3平面讲义任意力系
3第三章平面任意力系
固定端（插入端）约束
说明: ①认为Fi 这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③FA方向不定可用正交分力FAx, Fay 表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限
制转动。
11
MO
§3-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理 y 简化结果：主矢 F ' R ，主矩 M O 。
∴ 力的直线方程为：
MO
x
FR '
x
O
x
670.1 x 232.9 y 2355 0
2355 当 y 0, x 3.5 m 670 .1
18
FR
§3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F' 0 R MO 0
为力平衡，没有移动效应。 为力偶平衡，没有转动效应。
P
45
0
M A (F i ) 0 :
FC sin45 AC P AB 0
B
FAy
FAx
y
A
C
FAx 20.01kN ,
FAy 10.0kN
FC
x
FC 28.3kN
或： M C ( F i ) 0 : FAy AC P CB 0
22
o
例：求横梁A、Ｂ处的约束力。已知 M Pa, q, 解：1）AB杆 q M B A 2）受力分析
主矩MO 方向：方向规定 +
Fiy tg 方向： tg FRx Fix
1
FRy
1
大小： M O M O ( Fi ) , (与简化中心有关),（因主矩等于各力对简化中心取矩 的代数和）
第三章平面任意力系(授课)PPT资料126页
M A1 2q2l0.70F7 lM
2、平面平行力系的平衡方程
Fx 0 Fx 0 Fy 0
0 0 0 0
F 1 c o F 2 c s o F 3 c s o 0 s
F s i F n s i F n s i n 0
1
2
3
题例3-5
一种车载式起重机，车重P1= 26 kN，起重机伸臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如 图所示。试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax 。
1. 静定和超静定的概念
如果所考察的物体的未知约束力数目恰好等于独立平 衡方程的数目，那些未知数就可全部由平衡方程求出，这 类问题称为静定问题。
若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅 用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问 题称为超静定（或静不定）问题。
F
P
图（a）
P
图（c）
P 1 2 P ( 2 .5 3 ) P 2 2 .5 0
求解得
Pmax7.5kN
§3-3 物体系的平衡·静定和超静定问题
前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。对应于 每一种力系，其独立的平衡方程数目都是一定的，平面任 意力系有三个，平面汇交力系和平面平行力系各有两个， 平面力偶系只有一个。因此，对于每一种力系，能求解的 未知数的数目也是一定的。
0.76k8N
2m
所以，主矢的大小
FR FR x2FR y20.79k4N
主矢的方向：
coF sR ,iF FR R x 0.614
F R ,i5.1 2
2. 求主矩MO M O M OF
2m
y
F2
A 60
°
第三章平面任意力系
第三章 平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内且任意分布（既不完全平行也不完全相交于一点）。
一、 本次课研究的问题： 1、平面任意力系向平面内一点简化。
2、平面任意力系简化结果分析。
3、平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
4、平面平行力系的平衡方程。
二、学习要求： 学习平面任意力系向平面内一点简化及简化结果分析，掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
三、教学重点、难点： 1、重点：平面任意力系的简化和平面任意力系的平衡。
2、难点：平面任意力系的简化及结果分析。
四、教学方法： 理论推导与事例相结合。
§3-1 平面内任意力系向平面内一点简1、 力线平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B 的矩。
证明：如图3-1（a ）中，力F作用于刚体A 点。
在刚体上任取一B 点，并在B 点加一队平衡力F F ''' ,，且F F F =''-=',如图3-2(b)。
则F F'',为一力偶，这样，就把作用于A 点的力平移到了另一点B 点，但同时附加了一个相应的力偶图3-1()F F'',，如图3-3（c ）,这个力偶称为附加力偶。
附加力偶之矩为()F M Fd M B==反之，此过程也可逆向使用，将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。
例：①乒乓球、足球中的弧线球；②如图3-2,厂房柱受偏心载荷F作用，将力平移至柱轴线成为力F'和矩为M 的力偶，柱除受压缩作用外还受弯曲的作用；③如图3-3，攻丝时，要求必须用两手握扳手，且用力要相等。
为什么不许用一只受扳扳手呢?2、平面任意力系向平面内一点简化---主矢和主矩设刚体上作用着平面任意力系,,,321F F F如图3-4（a ）所示。
在平面内任取一点O ，称为简化中心；应用力线平移定理，把各力都平移到点O 。
第三章平面任意力系
平面任意力系
主矢、主矩
固端约束力
简化
分解主矢
=
=
≠
=
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化
三、平面任意力系的简化结果分析
通过分析，平面任意力系的简化得到主矢和主矩。
主矢 FR Fi 主矩 MO MO (Fi )
=
当主矢和主矩为零或非零时，其结果如何？
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化 三、平面任意力系的简化结果分析
Pz
A
M P d cos
P
2
例3-1 已知：力P、轮A的直径d,将
图示力P分解后，向轴线平移。
M
解：1)建立坐标系
x
B
2)将力P分解成Pz和Py分量
Pz Pcos
Py Psin
M
3)将Pz向轴线平移
B
力线向一点平移时所得附加力
偶等于原力对平移点之矩。
力偶M’与M 平衡。
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化
M O2x2F2yy2F2x
y1
Mo (Fi ) (xiFiy yiFix )
所以得： M O R R x iF iy y iF ix 第三章平面任意力系
（b）
§3-1 平面任意力系的简化 五、平面任意力系的平衡
如果主矢、主矩均为零，原力系平衡。
主矢 主矩
FR 0
MO Mo (Fi ) 0
（3-5）
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化
例3-2 已知：P1 450kN, P2 200kN, F1 300kN,
F2 70kN; 求：
主矢 FR Fi 主矩 MO MO (Fi )
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
理论力学第三章 平面任意力系ppt课件
精选课件PPT
34
ΣFX=0 ΣmA=0 附加条件：
OA ⊥X轴
y
A
Fi
F2
B
o
Fn
F1
x
(3)二力矩式
ΣmA=0 ΣmB=0 附加条件：
y mi
m2
A、B、O三点不共直线
mn
m1
3.平面力偶系
o
Σmi=0或Σmo(Fi)=0
x
精选课件PPT
14
图示三铰拱,在构件CB上分别作用一力偶M和力F,当求 铰链A,B,C的约束力时,能否将力偶M或力F分别移到 构件AC上?为什么?
§3-1-1 力的平移定理
❖ 内容
作用在刚体上某点的力可以等效地平移到 刚体上任一点（称平移点），但必须在该力 与该平移点所决定的平面内附加一力偶，此 力偶之矩等于原力对平移点之矩
精选课件PPT
下一节 返回上一级菜2单
❖ 证明
F'
F'
F
F
M
F"
F'F"F MM(F,F")FdMB(F)
精选课件PPT
(2)三力矩式 ΣmA=0 ΣmB=0 ΣmC=0 附加条件：A、B、C三点
不共直线
对一个平面任意力系， 若其处于平衡状态，能 列出无数个方程，是否 能求解无数个未知数？
B
A C
B
A
C
在刚体上A,B,C三点分别作用三个力F1,F2,F3,各 力的方向如图所示，问该力系是否平衡？为什么？
精选课件PPT
精选课件PPT
15
例3
已知起重机重P，可绕铅直轴AB转动，起 吊重量为Q的物体。起重机尺寸如图示。 求止推轴承A和轴承B处约束反力。
理论力学 03第三章 平面任意力系教材
M O 16 N m （如图）。
（1）该力系的合力为 R [（ 4 ）i +（ 4 ） j ] N
（2） 合力的作用线与x轴交点E的坐标为： xE=( 4 )m
y
y
R´y
R
MO
x
O
R´x
O
xE
MO Ry
Ry
R
16
4
4(m) x
xE
Rx
19
[例2] 已知F1=2kN，F2=4kN，F3=10kN，正方形的边长为
R’ d
x R
M O M O (Fi )
F1 a F3x a F3y a
2a
10
53
a
10
4 5
a
=4a (kN·cm)
d
Mo R
2a 2
最终简化结果为一个合力R，作用线距离O点为d
21
[例3] 已知:在刚体上的同一平面内作用有大小均为F 的六个力
F （如图），则该力系可简化为一合力，其大小为 （
12
固定端约束 P
车刀
P
13
3、平面任意力系的简化结果分析
简化
简化 中心
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论： ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。
14
简化
M=MO
简化 中心
R´=0
② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, M=M O 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
主矩 MO MO (Fi ) （转动效应）
主矢 R 的解析式 ：R Rx Ry ( X )i ( Y ) j
大小： R Rx2 Ry2 ( X )2 ( Y )2
3 理论力学 第三章 平面一般力系
联立求解即可。
请同学们研究整体ABC, 与上述结果比较.
38
例：图示构架，P=1kN，AE=BE=CE=DE=1m，求A处的
反力及BC的内力。
B
解：先整体求A处反力：
X 0 Y 0
XA 0 YA P
mA 0 M A P 1 1
拆开CD：
SCB
P
C
④ YA, XA, MA为固定端约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,MA为限制
转动。 简 化
8
插入端约束受力的简化
9
插入端约束实例
10
插入端约束实例
11
插入端约束实例
12
插入端约束实例
13
§3-3 平面一般力系的简化结果 合力矩定理
简化结果： 主矢 R ，主矩MO ，下面分别讨论。 ① R= 0， MO =0，则力系平衡。
F1 ll
M
A
l2
B
l1
y FAy
A
FAx
F1 M
B FBy
Fx 0,
F2
FAx F2 cos 60 0
60 M A(F) 0
FByl2 M F1l1 F2(l1 l2)sin 60 0
Fy 0,
FAy FBy F1 F2 sin 60 0
一矩式
二矩式
二矩式的限制条件：
A、B连线不能与各力平行。
实质上是各力在x 轴上的投影恒等于零，即 X 0 恒成立，
所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。 19
[例]已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起 重量)，尺寸如图。求：
理论力学3—平面任意力系
平面汇交力系力，FR′ 平面力 偶 系力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
3.1.2 平面任意力系向一点简化· 主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
FR x + FR y Fx i Fy j FR
第三章 平面任意力系
3 平面任意力系
•
平面任意力系向作用面内一点的简化
•
• •
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
物体系统的平衡· 静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.1 力线平移定理
定理： 可以把作用在刚体上点 A 的力 F 平行
移到任一点 B ，但必须同时附加一个力偶，这 个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的 矩。
2 2 FR ( Fx ) ( Fy )
Fx , i) cos( FR FR Fy , j) cos( FR FR
3.1.2 平面任意力系向一点简化· 主矢与主矩
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系 对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位 置有关。
′ FR O MO O′ O ′ FR O′ FR FR
d
O
d
O′
″ FR
MO d FR
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
M O (FR ) FR d M O
由主矩的定义知：
O
FR d O′
MO MO (Fi )
所以
M O (FR ) M O (Fi )
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
3--平面任意力系
雨搭
车刀
7
固定端（插入端）约束旳简化
阐明
①以为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表达;
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动,
MA为限制转动。
8
§3-3 平面任意力系旳平衡条件与平衡方程
③ 平衡 R ' 0,M O 0;
n
合力矩定理
mO (R )mO (Fi )
i 1
37
三、平面一般力系旳平衡方程
一矩式
二矩式
三矩式
X 0 Y 0 mO (F )0
X 0 mA(F )0 mB (F )0
mA(F )0 mB (F )0 mC (F )0
A,B连线不 x轴 A,B,C不共线
平面平行力系旳平衡方程
N SB sin 0
Y 0
P SB cos 0
S
B
P
cos
,
N P tg
26
2、再研究轮
mO (F )0
S AcosRM 0 X 0
X O S Asin 0
Y 0
S Acos YO 0
M PR X O P tg YO P
[负号表达力旳方向与图中所设方向相反]
27
§3-5 考虑摩擦时旳平衡问题
2、以AB梁为平衡对象，受力分析 ，列平衡方程。
ΣX = 0，FAx = 0 ΣY = 0，FAy - 2qd - FBy =0
FAy = 2qd
ΣMA = 0， M A 2qd d 0
MA = 2qd 2
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
第3章 平面任意力系
第三章平面任意力系各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系。
平面力系包括平面汇交力系平面平行力系平面任意力系平面任意力系为力的作用线既不全部相交于一点，也不全部平行的平面力系。
本章主要研究平面任意力系的简化和平衡条件以及平衡问题的解法。
§3-1 平面任意力系向作用面内一点的简化一、力的平移定理定理作用在刚体上点A的力可以平行移动到刚体内任一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B之矩。
证明设一力F作用于刚体上A点。
在刚体上任取一点B，在B点加上大小相等、方向相反且与力F平行的两个力F′和F″，并使F′=F″=F 。
由静力学公理二可知，力系(F、F′、F″)与力F是等效的。
而力系(F、F′、F″)可看作是一个作用在B点的力F′和一个力偶(F、F″)。
于是原来作用在A 点的力F，现在被一个作用在B点的力F′和一个力偶(F、F″)所代替。
此附M = F·d即为原力F对B点之矩M B(F)=F·d，所以M=M B(F)例如：（1）丝锥攻丝，（2）打乒乓螺旋球二、平面任意力系向作用面内任一点的简化主矢和主矩设在刚体上作用有平面任意力系(F1、F2、……、F n)，在力系所在的平面内任取一点O，称为简化中心。
根据力线平移定理，将各力平移到O点。
于是得到一个汇交于O点的平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n)，及一个力偶矩分别为M1、M2、…、M n的附加平面力偶系，。
平面汇交力系可以合成为一个作用于O点的合力F′R，F′R等于力F′1、F′2、…、F′n的矢量和。
由于F1= F′1、F2=F′2、…、F n =F′n则F R′=F1 + F2 +……+ F n力矢F′R称为原平面任意力系的主矢。
主矢的大小和方向可用解析法确定。
取直角坐标系Oxy，根据合力投影定理可得F Rx′= F x1 + F x2 + … + F xn = ∑F xF Ry′= F y1 + F y2+ … + F yn = ∑F y主矢的大小和方向余弦为'=''='+='∑∑∑∑RyRRxRy x R F F j F F F i F F F F ),cos(,),cos()()(22对于附加力偶系，可将其合成为一个力偶， M O 等于各附加力偶矩的代数M O = M 1 + M 2 + … + M n又因 M 1= M O (F 1)，M 2= M O (F 2)，…，M n = M O (F n所以 M O = M O (F 1)+ M O (F 2)+…+M O (F n )= ∑M O (F )M O 称为原力系的主矩。
第3章 平面任意力系(课)45页PPT
例题3
G
FE FBx
FBy
FAy FAx
解： 静定的
1.取整体，受力分析
MCF0, 5rG2rFAx0
FCx FCy
解得 FAx2.5G
2.取杆AB，受力分析
Fx 0, FAxFBxFE0
FAy
? MAF0,
FAx 2rF B x2rF B yrE F 0
解得
FBx1.5G, FBy 2G
例题3
第三章 平面任意力系
一、力系向面内一点的简化 二、力系简化的最后结果 三、力系的平衡条件 四、物体系统的平衡
一、力系向面内一点的简化
动画
力线平移定理
一、力系向面内一点的简化
1. 力线的平移定理
A F
B=
A
d
F
F” B=
F’
B m
F’
作用在A点的力F
? 逆定理
作用在B点的力F + 附加力偶m =mB(F)
的主矩都等于零。
2. 平衡方程 (基本形式) FX =
FR=0
0
Mo = 0
FY = 0 mo(F) = 0
三个方程
可解三个 未知量
例题2
悬臂梁如图，A为固定端，设梁上作用均布载
荷q，在自由端B作用集中力F和力偶M，梁的跨
度为l，求固定端的约束力。
F
q
M 45
B
A
l
例题2
y
q FAx
A
MA
2. 静定和超静定问题
静定: 未知量数目= 独立平衡方程数 超静定: 未知量数目> 独立平衡方程数
一次超静定
二次超静定
一次超静定
三次超静定 静定
建筑力学讲义之平面任意力系_secret
3、平面任意力系3．1力的投影、力对点的矩3.1.1 力在坐标轴上的投影已知合力求分力公式：已知分力求合力公式：力投影的要点：力平移力在坐标轴上投影不变；力垂直于某轴，力在该轴上投影为零；力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对值为力的大小。
3.1.2 力对点的矩力F与距离d两者的乘积Fd来量度力F对物体的转动效应。
转动中心O称为力矩中心，简称矩心。
矩心到力作用线的垂直距离d，称为力臂。
改变力F绕O点转动的方向，作用效果也不同。
力F对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：（1）力的大小与力臂的乘积Fd。
（2）力使物体绕O点的转动方向。
M O(F)= ±Fd通常规定：逆为正，反之为负。
在平面问题中，力矩为代数量。
力矩的单位：米牛顿⋅（m N ⋅）或米千牛顿⋅（m kN ⋅）。
M O (F )=±2△AOB力矩在下列两种情况下等于零： （1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。
3．2平面任意力系的简化3.2.1 力的平移定理平面任意力系：指各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全平行的力系。
力的平移定理：作用在刚体上的力F ，可以平移到同一刚体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F 对新作用点之矩。
3.2.2平面任意力系向作用面内任一点简化设在物体上作用有平面一般力系F 1，F 2，…，F n ，如图3－1（a ）所示。
为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点o 作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到o 点（图3－1（b ）），得到一个平面汇交力系F 1′，F 2′，…，F n ′和一个附加的平面力偶系n 21,,,m m m 。
其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F 1′=F 1，F 2′=F 2，…，F n ′=F n各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O 点之矩，即,)( ,)( ,)(n 0n 202101F F F M m M m M m ===由平面汇交力系合成的理论可知，F 1′，F 2′，…，F n ′可合成为一个作用于O 点的力R ˊ，并称为原力系的主矢（图3－1（c ）），即R ′= F 1′+F 2′+…+F n ′= F 1+F 2+…+F n =∑F i （3－１）求主矢R ′的大小和方向，可应用解析法。
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YA 24(kN )
13
§3-4 物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念
平面汇交力系 X0
个独立
Y0
两个独立方程，只能求两
未知数。
平面力偶系 mi 0 一个独立方程，只能求一个独立未知数
X0 三个独立方程，只能求三个独
平面任意力系 Y0
mO(Fi)0
立未知数。
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）
4、应用实例：固定端（插入端）约束
雨搭
车刀
7
固定端（插入端）约束的简化
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动,M Nhomakorabea为限制转动。
8
§3-3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
（未知力系）
（已知力系）
平面汇交力系
力 (作用在简化中心)
平面力 偶 系
力偶 (作用在该平面上)
5
2、主矢和主矩
主R 矢 ' Fi 力系中各力的矢量和。
主M 矩 Om 1m 2m 3
m O (F 1)m O (F 2) m O (F i)
大小：R 'R 'x 2 R 'y 2( X )2 ( Y )2
①一矩式
②二矩式
③三矩式
条件：x 轴不AB 连线
条件：A,B,C不在 同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
10
[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
解：①选AB梁研究 ②画受力图（以后取整 体研究时受力图可以直 接画在整体结构原图上） ③列平衡方程并求解
由 m A(F i)0 P 2aN B3a0, N B2 3 P
由于 R =0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R '( X )2 ( Y )20 MOmO(Fi)0
9
平衡方程：
X0
Y0
mO(Fi)0
X0 mA(Fi)0 mB(Fi)0
mA(Fi)0 mB(Fi)0 mC(Fi)0
独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
14
[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
15
16
二、物系平衡的特点：
①物系静止，物系中每个单体也是平衡的。
②不仅求物体系的外力，也要求物体系内部 各物体间的内力。
③必须取多次研究对象，才能求出所要求的未知量。
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
3
说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
（例断丝锥）
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。
4
§3-2 平面任意力系的简化
1、简化过程
一般力系（任意力系）向一点简化 汇交力系+力偶系
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
17
例 试求图示静定梁在A、B、C三处的全部约束力。已 知d、q和M。注意比较和讨论图a、b、c三梁的约束力。
解：图中所示的各梁，都 是由两个刚体组成的刚体系 统。只考虑整体平衡，无法 确定全部未知约束力，因而 必须将系统拆开，选择合适 的平衡对象，才能确定全部 未知约束力。
d
FBy
FRC
q
解：1、取右边梁研究：
FBx A
ΣX= 0，FBx = 0
MA FAy
ΣMB = 0， qd d2FRC2d0
FRC
qd 4
B
F´Bx
FB'Fy´By
ΣY = 0，
FBy
3 qd 4
2、取左边梁研究： ΣX = 0，FAx = 0
ΣY = 0， ΣMA = 0，
FAyqdFB y74qd
12
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
Y0
解：1、研究AB梁 2、画受力图 3、列平衡方程
由 X 0 ,X A 0
YAR Bq a P 0
a m A (F ) 0 ;R B a q a 2 m P 2 a 0
解得：
RB 12 (kN )
MAFB y2dqd32d0
MA = 3qd 2。
21
讨论
d
d
d
d
拆开之前能不能将均布载荷简化为作用在B点的集中力？
X0 XA0
Y0 YBNBP0, YAP 3
11
将平面平行力系看成是平面一般力系的特例，
则 平面平行力系的平衡方程为： Y0
mO(Fi)0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影
恒等于零，即 X0
mA(Fi)0 二矩式
恒成立， 所以只有两个独立
方程，只能求解两个独立的未 mB(Fi)0
知数。
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
ΣX = 0，FAx = 0 ΣY = 0，FAy - 2qd - FBy =0
FAy = 2qd
ΣMA = 0， MA2qd d0
MA = 2qd 2
19
思考问题
2d
2d
1、 本例能不能先以系统整体为平衡对象，然后 再以AB或BC为平衡对象？
2、怎样检验本例所得结果的正确性？
20
FBx
C
d
dd
3平面任意力系
精品
第三章 平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交于一点 又不相互平行的力系叫平面任意力系∼。
[例] 曲柄滑块机构
空间结构若有对称面，且载荷 对称，也可简化成平面力系
2
§3-1 力线平移定理
力F
力系 F,F,F 力 F力偶 F， （ F）
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 F 平行移到任一
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FBx
B
C
2d
2d
FBy
FRC
解： 1. 将系统从B处拆开，先以 2. BC梁为研究对象；
受力分析 ，列平衡方程
q
FAx A
MA
F By
ΣX = 0， FBx = 0 ΣMB = 0，FRC = 0 ΣY = 0， FBy = 0
F´By B
F´Bx
2、以AB梁为平衡对象，受力分析 ，列平衡方程。
主矢 R 方向：
（移动效应）
tg1
Ry Rx
tg1
Y X
与简化中心位置无关
[因主矢等于各力的矢量和]
6
大小： MOmO(Fi)
主矩MO 转向：顺时针或逆时针 （转动效应） 与简化中心有关
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 3、结论：平面一般力系向平面内一点简化可以得到一个力 和一个力偶；该力作用在简化中心，大小和方向由力系的 主矢决定；该力偶等于力系对简化中心的主矩。