含权债券久期计算及其在风险管理中的应用

T 1
cA + A (1+ y)i (1+ y)T
+
N
γN +γM
× C( y, S0 ( y))
（10）
对式（10）求导，并除以价格，得可转债的久期计算公式：
D = − 1 ∂P P ∂y
∑ = 1 ( T
P1
cA (1 +
×i y) i+1
+
(1
A +
×T y)T
+1
)
−
N
γN + γM
(1 P
=
N −M 1
r2 A (1+ r0 )i
+
(1 +
A r0 )N −M
（6）
期利率r0为进第行M预年测末。的市场利率，远期利率r0可以通过现年的即
于是，含选择权债券的久期为：
DM = αD1 + (1 − α )D2
∑ ∑ = 1 M r1 A × i + α ( N r2 A × i + A × N ) + 1 − α P0 × M
1(M P1
r1A× i (1+ y)i
N
+
r2 A× i
M +1 (1+ y)i
+
A× N (1+ y)N
)
（4）
M年到期的债权久期：
∑ D2
=
1 P
(
M 1
r1A× i (1+ y)i
+
P0 × M (1+ y)M
)
（5）
式中，P为债券现价，A为债券面值，P 为债券在第M年末 0
的回售价格为：
∑ P0
券中占有很大一部分，它通常是通过在一定年限时提高利率并
赋予债券人选择回售的权利以此减小债权人面临的风险，也通
过降低风险降低票息利率，以更低的成本筹资。
假设某债券发行条款为：本期债券为N年期固定利率债
券的第，M在年存末续，期发内行前人M可年行票使面调年整利票率面为利r1固率定选不择变权。，在上存调续票期面限利
4.63
93.3
92.235
2007-9-15
4.34
4.65
4.92
92.44
91.405
2007-12-21
4.07
4.81
5.08
93
92.025
2008-10-9
3.38
3.42
3.15
98.3
99.167
2008-10-30
3.32
3.4
3.13
98.57
99.425
2008-11-27
3.25
∂C ∂y
+
∂C ∂S
DS )
（11）
式中
y
由式（10）决定，
∂C ∂y
和
∂C ∂S
分别为期权的RHO和Delta
值， DS 为股票久期。[2] 上面方法可以与直接用市场价格差分形式计算的久期相互
对比，也可以反过来从公式中预测股票风险、股票久期等，从 而对于衡量风险有其意义。
三、久期对于市场预测的统计实证分析
现金流
Ci
的现值；N为现金流支付次数；
P
=
N
∑
PV
(Ci
)
为债券价格。
1
到期一次还本付息债券和零息债券的所有现金流仅发生
在到期日，所以它的久期就是它距到期日的时间。无限期限
债券的各次现金流为债券的面值乘以其息票利率，其久期为
DM = (1+ y) / y ，其中 y 表示债券的到期收益率。最为常见的固定利
观点•ViewPoint
时间均为T年，权证的标的股票行权价为K元（不考虑由于标的
股票分红派息引起的执行价格的变动），在此也不考虑债券可
能附加的回售和回购条款。
首先需要给认股权证定价，这可以通过调整标准期权定价模
型以适应新股的稀释效应来进行定价。考虑一个公司有N股在外
股票和M份在外认股权证，每一份认股权证允许持有者以固定的
结论一：债券价格变化与到期收益率变化的反方向一致性 很好的体现在久期上，但久期并非市场利率短期调整的良好测 度，市场预期是价格变动的主要因素。
用久期基于到期收益率计算第二天收盘价，发现收盘价与实 际价格相差不到千分之一，对于面值100元的债券意味着误差不
超过0.1，甚至更小。以2007-8-22日债券价格为例，参照表2数 据，并查询得当天到期收益率由4.36%改变至4.34%，于是：
P 1 (1 + y)i P M +1 (1 + y)i (1 + y) N
P (1 + y) M
（7）
以上我们推导出了含选择权的久期计算公式，但是在式（7）
中，r 和r 是需要给与一定的预测的。如果可以得知它们的更为确 切的信0 息，2 或者投资者在投资时已经明确投资偏好，那么对于权
重α的选择也可以更为具体，否则可以通过给出可能的分布求其期
∑ ∑ DM
=1 P
∞ 1
ti
×
PV (Ci )
=
1 P
∞ 1
i
×
C0 (1+ g (1+ y)i
)i
= (1+ y) / ( y − g)
（3）
这里 g < y 显然成立，否则将出现股价无穷大，与实际情
36 2010 5•中国证券期货
况不符。[1]
2、含选择权债券的久期
含选择权的债券在近年发行的债券中尤其是09年发行的债
久期*
到期收益 率(%)
调整后理论到 期收益率(%)
债券 价格
调整后的理论 价格
2007-3-18
4.72
3.77
4.04
96.65
95.463
2007-5-19
4.67
3.68
3.95
95.13
93.973
2007-7-21
4.49
4.47
4.74
92.57
91.496
2007-8-22
4.41
4.36
∑ P =
T 1
cA + A (1+ r)i (1+ r)T
+ γ N ×C N +γM
（9）
其中 r 为市场利率，C 为一份看涨期权的Black-Scholes定
价。[5]
下面我们基于以上定价公式计算可转债的久期。我们在式
（9）中用到期收益率 y 替换市场利率 r ，得到计算到期收益率
的公式：
∑ P =
2007、2008年利率调整比较频繁，07年六次升息，08年四 次降息，而进入2010年我们又面临着升息的必然，于是提前通 过久期对于利率风险进行预测有着现实意义。下面我们以国债 010203为例来具体看看久期对于市场价格的预测分析情况。国 债010203在2002-4-18日开始发行，2012-4-18日到期，其票息 利率为2.54%，发行价100元。债券价格变化和市场利率变化如 图1、图2所示。
率0至100个基点，假设调整为r2此后固定不变；投资者可选择 是否将其持有的债券全部或部分回售给发行人。
我们假设投资者持有债券的份额占原有份额的比例为 α。由
于久期的线性结构，债券久期的计算相当于权重为α的N年到期的
债券久期和权重为1−α 的M年到期的债券久期的加权平均。
N年到期的债权久期：
∑ ∑ D1 =
二、股票久期两种新型债券久期的计算方法
1、股票的久期
最原始的久期概念仅适用于债券，但是由于理论上久期
是所有的现金流期限的加权平均，所以我们可以尝试将久期运
用到股票上。首先假设股票为固定股利的永续年金，其久期为
DM = (1+ y) / y ， y 为股票的到期收益率。然后我们再假设股票的股 利以每年 g 的比例增长且永续。则股价 P = C0(1+ g) / (y − g) ， C0 为股票 当前支付的股利。于是股票久期为：
∑ − 1 P
dP dy
=
1( P
N 1
i
×
(1
cA + y)i
+1
+
N
×
(1
+
A y)
N
+1
)
=
DM 1+ y
= D*
（2）
定义修正久期为
，有时也将修正久期直接称为久
期。我们可以清楚地看到久期在测度债券对于利率变化敏感性
方面的重要作用，它相当于利率变化引起的债券价格变化占原
始价格百分比的一阶近似。
2.94
1.86
100.24
103.66
2008-12-23
3.18
2.3
2.03
102.48
103.34
*根据调息日收盘价计算，非交易日以调息前价格计算
将表1中的理论价格和实际价格进行对比发现，在一段时间以 后债券价格总会达到调整后的理论价格。比如，2007-4-23日债券 价格首次低于95.463，其后直到第二次调息前一直在这个价格水 平附近波动；而第二次调息之后于2007-6-1日，债券价格首次低于 93.973，其后价格一路下挫后又稍有反弹；几次调息以后，债券价 格触底，最低价为91.68元，与我们的最低理论价91.405相差不多； 08年债券价格在前半年的平稳之后开始大幅上扬，调息后2008-11-7 第一次打破99.167元，最高冲至102.8元，并未到达103.66。
率债券的久期为 DM
= 1+ y y
−
(1+ y) + N (c − y) c((1+ y)N −1) + y
,c
为票息利率，
N
为付息
次数。而浮动利率债券的久期可以假定未来各期票面利率与当 前票面利率相同同理进行计算。[4]
久期是目前使用最为广泛的利率风险测量工具，它是债券 价格对利率变动敏感性的测度。上文价格公式对 y 求导并联合 麦考利久期公式得：
一、引言
债券市场是全球经济中重要的一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分，而如何有效衡
量债券的风险是债券投资以及风险管理最为重要的一个环节。
由于债券付息方式的不同，债券的到期时间并不能很好的反映
债券期限的性质，于是Macaulay最早在1938年提出了久期的概
念，称为麦考利久期。久期衡量了债券价格对于利率的波动，
在风险管理中十分重要。
结论二：利率调整终将反映为到期收益率的调整，债券价 格总会达到调整后的理论价格，只是预期会对到达时间和过程 有较大影响。
虽然久期不是利率敏感性的良好测度，但它对于债券价格 的预测却有一定的参考价值。以各次调息为例，假设到期收益 率应当与调息相一致计算理论价格，列于表1。
表1 调息后的理论价格
调息日期
从上面过程中可以看出，通过久期对于理论价格的预测基 本与价格变化相一致，该国债在最低点的预测甚至十分接近。 但是也可以观察到理论价格的大方向分析仍然无法预测短期价 格的变化，如2007-7-21的预测值91.496直到2007-9-25才首次 迫近，其中已经又经历了两次调息，我们无法清楚地判断该次 迫近是几次升息的共同影响还是仅仅是2007-7-21升息影响的 延缓表现，人们对于市场的预期可以使得中间过程的波动增 加，甚至出现逆市发展，如2007-12-21最后一次升息后债券价 格却停止下跌开始走高，主要是因为之前连续升息人们预期债 券价格应该开始反弹了。这些具体的过程因各债券而不同，有 时成交量太少也可能使得价格并没有反应债券的实际情况。总 的来说，预期使得到达理论价格的时间和过程具有不确定性。
与真实价格93.4仅相差0.021。所以说久期体现了价格与 到期收益率变化的反向过程，这也是显然的，因为到期收益率 其实正是由市场价格导出的，其近似过程不过是对于敏感性测 度公式（2）的差分离散化。
但是对于市场利率则不然，我们将图1与图2对比，明显看 出市场利率变化较为平缓，也和调息过程保持一致，而债券价 格却具有很强的波动性。短期局部来看，经常出现市场利率上 升，债券价格却也上升的情况，市场的预期以及其他因素对债 券价格的影响甚至可以扭转价格变化的趋势。于是我们说久期 短期并非是市场利率敏感性的理想测度。这归根到底就是因为 市场利率的变化和到期收益率的变化不一致。债券价格的变动 的因素更多的来源于预期。
债券的麦考利久期被定义为债券每次息票利息或本金支付
的现金流的加权平均期限，这个加权平均的权重是每笔现金流
的现值占债券所有现金流的现值的比重。它表示的是债券的实
际持有期限。麦考利久期的计算公式为：
∑ DM
=1 P
N 1
ti × PV (Ci )
（1）
其中， ti 为第 i 期现金流距债券到期日的时间； PV(Ci) 为第 i 期
观点•ViewPoint
含权债券久期计算及其在风险管理中的应用
王炜辰1 叶 秩2 （1.清华大学理学院，北京 100084；2.永安财产保险公司总部，陕西 西安 710075）
【摘要】久期是测度债券利率风险的基本指标，在含选择权的债券和可 转债中，原始的久期定义无法体现选择权和期权对于风险的影响，本文 给出了能够反映该影响的合理的久期计算方法。在准确计算久期的基础 上，提出了利用久期进行长期债权市场价格预测和有效的利率风险免疫 的方法，对投资者的投资策略选择以及风险管理提供有价值的参考。 【关键词】久期；含权债券；可转债；价格预测；风险免疫
望计算久期。
3、可转债的久期
可转债通过将债券和认股权证有机结合，使债券持有人依
法享有在一定期间内按约定价格（执行价格）认购公司股票的
权利，从而达到低成本融资或高价发股的目的。
图1 07～08年债券价格变化图
数据来源：Wind资讯
要计算可转债的久期，首先需要明确可转债的定价方法。 我们假设某可转债的发行条款为：可转券面值为A，票面利率 为 c ，发行人同时派发的M份认股权证，债券期限和期权到期
价格K假购如买进γ行股稀股释票，，公S0为司发的行总认价股值权（证包前括的执初行始前股的票公价司格价。值的
终值和执行的收益）为VT+MγK。股票数增加到N+γM，而实际 执行后股价PT=VT/N。认股权证持有者的总收益是：
WT
= γ (VT + MγK N + γM
− K ) = γ (VT N
− NK + γM
)
=
N
γ + γM
(VT
− NK
)=
γN N + γM
( PT
− K)
（8）
图2 07～08年市场利率变化图
数据来源：http://www.shibor.org/shibor/web/html/index.html
只有它为正时，持有人才会行权。总收益等价于股价为 P 的γN/(N+γM)份期权产生的总收益。认股权证可以通过 BlT ack-Scholes期权标准期权模型进行定价，可转债的价格应 当为债券各次现金流的现值与期权价格之和，即：