无标度网络matlab建模
无标度网络模型构造
课题：无标度网络模型构造姓名赵训学号201026811130班级实验班1001一、源起无标度网络（或称无尺度网络）的概念是随着对复杂网络的研究而出现的。
“网络”其实就是数学中图论研究的图，由一群顶点以及它们之间所连的边构成。
在网络理论中则换一套说法，用“节点”代替“顶点”，用“连结”代替“边”。
复杂网络的概念，是用来描述由大量节点以及这些节点之间错综复杂的联系所构成的网络。
这样的网络会出现在简单网络中没有的特殊拓扑特性。
自二十世纪60年代开始，对复杂网络的研究主要集中在随机网络上。
随机网络，又称随机图，是指通过随机过程制造出的复杂网络。
最典型的随机网络是保罗·埃尔德什和阿尔弗雷德·雷尼提出的ER模型。
ER模型是基于一种“自然”的构造方法：假设有个节点，并假设每对节点之间相连的可能性都是常数。
这样构造出的网络就是ER模型网络。
科学家们最初使用这种模型来解释现实生活中的网络。
ER模型随机网络有一个重要特性，就是虽然节点之间的连接是随机形成的，但最后产生的网络的度分布是高度平等的。
度分布是指节点的度的分布情况。
在网络中，每个节点都与另外某些节点相连，这种连接的数目叫做这个节点的度。
在网络中随机抽取一个节点，它的度是多少呢？这个概率分布就称为节点的度分布。
在一般的随机网络（如ER模型）中，大部分的节点的度都集中在某个特殊值附近，成钟形的泊松分布规律（见下图）。
偏离这个特定值的概率呈指数性下降，远大于或远小于这个值的可能都是微乎其微的，就如一座城市中成年居民的身高大致的分布一样。
然而在1998年，Albert-László Barab ási、Réka Albert等人合作进行一项描绘万维网的研究时，发现通过超链接与网页、文件所构成的万维网网络并不是如一般的随机网络一样，有着均匀的度分布。
他们发现，万维网是由少数高连接性的页面串联起来的。
绝大多数（超过80%）的网页只有不超过4个超链接，但极少数页面（不到总页面数的万分之一）却拥有极多的链接，超过1000个，有一份文件甚至与超过200万个其他页面相连。
如何使用MATLAB进行网络分析与建模
如何使用MATLAB进行网络分析与建模网络分析与建模是数据科学领域中的重要研究方法之一，它涉及到了计算机科学、数学、统计学等多个学科领域。
而在现代信息爆炸的时代，网络数据的规模和复杂性不断增加，对于分析和建模工具的要求也越来越高。
MATLAB作为一个强大的数学计算软件，提供了丰富的功能和工具，可以帮助我们进行网络分析与建模。
本文将介绍如何使用MATLAB进行网络分析与建模。
第一部分：网络分析基础网络分析是研究网络结构、功能和演化规律的一种方法。
在网络分析中，我们通常需要描述网络的拓扑结构、节点与边的关系、节点的属性等信息。
而MATLAB提供了一些常用的工具和函数，可以方便地进行网络分析。
首先，我们需要将网络数据导入到MATLAB中。
MATLAB支持导入各种格式的网络数据，如邻接矩阵、边列表、节点属性等。
使用MATLAB的数据导入和读取函数，我们可以将网络数据转换成MATLAB中的矩阵或表格，方便后续的分析和建模。
其次，我们可以使用MATLAB提供的函数和工具来计算网络的基本属性，如网络的度分布、聚类系数、平均路径长度等。
这些属性可以帮助我们了解网络的结构和功能，并进行比较和分类。
MATLAB还提供了可视化工具，可以直观地展示网络的拓扑结构和属性分布。
第二部分：网络建模与预测网络建模是研究网络演化和行为规律的关键内容。
借助MATLAB的数学建模和机器学习工具，我们可以构建各种网络模型，并使用这些模型来预测网络的演化和行为。
常用的网络建模方法包括随机网络模型、小世界网络模型、无标度网络模型等。
我们可以使用MATLAB的随机数生成函数和图论工具，生成各种类型的网络模型，并进行参数调节和性能评估。
此外，MATLAB还提供了机器学习和深度学习工具箱，可以用于网络模型的训练和预测。
网络预测是网络分析与建模的重要应用之一。
通过分析网络的演化规律和行为模式，我们可以预测网络的未来走向和趋势。
MATLAB提供了一些预测模型和函数，如时间序列分析、回归分析、神经网络等。
无标度网络matlab建模
复杂系统无标度网络研究与建模XXX南京信息工程大学XXXX系，南京 210044摘要：21世纪是复杂性的世界，基于还原论的世界观与方法论已经无法满足当前人们对作为一个整体系统的自然界和人类社会的认识和研究，利用系统科学的方法对科学重新审视已近变为迫切的需要。
现实生活中众多复杂网络都具有无标度性，这种无标度网络的增长性和择优连接性很好的解释了富者越富的“马太效应”。
对无标度网络的深入研究，让人们深刻的认识到其在Internet、地震网、病毒传播和社会财富分布网中的理论与现实意义。
本文通过对复杂网络中的无标度网络的分析与研究，介绍了无标度网络区别于一般随机网络的特性与现实意义，并利用了Matlab生成了一个无标度网络。
关键词：无标度网络，幂律特性，模型建立1 引言任何一种网络都可以看作是由一些节点按某种方式连接在一起而构成的一个系统，曾经关于网络结构的研究常常着眼于包含几十个到几百个节点的网络，而近几年关于复杂网络的研究中则常常可以见上万个节点的网络，网络规模尺度上的改变也促使网络分析方法做相应的改变，而复杂网络是近年来随着网络规模、理论和计算机技术的飞速发展而出现的一个新的研究方向。
它的出现不仅顺应了现代科技的发展趋势，而且反映了在以信息科学为支柱的新世纪中，各学科理论及应用交叉、渗透和融合的发展趋势[1]。
复杂系统主要研究其个体之间相互作用所产生的系统的整体性质与行为“复杂系统的复杂性体现在系统的整体性质与行为往往不是系统各个个体的状态的简单综合”因此，复杂系统的研究不能采用还原论的方法，而要从整体上进行研究。
在对复杂系统的研究中，美国物理学家Barabasi和Albert通过对万维网的研究，发现万维网中网页连接的度分布服从幂律分布，而万维网中少数网页(Hub点)具有非常大的连接，大多数网页的连接数甚小Barabasi等把度分布为幂律分布(Power law)的复杂网络称为无标度网络（scale-free net）[2]。
matlab数学建模100例
matlab数学建模100例Matlab是一种强大的数学建模工具，广泛应用于科学研究、工程设计和数据分析等领域。
在这篇文章中，我们将介绍100个使用Matlab进行数学建模的例子，帮助读者更好地理解和应用这个工具。
1. 线性回归模型：使用Matlab拟合一组数据点，得到最佳拟合直线。
2. 多项式拟合：使用Matlab拟合一组数据点，得到最佳拟合多项式。
3. 非线性回归模型：使用Matlab拟合一组数据点，得到最佳拟合曲线。
4. 插值模型：使用Matlab根据已知数据点，估计未知数据点的值。
5. 数值积分：使用Matlab计算函数的定积分。
6. 微分方程求解：使用Matlab求解常微分方程。
7. 矩阵运算：使用Matlab进行矩阵的加减乘除运算。
8. 线性规划：使用Matlab求解线性规划问题。
9. 非线性规划：使用Matlab求解非线性规划问题。
10. 整数规划：使用Matlab求解整数规划问题。
11. 图论问题：使用Matlab解决图论问题，如最短路径、最小生成树等。
12. 网络流问题：使用Matlab解决网络流问题，如最大流、最小费用流等。
13. 动态规划：使用Matlab解决动态规划问题。
14. 遗传算法：使用Matlab实现遗传算法，求解优化问题。
15. 神经网络：使用Matlab实现神经网络，进行模式识别和预测等任务。
16. 支持向量机：使用Matlab实现支持向量机，进行分类和回归等任务。
17. 聚类分析：使用Matlab进行聚类分析，将数据点分成不同的类别。
18. 主成分分析：使用Matlab进行主成分分析，降低数据的维度。
19. 时间序列分析：使用Matlab进行时间序列分析，预测未来的趋势。
20. 图像处理：使用Matlab对图像进行处理，如滤波、边缘检测等。
21. 信号处理：使用Matlab对信号进行处理，如滤波、频谱分析等。
22. 控制系统设计：使用Matlab设计控制系统，如PID控制器等。
Matlab中的网络分析与复杂系统建模
Matlab中的网络分析与复杂系统建模随着科技的进步和数据的爆炸性增长，网络分析和复杂系统建模成为了解决现实世界问题的有力工具。
Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的工具和函数，可以应用于网络分析和复杂系统建模领域。
本文将探讨Matlab在这两个领域的应用。
一、网络分析网络分析是研究网络结构和节点之间关系的领域。
在现实生活中，许多复杂的系统可以被抽象成网络，如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。
Matlab为网络分析提供了丰富的函数库，可以进行网络的建模、分析和可视化。
首先，Matlab提供了一些常用的网络模型生成函数，如随机图模型、小世界网络模型和无标度网络模型。
这些函数可以根据用户的需求生成具有特定结构的网络，从而帮助用户更好地理解和研究网络的特性和行为。
其次，Matlab提供了一些网络分析的基本函数，如节点度分布、网络直径、平均最短路径等。
这些函数可以帮助用户对网络进行定量分析，了解网络的全局特征和局部特征，比如网络的连通性、紧密度和集聚系数等。
此外，Matlab还支持网络的可视化，用户可以通过绘制网络图来展示网络的结构和关系。
除了基本的网络分析函数，Matlab还提供了一些高级的网络分析工具，如社区检测、节点重要性度量和网络动力学模拟。
社区检测可以将网络分割成不同的子图，每个子图代表一个社区，帮助用户理解网络中的组织结构和功能模块；节点重要性度量可以评估网络中节点的重要程度，从而帮助用户找到关键节点和中心节点；网络动力学模拟可以模拟网络的演化和传播过程，帮助用户研究网络的时序性和动态性。
二、复杂系统建模复杂系统建模是研究复杂系统行为和性质的领域。
复杂系统往往由大量的相互作用的组件组成，如天气系统、金融市场和生态系统等。
Matlab作为一种数值计算软件，提供了丰富的工具和函数，可以用于构建和分析复杂系统的数学模型。
在复杂系统建模中，Matlab可以用于构建系统的数学模型，包括微分方程、差分方程和代数方程等。
Matlab与复杂网络理论的交叉研究与应用
Matlab与复杂网络理论的交叉研究与应用引言近年来，随着互联网的迅猛发展和数据科学的兴起，复杂网络理论作为解析网络结构与功能的一种新兴方法得到了广泛关注。
而Matlab作为一种强大的数值计算和可视化分析工具，正逐渐被应用于复杂网络理论的研究与实践中。
本文将探讨Matlab与复杂网络理论的交叉研究与应用，并通过几个具体的案例来展示其在不同领域中的广泛应用。
复杂网络理论简介复杂网络理论研究的是由大量节点和边构成的复杂网络的结构和性质。
复杂网络可以用于描述各种复杂系统，如社交网络、蛋白质相互作用网络、脑神经网络等。
通过复杂网络理论的研究，我们可以揭示网络的拓扑结构、节点之间的相互关系以及网络的功能等重要信息。
Matlab在复杂网络理论研究中的应用1. 复杂网络模型的构建与分析Matlab提供了丰富的工具箱和函数，可以方便地构建各种复杂网络模型，并对网络的拓扑结构进行分析。
例如，通过使用Matlab中的Graph对象和相关函数，我们可以构建随机网络模型、无标度网络模型、小世界网络模型等，并计算网络的度分布、聚集系数、平均最短路径长度等网络指标。
这些指标可以帮助我们理解网络的特性和行为。
2. 复杂网络的动力学模拟与分析复杂网络的动力学模拟是复杂网络理论中的重要问题之一。
Matlab提供了优秀的数值求解和模拟工具，可以方便地对复杂网络的动力学进行模拟与分析。
例如，我们可以使用Matlab中的差分方程求解器和常微分方程求解器，对复杂网络的节点动态行为进行模拟，从而研究网络的同步、稳定性和干扰传播等动力学行为。
3. 复杂网络的可视化与图形分析Matlab具有强大的数据可视化和图形分析功能，可以帮助我们直观地理解和分析复杂网络。
通过Matlab的图形绘制函数和工具箱，我们可以将网络的拓扑结构和节点属性以图形的形式展示出来，从而帮助我们观察网络的模式、结构分布规律以及节点的重要性等。
同时，Matlab还提供了基于图的分析工具，如最大连通子图、最短路径查找等，便于我们对复杂网络进行进一步的分析。
MATLAB中的神经网络模型构建与训练
MATLAB中的神经网络模型构建与训练神经网络模型是一种模拟人脑神经元活动的数学模型，其可以用于进行各种复杂的数据分析和问题求解。
在MATLAB中，我们可以利用其强大的工具和函数来构建和训练神经网络模型。
本文将介绍MATLAB中神经网络模型的构建过程及其相关训练方法。
一、神经网络模型简介神经网络模型是由一系列相互连接的神经元组成的网络结构。
每个神经元都有多个输入和一个输出，输入通过权重被加权后，经过激活函数激活输出。
神经网络可以分为三层：输入层、隐藏层和输出层。
输入层接收原始数据，隐藏层进行信息处理和特征提取，而输出层给出最终结果。
二、神经网络构建在MATLAB中，可以通过Neural Network Toolbox来构建神经网络。
首先，我们需要确定网络结构，包括输入层神经元数、隐藏层神经元数和输出层神经元数。
接下来，我们调用network函数来创建一个空的神经网络对象。
```matlabnet = network;```然后，我们可以通过net的属性来设置神经网络的各个参数，如输入层的大小、隐藏层的大小、激活函数等。
```matlabnet.numInputs = 1; % 设置输入层神经元数net.numLayers = 2; % 设置网络层数net.biasConnect = [1; 1]; % 设置偏置net.inputConnect = [1; 0]; % 设置输入连接yerConnect = [0 0; 1 0]; % 设置层连接net.outputConnect = [0 1]; % 设置输出连接yers{1}.size = 10; % 设置隐藏层神经元数yers{1}.transferFcn = 'tansig'; % 设置激活函数yers{2}.transferFcn = 'purelin'; % 设置激活函数```上述代码中，我们设置了一个具有10个隐藏层神经元的神经网络，其输入和输出分别为1个。
利用Matlab进行神经科学研究和大脑连接分析
利用Matlab进行神经科学研究和大脑连接分析引言：神经科学是一门研究大脑和神经系统的学科，它试图理解神经元如何工作以及它们之间的连接方式。
近年来，随着计算机和数据分析技术的快速发展，研究人员开始借助计算机编程和数据处理工具进行神经科学研究，并获得了许多重要的发现。
在这篇文章中，我们将重点讨论利用Matlab进行神经科学研究和大脑连接分析的方法和技术。
一、Matlab在神经科学中的应用Matlab是一种流行的科学计算和数据分析软件，它提供了丰富的工具和函数，方便研究人员进行各种科学实验和数据分析。
在神经科学研究中，Matlab被广泛应用于数据处理、模型建立和可视化等方面。
1. 数据处理神经科学研究中经常需要处理大量的数据，包括脑电图（EEG）、功能磁共振成像（fMRI）和神经元活动记录等。
Matlab提供了丰富的数据处理函数和工具箱，方便研究人员处理和分析这些数据。
例如，可以使用Matlab对脑电图数据进行预处理，包括信号滤波、通道去噪和伪迹去除等，以提取有用的信息。
2. 模型建立神经科学研究中常常需要建立数学模型来描述和解释神经系统的工作原理。
Matlab提供了强大的数学建模和仿真功能，可以方便地构建和调整神经网络模型、神经元活动模型等。
研究人员可以使用Matlab进行模型参数估计、模拟实验和模型验证，以帮助理解大脑的工作机制。
3. 可视化Matlab提供了丰富的绘图和可视化函数，可以用于展示和呈现神经科学研究的结果。
研究人员可以使用Matlab绘制脑电图图谱、大脑活动热力图、神经网络拓扑图等，以便更直观地展示研究结果。
二、大脑连接分析大脑是一个复杂的网络系统，其中包含数以亿计的神经元和神经元之间的连接。
大脑连接分析旨在揭示不同脑区之间的连接方式，以及这些连接对大脑功能和疾病的影响。
利用Matlab进行大脑连接分析主要包括以下几个方面。
1. 脑电图和功能磁共振成像数据的预处理脑电图和功能磁共振成像是常用的大脑连接分析技术。
如何用matlab建立环境模型及源代码#精选.
环境建模机器人的采摘环境，根据机械手末端识别技术，将识别的树叶，树枝等障碍物栅格化，不足一格的近似为一格，建立二维环境模型。
采摘环境的建立：建立环境地图的方法主要有栅格法、自由空间法、广义锥法、链接图法、几何信息法等。
【基于蚁群算法的移动机器人路径规划技术的研究刘杰闫清东】3.1.1 可视图法可视图法将环境中的任意障碍物描述成不规则多边形，机器人或者机械手描述为一个质点，并把起始点、目标点以及障碍物简化成的不规则多边形的顶点连接起来，同时去除和障碍物相交的直线，那么剩下的直线都是与障碍物无碰的，机器人在这些直线上选择路径就不会与障碍物发生碰撞，要搜索避障路径，只需要在这些直线上通过一些搜索算法确定路径点即可。
但是，随着起始点和目标点位置的改变，可视图法就必须根据环境来重新定义，这样增加了计算量，降低了灵活性。
3.1.2 自由空间法在自由空间中一般采用凸区法、三角形法、广义锥法等描述障碍物，并构造连通图进行路径规划。
首先，它把环境空间中的障碍物简单描述成自由空间中的不规则多边形，然后，利用某些图论方法建立连通图，最后在建立好的连通图上搜索合适的路径点以至形成一条可行走的路径。
这种方法优点是在确定工作环境空间以后，无论起始点和目标点的位置怎么改变，环境模型也不需要重新建立，其缺点是随着障碍物增加,算法的计算时间几何级变长，而且往往搜索到的路径都不是最优的。
同时，自由空间法一般应用于二维平面空间中进行路径规划，在三维空间中很难建立环境模型，如果非要应用到三维空间中，计算量将是二维空间的无数倍。
3.2 栅格法栅格法建立环境地图的原理是M.B.Metea首先提出的,在平面而为坐标中，用0或者1表示障碍物的方法来建立环境地图，将自由空间和障碍物分别表示为栅格块的集合。
用栅格方法表示二维的环境信息十分简便有效，应用也很广，因此，本文采用栅格法对环境进行建模。
空白栅格表示自由空间也就是机器人能够自由通过的地方，而阴影栅格表示的是障碍物空间【基于栅格法的矿难搜索机器人全局路径规划与局部避障朱磊，樊继壮，赵杰，吴晓光，刘罡】栅格法是将环境空间分割成许许多多的单元格，假设一个单元格中处于障碍物范围，那么这个单元格就作为障碍栅格存在，不是障碍栅格的就作为自由栅格存在。
数据建模常规方法的Matlab实现(实例)
MATLAB(liti21)
3）运算结果为： f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059
0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 x = 0.0063 -0.0034 0.2542
0.0061 0.0063
4）结论：a=0.0063, b=-0.0034, k=0.2542
的。
1. lsqcurvefit
已知数据点： xdata=（xdata1,xdata2,…,xdatan）,
ydata=（ydata1,ydata2,…,ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x,xdata1）,…,F（x，xdatan））T 中的参变量x(向量),使得
6 0.28 15
-0.02
解：(1)画出散点图： x=[0;0.4;1.2;2;2.8;3.6;4.4;5.2;6;7.2;8;9.2;10.4;11.6;12.4;13.6; 14.4;15]; y=[1;0.85;0.29;-0.27;-0.53;-0.4;-0.12;0.17;0.28;0.15;-0.03;0.15;-0.071;0.059;0.08;0.032;-0.015;-0.02]; plot(x,y,'r*')
基于Matlab的无标度网络仿真
１ 无 标 度 网 络 的概 念 及 基 本 性 质
１９ ９ ９年 ， ｂ ｒ、ｅ ｎ ＡｌｅｔＪ ｏ ｇ和 Ｂ ｒｂ ｓ 现 ＷＷＷ 网页 的度分 布不 是 通 常 认 为 的 Ｐ ｉ ｏ ａａ ｄ 发 ｏｓ ｎ分 布 ， ｓ 而是 重 尾特 征 的幂律分 布 ， 而且 ＷＷＷ 基 本 上是 由少数 具有 大量 超链 接 的网页 串连起 来 的 ， 大部 分 网页 的链接 很少 ， 绝 他
无 标度 网络模 型涉及 概率论 、 算机 编程 和 图像 处 理等 内容 ， 于 数 学模 型课 程 来 说是 一 个 较好 的案 例 。 计 对 本文基 于 Ｍａｌｂ软件 实现 无标 度 网络模 型算法 ， 利用 Ｐ ｊｋ 软件做 出无 标度 网络 的 图像 ， 冀 能对 参加 大 ｔ ａ 并 ａｅ 希 学生数 学建模培 训 的学生 有所启 迪 。
李 光 正 ， 龙 余 ， 传桂 翟 左
（ 苏财经 职 业技术 学 院 基 础部 ， 苏淮安 ２ ３ ０ ） 江 江 ２ ０ ３
摘 要 ： 文 章基 于 Ｍａｌｂ软件 实现无 标 度 网络 模 型算 法 ， ｔ ａ 并利 用 Ｐ ｊｋ软件 做 出无标 度 网络 ａ ｅ 的图像 ， 为培 养学 生的数 学建模 能 力提 供 了一 个较好 的案例 。
１９ ９ ９年 Ｂ ｒｂ ｓ 和 Ａｌｅｔ 出 Ｓ ａｅ ｒｅ 无标 度 ） ａａ ｄｉ ｂｒ提 ｃ１—ｆｅ （ 网络 模 型 。与 古 典模 型 相 比 ， 两种 网络 模 型较 好 地 ］ 这
解释 了一些 实际 网络 （ 因特 网和 演员合 作 网等 ） 自组 织形 成 机制 。进 一 步 的实证 研 究 发 现 ， 如 的 大量 的实 际 网
维普资讯
第２ ｌ卷 第 ３期
复杂网络的建模与分析方法
复杂网络的建模与分析方法复杂网络可以用来描述许多自然现象和社会现象，例如社交网络、神经网络、物流网络等等。
如何建模和分析这些网络是一个非常重要的问题。
本文将从复杂网络的建模和分析方法两个方面进行探讨。
一、复杂网络的建模方法1. 随机图模型随机图模型是一种简单的复杂网络建模方法。
在随机图模型中，网络中的节点和边都是随机出现的。
常见的随机图模型包括随机图、小世界网络和无标度网络。
随机图是指节点和边的连接完全随机的网络。
这种网络的度分布通常服从泊松分布，不存在度相关性。
小世界网络是指节点之间的连接既存在局部化的结构，又存在跨度较大的跨越结构。
这种网络的度分布通常服从幂律分布，存在一些特别高度连接的节点。
无标度网络是指节点的度数分布服从幂律分布的复杂网络。
这种网络中有一些特别高度连接的节点，被称为“核心节点”。
2. 基于动力学的模型基于动力学的模型主要是通过对网络中节点之间的动态过程进行建模，来描述网络的演化规律。
常见的基于动力学的模型包括传染病模型、生物进化模型和经济行为模型等等。
传染病模型是指在网络中传染病的传播过程。
常见的传染病模型包括SIR模型和SI模型。
SIR模型将人群分为易感染（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三个部分，模拟了整个传染病在群体中的传播过程。
SI模型只有易感染者和感染者两个部分，不能恢复，模拟了疾病在群体中的无法恢复的传播过程。
生物进化模型是指在网络中生物物种的演化规律。
常见的生物进化模型包括神经网络模型和人工生命模型等等。
经济行为模型是指在网络中经济主体的行为模式。
常见的经济行为模型包括竞争模型和合作模型。
这些模型可以对现实中的市场竞争和公司之间的合作关系进行建模。
二、复杂网络的分析方法1. 度相关性度相关性是指网络中节点的度数之间的相关关系。
网络中节点的度数越高，其相邻节点的度数分布就越不均匀。
在随机图模型中不存在度相关性，但在自然的复杂网络中，度相关性却是很普遍的。
Matlab中的数学建模方法介绍
Matlab中的数学建模方法介绍Matlab是一种非常常用的科学计算和数学建模软件，它具有强大的数学运算能力和用户友好的界面。
在科学研究和工程技术领域，Matlab被广泛应用于数学建模和数据分析。
本文将介绍一些在Matlab中常用的数学建模方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、线性回归模型线性回归模型是一种经典的数学建模方法，用于分析数据之间的关系。
在Matlab中，我们可以使用regress函数进行线性回归分析。
首先，我们需要将数据导入Matlab，并进行数据预处理，如去除异常值和缺失值。
然后，使用regress函数拟合线性回归模型，并计算相关系数和残差等统计量。
最后，我们可以使用plot 函数绘制回归线和散点图，以观察数据的拟合程度。
二、非线性回归模型非线性回归模型适用于数据呈现非线性关系的情况。
在Matlab中，我们可以使用lsqcurvefit函数进行非线性回归分析。
首先，我们需要定义一个非线性方程，并设定初始参数值。
然后，使用lsqcurvefit函数拟合非线性回归模型，并输出拟合参数和残差信息。
最后，我们可以使用plot函数绘制拟合曲线和散点图，以评估模型的拟合效果。
三、差分方程模型差分方程模型用于描述离散时间系统的动态行为。
在Matlab中，我们可以使用diffeq函数求解差分方程模型的解析解或数值解。
首先，我们需要定义差分方程的形式，并设置初值条件。
然后，使用diffeq函数求解差分方程，并输出解析解或数值解。
最后，我们可以使用plot函数绘制解析解或数值解的图形，以观察系统的动态行为。
四、优化模型优化模型用于求解最优化问题，如寻找函数的最大值或最小值。
在Matlab中，我们可以使用fmincon函数或fminunc函数进行优化求解。
首先，我们需要定义目标函数和约束条件。
然后，使用fmincon函数或fminunc函数求解最优化问题，并输出最优解和最优值。
最后，我们可以使用plot函数可视化最优解的效果。
matlab课程论文—无尺度网络的实现与可视化
可以用 graph_plot 函数可视化 scale_free 函数生成的邻接矩阵。例如在 matlab 输入： graph_plot(scale_free(50))，可以得到一个可视化的有 50 个节点的无尺度网络。
这个图上从 0°到 360°按照逆时针排列着 50 个节点， 每个节点上的数字代表着节点的 度，这些连线代表着节点之间的边。从图上可以大致看出比较靠前的节点的度比较大，而后 来新加入的节点度稍微小一些， 而且图上大部分的节点度都比较小， 而很少数的节点则拥有
fori = 1: m0 for j = 1:m0 if (j ~= i) %去除每个点自身形成的? adjacent_matrix(i,j) =1; %建立初始邻接矩阵，3个节点构成完全图 end end end node_degree = zeros(1,m0+1); temp = sum(adjacent_matrix); %初始化点的度 %求每个节点的度
很大的度，复合二八定律。 下面这张图是 100 个节点的无尺度网络可视化结果。 由于节点比较多， 看起来没有那么 舒适，但是还是可以看到度分布的二八定律。
4 分析与思考
无尺度网络还有一个特点就是“富者越富” ，因为新节点发出的边的选择是优先选择度 比较大的点。从可视化结果就可看出，度比较大的点基本都分布在第一象限，也就是最初选 定的初始节点和比较早加进去的点。 这也是因为网络中最开始出现的节点在最初几步新加入 节点时有较大的概率被新加的节点选中作为邻居。 而由于比较早的节点有较大的几率在每一 步被选中， 因而他们的度相比于后加入的节点会比较大， 在后续节点加入过程中更容易被选 中。有如滚雪球般，最初的节点度比较大，容易被选中。容易被选中就导致度更大，最后导 致了度分布为幂率分布。 当然还有一些值得思考的问题， 例如后加入的节点有没有可能因为某个关系而突然取得 领先优势， 在网络中成为度最大的节点？或者在最开始每个节点的度都一样的时候， 度最大 的节点时如何逐渐脱颖而出的？
如何使用MATLAB进行神经网络建模
如何使用MATLAB进行神经网络建模使用MATLAB进行神经网络建模神经网络是一种模拟人脑神经系统运作的数学模型，它能够模拟人类的感知、学习和决策过程。
在现代科学和工程领域，神经网络被广泛应用于诸如模式识别、图像处理、时间序列预测等问题的解决中。
而MATLAB作为科学计算和数据分析的常用工具，也提供了一系列强大的神经网络建模工具。
接下来，我们将介绍如何使用MATLAB进行神经网络建模。
一、准备工作在使用MATLAB进行神经网络建模之前，我们需要准备一些必要的工作。
首先，需要安装MATLAB软件，并确保安装的是最新版本。
其次，需要了解MATLAB中神经网络建模的基本原理和概念。
二、数据准备与预处理在进行神经网络建模之前，我们首先需要准备好用于训练和测试的数据集。
通常情况下，我们需要将数据集分为训练集和测试集两部分。
训练集用于神经网络的训练，而测试集则用于评估神经网络的性能。
在准备好数据集后，我们还需要对数据进行一些预处理操作，例如数据归一化、数据标准化等。
这些操作有助于提高神经网络的性能和收敛速度。
三、神经网络建模使用MATLAB进行神经网络建模的核心步骤包括网络设计、网络训练和网络评估。
首先，我们需要确定神经网络的结构，包括输入层、隐藏层和输出层的神经元数量。
这需要根据具体问题的需求和特点进行调整。
然后，我们可以使用MATLAB提供的神经网络工具箱来建立神经网络模型。
根据问题的不同，有多种神经网络模型可供选择，例如前馈神经网络、递归神经网络、自适应神经网络等。
在建立好神经网络模型后，我们还需要选择合适的训练算法对网络进行训练。
常用的训练算法包括误差逆传播算法（Backpropagation）、Levenberg-Marquardt算法等。
最后，我们使用测试集对训练好的神经网络进行评估，得到模型的性能指标，如准确率、误差等。
四、模型调优与改进神经网络建模是一个不断调优与改进的过程。
在建立好初始模型后，我们可以通过修改网络结构、调整训练参数等方式来改进模型的性能。
无标度网络中的SIS模型的计算机模拟
无标度网络中的SIS模型的计算机模拟续婷;朱烽【摘要】经研究，现实的人际网络与无标度网络是很相似的，而传统的SIS模型是建立在均匀网络上的，已经不能满足现在情况。
由于无标度网络的复杂性，建立新的模型是非常困难的，所以本文利用计算机模拟的方式来研究无标度网络中的SIS模型。
得到了在无标度网络下，传染病传播是很容易的结论。
%The interpersonal relationship is scale -free networks.So, the classic SIS model which is crea-ted in uniform networks is useless , because the scale-free networks are complex .The SIS model in scale-free networks by computer simulation was studied in this paper .The result shows that it is easy to spread to infective diseases in scale-free networks .【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】4页(P424-427)【关键词】SIS模型;无标度网络;均匀网络;计算机模拟【作者】续婷;朱烽【作者单位】中北大学理学院，山西太原 030051;太原科技大学应用科学学院，山西太原 030024【正文语种】中文【中图分类】O242.10 引言传染病是一种扩散性极快的疾病，对人类健康有极大的威胁.近些年的几起大的传染病，对世界产生了极大影响.1998年6月，美国康奈尔大学理论及应用力学系的博士生Watts及其导师Strogatz在Nature杂志上发表了题为《“小世界”网络的群体动力行为》的文章[1].而经典的SIS模型是建立在这种网络下的，即人际网络是一个均匀网络.同时传染性与恢复性是按照固定比例完成的.但在现实世界中这些是很难满足的. 1999年10月，美国圣母大学物理系的Barabasi教授及其博士生Albert在Science杂志上发表了题为《随机网络中标度的涌现》一文，揭示了复杂网络的无标度特性，并建立了无标度网络的模型[2，3].因为无标度网络的优先连接性，所以对于现在世界的互联网与民航网络都是典型的无标度网络，由于网络的复杂性，建立确切的传染病模型是很困难的，同时即便建立起模型，对其的研究也是不容易的.在Pastor－Satorras和 Vespingnani建立的无标度网络中的传染病传播模型就体现了这些特点[4～7].由于解析方程建立的难度，所以上面的模型都不能将传染性与恢复性是按照一定概率进行的这个特点体现出来.同时没有考虑到网络中人与人之间的距离.但是，计算机因为具有强大的计算功能，却可以将上述特点都体现出来.这样可以更直观的研究传染病的传播机理.1 建立模型首先，根据BA无标度网络的特点[3].随机产生网络图.实际上，根据建立经典SIS模型时的条件[8].这里需要考虑传染病在单位时间内具有的两个重要特性:传播性(即与患病者的距离越近，则被传染的机率越大，但超过一定距离则不可能被传染)和恢复性(即患病者会按照一定的机率，变为健康者).设Ai为网络中第i个人为健康者变为患病者;d为有效传播距离;d(i，j)为第i个人与第j个人的距离;Bi为患病者变为健康者;b为恢复率.所以由传播性知，第i人由第j人传染成为患病者的机率为:同时由恢复性知，第人由患病者变为健康者的机率为:从模型中可看出传播性与有效传播距离和初始患病者的人数成正比，同时与恢复率成反比，下面在两种情况下模拟传染病的传播[2，8].2 无标度网络下的SIS模型模拟下面利用matlab编程，随机产生无标度网络图，在给定的初始患病人数，与有效接触距离和治愈率时的模拟结果.当总人数为24939，初始患病人数为10，有效接触距离为2，治愈率为0.8时，下面图1至图10为每隔10个单位时间的网络蔓延图，图中灰色为正常人群，黑色为患病人群:图1 t=10图2 t=20图3 t=30图4 t=40图5 t=50图6 t=60图7 t=70图8 t=80图9 t=90图10 t=100所以，得到了这种情况对应的患病比例图:而当总人数为24431，初始患病人数为5，有效接触距离为，治愈率为0.9.这时每隔十个单位时间得到的疾病蔓延图12至图21为:图11 病人随时间的比例图图12 t=10图13 t=20图14 t=30图15 t=40图16 t=50图17 t=60图18 t=70图19 t=80图20 t=90图21 t=100所以，得到了第二种情况对应的患病比例图:图22 病人随时间的比例图通过上面两次实验，还不能直观的表现传播与初始患病人数和有效接触距离的关系，下面通过几组实验来具体分析传播规律，在实验里设定当患病人数达到总人数的1%，即认为传染病暴发.为了避免不同结构人群的分布不同，实验是在同一结构的人群里做的实验，人总数为:24896，由于一般的传染病都具有固定的治愈率，所以这里取治愈率为0.9.在实验数据中，0表示不传播，1表示传播:表1 第一组实验初始患病人数有效传播距离治愈率是否传播1 0.9 0 1 1.1 0.9 0 1 1.2 0.9 0 1 1.3 0.9 0 1 1.4 0.9 0 1 1.5 0.9 1 1 1.6 0.9 1 1 1.7 0.9 0 1 1.8 0.9 11 1.9 0.9 1 1 1 0.9 1 2表2 第二组实验初始患病人数有效传播距离治愈率是否传播2 0.9 0 2 1.1 0.9 0 2 1.2 0.9 0 2 1.3 0.9 0 2 1.4 0.9 0 2 1.5 0.9 1 2 1.6 0.9 1 2 1.7 0.9 1 12 1.8 0.9 1 2 1.9 0.9 1 2 2 0.9 1表3 第三组实验初始患病人数有效传播距离治愈率是否传播5 0.9 0 5 1.1 0.9 0 5 1.2 0.9 0 5 1.3 0.9 1 5 1.4 0.9 0 5 1.5 0.9 0 5 1.6 0.9 1 5 1.7 0.9 1 5 1.8 0.9 1 5 1.9 0.9 1 1 5 2 0.9 1图23 没有传播的初期图表4 第四组实验初始患病人数有效传播距离治愈率是否传播10 1 0.9 0 10 1.1 0.9 0 10 1.2 0.9 0 10 1.3 0.9 0 10 1.4 0.9 0 10 1.5 0.9 1 10 1.6 0.9 1 10 1.70.9 1 10 1.8 0.9 1 10 1.9 0.9 1 10 2 0.9 1通过上面四组实验，可以观察到，无标度网络下的传播有很强的敏感性，只要有患病者即有可能传播，而传染病的传播对初始患病人数没有很强的依赖，即只需有患病者即可，而对有效传播距离有很强的依赖性，这是在经典模型中看不到的.所以只要传染病的传播能力比较强，即使初始患病者很少也能传播开，这也验证了，当年甲型流感的传播，最初传染源仅是个别从美洲回国的人员，竟然就能将疾病传播开来，说明传染病在无标度网络中是极易传播的，因为现代的航空网络即是无标度网络.但同时也看到了在传播距离为1.3至1.7之间，是否传播是具有不稳定性的，所以通过下面一组实验来分析这种情况，下面实验是在同一结构的人群中，初始患病者为5人，有效传播距离1.5，治愈率0.9，的情况下，随机做了10次实验.表5 第五组实验是否序传号播初始患病人数有效传播距离治愈率1 5 1.5 0.9 0 2 5 1.5 0.9 1 3 1.5 0.9 1 4 5 1.5 0.9 1 5 5 1.5 0.9 1 6 5 1.5 0.9 1 5 7 5 1.5 0.9 08 5 1.5 0.9 1 9 5 1.5 0.9 1 10 5 1.5 0.9 0从实验中可以看到即使在相同的数据下，也会出现不同的情况，这是什么原因呐? 图23是上面没有传播开的实验初期的传播图:从图中的画圈处的病人可看出，若初期病人出现在密度较低处，则即使有效距离较大，也是不会传播的，但从概率的角度可知，若初始患病者越多，这种情况发生的可能性就越低，所以在第一组实验中，由于初始患病人数为1人，所以，这种不稳定就显得更强一些.3 结论从模拟结果可以知道，无标度网络对传染病传播的防范是非常脆弱的.只要有患病者出现，即就有可能传播开，而且传播对有效传播距离有很强的依赖性，也就是只要传染病够厉害，即使1人患病也照样传播，从实验中可以看到，有效传播距离的临界值应该是分布在1.3至1.7之间.这也验证了，前些年发生的甲型流感，最初传染源仅是个别从美洲回国的人员，竟然就能将疾病传播开来，说明传染病在无标度网络中是极易传播的.同时，计算机病毒传播也是典型的无标度网络传播，也是满足这种特性的.计算机模拟的好处就在于，可以利用事物直观的特性，建立比较简单的模型，来了解事物发展规律，结论比较直观.参考文献:[1]Watts D J，Strogatz S H.Collective Dynamics of‘Small－World’Networks[J].Nature，1998，393(6684):440－442.[2]汪小帆.复杂网络理论及其应用[M].北京:清华大学出版社，2006:73－78.[3]Barrat A，Weigt M.On the Properties of Small WorldNetworks[J].Eur.Phys.J.B，2000，13:547－560.[4]Pastor－Satorras R，Vespingnani A.Epidemic Dynamics and Endemic States In Complex Networks[J].Phys.Rev.E，2001，63:066117.[5]Pastor－ Satorras R，Vespingnani A.Epidemic Dynamics in Finite SizeScale－ Free Networks[J].Phys.Rev.E，2002，65:035108.[6]Boguna M，Pastor－Satorras R.Epidemic Spreading in Correlated Complex Networks[J].Phys.Rev.E，2002，66:047104.[7]Liu Z H，Lai Y C，Ye N.Propagation and Immunization of Infection on General Networks with both Homogeneous and Heterogeneous Components[J].Phys.Rev.E，2003，67:031911.[8]姜启源.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2003:135－144.。
模糊控制的Matlab仿真实例
PID控 制模块
阀门 水箱 模型 模型
其他例子
模型Shower.mdl―淋浴温度调节模糊控制系统仿真； 模型slcp.mdl―单级小车倒摆模糊控制系统仿真； 模型 slcp1.mdl―变长度倒摆小车模糊控制系统仿
真； 模型 slcpp1.mdl—定长、变长二倒摆模糊控制系
统仿真； 模型slbb.mdl―球棒模糊控制系统仿真； 模型sltbu.mdl―卡车智能模糊控制倒车系统仿真； 模型sltank2.mdl ― 用子系统封装的水箱控制仿
假设是二元线性关系 用下列 MATLAB 语句可绘出下图 。
可以看到，如果不考虑服务质量因素比食物质量因素对 于小费的支付占有更大的比重，上面的关系图形已经能 够反映一些实际的情况了。假如希望服务质量占小费的 80 % , 而食物仅占 20 ％。这里可以设定权重因子：
用下列 MATLAB 语句可绘出下图
对模糊控制系统的建模关键是对模糊控制器的 建模。Matlab软件提供了一个模糊推理系统 （FIS）编辑器，只要在Matlab命令窗口键入 Fuzzy就可进入模糊控制器编辑环境。
1. Matlab模糊逻辑工具箱仿真
模糊推理系统编辑器（Fuzzy）
模糊推理系统编辑器用于设计和显示模糊推理 系统的一些基本信息，如推理系统的名称，输 入、输出变量的个数与名称，模糊推理系统的 类型、解模糊方法等。其中模糊推理系统可以 采用Mandani或Sugeuo两种类型，解模糊方法 有最大隶属度法、重心法、加权平均等。
如何利用Matlab进行网络分析与优化
如何利用Matlab进行网络分析与优化引言：在当今信息时代，网络技术的发展已经成为人们生活和工作的重要组成部分。
因此，网络的分析与优化，尤其是对于大规模网络的分析与优化，成为了重要的研究领域。
Matlab作为一种强大的科学计算软件，在网络分析与优化中扮演着重要的角色。
本文将围绕如何利用Matlab进行网络分析与优化展开探讨。
一、网络分析在网络分析中，我们可以利用Matlab进行网络的建模与分析。
首先，我们需要将网络表示为一个图，其中节点表示网络中的实体，边表示节点间的连接关系。
利用Matlab的图论工具包，我们可以方便地进行网络的可视化、统计特性的计算以及网络模型的构建。
1.1 网络可视化Matlab的图论工具包提供了各种绘制网络图的函数和工具，让我们能够直观地展示网络的拓扑结构。
通过对网络进行可视化，我们可以更好地理解网络的结构和特性，并有助于后续的分析与优化工作。
1.2 统计特性计算网络的统计特性是了解网络行为和性质的重要指标。
在Matlab中，我们可以利用图论工具包计算网络的度分布、聚类系数、路径长度等统计特性。
这些特性可以帮助我们深入了解网络的性质，为后续的优化工作提供基础。
1.3 网络模型构建为了更好地理解和分析网络，我们可以利用Matlab构建各种经典的网络模型，如随机网络、小世界网络和无标度网络等。
通过这些模型，我们可以模拟真实网络中的一些特性，从而更深入地研究网络的结构和行为。
二、网络优化网络优化旨在改善网络的性能和效率，使得网络能够更好地满足用户和应用的需求。
在网络优化中，我们可以利用Matlab进行网络流量优化、资源分配优化以及拓扑结构优化等方面的工作。
2.1 网络流量优化网络流量优化是指通过合理的路由和调度策略，使得网络中的数据能够以最优的方式传输，从而提高网络的传输效率和吞吐量。
在Matlab中，我们可以利用线性规划、整数规划和最优化算法等进行网络流量的优化设计，从而改善网络的性能和效果。
Matlab中的无线传感器网络建模与仿真方法
Matlab中的无线传感器网络建模与仿真方法无线传感器网络是一种可以收集、处理和传输环境中各种物理量和信息的网络系统。
它由许多分布在环境中的传感器节点组成，这些节点可以通过无线通信相互连接。
Matlab作为一种强大且灵活的编程语言和工具，为研究人员提供了一种便捷的方式来进行无线传感器网络的建模和仿真。
本文将介绍在Matlab中进行无线传感器网络建模与仿真的方法及其应用。
无线传感器网络的建模主要涉及网络拓扑、传感器节点特性、环境参数等方面。
Matlab提供了一些常用的工具箱和函数来实现这些功能，例如Network Toolbox和Statistics and Machine Learning Toolbox。
使用这些工具箱，我们可以轻松地创建各种不同的网络拓扑结构，例如星型、树状、网状等。
在网络拓扑建模方面，我们可以使用Matlab的图论工具箱来创建无线传感器网络的拓扑结构。
通过定义节点和边的关系，我们可以轻松地创建一个无向图，其中节点代表传感器节点，边代表节点之间的通信链路。
然后，我们可以使用图论算法来分析网络的连通性、最短路径等性质。
这些分析结果对于优化网络性能和设计传感器部署方案非常有帮助。
传感器节点特性的建模是无线传感器网络建模中的关键问题。
在Matlab中，我们可以使用多种方法来描述传感器节点的特性，例如使用概率分布来建模节点的能量消耗模型，使用随机变量来建模节点的传感器输出模型等。
此外，Matlab还提供了一些用于处理时间序列数据和信号处理的工具箱，这些工具箱可以帮助我们分析和处理从传感器节点收集到的数据。
除了网络拓扑和传感器节点特性的建模，Matlab还提供了一些用于模拟无线传感器网络行为的工具。
例如，我们可以使用matlab中的蒙特卡罗模拟方法来模拟传感器节点的随机行为和传输过程。
通过在仿真中引入不同的参数和场景，我们可以评估网络性能、检测潜在的故障和问题，并优化网络设计。
无线传感器网络建模与仿真在许多应用领域都起着重要的作用。
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复杂系统无标度网络研究与建模XXX南京信息工程大学XXXX系，南京 210044摘要：21世纪是复杂性的世界，基于还原论的世界观与方法论已经无法满足当前人们对作为一个整体系统的自然界和人类社会的认识和研究，利用系统科学的方法对科学重新审视已近变为迫切的需要。
现实生活中众多复杂网络都具有无标度性，这种无标度网络的增长性和择优连接性很好的解释了富者越富的“马太效应”。
对无标度网络的深入研究，让人们深刻的认识到其在Internet、地震网、病毒传播和社会财富分布网中的理论与现实意义。
本文通过对复杂网络中的无标度网络的分析与研究，介绍了无标度网络区别于一般随机网络的特性与现实意义，并利用了Matlab生成了一个无标度网络。
关键词：无标度网络，幂律特性，模型建立1 引言任何一种网络都可以看作是由一些节点按某种方式连接在一起而构成的一个系统，曾经关于网络结构的研究常常着眼于包含几十个到几百个节点的网络，而近几年关于复杂网络的研究中则常常可以见上万个节点的网络，网络规模尺度上的改变也促使网络分析方法做相应的改变，而复杂网络是近年来随着网络规模、理论和计算机技术的飞速发展而出现的一个新的研究方向。
它的出现不仅顺应了现代科技的发展趋势，而且反映了在以信息科学为支柱的新世纪中，各学科理论及应用交叉、渗透和融合的发展趋势[1]。
复杂系统主要研究其个体之间相互作用所产生的系统的整体性质与行为“复杂系统的复杂性体现在系统的整体性质与行为往往不是系统各个个体的状态的简单综合”因此，复杂系统的研究不能采用还原论的方法，而要从整体上进行研究。
在对复杂系统的研究中，美国物理学家Barabasi和Albert通过对万维网的研究，发现万维网中网页连接的度分布服从幂律分布，而万维网中少数网页(Hub点)具有非常大的连接，大多数网页的连接数甚小Barabasi等把度分布为幂律分布(Power law)的复杂网络称为无标度网络（scale-free net）[2]。
经过众多的科研工作者的努力，已经证实了现实世界中无论是自然界还是人类社会都广泛的存在着具有度分布符合幂律分布的无标度网络，如生物网络、Internet网、WWW网、演员合作网、科学研究合作网、财富分布网、地震网、电站供电网、科技引文网和病毒传播网等。
Newman将这些复杂网络粗略地分成四类:社会网络、信息网络、技术网络和生物网络[3]。
2 无标度网络2.1无标度网络简介传统的随机网络[4](如ER模型)，尽管连接是随机设置的，但大部分节点的连接数目会大致相同，即节点的分布方式遵循钟形的泊松分布，有一个特征性的“平均数”。
连接数目比平均数高许多或低许多的节点都极少，随着连接数的增大，其概率呈指数式迅速递减，故随机网络亦称指数网络。
在科学界，这种方法主导了半个世纪。
但这种方法是静态的，对于普遍存在的动态的演化系统所显示的重要特性，如“马太效应”( 即“富者愈富”现象) 不能进行分析研究。
1998年，Barabasi等开展一项对万维网进行描绘的研究工作。
他们原本以为会发现一个满足泊松分布的随机网络钟形图，但结果出乎他们的意外：万维网基本上是由少数高连通性的页面串连起来的，80%以上页面的连接数不到4个，而占节点总数不到万分之一的极少数节点，却和1000个以上的节点连接。
随机网络具有特征意义的多数节点大致相同的连接数——“平均数”不见了。
于是他们把这种度分布范围很大的的网络称为“无标度网络”。
他们在计算恰好拥有k个连接的万维网页面的数目时，发现网页的连接分布遵循“幂次定律”，即：任何节点与其他k个节点相连接的概率正比于k-λ（P（ k）∝k-λ）。
他们还发现万维网具有“小世界”效应，即在网络中任选两个网页，从一个网页平均点击19次就可找到另一个网页。
经过更多的实证研究发现大量复杂系统，诸如互联网、细胞代谢系统、以及好莱坞的演员合演网络，都存在这种少数但高连通的节点，遵循“幂次定律”。
这种节点可称为“集散节点”( Hub，hub-node)。
许多不同的复杂系统，其网络结构，都是无标度网络，都是由少数集散节点主控的系统[5]。
2.2无标度网络的特性随着国内外对无标度网络研究的扩展，科学家们发现越来越对的网络具有无标度性，并且这些不同领域的各式网络不仅遵循“幂次定律”，而且还有一个普遍的共同点: 幂次定律中k-λ项中的幂指数λ值，通常介于2-3之间。
见表1[5]。
表1.各种网络的度分布幂指数网络规模（节点数）聚类系数平均直径长途连接度分布的负幂指数互联网域层32711 0.24 3.56 2.1万维网153127 0.11 3.1 2.1电话线路329 0.34 3.17 2.5电影演员合演225226 0.79 3.65 2.3数学家合作70975 0.59 9.50 2.51010110210310-710-610-510-410-310-210-1图1 幂律分布对于为什么无标度网络会遵循幂律分布，Baralasi 和Albert 进一步分析了无标度网络遵循幂次定律的原因，和为什么随机网络理论不能解释集散节点的存在。
他们认为随机模型(如RE 模型)未能反映现实网络的两个重要特征：1)增长性，即现实网络是由持续不断地向网络加入新的节点演化而成。
2)择优连接性，现实网络中，并非所有的节点都是平等[6]的。
例如万维网，在选择将网页连接到何处时，人们可以从数十亿网站中进行选择。
可是我们大部分人跟多的是只对Sina 、Sohu 或者Yahoo ！比较了解。
这一小部分中往往包含那些拥有较多连接的网站，只要连接到这些站点，就等于造就或加强了对它们的偏好。
分中往往包含那些拥有较多连接的网站，只要连接到这些站点，就等于造就或加强了对它们的偏好。
这种“择优连接”的过程，也发生在其他网络中。
在好莱坞，连接关系较多的影星更容易受到新秀们的重视。
而在互联网上，那些连接较多的路由器通常还拥有更大的带宽，因而新用户就更倾向于连接到这些路由器上。
增长和择优连接这两种机制，有助于解释集散节点的存在：当新节点出现时，它们更倾向于连接到已经有较多连接的节点，随着时间的推进，这些节点就拥有比其他节点更多的连接数目。
这也就解释了“富者愈富”的过程。
而在随机网络中是不可能出现集散节点的。
无标度网络具有一些重要的特性值得系统科学界高度重视。
如具有的稳健性和脆弱性，不但对说明系统进化的机理有重要的理论意义，而且在系统工程的应用方面也具有重要的实际价值。
在随机网络中，若有较大部分的节点被攻击，随机网络必然溃散成彼此孤立存在的小型孤岛。
但无标度网络经过模拟，情况却和随机网络截然不同，例如：即使从互联网路由器中随机选择的失效节点比例高达80%，剩余的路由器还是能组成一个完整的集群以及任意两个节点间存在通路。
要打击细胞内的蛋白质交互网络也同样困难，即使在细胞内随机制造较高比例的突变，那些没有改变的蛋白质还是会正常地继续合作。
无标度网络[7]对意外故障具有的这种惊人的稳健性，其本质源于这些网络的非同质拓扑结构。
由于绝大部分的节点是非集散节点，因而，按大体上是等概率的随机去除方式，所破坏的主要是非集散节点。
与几乎连接所有节点的集散节点相比，那些非集散节点只拥有少量的连接，因而去除它们不会对网络拓扑结构产生重大的影响。
但是，如遭遇针对集散节点的蓄意攻击时，网络可能不堪一击。
通过一系列的模拟，发现只要去除少数几个主要集散节点，就可导致互联网溃散成孤立无援的小群路由器。
类似地，对酵母的实验也显示，去除那些高连接性的蛋白质，比去除其他节点更容易导致酵母菌死亡。
这些高连接性的蛋白质( 集散节点) 是决定性的，一旦发生使它们无法运作的突变，极有可能会导致整个细胞死亡。
这是无标度网络因存在集散节点而带来的脆弱性的一面。
无标度网络具有稳健性和脆弱性这种双重特性，都源于其存在集散节点。
这种普适的特性，对系统科学有着极其重要的理论意义和工程应用价值。
就理论意义来说，我们认为，系统的有序进化，如生命系统的出现和多样化的发展，就和系统的这个特性相关。
至于工程应用的价值是显而易见的。
例如，对互联网和细胞而言，虽然具有能够应付随机出现的意外故障的重要优点，但为了避免因蓄意攻击带来网络的大规模破坏，最有效的办法就是还要保护好集散节点。
我们还可从积极的方面利用对集散节点的依赖，如药物研究者有可能找到这样的药物，能针对性地攻击细胞或者细菌的集散节点，以便杀死它们而又不会影响健康的组织。
SARS的传播，也使我们看到无标度网络的稳健性和脆弱性所具有的现实的重要性.2.3无标度网络的研究意义无标度网络理论的提出，冲击了人们对网络的认识，在统治了半个多世纪的随机网络理论之外，人们又认识到一种崭新的网络形式，即具有scale-free特性的无标度网络。
这种无标度网络具有的增长性和择优选择性，很好的解释了无论在自然界，还是在社会领域一直困扰着人们的“马太效应”。
除此之外，从上文中也可以看出，对无标度网络的研究，不仅让人们认识到越来越多的系统具无标度特性，并且对无标度网络的稳健性和脆弱性的这种双重热性的深入研究，使人们可以更好的利用这种双重特性，来保护整个网络或者是摧毁一个具有危害性的网络。
1)因为复杂网络上的动力学行为通常会依赖于复杂网络的拓扑结构，因此研究复杂网络的无标度性对于理解复杂网络的动力学行为具有重要的理论意义。
2)复杂网络的无标度性导致了现实社会中“富者更富”的现象出现，也就是说，无标度网络在连接边时，总是遵循一定的“择优性”，使网络中连接边数越大的节点，获取新的连接边的概率越大，从而导致网络中大多数节点仅拥有很少的连边，而极少数节点(被称为Hub节点)连接了大量的连边，对于互联网来说，这意味着如果不人为对网络的连接进行控制，就很容易对网络进行有效地攻击，使整个网络崩溃。
对于财富网络来说，这说明社会的贫富差距在自然演变过程中会逐渐变大，最终导致社会制度的变革。
另一方面，如果对互联网上的Hub节点进行保护，就可以有效地控制计算机病毒的传播。
如果对这些节点进行时时监控，确保其正常运行，则整个网络也处于正常运行的状态之中。
3)具有无标度性质的复杂系统在内、外部作用下的动力学行为，可称为无标度现象。
由于复杂网络的无标度现象表现出两面性，因此就针对不同情况采取对人们有利的措施。
复杂网络的动力学行为，如传播、同步、自组织临界等，在无标度网络拓扑结构下具有其独特的性质，必须进行深入研究。
例如，由于在无标度网络中，网络传染病传播的临界值为0，即说明只要一个无标度网络中有一个节点被病毒传染，如果不加以控制，则网络中所有节点最终都会被传染，而与传播概率无关。
4)一些具有Scale-free 性的复杂系统，特别是工程界、经济界、社会界的一些复杂系统对国计民生有重要意义，我们必须对其加强研究。