2020年温州市高三第一次适应性测试数学(理科)试题参考答案

合集下载

浙江省温州市2020届高三上学期11月份高考适应性测试一模数学试题 Word版含解析

温州市普通高中高考适应性测试11月数学试题一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知全集{}1,2,3,4U =，{}1,3A =，{}U 2,3B =ð，则A B =I （）A ．{}1B ．{}3C ．{}4D ．{}1,3,4【答案】A 【解析】由题意得：}31{，=A ,}41{，=B ,}1{=⋂B A .2. 设实数,x y 满足不等式组0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．2C ．4D ．6【答案】D 【解析】由题意得：我们可以画出线性区域，线性区域是一个三角形，最值点在线性区域的三个端点处取得。

我们联立方程得：()()()300400，，，，，，所以我们知道在()30，取得最大值：6=z 3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（）A ．31cm 6B ．31cm 3C ．31cm 2D ．32cm 3俯视图侧视图正视图【答案】B4. 若双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>则该双曲线的渐近线方程为（）A．y = B ．2y x =± C．y = D ．12y x=±【答案】A 【解析】由题意得：,3,3==ace 设m a m c ==,3，则m a c b 222=-=，所以渐近线方程为y =5. 已知a ，b 是实数，则“1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由题意得：充分条件满足，必要条件：当4,2-=-=b a 时，1ab a b +>+不一定可以推导出“1a >且1b >” 所以A 为正确选项。

6. 函数()1211f x x x =-+-的图象可能是（）【答案】B 【解析】先求定义域：11-≠≠x x 且，取特殊值，当2-=x ，31-=y ，排除C ，D.函数)1)(1(3-+--=x x x y ，当.03=-=y x ，所以正确答案是B 。

2020届浙江省温州市高三11月普通高中高考适应性测试一模数学试题及答案

4)4 (x2 x7

6)
，
可得，当 x (0, 6) 时， f (x) 单调递减；当 x ( 6, ) 时， f (x) 单调递增，
从而当 y1
6 时， S 取得最小值 1 2
f(
6) 25
15
．
9
数学（高考试题）参考答案第 3 页（共 4 页）
22．解答：（I）由 f (x) a eax a a(eax 1)=0 ，解得 x 0 ．
（II）由（I），即证： 1 1 1
12
n
下面用数学归纳法证明上述不等式.
①当 n 1 时，不等式显然成立；
n (1
n )(n N) . n 1
②假设当 n k(k N ) 时，不等式成立，即 1 1 1 k (1
12
k
D A z D A y
k )，
k 1
数学（高考试题）参考答案第 2 页（共 4 页）
则当 n k 1 时， 1 1 1 1 k (1 k ) 1 .
12
k k 1
k 1 k 1
因[ k (1 k ) 1 ] k 1(1 k 1 )
k 1 k 1
k2
故 k (1

2 y1

y2
|

|
y13 4
2 y1

4 y1
|

( y12 4)2
，
y12 4
y12 4
4 y1 y12 4
因此
S APBQ

1 |PQ
2
| (d1

d2 )

( y12 4)5 2 y13

浙江省温州市温州中学2020届高三适应性模拟考试数学试题

温州中学2020届高三适应性模拟考试数学2020.7本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：()1213V h S S =+ 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π= 球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){|ln 1}A x y x ==-，{|B x y ==，则（）A.A B =B.A B ⊆C.A B ⋂=∅D.A B R ⋃=2. 点()2,0P 到双曲线221916y x -=的一条渐近线距离为（）A.85B.65C.4D.33. 已知足复数z 的共复数，满足2z i =-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部（）A.-IB.iC.-1D.14. 点(),P x y 满足不等式组5,26,0,0,x y x y x y +⎧≤+≤≥≥⎪⎨⎪⎩68x y +取得最大值时，点P 的坐标是（）A.()0,5B.()1,4C.()2,4D.()1,55. 已知函数()53f x ax bx cx =++，其导函数()y f x '=的图象经过点()1,0、()2,0，如图所示，则下列命题正确的是（） A.当32x =时函数取得极小值 B.()f x 有两个极大值点C.()10f <D.0abc <6. 已知,a b R ∈，则“2a b +>”是“221a b +>”的（）条件A ．充分非必要B. 必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要7. 袋中有3个白球和i 个黑球，有放回的摸取3次，每次摸取一球，设摸得黑球的个数为i ξ，其中1,2i =，则（） A.()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B.()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ>C.()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D.()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>8. 已知函数()1y f x =-的图像关于直线1x =对称，则方程()()2020l 2020|og |x f f x -=的解的个数为（）A.2B.3C.4D.59. 设O 为ABC ∆的内心，6AB =，7AC =，8BC =，动点P 满足：OP xOA yOB zOC =++，[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，[]0,1z ∈，则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积为（）A.212B.21D.10. 已知数列{} n a 由首项1a a =及递推关系1311n n n a a a +-=+确定.若{} n a 为有穷数列，则称a 为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列{} n b ，若201912020b a b <<，则（） A.202010a -<< B.2020103a <<C.20203a >D.202113a <<非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知()5334501234513x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a =____________；12345 a a a a a ++++=____________.12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则它的体积是____________3cm ，表面积是____________2cm .正视图侧视图俯视图13. 已知函数()cos f x a x ω=+，[],x ππ∈-（其中,a ω为常数，且0ω>）有且仅有3个零点，则a 的值为____________，ω的取值范围是____________.14. 现有12个不同的小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各3个，从中任取3个.所取三球中含有红色球的概率为____________；若所取三球中红色小球和黄色小球都至少各一个，则不同取法种数为____________.（用数字作答）15. 已知0a >，1b >-，且1a b +=，则2231a b a b +++最小值为____________. 16. 过抛物线2:4C x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线,PA PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值为____________.17. 如图，在棱长为1的正方体1111 ABCD A B C D -中，点M 为线段1BD 上的动点，下列四个结论：①存在点M ，使得1/ /C M 平面1AB C ；②存在点M ，使得直线AM 与直线1B C 所成的角为60︒； ③存在点M ，使得三棱锥11 D C DM -的体积为18； ④存在点M ，使得αβ>，共中α为二面角1M AA B --的大小，β为直线1MA 与直线AB 所成的角. 则上述结论正确的有____________.（填上正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 2A Ca b A +=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，且2BD =，23AD CD =.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）求ABC ∆的面积. 19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥 S ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，SA SCD ⊥平面.（Ⅰ）求证：CD SC ⊥；（Ⅱ）若CD SC =，P 是SD 的中点，求直线PB 与平面SAB 所成的角的正弦值.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 中，10a >，且1n a +=（Ⅰ）若数列{}n a 为单调递增数列，试求1a 的取值范围；（Ⅱ）若14a =，设()1||1,2,3n n n b a a n +=-=，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：1252n b b b +++<. 21.（本小题满分15分）如图，已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>经过不同的三点的A ⎝⎭，13,24B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C （C 在第三象限），线段BC 的中点在直线OA 上.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程及点C 的坐标；（Ⅱ）设点P 是椭圆Γ上的动点（异于点,,A B C ）且直线,PB PC 分别交直线OA 于,M N 两点，问||||OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.22.（本小题满分15分）已知函数()()()2ln 31f x ax x x a x a R =-+-+∈.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <.①求a 的取值范围； ②当21x x 取得最小时，求a 的值. 温州中学2020届高三适应性模拟考试参考答案一、选择题BADAD AADCC 二、填空题11. 270，102312.2,23+13. -1，[)2,4 14. 3455，7215. 2 16. 4 17. ①③三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（1）23π（2）619.（1）证CD SAC ⊥平面即可（2）等积法或坐标法答案320.解：（1）)12 n n a a n +-==≥注意到：20>，因此1121,,n n n n a a a a a a +----有相同的符号.要使1n n a a +>对任意自然数都成立，只须210a a ->即可，10>，解得：1302a <<. （2）用与（1）中相同的方法，可得当132a >时，1n n a a +<对任何自然数n 都成立. 因此当14a =时，10n n a a +-<.2132112||||||n n n n S b b b a a a a a a +=∴++=-+-+++-121112314n n n n a a a a a a a a a +++=-++-=--+-=又：21n n a a ++<1n a +<，可得132n a +>，故35422n S -=<. 21.（1）31,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）2516（Ⅰ）由点,A B 在椭圆Γ上，得2222551416191416a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得225,25.8a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以椭圆Γ的方程为2215528x y +=. 由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而21m n =-.（1）又点C 在椭圆Γ上，故22285m n +=.（2）由（1）（2）解得34n =（舍去）或41n =-.从而32m =-，所以点C 的坐标为31,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （Ⅱ）设()()()001122,,2,,2,P x y M y y N y y .因,,P B M 三点共线，故1010334411222y y y x ++=++，整理得()0010032421x y y y x -=-+.因,,P C N 三点共线，故2020113442232y y y x ++=++，整理得()002006421x y y y x -=--.因点P 在椭圆Γ上，故2200285x y +=，即2200542x y =-. 从而()()()()20000000122020220000032631216416220411x y x y x x y y y y y x y x y x --+==⎡⎤+⎣--⎦--- 22000000000053342012545225316164116422 y x y x y x y x y y ⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以121225||||||5||16OM ON y y y y ⋅===为定值. 22.（1）2y x =+ （2）①0a >②解：()ln 23f x a x x '=-+，11ln 230a x x -+=，22ln 230a x x -+=.()1212212122323ln ln ln x x x x a x x x x ---===2112121ln x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=()211211112312ln ln ln x x x t h t x x x t x ∴---===，1t ∴>，()h t ↑.∴t 最小值时，()h t 取最小值.()232ln x F x x x-=，01x <<，()()223ln 232ln x x F x x x--'=，()()3ln 23x x x ϕ-=-，()32xx xϕ'=-， ()()0,1x ϕ'∴↑在.又()1=10ϕ>且0x →，()0ϕ→-∞，()x ϕ∴在()0,1内存在唯一的根0x ， ()00x ϕ∴=，即()003ln 230x x --=， ()F x ∴在()00,x ↓，()0,1x ↑， ()()0min F x F x ∴=，()()1h t F x ∴=， ()h t ∴取最小值时，即()1F x 取最小值时，11233ln x a x -==.。

2020年4月温州市普通高中选考适应性测试数学试题(含答案)

A. (-1, 3]
B. [-1, 3]
. C. (女， 3)
D. (女， 3]
2. 已知复数 (l+i)(a+i) 为纯虚数 (i 为虚数单位），则实数 a= ( A )
A. -1
B. 1
C. 0
D. 2
3. 设实数x,y 满足条件｛五x+-yy-+2珍钮，o, 则 x+y+l 的最大值为（~）
x-y:::;o,
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 做抛掷一枚骰子的试验，当出现 l 点或 2 点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的．则在
3 次这样的试验中成功次数 X 的期望为（~）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 2
5. 设 a, be(O, l)U(l, +oo), 则"a=b"是"loga b = logb a "的 (A)
2月7 日
2月 S 日
2月9 日
第 11 题图
12. 已知向量 a,b 满足 I a I= 2 , Ib I= 1, a·b = I , 则 la+bl=
A 13. 某几何体的三视图如图所示（单位： cm ), 则该几何体的体
积（单位： cm3) 为 ~ ，最长棱的长度（单位： cm)
为A .
14.
易得 SO 1 ， OD
6 ， SD
10
,
ED 1 OD
6 ， SE
15 ，
2
2
3
6
3
故 cos DSE SD2 SE2 ED2 (
10 )2 ( 2
15 )2 ( 3

2020年浙江省温州中学高考数学适应性试卷(7月份)(含答案解析)

2020年浙江省温州中学高考数学适应性试卷（7月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|y=√2−x}，B={x|x2−2x<0}，则()A. A∩B=⌀B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B2.若双曲线x23−m −y2m+1=1的一条渐近线的方程为2x−3y=0，则m的值为()A. 313B. 2313C. 35D. 753.已知复数z=−1−2i(1+i)2，则z−=()A. −34+14i B. −14+34i C. −1+12i D. −1−12i4.设实数x，y满足约束条件{3x+y≥5x−4y≥−7x≤2，则z=x+4y的最大值为()A. −2B. 9C. 11D. 4145.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是()A. 函数f(x)在x=x1处取得极小值B. 函数f(x)在x=x3处取得极大值C. 函数f(x)的单调递减区间是(x2,x3)D. 函数f(x)无极大值6.设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机每次取出一球．当有放回取两次时，记取出的红球数为ξ1；当无放回取两次时，记取出的红球数为ξ2，则( )A. Eξ1<Eξ2，Dξ1<Dξ2B. Eξ1=Eξ2，Dξ1>Dξ2C. Eξ1=Eξ2，Dξ1<Dξ2D. Eξ1>Eξ2，Dξ1>Dξ28. 若函数y =f(x)(x ∈R)满足f(x +2)=f(x)，且x ∈(−1,1]时f(x)=|x|，则函数f(x)的图象与函数y =log 2|x|的图象的交点的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 多于49. 已知A(−2,0)，B(2,0)，动点P(x,y)满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2，则动点P 的轨迹为( )A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 两条平行直线10. 若数列{a n }满足a n+1+a n =2n +3，则a 10+a 7=( )A. 17B. 24C. 19D. 34二、填空题（本大题共7小题，共38.0分）11. 设(2x +1)3=a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，则a 0+a 1+a 2+a 3=______．12. 已知某几何体的三视图的外围都是边长为1cm 的正方形，如图所示，则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3．13. 设函数f(x)=sin(ωx +π3)，其中ω>0.若函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围________．14. 盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有______种不同的取法(用数字作答)15. 设a ，b ∈R ，a 2+3b 2=4，则a +√3b 的最小值是______．22px(p>0)的焦点的直线x−my+m=0与抛物线交于A、B两点，且ΔOAB(O为16.过抛物线y=坐标原点)的面积为2√2，则m6+m4=__________17.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是______ (填序号)①线段A1M与B1C所在直线为异面直线；②对角线BD1⊥平面AB1C；③平面AMC⊥平面AB1C；④直线A1M//平面AB1C.三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC−√3csinB．3(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．19.如图，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E为CD的中点，．(Ⅰ)求证：直线AE⊥平面PAB；(Ⅱ)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．20.在数列{a n}中，a n>0，其前n项和S n满足S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)若b n=a n−52，求b2+b4+⋯+b2n．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7x−√5y+12=0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设A(−4,0)，过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1、k2，试问：k1k2是否为定值？交直线x=163若是，求出该定值，若不是，请说明理由．)−2lnx(a>0)．22.已知函数f(x)=a(x−1x(1)当a=1时，求f(x)在x=2处的切线方程；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A ={x|y =√2−x}=(−∞,2]，B ={x|x 2−2x <0}=(0,2)，故B ⊆A ，故选：C ．求出集合A ，B ，根据集合包含关系的定义，可得答案．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，函数的定义域，二次不等式的解法，难度中档． 2.答案：A解析：解：双曲线x 23−m −y 2m+1=1的一条渐近线的方程为2x −3y =0，可得(3−m)(m +1)>0，解得：m ∈(−1,3)，所以：√m +1x −√3−my =0，是双曲线的渐近线方程，所以23=√m+1√3−m ，解得：m =313．故选：A ．利用已知条件列出关系式，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．3.答案：D解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z =−1−2i (1+i)2=−1−2i 2i =(1+2i)⋅i−2i⋅i=−2+i 2，则z −=−1−12i.4.答案：C解析：【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合即可求解．本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z =x +4y 为y =−x 4+z 4，联立{x =2x −4y =−7，解得A(2,94)，由图可知，当直线z =x +4y 过点(2,94)时，z 取得最大值11．故选C ． 5.答案：C解析：解：函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，可得x ∈(−∞,x 2)，(x 3,+∞)，f′(x)>0，所以函数f(x)是增函数．x ∈(x 2,x 3)，f′(x)<0，函数是减函数．函数f(x)在x =x 2时取极大值，在x =x 3，函数取得极小值，所以选项C 正确．故选：C ．直接利用导函数的图象的值域，判断函数的单调性即可．本题考查函数的导数以及函数的图象的应用，考查基本知识的应用．解析：解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x 2+y 2≤2，反之不成立，例如x =0，y =√2．∴x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B ．由|x|≤1且|y|≤1⇒x 2+y 2≤2，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.答案：B解析：【分析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．求出ξ1的可能取值为0，1，2，ξ1～B(2,13)，从而E(ξ1)=2×13=23，D(ξ1)=2×13×23=49；求出ξ2的可能取值为0，1，P(ξ2=0)=23×12=13，P(ξ2=1)=23×12+13×22=23，从而求出E(ξ2)，D(ξ2)，由此能求出结果．【解答】解：一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1，则ξ1的可能取值为0，1，2，ξ1～B(2,13)，E(ξ1)=2×13=23，D(ξ1)=2×13×23=49，当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则ξ2的可能取值为0，1，P(ξ2=0)=23×12=13，P(ξ2=1)=23×12+13×22=23，∴E(ξ2)=0×13+1×23=23，D(ξ2)=(0−23)2×13+(1−23)2×23=13．∴Eξ1=Eξ2，Dξ1>Dξ2．故选B ．8.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的图象的应用，属于中档题．由题意作出函数f(x)的图象与函数y =log 2|x|的图象，由图象可得交点个数．【解答】解：由题意作出函数f(x)的图象与函数y =log 2|x|的图象，则由图象可得，有2个交点，故选A ．9.答案：D解析：【分析】本题考查点的轨迹方程，解题时要注意公式的灵活运用．由题意知(−2−x,y)⋅(2−x,y)=x 2，即可得出动点P 的轨迹．【解答】解：∵动点P(x,y)满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2，∴(−2−x,y)⋅(2−x,y)=x2，∴点P的方程为y2=4即y=±2∴动点P的轨迹为两条平行的直线．故选D．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查数列的递推公式，属于基础题．对题干中的a10+a7变形可得a10+a7=(a10+a9)−(a9+a8)+(a8+a7)即可得解．【解答】解：a10+a7=a10+a9−a9+a8−a8+a7=(a10+a9)−(a9+a8)+(a8+a7)=(2×9+3)−(2×8+3)+(2×7+3)=19．11.答案：27解析：解：令x=1，a0+a1+a2+a3=33=27，故答案为：27令x=1可得a0+a1+a2+a3的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．12.答案：2√3；13解析：【分析】如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．利用三视图的数据求解几何体的表面积与体积即可．本题考查了正方体的内接正四棱锥，考查了推理能力与计算能力，属于基本知识的考查．【解答】解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥：由题意可知正方体的棱长为：1cm，正四面体的棱长为√2cm，则该几何体的表面积是4×√34×(√2)2=2√3(cm2)；体积是：13−4×13×12×1×1×1=13(cm3).故答案为：2√3；13．13.答案：[56,4 3 )解析：【分析】本题考查三角函数的性质，属于基本题型．由，则，再根据函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点即得答案．【解答】解：，，又∵函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，，∴56≤ω<43，故答案为[56,43 )．14.答案：32解析：解：根据题意，分6种情况讨论：①，若6个球一次取完，即一次取出6个球，有1种取法，②，若6个球分2次取完，有1、5，2、4，3、3，4、2，5、1，共5种取法，③，若6个球分3次取完，有1、1、4，1、2、3和2、2、2三种情况，有10种取法，④，若6个球分4次取完，有1、1、2、2和1、1、1、3两种情况，共有10种取法，⑤，若6个球分5次取完，即其中有1次取出2个球，有5种取法，⑥，若6个球分6次取完，每次取出1个球，只有1种情况，共有1+5+10+10+5+1=32种不同的取法；故答案为：32．根据题意，按6个球取出的数目分6种情况讨论，分析求出每一种情况的取法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意转化思路，分析．15.答案：−2√2解析：【分析】本题考查了利用参数法求最值的问题，是基础题．方程a2+3b2=4化为a 24+b243=1，设a2=cosθ，b2√3=sinθ，利用三角函数求a+√3b的最小值．【解答】解：a，b∈R，a2+3b2=4，则a24+b243=1；设a2=cosθ，b2√3=sinθ，其中θ∈[0,2π)；则a=2cosθ，b=√3，所以a+√3b=2cosθ+2sinθ=2√2sin(θ+π4)，当θ+π4=3π2+2kπ，k∈Z，即θ=5π4+2kπ，k∈Z时，a+√3b取得最小值是−2√2．故答案为：−2√2．16.答案：2解析：由题可知，抛物线的焦点坐标为：(p2,0)，则满足直线x −my +m =0方程，代入可得p =−2m ，设A(x 1,y1),B(x2,y2)，联立抛物线与直线的方程可得：{y 2=2pxx −my +m =0⇒y 2−2pmy +2pm =0，则y 1+y 2=2pm =−4m 2,y 1y 2=2pm=−4m2，|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16m 4+16m 2=4√m 4+m 2，则S ΔOAB =12×p2×|y 1−y 2|=−m2×4√m 4+m 2=2√2⇒m 6+m4=2．17.答案：①②③解析：解：∵线段A 1M 所在平面AD 1A 1与B 1C 所在平面BCC 1B 1互相平行，且直线A 1M 与B 1C 不平行，∴线段A 1M 与B 1C 所在直线为异面直线，故①正确；设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，B 1(2,2，2)，M(0,0，1)，D 1(0,0，2)，∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)， ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0−4+4=0，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4−4+0=0， ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD 1⊥AB 1，BD 1⊥AC ， ∴对角线BD 1⊥平面AB 1C ，故②正确；设平面AMC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则m ⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{−2x 1+z 1=0−2x 1+2y 1=0，∴m ⃗⃗⃗ =(1,1，2)，设平面AB 1C 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{2y 2+2z 2=0−2x 2+2y 2=0，∴n ⃗ =(1,1，−1)， ∵m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =1+1−2=0，∴平面AMC ⊥平面AB 1C ，故③正确；∵A 1(2,0，2)，M(0,0，1)， ∴A 1M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−1)， ∵A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2+0+1=−1≠0， ∴直线A 1M 与平面AB 1C 不平行，故④不正确．故答案为：①②③．由线段A 1M 所在平面AD 1A 1与B 1C 所在平面BCC 1B 1互相平行，且直线A 1M 与B 1C 不平行，知线段A 1M 与B 1C 所在直线为异面直线；设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够得到对角线BD 1⊥平面AB 1C ，平面AMC ⊥平面AB 1C ，直线A 1M 与平面AB 1C 不平行．本题考查异面直线的判断，直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面平行的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．18.答案：(本题满分为12分)解：(Ⅰ)∵a =bcosC −√33csinB ，∴由正弦定理可得：sinA =sinBcosC −√33sinCsinB ，∴sin(B +C)=sinBcosC −√33sinCsinB ， ∴sinBcosC +cosBsinC =sinBcosC −√33sinCsinB ， ∴cosBsinC =−√33sinCsinB ，又∵C 为三角形内角，可得sinC ≠0， ∴tanB =−√3，又∵B 为三角形内角，可得B =2π3…(6分)(Ⅱ)如图，∵点D 为边AC 的中点 ∴2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴两边平方可得：4|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠ABC +|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，…(9分)又∵由(Ⅰ)知B =2π3，设|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，即：4=a 2+c 2−ac ≥ac ，(当且仅当a =c =2时等号成立)， ∴S △ABC =12acsin∠ABC =√34ac ≤√3．∴当且仅当a =c =2时，△ABC 面积的最大值为√3.…(12分)解析：(Ⅰ)由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cosBsinC =−√33sinCsinB ，又sinC ≠0，从而可求tanB =−√3，结合B 为三角形内角，即可得解B 的值．(Ⅱ)由D 为边AC 的中点，可得2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方，设|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，可得4=a 2+c 2−ac ，结合基本不等式的应用可得ac 的最大值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19.答案：证明：(1)∵∠ADE =∠ABC =60°，ED =1，AD =2，∴AE ⊥CD ，又∵AB//CD ，∴AE ⊥AB又∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ∩AB =A ， ∴直线AE ⊥平面PAB ．解：(2)(方法一)连接PE ，过A 点作AH ⊥PE 于H 点．∵CD ⊥EA ，CD ⊥PA ，EA ∩PA =A ，∴CD ⊥平面PAE ，∴CD ⊥AH ．又∵AH ⊥PE ，∴AH ⊥平面PCD ． ∴∠AEP 为直线AE 与平面PCD 所成的角．在Rt △PAE 中，PA =2,AE =√3，∴sin∠AEP =PAPE =√7=2√77，∴直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为2√77．(方法二)如图建立所示的空间直角坐标系A −xyz ， P(0,0,2),E(0,√3,0),C(1,√3,0),D(−1,√3,0)．设平面PCD 的法向量n⃗ =(x,y,z)， {PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0⇒{x +√3y −2z =02x =0⇒n ⃗ =(0,1,√32)， cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |AE|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅|n ⃗⃗ |=2√77．直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为2√77．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． (1)推导出AE ⊥CD ，AE ⊥AB ，从而PA ⊥AE ，由此能证明直线AE ⊥平面PAB ．(2)(方法一)连接PE ，过A 点作AH ⊥PE 于H 点，推导出∠AEP 为直线AE 与平面PCD 所成的角，推导出直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．(方法二)建立所示的空间直角坐标系A −xyz ，由此利用向量法能求出直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．20.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n 2+2n −1)S n −(n 2+2n)=0，得[S n −(n 2+2n)](S n +1)=0，由a n >0，可知S n >0，故S n =n 2+2n ．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+2n)−[(n −1)2+2(n −1)]=2n +1；当n =1时，a 1=S 1=3，符合上式，则数列{a n }的通项公式为a n =2n +1． (Ⅱ) 解：依题意，b n =a n −52n =2n−42n=n−22n−1，则b 2n =2n−22=(n −1)⋅(14)n−1，设T n =b 2+b 4+⋯+b 2n ，故T n =0+14+24+34+⋯+n−14，而4T n =1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n =1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n=19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n=n2+2n，得到数列首项，再由a n=S n−S n−1(n≥2)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n=a n−52n，得到b2n，再由错位相减法求得b2+b4+⋯+b2n．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．21.答案：解：(1)由题意得e=ca =12，a2−b2=c2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7x−√5y+12=0相切，可得d=√7+5=b，解得a=4，b=2√3，c=2，故椭圆C的方程为x216+y212=1；(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x2+4y2=48，得(4+3m2)y2+18my−21=0，∴y1+y2=−18m4+3m2，y1y2=−214+3m2，由A，P，M三点共线可知，y M163+4=y1x1+4，即y M=283⋅y1x1+4；同理可得y N=283⋅y2x2+4．所以k1k2=y M163−3⋅y N163−3=9y M y N49=16y1y2(x1+4)(x2+4)．因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,所以k1k2=16y1y2m2y1y2+7m(y1+y2)+49=16×(−21)−21m2−18×7m2+49(4+3m2)=−127．即k1k2为定值−127．解析：(1)运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查两直线的斜率之积为定值的证明，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=x −1x −2lnx ，f′(x)=x 2−2x+1x 2，f′(2)=14，f(2)=2−12−2ln2=32−2ln2，故f(x)在x =2处的切线方程为y −(32−2ln2)=14(x −2)，化简得x −4y +4−8ln 2=0． (2)f ′(x)=a(1+1x 2)−2x =ax 2−2x+ax 2，若f(x)存在两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程ax 2−2x +a =0的两不同根，故{a >0Δ=4−4a 2>0⇒{a >0−1<a <1, 故a ∈(0,1)．解析：本题考查了导数的几何意义，极值问题，属于中档题．(1)把a =1代入函数解析式，求出函数的导函数，得到切点坐标及切线斜率，即可求解； (2)把函数f(x)=a(x −1x )−2lnx(a >0)有两个极值点，求导得到f ′(x)=a(1+1x 2)−2x =ax 2−2x+ax 2，转化为ax 2−2x +a =0的两不同根，利用二次函数的性质即可求解．。

2020届高三适应性考试(一)数学(理)试题 Word版含解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（一）数学（理）一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 下列各式的运算结果为纯虚数的是 A. (1+i)2B. i 2(1-i)C. i(1+i)2D. i(1+i)【★答案★】A 【解析】【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路．其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 2. 已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A .9B. 8C. 5D. 4【★答案★】A 【解析】【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】223x y +≤23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.3. 正方体1111ABCD A B C D -中, E 为棱1AA 的中点(如图)用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )A. B.C. D.【★答案★】D 【解析】【分析】利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可．【详解】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D ，故选D.【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查． 4. (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A. -80B. -40C. 40D. 80【★答案★】C 【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=. 故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 5. 已知cos5a π=，则3sin5π=（） A. 21a a - B. 21a a --C. 221a a -D. 221a a --【★答案★】C 【解析】【分析】根据诱导公式及正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】cos=5a π，2sin =15a π∴-，332sin=sin =sin =2sin cos 55555ππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3sin5π∴=221a a - 故选：C .【点睛】本题主要考查了正弦的二倍角公式，诱导公式，同角三角函数间的关系，属于中档题.6. 函数ln |1|()1x f x x +=+的大致图像为（）A.B.C. D.【★答案★】A 【解析】【分析】此题主要利用排除法，当x →+∞时，可得()0f x >，故可排除C ，D ，当x →-∞时，可排除选项B ，故可得★答案★.【详解】当x →+∞时，()ln 10x +>，10x +>，∴()0f x >，故可排除C ，D 选项；当x →-∞时，()ln 10x +>，10x +<，∴()0f x <，故可排除B 选项，故选A.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.7. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线280x y +-=相切，则圆C 的面积的最小值为（）A. ()1245π- B.59π C.516π D.165π【★答案★】D 【解析】【分析】如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ，由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线280x y +-=的垂直线段OF ，交AB 于D ，交直线280x y +-=于F ，则当D 恰为AB 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小．【详解】如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ，由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线280x y +-=的垂直线段OF ，交AB 于D ，交直线280x y +-=于F ，则当D 恰为OF 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为(0,0)O 到直线280x y +-=的距离为： 22|8|8521d -==+，此时5412r d ==∴圆C 的面积的最小值为：2416()55min S ππ=⨯=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用,属于中档题．8. 某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK 赛，,A B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，比赛四局.除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为( ) A.1627B.5281C.2027D.79【★答案★】C 【解析】【分析】先确定A 队的得分高于B 队的得分的情况，再分类讨论利用独立事件乘法公式求对应情况的概率，最后根据加法计数原理求结果.【详解】A 队的得分高于B 队的得分的情况有三种：A 队的得分为5分，A 队的得分为4分，A 队的得分为3分.当A 队的得分为5分时，概率为42()3当A 队的得分为4分时，概率为223212()()()333C当A 队的得分为3分时，概率为12333321221()()()()()33333C C + 因此所求概率为4221233333221221221162412820()()()()()()()()()+++3333333338181818127C C C +++==故选：C【点睛】本题考查独立事件乘法公式、分类加法计数原理，考查基本分析求解能力，属基础题. 9. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为( ) A. 3 B. 1 C.32D.12【★答案★】C 【解析】【分析】根据正弦定理：由2sin 2sin a C A =得ac 的值，再由()226a c b +=+得222a c b +-的值，利用公式可得结论．【详解】∵2sin 2sin a C A =，∴22a c a =，2ac =，因为()226a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC ∆的面积为221232422⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选C ．【点睛】本题主要考查给出新的公式，并用新的公式解题的能力，比较基础．10. 已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（）A. 43y x =±B. 34yx C. 35y x =±D. 53y x =±【★答案★】A 【解析】【分析】依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得43b a =，问题得解．【详解】依据题意作出图象，如下：则1122PF F F c ==，OM a =，又直线PF 2与以C 实轴为直径的圆相切，所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =-=由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PFc a =+，所以()()()()22222222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：43b a =，所以C 的渐近线方程为43b y x x a =±=± 故选A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．11. 已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，60ABC ∠=，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥p 一ABC 的体积为1V ，三棱锥O 一ABC 的体积为2V ，若12V V 的最大值为3，则球O 的表面积为( ) A.169πB.649πC.32π D. 6π【★答案★】B 【解析】【分析】设ABC ∆的外接圆圆心为'O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，且'OO d =，根据体积比求得2R d =，利用球的性质，得23R r =，再由三角形的性质，求得23r =，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，设ABC∆外接圆圆心为'O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，且'OO d =依题意可知12max3V R d V d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =，显然222R d r =+，故23R r =，又由42sin 3AC r ABC ==∠，故23r =，∴球O 的表面积为221664439R r πππ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，合理利用求得性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题．12. 己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【★答案★】B 【解析】【分析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x 的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围.【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+，可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减，根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减，因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =，所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B.【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设平面向量()1,2a =，()2,b y =-，若a b ⊥，则3a b +=__________. 【★答案★】52【解析】【分析】根据向量垂直关系求得1y =，利用2239a b a b +=+即可求得模长. 【详解】由题：平面向量()1,2a =，()2,b y =-，若a b ⊥，所以0,220a b y ⋅=-+=，解得：1y =，223954552a b a b +=+=+=.故★答案★为：52【点睛】此题考查根据向量垂直求参数，求向量的模长，关键在于熟练掌握向量的基本运算法则.14. 设函数32()(2)f x x ax a x =+++.若()f x 的图象关于原点(0,0)对称，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______.【★答案★】520x y --= 【解析】【分析】根据()f x 的图象关于原点(0,0)对称，求得0a =，再求()f x 在1x =处的导数，即为切线斜率，再写出切线方程.【详解】由题知()f x 为奇函数，可得(1)(1)=--f f 即233a +=，则0a =，32()2,()32f x x x f x x '∴=+=+，(1)325,(1)3f f '∴=+==，∴切线方程为35(1)y x -=-即520x y --=.故★答案★为：520x y --=.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和导数几何意义的应用，属于基础题.15. 已知函数()cos 2sin f x x x =+，若12,x x 为()f x 的最大值点和最小值点的横坐标，则()12cos x x +=____.【★答案★】14【解析】【分析】由题意可得2()2sin sin 1f x x x =-++，令sin x t =，则219()248f x t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，[1,1]t ∈-，利用二次函数的性质即可得11sin 4x =，2sin 1x =-，利用诱导公式即可得解.【详解】由题意2()cos2sin 2sin sin 1f x x x x x =+=-++，令sin x t =，则[1,1]t ∈-，则2219()21248f x t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，[1,1]t ∈-，故14t =时，即11sin 4x =时，()f x 取得最大值； 1t =-时，即2sin 1x =-时，()f x 取得最小值，此时()2322k k Z x ππ=+∈，∴()12111cos co 3s sin 422x x x k x ππ+⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭.故★答案★为：14. 【点睛】本题考查了三角函数最值的求解及诱导公式的应用，考查了换元法的应用，属于中档题. 16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ､CD ，若AB CD +的最小值为16，则抛物线的方程为__________. 【★答案★】24y x = 【解析】【分析】设直线AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则直线CD 的方程为12p y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，分别与抛物线的方程联立可得 1222px x p k +=+， 2342x x p pk +=+，1234||||2AB CD x x x x p +=++++，利用基本不等式可得最值，进而可得抛物线的方程.【详解】解：设直线AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则直线CD 的方程为12p y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化为()22222204k p k x pk p x -++=， 2122222pk p p x x p k k +∴+==+，同理可得2342x x p pk +=+， 2212342221||||22224k p AB CD x x x x p p p pk p p k p k ⎛⎫∴+=++++=++++=++ ⎪⎝⎭2212248p k p p k≥⋅⋅+=，当且仅当1k =±时取等号， ∴AB CD +的最小值为8p ，816p ∴=，则2p =，所以抛物线的方程为24y x =. 故★答案★为：24y x =.【点睛】本题考查了焦点弦长公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 三、解答题（共70分）17. 在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【★答案★】(1)证明见解析. (2)n S =2(1)nn +.【解析】【分析】（1）根据数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式的特征，我们对21(1)22n n na n a n n +-+=+，两边同时除以(1)n n +，得到121n n a a n n +-=+，利用等差数列的定义，就可以证明出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【详解】（1）21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同除以(1)n n +，得121n n a a n n +-=+，又141a=，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列． (2)由（1）得12(1)n a a n n =+-，即222,22n n an a n n n=+∴=+, 故2111112221n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111111122231212(1)n n s n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【点睛】本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前n 和．已知1n n na b c =⋅，,n n b c 都是等差数列，那么数列{}n a 的前n 和就可以用裂项相消法来求解． 18. 已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【★答案★】（1）1；（2）277.【解析】【分析】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD ，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a 2=1，成立;（2）四面体A ﹣BCD体积最大时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【详解】(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a,由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC, 所以12＋a2＝(2)2⇒a＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时a的值为1 (2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值22，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系o xyz(如图)，则易知,显然，面BCD的法向量为 ,设面ACD的法向量为n＝(x，y，z),因为所以，令y ＝2，得n ＝(1，2，2)，故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n OA ，.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角. 19. 小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式； (2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在1(,](1,2,3,4,5)55n nn -=时，日平均派送量为502n +单．若将频率视为概率，回答下列问题： ①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ； ②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.【★答案★】（1）100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩；（2）①0.44，②见解析【解析】【分析】（1）根据题意，列出解析式，即可（2）①分别计算出每个区间中点值的个数，然后乘以总数，求和，除以个数，即可得到平均值②分别计算出每个指标下薪资待遇，计算期望，比较大小，做出选择．【详解】（1）甲：100y n =+，乙：()140,054{1405420,54n y n n <≤=+-⨯>，故为100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩；（2）①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，故平均数 200.1300.3200.5200.7100.90.44100x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==②甲: P(概率) 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 X （日薪） 152154156158160EX=0.21520.31540.21560.21580.1160155.4⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙： P （概率） 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 X （日薪） 140140180220260EX=0.21400.31400.21800.22200.1260176⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙的期望更高，故选择乙方案．【点睛】本道题是一个统计题，掌握好平均数和数学期望的计算方法，即可得出★答案★． 20. 已知O 为坐标原点，圆M ：222150x y x +--=，定点(1,0)F -，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ，点Q 的轨迹为C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若直线FA 、FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【★答案★】（1）22143x y +=（2）(4,0)-【解析】【分析】（Ⅰ）由垂直平分线性质与椭圆的定义可知点Q 的轨迹为椭圆，长轴长等于半径,点F 、点N 分别为左右焦点，由椭圆参数的性质可求得椭圆方程；（Ⅱ）由题意假设直线l 的方程与交点坐标，与椭圆联立，由斜率公式，表示出两直线斜率，由斜率之和为0列式可求得参数的等量关系，代入直线，即可求得恒过某点.【详解】（Ⅰ）由题意可知4MQ FQ +=，又24MF =<，由椭圆的定义知动点Q 的轨迹是,M F为焦点的椭圆，故24,22a c ==，即所求椭圆的方程为22143x y +=（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立曲线C 与直线l 的方程得()2223484120k xkmx m +++-=，21212228412,3434km m x x x x k k --+==++ 由已知，直线FA 、FB 的斜率之和为()()121212121212121222011111kx x k m x x m y y kx m kx m x x x x x x x x +++++++=+==+++++++， ()()1212220kx x k m x x m ++++=，即有：()22241282203434m km k k m m k k--+++=++，化简得：4m k = 直线l 的方程为()4y k x =+，所以直线过l 过定点()4,0-．【点睛】本题综合考察直线与圆锥曲线的知识，若求轨迹方程时与圆有关，则一般会根据圆的半径列等式，证明恒过某点需要将直线表示出来，说明参数对某个点的取值无影响即可. 21. 已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e=的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围. 【★答案★】（1）()ln f x x =；（2）21,0e e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式；（2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e= 可知()a f x x '=，1y x e'=，两图象在点(),P s t 处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即1as e s⨯=，化简得s ae =，将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =，综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+，()()22221m x x mx x g x x-+=-='+，因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122mx x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=，将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-，令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得1t e=，当11,2t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h t '<，()h t 在11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；当1,1t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h t '>，()h t 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；所以()min 12211e e e h t h e ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭，即()21g x x 的取值范围是21,0e e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.选作题，共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为131121x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（λ为参数，且1λ≠-）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos 320ρρθ++=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为22,4π⎛⎫⎪⎝⎭，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到曲线1C 的距离的最大值.【★答案★】（1）()34103x y x +-=≠，2212320x y x +++=.（2）85【解析】【分析】（1）化简得到341x y +=，再考虑4331x λ=-≠+，利用极坐标方程公式得到★答案★. （2）P 的直角坐标为()2,2，设点()00,M x y ，故()0022,22Q x y --，代入圆方程得到M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上，计算得到最大距离.【详解】（1）因为13,112,1x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，所以3×①+4×②，得341x y +=.又133(1)4433111x λλλλλ-++-===-≠+++，所以1C 的普通方程为()34103x y x +-=≠，将cos x ρθ=，222x y ρ=+代入曲线2C 的极坐标方程，得曲线2C 的直角坐标方程为2212320x y x +++=.（2）由点P 的极坐标22,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得点P 的直角坐标为()2,2.设点()00,M x y ，因为M 为PQ 的中点，所以()0022,22Q x y -- 将Q 代入2C 的直角坐标方程得()()2200211x y ++-=，即M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上. 所以点M 到曲线1C 距离的最大值为|23141|8155d -⨯+⨯-=+=，由（1）知1C 不过点()3,2N -，且312391423420MN k +⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-=≠- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即直线MN 与1C 不垂直.综上知，M 到曲线1C 的距离的最大值为85. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.23. 已知a ，b ，c 为正数，且满足1a b c ++=.证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）11110a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥ 【★答案★】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据分析法，结合不等式关系中222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，即可证明不等式成立；（2）根据题中条件，直接构造基本不等式进行证明即可.【详解】（1）1a b c ++=，2222()2221a b c a b c ab bc ac ∴++=+++++=，又由均值不等式，得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，则222222222222a b b c a c a b c ab bc ac +++++=++≥++， 3()1ab bc ac ∴++≤，即13ab bc ac ++≤得证；（2）a ，b ，0c >，1a b c ++=，1a ∴，1b ，10c>，则1111a b c a b c a b c a b c a b c a b c++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4b a c a b c a b a c c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由均值不等式得22b a b a a b a b+≥⨯=，同理可得2c a a c+≥，2b c c b +≥，则1114610a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，得证. 【点睛】本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案

5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程．（2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ．（1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ；（2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立，求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用

2020届高三适应性考试理科数学试卷答案

理科数学（答案）1.C2.D3.C4.A5.C6.B7.D8.B9.C 10.D 11.A 12.C 13.(,)e e 14. 2- 15.3 16. 23211417.（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=小时，由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，因为1.15小时76<小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；（2）由联立表可得，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()210040203010 4.762 3.84070305050⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.18.（1）设数列{}n a 的公比为，因为24a =，所以34a q =，244a q =．因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q．所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n N ∈）．（2）因为2nn a =，所以22log 121n n b a n =-=-．()212n n n a b n =-．则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-.②①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--()()()11141222212623212n n n n n -++-=+⨯--=----，所以()16232n n T n +=+-．19．20.因为所以，因为函数在处取得极值，，当时，，，，随x的变化情况如下表：x 10 0增极大值减极小值增所以的单调递增区间为，，单调递减区间为因为令，，因为在处取得极值，所以，当时，在上单调递增，在上单调递减所以在区间上的最大值为，令，解得当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而，所以，解得，与矛盾.当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾。

2020年温州市高三第一次适应性测试数学(理科)试题

2020年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题 2020.1本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：334R V π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2lg ,230A x y x B x x x ===--<，则A B = ( ▲ )A ． (0,3)B ．(1,0)-C ．(,0)(3,)-∞+∞ D ．(1,3)-2．已知b a ,为异面直线，下列结论不正确．．．的是( ▲ ) A ．必存在平面α使得αα//,//b aB ．必存在平面α使得b a ,与α所成角相等C ．必存在平面α使得αα⊥⊂b a ,D ．必存在平面α使得b a ,与α的距离相等3．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥-32302y x y x y x ，则y x -的最大值为( ▲ )A ．1B ．3C ．1-D ．3-4．已知直线l ：b kx y +=，曲线C ：0222=-+x y x ，则“0=+b k ”是“直线l 与曲线C 有公共点”的( ▲ ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对任意的R x ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+，则满足上述条件的)(x f 可以是( ▲ )A ．()cos3xf x π= B ．()sin3xf x π=C ．2()2cos 6xf x π=D ．2()2cos 12x f x π=6．如图，已知1F 、2F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足2||F P a =,1122()0F P F F F P +⋅=，线段2PF 与双曲线C 交于点Q ，若225F P F Q =，则双曲线C 的渐近线方程为( ▲ )A．y =B ．12y x =±C ．y =D ．y =7．已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”。

2020届浙江省温州市高三11月适应性测试一模数学试题(解析版)

2020届浙江省温州市高三11 月适应性测试一模数学试题一、单选题1．已知全集U {1,2,3,4} ，A {1,3} ，C U B { 2,3} ，则AI B （）A．{1} B．{3}C．{4} D．{ 1,3, 4}【答案】A【解析】根据补集的定义与运算, 可求得集合B. 结合交集运算即可求得AI B. 【详解】因为U {1,2,3,4} , C U B {2,3}所以由补集定义与运算可得B {1,4}又因为A {1,3}根据交集运算可得AI B {1,3} I {1,4} {1}故选:A【点睛】本题考查了补集的定义与运算, 交集的简单运算,属于基础题.x02 .设实数x, y满足不等式组y0 ，则z x 2y 的最大值为（）3x4y 12 0A．0 B．2C. 4D. 6答案】D解析】根据不等式组画出可行域,将目标函数平移后, 即可求得最大值详解】x0实数x, y满足不等式组y 0 ,其表示出平面区域如下图所示3x 4y 12 0第 1 页共25 页1 1 z 将函数y —X 平移,可知当经过点 A 0,3时，y - x —的截距最大222此时z 0 2 3 6所以z x 2y 的最大值为6 故选：D 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，在可行域内求线性目标函数的最大值 3•某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积等于【答案】根据三视图，还原空间几何体，即可由题中给出的线段长求得体积【详解】由三视图，还原空间几何体如下图所示,属于基础题.A . —cmB - cm• 3C 2cmD. 2 3cm3 【解析】故答案为:B 【点睛】A . y=±2x2C. y=± 2x y=± 1x2【答案】AE EC AE PE 1, AB BC 2且 AB BC, PE AC 小 1 则 V P ABC 3 S ABCPE2cm本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体，三棱锥的体积求法 ,属于基4 .已知双曲线 2 x ~2a2爲=1(a>0,b>0) b 2的离心率为.3 ,则双曲线的渐近线方程为【解析】 e=c 得 e 2=C ? a a 2 2 ,2a b 2a=1 + g=3,ab 2__• •飞=2,…ab=、. 2,双曲线渐近线方程为 y=± — x,即y=±2x.故选A. a b25.已知a ,b 是实数，则“ a 1且b 1 ”是“ ab 1 a b ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分必要条件的关系，结合不等式性质即可判断•根据题中线段长度可知【详解】ab 1 a故选:A 【点睛】本题考查了不等式比较大小，充分必要条件的关系及判断，属于基础题.【答案】B【解析】求出函数的定义域，取特殊值，排除法得到答案。

高三数学第一次适应性测试试题温州一模理A试题

2021年高三第一次适应性测试数学〔理科〕试题本试题卷分选择题和非选择题两局部．全卷一共4页，选择题局部1至2页，非选择题局部2至4页．满分是150分，考试时间是是120分钟．请考生按规定用笔将所有试题之答案涂、写在答题纸上．选择题局部〔一共50分〕考前须知：1．在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或者钢笔填写上在答题纸上． 2．每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题纸上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．参考公式：球的外表积公式棱柱的体积公式 24S R π= V Sh=球的体积公式其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高334R V π=棱台的体积公式其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=棱锥的体积公式其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，13V Sh = h 表示棱台的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高假如事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．i为虚数单位，那么2(1)i +的模为( ▲ )A ．1B 2C ．2D ．42．要得到函数cos 2y x =的图像，只需把函数sin 2y x =的图像 ( ▲ )A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位3．假设5⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中3x 的系数为10，那么实数a 的值是( ▲ )A ．1B ．2C ．1-D ．124．m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是( ▲ )A ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B ．l l ⇒⊥⊥βαβ,∥αC ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．α∥,l l βαβ⊥⇒⊥ 5．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++的值，那么在判断框中应填写上 ( ▲ ) A ．19i ≤ B ．19i ≥C ．20i ≤D ．21i ≤6．假设变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =-的最大值为 ( ▲ ) A ．1- B ．0 C ．3 D ．47．假如对于任意实数x ，＜x ＞表示不小于x 的最小整数，例如＜1.1＞2=，＜ 1.1-＞1=-，那么“||1x y -<〞是 “＜x ＞=＜y ＞〞的 ( ▲ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．双曲线(>0)mx y m -=221的右顶点为A ，假设该双曲线右支上存在两点,B C 使得ABC ∆为等腰直角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是( ▲ ) A ．2)B ．(1,2)C ．3)D ．(1,3)9．()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()211f x x =--+，满足()12f f a ⎡⎤=⎣⎦的实数a 的个数为( ▲ )A ．2B ．4C ．6D ．8 10．y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象〔0k >且13k ≠〕交于两点〔2,5〕，〔8,3〕，那么ca +的值是( ▲ )A ．7B ．8C ．10D ．13非选择题局部〔一共100分〕考前须知：1．用黑色字迹的签字笔或者钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使需要用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或者钢笔描黑．二、填空题：本大题一一共7小题，每一小题4分，一共28分．11．假设集合{}2|20A x x x =-<，(){}|lg 1B x y x ==-，那么A B ⋂为 ▲ ．12．一个空间几何体的三视图(单位：cm )如下图，那么该几何体的体积为 ▲ 3cm ．13．直线y kx =是曲线sin y x =的一条切线，那么符合条件的一个k 的值是 ▲ ． 14．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60BAD ∠=，E 为CD 的中点，那么AE BD ⋅= ▲ ．15．*n N ∈，设平面上的n 个椭圆最多能把平面分成n a 局部，那么12a =，26a =，314a =，426a =，…，n a ，… ，那么n a = ▲ ．16．抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，那么AB 的最大值为 ▲ ． 17．数列{}n a 是公比为q 的等比数列，集合1210{,,,}A a a a =，从A 中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列一共有 ▲ ．三、解答题：本大题一一共5小题，一共72分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．18．〔此题满分是14分〕在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos b A B =．〔I 〕求角B 的值；〔II〕假设cos A 2，求sin C 的值．A19．〔此题满分是14分〕盒子中装有大小一样的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，假如这3只球是同色的，就奖励10元，否那么罚款2元．〔I 〕假设某人摸一次球，求他获奖励的概率；〔II 〕假设有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量ξ为获奖励的人数，〔i 〕求(1)P ξ>〔ii 〕求这10人所得钱数的期望．〔结果用分数表示，参考数据：10141152⎛⎫≈ ⎪⎝⎭〕20．〔此题满分是14分〕如图，三角形ABC ∆与BCD ∆所在平面互相垂直，且090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，CB CD =，点P ,Q 分别在线段,BD CD 上，沿直线PQ 将∆PQD 向上翻折，使D 与A 重合．〔Ⅰ〕求证：AB CQ ⊥；〔Ⅱ〕求直线AP 与平面ACQ 所成的角.21．(此题满分是15分),A B 是椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左,右顶点，B (2,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交于其于点M , N , 交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕假设记,AMB ANB ∆∆的面积分别为12,S S 求12S S 的取值范围．22．〔此题满分是15分〕函数()ln f x x =，假设存在()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，那么称()g x是()f x 的一个“下界函数〞．〔I 〕假如函数()ln tg x x x=-〔t 为实数〕为()f x 的一个“下界函数〞，求t 的取值范围；x〔II 〕设函数()()12x F x f x e ex=-+，试问函数()x F 是否存在零点，假设存在，求出零点个数；假设不存在，请说明理由．2021年高三第一次适应性测试数学〔理科〕试题参考答案一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题５分，一共5０分〕二、填空题〔本大题一一共7小题，每一小题４分，一共28分〕11．{}21|<<x x 12．38 13．1 14．23- 15．2222n n -+ 16．6 17．24三、解答题〔本大题一一共5小题，一共72分〕18．〔本小题满分是１4分〕解：〔I 〕由正弦定理得：sin sin sin cos B A A B = (3)分0sin A ≠，sin B B ∴=，tan B =， 0B <<π，3B π∴=． ……………6分〔II 〕cos=A 2，2212cos cos A A ∴=-=35 (8)分0sin A >，sin A ∴==45，……………10分1()=()=32sin sin sin sin C A B A A A π∴=++=……………14分19．〔本小题满分是１4分〕解：〔I 〕342102115C p C == (4)分〔II 〕〔i 〕由题意ξ服从1(10,)15N 那么101910141141(1)1(0)(1)1()()1515157P P P C ξξξ>=-=-==--⨯⨯= ………9分〔ii 〕设η为在一局中的输赢，那么114610215155E η=⨯-⨯=- 6(10)1010()125E E ηη∴==⨯-=- …………14分 20．〔本小题满分是１4分〕〔I 〕证明面ABC ⊥面BCQ 又CQ BC ⊥ CQ ∴⊥面ABC CQ ∴⊥AB ……………5分〔Ⅱ〕解1：作AO BC ⊥，垂足为O ，那么AO ⊥面BCQ ，连接OP设1AB =，那么2BD =，设BP x = 由题意AP DP =那么22222cos 45(2)x x x ︒+-⨯+=- 解得1x = ……………9分由〔Ⅰ〕知AB ⊥面ACQ∴直线AP 与平面ACQ 所成的角的正弦值sin α就是直线AP 与直线AB 所成角的余弦值cos BAP ∠， ……………12分即sin α=cos BAP ∠=12，6πα∴=，即直线AP 与平面ACQ 所成的角为6π ……………14分解2：取BC 的中点O ，BD 的中点E ，如图以OB 所在直线为x 轴，以OE 所在直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系. ……………6分不妨设2=BC ，那么()()()0,1,,0,2,1,1,0,0x x P D A --，……………8分由DP AP =即()()()22221111+++=+-+x x x x ，解得0=x ，所以()0,1,0P ， ……………10分故()1,1,0-=AP设()z y x n ,,=为平面ACQ 的一个法向量，因为()()0,1,0,1,0,1λλ==--=OE CQ AC由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CQ n AC n 即⎩⎨⎧==--020y z x所以()1,0,1-=n ……………12分设直线AP 与平面ACQ 所成的角为,α那么21221cos sin ==α 所以6πα=即直线AP 与平面ACQ 所成的角为6π ……………14分21．〔此题满分是15分〕解：〔Ⅰ〕令),0,(),,4(0c F y P 由题意可得).0,2(),0,2(,2B A a -= ……………2分 ,242442,2000-++=-∴+=yy c y k k k PB PA PF ……………4分 .3.1222=-=∴=∴c a b c∴椭圆方程为.13422=+y x ……………6分〔Ⅱ〕),,(),,(2211y x N y x M 令由方程组⎩⎨⎧+==+,1,124322my x y x 消x , 得,096)4322=-++my y m （,436221+-=+∴m my y ① ,439221+-=m y y ② ……………9分 ①2/②得,,434221221221y y t m m y y y y =+-=++令 …………11分 ,433163104381011222+-=++=+=+m m m t t t t 则 .331,31012<<<+≤∴t t t 即 …………… 13分 ,212121t y AB y AB S S ANBAMB==∆∆)3,31(∈∴∆∆ANB AMB S S ……………15分22．〔本小题满分是１5分〕解：〔Ⅰ〕ln ln t x x x-≤恒成立，0x >，2ln t x x ≤， ……………2分令()2ln h x x x =，那么'()2(1ln )h x x =+， ……………4分当1(0,)x e ∈时，'()0h x <，()h x ∴在1(0,)e 上是减函数，当1(,)x e∈+∞时，'()0h x >，()h x ∴在1(,)e+∞上是增函数， ……………6分 min 12()()h x h e e ∴==- 2t e∴≤- ……………7分〔Ⅱ〕由〔I 〕知，22ln x x e ≥-1ln x ex ∴≥-()()ex ex f x F x 21+-=①， ()121111ln ()x x x x F x x ex ex x e ee e ∴=-+≥-=-， ……………10分令()1x x G x e e=-，那么()()1-='-x e x G x ， ……………12分那么(0,1)x ∈时，()'0G x <， ()G x ∴上是减函数，(1,)x ∈+∞时，()'0G x >， ()G x ∴上是增函数，()(1)0G x G ∴≥=②， (14)分 ()121111ln ()0x x x x F x x ex ex x e ee e ∴=-+≥-=-≥，①②中等号取到的条件不同，()0F x ∴>，∴函数()F x 不存在零点. ……………15分分分即则令得分（得消由方程组）令（15)3,31(,212113.331,31012,433163104381011,,4342)2/()1(9)2(,439)1(,436,096)43,,1,1243),,(),,(2212122221221221222122122222211 ∈∴==<<<+≤∴+-=++=+=+=+-=+++-=+-=+∴=-++⎩⎨⎧+==+∆∆∆∆ANB AMBANBAMBS S t y AB y AB S S t t t m m m t t t t y y t m m y y y y m y y m m y y my y m x my x y x y x N y x M .。

学2020届高三数学上学期第一次适应性考试试题理(含解析)

学2020届高三数学上学期第一次适应性考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共70.0分）1.设函数,则( )A. -6B. -3C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】由导数的定义可知f′（1），求导，即可求得答案．【详解】根据导数的定义：则f′（1），由f′（x）＝2x+1，∴f′（1）＝3，∴，故选C．【点睛】本题考查导数的定义，导数的求导法则，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.【详解】解：，，，故选A．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.3.已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：可化简为，，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.4.已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得到，再解不等式即可.【详解】由题知：偶函数在区间单调递增，因为，所以，解得.故选：A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题.5.定义在上的奇函数满足，且在上，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则，且，由于，故，据此可得：，.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【详解】函数周期为，将函数的图象向右平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为，故选D.8.△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！9.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．10.若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为，令，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.11.在中.已知是延长线上一点.点为线段的中点.若.且.则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由,,,求解,结合条件,即可求得答案.【详解】,,,可得:由故选:A.【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12.已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的单调递减区间是______．【答案】【解析】试题分析：令，求得，故函数的定义域为且，故本题即求函数在上的减区间，再利用二次函数的性质求得二次函数在上的减区间为，故答案为.考点：对数函数的性质及复合函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.14.已知数列的前项和为，则此数列的通项公式为___________．【答案】【解析】【分析】由数列的前项和为，得时,，得出;验证时是否满足即可.【详解】当时,,当时,,又,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时，需验证时是否满足，是基础题.15.已知在所在的平面内有一点，满足，则与的面积之比是_____．【答案】【解析】【分析】根据向量条件，确定点是边上的三等分点，从而可求与的面积之比．【详解】因为，所以，所以点在边上，且是靠近点一侧的三等分点，所以和的面积之比为．故答案为：．【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题.16.设命题：函数＝在上是减函数；命题，．若￢是真命题，￢是假命题，则实数的取值范围是________．【答案】或【解析】【分析】由二次函数的性质，求得；根据对数函数的性质，求得，再由题意，得到与同真同假，列出不等式组，即可求解.【详解】由命题：函数＝在上是减函数,所以，解得；命题，，则，即，则，解得，若￢是真命题，￢是假命题，所以与一真一假，即与同真同假，所以或，解得或则实数的取值范围是或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的解法，以及简易逻辑的判定方法等知识点的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量且与夹角为，（1）求；（2）若，求实数的值．【答案】（1）2 （2）【分析】（1）由结合向量的数量积的定义和性质，计算可得；（2）由向量垂直的条件：数量积为0，计算可得．【详解】解：（1）因为，所以，又因为，与的夹角为，∴，所以;（2）由，得，即，解得.【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．18.已知函数（，且）.（1）若函数在上的最大值为2，求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围.【答案】(1)或；(2).试题分析：(1)分类讨论和两种情况，结合函数的单调性可得：或；(2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得，求解对数不等式可得的取值范围是.试题解析：（1）当时，在上单调递增，因此，，即；当时，在上单调递减，因此，，即.综上，或.（2）不等式即.又，则，即，所以.19.已知等差数列的前项和为，且＝，＝．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）＝；（2）.【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式列方程求解即可；（2）根据裂项相消法，分组求和法即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，∵＝，＝∴＝，＝，解得＝，＝．∴＝＝．，∴数列的前项和．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，求和的裂项相消法，分组法，属于中档题.20.已知函数（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简．（1）由相位在正弦函数的增区间内求得的取值范围，可得函数的单调增区间；（2）由函数的伸缩和平移变换求得的解析式，结合的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域．【详解】解：．（1）由，，解得，．∴函数的单调增区间为，；（2）将函数的图象向左平移个单位，得，再向下平移1个单位后得到函数，由，得，∴，则函数的值域为【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，属中档题．21.在中，内角所对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若的面积，求角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】试题分析：（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果.试题解析：（1）由正弦定理得，故，于是．又，故，所以或，因此（舍去）或，所以．（2）由得，故有，因，得．又，所以．当时，；当时，．综上，或．考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理.22.已知函数的导函数为，且.（1）求函数的极值；（2）若，且对任意的都成立，求的最大值．【答案】（1）极小值为，没有极大值；（2）3.【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后令，则可求出，从而可得的解析式，令，可求出极值点，从而可求出极值；（2）对任意的都成立，等价于对任意的恒成立，然后构造函数，通过利用导数求出函数的最小值即可.【详解】解：，()则，所以，，，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，且极小值为，没有极大值；由和题意得对任意的都恒成立，即对任意的都恒成立，令，则，令，则，所以函数在上单调递增，因为，，所以方程存在唯一实根，且满足，即有，.当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，，故整数的最大值为.【点睛】此题考查利用导数求函数的极值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.学2020届高三数学上学期第一次适应性考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共70.0分）1.设函数,则( )A. -6B. -3C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】由导数的定义可知f′（1），求导，即可求得答案．【详解】根据导数的定义：则f′（1），∴f′（1）＝3，∴，故选C．【点睛】本题考查导数的定义，导数的求导法则，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.【详解】解：，，，故选A．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.3.已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：可化简为，，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.【点睛】利用原命题与其逆否命题等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.4.已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得到，再解不等式即可.【详解】由题知：偶函数在区间单调递增，因为，所以，解得.故选：A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题.5.定义在上的奇函数满足，且在上，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则，且，由于，故，本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）【答案】D【解析】【详解】函数周期为，将函数的图象向右平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为，故选D.8.△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！9.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．10.若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为，令，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.11.在中.已知是延长线上一点.点为线段的中点.若.且A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由,, ,求解,结合条件,即可求得答案.【详解】,,,可得:由故选:A.【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.12.已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的单调递减区间是______．【答案】【解析】试题分析：令，求得，故函数的定义域为且，故本题即求函数在上的减区间，再利用二次函数的性质求得二次函数在上的减区考点：对数函数的性质及复合函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.14.已知数列的前项和为，则此数列的通项公式为___________．【答案】【解析】【分析】由数列的前项和为，得时,，得出;验证时是否满足即可.【详解】当时,,当时,,又,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时，需验证时是否满足，是基础题.15.已知在所在的平面内有一点，满足，则与的面积之比是_____．【答案】【解析】【分析】根据向量条件，确定点是边上的三等分点，从而可求与的面积之比．【详解】因为，所以，所以点在边上，且是靠近点一侧的三等分点，所以和的面积之比为．故答案为：．【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于16.设命题：函数＝在上是减函数；命题，．若￢是真命题，￢是假命题，则实数的取值范围是________．【答案】或【解析】【分析】由二次函数的性质，求得；根据对数函数的性质，求得，再由题意，得到与同真同假，列出不等式组，即可求解.【详解】由命题：函数＝在上是减函数,所以，解得；命题，，则，即，则，解得，若￢是真命题，￢是假命题，所以与一真一假，即与同真同假，所以或，解得或则实数的取值范围是或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的解法，以及简易逻辑的判定方法等知识点的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量且与夹角为，（1）求；（2）若，求实数的值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由结合向量的数量积的定义和性质，计算可得；（2）由向量垂直的条件：数量积为0，计算可得．【详解】解：（1）因为，所以，又因为，与的夹角为，∴，所以;（2）由，得，即，解得.【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．18.已知函数（，且）.（1）若函数在上的最大值为2，求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围.【答案】(1)或；(2).【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况，结合函数的单调性可得：或；(2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得，求解对数不等式可得的取值范围是.试题解析：（1）当时，在上单调递增，因此，，即；当时，在上单调递减，因此，，即.综上，或.（2）不等式即.又，则，即，所以.19.已知等差数列的前项和为，且＝，＝．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）＝；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式列方程求解即可；（2）根据裂项相消法，分组求和法即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，∵＝，＝∴＝，＝，解得＝，＝．∴＝＝．，∴数列的前项和．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，求和的裂项相消法，分组法，属于中档题.20.已知函数（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简．（1）由相位在正弦函数的增区间内求得的取值范围，可得函数的单调增区间；（2）由函数的伸缩和平移变换求得的解析式，结合的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域．【详解】解：．（1）由，，解得，．∴函数的单调增区间为，；（2）将函数的图象向左平移个单位，得，再向下平移1个单位后得到函数，由，得，∴，则函数的值域为【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，属中档题．21.在中，内角所对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若的面积，求角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】试题分析：（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果.试题解析：（1）由正弦定理得，故，于是．又，故，所以或，因此（舍去）或，所以．（2）由得，故有，因，得．又，所以．当时，；当时，．综上，或．考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理.22.已知函数的导函数为，且.（1）求函数的极值；（2）若，且对任意的都成立，求的最大值．【答案】（1）极小值为，没有极大值；（2）3.【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后令，则可求出，从而可得的解析式，令，可求出极值点，从而可求出极值；（2）对任意的都成立，等价于对任意的恒成立，然后构造函数，通过利用导数求出函数的最小值即可.【详解】解：，()则，所以，，，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，且极小值为，没有极大值；由和题意得对任意的都恒成立，即对任意的都恒成立，令，则，令，则，所以函数在上单调递增，因为，，所以方程存在唯一实根，且满足，即有，.当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，，故整数的最大值为.【点睛】此题考查利用导数求函数的极值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.。

2020年全国I卷高考考前适应性试卷理科数学(一) Word版含答案

2020年全国I 卷高考考前适应性试卷理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足i 2i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合2{|20}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =（）A ．{|1}x x <B ．{|11}x x -≤<C ．{|2}x x ≤D ．{|21}x x -≤<3．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若向量λ+a b 与c 共线，则实数λ=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．若数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且222018202004d a a x x +=-⎰，则2017201920212023(2)a a a a ++=（）A ．24πB ．22πC ．2πD ．23π5．已知ππsin()3cos()36αα-=--，则tan 2α=（）336．在2019年亚洲杯前，某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队，制作了3种不同的精美海报，每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报，集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票．现有4个球迷组成的球迷团（每人各买一份球迷礼包），则他们能获得该门票的概率为（） A ．1027B ．49C ．59D ．17277．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆22x y b 2+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（） A ．12B ．22C ．23D ．638．已知函数22(1)log 2xf x x+=-，若()f a b =，则(4)f a -=（） A ．bB ．2b -C ．b -D ．4b -9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．23B ．2C ．3D ．10310．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，||||1a b ，0a b ，点Q 满足2()OQ a b ．曲线{|cos sin ,02π}C P OP a b ，区域{|0||,}P r P Q R rR ．若C 为两段分离的曲线，则（） A ．13r RB ．13rRC ．13rR D ．13r R11．已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>，若22(log 3)log 3f a -=-，44(log 6)log 6f b =，π(sin )8πsin 8f c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x 时，12log (1),[0,1)()1|3|,[1,)x x f x x x ，则关于x 的函数()yf x a ，(10)a的所有零点之和为（）A ．21aB ．21aC ．12aD ．12a第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面上，1e ，2e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足12()()-⊥-b e b e ，则||b 的值为．14．设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC 的面积等于2223()b c a +-，则内角A 的大小为． 15．6(12)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为．16．三棱锥S ABC -中，点P 是ABC Rt △斜边AB 上一点．给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；②若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球体积为323π； ③若3AC =，4BC =，3SC =，S 在平面ABC 上的射影是ABC △内心，则三棱锥S ABC-的体积为2；④若3AC =，4BC =，3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60︒．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，37a =，且4a 是1a 与27的等比中项．（1）求n a ；（2）若1n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒．（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值．19．（12分）为了研究学生的数学核心素养与抽象能力（指标x ）、推理能力（指标y ）、建模能力（指标z ）的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w x y z 的值评定学生的数学核心素养，若7w ，则数学核心素养为一级；若56w ，则数学核心素养为二级；若34w ，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；（2）在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>经过抛物线216y x =-的焦点A ，Γ上的点R 与Γ的两个焦点所构成的三角形的周长为842+．（1）求Γ的方程；（2）若点R 关于原点O 的对称点为Q ，过点A 作直线l 交Γ于另一点B ，交y 轴于点C ，且BC RQ ∥．判断2||||||RQ AB AC ⋅是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数2()8ln ()f x x x a x a =-+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 的两个极值点12121,(,1)x x x x x <≠，若1m ≤，①证明：102x <<； ②证明：21111ln (2)(43)1a x m x x x >-+--．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1xyαα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为5π()6θρ=∈R．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求||||||||||OM ONOM ON-⋅的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()6|32|f x m m x=++．（1）当1m=时，求不等式()(2)1f x f x--≥的解集；（2）若关于x的不等式()|12|f x x≤--的解集不是空集，求实数m的取值范围．2020年全国I 卷高考考前适应性试卷理科数学（一）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】i2i12i z +==-，该复数对应的点为(1,2)-，在第四象限． 2．【答案】C【解析】解得集合{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x =-+≤=-≤≤，{|1}B x x =<， ∴{|2}AB x x =≤．3．【答案】D【解析】根据图形代入选项可得2+=a b c ，满足2+a b 与c 共线，∴2λ=． 4．【答案】C【解析】∵x 表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，∴2πx =，∴20182020πa a +=．设2018a a =，公比为q ，∴2πa aq +=，∴352242222017201920212023(2)(2)(12)(1)aa a a a aq aq aq a q q a q q++=++=++=+ 222[(1)]πa q =+=．5．【答案】A【解析】由于ππsin()3cos()36αα-=--，所以13333sin cos cos sin 2222αααα-=--，整理得3cos 2sin αα=-，所以3tan 2α=-，则22tan tan 2431tan ααα==--． 6．【答案】B【解析】解法一：设事件M 为“4个球迷组成的球迷团能获得该门票”，则23434C A 4()39P M ==．解法二：设事件M 为“4个球迷组成的球迷团能获得该门票”，则21121324434C C (C C )C 5()39P M ++==，∴54()1()199P M P M =-=-=． 7．【答案】D 【解析】如图，2b c =，则222b c =，即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即6c e a ==，故选D ．8．【答案】B【解析】根据题意，函数22(1)log 2x f x x +=-，则222()log 3x f x x-=-，则222(4)262(4)log log 3(4)1x xf x x x ⨯----==---，则有222262()(4)log log 231x xf x f x x x --+-=+=--，又由()f a b =，则(4)2f a b -=-，故选B ． 9．【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是如图所示的多面体111ABCC A PB ，连接11A B ，由题意知，直三棱柱111ABC A B C -的体积1112222V =⨯⨯⨯=，四棱锥11P ABB A -的体积21412233V =⨯⨯⨯=，故所求的几何体的体积12410233V V V =+=+=．10．【答案】A 【解析】设(1,0)a ，(0,1)b ，则(2,2)OQ ，(cos ,sin )OP x x ，区域表示的是平面上的点到点(2,2)Q 的距离从r 到R 之间，如下图中的阴影部分圆环，要使C 为两段分离的曲线，则13r R ．11．【答案】C【解析】设()()f x g x x=，因为()f x 为奇函数，所以()g x 为偶函数，又当0x >时，2()()()0xf x f x g x x '-'=>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为422π0sin 1log 6log 6log 38<<<=，又2222(log 3)(log 3)log 3log 3f f a -==-，所以42π(sin )(log 6)(log 3)8g g g <<-，即c b a <<． 12．【答案】B【解析】作函数()f x 与y a 的图象如图，结合图象可知，函数()f x 与y a 的图象共有5个交点，故函数()()F x f x a 有5个零点，设5个零点分别为b cd e f ， ∴2(3)6b c ，236ef ，12log (1)x a ，故12a x ，即12a d，故12a bc d e f．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】1【解析】由题意12()()0-⋅-=b e b e ，即21212()0-+⋅+⋅=b e e b e e ，又1e ，2e 是方向相反的单位向量，所以12+=0e e ，121⋅=-e e ，所以210-=b ，即21=b ，所以||1=b ． 14．【答案】π3【解析】由已知22213sin ()24ABC S bc A b c a ==+-△，又由余弦定理可得sin 3A A =，所以tan 3A = 又0πA <<，所以π3A =．15．【答案】3【解析】6(12)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为2166C (2)C 3+-=．16．【答案】①②③【解析】对于①，因为SA ⊥平面ABCD ，所以SC AC ⊥，SA AB ⊥，SA BC ⊥，又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面SAC ，所以BC SC ⊥，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ， ∴三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴2R =R =34π3V ==，∴②正确；对于③，设ABC △内心是O ，则SO ⊥平面ABC ，连接OC ，则有222SO OC SC +=，又内切圆半径1(345)12r =+-=，所以OC =，222321SO SC OC =-=-=，故1SO =，∴三棱锥S ABC -的体积为1113412332ABC V S SO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，∴③正确；对于④，∵若3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成得最大角时，P 点与A 点重合，在SCA Rt △中，tan 1ASC ∠=，∴45ASC ∠=︒，即直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒，∴④不正确，故答案为①②③．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21n a n =+；（2）12n T =．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d >，据题意则有3241727a a a =⎧⎨=⎩，即32337()27(2)a a d a d =⎧⎪⎨+=-⎪⎩， ∵0d >，解得2d =，∴3(3)21n a a n d n =+-=+．（2）11(2321)22123n n n b n na a n n +===+-+++++，前n 项和1(537521212321)2n T n n n n =-+-+++--++-+1(233)2n =+-． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】（1）证明：∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面11ACC A ， ∵1AC ⊂平面11ACC A ，∴1BC A C ⊥， ∵11B C BC ∥，∴111AC B C ⊥，又11AC AC ⊥，∴1A C ⊥平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面11A B C ．（2）过1A 作1A M AC ⊥于点M ，∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，∴1A M ⊥平面ABC ，1A AM ∠为1A A 与平面ABC 所成的角，∴160A AC ∠=︒，∴132A M AC =，令122AA AC CB ===，则13A M =．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，过C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，1(13)C -，(0,1,0)B ，1(13)A ，(2,0,0) CA =，11111(1(0,1,0)(1,1 CB CC C B CC CB=+=+=-+=-，1(1CA =．设平面1CB A的一个法向量为(,,)x y z=n，则120CA xCB x y⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩nn，令1z=，得(0,=n，由（1）知，1A C⊥平面11AB C，∴1(1CA =是平面11AB C的一个法向量，∴1cos,4CA==n，∴二面角11C AB C--19．【答案】（1）14；（2）分布列见解析， 1.8EX．【解析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是9A；建模能力二级的学生是4A，5A，7A，10A；建模能力三级的学生是1A，2A，3A，6A，8A．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件B．则22322245C C()1(|)()C C4P ABP B AP A．（2）由题可知，数学核心素养一级的学生为1A，2A，5A，3A，6A，8A，非一级的学生为余下4人，∴X的所有可能取值为0，1，2，3．0364310C C1(0)C30P X，1264310C C 3(1)C10P X，2164310C C1(2)C2P X，36310C1(3)C6P X，∴随机变量X的分布列为：∴131101231.8301026EX．20．【答案】（1）221168x y +=；（2）2||||||RQ AB AC ⋅为定值，定值为2，详见解析．【解析】（1）∵抛物线216y x =-的焦点(4,0)A -，∴4a =． ∵Γ上的点R 与Γ的两个焦点所构成的三角形的周长为842+， ∴22842a c +=+，∴22c =2228b a c =-=，∴Γ的方程为221168x y +=．（2）2||||||RQ AB AC ⋅为定值2．理由如下：由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =+≠，令0x =，得4y k =，即(0,4)C k ，∴2||41AC k =+由22116(4)8y k x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，得2224812812B Bkx k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即222488(,)1212k k B k k -++，∴281||k AB +=． ∵BC RQ ∥，∴直线RQ 的方程为y kx =，由221168y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222216121612R Rx k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴22216(1)||12k OR k +=+．根据椭圆的对称性，知||2||RQ OR =，即22264(1)||12k RQ k +=+，∴22264(1)||2||||k RQ AB AC +==⋅，故2||||||RQ AB AC ⋅为定值2． 21．【答案】（1）见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析．【解析】（1）由已知228()(0)x x af x x x-+'=>，当8a ≥时，2280x x a -+≥，所以()0f x '≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当08a <<时，2280x x a -+=在(0,)+∞上有两个不相等正实数根，记142x =，242x =，当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0a ≤时，10x =≤，20x =>，所以当2(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2）①()f x 定义域为(0,)+∞，有两个极值点1212,()x x x x <，则2()280t x x x a =-+=在(0,)+∞上有两个不等正根，所以6480(0)020Δa t a x =->⎧⎪=>⎨⎪=>⎩，所以08a <<，121212420x x a x x x x +=⎧⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩，所以21121112422(4)0x x a x x x x x x =-⎧⎪==-⎨⎪<<⎩，所以102x <<．②这样原问题即证明当102x <<且11x ≠，1m ≤时，21111ln (2)(43)1a x m x x x >-+--成立，即1111112(4)ln (2)(4)(1)1x x x m x x x ->--+-，即11112ln (2)(1)1x x m x x >-+-，即11112ln (2)(1)01x x m x x --+>-，即211111(2)(1)[2ln ]01x m x x x x --+>-，且101x <<时，1101x x >-，112x <<时，1101x x <-．设2(2)(1)()2ln (02)m x h x x x x --=+<<，22(2)22()(02)m x x m h x x x-++-'=<<，当1m ≤时，0Δ≤，可知()0h x '≤，所以在(0,2)上()h x 为减函数且(1)0h =，当01x <<时，()0h x >，12x <<，()0h x <，得211111(2)(1)[2ln ]01x m x x x x --+>-成立，从而得证．22．【答案】（1）22(1):3C x y -+=，:l y =；（2【解析】（1）∵曲线C的参数方程为1x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），∴曲线C 的普通方程为22(1)3x y -+=，直线l的斜率5πtan63k ==-，∴直线l的直角坐标方程为y x =．（2）解法一：曲线C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，将5π6θ=代入曲线C的极坐标方程，可得220ρ-=，设M ，N 对应的极径分别为1ρ，2ρ，则12ρρ+=，122ρρ=-，∴12||||||||OM ON ρρ-=+=12||||||2OM ON ρρ⋅==，∴||||||||||2OM ON OM ON -=⋅．解法二：由（1）知，曲线C 的普通方程为22220x y x +--=，∵直线l 的极坐标方程为5π()6θρ=∈R ，∴可设直线l的参数方程为212x y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的普通方程，得220t +-=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，故12t t +=122t t =-，∴12||||||||OM ON t t -=+=12||||||2OM ON t t ⋅==，∴||||||||||2OM ON OM ON -=⋅． 23．【答案】（1）1[,)4-+∞；（2）1(,]9-∞-．【解析】（1）当1m =时，()6|32|f x x =++，∵()(2)1f x f x --≥，∴6|32|[6|32(2)|]1x x ++-++-≥，∴32(32)211x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-≥⎩或312232211x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-≥⎩或232(21)11x x x ⎧>⎪⎨⎪+--≥⎩，得14x ≥-， ∴不等式()(2)1f x f x --≥的解集为1[,)4-+∞．（2）关于x 的不等式()|12|f x x ≤--的解集不是空集，即关于x 的不等式|32||12|6m x x m ++-≤-的解集不是空集，则min (|32||12|)6m x x m ++-≤-．又|32||12||3212||31|m x x m x x m ++-≥++-=+，当且仅当(32)(12)0m x x +-≥时等号成立． ∴|31|6m m +≤-，∴310316m m m +≥⎧⎨+≤-⎩或310(31)6m m m+<⎧⎨-+≤-⎩，得19m ≤-．故实数m 的取值范围为1(,]9-∞-．。

学2020届高三数学适应性月考卷(一)理(含解析)

学2020届高三数学适应性月考卷（一）理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题中上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答变标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】由解得，由于，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的运算，属于基础题.2.在复平面内，复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的模、复数的除法运算求得，由此求得的共轭复数，进而求得的共轭复数的虚部.【详解】由得，所以，虚部为.故选：A【点睛】本小题主要考查复数的模和除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题.3.已知命题：“”的否定是“”；命题：函数有三个零点，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】分别判断出命题的真假性，由此确定正确选项.【详解】对于命题，“”的否定是“”，所以为假命题.对于命题，令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，所以有三个零点，即为真命题.所以为真命题.B选项正确，其它选项均为假命题.故选:B【点睛】本小题主要考查全称命题的否定，考查函数零点个数判断，考查含有逻辑连接词命题真假性的判断，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在区间上为减函数的是（）A. B. C. D.【解析】【分析】由函数的奇偶性排除AC选项，利用导数求BD选项在区间上的单调性，由此确定正确选项.【详解】对于AC选项为偶函数，也是偶函数，所以AC两个选项不符合题意.对于B选项，，所以函数在上递增，不符合题意.对于D选项，在区间上满足，所以函数在区间上为减函数符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数判断函数在区间上的单调性，属于基础题.5.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为，记第二次出现的点数为，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，基本事件总数为种，满足第一次出现的点数为，记第二次出现的点数为，且的有：共两种，所以概率为.故选：A【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.6.若双曲线的实轴长为8，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的实轴长求得，由此求得渐近线方程.【详解】依题意，，所以双曲线方程为，则其渐近线方程为.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的实轴，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.7.某四棱锥的三视图如图所示，则侧面四个三角形中，最小三角形面积为（）A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，判断三角形面积最小的三角形，然后求解三角形的面积即可.【详解】由三视图可知该几何体是四棱锥是正方体的一部分，正方体的棱长为2，为所在棱中点，如图，则最小三角形面积是,.故选.【点睛】本题主要考查学生对三视图之间的关系的理解和画出几何体的直观图，是基础题.8.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得函数经过图象变换后所得函数解析式，再求其对称轴，由此确定正确选项.【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到，再向左平移个单位得到.由解得，令，求得函数的一条对称轴为.故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数对称轴的求法，属于基础题.9.若向量满足，与的夹角为60°，则在向量上的投影等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得在向量上的投影.【详解】在向量上的投影为，..所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量投影的计算，考查向量数量积、模的运算，属于基础题.10.已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（）A. B. 97 C. 96 D.【答案】C【分析】先求得的值：解法一直接展开，再寻找的系数；解法二利用二项式定理，结合乘法分配律，求得的系数.由此列方程，求得的值.然后令，求得展开式中所有项的系数和.【详解】解法1：因为，所以的系数为，所以，解得，所以，令，得.解法2：由乘法分配律知的展开式中的系数为所以，解得，所以令，得.故选：C【点睛】本小题主要考查二项式定理的运用，考查展开式中所有项的系数和的求法，属于基础题.11.若不等式（为自然对数的底数）对成立，则实数的取值范围是（）A. B. C.D.【答案】A【分析】解法一利用函数的整体性，抓住关键点处的单调函数值不超过，解两个含绝对值不等式；解法二利用函数的整体性，求出的范围，再利用绝对值的基本解法，分离参变量；解析三对参数进行讨论，目的是寻找函数的最大值，由此求得的取值范围..【详解】解法1：设，则，所以在上单调递减，所以，所以，为使不等式对成立，则而，所以，解得所以，故选A.解法2：设，则所以在上单调递减，所以为使不等式对成立即对成立所以对成立，即所以，故选A.解法3：设，则所以在上单调递减，所以为使不等式对成立即不等式对成立当时，对成立，即，不符当时，对成立，显然恒成立当时，只需，即所以.故选：A.【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立问题，属于中等题.12.已知函数（是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将问题转化为方程在区间上有解，分离常数得到方程在区间上有解.构造函数（），利用导数求得的单调区间和最值，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.【详解】根据题意，若函数（是自然对数的底数）与的图像上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解.，即∴方程在区间上有解，设函数（）其导数，又∴在有唯一的极值点易知：当时，，为减函数，当时，，为增函数∴函数有最小值.又，比较得∴函数有最大值∴函数在区间上的值域为，若方程在区间上有解，必有，即，∴实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了两个函数的图象是否存在关于坐标轴的对称位置，属于中等题. 解法中主要利用了对称性思路，化“点”的对称为“两函数”交点情况，再利用参变量分离，研究参数的取值范围.二、填空题13.设，函数的导数是，且是偶函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________.【答案】或.【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后根据偶函数性质，求出参数的值，最后利用切线的斜率列方程，求出切点的横坐标.【详解】∵且是偶函数，∴.设切点为，则解得或.故答案为：或【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查根据切线的斜率求参数，属于基础题.14.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则________.【答案】.【解析】【分析】首先利用相似，求出线段长度，然后利用抛物线定义，化为，【详解】设到抛物线准线的垂线段为，则.抛物线焦点到准线的距离为，如图，由抛物线定义及得，.∴.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于简单题.三、解答题15.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）在中，内角的对边分别为，已知，成等差列，且，求边的值.【答案】（1）单调增区间为（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，将函数化为形式，进而求出函数的单调区间；（2）由求得的大小，根据，结合以及余弦定理，解方程求得的值.【详解】（1），令.∴的单调增区间为.（2）由，得，∵，∴，∴.由，，成等差数列得，∵，∴，∴，由余弦定理得，∴，∴.【点睛】本题考查了三角函数恒等变换、三角函数性质和余弦定理解三角形，属于简单题.16.某大学生自主创业，经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润800元，未售出的产品，每亏损200元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该大学生为下一个销售季度购进了该农产品.以（单位：）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将表示为的函数；（2）根据直方图估计利润不少于94000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的频率），求的均值.【答案】（1）（2）0.7（3）【解析】【分析】（1）根据题意求得分段函数的解析式.（2）由（1）求得的取值范围，结合频率分布直方图求得下一个销售季度的利润不少于94000元的概率的估计值.（3）根据的解析式，结合频率分布直方图，求得分布列，并求出数学期望.【详解】（1）由题意得，当时，，当时，，∴.（2）由（1）知，利润不少于94000元，当且仅当.由直方图知需求量的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润不少于94000元的概率的估计值为0.7.（3）依题意可得的分布列，790000.1所以.【点睛】本题考查了频率分布直方图的认识，考查分布列和数学期望的求法，属于简单题.17.如图，多面体中，四边形是为钝角的平行四边形，四边形为直角梯形，且.（1）求证：；（2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理证得，结合，证得平面，根据线线平行证得平面，由此证得.判断出四边形为菱形，由此证得，由此证得平面，从而证得.（2）利用第一问的结论，判断出线与平面所成角，结合点到平面的距离为，求得的长，然后通过解三角形，把相应的线面角的正弦值求出.【详解】（1）在中，，所以又因为，所以平面，因为所以平面，所以，在平行四边形中，且，所以平行四边形为菱形于是所以平面，而平面，所以.（2）因为平面且垂足为，所以为直线与平面所成角.因为平面，平面，所，所以到平面的距离为到平面的距离.所以平面平面所以平面平面且交线为过作，则，所以所以，所以在中，，所以.所以直线与平面所成角的正弦值.【点睛】本题考查了空间线线垂直的证法，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中等题.18.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若在上的最大值是，求的值；（3）记，当时，若对任意式，总有成立，试求的最大值.【答案】（1）在上是增函数；在上是减函数（2）（3）的最大值为【解析】【分析】（1）求得的定义域和导函数，由此求得的单调区间.（2）求得的导函数，对分成，，三种情况，结合在区间上的单调性和最大值，求得的值.（3）首先求得的的表达式，利用的导函数判断出当时，为减函数，由此将不等式转化为，构造函数，在上为减函数，由的导函数分离常数，得到，结合基本不等式，求得的最大值.【详解】（1）的定义域是，，令，则（舍去），当时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数.（2）∵，则，①当时，在上是增函数，故在上的最大值为，显然不合题意：②若即时，，则在上是增函数，故在上的最大值为，不合超意，舍去；③若即时，则在上是增函数，在上是减函数，故在在上的最大值为，解得，符合，综合①②③得.（3），则，当时，，故时，在上是减函数，不妨设，则，故等价于，即，记，从而在上为减函数，由，得，故恒成立，∵，又在上单调递减∴，∴，∴.故时，的最大值为.【点睛】本题考查了函数的单调性与最值；以及函数构造求参数最大值，属于中等题. 第一问主要是考查了给定函数的单调性；第二问主要是考查了给定函数最大值，求参数的值，富有逻辑推理过程；第三问主要考查了构造新函数，利用它是减函数，借助于导数恒成立，求出参数的最大值..19.已知椭圆的左焦点为，椭圆上动点到点的最远距离和最近距离分别为和.（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，若，为坐标原点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆上动点到点的最远距离和最近距离求得的值，由此求得的值，结合求得的值，进而求得椭圆方程.（2）解法一：设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合求得的值，然后根据三角形的面积公式求得三角形的面积.解法二：主要步骤和解法一相同，不同点在于采用代数式恒等变换求得的值，其它步骤与解法一相同..【详解】（1）设，由已知，.∴.∴.则椭圆的方程为.（2）解法1：设.与椭圆联立得.化简得.设，由韦达定理，有.又，..∴.则.联立得.则即.∴.∴.解法2：设.，与椭圆联立得.化简得.其两个分别为，∴.①又..∵.化简得到.②在①中，令，得.③令，.∴，.④将③、④代入②得.解得.则.即.∴∴.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，以及给定数量积的值求三角形面积，考查运算求解能力，属于中等题.20.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求圆的圆心到直线的距离；（2）己知，若直线与圆交于两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将直线的参数方程转化为普通方程，将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，并求得圆心坐标，利用点到直线的距离公式求得圆圆心到直线的距离.（2）设出直线的参数方程，代入圆的方程，写出韦达定理，根据直线参数方程参数的几何意义，求得的值.【详解】（1）由直线的参数方程为（为参数），消去参数，可得.圆极坐标方程为，即，∴圆的普通坐标方程为，则圆心∴圆心，到直线的距离（2）已知，点在直线上，直线与圆交于两点，将（为参数）代入圆的普通坐标方程，得设，对应参数为，，则，∵，，∴是同为负号.∴.【点睛】本题考查了极坐标方程与参数方程，考查直线参数的几何意义的运用，属于中等题.21.已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）解法一：利用分离参数法，结合绝对值三角不等式，求得的取值范围.解法二：利用零点分段法去绝对值进行分类讨论，由此求得的取值范围.解法三：利用分析法，结合绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【详解】（1）由题；，所以故或，即或.所以原不等式的解集为.（2）解法1：分离参数由题对任意均成立，故①当时，不等式恒成立；②当时，对任意非零实数恒成立，而，故综上：解法2：分类讨论由题恒成立；①当时，不等式恒成立；②当时，；③当时，，故；④当时，，故，故，即；⑤当时，，故恒成立.即：线性函数在时恒小于6，故，解得：综上：解法三：由题对任意均成立，故即为而转化为【点睛】本题考查了绝对值不等式和含双绝对值不等式恒成立问题，属于中等题.学2020届高三数学适应性月考卷（一）理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题中上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答变标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】由解得，由于，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的运算，属于基础题.2.在复平面内，复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的模、复数的除法运算求得，由此求得的共轭复数，进而求得的共轭复数的虚部.【详解】由得，所以，虚部为.故选：A【点睛】本小题主要考查复数的模和除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题.3.已知命题：“”的否定是“”；命题：函数有三个零点，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别判断出命题的真假性，由此确定正确选项.【详解】对于命题，“”的否定是“”，所以为假命题.对于命题，令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，所以有三个零点，即为真命题.所以为真命题.B选项正确，其它选项均为假命题.故选:B【点睛】本小题主要考查全称命题的否定，考查函数零点个数判断，考查含有逻辑连接词命题真假性的判断，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在区间上为减函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性排除AC选项，利用导数求BD选项在区间上的单调性，由此确定正确选项.【详解】对于AC选项为偶函数，也是偶函数，所以AC两个选项不符合题意.对于B选项，，所以函数在上递增，不符合题意.对于D选项，在区间上满足，所以函数在区间上为减函数符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数判断函数在区间上的单调性，属于基础题.5.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为，记第二次出现的点数为，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，基本事件总数为种，满足第一次出现的点数为，记第二次出现的点数为，且的有：共两种，所以概率为.故选：A【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.6.若双曲线的实轴长为8，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的实轴长求得，由此求得渐近线方程.【详解】依题意，，所以双曲线方程为，则其渐近线方程为.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的实轴，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.7.某四棱锥的三视图如图所示，则侧面四个三角形中，最小三角形面积为（）A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，判断三角形面积最小的三角形，然后求解三角形的面积即可.【详解】由三视图可知该几何体是四棱锥是正方体的一部分，正方体的棱长为2，为所在棱中点，如图，则最小三角形面积是,.故选.【点睛】本题主要考查学生对三视图之间的关系的理解和画出几何体的直观图，是基础题. 8.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求得函数经过图象变换后所得函数解析式，再求其对称轴，由此确定正确选项.【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到，再向左平移个单位得到.由解得，令，求得函数的一条对称轴为.故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数对称轴的求法，属于基础题.9.若向量满足，与的夹角为60°，则在向量上的投影等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得在向量上的投影.【详解】在向量上的投影为，..所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量投影的计算，考查向量数量积、模的运算，属于基础题.10.已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（）A. B. 97 C. 96 D.【解析】【分析】先求得的值：解法一直接展开，再寻找的系数；解法二利用二项式定理，结合乘法分配律，求得的系数.由此列方程，求得的值.然后令，求得展开式中所有项的系数和.【详解】解法1：因为，所以的系数为，所以，解得，所以，令，得.解法2：由乘法分配律知的展开式中的系数为所以，解得，所以令，得.故选：C【点睛】本小题主要考查二项式定理的运用，考查展开式中所有项的系数和的求法，属于基础题.11.若不等式（为自然对数的底数）对成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解法一利用函数的整体性，抓住关键点处的单调函数值不超过，解两个含绝对值不等式；解法二利用函数的整体性，求出的范围，再利用绝对值的基本解法，分离参变量；解析三对参数进行讨论，目的是寻找函数的最大值，由此求得的取值范围..【详解】解法1：设，则，所以在上单调递减，所以，所以，为使不等式对成立，则而，所以，解得所以，故选A.解法2：设，则所以在上单调递减，所以为使不等式对成立即对成立所以对成立，即所以，故选A.解法3：设，则所以在上单调递减，所以为使不等式对成立即不等式对成立当时，对成立，即，不符当时，对成立，显然恒成立当时，只需，即所以.故选：A.【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立问题，属于中等题.12.已知函数（是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将问题转化为方程在区间上有解，分离常数得到方程在区间上有解.构造函数（），利用导数求得的单调区间和最值，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.【详解】根据题意，若函数（是自然对数的底数）与的图像上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解.，即∴方程在区间上有解，设函数（）其导数，又∴在有唯一的极值点易知：当时，，为减函数，当时，，为增函数∴函数有最小值.又，比较得∴函数有最大值∴函数在区间上的值域为，若方程在区间上有解，必有，即，∴实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了两个函数的图象是否存在关于坐标轴的对称位置，属于中等题. 解法中主要利用了对称性思路，化“点”的对称为“两函数”交点情况，再利用参变量分离，研究参数的取值范围.二、填空题13.设，函数的导数是，且是偶函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________.【答案】或.【解析】【分析】先求出函数的导函数，然后根据偶函数性质，求出参数的值，最后利用切线的斜率列方程，求出切点的横坐标.【详解】∵且是偶函数，∴.设切点为，则解得或.故答案为：或。