第六章 微分方程 第四节 高阶线性方程

( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ; (C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示:
y1 y3 , y2 y3
都是对应齐次方程的解,
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二者线性无关 . (反证法可证)
第四节
高阶线性方程
例2 已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 有三 个解 y1 x , y2 e x , y3 e 2 x , 求此方程满足初始条件
第 十 二 章 微 分 方 程
则 的解, , 为常数， y y 1 y 2 是n阶线性方程
f1 ( x ) f 2 ( x )
的解。
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第 十 y P ( x ) y Q( x ) y 0 二 章 的两个解, 则 y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x )
定理1. 若函数 y1 ( x ), y2 ( x ) 是二阶齐次线性方程
微 也是该方程的解. (叠加原理) 分 方 证: 将 y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x ) 代入方程左边, 得 程
[ C1 y1 C 2 y2 ] P ( x )[ C1 y1 C 2 y2 ]
Q( x )[ C1 y1 C 2 y2 ]
C1 [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ]
C 2 [ y2 P ( x ) y2 Q ( x ) y 2 ] 0
代入初始条件 y(0) 1 , y(0) 3, 得 C1 1 , C 2 2 ,
故所求特解为 y 2e 2 x e x .
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第四节
高阶线性方程
三 n阶线性方程的通解结构
n 阶线性微分方程的一般形式为
y
第 十 二 章 微 分 方 程
( n)
a1 ( x ) y
( 无妨设
k1 0 )
线性无关 由此可知
y1 ( x ) y2 ( x )
常数
函数 e ax , e bx ( a b ) 是线性无关的；
ax ax 函数 e , xe 是线性无关的；
函数 e a x co s b x , e a x sin b x ( b 0 ) 是线性无关的；
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证毕
第四节
高阶线性方程
说明:
y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x ) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
第 十 也是齐次方程的解 二 章 但是 微 分 方 程
并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
线性无关概念.
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第四节
y P ( x ) y Q( x ) y 0
的解。
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第四节
高阶线性方程
例1 设线性无关函数
都是二阶非齐次线
性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )的解, C1 ,C 2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
第 十 二 章 微 分 方 程
故方程的通解为
x
且
又例如 : 对 ( x 1 ) y ' ' xy ' y 0 , y 1 x , y 2 e 是方程
的两个解 , 则方程的通解为
: y c1 x c 2e .
x
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第四节
高阶线性方程
二 二阶非齐次线性方程解的结构
二阶非齐次线性方程一般形式
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
第四节
高阶线性方程
思考: 必线性 定理 2. 相关
中有一个恒为 0, 则 是二阶线性齐次方程的两个线
第 十 性无关特解, 则 y C1 y1 ( x ) C 2 y2 ( x ) 二 章 数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程 微 分 y2 常数, 方 y tan x 程 1
有特解
若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关.
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则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
第四节
高阶线性方程
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的
第 十 二 章 微 分 方 程
使
y1 ( x ) y2 ( x )

k2 k1
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第四节
高阶线性方程
பைடு நூலகம்
定理 6 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性
第 十 无关特解, 二 章 的通解为 微 分 方 程
是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
Y ( x) y ( x)

齐次方程通解
非齐次方程特解
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第四节
高阶线性方程
定理 7
分别是 n 阶线性方程
第 十 二 章 微 分 方 程
定理 3. 设 y * ( x ) 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y ( x) y * ( x)
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y Y ( x ) y * ( x ) 代入方程①左端, 得
( Y y * ) P ( x ) ( Y y * ) Q( x ) ( Y y * ) ( Y P ( x )Y Q( x )Y )
f ( x) 0 f ( x)
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第四节
高阶线性方程
故 y Y ( x ) y * ( x ) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
第 十 二 章 微 分 方 程
证毕
例如, 方程 y y x 有特解
对应齐次方程 y y 0 有通解
y(0) 1 , y(0) 3
第 十 二 章
的特解 .
e x
x
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且
y2 y1 y3 y1 e
2x
微 分 因而线性无关, 方 程
x

常数
故原方程通解为
x 2x
y C1 (e x ) C 2 (e
x)
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第四节
高阶线性方程
特别取 f ( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x ), 1 , 有 设 y1 ( x ), y2 ( x ) 为方程
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
第 十 二 章 微 分 方 程
则 的两个解， y1 y2 为方程
第四节
高阶线性方程
第四节 高阶线性方程
第 十 二 章 微 分 方 程
一 二阶齐次线性方程的通解结构
二 二阶非齐次线性方程的通解结构 三 n阶线性方程的通解结构
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第四节
高阶线性方程
一 二阶齐次线性方程的通解结构
二阶齐次线性方程一般形式
y P ( x ) y Q( x ) y 0
高阶线性方程
定义 设 y1 ( x ), y2 ( x ),, yn ( x )是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
第 十 二 章 微 分 方 程
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如，
是方程
y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f 2 ( x )
y 1 y 2 P ( x )[ y 1 y 2 ] Q ( x )[ y 1 y 2 ] [ y 1 P ( x ) y 1 Q ( x ) y 1 ] [ y 2 P ( x ) y 2 Q ( x ) y 2 ] f1 ( x ) f 2 ( x )
( n1)
an1 ( x ) y an ( x ) y f ( x )
f ( x) 0 f ( x) 0
时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.
定理 5
n k 1
是n阶齐次线性方程的
n个线性无关特解, 则 y C k yk ( x )
是该方程的通解.
Y C1 cos x C 2 sin x
因此该方程的通解为
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第四节
高阶线性方程
定理 4.
分别是方程
y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
第 十 二 章 微 分 方 程
的特解, , 为常数， 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) y P ( x ) y Q ( x ) y 证