地球物理计算方法课件：绪论2
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数值计算是用计算机求解， 计算机不能做无限运算、 不能 准确表达一个实数。受计算机字长限制产生舍入误差，少量的 舍入误差一般是微不足道的， 而计算机上完成成千上万次运算 ，舍入误差的积累就大了，可能导致错误的结果。
例如：用3.14159代替
绝对误差和相对误差
误差：设x*为准确值， x为 x*的一个近似值，称
设要求对给定x的求下列多项式的值
p x a0 a1x a2x2 an xn
直接求法
若直接计算akxk,再逐项相加，一共要做
n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2次乘法和n 次加法。
秦九韶算法
如果将前n项提出x，则有
p(x) （an xn1 an1xn2 a1）x a0 ((an xn2 an1xn3 a2 )x a1）x a0 ((an x an1)x a2 )x a1)x a0
•物理参数反演计算
（线性方程组求解）
复习
计算方法及地球物理数值计算 算法设计 误差分析 Matlab计算方法基础
• 计算方法：研究如何通过计算机所能执行的基 本运算，求出各类实际问题的数值解。
• 算法：给出已知的量，通过给定的运算次序， 经过有限次的基本运算，得出所求的未知量的 解，这种完整的运算步骤称为算法。
Gauss 列主元消去法
乘除法：n3/3+n2-n/3 只需做3060 次乘、除运算。
算法设计 1、科学计算可实现
例:证明二次方程
x2 2bx c 0
至多有两个不同的实根。
（1）反证法 （2）图解法 （3）公式法——算法
计算机只能做加、乘基 本算法
算法流程图
2、计算量的减少
例：多项式求和
算法设计必要性
例：
N阶线性方程组，求解
Crame 法则 Gauss列主元消去法
Crame 法则
需 要 多 少 次 乘 法 ?
Crame 法则
①一个 n 阶行列式有n!个乘积，每个乘积要作（n-1）次乘法 ②要计算n+1 个行列式 ③要 n 次除法
总计算量 n!(n-1)(n+1)+n，n=20 时要作9.7×1021次乘法。
观测误差: 由物理量观测产生的误差，在数学建模和具
体计算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的， 由于测量仪器精度的限制，这些数据一般是近似的。
物理量数据：温度、长度、电位、电流、速度等。
3、截断误差
截断误差：计算机只能完成有限次算术
运算和逻辑运算；是连续型数学问题向 离散型数值算法转化过程中产生的，用 有限过程近似无限过程的误差。这对无 穷过程进行截断所带来的误差。
地球物理计算方法
张致付 地球物理与信息技术学院
绪论
复习
计算方法及地球物理数值计算 算法设计 误差分析 Matlab计算方法基础
计算方法
计算方法
公式、算法（方法） 理论分析（收敛性, 稳定性,
误差分析等）
地球物理数值计算
•数据处理
（插值或拟合、FFT、矩阵求解、数值积分）
•数值模拟正演
（微分方程求解）
解为 x1=-6.222…, x2=38.25…, x3=-33.65…,
误差来源
用计算机解决科学计算问题(地球物理)的过程如下：
修修改ห้องสมุดไป่ตู้处处理理
地地质问质题 问题
物物理理模 模型型
数数学学模 模型型
数数值值计 算计算
否否
计足计要算算求结果结是否果满 是否满足
要求
是是 地地质质解 解释释
模型 误差
写成递推公式:
vv0k
vk 1x ank an
(k 1, 2, , n)
秦九韶算法,只做n次乘法和n次 加法,程序实现简单
算法流程图
3、迭代校正-逼近
设有非线性方程
f (x) 0
其中，f(x)在[a,b]上连续函数且f(a)f(b)<0，假设方程于[a,b] 内仅有一个实根。
求非线性方程f(x)=0的根，二分法分为两步： ➢确定方程的有根区间 ➢计算根的近似值（二分法）
截断 误差
舍入 误差
1、模型误差
➢ 首先要建立数学模型，
它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而 得到的，因而是近似的。
模型误差：在建立数学模型过程中，要将复杂 的现象抽象归结为数学模型，建数学模型时加 上了一些限制，往往忽略了一些次要因素的影 响，与实际问题有误差。
实际问题 数学模型
2、观测误差
1 2
x2
1 3
x3
11 6
1
2
x1
1 3
x2
1 4
x3
13 12
1 3
x1
1 4
x2
1 5
x3
47 60
准确解为 x1=x2=x3=1
系数舍入近似为
x1 0.50x2 0.33x3 1.8 0.50x1 0.33x2 0.25x3 1.1 0.33x1 0.25x2 0.20x3 0.78
第一步：计算f (x)在端点处的值f (a), f (b).
第二步：计算f
( x)在中点处的值x1
a
b 2
,
f
(a
2
b)
第三步：若f (x ) 0
则取 x* x1 a
b 2
若f
(x
)
f
(a
)
0,则取 a1
a, b1
ab 2
若f
(x
)
f
(b ）
0,则取 a1
a
2
b
，b1
b
重复步骤2和步骤3.
f (n1) ( )
(n 1)!
x n 1
在0与x之间。
如常用的函数Taylor展开：
ex =1 x x2 x3 ... 2! 3!
sin(x)=x x3 x5 x7 ... 3! 5! 7!
ln(1 x)=x x2 x3 x4 ... 2! 3! 4!
4、舍入误差
舍入误差：计算过程取有限位数
e x x*
为近似值的绝对误差，简称误差.
误差 e可正可负， 当绝对误差为正时近似值偏大，叫强近似值 当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值
算法流程图
计算方法及地球物理数值计算 算法设计 误差分析 Matlab计算方法基础
误差分析必要性
例：求解方程 准确解为:
x2 (105 1)x 105 0
x1 105, x2 1;
数值近似解（5位有效数字）：
x1 105, x2 0;
避免大数”吃掉”小数 ;
例：方程组的解
x1
数学模型 数值计算方法
截断误差（方法误差）:近似解与精确解之间的误差
例：用Taylor公式进行展开
Pn (x)
=f(0)+
f '(0) x 1!
f
''(0) x2 ... 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数f(x),则数值方法的截断误差是：
Rn (x)
=f (x)-Pn (x)=
例如：用3.14159代替
绝对误差和相对误差
误差：设x*为准确值， x为 x*的一个近似值，称
设要求对给定x的求下列多项式的值
p x a0 a1x a2x2 an xn
直接求法
若直接计算akxk,再逐项相加，一共要做
n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2次乘法和n 次加法。
秦九韶算法
如果将前n项提出x，则有
p(x) （an xn1 an1xn2 a1）x a0 ((an xn2 an1xn3 a2 )x a1）x a0 ((an x an1)x a2 )x a1)x a0
•物理参数反演计算
（线性方程组求解）
复习
计算方法及地球物理数值计算 算法设计 误差分析 Matlab计算方法基础
• 计算方法：研究如何通过计算机所能执行的基 本运算，求出各类实际问题的数值解。
• 算法：给出已知的量，通过给定的运算次序， 经过有限次的基本运算，得出所求的未知量的 解，这种完整的运算步骤称为算法。
Gauss 列主元消去法
乘除法：n3/3+n2-n/3 只需做3060 次乘、除运算。
算法设计 1、科学计算可实现
例:证明二次方程
x2 2bx c 0
至多有两个不同的实根。
（1）反证法 （2）图解法 （3）公式法——算法
计算机只能做加、乘基 本算法
算法流程图
2、计算量的减少
例：多项式求和
算法设计必要性
例：
N阶线性方程组，求解
Crame 法则 Gauss列主元消去法
Crame 法则
需 要 多 少 次 乘 法 ?
Crame 法则
①一个 n 阶行列式有n!个乘积，每个乘积要作（n-1）次乘法 ②要计算n+1 个行列式 ③要 n 次除法
总计算量 n!(n-1)(n+1)+n，n=20 时要作9.7×1021次乘法。
观测误差: 由物理量观测产生的误差，在数学建模和具
体计算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的， 由于测量仪器精度的限制，这些数据一般是近似的。
物理量数据：温度、长度、电位、电流、速度等。
3、截断误差
截断误差：计算机只能完成有限次算术
运算和逻辑运算；是连续型数学问题向 离散型数值算法转化过程中产生的，用 有限过程近似无限过程的误差。这对无 穷过程进行截断所带来的误差。
地球物理计算方法
张致付 地球物理与信息技术学院
绪论
复习
计算方法及地球物理数值计算 算法设计 误差分析 Matlab计算方法基础
计算方法
计算方法
公式、算法（方法） 理论分析（收敛性, 稳定性,
误差分析等）
地球物理数值计算
•数据处理
（插值或拟合、FFT、矩阵求解、数值积分）
•数值模拟正演
（微分方程求解）
解为 x1=-6.222…, x2=38.25…, x3=-33.65…,
误差来源
用计算机解决科学计算问题(地球物理)的过程如下：
修修改ห้องสมุดไป่ตู้处处理理
地地质问质题 问题
物物理理模 模型型
数数学学模 模型型
数数值值计 算计算
否否
计足计要算算求结果结是否果满 是否满足
要求
是是 地地质质解 解释释
模型 误差
写成递推公式:
vv0k
vk 1x ank an
(k 1, 2, , n)
秦九韶算法,只做n次乘法和n次 加法,程序实现简单
算法流程图
3、迭代校正-逼近
设有非线性方程
f (x) 0
其中，f(x)在[a,b]上连续函数且f(a)f(b)<0，假设方程于[a,b] 内仅有一个实根。
求非线性方程f(x)=0的根，二分法分为两步： ➢确定方程的有根区间 ➢计算根的近似值（二分法）
截断 误差
舍入 误差
1、模型误差
➢ 首先要建立数学模型，
它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而 得到的，因而是近似的。
模型误差：在建立数学模型过程中，要将复杂 的现象抽象归结为数学模型，建数学模型时加 上了一些限制，往往忽略了一些次要因素的影 响，与实际问题有误差。
实际问题 数学模型
2、观测误差
1 2
x2
1 3
x3
11 6
1
2
x1
1 3
x2
1 4
x3
13 12
1 3
x1
1 4
x2
1 5
x3
47 60
准确解为 x1=x2=x3=1
系数舍入近似为
x1 0.50x2 0.33x3 1.8 0.50x1 0.33x2 0.25x3 1.1 0.33x1 0.25x2 0.20x3 0.78
第一步：计算f (x)在端点处的值f (a), f (b).
第二步：计算f
( x)在中点处的值x1
a
b 2
,
f
(a
2
b)
第三步：若f (x ) 0
则取 x* x1 a
b 2
若f
(x
)
f
(a
)
0,则取 a1
a, b1
ab 2
若f
(x
)
f
(b ）
0,则取 a1
a
2
b
，b1
b
重复步骤2和步骤3.
f (n1) ( )
(n 1)!
x n 1
在0与x之间。
如常用的函数Taylor展开：
ex =1 x x2 x3 ... 2! 3!
sin(x)=x x3 x5 x7 ... 3! 5! 7!
ln(1 x)=x x2 x3 x4 ... 2! 3! 4!
4、舍入误差
舍入误差：计算过程取有限位数
e x x*
为近似值的绝对误差，简称误差.
误差 e可正可负， 当绝对误差为正时近似值偏大，叫强近似值 当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值
算法流程图
计算方法及地球物理数值计算 算法设计 误差分析 Matlab计算方法基础
误差分析必要性
例：求解方程 准确解为:
x2 (105 1)x 105 0
x1 105, x2 1;
数值近似解（5位有效数字）：
x1 105, x2 0;
避免大数”吃掉”小数 ;
例：方程组的解
x1
数学模型 数值计算方法
截断误差（方法误差）:近似解与精确解之间的误差
例：用Taylor公式进行展开
Pn (x)
=f(0)+
f '(0) x 1!
f
''(0) x2 ... 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数f(x),则数值方法的截断误差是：
Rn (x)
=f (x)-Pn (x)=