2020年高考文科数学推理与证明 专项练习题 含解析

课时规范练

A组基础对点练

1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”

时，要做的假设是()

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b ＝0没有实根”．

答案：A

2．(2019·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)是增函数，而

函数y＝log 1

2x是对数函数，所以y＝log

1

2x是增函数”所得结论．错误的原因

是()

A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．大前提和小前提都错误

解析：因为当a>1时，y＝log a x在定义域内单调递增，当0

答案：A

3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于() A．f(x) B．－f(x)

C．g(x) D．－g(x)

解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．

∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．

∴g(－x)＝－g(x)．

答案：D

4．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，观察下列运算：

a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2；

a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3；….

若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 016时，“企盼数”k 为( )

A ．22 016＋2

B ．22 016

C ．22 016－2

D ．22 016－4

解析：a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lg (k ＋2)lg 2＝2 016，lg(k ＋2)＝lg 22 016，故k ＝22 016－2.

答案：C

5．(2019·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，

(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( )

A ．(3,9)

B ．(4,8)

C ．(3,10)

D ．(4,9)

解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.

答案：D

6．下列结论正确的个数为( )

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．

(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．

(4)平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：(1)不正确．(2)(3)(4)正确．

答案：D

7．(2019·南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班；

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．

据此可判断丙必定值班的日期是()

A．2日和5日B．5日和6日

C．6日和11日D．2日和11日

解析：1～12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10日和12日；而乙在8日和9日都有值班，8＋9＝17，所以11日只能是丙去值班了，余下还有2日、4日、5日、6日、7日五天，显然，6日只能是丙去值班了．

答案：C

8．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3,5，第三行为7,9,11，第四行为13,15,17,19，如图所示，在宝塔形数表中位于

，比如a3,2＝9，a4,2＝15，a5,4＝23，若a i，j＝2 017，第i行，第j列的数记为a i

，j

则i＋j＝()

A．64 B．65

C．71 D．72

解析：奇数数列a n＝2n－1＝2017⇒n＝1 009，按照蛇形排列，第1行到第i

行末共有1＋2＋…＋i＝i(1＋i)

2个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数；

第1行到第45行末共有1 035个奇数；则2 017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2 017位于第45行，从右到左第19列，则i＝45，j＝27⇒i＋j＝72.

答案：D

9．观察如图，可推断出“x”处应该填的数字是________．

解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.

答案：183

10．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝λa n＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ＞0，{a n}的通项公式是________．

解析：a1＝2，a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22，

a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23，

a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.

由此猜想出数列{a n}的通项公式为a n＝(n－1)λn＋2n.

答案：a n＝(n－1)λn＋2n

B组能力提升练

11．在平面几何中，有如下结论：正△ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为