2016年中国科学技术大学自主招生数学试题_PDF版含答案
中科院2016年高等代数试题参考解答
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| A| =
i =2 n i =1
·
∏ ( ai + b1 )
1 0 ··· 0
1 a1 +b2 a1 − a2 ( a1 +b2 )( a2 +b2 ) a1 − a n ( a1 +b2 )( an +b2 )
···
··· ··· ··· ···
1 a 1 + bn a1 − a2 ( a1 +bn )( a2 +bn ) a1 − a n ( a1 +bn )( an +bn )
由已知条件 dim (V1 + V2 ) = dim (V1 ∩ V2 ) + 1. 代入得 1 = dim V1 + dim V2 − 2 dim (V1 ∩ V2 ) dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
= (dim V1 − dim (V1 ∩ V2 )) + (dim V2 − dim (V1 ∩ V2 )) .
Ax = 0 的一组解, 并求方程 .
解: 设 Mi , i = 1, 2, · · · , n 是在矩阵 A 中划去第 i 列所得到的 n − 1 阶子式. 构造一个行列式
ai1 a11 a21 ··· an−1,1 显然 Di = 0, i = 1, 2, · · · , n − 1. 将 Di 按第一行展开得 Di = ai1 M1 − ai2 M2 + · · · + (−1)n−1 ain Mn , i = 1, 2, · · · , n − 1, ( ) 从而 M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 是方程组的一个解. 又矩阵 A 的 n − 1 阶子式不全为零且 rank ( A) < n, 故 rank ( A) = n − 1, 这时 Ax = 0 的解空 间的维数为 n − rank ( A) = 1. ( ) 由于 M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 是方程组的一个解, 那么显然方程组 Ax = 0 的解全是 ( ) M1 , − M2 , · · · , (−1)n−1 Mn 的倍数. □ ai2 a12 a22 ··· an−1,2
(word完整版)2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)-历年自主招
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2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值,则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x=,答案C .2. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,.下列条件中,能使得ABC ∆的形状唯一确定的有( )A .Z c b a ∈==,2,1B .B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+=C .060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D .060,1,3===A b a【答案】AD .3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=,下列说法中正确的有( ) A .)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B .存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C .)(),(x g x f 有且只有一个交点D .)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线,如图,因此答案BD .4.过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点,M 为线段AB 的中点.下列说法中正确的有( )A .以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离 B .||AB 的最小值为4 C .||AB 的最小值为2D .以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ,点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+,于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切,进而与直线23-=x 一定相离;对于选项B ,C ,设)4,4(2a a A ,则)1,41(2aa B -,于是2414||22++=aa AB ,最小值为4.也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值;对于选项D ,显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等,因此命题错误.5.已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点,P 是椭圆C 上一点.下列说法中正确的有( ) A .b a 2=时,满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B .b a 2>时,满足02190=∠PF F 的点P 有四个C .21F PF ∆的周长小于a 4D .21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD .【解析】对于选项A ,B ,椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点;对于选项C ,21PF F ∆的周长为ac a 422<+;选项D ,21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅. 6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两花获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测: 甲:两名获奖者在乙、丙、丁中; 乙:我没有获奖,丙获奖了; 丙:甲、丁中有且只有一个获奖; 丁:乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是( ) A .甲B .乙C .丙D .丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误,分类即可,答案:BD .7.已知AB 为圆O 的一条弦(非直径),AB OC ⊥于C ,P 为圆O 上任意一点,直线PA 与直线OC 相交于点M ,直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有( ) A .P B M O ,,,四点共圆 B .N B M A ,,,四点共圆 C .N P O A ,,,四点共圆D .以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ,OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得;对于选项B ,若命题成立,则MN 为直径,必然有MAN ∠为直角,不符合题意;对于选项C ,MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得.答案:AC . 8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性:由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π,类似地,有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ,于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++. 不充分性:当4,2ππ===C B A 时,不等式成立,但ABC ∆不是锐角三角形.9.已知z y x ,,为正整数,且z y x ≤≤,那么方程21111=++z y x 的解的组数为( ) A .8B .10C .11D .12【答案】B 【解析】由于xz y x 311121≤++=,故63≤≤x . 若3=x ,则36)6)(6(=--z y ,可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ; 若4=x ,则16)4)(4(=--z y ,可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ; 若5=x ,则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ,进而解得)10,5,5(),,(=z y x ; 若6=x ,则9)3)(3(=--z y ,可得))6,6(),(=z y . 答案:B .10.集合},,,{21n a a a A Λ=,任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立,则n 的最大值为( ) A .6B .7C .8D .9【答案】B11.已知000121,61,1===γβα,则下列各式中成立的有( ) A .3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB .3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC .3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβαD .3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ,则3111=+-=+-=+-zxzx yz y z xy x y ,所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-,以上三式相加,即有3-=++zx yz xy .类似地,有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zxx z yz z y xy y x ,以上三式相加,即有3111-=++=++xyzzy x zx yz xy .答案BD . 12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ,则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间( )A .)12,11(B .)13,12(C .)14,13(D .)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ,则其导函数142)(/+=x x f ,作出)(x f 的图象,函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ,以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ,如图,于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ,左侧等号当41-=x 或23=x 时取得; 右侧等号当31=x 时取得.因此原式的最大值为21,当31===c b a 时取得;最小值为7,当23,41=-==c b a 时取得,从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈.答案B .13.已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ,则下列结论正确的有( ) A .xyz 的最大值为0 B .xyz 的最大值为274- C .z 的最大值为32D .z 的最小值为31-【答案】ABD14.数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++,对任意正整数n ,以下说法中正确的有( ) A .n n n a a a 221++-为定值 B .)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC .741-+n n a a 为完全平方数D .781-+n n a a 为完全平方数 【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a n n n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=,选项A 正确;由于113=a ,故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ,又对任意正整数恒成立,所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++,故选项C 、D 正确.计算前几个数可判断选项B 错误.说明:若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12,则n n n a a a 221++-为定值.15.若复数z 满足11=+zz ,则z 可以取到的值有( )A .21 B .21-C .215- D .215+ 【答案】CD 【解析】因为11||1||=+≤-zz z z ,故215||215+≤≤-z ,等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得.答案CD .16. 从正2016边形的顶点中任取若干个,顺次相连构成多边形,若正多边形的个数为( ) A .6552 B .4536 C .3528 D .2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1,2,其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形,这样的正多边形有k2016个,因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008.考虑到732201625⨯⨯=,因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++.答案C .17.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==,过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线,分别交21,l l 于N M ,两点.若||MN 为定值,则=ba( ) A .2B .3C .2D .5【答案】C【解析】设点),(00y x P ,可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++,故意2020441||y x MN +=为定值,所以2,1641422===b a b a ,答案:C .说明:(1)若将两条直线的方程改为kx y ±=,则kb a 1=;(2)两条相交直线上各取一点N M ,,使得||MN 为定值,则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆.18. 关于y x ,的不定方程yx 21652=+的正整数解的组数为( )A .0B .1C .2D .3【答案】B19.因为实数的乘法满足交换律与结合律,所以若干个实数相乘的时候,可以有不同的次序.例如,三个实数c b a ,,相乘的时候,可以有Λ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序.记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种,则( )A .22=IB .123=IC .964=ID .1205=I 【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义,可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n nn n n C n n C nA C I .答案:AB . 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛,规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛,两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示:表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率,例如甲击败乙的概率是0.3,乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 . 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ,所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯.21.在正三棱锥ABC P -中,ABC ∆的边长为1.设点P 到平面ABC 的距离为x ,异面直线CP AB ,的距离为y .则=∞→y x lim .【答案】23【解析】当∞→x 时,CP 趋于与平面ABC 垂直,所求极限为ABC ∆中AB 边上的高,为23. 22.如图,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,中心为A A E A BC BF O 1141,21,==,则四面体OEBF 的体积为 .【答案】196【解析】如图,EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V .23.=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ .【答案】0【解析】根据题意,有0)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ.24.实数y x ,满足223224)(y x y x =+,则22y x +的最大值为 . 【答案】1【解析】根据题意,有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+,于是122≤+y x ,等号当2122==y x 时取得,因此所求最大值为1.25.z y x ,,均为非负实数,满足427)23()1()21(222=+++++z t x ,则z y x ++的最大值与最小值分别为 . 【答案】2322-【解析】由柯西不等式可知,当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时,z y x ++取到最大值23.根据题意,有41332222=+++++z y x z y x ,于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x .于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得,为2322-. 26.若O 为ABC ∆内一点,满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ,设AC AB AO μλ+=,则=+μλ .【答案】23【解析】根据奔驰定理,有329492=+=+μλ. 27.已知复数32sin32cos ππi z +=,则=+++2223z z z z . 【答案】1322i - 【解析】根据题意,有i i z z z z z z 232135sin 35cos 122223-=+=-=+=+++ππ. 28.已知z 为非零复数,zz 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数,则在复平面中,z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 . 【答案】20010033003π+-【解析】设),(R y x yi x z ∈+=,由于2||4040z z z =,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图,弓形面积为开心快乐每一天 1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ,四边形ABCD的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ. 29.若334tan =x ,则=+++xx x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin . 【答案】3【解析】根据题意,有xx x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++ 38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x .30.将16个数:4个1,4个2,4个3,4个4填入一个44⨯的数表中,要求每行、每列都恰好有两个偶数,共有 种填法.【答案】44100031.设A 是集合}14,,3,2,1{Λ的子集,从A 中任取3个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列,则A 中元素个数的最大值为 .【答案】8【解析】一方面,设},,,{21k a a a A Λ=,其中141,*≤≤∈k N k .不妨假设k a a a <<<Λ21.若9≥k ,由题意,7,33513≥-≥-a a a a ,且1335a a a a -≠-,故715≥-a a .同理759≥-a a .又因为1559a a a a -≠-,所以1519≥-a a ,矛盾!故8≤k .另一方面,取}14,13,11,10,5,4,2,1{=A ,满足题意.综上所述,A 中元素个数的最大值为8.。
2016年中科大自主选拔物理试题解析
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物理探究
本试卷共七大题,满分100 分.解答应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤. 1.(12 分)利用图1(a) 实验装置及数字化信息系统获得了小车加速度 a 与钩码的质量 m 的对应数据,如图1(b) 所示.实验中小车(含发射器)的质量为 M = 200g ,实验时选
(3)若利用该实验装置来验证“在小车质量不变的情况下,小车的加速度与作用力成
正比”的结论,并直接以钩码所受重力 mg 作为小车受到的合外力,则实验中应采取何改进
措施?
解析 (1)小车的加速度 a 与钩码的质量 m 成非线性关系. (2) a − m 图线不经过原点的原因是存在摩擦力,调节轨道的倾斜度以平衡摩擦力. (3)钩码的质量 m 应远小于小车的质量 M . 2.(15 分)在内截面面积为 S 的长直均匀玻璃管里用水银柱封闭一定质量的空气,然 后竖直倒插入水银槽内,稳定时露出槽内水银面的水银柱高为 h . (1)试求玻璃管顶离槽内水银面的高度 H 与管内的空气压强 p 的关系;
(3)感应电动势为
E=
E动 − E感
=
B0av − 3ka2 28
.
则电流强度为
I=E R
B0av − 3ka2
2 =
8 = 4B0v − 3ka .
(2 + 2)aρ 8(2 + 2)ρ
6.(10 分)三棱镜的顶角α 为 60 ,在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 f = 30cm
的两个完全相同的凸透镜 L1 和 L2 .若在前焦平面上距主光轴下方 h = 15cm 处放一单色光源 S ,发现其像 S′ 与 S 对于该光学系统是左右对称的.试求该三棱镜的折射率 n .
2016年全国硕士研究生招生考试数学(一)真题(含解析)
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Cov(x,y)
PXY
VD(X) - VD(Y)
二、填空题
2
---------- X
一9
=----1
94
2'
(9)【答案】
【解】
Zln(l + Zsin t)dt
lim 0
■r f 0
i
1
―
COS
X
2
t ln( 1 + /sin / )dt
lim 0
工f 0
14
—X
2
(10)[答案】_/ +(》一1)4
x ln( 1 + j? sin x )_ 1
lim
j--*0
2工3
【解】rot A
a
a
=j + (y — 1)R.
xyz
N
(11) 【答案】 一djr +2d』・
【解】将x =Q ,y =1代入得n 1.
(工l)z — y2 =x2f (x —nq)两边关于jc求偏导得
n + («z +1)n: = 2jc f Jjc 一 z
:
*:
*
9
)9
)
99
)) 99
))
8
(8
(
:
*
9
)
99
))
8
(
2016年数学(一)真题解析
一、选择题
(1)【答案】(O.
「+°°
【解】
0
dx ( 1 + j? )6
1
cLz
*
o j?"(l +工)"
1
djr
1+ 壬“(
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答
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2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答王慧兴;王雪芹【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)007【总页数】3页(P20-22)【作者】王慧兴;王雪芹【作者单位】清华大学附属中学;北京师范大学第二附属中学【正文语种】中文从中科大这份自主招生试题看,我们得出以下4点结论: 1) 著名高校自主招生要求考生数学视野开阔,不局限于高考(考试大纲、考试说明),但不超过现行课标设定的知识与能力要求(只是当下常态教学搞全面应试教育,不以课标要求开展教学,譬如按课标编写的《初等数论》、《图论》等等,由于高考不考就不学); 2) 著名高校自主招生命题刻意追求与高考互补,也就是说高考刚刚考过的常态题型不再考查,坚持在课标范围内与高考形成互补; 3) 著名高校自主招生命题更突出对考生能力的考查,继续坚持(不回避)对过往竞赛试题推陈出新,譬如第1、2、3、6、7题在早些年全国高中数学联赛等试题中都有原型,第4题是三角形中的常态问题,另外第5题源于2007年全国高中数学联赛试题2,第8题源于2005年全国高中数学联赛试题加试3,第9题源于国外数学竞赛试题,第10题源于2010年国际数学奥林匹克(IMO)试题3,第11题源于2005年中国数学奥林匹克(CMO)试题6; 4) 对有志赢得更多机会的优秀学子,应把功夫放在平常,及早按课标要求,在常态学习中同时积淀与高考互补的内容,在高考之后登上才智展示的舞台. 以上都是笔者研究高校自主招生试题得出的经验,这些经验已写入笔者著作《自主招生数学备考十二讲》中.下面与读者分享这份精彩思维体操.例1 32 016除以100的余数是________.因为所以340≡1(mod100),从而32016≡316(mod100).再用二进制计算如下:3≡3(mod100),32≡9(mod100),34≡-19(mod100),38≡61(mod100),316≡612=3 721≡21(mod100),综上所述,32 016≡21(mod100).应用欧拉定理可以给出满足3a≡1 (mod 100)的一个正整数a,也可以经枚举发现周期性找出一个这样的正整数.譬如:3a≡1 (mod 100)等价于因为{3n} (mod 22):3,1,3,1,…,所以a是偶数.记a=2b (b∈N*),代入3a≡1 (mod 52),得9b≡1 (mod 52),必有9b≡1 (mod 5),但{9n} (mod 5):4,1,4,1,…,所以b=2c (c∈N*),代回9b≡1 (mod 52),得81c≡1 (mod 52),但{81n} (mod 25):6,11,16,21,1,…,所以c是5的倍数,记c=5k (k∈N*),从而a=20k,这样得到一个更小的a=20.当然,本题也可应用二项式定理求解例2 复数z1、z2满足|z1|=2,|z2|=3,|z1+z2|=4,则________.由|z1+z2|=4,得即亦即因为Δ=9-9×16=-9×15,所以,方程有2个共轭虚根i.本题灵活应用共轭与模的性质给出解答,也可走代数形式求解途径.由得所以即).由可得故亦即所以i.例3 用S(A)表示集合A的元素和,A⊂{1,2,3,4,5,6,7,8}且S(A)是3的倍数,但不是5的倍数,则集合A的个数是________.先把集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中的8个元素按照同余作划分.按模3同余划分:{1,4,7}∪{2,5,8}∪{3,6}.若A≠{1,2,3,4,5,6,7,8},故满足S(A)是3的倍数的真子集A的个数是但其中和数是15的13个子集{8,7}、{8,6,1}、{8,5,2}、{8,4,3}、{8,4,2,1}、{7,6,2}、{7,5,3}、{7,5,2,1}、{7,4,3,1}、{6,5,4}、{6,5,3,1}、{6,4,3,2}、{5,4,3,2,1}以及和数是30的4个子集{4,5,6,7,8}、{2,3,4,6,7,8}、{1,3,5,6,7,8}、{1,2,3,4,5,7,8}这17个子集应当去掉,所以满足题设的真子集A的个数是83-17=66.本题检测组合计数基本技能,常态的问题是单一分组设计,如“求集合{1,2,…,100}的元素之和是3的倍数的三元子集个数”就是一个常态的练习题,求解的关键是按摸3的余数作划分{1,2,…,100}={1,4,7,…,100}∪{2,5,8,…,98}∪{3,6,…,99},再按目标合理分类与分步组合计数得例4 在△ABC中,sin A+2sin Bcos C=0,则tan A的最大值是________.记BC=a,AC=b,AB=c,由正弦定理和余弦定理,得即c2=2a2+b2.再由余弦定理,得当b=c时取“=”.从而故此时).本题检测基于正弦定理和余弦定理探求三角形中最值问题能力,但考生容易囿于三角变换,陷入怪圈,因此,试题设计体现知识自觉调用、检测目标意识.例5 若对任意实数x,都有|2x-a|+|3x-2a|≥a2,则实数a的取值范围是________.由绝对值不等式,得到综上并且当时取到“=”,即所以题设恒成立条件转化为即故实数a的取值范围是].本题检测应用绝对值不等式求最值的基本技能.上述解法带参数求最值,也可换元去掉参数. 首先a=0满足题设,以下设a≠0,换元x=ay,则恒成立条件化为|2y-1|+|3y-2|≥|a|.由在时取“=”,所以故综上所述例6 设则x=(sin a)logbsin a与y=(cos a)logbcos a的大小关系是____.logbx=(logbsin a)2,logby=(logbcos b)2,因为故再由0<b<1可知f(x)=logbx 是减函数,所以f(cos a)>f(sin a)>0,即logbcos a>logbsin a>0,从而(logbcos a)2>(logbsin a)2>0.综上所述,0<logbx<logby,所以1>x>y>0.例7 在梯形ABCD中,AD∥BC,且AC与BD交于点P1,作P1Q1∥AD交CD于Q1,连接AQ1交BD于P2,作P2Q2∥AD交CD于Q2,依此类推,设AD=a,BC=b,则PnQn=________.先算初值, 由所以由此,可得递推公式即由等差数列通项公式,得故).本题检测平面几何中比例计算基本技能,这里给出建构递推数列求解,也可以利用归纳推理、猜想、证明.例8 设an是与最接近的整数,则________.任取n∈N*,存在k∈N*与i∈{0,1,2,…,2k},使n=k2+i,则k.按题设定义,得an=k的充要条件是即亦即i∈{0,1,2,…,k},所以记则因为442<2016<452,所以本题检测基于“换序”更换和式求值的组合能力.例9 设a,b,c>0,且a+b+c=3,求证证明由柯西不等式,得目标转化为证把条件a+b+c=3代入,即得亦即已知成立,故命题得证.本题检测应用柯西不等式推证分式型不等式的基本技能,柯西不等式是证明多元不等式与求多元极值的重要工具.例10 求所有函数f:N*→N*,使得对任意互异正整数x、y,都有0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|. 按题意,f(x)≠f(y),∀x、y∈N*(x≠y),即f:N*→N*是单射.任取n∈N*,都有0<|f(n+1)-f(n)|<2,但f(n)、f(n+1)∈N*,所以f(n+1)-f(n)=±1.情形1: 若f(n+1)-f(n)=1 (n∈N*),则任取n∈N*,都有记c=f(1)-1,则f(n)=n+c(n∈N*),其中常数c∈N.经验证,这是满足题设条件的函数. 情形2: 若f(n+1)-f(n)=-1 (n∈N*),则任取n∈N*,都有但无论如何定义正整数f(1),都不能使所有f(n)∈N*,故此情形不存在满足题设的函数f(x).情形3: f(n+1)-f(n)=±1(n∈N*),且则必存在k∈N*(k>1)使得,f(k)=f(k-1)-1,而f(k+1)=f(k)+1,所以f(k+1)=f(k-1),这与f:N*→N*是单射矛盾,故此种情形不存在满足题设的函数f(x).综上所述,满足题设的函数f:N*→N*所有解是f(n)=n+c(n∈N*),其中常数c∈N.本题检测对单射的深刻理解与应用、分类讨论能力与极端性思维能力.例11 求方程2x-5y·7z=1的所有非负整数解(x,y,z).假设y≠0,若y≥1,必有x≥3,方程两边模5,得2x≡1(mod 5).因为{2n} (mod 5):2,4,3,1,…,所以4|x,从而5y·7z=2x-1≡0 (mod 3),矛盾.所以y=0,原方程即2x-7z=1.当x≤3时,解得(x,z)=(1,0),(3,1);当x≥4时,有7,1≡7z=2x-1≡0 (mod 16),矛盾.综上所述,方程共有2个解(x,y,z)=(1,0,0)、(3,0,1).本题检测应用同余性质求解不定方程基本技能,属初等数论典型内容.。
中国科学技术大学考试试卷集(二)
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三、证明Hausdorff-Young不等式:f 2 Lp; 1 Ä p Ä 2; p0为p的对偶指标,则kfOkp0 Ä kf kp.
四、考虑仿射群.R2C; / WD f.b; a/ W b 2 R; a > 0g赋予运算.b1; a1/ .b2; a2/ D .b1 C a1b2; a1a2/.
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中科大2016 年复分析(H)期中试题
1、(24 分)计算下列积分。
(1)
∫ |dz|
|z|=2 z − 1
(2)
∫ dz
|z|=2 (z − 3)2(z4 − 1)
(3)
∫ +∞
ex 2
−∞ 1 + ex dx
2、(40 分)判断下列说法是否正确,说明理由。
(1)全纯函数一定有原函数;
(2)调和函数 log|z| 没有共轭调和函数;
2、(2 分)设 f (z) = z−1(1 − z)3(1 + z)−1,求 f (z) 在扩充的复平面上的所有支点,并求 f (z) 在 [0, 1] 上岸取正值的单值分支在点 z = i 的值。
3、(2 分)
叙述有界单连通区域的柯西定理,并对三角形区域给出详细证明。
4、(2 分)计算题
(1)计算留数
(4)设 f 为整函数且 Re(f ) < 0,则 f 为常数;
(5)设 f 为增长阶数有限的整函数,如果存在复数 a, b,使得对任意的 z ∈ C,都有 f (z) ̸= a,
f (z) ̸= b,则 f 为常数;
2、(20 分)计算下列积分。
(1)
∫ +∞ cosx −∞ a2 + x2 dx, where a > 0;
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题及解答
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2016年中国科学技术大学自主招生数学试题及解答作者:甘志国来源:《中学数学杂志(高中版)》2016年第05期一、填空题(每小题6分,共48分)1.32016除以100的余数是.2.复数z1,z2满足z1=2,z2=3,z1+z2=4,则z1z2=.3.用S(A)表示集合A的所有元素之和,且A{1,2,3,4,5,6,7,8},S(A)能被3整除,但不能被5整除,则符合条件的非空集合A的个数是.4.已知△ABC中,sinA+2sinBcosC=0,则tanA的最大值是.5.若对任意实数x都有2x-a+3x-2a≥a2,则a的取值范围是.6.若a∈π4,π2,b∈(0,1),x=(sina)logbsina,y=(cosa)logbcosa,则x y(填>,=,或7.在梯形ABCD中AB∥CD,对角线AC,BD交于P1,过P1作AB的平行线交BC于点Q1,AQ1交BD于P2,过P2作AB的平行线交BC于点Q2,….若AB=a,CD=b,则PnQn= (用a,b,n表示).8.在数列{an}中,an是与n最接近的整数,则∑2016n=11an=.二、解答题(第9小题满分16分,第10、11小题满分18分)9.已知a,b,c>0,a+b+c=3,求证:a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥32.10.求所有函数f:N*→N*,使得对任意正整数x≠y,011.求方程2x-5y·7z=1的所有非负整数解(x,y,z).参考答案1.21.由32016=91008=(-1+10)1008≡(-1)1008+C11008(-1)1007·10≡-79≡21(mod100)可得答案.2.16±156i.复数z1z2的模z1z2=z1z2=23,接下来求其幅角.图1如图1所示,设复数z1,z2,z1+z2在复平面内对应的点分别是A,B,C,得OACB.在△OAC中应用余弦定理,可求得cosA=22+32-422·2·3=-14.所以cos∠AOB=14,进而可得z1z2=2314±154i=16±156i3.70.将集合{1,2,3,4,5,6,7,8}划分为A1={1,4,7},A2={2,5,8},A3={3,6}.于是,使得S(A)能被3整除的非空集合A的个数是[(C03+C33)2+(C13)2+(C23)2]·22-1=87.接下来,考虑S(A)能被15整除的非空集合A的个数,此时S(A)=15或30.当S(A)=15时,按集合A的最大元素分别为8,7,6,5分类,可得分别有5,4,3,1个,此时共计13个.当S(A)=30时,共有4个.综上所述,可得答案是87-13-4=70.4.33.由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC及题设可得tanC=-3tanB,所以由均值不等式,可得tanA=-tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC-1=2tanB3tan2B+1=23tanB+1tanB≤33进而可得:当且仅当tanB=13即(A,B,C)=π6,π6,2π3时,(tanA)max=33.5.-13,13.由零点讨论法可得,当且仅当x=2a3时,(2x-a+3x-2a)min=a3.所以题设即a3≥a2,进而可得答案.6.>.可得lnx=ln2sinalnb,lny=ln2cosalnb.由a∈π4,π2,可得0又由b∈(0,1),可得lnblny,x>y.图27.aba+bn.如图2所示,设PnQn=xn(n∈N),其中P0Q0=x0=CD=b.由平行线分线段成比例定理,可证得1xn+1=1xn+1a.所以1xn=1x0+na.PnQn=xn=aba+bn.8.888.设k是与n最接近的整数,得k=n+12,得k≤n+12k2-k+14≤n所以数列a1,a2,…,a2016即1,12个,2,2,2,24个,...,k,k,...,k2k个,44,44,...,4488个,45,45, (4536)进而可得∑2016n=11an=∑44k=11k·2k+145·36=88.89.由三元柯西不等式,可得2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c·4(a+b+c)=(2a)22a+b+c+(2b)2a+2b+c+(2c)2a+b+2c[(2a+b+c)+(a+2b+c)+(a+b+2c)]≥(2a+2b+2c)2=2(a+b+c)2.所以2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c≥a+b+c2=32.再由二元均值不等式,可得a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c≥32.10.在题设所给的不等式中,可令y=x+1(x∈N*),得0即f(x+1)-f(x)=1.由对任意正整数x≠y,0因为象的集合为N*,所以f(x+1)-f(x)≡1.进而可得,f(n)=n+f(1)-1,其中f (1)∈N*.11.由题设,可得(-1)x-(-1)y≡1(mod3),所以x为奇数,y为为偶数.可设x=2m+1,y=2n(m,n∈N),得原方程即2·4m-25n·7z=1.若n∈N*,可得2(-1)m=-2≡1(mod5),这不可能!所以n=0,y=0.又得原方程即2·4m-7z=1.(1)当z=0时,得m=0,此时的解为(x,y,z)=(1,0,0).(2)当z∈N*时,得-(-1)z≡1(mod4),所以z为正奇数,设z=2p+1(p∈N).再得原方程即2·4m-7·49p=1.①当p=0时,得m=1,此时的解为(x,y,z)=(3,0,1).②当p∈N*时,得m≥4,所以-7·1p≡1(mod16),这不可能!综上所述,可得原方程的所有非负整数解(x,y,z)=(1,0,0),或(3,0,1).。
自主招生考试数学卷(答案) (6)
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A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
24、函数 y 4sin x 3cos x 的最小值为 (
)
A .0
B .-3
C .-5
D . 13
25、已知角 的终边上有一点 P- 3, 4,则 cos (
A、0
3
B、 5
C、0.1
二、填空题:(共 30 分.)
) D、0.2
1.双曲线
D、 y sin x cos x
sin
21、若
5 13
,且
为第四象限角,则 tan
的值等于(
)
12
A、 5
12
B、 5
5
C、 12
5
D、 12
22、下列命题中正确的是(
)
A、第一象限角必是锐角
B、终边相同的角相等
C、相等的角终边必相同
D、不相等的角其终边必不相同
23、-870°角的终边所在的象限是( )
7、【答案】 C
【考点】复数的基本概念,复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解:z z + i = 2 − i 2 + 2i = 4 + 4i − 2i − 2i2 = 6 + 2i
故答案为:C
【分析】根据复数的运算,结合共轭复数的定义求解即可.
8、【答案】 B
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)
自考本科数学卷
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)
一、选择题:(本题共 25 小题,共 50 分)
1.对 2×2 数表定义平方运算如下:( )
a
c
b d
2
a
c
b d
a c
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷(含答案及解析)
![2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷(含答案及解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/d820eae5fd0a79563d1e7244.png)
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()(A)1(B) (C)2( D) 3⑶已知方程m+n-mb=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()则它的表面积是()C1)设集合A{x|x2 4x 3 0},B {x|2x 3 0},则AI(2)(3)(A)( 3,设(1 i)x(A)13)(B) (3,3)(C)(谆(D) (23)已知等差数列(A) 1001 yi,其中x,y是实数,则x yi =((B) (C).'3 (D){a n}前9项的和为27, 印0=8,则a100=((B) 99 (C) 98 (D) 97(4)(A) ( -,3) (B) (-1^/3) (C) (0,3) (D) (0,「3)(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28 n(A) 17n(B) 18n(C) 20n(D) 28 n(7)函数ynZx2—^在[22]的图像大致为((A))则m 、n 所成角的正弦值为()(D)3尹-为f(x)的零点,x 4为y f(x)图像的对称轴5且f(x)在一,J 单调,则的最大值为()18 36:■、填空题:本大题共 3小题,每小题 5分(13) 设向量 a=(m , 1),b=(1,2),且 |a+b|2=|a|2+|b|2,贝U m= _______ .(14) _________________________________________ (2x Vx)5的展开式中,x 3的系数是 .(用数字填写答案) (15) _____________________________________________________________ 设等比数列满足 a 1+a 3=10, a 2+a 4=5,则a 1a 2・・・an 的最大值为 ________________________________________ . (16)某高科技企业生产产品 A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
中国科技大学自主招生考试模拟练习题3
![中国科技大学自主招生考试模拟练习题3](https://img.taocdn.com/s3/m/9de24287d0d233d4b14e6983.png)
天科学堂2015年科大创新班模拟测试(四)一、一物块放在相同质量的光滑盒子内中,并靠着盒子的前壁,盒子放在光滑桌面上,盒子长为l 。
盒子受冲击力具有向右的冲击力v 0, 以后物块与盒子的后壁、前壁交替的发生碰撞。
(1)设物块与盒子之间发生完全弹性碰撞,试求第n 次碰撞后盒子与物块的速度;(2) 设物块与盒子之间发生一般碰撞,恢复系数为e (即碰撞过程满足v 2−v 1=e(u 1−u 2),v 1,v 2, u 1,u 2 分别为碰撞后、碰撞前,物体1和物体2的速度)。
试求n 次碰撞共损失的机械能与初始能量的比值;(3)在(2)的条件下,直到第n 次碰撞所经历的时间。
二、如图所示,一端封闭、内径均匀的玻璃管长L = 100cm ,其中有一段长L ′= 15cm 的水银柱把一部分空气封闭在管中。
当管水平放置时,封闭气柱A 长L A = 40cm 。
现把管缓慢旋转至竖直后,在把开口端向下插入水银槽中,直至A 端气柱长"A L = 37.5cm 为止,这时系统处于静止平衡。
已知大气压强P 0 = 75cmHg ,过程温度不变,试求槽内水银进入管内的水银柱的长度h 。
三、 测定电子荷质比(电荷q 与质量m 之比q /m )的实验装置如图所示.真空玻璃管内,阴极K 发出的电子,经阳极A 与阴极K 之间的高电压加速后,形成一束很细的电子流,电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C 、D 间的区域.若两极板C 、D 间无电压,则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O 点;若在两极板间加上电压U ,则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P 点;若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场,则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O 点.现已知极板的长度l = 5.00cm , C 、D 间的距离d = 1.50cm ,极板区的中点M 到荧光屏中点O 的距离为L = 12.50 cm ,U = 200V ,P 点到O 点的距离cm 0.3==OP y , B = 6.3×10-4T .试求电子的荷质比.(不计重力影响).D PA + C + K - - M四、经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研究,使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。
中科大2016自招笔试真题及答案
![中科大2016自招笔试真题及答案](https://img.taocdn.com/s3/m/bd41ab74804d2b160b4ec090.png)
2016年中科大自招笔试真题及答案(2016年中科大)解析:原理:小车质量M不变。
用钩码质量m表示小车受到的合外力。
θμθ+-=+mg Mg(sin cos)(m M)a其中μ中小车和木板的摩擦因数,θ为木板的倾斜角。
图中a=0时,m不等于0,说明摩擦斩没有平衡完,应增大木板的倾斜角。
在平衡摩擦力的情形下,有mg=+(m M)a要得到小车的质量不变时,小车的加速度和受到的力成正比,就使m 远小于M(2016年中科大)解析:根据玻意耳定律 0(H h)S (p gh)(H h)S C()p -=--=常数ρ 上提玻璃管,H 增大假设h 不变,空气的压强不变,但V 增大,矛盾 假设h 减小,空气的压强增大,但V 也增大,矛盾 所以,h 增大,空气的压强减小,V 增大。
若管中没有空气,0p gh =ρ上提玻璃管,若H 较小,开始时H=h ,上提玻璃管过程中,h 先增大后减小 拓展:一、克拉珀龙方程 气体符合的规律nRT PV =1、)/(31.8)/(082.0K mol J K mol L atm R ⋅=⋅⋅=2、标准状态:压强为1个标准大气压,温度为0℃时3、严格遵守上式的气体叫理想气体4、标准状态下1mol 任何气体的体积都是22.4升表示气体在某一状态下各物理量之间的关系(知三求一) 二、理想气体状态方程c TPV = 或 222111T VP T V P =(1)、条件:质量一定的某种气体(2)、由克拉珀龙方程可以说明状态方程中的C =nR(3)、对一定质量的某种气体,若气体的状态不变,则三个参量就不变,若气体的状态发生变化,则三个参量中至少有二个参量发生变化。
三、特殊过程1、等温变化(玻意耳定律) c pv = 或 2211V P V P = 2、等容变化(查理定律)c T P= 或 T p T P T P ∆∆==2211 3、等压变化(盖·吕萨克定律)c TV= 或 T V T V T V ∆∆==2211(2016年中科大)解析:(1)、101122m v m v m v =+021v v v =-得 121001223m m v v v m m -==+, 120012253m v v v m m ==+(2)、碰后1做匀速运动 1023x v t =碰后2相对2、3质心做简谐运动,质心做匀速运动2055)66x v t v =+ (3)、令12x x =,解得 4.1t s =拓展1:碰撞 分类1、从能量的角度分:①弹性碰撞②非弹性碰撞2、从速度方向分: ①正碰 ②斜碰 一、一动一静,弹性正碰101122m v m v m v =+ 22210112111222m v m v mv =+ 由上得,021()v v v =-,说明弹性碰时相对速度互换得 121012m m v v m m -=+,120122m v v m m =+几种特殊情况:1、12m m =时,120v v =,210v v =二球速度互换。
自主招生考试数学试卷及参考答案
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自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试 数学试题卷亲爱的同学:欢迎你参加考试!考试中请注意以下几点:1.全卷共三大题,满分120分,考试时间为100分钟。
2.全卷由试题卷和答题卷两部分组成。
试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。
做在试题卷上无效。
3.请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号,请勿遗漏。
4.答题过程不准使用计算器。
祝你成功!一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题的四个选项中,只有一个符合题目要求)1.如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ,∠B=90°,那么关于x 的方程a(x 2-1)-2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2.如图,P P P 123、、是双曲线上的三点,过这三点分别作y 轴的垂线,得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、,设它们的面积分别是S S S 123、、,则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3.如图,以BC 为直径,在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆,交弦AB 于点D ,连接CD ,则阴影部分的面积是33第5A π-1B π-2C 121-πD 221-π4.由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>-3,则m 的取值范围是A m>-3B m ≥-3C m ≤-3D m<-3 5.如图,矩形ABCG (AB <BC )与矩形CDEF 全等,点B 、C 、D 在同一条直线上,APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动,使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36.已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A (x 1,y 1)B(x 2,y 2)是抛物线上两点,若x 1<x 2,且x 1+x 2=1-a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题(本题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在题中横线上)7. 二次函数y =ax 2+(a -b )x —b 的图象如图所示,44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8. 如图所示,在正方形 ABCD 中,AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ,EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ,若已知 S ΔA JI =1, 则S 正方形ABCD = ▲9.将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体,锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10.用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案:(1)第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 (2)第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张(3)从第1个图案到第100个图案,总共有白色纸片 ▲ 张第10题 第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12.阅读下列证明过程: 已知,如图四边形ABCD 中,AB =DC ,AC =BD ,AD ≠BC ,求证:四边形ABCD 是等腰梯形.读后完成下列各小题.(1)证明过程是否有错误?如有,错在第几步上,答: ▲ . (2)作DE ∥AB 的目的是: ▲ .(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是: ▲ . (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ .(5)若题设中没有AD ≠BC ,那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ .自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题的四个选项中,只有一个符合题目要求)二、填空题(本题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在题中横线上)7. ______-1__________ 8. 256 9. 57610.(1) 13 (2) 3n+1 (3) 15250 11. a b12.(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定,因为当AD =BC 时,四边形ABCD 是矩形 三、解答题(本题共5小题,共60分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明)13.(本小题10分)某公园门票每张10元,只供一次使用,考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多游客,该公园除保留原有的售票方法外,还推出一种“购个人年票”的售票方法(个人年票从购买之日起,可供持票者使用一年)。
2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题-历年自主招生考试数学试题大全
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2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1 .已知函数f(x) (x2 a)e x有最小值,则函数g(x) x2 2x a的零点个数为( )A . 0 B. 1 C. 2 D.取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x) e x g(x),答案C.2.已知ABC的三个内角代B,C所对的边为a, b,c .下列条件中,能使得ABC的形状唯一确定的有( )A. a 1,b 2, c ZB . A 150°, asi nA csi nC、2asi nC bsin BC . cos A si n BcosC cos(B C) cosBsi nC 0,C 60°D . a 3,b 1, A 600【答案】AD .【解析】对于选项魚由=f\a-b\<c<a±b ,于是匸有唯一取値芻符合題青;对于选项场宙正$蛙理,有/十匚’ +血心二沪,可得8汀二-芈上=1芳S无網对于选项G条件即co S Jsm(5-C) = 0;于是3主0艸叮贰60°):(60"化訂几不符合题就对于选项D,由正弓握理,有岡占又-4 = 60%于&-S=30\C = 90%符台題意・3.已知函数f(x) x2 1,g(x) In x ,下列说法中正确的有( )A. f(x), g(x)在点(1,0)处有公切线B .存在f (x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C . f (x), g(x)有且只有一个交点D . f (x), g(x)有且只有两个交点2【答案】BD【解析】 注意到y x 1为函数g(x)在(1,0)处的切线,如图,因此答案BD .24 •过抛物线y 4x 的焦点F 作直线交抛物线于 A, B 两点,M 为线段A.以线段AB为直径的圆与直线x2 一定相离B . | AB |的最小值为4C . |AB|的最小值为2【答案】ABPF 1F 2的面积小于等于AB 的中点.下列说法中正确的有D •以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切【解析】对于选项A ,点M的圆与直线x 1 一定相切,1 到准线x 1的距离为一(| AF || BF |)31 1进而与直线x 一定相离;对于选项B,C ,设A(4a 2,4a),则B( 2,),4a a1 | AB |,于是以线段 AB 为直径2是 | AB | 4a 2丄2,4a ,最小值为 4.也可将| AB|转化为AB 中点到准线的距离的 2倍去得到最小值;对于选项D ,显然 BD 中点的横坐标与 1-|BM |不一定相等,因此命题错误22x已知F 1,F 2是椭圆C^Ta2笃 1(a b 0)的左、右焦点,P 是椭圆C 上一点.下列说法中正确的有b2b 时,满足F 1PF 2 900的点P 有两个 、2b 时,满足F 1PF 2900的点P 有四个PF i F 2的周长小于 4aC .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】ABCD .!|PF 1| | PF 2 | sin F 1PF 2 2 26.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两花获奖 .比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测:甲:两名获奖者在乙、丙、丁中; 乙:我没有获奖,丙获奖了; 丙:甲、丁中有且只有一个获奖; 丁:乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是(【答案】AC【解析】 对于选项A ,B ,椭圆中使得 F 1PF 2最大的点P 位于短轴的两个端点;对于选项 C , F 1PF 2的周 长 为 2 a 2c 4a ; 选 项F 1PF 221 |PF 1| |PF 2|A •甲B .乙C .丙D •丁【答案】BD 【解析】乙和丁同时正确或者同时错误,分类即可, 答案: BD .7 .已知 AB 为圆0的一条弦(非直径),0CAB 于C , P 为圆0上任意一点,直线 PA 与直线OC 相交于点M ,直线PB 与直线0C 相交于点N .以下说法正确的有(A . 0,M ,B,P 四点共圆B . A,M , B, N 四点共圆C . A,O,P,N 四点共圆【解析】对于选项A , OBM OAM OPM 即得;对于选项B ,若命题成立,则 MN 为直径,必然有 MAN 为直角,不符合题意;对于选项C , MBN MOPMAN 即得.答案:AC .8 . sin A si nB sinC cos A cosBcosC 是 ABC 为锐角三角形的(A .充分非必要条件B .必要非充分条件A . tan tan tan tan tan tan【答案】B【解析】必要性:由于 sinB sinC sinB sin(— B) sinB COSB 1 , 2类似地,有 si nC si nA 1,s in B si nA 1 ,于是 sin A sin B sinC cosA COS B COS C .少有一个成立,则 n 的最大值为(【答案】B不妨假设珂:沐若集合/中的正数的个数大于等于4,由于七—旳和辺十丐均大于 碍,于是有砒十碍勺:十仇 f 从而巧三吋 矛盾!所以集合A 中至多有3个正数.同理可知集合/ 中最梦有工个员数-= 满足题意』所以"的最大值为答案11.已知 10,610, 1210,则下列各式中成立的有()不充分性:当 AC时,不等式成立,但4ABC 不是锐角三角形.9 .已知 x, y, z 为正整数,且x y z ,那么方程1-的解的组数为(211D . 12【答案】 B【解析】由于11 1 1 3 ,故3 x2xy z x若x 3, 则(y 6)(z 6) 36 , 可得 (y,z)若x 4, 则(y 4)(z 4) 16 , 可得 (y,z)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12); 答案:35,则—106,则(y 1 1 2,y z y20T ,y5,6,进而解得(x, y, z) (5,5,10);3)( z 3) 9,可得 (y,z)(6,6)).10.集合A {印忌,,a n },任取1k n,a i a j Ra j a k Ra k a i A 这三个式子中至A . 8B . 106.(5,20),(6,12),(8,8);B . tan tan tan tan tan tan31 x【解析】设函数 f (x)、,4x 1,则其导函数f /(x)角,作出f(x)的图象,函数f(x)的图象在x的切线以及函数f(x)的图象过点(4,0)和(|八7)的—x —,如图,于是可得47x14x 1 4(x 丄)4,左侧等号当x -7 7 3 33时取得; 右侧等号当x 丄时取得.因此原式的最大值为21,当a b c -时取得;最小值为2 33tan tan tan tan tan tan【答案】B【答案】 BD【解析】令x tan , y tan , ztan ,则 y x z y x z.3,所以1 xy 1 yz 1 zxy z3(1 xy), z y3(1 yz), x z .3(1 zx),以上二式相加,即有 xy yz zx 3 .类似地,有11:3(丄 1),- — .3(- 1 1), 1 1「3(丄 1),以上二式相加, 即有x y xyy z yzz xzx1 1 1x y z 3 .答案BD .xy yz zxxyz12 .已知实数 a,b, c 满足a b c 1,则 4a 1 .4b 1 ■, 4c 1的最大值也最小值乘积属于区间D .()tan tan tan tan tan tan (11,12)B . (12,13)D . (14,15)C . (13,14)114.数列{a n }满足 a 11,a 22, a n 2 6a n 1a n (n N ),对任意正整数n ,以下说法中正确的有 ()2A.an 1a n 2 a n 为定值a n1(mod 9)或 a n 2(mod 9)C . 4a n 1a n7为完全平方数 8a n 1a n 7为完全平方数【答案】 A CD 【解析】 因为2 a n 3an 1 a n 2(6anan 1)an 1a n 26a n 2an 12 an 1a n 2(a n 2 6a n i ) 2an 12a n 1 an2a n , 选项A 正确;由于 a 311,故2 an 1a n 2a n2a n 1 (6a n 1 a n ) a n2a n 12 6a n 〔a n an7,又对任意正整数恒成立,所以4a n 1a n 7(a n 1a n )2,8a n 1a n 7 (a n1 a n )2,故选项C 、D 正确.计算前几个数可判断选项B 错误.说明:若数列{a n }满足a n 2pa n 1a n ,则a ; 1 a n 2a n 为定值.15 •若复数z 满足z 1,贝y z 可以取到的值有( 3—时取得,从而原式的最大值与最小值的乘积为7 3 ( .144, 169).答案B .2f 解析】由工+ y+ z = 1,' +$' + ' =1可得>z + zx -0・ig xy'z^c f 则X ,T ,2是关于F 的方程一岂百"叩e 等号显然可以取到.雌顷A ; B 都对.因7*5(x + v>2 = <1 -z)2 <2(^ + >2) = 2(1 -z 2),所以一严注1,尊号显瞪可次取到“故选项C 错误.13.已知 x, y,z R, x/ 2 2 2y z 1, x y z 1,则下列结论正确的有(A . xyz 的最大值为02C . z 的最大值为-3【答案】ABD4xyz 的最大值为 -27 1z 的最小值为 -3=0的三个根-令/("二"一 F - G 贝闲用耳数可得/(0) = >0膚=弓心严11c V5 1A .—B .—C .-22 2【答案】CD取得.答案CD .16.从正2016边形的顶点中任取若干个,顺次相连构成多边形,若正多边形的个数为()1; (2)两条相交直线上各取一点 M , N ,使得| MN |b k为定值,则线段 MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆18.关于x, y 的不定方程x 2 165 2y 的正整数解的组数为()【解析】 因为|z|1FZ|1,故互」|z| — 1,等号分别当z2 2A . 6552B . 4536C . 3528D . 2016【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1 , 2,其余的约数均可作为正多边形的边数 构成正多边形,这样的正多边形有2016个,因此所求的正多边形的个数就是k和1008.考虑到2016 25 32 7,因此所求正多边形的个数为.设从2016个顶点中选出k 个 2016的所有约数之和减去 2016(1 2 4 8 16 32)(1 3 9)(17) 2016 1008 3528 . 答案C .17.已知椭圆2当 1(a b 0)与直线l 1 : y b12: y1x ,过椭圆上一点 P 作l 1,l 2的平行线,2分别交|1,|2于 M , N 两点.若|MN |为定值,则【答案】B . .3..5【解析】 1设点 P (x 0,y 0),可得 M x1 y 0, X 0 4 1 1 2y 0),N Jy 。
2016清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)-历年自主招生考试数学试题大全
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2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值,则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x=,答案C .2. 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,.下列条件中,能使得ABC ∆的形状唯一确定的有( )A .Z c b a ∈==,2,1B .B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+=C .060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D .060,1,3===A b a【答案】AD .3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=,下列说法中正确的有( ) A .)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B .存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C .)(),(x g x f 有且只有一个交点D .)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线,如图,因此答案BD .4.过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点,M 为线段AB 的中点.下列说法中正确的有( )A .以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离 B .||AB 的最小值为4 C .||AB 的最小值为2D .以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ,点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+,于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切,进而与直线23-=x 一定相离;对于选项B ,C ,设)4,4(2a a A ,则)1,41(2a a B -,于是2414||22++=aa AB ,最小值为4.也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值;对于选项D ,显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等,因此命题错误.5.已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点,P 是椭圆C 上一点.下列说法中正确的有( ) A .b a 2=时,满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B .b a 2>时,满足02190=∠PF F 的点P 有四个C .21F PF ∆的周长小于a 4D .21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD .【解析】对于选项A ,B ,椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点;对于选项C ,21PF F ∆的周长为ac a 422<+;选项D ,21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅. 6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两花获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测: 甲:两名获奖者在乙、丙、丁中; 乙:我没有获奖,丙获奖了; 丙:甲、丁中有且只有一个获奖; 丁:乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是( ) A .甲B .乙C .丙D .丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误,分类即可,答案:BD .7.已知AB 为圆O 的一条弦(非直径),AB OC ⊥于C ,P 为圆O 上任意一点,直线PA 与直线OC 相交于点M ,直线PB 与直线OC 相交于点N .以下说法正确的有( ) A .P B M O ,,,四点共圆 B .N B M A ,,,四点共圆 C .N P O A ,,,四点共圆D .以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ,OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得;对于选项B ,若命题成立,则MN 为直径,必然有MAN ∠为直角,不符合题意;对于选项C ,MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得.答案:AC . 8.C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性:由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π,类似地,有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ,于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++. 不充分性:当4,2ππ===C B A 时,不等式成立,但ABC ∆不是锐角三角形.9.已知z y x ,,为正整数,且z y x ≤≤,那么方程21111=++z y x 的解的组数为( ) A .8B .10C .11D .12【答案】B 【解析】由于xz y x 311121≤++=,故63≤≤x . 若3=x ,则36)6)(6(=--z y ,可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ; 若4=x ,则16)4)(4(=--z y ,可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ; 若5=x ,则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ,进而解得)10,5,5(),,(=z y x ; 若6=x ,则9)3)(3(=--z y ,可得))6,6(),(=z y . 答案:B .10.集合},,,{21n a a a A =,任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立,则n 的最大值为( ) A .6B .7C .8D .9【答案】B11.已知000121,61,1===γβα,则下列各式中成立的有( ) A .3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB .3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC .3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβαD .3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD 【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ,则3111=+-=+-=+-zxzx yz y z xy x y ,所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-,以上三式相加,即有3-=++zx yz xy .类似地,有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zxx z yz z y xy y x ,以上三式相加,即有3111-=++=++xyzzy x zx yz xy .答案BD . 12.已知实数c b a ,,满足1=++c b a ,则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间( )A .)12,11(B .)13,12(C .)14,13(D .)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ,则其导函数142)(/+=x x f ,作出)(x f 的图象,函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ,以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ,如图,于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ,左侧等号当41-=x 或23=x 时取得; 右侧等号当31=x 时取得.因此原式的最大值为21,当31===c b a 时取得;最小值为7,当23,41=-==c b a 时取得,从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈.答案B .13.已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ,则下列结论正确的有( ) A .xyz 的最大值为0 B .xyz 的最大值为274- C .z 的最大值为32D .z 的最小值为31-【答案】ABD14.数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++,对任意正整数n ,以下说法中正确的有( )A .n n n a a a 221++-为定值 B .)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC .741-+n n a a 为完全平方数D .781-+n n a a 为完全平方数 【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a nn n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=,选项A 正确;由于113=a ,故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ,又对任意正整数恒成立,所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++,故选项C 、D 正确.计算前几个数可判断选项B 错误.说明:若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12,则n n n a a a 221++-为定值.15.若复数z 满足11=+zz ,则z 可以取到的值有( ) A .21B .21-C .215-D .215+ 【答案】CD 【解析】因为11||1||=+≤-zz z z ,故215||215+≤≤-z ,等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得.答案CD .16. 从正2016边形的顶点中任取若干个,顺次相连构成多边形,若正多边形的个数为( ) A .6552 B .4536 C .3528 D .2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1,2,其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形,这样的正多边形有k2016个,因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008.考虑到732201625⨯⨯=,因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++.答案C .17.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==,过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线,分别交21,l l 于N M ,两点.若||MN 为定值,则=ba( ) A .2B .3C .2D .5【答案】C【解析】设点),(00y x P ,可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++,故意2020441||y x MN +=为定值,所以2,1641422===b a b a ,答案:C .说明:(1)若将两条直线的方程改为kx y ±=,则kb a 1=;(2)两条相交直线上各取一点N M ,,使得||MN 为定值,则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆.18. 关于y x ,的不定方程y x 21652=+的正整数解的组数为( ) A .0B .1C .2D .3【答案】B19.因为实数的乘法满足交换律与结合律,所以若干个实数相乘的时候,可以有不同的次序.例如,三个实数c b a ,,相乘的时候,可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序.记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种,则( )A .22=IB .123=IC .964=ID .1205=I 【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义,可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n nn n n C n n C nA C I .答案:AB . 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》.20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛,规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛,两组的胜者争夺冠军.4个人相互比赛的胜率如表所示:表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率,例如甲击败乙的概率是0.3,乙击败丁的概率是0.4.那么甲刻冠军的概率是 . 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ,所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯.21.在正三棱锥ABC P -中,ABC ∆的边长为1.设点P 到平面ABC 的距离为x ,异面直线CP AB ,的距离为y .则=∞→y x lim .【答案】23 【解析】当∞→x 时,CP 趋于与平面ABC 垂直,所求极限为ABC ∆中AB 边上的高,为23. 22.如图,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,中心为A A E A BC BF O 1141,21,==,则四面体OEBF 的体积为 .【答案】196【解析】如图,EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V .23.=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ .【答案】0【解析】根据题意,有0)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ.24.实数y x ,满足223224)(y x y x =+,则22y x +的最大值为 . 【答案】1【解析】根据题意,有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+,于是122≤+y x ,等号当2122==y x 时取得,因此所求最大值为1.25.z y x ,,均为非负实数,满足427)23()1()21(222=+++++z t x ,则z y x ++的最大值与最小值分别为 . 【答案】2322- 【解析】由柯西不等式可知,当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时,z y x ++取到最大值23.根据题意,有41332222=+++++z y x z y x ,于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x .于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得,为2322-. 26.若O 为ABC ∆内一点,满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ,设AC AB AO μλ+=,则=+μλ .【答案】23【解析】根据奔驰定理,有329492=+=+μλ. 27.已知复数32sin32cos ππi z +=,则=+++2223z z z z . 【答案】1322i - 【解析】根据题意,有i i z z z z z z 232135sin 35cos 122223-=+=-=+=+++ππ. 28.已知z 为非零复数,zz 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数,则在复平面中,z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 . 【答案】20010033003π+-【解析】设),(R y x yi x z ∈+=,由于2||4040z z z =,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图,弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ,四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ. 29.若334tan =x ,则=+++xx x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin . 【答案】3【解析】根据题意,有xx x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++ 38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x .30.将16个数:4个1,4个2,4个3,4个4填入一个44⨯的数表中,要求每行、每列都恰好有两个偶数,共有 种填法.【答案】44100031.设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集,从A 中任取3个元素,由小到大排列之后都不能构成等差数列,则A 中元素个数的最大值为 .【答案】8【解析】一方面,设},,,{21k a a a A =,其中141,*≤≤∈k N k .不妨假设k a a a <<< 21.若9≥k ,由题意,7,33513≥-≥-a a a a ,且1335a a a a -≠-,故715≥-a a .同理759≥-a a .又因为1559a a a a -≠-,所以1519≥-a a ,矛盾!故8≤k .另一方面,取}14,13,11,10,5,4,2,1{ A ,满足题意. 综上所述,A 中元素个数的最大值为8.。
2016年高考数学试卷附标准答案与解析
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高考数学试卷一.选择题(每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的)1.(5分)(2016•真题)设i是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()3.(5分)(2016•真题)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的()=1 .﹣y2=1﹣x2=1=15.(5分)(2016•真题)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正6.(5分)(2016•真题)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1的标准差为()7.(5分)(2016•真题)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()+++228.(5分)(2016•真题)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是()|=1 .⊥•=1 4+)⊥9.(5分)(2016•真题)函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是()10.(5分)(2016•真题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()二.填空题(每小题5分,共25分)11.(5分)(2016•真题)(x3+)7的展开式中的x5的系数是(用数字填写答案)12.(5分)(2016•真题)在极坐标系中,圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值是.13.(5分)(2016•真题)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为14.(5分)(2016•真题)已知数列{a n}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{a n}的前n项和等于.15.(5分)(2016•真题)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是(写出所有正确条件的编号)①a=﹣3,b=﹣3.②a=﹣3,b=2.③a=﹣3,b>2.④a=0,b=2.⑤a=1,b=2.三.解答题(共6小题,75分)16.(12分)(2016•真题)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.17.(12分)(2016•真题)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望)18.(12分)(2016•真题)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标(Ⅰ)求数列{x n}的通项公式;(Ⅱ)记T n=x12x32…x2n﹣12,证明:T n≥.19.(13分)(2016•真题)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(Ⅰ)证明:EF∥B1C;(Ⅱ)求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值.20.(13分)(2016•真题)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A 的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为(Ⅰ)求E的离心率e;(Ⅱ)设点C的坐标为(0,﹣b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.21.(13分)(2016•真题)设函数f(x)=x2﹣ax+b.(Ⅰ)讨论函数f(sinx)在(﹣,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出最值;(Ⅱ)记f n(x)=x2﹣a0x+b0,求函数|f(sinx)﹣f0(sinx)|在[﹣,]上的最大值D2(Ⅲ)在(Ⅱ)中,取a n=b n=0,求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值.高考数学试卷一.选择题(每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的)1.(5分)(2016•真题)设i是虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()=i3.(5分)(2016•真题)设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的()=1 .﹣y2=1﹣x2=1=1y=5.(5分)(2016•真题)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正6.(5分)(2016•真题)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1的标准差为()则对应的标准差为=7.(5分)(2016•真题)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()+++22×2×1+2××+×2×1.8.(5分)(2016•真题)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量,满足=2,=2+,则下列结论正确的是()|=1.⊥•=1 4+)⊥,根据已知三角形为等边三角形解之.的等边三角形,,满足=2,=2+,又,,=4×1×2×cos120°=﹣,=4,所以4),所以9.(5分)(2016•真题)函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是(),∴b>﹣﹣10.(5分)(2016•真题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()x=2x+=2x=∴2×+φ=2kπ+,,可解得:φ=2kπ+(2x+2kπ+)2x+))﹣4+2π)>4+=Asin>>﹣4+2π>>,而2x+)在区间(,二.填空题(每小题5分,共25分)11.(5分)(2016•真题)(x3+)7的展开式中的x5的系数是35 (用数字填写答案)=;∴r=4,可得:12.(5分)(2016•真题)在极坐标系中,圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值是 6 .θ=y=xθ=θ=y=xd=(ρ∈13.(5分)(2016•真题)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为 4时不满足条件,,,14.(5分)(2016•真题)已知数列{a n}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1 .项和为:15.(5分)(2016•真题)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤(写出所有正确条件的编号)①a=﹣3,b=﹣3.②a=﹣3,b=2.③a=﹣3,b>2.④a=0,b=2.⑤a=1,b=2.三.解答题(共6小题,75分)16.(12分)(2016•真题)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解:∵∠A=AC=3…4中,由正弦定理可得:,…8AD=== (12)17.(12分)(2016•真题)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望)=.=.=.=200 300 400+300×+400×18.(12分)(2016•真题)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标(Ⅰ)求数列{x n}的通项公式;(Ⅱ)记T n=x12x32…x2n﹣12,证明:T n≥.,时,时,因为=19.(13分)(2016•真题)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(Ⅰ)证明:EF∥B1C;(Ⅱ)求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值.=的一个法向量为===,,得=∴cos(,==的余弦值为20.(13分)(2016•真题)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A 的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为(Ⅰ)求E的离心率e;(Ⅱ)设点C的坐标为(0,﹣b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.即,可得=1,线段,∴=.,∴==1NS,解得∴a=3的方程为:21.(13分)(2016•真题)设函数f(x)=x2﹣ax+b.(Ⅰ)讨论函数f(sinx)在(﹣,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出最值;(Ⅱ)记f n(x)=x2﹣a0x+b0,求函数|f(sinx)﹣f0(sinx)|在[﹣,]上的最大值D2(Ⅲ)在(Ⅱ)中,取a n=b n=0,求s=b﹣满足条件D≤1时的最大值.的最大值.,)递增,,f′((;或,当时,参与本试卷答题和审题的老师有:刘长柏;changq;双曲线;maths;742048;w3239003;qiss;孙佑中;雪狼王;cst(排名不分先后)菁优网2016年6月13日。
2016年中国科学技术大学中科大考研真题、研究生招生简章、招生目录及考试大纲汇总 - 副本
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中国科学技术大学硕士研究生招生考试复试基本分数线说明:1、强军计划、单考复试分数线由相关院系、学科另行确定。
2、国家示范性软件学院软件工程专业、纳米学院化学工程、材料工程、环境工程专业参照国家一区工程硕士分数线另行制定。
3、关于公共管理MPA(B线):如2015年度一区国家分数线高于本线,则以一区国家线为准。
4、各院系的复试分数线以及复试内容、形式和日程安排,请访问各院系网页或与各院系教学办公室联系。
5、“大学生志愿服务西部计划”和“大学生村官项目”等享受政策加分的考生须本人在3月12日前向报考院系提出书面申请,并出具相关证明材料。
中国科大·研招办2015年3月9日附:各学院复试分数线(以各学院网站公布信息为准)数学科学学院(代码:001)合肥智能机械研究所(代码:157)中国科学技术大学研究生院科学岛分院(代码:168)物理学院(代码:203)管理学院(代码:204,含MBA中心)化学与材料科学学院(代码:206)生命科学学院(代码:207)地球和空间科学学院(代码:208)工程科学学院(代码:209)信息科学技术学院(代码:210)人文与社会科学学院(代码:211)核科学技术学院(代码:214)计算机科学与技术学院(代码:215)公共事务学院(代码:216,含MPA中心)环境科学与光电技术学院(代码:217)软件学院(代码:225)纳米学院(代码:226)国家同步辐射实验室(代码:231)火灾科学国家重点实验室(代码:232)合肥微尺度物质科学国家实验室(代码:234)。
2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答
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2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解析2016.6一、填空题(每题6分,共48分)3””除以100的余数为 _____________・解21.由于32016 = 91008 = (10- 1)1008,有32OIG 三(_1)1008 + C;磁•(_1)1妙• 10 (mod 100), 于是32°16 三21(mod 100).2.复数可知足lzj=2,l®l=3, 1召+©1=4那么二的值是.设复版刁・乃・可+初在夏平面内的对应点分刖为A.D.C,用卸边形O.4CZ?枸成平行四边彩.复敦乂2 边的楔为按丁未求它的轴缶・A ^OAC申应用余弦定理.有于是coszUO月=丨,进而可娱4COSzl =22 + 32 -4222 3ZL 2/1 1 丄后.石飞(3士丁 \)=石±丁|3.用S(A)表示集合A的所有元素之和,且A U {1234567,8}, S(A)能被3整除,但不能被5整除,那么符合条件的非空集合A的个数是_____________ .将衆合4划分为儿={1,4,7},血={2,5,8},43 = {3,6},于是使得5(4)能被3整除的非空集合A的个教有[© + C;)2 + (CJ)2 + ©)2] -22-l = 87.接下来考虑SS)能被15签除的非空宴合A的个教,比时S(A) = 15或S(A) = 30.(1)S(A) = 15・此时扶最大元素分别为&7,6,5分类,分别有5,4 3,1个,共计13个.(2)S(A) = 30.比时只需妥考虑S(A) = 6的悄形,共有4个.综上所述,符合条件的非空集合A的个教为87- 13-4 = 70.4.已知A4BC中,sinA+2sinBcosC = 0,那么ianA的最大值是___________________ ・由sin?l = sin{B 4-C) = sin Deos C 4 cos2?sinC,徉3sin J?cos (7 + cos B sin C = 0,y卩3 tan B + tail(7 = 0.芋5-当tan B —r—. tan C —— \/3 廿取得.因此tanylo5.若对任意实数x都有12・丫-川+ 13入-2矗代那么d的取值范围是易知函敎/(x) - |2兀一a| + |3x-2a|在"二二处取得it小值f ( ?,1 =单,于是解不等式lai 2 _ 1 1三》—得一q€a(§・因此a的取伍范固是一需・6.若aw(幕),必(0,1), “(sin◎严叫丿= (cosa严叫,那么x ___________________ y(填>.=.<)4 2孵> •坯对数,可得. h产sin a . hi cos a而;In2 sin a In2 cos a sin a > cos a => 0 > In sin a > In cos a => In* sin a < In" sin a => ——— > ———・ lnftlnb 因此Inx > In y,从而2 > y・7.梯形朋8中,ABH CD角线AC, 3D交于人,过人作M的平行线交BC于点(?,, AQ交BD于巴,过人作仙的平行线交BC于点…,假^AB = a.CD = b,那么也= _______________ •(用a丿M表示)解-4-.a + an如图.设HQ = x n(n€ N>,则x Q = CD = b,且2016 18.数列{©}中,心是与丽最接近的整数,那么工一=444 T ・k W y/n + 卞 V 上 + 1,也即 k'—上 + *7 W 7i < k' + k —-<2 4 4因此••・22016为1,1.2?2,2.2. ••-,札 k 、・• •花,• • • , 44,44, • • • ,44,45,45, ••• ,45, 2个 4个 2*个二、解答题(第9小题总分值16分.第10. 11小题总分值18分)因此原不竽式得证.10.求所有函数f :NJN=使得对任意正整数XH 八0<d/(x)-/(y)k2lA-yl.解 /(n) = f(l) + n-l,其中 /⑴ €帆根協题意,^y = x+l,则有对任^a :€N \均有0 < \J(x + 1) — /(x)| < 2,即 \f(x + 1) — 7(x)1 = 1.于是可得ab a + bn36 •卜进而可得4449.已知4处>0, a + 〃 + c = 3cr b 2 c? 、3a^y/bc b^y/ca c^y/ab 2解由均值不等式,有LHS 上刀eye 2°22a + b + 小再由柯西不等式,有E eye2°2 2a + b + c、2(a + b + c)2记 k = roimdf v /n),则有 k1 _2+存吩5考虑到对任点正整教工工{/, |/3) — /(y)| > 0,因比/为单射.这址意味着f(x +1) - J(x} = 1或f@ +1) —/仗)三一M否则必煤出现不同的自变*映射到同一个正整数丿.才虑讯象的集合为因此f@+l)-f@)三1,进帀可^/(n) = /(l) + n-l t其中/(1)€N\11.求方程2- 5' • 7: = 1的所有非负整数解(X j Z)・解(r,ff72)= (1,0,0),(3,0,1)・根据题意,有(_1广_(_1户•严三1 (mod 3),因此h为奇散且y为偶敎,设欠=2恥+ 1川=加,其中m.,n€N・于是原方程寻价于2・4加一25“7 = 1.若陀M °,則2 (-l)m = l (mod 5),矛盾.于是“,二0・此时療芳程务•价于2• 4^ - 72 = 1.〃丿莘2=0, «») tn = 0,因比(⑦,!/、2)= (1,0,0)为符台题忘的一组解.⑵若2弄0,则—(―1)? = 1 (mod 4),于灵z为奇数,设z = 2p41, p£网,则原方程寻价于2・4皿一7・1(尸=1・若p = U,则m = l,因此(®,y“)= (3,ai)为将合题意的一纽解・若pi则m>4,于是-7.1p = l (IIKM I 16),矛盾.综上所述,原方程6勺所有非贡整数解为(不S2)=(1.0・0),(3.0J)・。
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b2 3 a2 c2 √ + √ ⩾ . √ + 2 a + bc b + ca c + ab LHS ⩾ ∑
cyc
2a2 , 2a + b + c
再由柯西不等式,有
∑
cyc
2a2 2(a + b + c)2 3 ⩾ = , 2a + b + c 4(a + b + c) 2
因此原不等式得证.
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2016 年中国科学技术大学自主招生试题
√ √ √ 3 3 等号当 tan B = , tan C = − 3 时取得.因此 tan A 的最大值为 . 3 3
5. 若对任意实数 x 都有 |2x − a| + |3x − 2a| ⩾ a2 ,则 a 的取值范围是 . ï ò 1 1 解 − , . 3 3 Å ã 2a 2a |a| 易知函数 f (x) = |2x − a| + |3x − 2a| 在 x = 处取得最小值 f = ,于是解不等式 3 3 3 |a| 1 1 ⩾ a2 , 得 − ⩽ a ⩽ . 3 3 3 ï ò 1 1 因此 a 的取值范围是 − , . 3 3 6. 若 a ∈ 解 (π π) , ,b ∈ (0, 1),x = (sin a)logb sin a ,y = (cos a)logb cos a ,则 x 4 2 y (填 >, =, <).
z1 z2
A B O x
在 △OAC 中应用余弦定理,有 cos A = 于是 cos ∠AOB = 1 ,进而可得 4 2 z1 = z2 3 Ç
22 + 32 − 42 1 =− , 2·2·3 4
1 ± 4
√ å √ 15 1 15 i = ± i. 4 6 6
3. 用 S (A) 表示集合 A 的所有元素之和,且 A ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},S (A) 能被 3 整除,但不能被 5 整除, 则符合条件的非空集合 A 的个数是 解 70. .
矛盾,于是 n = 0.此时原方程等价于 2 · 4m − 7z = 1. (1) 若 z = 0,则 m = 0,因此 (x, y, z ) = (1, 0, 0) 为符合题意的一组解. (2) 若 z ̸= 0,则 −(−1)z ≡ 1 (mod 4),
于是 z 为奇数,设 z = 2p + 1,p ∈ N,则原方程等价于 2 · 4m − 7 · 49p = 1.若 p = 0,则 m = 1,因此 (x, y, z ) = (3, 0, 1) 为符合题意的一组解.若 p ̸= 0,则 m ⩾ 4,于是 −7 · 1p ≡ 1 (mod 16), 矛盾. 综上所述,原方程的所有非负整数解为 (x, y, z ) = (1, 0, 0), (3, 0, 1).
根据题意,有 (−1)x − (−1)y · 1z ≡ 1 (mod 3), 因此 x 为奇数且 y 为偶数, 设 x = 2m +1, y = 2 n, 其中 m, n ∈ N. 于是原方程等价于 2 · 4m − 25n · 7z = 1. 若 n ̸= 0,则 2 · (−1)m ≡ 1 (mod 5),
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2016 年中国科学技术大学自主招生试题
将集合 A 划分为 A1 = {1, 4, 7}, A2 = {2, 5, 8}, A3 = {3, 6}, 于是使得 S (A) 能被 3 整除的非空集合 A 的个数有 [ ] 2 3 2 1 2 2 2 (C0 · 2 − 1 = 87. 3 + C3 ) + (C3 ) + (C3 )
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2 个 4 个 2k 个 88 个 36 个
√ 1 1 1 n + < k + 1, 也即 k 2 − k + ⩽ n < k 2 + k + , 2 4 4
进而可得
2016 ∑ n=1
ã 44 Å ∑ 1 1 444 1 = · 2k + · 36 = . an k 45 5
k=1
9. 已知 a, b, c > 0,a + b + c = 3,求证: 解 由均值不等式,有
8. 数列 {an } 中 an 是与 解 444 . 5
.
ï ò √ √ 1 n + ,即 记 k = round( n),则有 k = 2 k⩽ 因此 a1 , a2 , · · · , a2016 为 1, 1 , 2, 2, 2, 2, · · · , k, k, · · · , k , · · · , 44, 44, · · · , 44, 45, 45, · · · , 45,
>. ln2 cos a ln2 sin a , ln y = , ln b ln b ln2 sin a ln2 cos a > , ln b ln b
取对数,可得 ln x = 而 sin a > cos a ⇒ 0 > ln sin a > ln cos a ⇒ ln2 sin a < ln2 sin b ⇒ 因此 ln x > ln y ,从而 x > y . 2
如图. D P1 P2 C Q1 Q ··· 2 B
A 设 Pn Qn = xn (n ∈ N),则 x0 = CD = b,且 1 1 1 = + , xn xn−1 a 于是可得 1 n 1 ab = + ,即 xn = (n ∈ N). xn a x0 a + bn
2016 √ ∑ 1 n 最接近的整数,则 = n=1 an
2016 年中国科学技术大学自主招生试题
兰琦
2016 年 6 月 21 日
1. 32016 除以 100 的余数为 解 21.
.
由于 32016 = 91008 = (10 − 1)1008 ,有
1007 32016 ≡ (−1)1008 + C1 · 10 (mod 100), 1008 · (−1)
2016 年中国科学技术大学自主招生试题
7. 梯形 ABCD 中 AB ∥ CD,对角线 AC, BD 交于 P1 ,过 P1 作 AB 的平行线交 BC 于点 Q1 .AQ1 交 BD 于 P2 ,过 P2 作 AB 的平行线交 BC 于点 Q2 ,· · · .若 AB = a,CD = b,则 Pn Qn = a, b, n 表示). 解 ab . a + bn (用
10. 求所有函数 f : N∗ → N∗ ,使得对任意正整数 x ̸= y ,0 < |f (x) − f (y )| < 2|x − y |. 解 f (n) = f (1) + n − 1,其中 f (1) ∈ 3; 1,则有对任意 x ∈ N∗ ,均有 0 < |f (x + 1) − f (x)| < 2, 即 |f (x + 1) − f (x)| = 1. 考虑到对任意正整数 x ̸= y ,|f (x) − f (y )| > 0,因此 f 为单射.这就意味着 f (x + 1) − f (x) ≡ 1 或 f (x + 1) − f (x) ≡ −1(否则必然出现不同的自变量映射到同一个正整数).考虑到象的集合为 N∗ ,因此 f (x + 1) − f (x) ≡ 1,进而可得 f (n) = f (1) + n − 1,其中 f (1) ∈ N∗ . 11. 求方程 2x − 5y · 7z = 1 的所有非负整数解 (x, y, z ). 解 (x, y, z ) = (1, 0, 0), (3, 0, 1).
接下来考虑 S (A) 能被 15 整除的非空集合 A 的个数,此时 S (A) = 15 或 S (A) = 30. (1) S (A) = 15.此时按最大元素分别为 8, 7, 6, 5 分类,分别有 5, 4, 3, 1 个,共计 13 个. (2) S (A) = 30.此时只需要考虑 S (A) = 6 的情形,共有 4 个. 综上所述,符合条件的非空集合 A 的个数为 87 − 13 − 4 = 70. 4. 已知 △ABC 中,sin A + 2 sin B cos C = 0,则 tan A 的最大值是 √ 3 解 . 3 由 sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + cos B sin C ,得 3 sin B cos C + cos B sin C = 0, 即 3 tan B + tan C = 0. 于是 tan B + tan C 2 tan B tan A = − tan(B + C ) = − = = 1 − tan B · tan C 1 + 3 tan2 B 2 1 + 3 tan B tan B √ 3 ⩽ , 3 .
于是 32016 ≡ 21 (mod 100). 2. 复数 z1 , z2 满足 |z1 | = 2,|z2 | = 3,|z1 + z2 | = 4,则 解 1 ± 6 √ 15 i. 6 z1 的值是 z2 .
设复数 z1 , z2 , z1 + z2 在复平面内的对应点分别为 A, B, C ,则四边形 OACB 构成平行四边形.复数 的模为 2 ,接下来求它的辐角. 3 y C