青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-专题5.1 任意角和弧度制
高一数学(必修一)《第五章-任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3二、单选题2．终边与直线y x =重合的角可表示为（ ） A ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈ B ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ C ．135180,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．225360,k k Z ︒︒+⋅∈3．下列角中与116π-终边相同的角是（ ） A ．30-︒B ．40-︒C ．20︒D ．390︒4．下列说法正确的是（ ）A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当()224k k k Z ππαπ<<+∈时，则sin cos αα<5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．881πCD ．23π6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4πm肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为5m 41.414≈和1.732）（ ）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m三、填空题7．6730'︒化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为20cm ，面积为92cm ，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______2cm ．10．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成360,,0360k k βαα=+⋅︒∈︒≤<︒Z 的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）1320︒；（2）315-︒；（3）1500︒；（4）1610-︒．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：1690α=︒(1)把α表示成2k πβ+的形式[)()Z,02k βπ∈∈，；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且()4,2θππ∈--．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？ 15．已知扇形的周长为c ，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼地面上的弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m ，相邻楼层的间距为4m ，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为13.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程； (2)求异面直线AB 和CD 所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，则y 的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==解得2r =和8l =或4r =和4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线y x =重合的角可表示为45180,k k Z +⋅∈． 故选：A. 3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到113306π-=-︒，结合终边相同角的表示，即可求解. 【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得113306π-=-︒ 与角330-︒终边相同的角的集合为{|330360,}A k k Z αα==-︒+⋅︒∈ 令2k =，可得390α=︒所以与角330α=-︒终边相同的角是390α=︒. 故选：D. 4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可. 【详解】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，A 错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k ππαπ≤<+∈Z ，B 错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，C 错误；对于D ，当()224k k k ππαπ<<+∈Z 时，则sin cos αα<，D 正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解. 【详解】解：将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r =由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π. 故选：D. 6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB 的长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==则两手之间的距离()522sin 1.768m 44AB AD π==⨯⨯≈．故选：B ．7．38π【解析】根据角度制与弧度制的关系180π︒=，转化即可. 【详解】180π︒= 1180π︒∴=36730'67.567.51808ππ︒∴︒==⨯=故答案为：38π 【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 8．9cm【分析】由题意设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由扇形的周长、面积可得1(202)92r r -=，解出r 后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ ∵220l r +=，∴202l r =-∴192lr =，即1(202)92r r -=，解得1r =或9r = 当1r =时，则18l =，则181821l r θπ===>，不合题意，舍去； 当9r =时，则2l =，则229l r θπ==<，符合题意. 故答案为：9cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意30r =cm ， 2.4lr=所以 2.472l r ==cm ，所以117230108022S lr ==⨯⨯=2cm ；故答案为：108010 【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离. 【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则60AOO '∠= ,故AO '=,即北纬30°R由题意可知2π1203AO B '∠==故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长故AB 的长为2π3R =11．（1）132********︒=︒⨯+︒，第三象限； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，第一象限； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，第一象限； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1）132********︒=︒⨯+︒，因为240︒的角终边在第三象限，所以1320︒是第三象限角； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，因为45︒的角终边在第一象限，所以315-︒是第一象限角； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，因为60︒的角终边在第一象限，所以1500︒是第一象限角； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，因为190︒的终边在第三象限，所以1610-︒是第三象限角. 12．(1)254218α=⨯π+π； (2)4718θπ=-.【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式. (2)由(1)可得252,(Z)18k k θππ=+∈，再按给定范围求出k 值作答. (1)依题意，169251690169081801818παπππ=︒=⨯==+ 所以254218α=⨯π+π. (2)由(1)知252,(Z)18k k θππ=+∈，而(4,2)θππ∈--，则25422,()18k k Z ππππ-<+<-∈，解得2k =- 所以254741818θ=-π+π=-π. 13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解. 【详解】设扇形弧长为l ，因为圆心角272721805ππ︒⨯=＝rad 所以扇形弧长2·2085l r παπ⨯=＝＝ 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 14．（1）103π；（2）12；（3）=10,=2l α 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝(cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝lR ＝ (20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，则S 取得最大值25 此时l ＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为2rad 时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长公式，求得2l c r =-，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l 则2l r c +=，即2(0)2c l c r r =-<<由扇形的面积公式12S lr =，代入可得222111(2)()22416c S c r r r cr r c =-=-+=--+当4c r =时，则即22cl c r =-=时，则面积S 取得最小值此时2l rad r α==，面积的最小值为2c 16.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．(1)2πm【分析】（1）过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，结合题意计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB 和CD 的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. （1）如图，过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影 故BAB '∠即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以1sin 3BAB '∠=.因为4BB AM '==，所以AB '=在AOB '中8OA OB ='=，所以AOB '是等腰直角三角形 连接1O ，B ，1O M ，则1π2BO M AOB '∠=∠= 因为BC CM =，所以BC 的长为π82π4⨯= 故此顾客在二楼地面上步行的路程为2π m . （2）连接2OO ，由（1）可知所在直线两两互相垂直.以O 为原点OB '，OA 和2OO 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()8,0,4B ()0,8,0A 与()C 和()D -，所以()8,8,4AB =- ()4CD =-. 设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则·42cos cos ,=9AB CD AB CD AB CDθ==故异面直线AB 和CD 17．(1)22(02)2x x x θ+=<<+； (2)当12x =时，则y 的值最大，最大值为94．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式；(2)根据面积公式求出y 关于x 的函数表达式，根据二次函数性质可得y 的最大值． (1)根据题意，弧BC 的长度为x θ米，弧AD 的长度2AD θ=米2(2)26x x θθ∴-++=∴22(02)2x x x θ+=<<+． (2)依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简得：22y x x =-++ 02x <<∴当12x =，则2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，则y 的值最大，且最大值为94．。
2020年人教A版高中数学必修第一册5.1 任意角及弧度制(解析版)
5.1 任意角及弧度制运用一 基础概念理解【例1】（2019·湖南高一期末）下列说法正确的是（ ） A.小于90︒的角是锐角B.钝角是第二象限的角C.第二象限的角大于第一象限的角D.若角α与角β的终边相同，则,απβ=+∈k k Z 【答案】B【解析】A ：负角不是锐角，比如“30-︒”的角，故错误； B ：钝角范围是“90180α︒<<︒”，是第二象限的角，故正确； C ：第二象限角取“91︒”，第一象限角取“361︒”，故错误； D ：当角α与角β的终边相同，则2,k k Z απβ=+∈.故选：B. 【触类旁通】1．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，那么A ，B ，C 的关系是（ ） A.B =A ∩C B.B ∪C =C C.A ⊆B ∩C D.A =B =C【答案】B【解析】∵A ={第一象限角}={α|k ⋅360∘<α<k ⋅360∘+90∘,k ∈Z}；B ={锐角}={α|0∘<α<90∘}；C ={小于90°的角}={α|α<90∘}．∴B ∪C ＝{小于90°的角}＝C ，即B ⊂C ，且B ⊂A ，则B 不一定等于A ∩C ，A 不一定是C 的子集，三集合不一定相等， 由集合间的关系可得B ∪C =C ．故选B ．运用二 终边相同的角【例2】(1)如果α=−21∘，那么与终边相同的角可以表示为 A.{β|β=k ⋅360∘+21∘,k ∈Z } B.{β|β=k ⋅360∘−21∘,k ∈Z } C.{β|β=k ⋅180∘+21∘,k ∈Z }D.{β|β=k ⋅180∘−21∘,k ∈Z } (2)终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z}B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z}C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z}D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z}(3)（2019春•南京期中）若角α＝m•360°+60°，β＝k•360°+120°，（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（）A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【答案】(1)B(2)D(3)D【解析】根据终边相同的角相差360∘的整数倍，故与角α有相同终边的角为k⋅360∘+α(k∈Z)，所以α=−21∘，表示为k⋅360∘−21∘(k∈Z)，故选B.(2)直线y＝﹣x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝﹣x上的角有两个：135°，315°．因此，终边在直线y＝﹣x上的角的集合S＝{α|α＝135°+k•360°，k∈Z}∪{α|α＝315°+k•360°，k∈Z}＝{α|α＝135°+2k•180°，k∈Z}∪{α|α＝135°+（2k+1）•180°，k∈Z}＝{α|α＝135°+k•180°，k∈Z}．或者表示为S＝{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．故选：D．(3)α的终边和60°的终边相同，β的终边与120°终边相同，∵180°﹣120°＝60°∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称，故选：D．【触类旁通】1．与角－1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________.【答案】240°－120°【解析】根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与﹣1560°终边相同的角可表示为：{α|α＝k•360°﹣1560°，k∈Z}．则当k＝4时，α＝4×360°﹣1560°＝﹣120°，此时为最大的负角．当k＝5时，α＝5×360°﹣1560°＝240°，此时为最小的正角．故答案为：240°，﹣120°2.（2018春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A．﹣398°，1042°B．﹣398°，142°C．﹣398°，38°D．142°，1042°【答案】A【解析】由题意，﹣398°＝322°﹣2×360°，1042°＝322°+2×360°，142°，38°；这四个角中，终边相同的角是﹣398°和1042°．故选：A．3.已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x﹣y＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x轴对称，则β＝．【答案】见解析【解析】如图，设α＝﹣30°所在终边为OA，则关于直线x﹣y＝0对称的角β的终边为OB，终边在OB上的最小正角为120°，故β＝120°+k•360°，k∈Z；关于y轴对称的角β的终边为OC，终边在OC上的最小正角为210°，故β＝210°+k•360°，k∈Z；关于x轴对称的角β的终边为OD，终边在OD上的最小正角为30°，故β＝30°+k•360°，k∈Z．故答案为：120°+k •360°，k ∈Z ；210°+k •360°，k ∈Z ；30°+k •360°，k ∈Z ．运用三 角所在象限【例3】（1）（2019·湖南高一期末）179︒是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角（2）（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限【答案】（1）B （2）C【解析】（1）1791801︒︒︒=-，所以179︒表示第二象限角，故选B ． （2）∵α是第二象限角，∴k •360°+90°＜α＜k •360°+180°，k ∈Z ， 则k •180°+45°＜＜k •180°+90°，k ∈Z ，令k ＝2n ，n ∈Z 有n •360°+45°＜＜n •360°+90°，n ∈Z ；在一象限；k ＝2n +1，n ∈z ，有n •360°+225°＜＜n •360°+270°，n ∈Z ；在三象限；故选：C ．【触类旁通】1.（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则的终边所在位置不可能是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．笫象限【答案】C【解析】∵α是第二象限角，∴90°+k •360°＜α＜180°+k •360°，k ∈Z ． 则30°+k •120°＜＜60°+k •120°，k ∈Z ．当k ＝0时，30°＜＜60°，α为第一象限角；2α3α当k ＝1时，150°＜＜180°，α为第二象限角；当k ＝2时，270°＜＜300°，α为第四象限角．由上可知，的终边所在位置不可能是第三象限角．故选：C ．2.（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则是（ ）A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【答案】C【解析】∵α是第三象限角，∴180°+k •360°＜α＜270°+k •360°，k ∈Z ， ∴﹣135°﹣k •180°＜﹣＜﹣90°﹣k •180°，∴﹣是第一或第三象限角．故选：C ．运用四 弧度制的理解【例4】（2019春•历城区校级月考）下列命题中，真命题的是( ) A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 【答案】D【解析】根据弧度的定义知：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 故选：D ．2α-【触类旁通】1.（2019春•静安区期末）下列选项中，错误的是( ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的 C ．根据弧度的定义，180度一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关 【答案】D【解析】“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，判断正确；一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，满足两种角的度量定义，正确； 根据弧度的定义，180度一定等于π弧度，满足两种角的度量关系，正确； 不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关，不正确；故选：D ．运用五 角度与弧度的转化【例5-1】（2019春•微山县校级月考）将下列弧度转化为角度：角度化为弧度： （1）12π= ； （2）136π= ；（3）512π-= ． （4）36︒= rad ；（5）105-︒= rad ． 【答案】：15°，390°，﹣75°，．【解析】∵π＝180°， ∴；；；36°＝36×；．【例5-2】（2019·榆林市第二中学高一期末）下列各角与3π终边相同的角是（ ） A ．43π B ．53π C ．43π-D ．53π-【答案】D 【解析】与3π终边相同的角可表示为()23k k Z πβπ=+∈，当1k =-时，53πβ=- 136012π136012π故选D【触类旁通】1．1 920°的角化为弧度数为( )A.163B.323C.163π D.323π【答案】D【解析】∵1°＝π180rad ，∴1 920°＝1 920×π180rad ＝323π rad.2．（2019·上海市三林中学高一月考）与角136π终边相同的最小正角大小是_________ 【答案】6π 【解析】所有与角136π终边相同的角是α =132,6k k Z ππ+∈ ，令1k =- 即得到最小的正角，即6π。
青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-第八讲 函数的最值
第八讲 函数的最值【学习目标】1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).2.会借助单调性求最值(重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点)． 知识点 函数的最大值与最小值题型一 用图象法和函数的单调性求函数的最值例1、(1)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x≤1，1x ，x>1.则f(x)的最大值、最小值分别为________，________.(2)求函数f(x)＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值．(1)解析 作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x ＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0. 答案 1 0(2)解 任取2≤x 1<x 2≤5， 则f(x 1)＝x 1x 1－1，f(x 2)＝x 2x 2－1， f(x 2)－f(x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)， ∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0， ∴f(x 2)－f(x 1)<0，∴f(x 2)<f(x 1)． ∴f(x)＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数． ∴f(x)max ＝f(2)＝22－1＝2，f(x)min ＝f(5)＝55－1＝54.规律方法1.图象法求最值的步骤2．利用函数的单调性求最值的两个易错点(1)求函数的最值时应首先求函数的定义域，在定义域内进行．(2)求函数在闭区间上的最值，易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入，认为是函数的最值． 【训练1】 已知函数f(x)＝x ＋1x.(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值． (1)证明 设1≤x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2.∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴x 1x 2－1＞0，∴f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)． ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(2)解 由(1)可知，f(x)在[1,4]上递增， ∴当x ＝1时， f(x)min ＝f(1)＝2， 当x ＝4时， f(x)max ＝f(4)＝174. 综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是174，最小值是2.题型二 函数最值的实际应用例2、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝⎩⎨⎧400x －12x 2(0≤x≤400)，80 000 (x ＞400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f(x)＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20 000(0≤x≤400)，60 000－100x (x ＞400).(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x －300)2＋25 000；∴当x ＝300时，f(x)max ＝25 000，当x ＞400时，f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x ＝300时 ，f(x)max ＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元． 规律方法 求解实际问题的四个步骤(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题．(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．特别提醒：求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤．【训练2】某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为8020t吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？解设t小时后，池中水量为y吨，则y＝450＋80t－8020t＝4(20t－10)2＋50，当20t＝10，即t＝5时，y＝50，min所以5小时后蓄水池中水量最少，最少为50吨.题型三二次函数的最值【探究1】(1)求函数y＝x2－2x＋2的单调区间．(2)求函数y＝－x2－2x＋2的单调区间．解(1)函数y＝x2－2x＋2是开口向上，对称轴为x＝1的抛物线，故其单减区间是(－∞，1)，单增区间是(1，＋∞)．(2)函数y＝－x2－2x＋2的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，故其单减区间是(－1，＋∞)，单增区间是(－∞，－1)．【探究2】函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？解函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为x＝1，(1)因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最大值为f(－1)＝5，最小值为f(0)＝2；(2)因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5.(3)因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5.【探究3】 已知函数f(x)＝x 2－ax ＋1，(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f(x)在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最小值． 解 (1)因为函数f(x)＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值， 当a 2≤12，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a ； 当a 2>12，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1. (2)当a ＝1时，f(x)＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12.①当t≥12时，f(x)在[t ，t ＋1]上是增函数，∴f(x)min ＝f(t)＝t 2－t ＋1；②当t ＋1≤12，即t≤－12时，f(x)在上是减函数，∴f(x)min ＝f(t ＋1)＝t 2＋t ＋1；③当t<12<t ＋1，即－12<t<12时，函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f(x)min ＝f⎝⎛⎭⎪⎫12＝34.规律方法含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．课堂小结1．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．2．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．。
新高考高中数学必修一-任意角和弧度制同步测试题(含解析)
人教A 版（2019）必修第一册 5.1 任意角和弧度制一、单选题1．已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“角A 小于2π”是“角A 是第一象限角”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3．下列选项中，满足αβ<的是（ ） A ．1α=，2β=︒ B ．1α=，60β=-︒ C ．225α=︒，4β= D ．180α=︒，πβ=4．下列各组的两个角中，终边不相同的一组角是（ ） A ．-56°与664° B ．800°与-1360° C ．150°与630° D ．-150°与930°5．角α和β满足关系：2()k k αππβ=+-∈Z ，则角α与β的终边（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上答案都不对6．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ） （1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长； （3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长； （4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等； （5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．半径为1cm ，圆心角为120︒的扇形的弧长为（ ） A ．1cm 3B ．2cm 3C ．cm 3πD ．2cm 3π8．已知()1,4k k k πθααπ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ，则角θ的终边所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第三或第四象限9．如图所示的时钟显示的时刻为4:30，此时时针与分针的夹角为()0ααπ<≤．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为（ ）A ．2πB ．4π C ．8π D ．16π10．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．154π D ．52π11．下列说法：①终边相同的角必相等；①锐角必是第一象限角；①小于90︒的角是锐角；①第二象限的角必大于第一象限的角；①若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是第三或第四象限角，其中错误的是（ ） A ．①①①B ．①①①C ．①①①①D ．①①①①{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（ ）A ．AB =∅ B ．B①AC ．A①BD ．A B =二、填空题13．已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈.现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 _______．14．已知角2020α=-︒，则与α终边相同的最小正角是______．15．大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.16．已知扇形的周长为16cm ，面积为162cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为___________.三、解答题17．已知扇形的周长为20cm ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数．18．一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形面积最大，并求此扇形的最大面积.19．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图7-1-7所示）．20．把下列各角化为2(02,)k k πααπ+<∈Z 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合． （1）463π-； （2）1485-︒；21．分别写出当角α在第四象限时，角2α的所在象限．参考答案：1．C根据第二象限横纵坐标的正负值判断得sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩再判断角β的象限即可.【详解】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选：C本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题. 2．D利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若角A 小于2π，取4A π=-，此时，角A 不是第一象限角，即“角A 小于2π”⇒“角A 是第一象限角”；若角A 是第一象限角，取24A ππ=+，此时，2A π>，即“角A 小于2π”⇐/“角A 是第一象限角”. 因此，“角A 小于2π”是“角A 是第一象限角”的既不充分也不必要条件.故选：D. 3．C先判断出B ，D 不满足αβ<；然后利用角度制与弧度制的互化，判断出C 正确． 【详解】解：对于选项B ，有αβ>， 对于D ，有αβ=； 对于A ，因为1801()2π=︒>︒，所以满足αβ>， 对于C ，因为18044()225π=⨯︒>︒，满足αβ<．故选：C ． 4．C利用终边相同的两个角符合的规律逐一判断各选项即可得解. 【详解】因终边相同的两个角总是相差360的整数倍，对于A ，664(56)7202360--==⋅，即角-56°与664°终边相同，A 不正确； 对于B ，800(1360)21606360--==⋅，即角800°与-1360°终边相同，B 不正确； 对于C ，6301504801360120-==⋅+，即角150°与630°终边不相同，C 正确； 对于D ，930(150)10803360--==⋅，即角-150°与930°终边相同，D 不正确， 所以角150°与630°终边不相同. 故选：C 5．B根据终边相同角的定义判断可得； 【详解】解：因为角α和β满足关系：2()k k αππβ=+-∈Z ， 因为β与πβ-的终边关于y 轴对称， 而2()k k αππβ=+-∈Z 与πβ-的终边相同， 所以角α与β的终边关于y 轴对称 故选：B 6．B若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论. 【详解】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12， （1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为1326ππ⨯⨯=，圆的周长为122ππ⨯=，故它们的周长相等，正确； （5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166ππ⨯=，正三角形的面积1112S =⨯⨯，则一个弓形面积6S π=则整个区域的面积为3(62ππ= 而圆的面积为2124ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 7．D利用扇形弧长公式直接计算即可. 【详解】圆心角120︒化为弧度为23π， 则弧长为221cm 33ππ⨯=. 故选：D.8．C利用终边相同的角的概念，对当k 是奇数和偶数进行分类讨论，即可得解. 【详解】由已知，()1,4k k k πθααπ⎧⎫∈=+-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z ，当()2k m m =∈Z 时，24m πθπ=+，即角θ的终边在第一象限；当()21k m m =+∈Z 时，324m πθπ=+，即角θ的终边在第二象限． 所以角θ的终边在第一或第二象限． 故选：C 9．C求出α的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积. 【详解】由图可知，1284παπ=⨯=，所以该扇形的面积212481S ππ=⨯⨯=．故选：C. 10．B把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算． 【详解】 21203π︒=．2123323S ππ=⨯⨯=． 故选：B ． 11．C①取特殊角：0︒与360︒进行判断；①根据锐角的范围直接判断； ①取负角进行否定； ①取特殊角进行否定； ①取特殊角进行否定． 【详解】①终边相同的角必相等错误，如0︒与360︒终边相同，但不相等； ①锐角的范围为(0,90)︒︒，必是第一象限角，正确； ①小于90︒的角是锐角错误，如负角；①第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120︒是第二象限角，390︒是第一象限角； ①若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是终边在y 轴负半轴上的角，故①错误． 其中错误的是①①①①． 故选C ．（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论. 12．D考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 45180,k k Z α=︒+⋅︒∈ 表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈ 表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈ 表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥ ， 它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =. 故选：D.本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题. 13．2π-先明确1小时是60分钟，得到分针转过的角度，再算出弧度数. 【详解】因为1小时是60分钟，分针正好转过一周360-， 所以转过的角的弧度数是2π-. 故答案为：2π-本题主要考查弧度制，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14．140°先求出与α终边相同角的集合，再通过解不等式进行求解即可. 【详解】与2020α=-︒终边相同的角的集合为{}2020360,k k Z θθ=-︒+⋅︒∈， 令20203600k -︒+⋅︒>︒，解得10118k >，故当6k =时，140θ=︒满足条件． 故答案为：140° 15．285-︒根据终边相同的角的概念进行判断. 【详解】大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是285-︒. 故答案为：285-︒本题考查终边相同的角，属于基础题. 16．2设扇形圆心角为α，半径为r ，列方程组求出α的值．【详解】解：由扇形的周长为16cm ，面积为216cm ，可设扇形圆心角为α，且(0,2)απ∈，半径为r ， 则22161162r r r αα+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩， 解得24r α=⎧⎨=⎩所以2α=．故答案为：2．17．面积最大值为225cm ，此时圆心角弧度数为2设扇形的半径为R ，弧长为l ，依题意有220l R +=，利用扇形面积公式12S lR =扇形，利用基本不等式即可求得答案．【详解】解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则220l R +=．()()()210112021025222R R S lR R R R R -+⎡⎤==-⋅=-⋅=⎢⎥⎣⎦扇形（当且仅当5R =时取等号）． S 扇形最大值为25，此时5R =，10l =．故扇形圆心角的弧度数2l Rα==． 所以扇形面积最大值为225cm ，此时圆心角弧度数为2.18．2α=弧度，最大面积225cm设扇形的半径为r ，得出弧长为202,010r r -<<，确定扇形面积函数式，利用二次函数的性质，求出面积最大时半径和弧长的值，即可得出结论【详解】设扇形的半径为r ，其周长为20，则扇形弧长为202r -，且2020,010r r ->∴<<， 扇形面积221(202)10(5)252S r r r r r =-=-+=--+， 当=5r ，1025α==时，S 取最大值为25， 所以圆心角为2弧度时，扇形面积最大为25.本题考查扇形面积、弧长公式的应用、以及二次函数的最值，合理设元是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.19．（1）522,612k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （2）3322,44k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （3）,62k k k ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．将角度化成弧度，结合任意角概念表示出来即可.【详解】对图（1），可看作5,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角概念，可表示为522,612k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 对图（2），可看作33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦范围内的角，结合任意角概念，可表示为3322,44k k k ππαπαπ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 对图（3），可看作由,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的范围角，经过旋转半圈整数倍形成的角，故可表示为,62k k k ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．20．（1）第二象限角，终边相同的角的集合为22,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（2）第四象限角．终边相同的角的集合为72,4k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣；（3）第四象限角，终边相同的角的集合为{2(820),}k k ββππ=+-∈Z ∣．利用与角α终边相同的角的集合的结论，即可得出结果.【详解】（1）4628233πππ-=-⨯+，它是第二象限角，终边相同的角的集合为22,3k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣． （2）714855*********ππ-︒=-⨯︒+︒=-⨯+，它是第四象限角．终边相同的角的集合为72,4k k πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣． （3）2042(820)ππ-=-⨯+-，而382022πππ<-<． 所以20-是第四象限角，终边相同的角的集合为{2(820),}k k ββππ=+-∈Z ∣． 21．答案见解析由终边相同的角和象限角的定义进行判断即可【详解】（1）当角α在第一象限时，即22,2k k k Z ππαπ<<+∈，则,24k k k Z απππ<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，22,24n n n Z απππ<<+∈，则2α为第一象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，(21)(21),24n n n Z απππ+<<++∈，即522,24n n n Z αππππ+<<+∈，则角2α为第三象限的角， 综上，角2α在第一或第三象限； （2）当角α在第二象限时，即22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ，则,422k k k αππ+π<<+π∈Z ， 当2k n =（n Z ∈）时，22,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2α为第一象限的角，当21k n =+（n Z ∈）时，(21)(21),422n n n Z παπππ++<<++∈，即5322,422n n n Z παπππ+<<+∈，则 2α为第三象限的角， 综上，角2α在第一或第三象限； （3）当角α在第三象限时，即322,2k k k Z πππαπ+<<+∈，则3,224k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，322,224n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第二象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，3(21)(21),224n n n Z παπππ++<<++∈，即3722,224n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第四象限的角， 综上，角2α在第二或第四象限； （4）当角α在第四象限时，即3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则3,42k k k Z παπππ+<<+∈， 当2k n =（n Z ∈）时，322,42n n n Z παπππ+<<+∈，则2α为第二象限的角， 当21k n =+（n Z ∈）时，3(21)(21),42n n n Z παπππ++<<++∈，即 7222,42n n n Z παπππ+<<+∈，则2α在第二或第四象限， 综上，角2α在第二或第四象限。
2020-2021学年高一数学课时同步练习第五章第1节任意角和弧度制
第五章 三角函数 第1节 任意角和弧度制一、基础巩固1．（2020·南昌县莲塘第二中学期末）下面与角233π终边相同的角是（ ） A ．43π B ．3π C ．53π D ．23π 【答案】C 【解析】解：因为235633πππ=+.所以233π与53π的终边相同.2．（2020·山东省五莲县第一中学月考）300-化为弧度是（ ） A ．43π-B ．53π-C ．23π-D ．56π-【答案】B 【解析】300530023603ππ-=-⨯=-3．（2020·辽宁大连·高一期末）若42ππα<<，则点()cos sin ,sin tan P αααα--位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由42ππα<<知：cos sin 1tan ααα<<<∴cos sin 0αα-<，sin tan 0αα-< 故，P 位于第三象限4．（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ）． A ．8cm 2 B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A【解析】解：设扇形的半径为r cm ， ∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ， ∴2412r r +=，得2r，∴此扇形的面积214282S =⨯⨯=（cm 2）5．（2019·新疆高一期末）若sin cos 0αα⋅>，则角α的终边在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限【答案】B【解析】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩当sin α>0cos α>0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第一象限，当sin α<0cos α<0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第三象限. 6．（2020·河南商丘·月考（理））中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（ ） A ．7点36分 B ．7点38分C ．7点39分D ．7点40分【答案】B【解析】设7点t 分()060t <<时针OA 与分针OB 重合. 在7点时，时针OC 与分针OD 所夹的角为210︒， 时针每分钟转0.5︒，分针每分钟转6︒，则分针从OD 到达OB 需旋转6t ︒，时针从OC 到达OA 需旋转0.5t ︒， 于是60.5210t t ︒=︒+︒，解得2383811t =≈（分）7．（2020·安徽省泗县第一中学开学考试）已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值为（ ） A ．1B ．－1C ．22D ．－22【答案】B【解析】因为角α终边过点P (1，－1)， 所以由正切函数定义知1tan 1α-=＝－1. 8．（2020·天水市第一中学期中）如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．B ．sin0.5C ．2sin0.5D ．tan0.5【答案】A【解析】设圆的半径为r ，则有sin0.51r ⋅=，可得1sin 0.5r =，所以这个圆心角所对的弧长为11sin 0.5r ⋅=，故选A ．9．（2020·广东高一期末）下列说法正确的是（ ） A ．终边相同的角一定相等 B ．831-︒是第二象限角C ．若角α，β的终边关于x 轴对称，则360αβ+=︒D ．若扇形的面积为35π，半径为2，则扇形的圆心角为310π 【答案】D【解析】A ：1,361︒︒两个角的终边相同，但是这两个角不相等，故本说法错误；B ：8313360249︒︒-︒=-⨯+，而180249270︒︒︒<<，所以831-︒是第三象限角，故本说法错误；C ：当1,1αβ︒︒==-时，两个角的终边关于x 轴对称，而0360αβ+=︒≠︒，故本说法错误；D ：设扇形的弧长为l ，因为扇形的面积为35π，半径为2，所以有3132525l l ππ=⨯⇒=，因此扇形的圆心角为3210l π=. 10．（2020·湖北黄冈·高一月考）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin22.513︒≈，1尺=10寸）（）A．6.33平方寸B．6.35平方寸C．6.37平方寸D．6.39平方寸【答案】A【解析】连接OC，设半径为r，5AD=寸，则1OD r=-在直角三角形OAD中，222OA AD OD=+即()22251r r=+-，解得13r=则5sin13AOC∠=，所以22.5AOC∠=则222.545AOB∠=⨯=所以扇形OAB的面积21451316966.333608Sππ⨯⨯===三角形OAB的面积211012602S=⨯⨯=所以阴影部分面积为1266.3360 6.33S S-=-=11．（2020·安徽高三月考（文））达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A、B间的圆弧长为l、嘴角间的距离为d、圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（）A．sin2=dlθθB．2sin2=dlθθC．cos2=dlθθD．2cos2=dlθθ【答案】B【解析】设该圆弧所对应的圆的半径为r ，则2sin2r d θ=，⋅=r l θ，两式相除得2sin2=dlθθ 12．（2020·永州市第四中学高一月考）点P 从(1,0)点出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A ．13,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意可知1r =， 根据三角函数的定义可知1cos32x r π==，3sin 3y r π==， 所以点Q 的坐标是13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.13．（2020·广东梅州·高三其他（理））在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm【答案】B【解析】如图所示，AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，则643258AB cm =⨯=15CD cm =设弧AB 所在圆的半径为r ，则222()r r CD AC =-+22(15)129r =-+解得562r cm ≈129sin 0.23562AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，AB 长5620.46258.5≈⨯≈所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π≈⇒<所以弧长5622946π<⨯≈.14．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）设2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】∵2α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角，∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角.15．（2020·上海高三专题练习）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】如图所示：由题意可知，小圆1O 总与大圆O 相内切，且小圆1O 总经过大圆的圆心O ， 设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处的位置为点M '， 则大圆圆弧MA 与小圆M 转过的圆弧相等，以切点A 在如图上运动为例，记直线OM 与此时小圆1O 的交点为1M ， 记0,2AOM πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则1111OM O M OO θ∠=∠=， 所以111111M O A M OO OM O ∠=∠+∠2θ=，所以大圆圆弧MA 的长为11l θθ=⨯=，小圆圆弧1AM 的长为2122l θθ=⨯=， 所以12l l =，所以小圆的圆弧1AM 与圆弧AM '的长相等，所以点1M 与点M '重合，即动点M 在线段MO 上运动， 同理可知，此时点N 在与MO 垂直的线段上运动，点A 在其它位置类似可得，M 、N 的轨迹为互相垂直的线段. 观察四个选项可知，只有选项A 符合.16．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列与412︒角的终边相同的角是（ ） A ．52︒ B ．778︒ C ．308-︒ D ．1132︒【答案】ACD【解析】因为41236052=︒︒+︒，所以与412︒角的终边相同角为36052,k k Z β=⨯︒+︒∈， 当1k =-时，308β=-︒， 当0k =时，52β=︒， 当2k =时，772β=︒， 当3k =时，1132β=︒， 当4k =时，1492β=︒， 综上，选项A 、C 、D 正确.17．（多选题）已知α是第三象限角，则2α可能是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】BD【解析】因为α是第三象限角，所以3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 3224k k παπππ∴+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，2α是第二象限角；当k 为奇数时，2α是第四象限角 18．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π C ．1rad 的角比1的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】ABC【解析】由题意，对于A 中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以是正确的； 对于B 中，周角为360，所以1的角是周角的1360，周角为2π弧度，所以1rad 的角是周角的12π是正确的；对于C 中，根据弧度制与角度制的互化，可得1801rad 1π=>，所以是正确；对于D 中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D 项是错误的. 19．（多选题）（2020·重庆高一月考）设α是第三象限角，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD 【解析】α是第三象限角，360180360270k k α∴⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，则180901801352k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，令2k n =，n Z ∈ 有360903601352n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在二象限；21k n =+，n z ∈，有3602703603152n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在四象限；二、拓展提升1．（2020·浙江课时练习）若点(2,3)(0)P m m m -<在角α的终边上，求sin ,cos ,tan ααα的值． 【解析】由题意，知点(2,3)(0)P m m m -<在第二象限，且r =．故3sinm r α-=== 2cosm r α===33tan 22m m α-==-． 2．（2020·全国高一课时练习）已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z αα=+⋅∈， 终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z αα=+⋅∈；（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈.3．（2020·全国高一课时练习）写出终边在直线3y x =上的角的集合. 【解析】直线33y x =的倾斜角为6πα=，所以终边在直线33y x =上的角为=2,6k k Z πβπ+∈或7=2,6k k Z πβπ+∈， =2(21),66k k k Z ππβπππ++=++∈，综合得终边在直线33y x=上的角为=,6k k Z πβπ+∈， 所以终边在直线33y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z πββπ+∈.4．（2020·南昌县莲塘第二中学期末）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度. （1）求这个圆心角所对的弧长； （2）求这个扇形的面积.【解析】∵扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角α=2弧度，∴扇形半径为1sin1r =． （1）这个圆心角所对的弧长为122sin1sin1l r α==⨯=． （2）扇形面积为21121122sin1sin1sin 1S lr ==⨯⨯=．。
山东省青岛市第二高级中学高一数学理模拟试题含解析
山东省青岛市第二高级中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为()A．27 B．11C．109 D．36参考答案：D略2. 为了得到函数f（x）=log2（﹣2x+2）的图象，只需把函数f（x）=log2（﹣2x）图象上所有的点( )A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度参考答案：D考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：先将函数f（x）=log2（﹣2x+2）化成y=log2[﹣2（x﹣1）]，然后和函数y=log2（﹣2x）比较看x的变化．解答：解：函数f（x）=log2（﹣2x+2）化成y=log2 [﹣2（x﹣1）]，和函数y=log2（﹣2x）相比，x 的变化是减1，根据左加右减，所以将函数y=log2（﹣2x）的图象向右平移1个单位得到f（x）=log2（﹣2x+2）的图象．故选D．点评：本题考查了图象在x轴方向上的平移变换，一般是先研究x的变化，需要先将函数式适当变形再来判断，根据“左加右减”进行3. 已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【分析】推导出g（x）=﹣log b x=log x， =a，由此利用指数函数、对数函数的图象和性质能求出结果．【解答】解：g（x）=﹣log b x=log x，∵a＞0，b＞0且ab=1，∴当a＞1时， =a＞1，此时函数f（x）=a x的图象过点（0，1），图象在x轴上方，是增函数，g（x）=﹣log b x的图象过点（1，0），图象在y轴左侧，是增函数，B满足条件；当0＜a＜1时，=a∈（0，1），此时函数f（x）=a x的图象过点（0，1），图象在x轴上方，是增减数，g（x）=﹣log b x的图象过点（1，0），图象在y轴左侧，是减函数，都不满足条件．故选：B．4. 集合，集合，Q=则P与Q的关系是（）A.P=QB.P QC.D.参考答案：C5. 在平面上，,,,若,则的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：D6. 在边长为1的等边三角形△ABC的BC边上任取一点D，使成立的概率为（）A．B． C. D．参考答案：B7. 已知（）A B C D参考答案：B8. 函数y=﹣x2﹣4mx+1在[2，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，﹣1] D．（1，+∞）参考答案：A【考点】二次函数的性质．【分析】求出二次函数的对称轴，利用函数的单调性列出不等式求解即可．【解答】解：函数y=﹣x2﹣4mx+1开口向下，对称轴为：x=﹣2m，在[2，+∞）上是减函数，可得：﹣2m≤2，解得m≥﹣1．故选：A．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．9. 设，下列关系正确的是（）A． B．C． D．参考答案：A略10. （5分）若直角坐标平面内的两不同点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（）对．A．0 B． 1 C． 2 D．3参考答案：B考点：函数的图象；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意可知只须作出函数（x＞0）的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）交点个数即可．解答：由题意得：函数f（x）=“友好点对”的对数，等于函数（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）交点个数在同一坐标系中做出函数（x＞0）的图象关于原点对称的图象，与函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象如下图所示：由图象可知，两个图象只有一个交点． 故选B点评： 本题考查的知识点是函数的图象，分段函数，新定义，其中将“友好点对”的对数转化为对应图象交点个数是解答的关键．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的图像过定点.参考答案：（1,2）当时，，所以过定点。
高中数学必修第一册《5-1任意角和弧度制》课时同步训练试题
故选： .
【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.
5．C
【分析】
首先根据图形计算出矢 ，弦 ，再带入弧田面积公式即可.
【详解】
如图所示：
因为 ， ， 为等边三角形.
所以 ，矢 ，弦 .
.
故选：C
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式，同时考查学生对题意的理解，属于中档题.
所以 ，
所以扇形的面积为 .
【点睛】
本题主要考查弧长公式和扇形面积公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．（1） (2) 80π(3) 2,最大值为100cm2
【解析】
(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<
2π)，弧长为l，半径为r，
依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4.
对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.
对于D选项， 中角的范围不一样，所以D选项错误.
故选：BC
【点睛】
本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.
8．BD
【分析】
用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性质求出 满足的不等式，从而确定 的终边所在的象限．
【详解】
∴l＝40－2r，∴S＝ lr＝ ×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大．
这个最大值为100cm2，这时θ＝ ＝ ＝2rad.
15．（1） ；（2）
【分析】
（1）由弦 的长等于半径，得到 ，然后利用扇形的弧长公式求解.
（2）由弦 的长等于半径的 倍，先求 ，进而得到 ，然后利用扇形的面积公式求解.
2021-2022年高一数学人教版A版(2019)必修第一册同步练习题5-1 任意角和弧度制含答案
2021-2022年高一数学人教版A版(2019)必修第一册同步练习题5-1 任意角和弧度制【含答案】一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120°B．－120°C．240°D．－240°【答案】D【解析】按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】①－15°角是第四象限角；②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝( )A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}【答案】C【解析】令k ＝－1,0,1,2，则A ，B 的公共元素有－126°，－36°，54°，144°. 4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称 D ．关于原点对称【答案】A【解析】因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x 轴对称．5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上 D ．y 轴的非正半轴上 【答案】A【解析】∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ，∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴其终边在x 轴的非负半轴上． 6．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】AC【解析】因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z.故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选A 、C.7．若角α与角x ＋4π有相同的终边，角β与角x －4π有相同的终边，那么α与β间的关系为( ) A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2π＋2k π(k ∈Z) 【答案】D【解析】∵α＝x ＋4π＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －4π＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝2π＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z.∴α－β＝2π＋2k π(k ∈Z)． 8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转2π，则从动轮N逆时针旋转( )A.8π B ．4π C.2π D ．π【答案】B【解析】设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以θπ⨯=⨯230022150，解得θ＝4π，选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________. 【答案】270°【解析】∵5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z. 又∵180°<α<360°，∴α＝270°.10.集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．【答案】②【解析】集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z}中，当k 为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k 为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z}中角表示的范围为图②所示．11．（2020·浙江高一课时练习）一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为2km ，一列火车以30km /h 的速度通过，10s 间转过_______弧度．【答案】124【解析】10s 间列车转过的弧长为10130(km)360012⨯=，转过的角1112224α==（弧度）． 故答案为：12412.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____. 【答案】23 42【解析】设圆半径为r ，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为23r ，∴23||23rθ==2r ，周长为42r ，即圆弧长为42r ，∴42||42rrθ==. 三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ， ∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z ，α，β都是锐角， ∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.14.如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx ＝45°，点P 从点A 处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P 在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A ，求θ，并判断θ所在的象限．【解析】根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z.又180°<2θ＋45°<270°， 即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<71800k <112.5°.又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为75400或77200.∵0°<75400<90°，90°<77200<180°，∴θ在第一象限或第二象限．15.已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求： （1）弧AB 的长； （2）扇形所含弓形的面积. 【解析】（1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π， 所以弧AB 的长为4π. （2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°， 于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝3所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－3所以弓形的面积是12π－316．（2020·浙江高一课时练习）如图，3dm ，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【解析】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π， 弧长()131dm 22l AB πππ=⨯=+=，面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=． 在扇形12ACA 中，圆心角为2π， 弧长()211dm 222l A C πππ=⨯=⨯=，面积()221111dm 2244S A C πππ=⨯⨯=⨯⨯=， 在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长()3233dm 333l A D πππ=⨯==， 面积()232131323dm 22S A D ππ===． 综上，点A 走过的路程()()1239233dm 26l l l l ππππ+=++=++=， 点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424ππππ=++=++=S S S S。
高中数学第五章 三角函数之 任意角和弧度制(精练)(必修第一册)(学生版)
5.1 任意角和弧度制【题组一基本概念的辨析】1．(2020·河南林州一中高一月考)已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝() A．{α|α为锐角}B．{α|α小于90°}C．{α|α为第一象限角}D．以上都不对2．(2020·浙江高一课时练习)下列命题中正确的是( )．A．第一象限角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限角D．终边和始边都相同的角一定相等3．(2020·汪清县汪清第六中学高一期中(文))下列结论中正确的是( )A．小于90°的角是锐角B．第二象限的角是钝角C．相等的角终边一定相同D．终边相同的角一定相等4．(2020·全国高一课时练习)(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.5．(2020·全国高一课时练习)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角．其中正确说法的序号为________．(把正确说法的序号都写上)6．(2020·全国高一课时练习)下列命题正确的是____________(填序号).①－30°是第一象限角；②750°是第四象限角；③终边相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角.【题组二角度与弧度转换】1．(2019·伊美区第二中学高一月考)300-化为弧度是( )A．43π-B．53π-C．23π-D．56π-2．(2020·全国高一课时练习)把85π化为角度是( )A．270°B．280°C．288°D．318°3．(2020·灵丘县豪洋中学高一期中)320-︒化为弧度是( )A．43π-B．169π-C．76π-D．56π-4．(2020·金华市江南中学高一期中)1500︒转化为弧度数为( )A．253B．163πC．163D．253π5．(2019·长沙铁路第一中学高一月考)将300o化为弧度为( )A．43πB．53πC．76πD．74π6．(2020·通榆县第一中学校高一期末)512π=( )A．70°B．75°C．80°D．85°7．(2020·全国高一课时练习)将下列角度与弧度进行互化.(1)20°；(2)－15°；(3)712π(4)－115π.【题组三 终边相同】1．(2020·浙江高一课时练习)与405°角终边相同的角是( )．A ．45360,k k Z ︒︒-+⋅∈B ．405360,k k Z ︒︒-+⋅∈C ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈D ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈2．(2020·永州市第四中学高一月考)在0360~︒︒的范围内，与510︒-终边相同的角是( )A ．330︒B ．210︒C ．150︒D ．30︒3．(2020·合肥市第八中学高一月考)下列各个角中与2020°终边相同的是( )A ．150︒-B ．680°C ．220°D ．320°4．(2020·汪清县汪清第六中学高一期中(文))在0°~360°范围内，与-1050°的角终边相同的角是( ) A ．30°B ．150°C ．210°D ．330°5．(2020·北京延庆·高一期末)与角196π终边相同的角为( ) A ．6π-B ．6πC ．56π-D ．56π6．(2020·辉县市第二高级中学高一期中) 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)7．(2020·陕西大荔·高一月考)已知角2α是第一象限角，则α的终边位于( )A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第一或第二象限或y轴的非负半轴上8．(2020·宁县第二中学高一期中)已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.【题组四象限的判断】1．(2020·广东高一期末)下列各角中，与2019°终边相同的角为( )A．41°B．129°C．219°D．﹣231°2．(2020·湖南隆回·高一期末)下列各角中，与60终边相同的角为( )A．30B．120C．420D．3003．(2020·河南项城市第三高级中学高一月考)设2α是第一象限角，且cos cosαα=-，则α是第( )象限角A．一B．二C．三D．四4．(2020·辉县市第二高级中学高一期中)角–2α=弧度，则α所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．(2020·全国高一课时练习)若θ＝－5，则角θ的终边在( )A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限6．(2020·浙江高一课时练习)若θ是第四象限角,则角2θ的终边在( )A．第一象限B．第一或第三象限C．第四象限D．第二或第四象限7．(2020·浙江高一课时练习)试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．8．(2020·上海高一课时练习)用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：(1)(2)【题组五 扇形】1．(2020·山东潍坊·高一期末)已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为( ) A．232cmB ．216cmC ．28cmD ．24cm2．(2020·江西省铜鼓中学高一期末)一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为( ) A ．4B ．1C ．2D ．23．(2020·武威第八中学高一期末)已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( ) A ．24cmB ．26cmC ．28cmD ．216cm4．(2020·辉县市第二高级中学高一期中)已知扇形的圆心角为2，周长为8，则扇形的面积为( ) A ．2B ．4C ．8D ．165．(2020·河南宛城·南阳中学高一月考)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512- 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(35)π-B ．(51)π-C ．(51)π+D ．(52)π-6．(2020·永昌县第四中学高一期末) 如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．【题组六生活中实际】1．(2020·全国高一课时练习)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．2．(2020·全国高一课时练习)已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________.3．(2020·全国高一课时练习)写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．4．(2020·浙江高一课时练习)在一昼夜中，钟表的时针和分针有几次重合？几次形成直角？时针、分针和秒针何时重合？请写出理由．。
青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-第2讲 集合的关系(训练篇)
新教材必修1每课讲与练第2讲集合的关系（训练篇）A组一、选择题1. 设集合M={x∣x>−2}，则下列选项正确的是( )A. {0}⊆MB. {0}∈MC. ∅∈MD. 0⊆M2. 下列四个说法中，正确的有( )①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若∅⊆A，则A=∅；④任何集合至少有两个子集．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3. 已知集合A={1,2,3}，则下列可以作为A的子集的是( )A. 1，2B. {1,2,4}C. {1,4}D. {1,2}4. 下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}={2,0,1}，其中错误的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知集合A={0,a}，B={x∣ −1<x<2}，且A⊆B，则a可以是( )A. −1B. 0C. 1D. 26. 满足{1,2}⊆P⊊{1,2,3,4}的集合P的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 设S={x∣ x=2n,n∈Z}，P={x∣ x=4n+2,n∈Z}，则下列关系正确的是( )A. S⊆PB. S=PC. S⫌PD. S⫋P8. 已知两个集合M={x∈R∣ y=1x }，N={y∈R∣ y=1x}，这两个集合的关系是( )A. M=NB. M∈NC. M⫋ND. M⫌N9. 已知集合A={x∣ −1<x<0}，B={x∣ x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为( )A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. (−∞,0)D. (0,+∞)10. 已知集合M={x∣ x2=1}，N={x∣ ax=1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为( )A. {1}B. {−1,1}C. {1,0}D. {−1,1,0}二、填空题1. 已知A⊆B，A⊆C，B={0,1,2,3,4}，C={0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A的个数是．2. 已知集合A={1,x−12}，B={0,1,2}，若A⊆B，则x=．3. 已知集合A={1,cosθ}，B={12,1}，若A=B，则锐角θ=．4. 若集合A=(−∞,m]，B={x∣−2<x≤2}，且B⊆A，则实数m的取值范围是．5. 设集合A={x∣ 1≤x<4}，B={x∣ 2a≤x<3−a}．若B⊆A，则实数a的取值范围．6. 满足{1}⊆A⫋{1,2,3}的集合A的个数是．7. 设集合M={x∣∣x=k2+14,k∈Z}，N={x∣∣x=k4+12,k∈Z}，则集合M，N的关系用符号表示为．8. 已知集合A={a,ba,1}，B={a2,a+b,0}，若A⊆B且B⊆A，则a=，b=9. 满足条件{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是．10. 若集合A={x∣ x=3m−2,m∈Z}，B={x∣ x=3m+1,m∈Z}，C={x∣ x=6m+1,m∈Z}，则集合A，B，C的关系是．三、解答题1. 已知M={x∣ x=a2+1,a∈N∗}，P={y∣ y=b2−6b+10,b∈N}，试判断集合M与P之间的关系．2. 若集合A={−1,3}，集合B={x∣ x2+ax+b=0}，且A=B，求实数a，b．3. 已知集合A={x∣ −2<x<4}，B={x∣ x−a<0}，若A⫋B，求实数a的取值范围．4. 设集合A={x∣ x2−3x+2=0}，集合B={x∣ x2−4x+a=0}．若B⊆A，求实数a的取值范围．5. 设S是非空集合，且满足两个条件：①S⊆{1,2,3,4,5}；②若a∈S，则6−a∈S．那么S的个数是多少?6. 已知M={a−3,2a−1,a2+1}，N={−2,4a−3,3a−1}，若M=N，求实数a的值．新教材必修1每课讲与练第2讲集合的关系（训练篇）B组一、选择题1.下列四个命题中，正确的有( )①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若∅⊆A，则A=∅；④任何集合至少有两个子集．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 满足关系{1,2}⊆B⫋{1,2,3,4,5,6,7}的集合B个数为( )A. 10个B. 30个C. 31D. 32个3. 设集合P={立方后等于自身的数}，那么集合P的真子集个数是（）A. 3B. 4C. 7D. 84. 下列关系正确的是( )A. 3∈{y∣ y=x2+π,x∈R}B. {(a,b)}={(b,a)}C. {(x,y)∣ x2−y2=1}⫋{(x,y)∣ (x2−y2)2=1}D. {x∈R∣ x2−2=0}=∅5. 设集合M={x∣ ∣x∣≤2,x∈R}，N={x∣ x2≤4,x∈N}，则( )A. M=NB. M⫋NC. M⫌ND. M⊆N6. S(A)表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1,2,3,4,5}，若S(A)能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是( )A. 10B. 11C. 12D. 137. 已知A={2,3,4}，B={x∣ x⊆A}，则集合A与集合B之间的关系为( )A. A⊆BB. B⊆AC. A∈BD. B∈A8. 已知集合A={x∈R∣ x2+x−6=0}，B={x∈R∣ ax−1=0}，若B⊆A，则实数a的值为( )A. 13或−12B. −13或12C. 13或−12或0 D. −13或12或09. “A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B．”那么“A不是B的子集”可以用数学语言表达为( )A. 若对任意的x∈A但x∉B，则称A不是B的子集B. 若存在x∈A但x∉B，则称A不是B的子集C. 若存在x∉A但x∈B，则称A不是B的子集D. 若对任意的x∉A但x∈B，则称A不是B的子集10. 已知集合M={x∣ x=m+16,m∈Z}，N={x∣ x=n2−13,n∈Z}，P={x∣ x=p2+16,p∈Z}，则M，N，P的关系( )A. M=N⫋PB. M⫋N=PC. M⫋N⫋PD. N⫋P⫋M二、填空题1. 若A={x∣a−1≤x≤a+2}，B={x∣3<x<5}，则使A⊇B成立的实数a的取值范围是．2. 已知集合 A ={x∣ 0<x <3}，集合 B ={x∣ m <x <4−m }，且 B ⊆A ，则实数 m 满足的条件是 ．3. 若 {a,0,1}={c,1b ,−1}，则 a = ，b = ，c = ．4. 设集合 A ={0,−4}，B ={x∣ x 2+2(a +1)x +a 2−1=0,x ∈R }．若 B ⊆A ，则实数 a 的取值范围是 ．5. 已知集合 A ⫋{1,2,3}，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有 个．6. 设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a ，b ∈P ，都有 a +b 、 a −b 、ab 、 a b ∈P （除数 b ≠0），则称 P 是一个数域，例如有理数集 Q 是数域，有下列命题：①数域必含有 0，1 两个数；②整数集是数域；③若有理数集 Q ⊆M ，则数集 M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）7. 设方程 ∣ax −1∣=x 的解集为 A ，若 A ⫋[0,2]，则实数 a 的取值范围是 ．8. 已知A={0,1},B={x|x ⊆A},则B=____________,A 与B 之间的关系是_____9．设集合，．若，则实数的取值集合为________．10. 已知集合 {a,b,c }={0,1,2}，且下列三个关系：① a ≠2；② b =2；③ c ≠0 有且只有一个正确，则 100a +10b +c 等于 ．11.设集合A ＝{1，2，3，…，10}，则集合A 的所有非空子集元素的和为____________．三、解答题1. 设集合{|32,}A a a n n Z 集合{|31,}B b b k k Z ，试证明集合A B .2. 已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.(1)是否存在实数a 的值，使得对于任意实数b 都有A ⊆B?若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由；(2)若A ⊆B 成立，求出对应的实数对（a,b ）.3. 已知集合{,,2}A x x y x y ,2{,,}B x xm xm 其中0x 且A B 求m 的值.4. 已知集合 A ={0,1}，B ={x∣ x ∈A }，C ={x∣ x ⊆A }，试判断 A 、 B 、 C 之间的关系．{}28150A x x x =-+={}10B x ax =-=B A ⊆a5. 已知函数y= f (x )=x 2−4x +a +3，a ∈R ，当x 取x 0时的函数值记作f(x 0).（1）若函数 y =f (x ) 的图象与 x 轴无交点，求 a 的取值范围；（2）设函数 g (x )=bx +5−2b ，b ∈R ．当 a =0 时，若对任意的 x 1∈[1,4]，总存在 x 2∈[1,4]，使得 f (x 1)=g (x 2)，求 b 的取值范围．新教材必修1每课讲与练 第2讲 集合的关系（训练篇）C 组一、选择题1.设集合 M ={1,2,3,4,5,6}，S 1,S 2,⋯,S k 都是 M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 S i ={a i ,b i }，S j ={a j ,b j }，(i ≠j,i,j ∈{1,2,3,⋯,k })，都有 min {a i b i ,b i a i }≠min {a j b j ,bj a j }（min {x,y } 表示两个数 x,y 中的较小者），则 k 的最大值是 ( )A. 10B. 11C. 12D. 132.已知是由个正数组成的集合．若中存在三个不同的元素可构成三角形的三边，则称为“三角数集”．设有连续的正整数组成的集合，它的所有元子集都是三角数集，则的最大可能值是 （ ）A.1003B.503C.253D.103二、填空题1.若规定E=的子集为E 的第k 个子集，其中k=，则（1）是E 的第 个子集；（2）E 的第211个子集是_______2.设有限集合{|,,,}i A x x a i n i n +==≤∈∈+N N ，则1ni i a =∑叫做集合A 的和，记作.A S 若集合{|21,,4}P x x n n n +==-∈≤N ，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为12k P P P 、、，则1i kp i S =∑= ．3．设集合 S n ={1,2,3,⋯,n }，若 X ⊆S n ，把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量（若 X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为 0）．若 X 的容量为奇（偶）数，则称 X 为 S n 的奇（偶）子集．若 n =4，则 S n 的所有偶子集的容量之和为 ．三、解答题1. 以集合U=的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）a 、b 都要选出；S (3)n n ≥S S {}4,5,,m 10m {}1,210...a a a {}12...,n k k k a a a 1211222n k k k --+++{}1,3,a a {}a b c d ，，，（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有.求共有多少种不同的选法。
青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-专题4.5 函数的应用(二)
专题4.5 函数的应用（二）知识储备1．几类函数模型2.姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x【答案】D【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足(x＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估关系式：y＝alog3计到2024年冬越冬白鹤有( )A．4 000只B．5 000只C．6 000只D．7 000只【答案】C(1＋2)得a＝3 000，所以到2024年冬，即第7【解析】当x＝1时，由3 000＝alog3(7＋2)＝6 000.故选C.年，y＝3 000×log33．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I 与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )A．60安B．240安C．75安D．135安【答案】D【解析】由已知，设比例常数为k ，则I ＝k·r 3.由题意，当r ＝4时，I ＝320，故有320＝k×43，解得k ＝5，所以I ＝5r 3. 故当r ＝3时，I ＝5×33＝135(安)．故选D.4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m 2)与时间t(单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法正确的是( ) A ．浮萍每月的增长率为1B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2C ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2 m 2,3m 2,6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3 【答案】ABD【解析】图象过(1,2)点，∴2＝a 1，即a ＝2，∴y ＝2t .∵12)12(22221=-=-+tt t t t ，∴每月的增长率为1，A 正确． 当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，∴B 正确．∵第二个月比第一个月增加y 2－y 1＝22－2＝2(m 2)，第三个月比第二个月增加y 3－y 2＝23－22＝4(m 2)≠y 2－y 1，∴C 不正确． ∵2＝12t ，3＝22t ，6＝32t ， ∴t 1＝log 22，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴t 1＋t 2＝log 22＋log 23＝log 26＝t 3，D 正确．故选A 、B 、D.5．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝()dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算： 010lgII η=⋅(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设170dB η=的声音强度为1I ，260dB η=的声音强度为2I ，则1I 是2I 的（ ）A ．76倍B ．10倍C ．7610倍D ．7ln 6倍【答案】B【解析】因为010lgII η=⋅，代入170dB η=，260dB η=， 得10207010lg 6010lg I I I I ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩，两式相减，得12001010lg lg I I I I ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭得到12lg 1I I =，即1210I I =，故选：B.6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为94a.若一个新丸体积变为278a ，则需经过的天数为( ) A ．125 B ．100 C ．75 D ．50 【答案】C【解析】由已知，得94a ＝a·e －50k ，∴e －k ＝501)94(.设经过t 1天后，一个新丸体积变为278a ， 则278a ＝a·e －kt 1， ∴278＝(e －k)t 1＝501)94(t，∴23501=t ，t 1＝75.7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T 1(℃)，空气的温度是T 0(℃)，经过t 分钟后物体的温度T(℃)可由公式T ＝T 0＋(T 1－T 0)e －0.25t 求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t 的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( ) A ．1.78 B ．2.77 C ．2.89 D ．4.40 【答案】B【解析】由题意可知50＝10＋(90－10)·e －0.25t ，整理得e －0.25t ＝21，即－0.25t ＝ln 21＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）6．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m 2增加到了4 800元/m 2，则这6年间平均每年的增长率是________． 【答案】32－1【解析】设6年间平均年增长率为x ，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得 x ＝32－1. 7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg ，火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系式是v ＝2 000·ln )1(mM+.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 【答案】e 6－1【解析】当v ＝12 000 m/s 时，2 000·ln )1(m M +＝12 000，所以ln )1(mM+＝6，所以mM＝e 6－1. 8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________． 【答案】2ln 2 1 024【解析】由题意知，当t ＝21时，y ＝2，即2＝21e k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2tln 2.当t ＝5时，y ＝e 2×5×ln 2＝210＝1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为21T 现测得某种放射性元素的剩余质量A 随时间t 变化的6次数据如下：衰变公式为A(t)＝________． 【答案】4 320·2－4t(t≥0) 【解析】从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A 0＝320，则经过时间t 的剩余质量为A(t)＝A 0·21)21(T t＝320·2－4t(t≥0)．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A 万元，则超过部分按log 5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【解析】(1)由题意知当0≤x≤8时，y ＝0.15x ；当x>8时，y ＝8×0.15＋log 5(2x －15)＝1.2＋log 5(2x －15)，所以⎩⎨⎧>-+≤≤=8).152(log 2.180,15.05x x x x y (2)当0≤x≤8时，y max ＝0.15×8＝1.2＜3.2，故小江销售利润x ＞8. 由题意知1.2＋log 5(2x －15)＝3.2，解得x ＝20. 所以小江的销售利润是20万元．10．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为3a．已知到今年为止，森林面积为3a ． （1）求p%的值；（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？【解析】（1）设砍伐n 年后的森林面积为f （n ），则f （n ）＝a （1﹣P%）n ． 由题意可得f （10）3a =，即a （1﹣P%）103a=，解得：p%＝1（2）由（1）可得f （n ）＝a •（n ＝a •1013n（），令f （n）=可得，110211 333n ==（）（）， ∴1102n =，即n ＝5． 故到今年为止，该森林已砍伐5年14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P （单位：mg/L ）与过滤时间t （单位：h ）间的关系为()0ktP t Pe -=（0P ，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数），其中0P 为0t =时的污染物数量.若经过5h 过滤后还剩余90%的污染物. （1）求常数k 的值；（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h ，参考数据：ln0.2 1.61≈-，ln0.3 1.20≈-，ln0.40.92≈-，ln0.50.69≈-，ln0.90.11≈-） 【解析】（1）由已知得，当0t =时，0P P =；当5t =时，090%P P =.于是有50090%kP P e -=，解得1ln 0.95k =-（或0.022k ≈）.（2）由（1）知1ln 0.950t P P e⎛⎫ ⎪⎝⎭=，当040%P P =时，有1ln0.95000.4t P P e⎛⎫⎪⎝⎭=，解得()ln 0.40.92 4.6042110.11ln 0.90.1155t -=≈=≈⨯-. 故污染物减少到40%至少需要42h.15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k为正常数），日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示：已知第10天的日销售收入为121元. （1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，③()x Q x a b =⋅，④()log b Q x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式. （3）求该小物品的日销售收入()f x （单位：元）的最小值.【解析】（1）依题意知第10天的日销售收入为(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⨯= ⎪⎝⎭，得1k =； （2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，()|25|Q x a x b ∴=-+，从表中任意取两组值代入可得，30251202025120a b a b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1125a b =-⎧⎨=⎩，()*()125|25|130,Q x x x x N ∴=--≤≤∈；（3）由（2）知))**100(125,()150(2530,x x x N Q x x x x N⎧+≤<∈⎪=⎨-≤≤∈⎪⎩，所以))**100101(125,()()()150149(2530,x x x N xf x P x Q x x x x N x⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩，当125x ≤<时，100y x x=+在[]1,10上是减函数，在[10,25)是增函数， 所以min ()(10)121f x f ==. 当2530x ≤≤时，150y x x=-为减函数， 所以min ()(30)124f x f ==.综上所述，当10x =时，()f x 取得最小值，min ()121=f x。
青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-4.4.3不同函数增长的差异
4.4.3不同函数增长的差异分层演练综合提升A级基础巩固1.下列函数中函数值随x的增大而增大,且增长速度越来越快的是( )e x B.y=100ln x C.y=x100 D.y=100xA.y=1100答案:A2.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点答案:D3.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系如图所示.以下四种说法:①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产;④第三年后产量保持不变.其中正确说法的序号是②③.4.一个居民小区收取冬季供暖费,住户可以从以下两种方案中任选其一:(1)按照使用面积缴纳,每平方米25元;(2)按照建筑面积缴纳,每平方米20元.李华家的住房使用面积是90 m2,如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费较少,那么他家的建筑面积最多不超过112.5m2.5.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(单位:m)与生长时间t(单位:年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个比较合适?并预测第8年的松树高度.t/年 1 2 3 4 5 6h/m 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7解:据表中数据作出图象,如图所示.由图可以看出用一次函数模型不合适,选用对数型函数比较合适.将(2,1)代入h=loga (t+1),得1=loga3,解得a=3,即h=log3(t+1).当t=8时,h=log3(8+1)=2,故可预测第8年的松树高度为2 m.B级能力提升6.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x万元(4≤x≤10)时,奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时不超过销售利润的12,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 5≈0.7)( )A.y=0.4xB.y=lg x+1C.y=x 12D.y=1.125x解析:由题意,知符合公司要求的模型只需满足:当x ∈[4,10]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过2;③y≤12x. 选项A 中,y=0.4x 满足①,但当x>5时,y>2,不满足②;选项B 中,y=lg x+1满足①,当x≥10时,y 取得最大值2,作出函数y=lg x+1和函数y=12x 的图象(图略),可知该函数满足③,故B 项满足公司要求;选项C 中,y=x 12满足①,但当x>4时,y>2,不满足②;选项D 中,y=1.125x 满足①,但当x>lo g 982时y>2,不满足②.故选B.答案:B7.某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y 与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=a t (t≥0,a>0,且a≠1)的图象如图所示.有以下说法:①第4个月时,剩留量就会低于15; ②每月减少的有害物质的量都相等;③当剩留量为12,14,18时,所经过的时间分别是t 1,t 2,t 3,则t 1+t 2=t 3.其中所有正确说法的序号是①③.解析:由于函数的图象经过点(2,49),故函数的解析式为y=(23)t . 当t=4时,y=1681<15,故①正确;当t=1时,y=23,相比开始减少了13,当t=2时,y=49,相比上月减少了29,故每月减少的有害物质的量不相等,故②不正确;分别令y=12,14,18,代入y=(23)t ,解得t 1=lo g 2312,t 2=lo g 2314,t 3=lo g 2318,所以t 1+t 2=t 3,故③正确.8.有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当,但收费方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计算,一个月中30 h 以内(含30 h)90元,超过30 h 的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于15 h,也不超过40 h.(1)设在甲健身中心活动x h 的收费为f(x),在乙健身中心活动x h 的收费为g(x),试求f(x)和g(x);(2)选择哪家健身中心比较合算?为什么? 解:(1)f(x)=5x,15≤x≤40, g(x)={90,15≤x ≤30,30+2x ,30<x ≤40.(2)当5x=90时,x=18, 即当15≤x<18时,f(x)<g(x); 当x=18时,f(x)=g(x). 当18<x≤40时,f(x)>g(x).所以当15≤x<18时,选甲健身中心比较合算;当x=18时,两家健身中心一样合算;当18<x≤40时,选乙健身中心比较合算.C级挑战创新( )A.当自变量x越来越大时,一次函数y=kx(k>0)的增长速度大于对数函数y=logax(a>1)的增长速度B.对任意x>0,kx>logax(k>0,a>1)C.对任意x>0,a x>logaxD.当a>1,k>0时,一定存在x0,当x>x时,总有a x>kx>logax解析:易知选项A,D正确,对于选项B,可能存在x0,使得kx<logax,故选项B错误,同理,选项C错误.答案:AD,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在图①②③④中请选择与容器相匹配的图象,A对应④;B 对应①;C对应③;D对应②.A B C D①②③④解析:A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与图④对应;B容器由下到上,先变粗,再变细,水的高度变化为快—慢—快,应与图①对应;C,D容器上下一样粗的,水的高度的变化图象都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水的高度的变化速度快的为C 容器,与图③对应,变化速度慢的为D容器,与图②对应.。
人教A版必修1《5.1 任意角和弧度制》练习卷(2)
人教A版必修1《5.1 任意角和弧度制》练习卷（2）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z}，中的角所表示的范围(阴影部分)是()A. B.C. D.2.已知角α是第二象限角，则α2所在的象限是()A. 第一象限或第二象限B. 第一象限或第三象限C. 第二象限或第三象限D. 第二象限或第四象限3.已知α是第三象限角，且|cosα3|=−cosα3，则α3是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角4.已知α是第二象限的角，那么α2是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第一或第二象限角D. 第一或第三象限角5.已知集合M={x|x=kπ4+π4,k∈Z}，集合N={x|x=kπ8−π4,k∈Z}，则()A. M∩N=⌀B. M⊆NC. N⊆MD. M=N6.角α=−60°+k⋅180°(k∈Z)的终边落在()A. 第四象限B. 第一、二象限C. 第一象限D. 第二、四象限7.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是()A. A∩C=CB. B⊆CC. B∪A=CD. A=B=C8.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为√5−12≈0.618(黄金分割比)时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为()A. 127.50°B. 137.50°C. 147.50°D. 150.50°9.已知α为第三象限角，则α2所在的象限是()A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限10.已知集合M={x|x=m+16,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则M，N，P的关系为()A. M=N⊆PB. M⊆N=PC. M⊆N⊆PD. N⊆P⊆M二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设α=2019°−360°×k，β=2019°，若α是与β终边相同的最小正角，则k=__________．12.终边落在y轴上的角的集合可以表示为______ ．13.已知扇形的圆心角为60∘，其弧长为π，则此扇形的半径为______，面积为______．14.已知集合A={0,1}，B={−1,0,a+3}且A⊆B，则a=________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.写出终边在下列阴影部分内的角的集合(含边界)．(1)(2)16.已知α=−1910°，(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且−720°≤θ<0°．17.已知α是第二象限角，且8α与2α的终边相同，判断2α是第几象限角。
2019新人教A版高中数学 必修第一册课时同步课时作业 5.1.2 弧度制 Word版含解析
第五章 5.1 5.1.2A 组·素养自测一、选择题1．下列说法中，错误的是( D )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关[解析] 由角度制和弧度制的定义，知A ，B ，C 说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D 说法错误．2．下列转化结果错误的是( C ) A ．22°30′化成弧度是π8B ．－10π3化成角度是－600°C ．－150°化成弧度是－7π6D ．π12化成角度是15°[解析] 对A,22°30′＝22.5°＝π8，正确；对B ，－10π3＝－10π3×⎝⎛⎭⎫180π°＝－600°，正确；对C ，－150°＝－150×π180＝－5π6，错误；对D ，π12＝π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝15°，正确．3．若α＝5 rad ，则角α的终边所在的象限为( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵3π2<5<2π，∴α＝5 rad 为第四象限角，其终边位于第四象限．4．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( D ) A ．－π4－8πB ．74π－8πC ．π4－10πD ．74π－10π[解析] ∵－1 485°＝－5×360°＋315°， 又2π rad ＝360°，315°＝74π rad.故－1 485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.5．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是( D )A ．(π6，π3)B ．(2π3，7π6)C ．[2π3，7π6]D ．[2k π＋2π3，2k π＋7π6](k ∈Z )[解析] 阴影部分的两条边界分别是2π3和7π6角的终边，所以α的取值范围是[2k π＋2π3，2k π＋7π6](k ∈Z )．6．若弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是( C ) A ．tan1 B ．1sin1C ．1sin 21D ．1cos1[解析] 如图所示，设∠AOB ＝2，AB ＝2.过点O 作OC ⊥AB 于C ，延长OC 交AB ︵于D ，则∠AOD ＝12∠AOB ＝1，AC ＝12AB ＝1.在Rt △AOC 中，OA ＝AC sin ∠AOC ＝1sin1.∴扇形的面积S ＝12×2×1sin 21＝1sin 21.二、填空题7．315°＝__74π__弧度，712π弧度＝__105__度．8．将－1 360°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为__－8π＋4π9__.[解析] ∵－1 360°＝－4×360°＋80°，而80°＝4π9， ∴应填－8π＋4π9.9．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝π6，则劣弧AB ︵ 的长为__4π3__.[解析] 连接AO ，OB ，因为∠ACB ＝π6，所以∠AOB ＝π3，又OA ＝OB ，所以△AOB 为等边三角形，故圆O 的半径r ＝AB ＝4，劣弧AB ︵ 的长为π3×4＝4π3.三、解答题10．一个半径为r 的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？[解析] 设扇形的圆心角为θ，则弧长l ＝rθ，∴2r ＋rθ＝πr ，∴θ＝π－2＝(π－2)·(180π)°＝(180－360π)°，扇形的面积S ＝12lr ＝12r 2(π－2)．11．(1)把310°化成弧度； (2)把5π12rad 化成角度； (3)已知α＝15°、β＝π10、γ＝1、θ＝105°、φ＝7π12，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．[解析] (1)310°＝π180 rad ×310＝31π18rad. (2)5π12 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π×5π12°＝75°. (3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12.θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12<π10<1<7π12.故α<β< γ<θ＝φ.解法二(化为角度)：β＝π10＝π10×(180π)°＝18°，γ＝1≈57.30°， φ＝7π12×(180π)°＝105°.显然，15°<18°<57.30°<105°. 故α<β<γ<θ＝φ.B 组·素养提升一、选择题1．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，则α2的终边在( D )A ．第一象限B ．第四象限C ．x 轴上D ．y 轴上[解析] ∵α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴α＝6k π＋π(k ∈Z )，∴α2＝3k π＋π2(k ∈Z )．当k 为奇数时，α2的终边在y 轴的非正半轴上；当k 为偶数时，α2的终边在y 轴的非负半轴上．综上，α2终边在y 轴上，故选D ．2．(多选题)圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( BC ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的4倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍[解析] α＝l r ＝2l 2r ＝α，故圆心角不变，由面积公式S ＝12lr 知，扇形的面积增大到原来的4倍，故选BC ．3．(多选题)下列表述中正确的是( ABC ) A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z } B ．终边在y 轴上角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }[解析] 终边在直线y ＝x 上角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }，D 不正确，其他选项均正确．故选ABC ．4．一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( D ) A ．12(2－sin1cos1)R 2B ．12R 2sin1cos1C ．12R 2D ．R 2－R 2sin1cos1[解析] 设弧长为l ，则l ＋2R ＝4R ，∴l ＝2R ，∴S扇形＝12lR ＝R 2.∵圆心角|α|＝lR＝2，∴S 三角形＝12·2R ·sin1·R cos1＝R 2sin1·cos1， ∴S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝R 2－R 2sin1cos1. 二、填空题5．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k ·π4，k ∈Z }，则θ的终边所在的象限是__第一或第二象限__.[解析] 当k 为偶数时，α＝2m π＋π4(m ∈Z )，当k 为奇数时，α＝(2m －1)π－π4＝2m π－5π4(m ∈Z )，∴θ的终边在第一或第二象限．6．如图所示，已知一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A 走过的路程是__(9＋23)π6__dm ，走过的弧所对应的扇形的总面积是__7π4__dm 2.[解析] AA 1︵ 所在的圆的半径是2，所对圆心角为π2，A 1A 2︵ 所在的圆的半径是1，所对圆心角为π2，A 2A 3︵ 所在的圆的半径是3，所对圆心角是π3.点A 走过的路程是3段圆弧长之和，即： 2×π×24＋1×π×24＋2×3×π6＝(9＋23)π6(dm)； 3段弧所对应的扇形总面积为： π·224＋π·124＋π·(3)26＝7π4(dm 2)． 三、解答题7．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm ，求扇形的面积．(2)已知一个扇形的周长为12 cm ，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．[解析] (1)扇形的圆心角为75×π180＝5π12，扇形半径为15 cm.扇形面积S ＝12|α|r 2＝12×5π12×152＝3758π cm 2.(2)设扇形的半径为r ，圆心角为θ，则扇形的弧长为l ＝rθ，根据题意，扇形的周长2r ＋l ＝12，解得l ＝12－2r ，所以扇形的面积S ＝12lr ＝12(12－2r )×r ＝－r 2＋6r ＝－(r －3)2＋9，故当r ＝3时，S 取得最大值，此时l ＝12－2×3＝6，扇形的圆心角θ＝l r ＝63＝2.8．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知OA ＝10，OB ＝x (0<x <10)，线段BA ，CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为30 m ，设圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值． [解析] (1)根据题意，可算得弧BC ＝x ·θ(m)，弧AD ＝10θ(m)． 因为BA ＋CD ＋l BC ︵＋l AD ︵＝30，所以(10－x )＋(10－x )＋xθ＋10θ＝30，所以θ＝2x ＋10x ＋10(0<x <10)．(2)根据题意，可知y ＝S 扇形OAD －S 扇形OBC ＝12θ×102－12θx 2，化简得y ＝－x 2＋5x ＋50＝－(x －52)2＋2254.所以当x ＝52(满足条件0<x <10)时，y max ＝2254.。
青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-第3章章末质量评估(三)
章末质量评估(三)(时间:120分钟分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.函数f(x)=√x-1x-2的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.[1,2)D.[1,2)∪(2,+∞)解析:根据题意,得{x-1≥0,x-2≠0,解得x≥1,且x≠2.答案:D2.已知f x2-1=2x+3,则f(6)的值为( ) A.15 B.7 C.31 D.17解析:令x2-1=t,则x=2t+2.将x=2t+2代入f(x2-1)=2x+3,得f(t)=2(2t+2)+3=4t+7.所以f(x)=4x+7,所以f(6)=4×6+7=31.答案:C3.下列各组函数表示同一函数的是 ( )A.f(x)=√x2,g(x)=(√x)2B.f(x)=1,g(x)=x0C.f(x)=√x 23,g(x)=(√x 3)2D.f(x)=x+1,g(x)=x 2-1x -1解析:选项A 、B 、D 中函数的定义域不同,不是同一函数.答案:C4.已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x 3+x 2+1,则f(1)+g(1)= ( )A.-3B.-1C.1D.3解析:在f(x)-g(x)=x 3+x 2+1中,令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1,即f(1)+g(1)=1.答案:C5.函数y=x|x|的图象大致是 ( )A B C D解析:y=x|x|={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,故选A. 答案:A6.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 ( )A.y=[x 10]B.y=[x+310]C.y=[x+410]D.y=[x+510]解析:当x 除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时,由题设知y=[x 10],且易验证此时[x 10]=[x+310].当x 除以10的余数为7,8,9时,由题设知y=[x 10]+1,且易验证此时[x 10]+1=[x+310]. 综上可知,必有y=[x+310].故选B.答案:B7.已知函数f(x)={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,设F(x)=x 2·f(x),则对F(x)描述正确的是 () A.F(x)是奇函数,在区间(-∞,+∞)上递减B.F(x)是奇函数,在区间(-∞,+∞)上递增C.F(x)是偶函数,在区间(-∞,0)上递减,在区间(0,+∞)上递增D.F(x)是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,在区间(0,+∞)上递减解析:因为f(-x)={-1,x >0,0,x =0,1,x <0=-f(x),所以f(x)为奇函数.又因为F(x)=x 2·f(x),所以F(-x)=(-x)2·f(-x)=-x 2·f(x)=-F(x),所以F(x)是奇函数,可排除选项C,D.又因为F(x)=x 2·f(x)={x 2,x >0,0,x =0,-x 2,x <0,所以F(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,可排除A 项,故选B.答案:B8.如图①,四边形ABCD为直角梯形,动点P沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).若函数y=f(x)的图象如图②所示,连接AC,则△ABC的面积为( )①②A.10B.16C.18D.32解析:当点P在线段DC上运动时,f(x)的值不变,故BC=4,CD=5,AD=5,易得AB=8,所以S△ABC =12×8×4=16.答案:B二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知f(2x-1)=4x2,则下列结论正确的是( )A.f(3)=9B.f(-3)=4C.f(x)=x2D.f(x)=(x+1)2答案:BD10.关于函数f(x)=xx-1,下列结论正确的是( )A.f(x)的图象过原点B.f(x)是奇函数C.f(x)在区间(1,+∞)上单调递减D.f(x)是定义域上的增函数答案:AC11.已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则( )A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.当x>1时,f(x)>1D.函数f(x)是非奇非偶函数答案:ACD12.已知函数f(x)=x 4+2x2+ax2+1(x∈R)的值域为[m,+∞),则实数a与实数m的取值可能为( )A.a=0,m=0B.a=1,m=1C.a=3,m=3D.a=√2,m=√2答案:ABD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知函数f(x)={x2+x,x≤0,ax2+bx,x>0为奇函数,则a+b=0.解析:由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x).当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-x,-f(x)=-ax2-bx,故x2-x=-ax2-bx,所以-a=1,-b=-1,即a=-1,b=1,故a+b=0.14.若函数f(x)=x 2+(a+1)x+ax为奇函数,则实数a=-1.解析:由题意,知f(-x)=-f(x),即x 2-(a+1)x+a-x=-x2+(a+1)x+ax,所以(a+1)x=0对x≠0恒成立, 所以a+1=0,所以a=-1.15.某单位计划建造的三个相同的矩形饲养场(如图所示),现有总长为1的围墙材料,则每个矩形的长、宽之比为3∶2时,围出的饲养场的总面积最大.解析:如图所示,设一个矩形饲养场的长为AB=x,宽为AD=y,则4x+6y=1,所以y=16(1-4x), 则饲养场的总面积S=3xy=12x(1-4x)=-2(x-18)2+132,故当x=18,y=112,即长、宽之比为18∶112=3∶2时,饲养场的总面积最大.16.(本题第一空2分,第二空3分)设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,又f(x)+g(x)=1x -1,则f(x)=x x 2-1,g(x)=1x 2-1.解析:因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).又因为f(x)+g(x)=1x -1, ①所以f(-x)+g(-x)=1-x -1,即-f(x)+g(x)=1-(x+1), ②①+②,得2g(x)=1x -1-1x+1=2x -1,所以g(x)=1x 2-1.①-②,得2f(x)=1x -1+1x+1=2x x 2-1,所以f(x)=xx 2-1.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)已知函数f(x)={x+2,x≤-1, x2,-1<x<2, 2x,x≥2.(1)求f(f(√3))的值;(2)若f(a)=3,求a的值.解:(1)因为-1<√3<2,所以f(√3)=(√3)2=3.又因为3≥2,所以f(f(√3))=f(3)=2×3=6.(2)当a≤-1时,f(a)=a+2.又因为f(a)=3,所以a=1(舍去).当-1<a<2时,f(a)=a2.又因为f(a)=3,所以a=±√3,其中负值舍去,所以a=√3.当a≥2时,f(a)=2a.又因为f(a)=3,所以a=32(舍去).综上所述,a=√3.18.(12分)如图,幂函数y=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点.(1)求此函数的解析式;(2)求不等式f(x+2)<16的解集.解:(1)由题意,得3m-7<0,所以m<73.因为m ∈N,所以m=0或1或2.因为幂函数的图象关于y 轴对称,所以3m-7为偶数.所以当m=0时,3m-7=-7,不合题意,舍去.当m=1时,3m-7=-4,符合题意.当m=2时,3m-7=-1,不合题意,舍去.故m=1,y=x -4.(2)由(1),得f(12)=16.由题图可知函数在区间(-∞,0)上递增,在区间(0,+∞)上递减.由f(x+2)<16,得f(x+2)<f(12)=f(-12),故x+2>12或x+2<-12,解得x>-32或x<-52,故不等式的解集是(-∞,-52)∪(-32,+∞).19.(12分)已知函数f(x)=2x+1x+1.(1)判断函数f(x)在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.解:(1)函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.证明:任取x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=2x 1+1x 1+1-2x 2+1x 2+1=x 1-x 2(x 1+1)(x 2+1).由1≤x1<x2,得x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.(2)由(1),知函数f(x)在区间[1,4]上单调递增,则函数f(x)的最大值为f(4)=95,最小值为f(1)=32.20.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+2x.现已作出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)作出函数f(x),x∈R剩余部分的图象,并根据图象写出函数f(x),x∈R的单调区间(只写答案);(2)求函数f(x),x∈R的解析式.解:(1)根据题意,得函数f(x)是定义在R上的奇函数,则其图象如图所示.其单调递减区间为(-∞,-1],[1,+∞),单调递增区间为(-1,1).(2)根据题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,满足f(x)=x2+2x.当x>0时,则-x<0,则f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,又由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(x)=-f(-x)=-x2+2x,综上,f(x)={x2+2x,x≤0, -x2+2x,x>0.21.(12分)已知函数f(x)=x m-4x,且f(4)=3.(1)求m的值;(2)求f(x)的奇偶性;(3)若不等式f(x)-a>0在区间[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(4)=3,所以4m-44=3,所以m=1.(2)由(1),得f(x)=x-4x,定义域为{x|x∈R,x≠0},关于原点对称,f(-x)=-x-4-x =-(x-4x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)因为y=x,y=-4x在区间[1,+∞)上均为增函数,所以f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,所以f(x)≥f(1)=-3.不等式f(x)-a>0在区间[1,+∞)上恒成立,即不等式a<f(x)在区间[1,+∞)上恒成立,所以a<-3,所以实数a 的取值范围为(-∞,-3).22.(12分)某产品销售部每天的房租、人员工资等固定成本为300元,每个产品的进价是6元,销售单价与日均销售量的关系如下表.销售单价/元7 8 9 10 11 12 13日均销售量/个480 440 400 360 320 280 240(1)请根据以上数据分析,写出日均销售量P(x)(单位:个)关于销售单价x(单位:元)的函数解析式,并写出其定义域(销售单价大于进价).2020-2021学年高一数学同步专练坚持就是胜利！ (2)这个销售部销售的产品销售单价定为多少时才能使日均销售利润最大?最大销售利润是多少?解:(1)根据题意,知销售单价每增加1元,日均销售量就减少40个,所以P(x)=480-40(x-7)=-40x+760.由x>6,且-40x+760>0,得6<x<19,所以P(x)关于x 的函数解析式为P(x)=-40x+760(6<x<19).(2)设日均销售利润为y 元,可得y=(-40x+760)(x-6)-300=-40x 2+1 000x-4 860=-40(x-252)2+1 390,当x=12.5时,y 有最大值,最大值为1 390元.故销售单价定为12.5元时,就可使日均销售利润最大,最大销售利润为1 390元.。
青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-5.6第1课时 匀速圆周运动的数学模型及函数
第1课时匀速圆周运动的数学模型及函数y=Asin(ωx+φ)的图象分层演练综合提升A级基础巩固1.函数y=3sin 3x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到( )A.横坐标不变,纵坐标变为原来的13B.横坐标变为原来的13,纵坐标变为原来的3倍C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍D.横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的13答案:B2.为得到函数y=cos x-π3的图象,只需将函数y=sin x的图象( )A.向左平移π6个单位长度B.向右平移π6个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度答案:A3.把函数y=sin2x-π4的图象向右平移π8个单位长度,所得图象对应的函数是( )A.非奇非偶函数B.既是奇函数又是偶函数C.奇函数D.偶函数答案:D4.函数y=12sin 2x-π4的图象可以看成是把函数y=12sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到的.5.已知函数f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,首先将横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度,这样得到的图象与y=12sin x 的图象相同,求f(x)的解析式.解:y=12sinx 的图象y=12sin(x-π2)的图象y=12sin(2x-π2)的图象,即f(x)的解析式为f(x)=12sin(2x-π2). B 级 能力提升6.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,且x 1+x 5=3π2,则x 2+x 4等于 ( )A.π2 B.π C.3π2D.2π解析:由五点法作图原理,知x 2-x 1=x 3-x 2=x 4-x 3=x 5-x 4=T4,故x 1与x 5的中点是x 3,x 2与x 4的中点是x 3,所以x 2+x 4=2x 3=x 1+x 5=3π2.答案:C7.将函数f(x)=lg x 的图象记为C 1;将函数y=cos 2x-π6的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)的图象,记为C 2.(1)在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象. (2)判断方程f(x)=g(x)解的个数. 解:(1)作出图象C 1和C 2,如图所示.(2)由图象可知两个图象共有7个交点, 即方程f(x)=g(x)解的个数为7.8.(1)利用“五点法”作出函数y=sin 12x+π6在长度为一个周期的闭区间上的简图.(2)说明该函数图象是由y=sin x(x ∈R)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的. 解:(1)先列表,然后描点作图.12x+π6 0π2 π 3π2 2π x -π3 2π3 5π3 8π3 11π3 y1-1(2)把y=sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度,得到y=sin(x+π6)的图象,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=Sin(12x+π6)的图象.或把y=sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin 12x 的图象,再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y=sin[12(x+π3)],即y=sin(12x+π6)的图象.C 级 挑战创新9.多选题将函数f(x)=sin 2x+π3的图象向右平移π2个单位长度得到g(x)的图象,则下列判断正确的是( )A.函数g(x)的最小正周期是πB.g(x)的图象关于直线x=7π12对称 C.函数g(x)在区间-π6,π3上单调递减 D.g(x)的图象关于点π3,0对称解析:函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度,得到g(x)=sin(2x-π+π3)=sin(2x-2π3)的图象.所以函数的最小正周期为2π2=π;当x=7π12时,函数的值为g(7π12)=sin(7π6-4π6)=1,所以g(x)的图象关于直线x=7π12对称; 当-π6≤x≤π3时,-π≤2x -2π3≤0,故g(x)在区间 [-π6,π3]上先减后增;当x=π3时, g(π3)=0,所以g(x)的图象关于点(π3,0)对称. 综上,A 、B 、D 项正确. 答案:ABDy=sin 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x=π6对称,则φ的最小值为5π12;若得到的图象关于原点对称,则φ的最小值为π2.解析:平移后函数解析式为y=sin(2x-2φ),因为图象关于直线x=π6对称,所以2×π6-2φ=kπ+π2(k ∈Z),所以φ=-kπ2-π12(k ∈Z).又因为φ>0,所以当k=-1时,φ的最小值为5π12;若得到的图象关于原点对称,则2×0-2φ=kπ(k∈Z),所以φ=-kπ2(k ∈Z).又因为φ>0,所以当k=-1时,φ的最小值为π2.。
人教A版(19)高中数学必修第一册精英同步卷(18)任意角和弧度制
精英同步卷（18）任意角和弧度制1、把20165π-表示成2(Z)k k θ+π∈的形式,使θ最小的θ的值是( ) A.65π- B.5π- C.45π D.45π-2、296π是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3、下列各对角中,终边相同的是( ) A.203π和879πB.3π-和223πC.32π和32π- D.79π-和259π-4、把114-π表示成2(Z)k k θ+π∈的形式,且使θ最小的θ的值是( ) A.34-π B.4π- C.4π D.34π5、与角3π-终边相同的角是( ) A.53πB.116πC.56π-D.23π-6、设A ={|θθ为锐角},B ={|θθ为小于90︒的角},C ={|θθ为第一象限的角},D ={|θθ为小于90︒的正角},则下列式子中成立的是( )A.A B =B.B C =C.A C =D.A D =7、已知扇形面积为38π,半径时1,则扇形的圆心角是( ) A.316πB.38πC.34πD.32π8、已知一扇形的半径为2,弧长为4,则此扇形的圆心角的弧度数和此扇形的面积分别为() A.2,4 B.4,4 C.2,8 D.4,89、已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( )A.2B.2sin1 C.sin2 D.2sin110、已知扇形的周长为6cm,半径时2cm,则扇形的圆心角的弧度数是( )A.4B.1C.1或4D.211、若一个扇形的圆心角为2,半径为1,则该扇形的面积为__________.12、终边落在图中阴影部分(包括边界)角的集合为(用弧度制表示)______________.13、已知2弧度的圆心角所对的弧长为2,那么这个圆的半径r =_________.14、已知角α的终边与30︒角的终边关于y 轴对称,则α=__________. 15、若角α的终边在射线3(0)y x x =≥上,则角α的集合为_________.16、在0360︒︒范围内与60-︒角终边相同的角为___________.答案以及解析1答案及解析：答案：C 解析：2016440455ππ-=-π+或2016640255ππ-=-π-,∵6455ππ->,∴使θ最小的θ的值是45π.2答案及解析：答案：B 解析：295466ππ=π+.∵56π是第二象限角,∴296π是第二象限角.3答案及解析：答案：D解析：对于A,202876,103393ππππ=π+=π-,终边不相同; 对于B,23833ππ-+π=,故3π-和223π终边不相同; 对于C,32π和32π-终边不相同; 对于D,725299ππ--π=-,故79π-和259π-终边相同.故选D.4答案及解析： 答案：A 解析：和114π-终边相同的角可表示为112,Z 4k k ππ-∈,要使θ最小,显然取1k =.所以34θπ=-.5答案及解析： 答案：A 解析：依题意有5233ππ-+π=.6答案及解析：答案：D解析：根据A ={|θθ为锐角}{}|090θθ=︒<<︒,D ={|θθ为小于90︒的正确}{}|090θθ=︒<<︒,可得A D =.故选D.7答案及解析：答案：C 解析：因为扇形面积为38π,半径是1, 所以13128l π⋅=.所以扇形的弧长为34π. 因为l r α=⋅,则314απ=⋅, 所以扇形的圆心角为34π.8答案及解析： 答案：A 解析：此扇形的圆心角的弧度数为422=,面积为14242⨯⨯=.故选A.9答案及解析：答案：B 解析：由弦长公式2sin 2d r θ=,可得222sin 2r =,其中r 是弦所在的圆的半径,θ是弦所对圆心角,d 是弦长,解得1sin1r =,所以这个圆心角所对的弧长为22sin1r =.10答案及解析：答案：B解析：设扇形的圆心角为rad α,半径为cm R ,则262R R R α+=⎧⎨=⎩,解得1α=.11答案及解析：答案：1 解析：∵扇形的圆心角2θ=,半径1r =,∴该扇形的面积221112122S r θ==⨯⨯=.12答案及解析： 答案：|22,Z 64k k k ααππ⎧⎫-+π≤≤+π∈⎨⎬⎩⎭解析：结合图象设终边落在阴影部分的角是α,满足条件的角的集合是|22,Z 64k k k ααππ⎧⎫-+π≤≤+π∈⎨⎬⎩⎭.故答案为|22,Z 64k k k ααππ⎧⎫-+π≤≤+π∈⎨⎬⎩⎭.13答案及解析：答案：1解析：由弧长公式l R α=,得1212R α===,故答案为1.14答案及解析：答案：360150,Z k k ⋅︒+︒∈解析：与30︒角的终边关于y 轴对称的角可取150︒,故360150,Z k k α=⋅︒+︒∈.15答案及解析：答案：{}|36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈ 解析：因为射线(0)y x =≥与x 轴正半轴所成的角为60︒,所以角α的集合为{}|36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈.16答案及解析：答案：300︒解析：∵与60-︒角终边相同的角36060(Z),0360a k k a =⋅︒-︒∈︒≤<︒,∴1k =时,300a =︒.故答案为300︒.由Ruize收集整理。
青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-第1讲 集合的概念(精讲篇)
新教材必修1 每课讲与练第1讲集合的概念（精讲篇）一、知识点概要二、例题精讲1.集合的概念集合的元素有三个特性：确定性、互异性和无序性，这在解题过程中作为隐含条件必须满足。
例1 下列对象能构成集合的是( )A．高一年级全体较瘦的学生B．sin 60°，sin 45°，cos 30°，1C．全体很小的有理数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点解由于较瘦与很小没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 60°＝cos 30°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.注构成集合的元素具有确定性，没有明确标准的对象不能构成集合．例2填空题：（1）设集合A={1,2,3,4}，集合B={x∣x=a+b,a∈A,b∈A}，则集合B中元素的个数有________个；(2)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．解（1）B集合中元素是A集合中任意两个元素之和，因此当a=b时，x=2,4,6,8；当a≠b时，1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6，3+4=7，x=3,4,,5,6,7．所以集合B={2,3,4,5,6,7,8}共7个元素．注在求解过程中，元素4,5,6出现两次，根据集合元素要满足互异性，所以不能重复计算，只能算一次。
(2)若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素．所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.注对集合元素满足一定要求，求其中某个字母（参数）值，对求出的值要检验是否满足元素的互异性，有时还要检验是否满足题设其他条件，正是集合元素互异要解题检验不可少例3 下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是( )A. M={π}，N={3.14159}B. M={2,3}，N={(2,3)}C. M={x∣ −1<x≤1,x∈N}，N={1}D. M={1,√3,π}，N={π,1,∣ −√3∣}解对A：M={π}，N={3.14159}，因为π≠3.14159，故元素不同，集合也不同，排除。
任意角和弧度制(1)—高一数学同步练习和分类专题教案(人教A版2019必修第一册)
第五章三角函数课时5.1任意角和弧度制5.1.1任意角1.了解任意角的概念,能正确区分正角、负角和零角.2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法,并能解决有关问题.基础过关练题组一对任意角概念的理解1.将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为()A.120°B.-120°C.60°D.240°2.已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为()A.-480°B.-240°C.150°D.480°3.从13:00到14:00，时针转过的角为，分针转过的角为.题组二终边相同的角与区域角4.在0°~360°范围内，与-80°角终边相同的角是()A.80°B.100°C.240°D.280°5.设α=-300°，则与α终边相同的角的集合为()A.{α|α=k·360°+300°，k∈Z}B.{α|α=k·360°+60°，k∈Z}C.{α|α=k·360°+30°，k∈Z}D.{α|α=k·360°-60°，k∈Z}6.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A.α+β=k·360°，k∈ZB.α+β=k·360°+180°，k∈ZC.α-β=k·360°+180°，k∈ZD.α-β=k·360°，k∈Z7.与-2 020°角终边相同的最小正角是.8.已知射线OA，OB如图.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.9.已知角θ的7倍角的终边与角θ的终边重合，且0°<θ<360°，求满足条件的角θ的集合.题组三象限角的判定10.-361°角的终边落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.下列命题正确的是()A.终边在x轴的非正半轴上的角是零角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k·360°(k∈Z)，则α与β的终边相同12.设A={θ|θ为锐角}，B={θ|θ为小于90°的角}，C={θ|θ为第一象限角}，D={θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D13.若α是第四象限角，则180°-α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角14.(多选)下列四个命题是真命题的有()A.-75°角是第四象限角B.225°角是第三象限角C.575°角是第二象限角D.-315°角是第一象限角15.若α=k·360°+45°，k∈Z，则α是第象限角.2能力提升练题组一对任意角概念的理解1.若α与β的终边互为反向延长线，则有()A.α=β+180°B.α=β-180°C.α=-βD.α=β+(2k+1)·180°，k∈Z2.(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是()B.α+β=180°C.α+β=k·360°+90°(k∈Z)D.α+β=(2k+1)·180°(k∈Z)题组二终边相同的角与区域角3.与角-390°终边相同的最小正角是()A.-30°B.30°C.60°D.330°4.终边在直线y=-x上的所有角的集合是()A.{α|α=k·360°+135°，k∈Z}B.{α|α=k·360°-45°，k∈Z}C.{α|α=k·180°+225°，k∈Z}D.{α|α=k·180°-45°，k∈Z}5.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()6.如果角α与x+45°的终边相同，角β与x-45°的终边相同，那么α与β的关系是()B.α-β=0°C.α+β=k·360°(k∈Z)D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)7.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α=.8.写出如图所示的阴影部分(包括边界)的角α的范围.题组三象限角的判定9.2 019°角是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角10.(多选)设α是第三象限角，则α的终边所在的象限可能是()2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.已知集合{α|α=k·90°+45°，k∈Z}.(1)该集合中有几种终边不相同的角?(2)该集合中有几个在-360°~360°范围内的角?(3)写出该集合中的第三象限角.12.半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向匀速沿圆周旋转，已知点P在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到了出发点A 处，求θ.答案全解全析基础过关练1.A按逆时针方向旋转形成的角是正角，所以射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为120°.2.D由角α按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，∈α=480°.3.答案-30°;-360°解析经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为-30°，分针转过的角为-360°.4.D与-80°角终边相同的角可表示成α=k·360°-80°，k∈Z，令k=1，得α=280°，故选D.5.B因为α=-300°=-360°+60°，所以角α的终边与60°角的终边相同，故选B.6.B解法一(特值法):令α=30°，β=150°，则α+β=180°.解法二(直接法):因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β=180°-α+k·360°，k∈Z，即α+β=k·360°+180°，k∈Z.7.答案140°解析与-2 020°角终边相同的角的集合为{β|β=-2 020°+k·360°，k∈Z}，当k=6时，得到与-2 020°角终边相同的最小正角，即β=-2 020°+6×360°=140°.8.解析(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}.9.解析由题意知，7θ=θ+k·360°，k∈Z，即6θ=k·360°，k∈Z，∈θ=k·60°，k∈Z，由0°<θ<360°，得0°<k·60°<360°，k∈Z，∈0<k<6，k∈Z，即k=1，2，3，4，5，∈角θ的集合为{60°，120°，180°，240°，300°}.10.D因为-361°角的终边和-1°角的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D.11.D终边在x轴的非正半轴上的角为k·360°+180°，k∈Z，零角为0°，所以A错误;480°角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误;285°角为第四象限角，但不是负角，所以C错误;D正确.故选D.12.D直接根据角的分类进行求解，容易得到答案.13.C因为α是第四象限角，则角α应满足:k·360°-90°<α<k·360°，k∈Z，所以-k·360°<-α<-k·360°+90°，k∈Z，则-k·360°+180°<180°-α<-k·360°+270°，k∈Z，当k=0时，180°<180°-α<270°，故180°-α为第三象限角.14.ABD-75°=-360°+285°是第四象限角;225°=180°+45°是第三象限角;575°=360°+215°是第三象限角;-315°=-360°+45°是第一象限角，故A，B，D为真命题.15.答案一或三解析∈α=k·360°+45°，k∈Z，∈α2=k·180°+22.5°，k∈Z.当k为偶数，即k=2n，n∈Z时，α2=n·360°+22.5°，n∈Z，∈α2为第一象限角;当k为奇数，即k=2n+1，n∈Z时，α2=n·360°+202.5°，n∈Z，∈α2为第三象限角.综上，α2是第一或第三象限角.能力提升练1.Dα与β的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180°的奇数倍，可得α=β+(2k+1)·180°，k∈Z.2.BD假设α，β为0°~180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α+β=180°，所以B满足条件;结合终边相同的角的概念，可得α+β=k·360°+180°=(2k+1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，A、C都不满足条件.3.D依题意，-390°+360°=-30°，-30°+360°=330°，故选D.4.D直线y=-x如图所示，由图可知，终边落在直线y=-x上的所有角的集合是{α|α=k·180°-45°，k∈Z}，故选D.5.C依题意可知选C.6.D由题意知α=(x+45°)+k1·360°(k1∈Z)，β=(x-45°)+k2·360°(k2∈Z)，∈α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k∈Z).7.答案270°解析∈角5α与α具有相同的始边与终边，∈5α=k·360°+α，k∈Z，得4α=k·360°，k∈Z，∈α=k·90°，k∈Z.又180°<α<360°，∈α=270°.8.解析(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°，k∈Z的形式，与-180°+30°=-150°角终边相同的角可写成-150°+k·360°，k∈Z的形式，所以题图(1)中阴影部分的角α的范围可表示为{α|-150°+k·360°≤α≤45°+k·360°，k∈Z}.(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°，k∈Z的形式，与360°-60°=300°角终边相同的角可写成300°+k·360°，k∈Z的形式，所以题图(2)中阴影部分的角α的范围为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°，k∈Z}.9.C 由题意，可知2 019°=360°×5+219°，所以2 019°角和219°角终边相同，又219°角是第三象限角，所以2 019°角是第三象限角，故选C.10.BD 解法一:如图所示，作各个象限的角平分线，标号∈所在的区域即为α2所在的区域，故选BD. 解法二:由α是第三象限角得180°+k·360°<α<270°+k·360°，k∈Z ，∈90°+k· 180°<α2<135°+k·180°，k∈Z ，当k 为偶数时，设k=2n(n∈Z)，则90°+n·360°<α2<135°+n·360°(n∈Z)，∈α2为第二象限角; 当k 为奇数时，设k=2n+1(n∈Z)，则270°+n·360°<α2<315°+n·360°(n∈Z)，∈α2为第四象限角. ∈α2为第二或第四象限角，故选BD.易错警示 对象限角的运算，要将“周期”化为360°再进行判断，当“周期”是360°的约数时，要对整数k 进行分类讨论，解题时要防止遗漏导致错误.11.解析 (1)由k=4n ，4n+1，4n+2，4n+3(n∈Z)，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.(2)由-360°≤k·90°+45°<360°，得-92≤k<72.又k∈Z ，故k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.所以在给定的角的集合中在-360°~360°范围内的角共有8个.(3)给定的角的集合中第三象限角为k·360°+225°，k∈Z.12.解析 ∈0°<θ<180°，且k·360°+180°<2θ<k·360°+270°，k∈Z ，∈一定有k=0，于是90°<θ<135°. 又∈14θ=n·360°(n∈Z)，∈θ=n·180°7，n∈Z ，从而90°<n·180°7<135°，n∈Z ， ∈72<n<214，n∈Z ，∈n=4或5.当n=4时，θ=(7207)°;当n=5时，θ=(9007)°.。
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专题5.1 任意角和弧度制知识储备1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120°B．－120°C．240°D．－240°【答案】D【解析】按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】①－15°角是第四象限角；②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝( ) A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}【答案】C【解析】令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°. 4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称【答案】A【解析】因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称．5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上【答案】A【解析】∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．6．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】AC【解析】因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三角限角．故选A、C.7．若角α与角x ＋4π有相同的终边，角β与角x －4π有相同的终边，那么α与β间的关系为( ) A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2π＋2k π(k ∈Z) 【答案】D 【解析】∵α＝x ＋4π＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －4π＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝2π＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z.∴α－β＝2π＋2k π(k ∈Z)． 8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转2π，则从动轮N 逆时针旋转( ) A.8π B ．4π C.2π D ．π【答案】B【解析】设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以θπ⨯=⨯230022150，解得θ＝4π，选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.【答案】270°【解析】∵5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.10.集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．【答案】②【解析】集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示．11．（2020·浙江高一课时练习）一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为2km，一列火车以30km/h的速度通过，10s间转过_______弧度．【答案】1 24【解析】10s间列车转过的弧长为10130(km)360012⨯=，转过的角1112224α==（弧度）．故答案为：1 2412.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.【答案】【解析】设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为r，∴||θ==；，周长为，即圆弧长为，∴||θ==三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.14.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．【解析】根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.又180°<2θ＋45°<270°， 即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<71800⋅k <112.5°.又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为75400或77200.∵0°<75400<90°，90°<77200<180°，∴θ在第一象限或第二象限． 15.已知扇形AOB 的圆心角α为23π，半径长R 为6，求： （1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积. 【解析】（1）l ＝α·R ＝23π×6＝4π， 所以弧AB 的长为4π. （2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π. 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD ＝60°，∠DAO ＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD＝12×2×6cos 30°×3＝所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－.所以弓形的面积是12π－916．（2020·，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为6π，求点A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．【解析】如图:在扇形1ABA 中，圆心角为2π，弧长()1dm 22l AB πππ=⨯==，面积()21112dm 22S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=．在扇形12A CA 中，圆心角为2π， 弧长()211dm 222l AC πππ=⨯=⨯=，面积()221111dm 2244S AC πππ=⨯⨯=⨯⨯=， 在扇形23A DA 中，圆心角为263ππππ--=，弧长)32dm 33l A D ππ=⨯==，面积()232112dm 2332S A D π=⨯⨯=⨯=．综上，点A 走过的路程(()1239dm 26l l l l πππ+=++=++=， 点A 走过的弧所在扇形的总面积()21237dm 424ππππ=++=++=S S S S。