0的函数值,因为x=3,所以y=3-5=-2.故选A .3.D [解析] 模拟程序的运行,可得该程序的作用是交换两个变量A 和B 的值,并输出交换后的值.故选D .4.C [解析] 当x=1时,执行y=9-1=8.则输出y 的值为8,故选C .5.57 [解析] 第一次循环后k=2,S=4; 第二次循环后k=3,S=11; 第三次循环后k=4,S=26; 第四次循环后k=5,S=57. 此时,终止循环,输出S=57.6.C [解析] 依次运行程序框图,可得:①T=1,S=1,k=2,不满足k>4,继续执行循环体; ②T=12,S=1+12,k=3,不满足k>4,继续执行循环体; ③T=12×3,S=1+12+12×3,k=4,不满足k>4,继续执行循环体;④T=12×3×4,S=1+12+12×3+12×3×4,k=5,满足k>4,退出循环.则输出的S=1+12+12×3+12×3×4. 故选C .7.B [解析] 由程序框图知,输出的S=0-1+2-3+4-…+2016-2017+2018=0+(-1+2)+(-3+4)+…+(-2017+2018)=1009.8.D [解析] 第一次循环后S=2,k=3; 第二次循环后S=6,k=4; 第三次循环后S=24,k=5; 第四次循环后S=120,k=6; 第五次循环后S=720,k=7; 第六次循环后S=5040,k=8.此时满足题意,退出循环,输出S=5040. 故判断框中应填入“k>7?”.9.A [解析] 因为输出的k=3,所以循环体执行了3次.第1次执行循环体后S=2×0+3=3,第2次执行循环体后S=2×3+3=9,第3次执行循环体后S=2×9+3=21.因此符合题意的实数a 的取值范围是9≤a<21,故选A .10.17 [解析] 初始值a=255,b=68. 第1次执行循环体后c=51,a=68,b=51; 第2次执行循环体后c=17,a=51,b=17; 第3次执行循环体后c=0,a=17,b=0;满足条件b=0,退出循环,故输出a 的值为17.课时作业(五十四)1.A [解析] 对于①,若两个复数都是实数,则可以比较大小,故①中说法错误;对于②,复数z=i -1在复平面内对应的点的坐标为(-1,1),位于第二象限,故②中说法错误; 对于③,若(x 2-1)+(x 2+3x+2)i 是纯虚数,则{x 2-1=0,x 2+3x +2≠0,解得x=1,故③中说法错误;对于④,若z 1-z 2=i ,z 2-z 3=1,则(z 1-z 2)2+(z 2-z 3)2=0,故④中说法错误.∴正确说法的个数是0.故选A . 2.C [解析] ∵z 1=2-i ,z 2=a+2i ,∴z 1z 2=(2-i )(a+2i )=2a+2+(4-a )i , 又z 1z 2∈R ,∴4-a=0,即a=4. 故选C .3.D [解析] 由z (2+i )=3-i , 得z=3-i 2+i =(3-i)(2-i)(2+i)(2-i)=5-5i 5=1-i , 则复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限. 故选D .4.D [解析] z=(a+i )(1-i )=a+1+(1-a )i ,∴|z|=2=√(a +1)2+(1-a)2, 解得a=±1. 故选D . 5.i [解析]3+2i 2-3i =(3+2i)(2+3i)(2-3i)(2+3i)=13i13=i . 6.C [解析] z=4+bi 1-i =(4+bi)(1+i)(1-i)(1+i)=(4-b)+(4+b)i 2,所以其实部为4-b 2,由题意得4-b2=-1,则b=6,因此复数z=-1+5i .则z -b=(-1-5i )-6=-7-5i ,z -b 在复平面内对应的点的坐标为(-7,-5),位于第三象限.7.C[解析] i 20191+i =i 4×504+31+i =i 31+i =-i 1+i =-i(1-i)(1+i)(1-i)=-1-i2.8.B [解析] 因为复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z 1=3+i , 所以z 2=-3+i ,所以z 1z 2=(3+i )(-3+i )=-9-1=-10,故选B . 9.A [解析] 由题意可得z=-1+2i , 则z 2=(-1+2i )2=-3-4i ,其共轭复数为-3+4i .故选A .10.D[解析]∵z·i=|12-√32i|=√(12)2+(-√32)2=1,∴z·i·(-i)=-i,即z=-i.则复数z在复平面内对应的点的坐标为(0,-1).11.C[解析]2i1+i 2=4i2(1+i)2=-42i=2i,故选C.12.A[解析]因为m+(m2-4)i>0,所以{m>0,m2-4=0,可得m=2,故m+2i2-2i=2(1+i)2(1-i)=i.13.2[解析]∵(1+i)(1-b i)=a,即1+b+(1-b)i=a,∴{1+b=a,1-b=0,解得{b=1,a=2,∴ab=2.14.-2+4i[解析]由图可知z1=-1+2i,又z2z1=2,∴z2=2z1=2(-1+2i)=-2+4i.15.C[解析]设z=a+b i(a,b∈R),则z=a-b i,∵复数z满足|z|=√2,z+z=2,∴{a2+b2=2,2a=2,得{a=1,b=±1,∴z=1+i或z=1-i.16.√5-2[解析]由|z-1-2i|=2,得|z-(1+2i)|=2,则z在复平面内对应的点在以(1,2)为圆心,以2为半径的圆上,如图所示.则|z|的最小值为|OP|-2=√5-2.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》专项训练解析附答案
【最新】高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】 【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -， 首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+， 313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.2．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】C 【解析】 【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案. 【详解】设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,1,(1)112n f ==+=Q ;2,(2)(1)24n f f ==+=; 3,(3)(2)37n f f ==+=;, 4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=; 6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.3．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y +=B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += 【答案】C 【解析】【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上，故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C. 【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.6．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（ ） A ．1个 B ．5个C ．7个D ．9个【答案】B 【解析】 【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论. 【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个， 由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 因此这样的点有且只有5个. 故选：B 【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.7．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误；④数列{a n}的递推关系是a n+1=a n+n+1(n∈N∗).正确；本题选择D选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）A．小明B．小红C．小金D．小金或小明【答案】B【解析】【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B.【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.10．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+【答案】A 【解析】 【分析】根据归纳推理进行求解即可． 【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，L照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
不等式、推理与证明-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)
专题 13 不等式、推理与证明1．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知a>0，b>0，且a+b=1，则B．2a b 1A． a b2122 2C．log2 a log2 b2D． a b2x 3y 12．【2020年高考浙江】若实数x，y满足约束条件x y 3 0，则z x 2y的取值范围是A．( ,4]C．[5,)B．[4,)D．(,)3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3 且j–i=4，则称a i，a j，a k为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A．5 B．8 C．10N N，T* *，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任D．154．【2020年高考浙江】设集合S，T，S意的x，y S，若x≠y，则xy T；②对于任意的x，y T，若x<y，则y S．下列命题正确的是xA．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素5．【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度5 1（ 5 1≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的之比是2 2头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为2105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A ．165 cm C ．185 cmB ．175 cm D ．190 cmxy 6,表示的平面区域为D ．命题 p :(x, y)D,2x y 96．【2019年高考全国III 卷文数】记不等式组2x y 0命题q :(x, y)D,2x y 12．下面给出了四个命题 ① pq②pq③ pq④p q这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ C ．②③B ．①② D ．③④7．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮5 E 1度满足 m 2−m 1= 2 lg E ，其中星等为 m k 的星的亮度为 E k （k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星2的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ． 1010.1 B ． 10.1 D ． 10–C ． lg10.110.1 x y 20, x y 2 0, 8．【2019年高考天津卷文数】设变量 x, y ，则目标函数 z 4x y 的最大值满足约束条件x1,y 1,为 A ．2 C ．5B ．3 D ．69．【2019年高考天津卷文数】设 x R ，则“0 x 5”是“| x 1|1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件x 3y 4 010．【2019年高考浙江卷】若实数 x, y 满足约束条件3x y 4 0，则 z 3x2y 的最大值是x y 0A ． 1C ． 10B ． 1 D ． 1211．【2019年高考浙江卷】若 a0,b 0，则“a b 4”是 “ab 4 ”的A ．充分不必要条件 C ．充分必要条件B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件12．【2018年高考北京卷文数】设集合 A {(x, y)| x y 1,ax y 4,xay 2},则A ．对任意实数 a ，(2,1) AB ．对任意实数 a ，（2，1） A 3C ．当且仅当 a<0时，（2，1） AD ．当且仅当 a 时，（2，1） A213．【2018年高考天津卷文数】设 x R ，则“ x 38”是“|x | 2”的A ．充分而不必要条件 C ．充要条件B ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件xy 5，2x y 4， 14．【2018年高考天津卷文数】设变量 x, y 满足约束条件x y 1， 则目标函数 z 3x 5y 的最大值为y 0，A ．6B ．19C ．21D ．4515．【2020年高考江苏】已知5x 2 y2y421(x, y R)，则 x y2的最小值是 ▲．1 1 8的最小值为_________． 16．【2020年高考天津】已知 a 0, b 0，且ab1，则 2a 2b a b2x y 20, 17．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若 x ，y 满足约束条件 x y 1 0,则 z=x+7y 的最大值为 .y 1 0,x y 1，18．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若x，y满足约束条件x y 1，则z x 2y的最大值是__________．2x y 1,x y0,19．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若x，y满足约束条件2x y 0，,则z=3x+2y的最大值为_________．x 1,2x 3y 6 0，20．【2019年高考全国II卷文数】若变量x，y满足约束条件x y 3 0，则z=3x–y的最大值是y 2 0，____________.21．【2019年高考全国II卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）x 2,则y x的最小值为__________，最大值为22．【2019年高考北京卷文数】若x，y满足y 1,4x 3y 10,__________．(x 1)(2y 1)23．【2019年高考天津卷文数】设x 0, y 0, x 2y 4，则的最小值为__________.xy24．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．x y0,25．【2018年高考浙江卷】若x, y满足约束条件2x y 6,则z x 3y的最小值是___________，最大值x y 2,是___________．26．【2018年高考北京卷文数】若,y满足x 1 y 2x，则2y−的最小值是_________.x 2y 2x，y满足约束条件x y 1 0，则z 3x 2y的最大值27．【2018年高考全国I卷文数】若为y 0_____________．2x y 3 0，则z x 1 y的最大值是28．【2018年高考全国III卷文数】若变量x，y满足约束条件x 2y 4 0，3x 2 0.________．x 2y 5 0，29．【2018年高考全国II卷文数】若x, y 满足约束条件x 2y 3 0，则z x y的最大值为__________x 5 0，130．【2018年高考天津卷文数】已知a ,b R，且a 3b 6 0，则2a b的最小值为.831．【2018年高考江苏卷】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c ，ABC 120，ABC的平分线交AC于点D，且BD 1，则4a c的最小值为___________．。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)(含答案解析)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ） A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．695．已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B C ．23D 6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)8．点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A ．1B C D ．29．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<11．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ） AB ．C ．D ．12．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称二、填空题13．若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．14．设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y，则C 的离心率为_________．15．设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．三、解答题17．设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=． （1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内． 20．已知函数32()f x x kx k =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．21．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 23．设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c参考答案1．B 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2．D 【分析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 3．C 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=，的方差是数据(1,2,,)i x i n =，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯ 故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．C 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t *即可得解. 【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5．B 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】由题意可得：1sin sin 12θθθ++=，则：3sin 12θθ=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin663ππθθ+=，即sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题. 6．A 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可. 【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-， 从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+， 结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．B 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 8．B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果. 【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 9．C 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：632=⨯++故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 10．A 【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可. 【详解】 因为333112log 2log 9333ac =<==，355112log 3log 25333b c =>==， 所以a c b <<. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 11．C 【分析】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .B 【详解】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴===故选：C 【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．D 【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D. 【详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对 故选：D 【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题. 13．7 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14【分析】根据已知可得ba=,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题. 15．1 【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值 【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+， 整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.16 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：22r，其体积：3433V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 17．（1）13-=n n a ；（2）6m =. 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =， 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.18．（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥,进而可证AC ⊥平面11BB D D ,即得结果；（2）只需证明1//EC AF 即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =,再通过平行四边形性质进行证明即可. 【详解】（1）因为长方体1111ABCD A BC D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题. 20．（1）详见解析；(2)4(0,)27. 【分析】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可；（2）()f x 有三个零点，由（1）知0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可. 【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x < 令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增. （2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<， 当4027k <<>20f k =>， 所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<， 所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,)27. 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.21．（1）221612525x y +=；（2）52. 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】 （1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：5d ===，根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ 面积为：15252⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d===，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22．（1）（2）3cos sin120ρθρθ-+=【分析】（1）由参数方程得出,A B的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB的值；（2）由,A B的坐标得出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x=，则220t t+-=，解得2t=-或1t=（舍），则26412y=++=，即(0,12)A. 令0y=，则2320t t-+=，解得2t=或1t=（舍），则2244x=--=-，即(4,0)B-.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2020年真题+模拟题 专项版解析 文科数学——10 不等式、推理与证明、算法初步、复数(教师版)
专题10 不等式、推理与证明、算法初步、复数1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若312i i z =++，则||=zA ．0B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=故选C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】（1–i ）4= A ．–4 B ．4C ．–4iD ．4i【答案】A【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题. 3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.5．【2020年高考北京】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅= A ．1i 2+ B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【答案】B【解析】由题意得12i z =+，i i 2z ∴=-.故选：B ．【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知a >0，b >0，且a +b =1，则 A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥- D【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.7．【2020年高考浙江】若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.8．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】执行下面的程序框图，则输出的n=A ．17B ．19C ．21D ．23【答案】C【解析】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =． 故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题．9．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A ．5B ．8C ．10D ．15【答案】C【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i -=-=．∴1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===．原位小三和弦满足：4,3k j j i -=-=．∴1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===．故个数之和为10． 故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题． 10．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】执行下面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值 模拟程序的运行过程：0,0k a ==，第1次循环，2011a =⨯+=,011k =+=，110>为否； 第2次循环，2113a =⨯+=,112k =+=，310>为否； 第3次循环，2317a =⨯+=,213k =+=，710>为否； 第4次循环，27115a =⨯+=,314k =+=，1510>为是 ， 退出循环. 输出4k =. 故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.11．【2020年高考浙江】设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ．下列命题正确的是A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【解析】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A ．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．【2020年高考江苏】已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ．【答案】3【解析】∵复数()()i 12i z =+- ∴2i i i 2i 23z =-+-=+∴复数的实部为3. 故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．13．【2020年高考江苏】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.15．【2020年高考天津】i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 【答案】3i 2- 【解析】()()()()828151032222i i i ii i i i 5----===-++-. 故答案为：3i 2-.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 16．【2020年高考天津】已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得22a b ==+，或22a b =+=-. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题. 17．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为 .【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.18．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．【答案】8【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x =-，当直线经过点A 时，直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y -=-⎧⎨-=⎩的解，解得：23x y =⎧⎨=⎩，因此2z x y =+的最大值为：2238+⨯=. 故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.19．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +⎧⎪≥-≥≤⎪⎨⎩，,则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7【解析】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.1．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考】设13z i=+，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】2(13)31213(13)(13)i i z i ii i -===++-， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，位于第一象限．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2．【辽宁省锦州市黑山县黑山中学2020届高三6月模拟考试数学】复数()311i iz =--（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．2i -+ B ．2i --C ．23i -+D ．2i +【答案】A【解析】∵()()()()32211i 1i 1i 21i 2iiz i i i i=--=---=--+=--， ∴2z i =-+.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数形式的四则运算和共轭复数，考查运算求解能力，是基础题. 3．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12z z = A ．1- B ．1C ．3455i -+ D ．3455-i 【答案】C【解析】依题意可得22z i =--，所以122(2)(2)342555z i i i i z i ---+===-+--， 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.4．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】在复平面内，若复数3422z i i=++所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第四象限D ．虚轴【答案】C【解析】因为3422=4z i i i=++-,所以在复平面上，复数z 表示的点是()41-，,在第四象限， 故选C. 【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.5．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】设i 为虚数单位，复数2(1)81i z i -+=+的实部为A ．5B ．5-C ．3-D ．3【答案】D【解析】()212i i -=-，()()()()82182610351112i i i iz i i i i ----====-++-，实部为3， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的概念和复数的运算，属于基础题.6．【河北省衡水中学2020届高三下学期（5月)第三次联合考试数学】已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为 A ．3 B ．3i C ．4D ．4i【答案】C【解析】2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题.7．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】设i 是虚数单位，若复数z 满足()11z i i -=+，则其共轭复数z =A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】()()()21122111i i ii z i i i ++===+--=--，所以z i =， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于基础题目.8．【河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学】已知复数2(1)(1)i z i i +=-，则下列结论正确的是 A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1z i =-+D ．2z 为纯虚数【答案】D【解析】()()()2221(1)12222====1(1)+11112i i i i i i iz i i i i i i i -++++==+-++-,z 的虚部为1,z =,1z i =-,()22=12i z i +=.故选:D. 【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.9．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】已知复数1023z i i=-+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是 A ．33i -- B ．33i +C ．151344i -- D ．151344i + 【答案】B 【解析】1010(3)10(3)22232333(3)(3)10i i z i i i i i i i i i --=-=-=-=--=-++-， 33z i ∴=+.故选：B 【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求共轭复数，属于基础题.10．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】已知复数z 满足4zi i=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 A ．4i B ．4C ．1D ．1-【答案】B 【解析】由4zi i=-，得2(4)414z i i i i i =-=-=+． ∴复数z 的虚部是4．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 11．【2020届四川省成都市石室中学高三下学期5月月考数学】复数2332iz i-=+，则z z ⋅= A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C 【解析】(23)(32)13(32)(32)13i i iz i i i ---===-+-，z i ∴=，∴1z z ⋅=.故选：C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题. 12．【河南省名校联盟2020届高三5月质量检测数学】已知复数z 2ai=+-1(i 为虚数单位，a ∈R )为纯虚数，则实数a = A ．52B ．52-C ．0D ．2【答案】B【解析】∵z ()()()2251122255a i a a a i i i i ++=+=+=+--+为纯虚数，∴250505a a +⎧=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得a 52=-. 故选B. 【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13．【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知集合{}2230A x x x =--≥，202x B x Z x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．{}2,1--D ．{}1,2-【答案】C 【解析】{}{22301A x x x x x =--≥=≤-或}3x ≥，{}{}20222,1,0,12x B x Z x Z x x ⎧⎫+=∈≤=∈-≤<=--⎨⎬-⎩⎭，因此，{}2,1A B =--.故选：C. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式与分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.14．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学】若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是 A ．20192019log log a b > B ．log log c b a a > C ．()()cbc b a c b a ->-D ．()()cba c a a c a ->-【答案】D【解析】因为1,01a c b ><<<，所以0a c ->，考查指数函数(1)xy a a =>，所以()()c b c ba a a c a a c a ⇔<-<-，所以D 不正确. 【点睛】本题考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，求解时注意利用分析法判断不等式的正确性.15．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【答案】C【解析】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选C. 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.16．【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填A ．2a a a =+；a b <B ．2aa a =+；a b < C ．2a a a =+；a b ≥ D ．2aa a =+；ab >【答案】B【解析】松日自半，则表示松每日增加原来长度的一半，即矩形框应填2aa a =+；何日竹逾松长，则表示竹长超过松长，即松长小于竹长，即菱形框应填ab <. 故选：B 【点睛】本小题主要考查补全程序框图，属于基础题.17．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】圆224610x y x y ++-+=关于直线()800,0ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是 A ．6B ．3C ．154D 6【答案】B【解析】根据圆的方程可知，圆心坐标为()2,3C -，而直线经过圆心，所以2380a b --+=，得238a b +=，因为0,0a b >>，所以()3213214312312+388289b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯+≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“1”，构造基本不等式，属于中档题.18．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考（三诊)数学】2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么 A ．国防大学，博士 B ．国防科技大学，硕士 C ．国防大学，学士 D ．军事科学院，学士【答案】A【解析】由①③可知，丙是军事科学院的. 进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学. 所以甲来自国防大学，学位是博士. 故选A. 【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.19．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】运行如图所示的程序算法，则输出的结果为A ．2B ．12C ．13D ．132【答案】A【解析】当2a =时， 1k =；当132a =时，3k =； 当132132a ==时，5k =；…；当132a =时，99k =，当2a =时，101k =，跳出循环； 故选:A. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序发现a 值出现的周期性的变化是解题的关键，属于基础题.20．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】设实数,x y 满足不等式组4,2,4,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪⎩则11y z x +=+的最小值为A ．13B ．15C ．13-D ．12-【答案】B【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 目标函数11y z x +=+表示平面区域内的点(,)x y 与(1,1)D --连线的斜率， 则11y z x +=+的最小值为()()011415CDk --==--.故选：B 【点睛】本题考查线性规划问题中分式型目标函数求最值问题，属于简单题.21．【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】1i =，12n =， 第一次循环： 8n =，2i =， 第二次循环：31n =，3i =， 第三次循环：123n =，4i =， 第四次循环：119n =，5i =，第五次循环：475n =，6i =，停止循环，输出6i=.故选B.【点睛】本题考查了循环结构流程图和条件结构流程图，属于基础题.22．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图的程序框图，如果输入的k＝0.4，则输出的n＝A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1，S11 133 ==⨯，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S11113352=+=⨯⨯（1111335-+-）25=，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S1111 1335572 =++=⨯⨯⨯（11111133557-+-+-）37=，此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.23．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】由16a =，10b =，满足a b ，满足a b >，则16106a =-=；满足a b ，不满足a b >，则1064b =-=； 满足a b ，满足a b >，则642a =-=； 满足a b ，不满足a b >，则422b =-=； 不满足ab ，则输出2a =；则程序中需要做减法的次数为4， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．24．【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷】“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是A ．2B ．6C ．101D ．202【答案】C【解析】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，202r =，303m =，202n =； ②2020r =>，3032021101÷=，101r =，202m =，101n ；③1010r =>，0r =，101m =，0n =； ④0r =，则0r >否，输出101m =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学】冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i =A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由题意，第一次循环，12S Z∉，35116S=⨯+=，011i=+=，1S≠；第二次循环，12S Z∈，11682S=⨯=，112i=+=，1S≠；第三次循环，12S Z∈，1842S=⨯=，213i=+=，1S≠；第四次循环，12S Z∈，1422S=⨯=，314i=+=，1S≠；第五次循环，12S Z∈，1212S=⨯=，415i=+=，1S=；此时输出5i=.故选：B【点睛】本题考查循环结构程序框架图的应用，属于基础题.26．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期线上期中数学】若某程序框图如图所示，则输出的S的值是A ．31B ．63C ．127D ．255【答案】C【解析】第一次运行，1i =，0S =，8i <成立，则2011S =⨯+=，112i =+=； 第二次运行，2i =，1S =，8i <成立，则2113S =⨯+=，213i =+=； 第三次运行，3i =，3S =，8i <成立，则2317S =⨯+=，314i =+=； 第四次运行，4i =，7=S ，8i <成立，则27115S =⨯+=，415i =+=； 第五次运行，5i =，15S =，8i <成立，则215131S =⨯+=，516i =+=； 第六次运行，6i =，31S =，8i <成立，则231163S =⨯+=，617i =+=； 第七次运行，7i =，63S =，8i <成立，则2631127S =⨯+=，718i =+=； 第八次运行，8i =，127S =，8i <不成立， 所以输出S 的值为127. 故选：C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时，一定要注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.27．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期第六次教学质量检测数学】数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（32⨯）内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】D【解析】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以4610b d +=+=，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以167a c +=+=， 所以a b c d +++=17.故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题. 28．【河北省衡水中学2020届高三下学期（5月)第三次联合考试数学】要使得满足约束条件42y xy x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为A ．4x y +≤B ．4x y +C ．6x y +D ．6x y +【答案】C【解析】根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C . 【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题. 29．【2020届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学】执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素m ，则事件“函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数”的概率为A ．14B ．12C ．34D ．35【答案】C【解析】当20x y =-⇒=； 当2111x y =-+=-⇒=-； 当1100x y =-+=⇒=； 当0113x y =+=⇒=； 当1128x y =+=⇒=； 当213x =+=，退出循环. 所以{}0,1,3,8A =-，又函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数，所以002mm -≤⇒≥. 函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数的概率为34. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，属于基础题． 30．【江西省景德镇市2019-2020学年高三第三次质检数学】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（ ）（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】B【解析】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ，由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列， 4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.。
2020版高考文科数学练习-1.6 推理与证明
1.6推理与证明高考命题规律1.补充性考题,主要考查合情推理与演绎推理的应用.2.填空题或选择题,5分,中档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.命题角度1合情推理与演绎推理高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙,则乙、丙预测错误,即甲的成绩比乙高,丙的成绩比乙低,故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意.若丙预测正确,则甲预测错误,即丙的成绩比乙高,乙的成绩比甲高,即丙的成绩比甲、乙都高,即乙的预测也正确,不合题意,故选A. 2.(2017北京·14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于教师人数;(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;②该小组人数的最小值为.6 ②12x ,女学生人数为y ,教师人数为z ,则x ,y ,z 都是正整数,且{x >y ,y >z ,2z >x ,x ,y ,z ∈N *,即2z>x>y>z ,x ,y ,z ∈N *.①教师人数为4,即z=4,8>x>y>4,所以y 的最大值为6,故女学生人数的最大值为6. ②由题意知2z>x>y>z ,x ,y ,z ∈N *.当z=1时,2>x>y>1,x ,y 不存在; 当z=2时,4>x>y>2,x ,y 不存在;当z=3时,6>x>y>3,x=5,y=4,此时该小组人数最少,最小值为5+4+3=12.3.(2016全国Ⅱ·16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 和3,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”. 4.(2016山东·12)观察下列等式:(sin π3)-2+(sin 2π3)-2=43×1×2;(sin π5)-2+(sin 2π5)-2+(sin 3π5)-2+(sin 4π5)-2=43×2×3;(sin π7)-2+(sin 2π7)-2+(sin 3π7)-2+…+(sin 6π7)-2=43×3×4;(sin π9)-2+(sin 2π9)-2+(sin 3π9)-2+…+(sin 8π9)-2=43×4×5;……照此规律:(sin π2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+(sin 3π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2=.(n+1),等式右边共三个数相乘,第一个数都是43;而所给等式就是第n 个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n ; 第三个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1.所以第n个式子等号右边为43n(n+1).典题演练提能·刷高分1.(2019四川成都高三模拟)某校有A,B,C,D四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.甲说:“A,B同时获奖.”乙说:“B,D不可能同时获奖.”丙说:“C获奖.”丁说:“A,C至少一件获奖.”如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的,则获奖的作品是()A.作品A与作品BB.作品B与作品CC.作品C与作品DD.作品A与作品D,丁预测的是正确的,甲,丙预测的是错误的;丙预测错误,∴C不获奖;丁预测正确,A,C至少一件获奖,∴A获奖;甲预测错误,即A,B不同时获奖,∴B不获奖;∴D获奖.即获奖的作品是作品A与作品D.故选D.2.(2019重庆巴蜀中学高三模拟)某演绎推理的“三段”分解如下:①函数f(x)=lg x是对数函数;②对数函数y=log a x(a>1)是增函数;③函数f(x)=lg x是增函数,则按照演绎推理的三段论模式,排序正确的是()A.①→②→③B.③→②→①C.②→①→③D.②→③→①函数f(x)=lg x是对数函数;②对数函数y=log a x(a>1)是增函数;③函数f(x)=lg x是增函数,大前提是②,小前提是①,结论是③.故排列的次序应为:②→①→③,故选C.3.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标O,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,以此类推,则标签2 0172的格点的坐标为()A.(2 017,2 016)B.(2 016,2 015)C.(1 009,1 008)D.(1 008,1 007),由O(记为第0圈)开始,第n圈的正方形右上角标签为(2n+1)2-1,坐标为(n,n),所以标签为2 0172的数字是标签为2 0172-1的右边一格,标签为2 0172-1的坐标为(1 008,1 008),所以标签为2 0172的为(1 009,1 008),故选C.4.有下列各式:1+12+13>1,1+12+13+…+17>32,1+12+13+…+115>2,…,则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为.+1 2+13+…+12n+1-1>n+12(n∈N*)观察各式左边为1n的和的形式,项数分别为3,7,15,…,∴可猜想第n个式子中左边应有2n+1-1项,不等式右边分别写成22,32,42,…,∴猜想第n个式子中右边应为n+12,按此规律可猜想此类不等式的一般形式为:1+12+13+…+12n+1-1>n+12(n∈N*).5.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是.根据“甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小”可得丙是体委;(2)根据“丙的年龄比学委的大,体委比乙年龄小”可得:乙的年龄>丙的年龄>学习委员的年龄,由此可得,乙不是学习委员,那么乙是班长.6.(2019陕西榆林高三一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-2,3)且法向量为n=(4,-1)的直线(点法式)方程为4×(x+2)+(-1)×(y-3)=0,化简得4x-y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点B(2,3,4)且法向量为m=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为.2y-z-4=0,利用空间向量的数量积可得(-1)(x-2)+(-2)(y-3)+1×(z-4)=0,化简得x+2y-z-4=0. 故答案为:x+2y-z-4=0.命题角度2直接证明与间接证明高考真题体验·对方向(2014山东·4)用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x 3+ax+b=0没有实根B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根,所以要做的假设是方程x 3+ax+b=0没有实根.典题演练提能·刷高分1.设m ,n ,t 都是正数,则m+4n ,n+4t ,t+4m 三个数( ) A.都大于4 B.都小于4C.至少有一个大于4D.至少有一个不小于4,令m=n=t=2,则三个数为4,4,4,排除A,B,C 选项,故选D .2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a ,b ,c 中恰有一个是偶数”的正确假设为( ) A.自然数a ,b ,c 中至少有两个偶数B.自然数a ,b ,c 中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a ,b ,c 都是奇数D.自然数a ,b ,c 都是偶数自然数a ,b ,c 中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数,其否定是“自然数a ,b ,c 均为奇数或自然数a ,b ,c 中至少有两个偶数”.故选B .3.①已知p 3+q 3=2,求证p+q ≤2,用反证法证明时,可假设p+q>2;②设a 为实数,f (x )=x 2+ax+a ,求证|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不小于12,用反证法证明时可假设|f (1)|≥12,且|f (2)|≥12,以下说法正确的是( )A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q ≤2的假命题应为p+q>2,故①的假设正确;②|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不小于12的否定为|f (1)|与|f (2)|中都小于12,故②的假设错误,故选C .。
2020年高考数学专项突破50题(16)--推理与证明【含答案解析】
2020年高考数学专项突破50题（16）--推理与证明学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本题共40道小题，每小题2分，共80分）1.甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4⨯100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁2.观察下列算式：122=，224=，328=,4216=,5232=,6264=,,72128=,82256=……用你所发现的规律可得20192的末位数字是( ) A. 2 B. 4C. 6D. 83.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°，反证假设正确的是( ) A. 假设三内角都大于60° B. 假设三内角都不大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°4.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A. 甲可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 甲、丁可以知道对方的成绩 D. 甲、丁可以知道自己的成绩 5.二维空间中圆的一维测度（周长）r l π2=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现'S l =；三维空间球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现'V S =.则由四维空间中“超球”的三维测度38r π，猜想其四维测度W =（ ） A. 224r π B. 42r πC. 212r πD. 44r π6.如下分组正整数对:第1组为{}(1,2),(2,1),第2组为{}(1,3),(3,1),第3组为{}(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),第4组为{}(1,5),(2,4),(4,2),(5,1),L依此规律,则第30组的第20个数对是( ) A. (12,20) B. (20,10)C. (21,11)D. (20,12)7.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：20a >，那么这个演绎推理出错在（ ） A. 大前提 B. 小前提C. 推理过程D. 没有出错 8.如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )A. B. C. D.9.已知x >0，不等式2314272,3,4x x x x x x ++≥+≥……，可推广为x ＋n a x≥n ＋1，则a 的值为( ) A. n 2 B. 2nC. 22n －2D. n n10.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）①2019不能被2整除；②一切奇数都不能被2整除；③2019是奇数． A. ①②③ B. ②①③C. ②③①D. ③②①11.用反证法证明命题：“若,,a b N ab ∈能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ） A. a ，b 都能被3整除 B. a ，b 都不能被3整除 C. a ，b 不都能被3整除 D. a 不能被3整除12.①已知a ，b 是实数，若110a b -+-=，则1a =且1b =，用反证法证明时，可假设1a ≠且1b ≠；②设a 为实数，2()f x x ax a =++，求证(1)f 与(2)f 中至少有一个不少于12，用反证法证明时，可假设1(1)2f <，且1(2)2f <.则（ ） A. ①的假设正确，②的假设错误 B. ①的假设错误，②的假设正确 C. ①与②的假设都错误 D. ①与②的假设都正确13.由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ） A. ②①③ B. ②③①C. ①②③D. ③①②14.设,,(0,)a b c ∈+∞则111,,a b c b c a+++（ ） A. 都大于2B. 至少有一个大于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于215.下面使用类比推理正确的是（ ）A. 直线,a b b c ∕∕∕∕，则a c ∕∕，类推出：向量//,//a b b c r r r r ，则a c r r∕∕B. 同一平面内，直线a ，b ，c ，若,a c b c ⊥⊥，则a b ∕∕．类推出：空间中，直线a ，b ，c ，若,a c b c ⊥⊥，则a b ∕∕C. 实数,a b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥．类推出：复数a ，b ，若方程20x ax b ++=有实数根，则24a b ≥D. 以点(0,0)为圆心，r 为半径的圆的方程为222x y r +=．类推出：以点(0,0,0)为球心，r为半径的球的方程为2222x y z r ++=16.德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为（ ） A. 128 B. 64C. 32D. 617.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A. 假设a 、b 、c 都是偶数 B. 假设a 、b 、c 都不是偶数 C. 假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D. 假设a 、b 、c 至多有两个偶数 18.用反证法证明命题“已知x R ∈，21a x =+，22b x =+，则a ，b 中至多有一个不小于0”时，假设正确的是（ ） A. 假设a ，b 都不大于0 B. 假设a ，b 至多有一个大于0 C. 假设a ，b 都小于0 D. 假设a ，b 都不小于019.用反证法证明命题：“若,a b ∈R ，且220a b +=，则a ，b 全为0”时，要做的假设是（ ）A. 0a ≠且0b ≠B. a ，b 不全为0C. a ，b 中至少有一个为0D. a ，b 中只有一个为0 20.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ） A. 假设三内角都不大于60度 B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度 21.观察下列各式：1234577749734372401,716807,=====L ，，，，则20197的末尾两位数字为（ ） A. 49 B. 43C. 07D. 0122.设△ABC 的周长为l ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则12S r l =⋅，类比这个结论可知：四面体A -BCD 的表面积分别为T ，内切球半径为R ，体积为V ，则V 等于( ) A.14R T ⋅ B. 13R T ⋅C.12R T ⋅ D. R T ⋅23.观察下列算式：122=，224=，328=,4216=,5232=,6264=,,72128=,82256=……用你所发现的规律可得20192的末位数字是( )A. 2B. 4C. 6D. 824.如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点个数为()A. (n＋1)(n＋2)B. (n＋2)(n＋3)C. n2D. n25.∈，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整用反证法证明命题“已知,x y N*除”时，假设的内容是（）A. x，y都不能被7整除B. x，y都能被7整除C. x，y只有一个能被7整除D. 只有x不能被7整除26.20182018.以上三段论推理（）A. 正确B. 推理形式不正确C. 两个“无理数”概念不一致D. 两个“实数”概念不一致27.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩28.a b∈，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整用反证法证明命题：“,N除．”时，假设的内容应该是（）A. a，b都不能被5整除B. a，b都能被5整除C. a，b不都能被5整除D. a能被5整除29.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A. 丙被录用了B. 乙被录用了C. 甲被录用了D. 无法确定谁被录用了30.观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，……，则1212a b +=（ ）A. 521B. 322C. 123D. 19931.用反证法证明命题“已知x ∈R ，21a x =+，22b x =+，则a ,b 中至多有一个不小于0”时，假设正确的是（ ） A. 假设a ,b 都不大于0 B. 假设a ,b 至多有一个大于0 C. 假设a ,b 都小于0 D. 假设a ,b 都不小于032.观察下列各式：658753125,515625,578125,5390625====…，则20115的末四位数字（ ） A. 8125 B. 5625C. 3125D. 062533.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11+11+1+...中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=，求得x ==（ ） A. 2 B. 1 C. 2- D. 1-34.在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁35.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推 理（ ） A. 小前提错 B. 结论错C. 正确D. 大前提错 36.下面使用类比推理正确的是 ( )A. “若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B. “若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C. “若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ (0)c ≠” D. “n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ）”37.观察下列各式：22334455661,3,4,7,11,18,x y x y x y x y x y x y ⊗=⊗=⊗=⊗=⊗=⊗=7729x y ⊗=…，根据以上规律，则88x y ⊗=（ ）A. 123B. 76C. 47D. 4038.已知a ，b ，()0,c ∈+∞，则下列三个数1a b +，4b c +，9c a+（ ） A. 都大于4 B. 至少有一个不大于4 C. 都小于4 D. 至少有一个不小于439.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》专项训练解析含答案
数学《推理与证明》高考复习知识点一、选择题1．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.2．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度，结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111nn nn n c c c c c q c qc q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．4．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.5．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .6．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a bc c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.7．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红C ．小金D ．小金或小明【答案】B 【解析】 【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.8．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果． 【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意； ②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意. 综上所述，盗窃者是甲. 故选：A. 【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．9．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)na n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为：A BCD E对于A选项，物理化学等级都是B的学生至多有13人，A选项错误；对于B选项，当物理C和D，化学都是B时，或化学C和D，物理都是B时，物理、化--=（人），B选项错误；学都是B的人数最少，至少为13724对于C选项，在表格中，除去物理化学都是B的学生，剩下的都是一科为B且最高等级为B的学生，因为都是B的学生最少4人，所以一科为B且最高等级为B的学生最多为++-=（人），1391419C选项错误；对于D选项，物理化学都是B的最多13人，所以两科只有一科等级为B且最高等级为B -=（人），D选项正确.的学生最少14131故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12．设函数()()02x f x x x =>+，观察下列各式：()()12xf x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516xf x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018n f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案． 详解：观察：()()12x f x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=(21)2n nxx -+，所以111112()(21)2212201822n n n n nf +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103nn ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.13．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》专项训练答案
数学高考《推理与证明》试题含答案一、选择题1．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别计算出物理等级为A ，化学等级为B 的学生人数以及物理等级为B ，化学等级为A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A 和一科为A 另一科为B 的学生105858-+-=人（其中物理A 化学B 的有5人，物理B 化学A 的有3人）， 表格变为：A BCD E物理 10550--= 16313-= 910 化学8530--= 19514-=72对于A 选项，物理化学等级都是B 的学生至多有13人，A 选项错误；对于B 选项，当物理C 和D ，化学都是B 时，或化学C 和D ，物理都是B 时，物理、化学都是B 的人数最少，至少为13724--=（人），B 选项错误；对于C 选项，在表格中，除去物理化学都是B 的学生，剩下的都是一科为B 且最高等级为B 的学生，因为都是B 的学生最少4人，所以一科为B 且最高等级为B 的学生最多为1391419++-=（人）， C 选项错误；对于D 选项，物理化学都是B 的最多13人，所以两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生最少14131-=（人），D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题4．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.5．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】因为a ，b ，c 都大于01111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.6．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c++=，故选A.【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .7．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.8．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．对于实数a ，b ，已知下列条件：①2a b +=；②2a b +>；③2a b +>-；④1ab >；⑤log 0a b <．其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（ ） A ．②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．②⑤【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可． 【详解】①当a ＝b ＝1时，满足a +b ＝2，但此时推不出结论，②若a ≤1，b ≤1，则a +b ≤2，与a +b ＞2，矛盾，即a +b ＞2，可以推出，③当a 12=，b 12=时，满足条件a +b ＞﹣2，则不可以推出， ④若a ＝﹣2，b ＝﹣1．满足ab ＞1，但不能推出结论，⑤由log a b ＜0得log a b ＜log a 1，若a ＞1，则0＜b ＜1，若0＜a ＜1，则b ＞1，可以推出结论．故可能推出的有②⑤， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时规范练A组基础对点练1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b ＝0没有实根”．答案：A2．(2019·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝log 12x是对数函数，所以y＝log12x是增函数”所得结论．错误的原因是()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误解析：因为当a>1时，y＝log a x在定义域内单调递增，当0<a<1时，y＝log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.答案：A3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于() A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．答案：D4．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算：a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；….若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 016时，“企盼数”k 为( )A ．22 016＋2B ．22 016C ．22 016－2D ．22 016－4解析：a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg (k ＋2)lg 2＝2 016，lg(k ＋2)＝lg 22 016，故k ＝22 016－2.答案：C5．(2019·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( )A ．(3,9)B ．(4,8)C ．(3,10)D ．(4,9)解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.答案：D6．下列结论正确的个数为( )(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(4)平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：(1)不正确．(2)(3)(4)正确．答案：D7．(2019·南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是()A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日解析：1～12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10日和12日；而乙在8日和9日都有值班，8＋9＝17，所以11日只能是丙去值班了，余下还有2日、4日、5日、6日、7日五天，显然，6日只能是丙去值班了．答案：C8．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3,5，第三行为7,9,11，第四行为13,15,17,19，如图所示，在宝塔形数表中位于，比如a3,2＝9，a4,2＝15，a5,4＝23，若a i，j＝2 017，第i行，第j列的数记为a i，j则i＋j＝()A．64 B．65C．71 D．72解析：奇数数列a n＝2n－1＝2017⇒n＝1 009，按照蛇形排列，第1行到第i行末共有1＋2＋…＋i＝i(1＋i)2个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1 035个奇数；则2 017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2 017位于第45行，从右到左第19列，则i＝45，j＝27⇒i＋j＝72.答案：D9．观察如图，可推断出“x”处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.答案：18310．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝λa n＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ＞0，{a n}的通项公式是________．解析：a1＝2，a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{a n}的通项公式为a n＝(n－1)λn＋2n.答案：a n＝(n－1)λn＋2nB组能力提升练11．在平面几何中，有如下结论：正△ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2等于( ) A.18B.19C.164D.127解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，所以体积之比为V 1V 2＝127.答案：D 12．(2019·合肥模拟)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0a 1，h 1＝h 0a 2，运算规则为：00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11 010B ．01 100C ．10 111D ．00 011解析：对于选项C ，传输信息是10 111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h 0＝01＝1，而h 1＝h 0a 2＝11＝0，故传输信息应是10 110.答案：C13．(2019·福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和b c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令3110＜π＜4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( )A.227 B.6320C.7825 D.10935解析：由题意：第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165，第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的不足近似值，即4715＜π＜165，第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜6320，第四次用“调日法”后得11035＝227是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜227.答案：A14．(2019·沈阳模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．则n级分形图中共有________条线段．解析：由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二条分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n级分形图中的线段条数为3×2n－3(n∈N*)．答案：3×2n－3(n∈N*)15．如图所示是由长为1的小木棒拼成的图形，其中第n 个图形由n 个正方形组成：观察图形，根据第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数，得出第n 个图形中，小木棒的根数为________．解析：观察题干中图形可得，第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数分别为4,7,10,13，则4＝3×1＋1,7＝3×2＋1,10＝3×3＋1,13＝3×4 ＋1，由归纳推理得，第n 个图形中，小木棒的根数为3n ＋1.答案：3n ＋116．(2019·合肥模拟)已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a ＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22＞a x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上的不同两点，则类似地有________成立．解析：运用类比思想与数形结合思想，可知y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标sin x 1＋sin x 22总是小于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22 的纵坐标，即sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22成立．答案：sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22。