总体分布的假设检验-教学设计
总体均数的假设检验
$number {01}
目 录
• 引言 • 假设检验的基本原理 • 总体均数的假设检验方法 • 实例分析 • 总结与展望
01 引言
目的和背景
确定样本数据是否与假设的总体均数 存在显著差异，从而对总体均数进行 假设检验。
在科学实验、统计学、医学研究等领 域广泛应用，用于评估样本数据是否 支持或拒绝关于总体均数的假设。
配对样本均数假设检验实例
总结词
配对样本均数假设检验用于比较同一组研究对象在不同条件下的均数是否存在统计学显 著性差异。
详细描述
例如，为了比较同一组患者在接受两种不同治疗措施前后的改善程度，研究者收集了患 者的基线数据和接受不同治疗措施后的数据，并计算出各自治疗组的平均改善程度。然 后，研究者使用配对样本均数假设检验来比较同一组患者在不同治疗措施下的平均改善
概念简介
假设检验是一种统计推断方法，通过 检验样本数据是否符合某个假设，从 而对总体参数进行推断。
它基于概率论原理，通过计算样本数 据与假设的总体参数之间的差异，评 估这种差异是否具有统计学上的显著 性。
02
假设检验的基本原理
假设检验的步骤
建立假设
根据研究目的，提出一个关于总 体参数的假设，通常包括零假设 和备择假设。
收集样本数据
从总体中随机抽取一定数量的样 本，并记录样本数据。
确定检验水准
选择合适的检验水准，如α和β， 以平衡第一类和第二类错误的概 率。
计算统计量
根据样本数据计算适当的统计量， 如t值、Z值或χ^2值。
假设检验的类型
1 2
3
单样本均数检验
比较一个样本均数与已知总体均数或正常值范围。
两样本均数比较
两个总体参数的假设检验
Part
03
假设检验的注意事项
样本量
样本量过小
01
如果样本量过小，会导致检验结果不稳定，无法准确
推断总体参数。
样本量过大
两个总体参数的假设 检验
• 假设检验的基本概念 • 两个总体参数的假设检验 • 假设检验的注意事项 • 假设检验的实例分析 • 总结与展望
目录
Part
01
假设检验的基本概念
定义
01
假设检验是一种统计推断方法 ，通过对样本数据的分析，对 总体参数做出假设，并通过检 验假设是否成立来得出结论。
02
在假设检验中，通常会先提出 一个关于总体参数的假设，然 后通过样本数据对该假设进行 验证。
03
假设检验的目的是根据样本数 据对总体参数做出合理的推断 ，并尽可能减少因错误判断而 导致的误差。
目的
判断总体参数是否符合预期
通过假设检验，可以判断总体参数是否符合预 期，从而为进一步的研究或决策提供依据。
两个总体比例的比较
总结词
Fisher's exact test
详细描述
Fisher's exact test用于比较两个总体的分类比例是否存在显著差异，特别是当样本量较小时。它基于 Fisher's exact probability distribution，通过计算概率值来评估实际观测频数与期望频数之间的差异是 否具有统计学显著性。
两个总体方差的比较
01 总结词
Levene's test
假设检验
Page: 4
有了显著性水平α和与检验统计量模式，就可以查该模式对应分布的α分为数表，该分位 数就是临界值。再根据备择假设对应的拒绝域模式，确定具体的拒绝域。所分析的项目要求 不同，备择假设就不同，拒绝域和临界值与显著性水平α的关系也不同。 要求： 小于µ0才好 H1： µ > µ0 u1-α
拒绝H0
σ已知 1z检验 σ未知 n≥30 1t检验 σ未知 n<30 µ未知 σ0 已知
x
µ ≤ µ0 µ ≥ µ0 µ = µ0 µ ≤ µ0 µ ≥ µ0 µ = µ0
{ Z ≥ Z1-α} { Z ≤ Z1-α} { Z ≥ Z1-α/2}
Z=———
S/√‾‾ √ n -µ0
x x
{ t ≥ t1-α(n-1)} { t ≤ t1-α(n-1)} { t ≥ t1-α/2(n-1)}
假设检验
LSQ培训教材 LSQ培训教材
五、课程安排
Page:
内容 第一章 单样本假设检验 第二章 双样本假设检验 结束 课堂考试
时间 50 50 20
LSQ培训教材 LSQ培训教材
六、课堂纪律
Page: 4
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七、学习效果
Page: 4
课堂考试 1、考试时间：10-20分钟 考试时间：10-20分钟 2、合格标准：≥80分者合格， 合格标准：≥80分者合格， 分者合格 ＜80分者不合格 80分者不合格 3、后续要求：不合格者补考 后续要求：
方法 拒绝域临界值法 P值法 置信区间法
符合情况 统计量值落入拒绝域 P<
α
结论 拒绝原假设 拒LSQ培训教材 LSQ培训教材 一、单样本假设检验基本概念与步骤
第八章 假设检验(分布拟合检验)
这些试验及其它一些试验， 这些试验及其它一些试验，都显 示孟德尔的3: 理论与实际是符合的 理论与实际是符合的. 示孟德尔的 1理论与实际是符合的 这本身就是统计方法在科学中的一项 这本身就是统计方法在科学中的一项 重要应用. 重要应用
用于客观地评价理论上的某个结论是 否与观察结果相符， 否与观察结果相符，以作为该理论是 否站得住脚的印证. 否站得住脚的印证 Nhomakorabea或
k f i2 n fi χ 2 = ∑ − pi = ∑ −n i =1 pi n i =1 npi
2
统计量
χ
2
的分布是什么? 的分布是什么
皮尔逊证明了如下定理: 皮尔逊证明了如下定理 若原假设中的理论分布F(x)已经完全给 已经完全给 若原假设中的理论分布 定，那么当n → ∞ ，统计量 时 的分布渐近(k-1)个自由度的 χ 分布 个自由度的 分布. 的分布渐近 如果理论分布F(x)中有 个未知参数需用 中有r个未知参数需用 如果理论分布 中有 相应的估计量来代替，那么当 相应的估计量来代替， 时，统 n →∞ 计量 2的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 2 个自由度的 分 χ χ 布.
2 2
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得 2 的实测值落入拒绝域， 统计量 χ 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假 否则就认为差异不显著而接受原假设. 设，否则就认为差异不显著而接受原假设
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 皮尔逊定理是在 无限增大时推导出来 无限 因而在使用时要注意n要足够大 要足够大， 的，因而在使用时要注意 要足够大，以及 npi 不太小这两个条件 不太小这两个条件 这两个条件. 根据计算实践，要求 不小于 不小于50， 根据计算实践，要求n不小于 ，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 否则应适当合并区间， npi满足这个要求 .
统计培训教材1.6-假设检验
(0.5)18k
0.004
k 15
这看来又走到另一个极端了. 如果我们在选择一个方案时,只 敢冒 0.4% 的风险, 未免太胆小, 太怯懦了, 对某先生也未免 太苛刻了.
事实上, 虽然此时我们错误地相信该先生的可能性大大的减 少, 但我们冤枉他的可能性却大大地增加了!
假设检验-7
那么，临界值究竟应取多大合适呢？当然要具体问题具体分 析。事关重大，后果严重的，理应把风险控制的小一点；无 伤大雅，错了可以再来的决策则不妨大胆一点。
80.0 82.5 85.0 87.5 90.0 92.5
假设检验-18
假设检验的前提假设
– 如果数据是连续的，我们假设基本分布是正态。 • 您可能需要转换非正态数据（如周期）。
– 当比较不同总体的子群时，我们假设： • 独立样本。 • 通过随机抽样实现。 • 样本是总体的代表（没有偏差）。
– 当比较不同过程的子群时，我们假设： • 每个过程都是稳定的。 • 没有特殊原因或随时间的变化 （没有与时间相关的差异）。 • 样本是过程的代表（没有偏差）。
假设检验-8
假设检验概要
※工业案例的启示
在工业生产中，我们经常希望能够确定某个分布的参数是否就是某个具体 数值或是否与其有什么关系。也就是说，我们可能希望要检验这样一个假设， 即：某个分布的均值或标准差是否是某些数值，或者两个均值之差是否是零。 这些检验就需要使用假设检验方法。实际工作中的例子有：
假设检验-19
假设(Hypothesis)
一个假设通常是关于总体特性的一个陈述.
待检假设包括两部分:
1) 零假设(null hypothesis) (记为H0)是关于总体参数值的一 个陈述.
2) 备择假设(alternative hypothesis) (记为H1), 也叫对立假 设, 是关于总体参数值的一个与零假设相对立的陈述, 即 若零假设不成立, 则备择假设必定成立.
《概率论与数理统计》课程教案
现在2=363. 37-360=3.37，k=4，20.1(4-1)=6. 251>3.37，故接受H0，认为两性状符合孟德尔遗传规律中9：3：3：1的遗传比例．
第三部分分布族的2拟合检验法(40分钟)
（二）分布族的2拟合检验
在（一）中要检验的原假设是H0：总体X的分布函数是F(x)，其中F(x)是已知的，这种情况是不多的．我们经常遇到的所需检验的原假设是
H0：总体X服从泊松分布
解因在H0中参数未具体给出，所以先估计．由最大似然估计法得 ．在H0假设下,即在X服从泊松分布的假设下，X所有可能取的值为Ω ={0,1,2,…},将Ω分成如表8-4所示的两两不相交的子集A0,A1,…A12．则P{X=i}有估计
例如
表8-5例3的2拟合检验计算表
Ai
fi
A0
皮尔逊定理及其应用
教学方法
提问、讲授、启发、讨论
工具仪器
多媒体教具、教材、教案、教学课件、考勤表、平时成绩登记表
教学安排
考勤、复习相关知识点、新课内容概述、组织教学、布置作业、课后小结
教学过程
教学组织、具体教学内容及教学方法、手段、时间分配及其它说明
备 注
第一部分：旧知识点复习和新课内容概述(5分钟)
(6.2)
的统计量来度量样本与H0中所假设的分布的吻合程度，其中Ci(i=1,2,…k)为给定的常数。皮尔逊证明，如果选取Ci=n/pi(i=1,2,…k)，则由(6.2)定义的统计量具有下述定理中所述的简单性质。于是我们就采用
2= = (6.3)
作为检验统计量。
定理若n充分大，则当H0为真时统计量(6.3)近似服从2(k-1)分布。（证略）
表8-3例2的2检验计算表
3总体均值的假设检验
• 第3步：在分析工具中选择“t检验：平均值的成对二样 本分析”
• 第4步：当出现对话框后
•
在“变量1的区域”方框内键入数据区域
•
在“变量2的区域”方框内键入数据区域
• 为0)
在“假设平均差”方框内键入假设的差值(这里
•
在“”框内键入给定的显著性水平
1 - 29
质量管理 学实验
匹配样本
(数据形式)
质量管理
实验三
学实验 总体均值的假设检验
1 一个（单）总体均值的检验 2 两个（双）总体均值之差的检验
1 -1
质量管σ2理已知时,样本均值的抽样分布 学实验
总体是否正态分布
否
是
样本容量n
大
小
正态分布
x
~N
(, 1 2 )
n
或Z x ~ N (0,1) / n
1 -2
正态分布 非正态分布
x
~N
•第1步：将原始数据输入到Excel工作表格中
•第2步：选择“工具”下拉菜单并选择“数据分析”选项
•第3步：在“数据分析”对话框中选择 “t-检验：双样本异方 差假设”
•第4步：当对话框出现后
•
在“变量1的区域”方框中输入第1个样本的数据区域
•
在“变量2的区域”方框中输入第2个样本的数据区域
•
在“假设平均差”方框中输入假定的总体均值之差
•
在“”方框中输入给定的显著性水平(本例为0.05)
•
在“输出选项”选择计算结果的输出位置，然后“确
定”
1 - 25
质量管理 学实验
两个总体均值之差的 检验
(匹配样本)
1 - 26
质量管理 两个总体均值之差的检验
假设检验课件
z
0
0.916
25
0
• 3 . 拟定p值，作出推断结论 • 当z=0.916时相应旳单侧P=0.1788，P>0.05，按
α=0.05 • 水准，不拒绝H0，能够以为2023年该市无菌化脓17发
二、两独立样本资料旳z检验
当总体均数λ≥20时， Possion分布近似正态分布。
H0 λ1=λ2 H1 λ1≠λ2 α=0.05
2
1 n1
1 n2
样本估计值为 ：
S X1X2
Sc2
1 n1
1 n2
S
2 c
n1 n1
n2 n2
S
2 c
X
2 1
(X 1 )2
/
n1
X
2 2
n1 n2 2
(X 2 )2
/ n2
6
已知S1和S2时：
Sc2
(n1
1)S12
(n2
1)
S
2 2
n1 n2 2
若n1=n2时：
S X1X 2
降低II型错误旳主要措施：提升检验效能。 提升检验效能旳最有效措施：增长样本量。 怎样选择合适旳样本量：试验设计。
33
假设检验应该注意旳问题
34
正态性检验 和两样本方差比较旳F检验
35
➢ t 检验旳应用条件是正态总体且方差齐性；配对 t 检验则要求每对数据差值旳总体为正态总体。
➢ 进行两小样本t检验时，一般应对资料进行方差
15
Possion分布资料旳z检验
•当总体均数λ≥20时， Possion分布近似正态分布。
x
z
0
0
•一、单样本资料旳z检验
假设检验_高等教育-统计学
第三章 假设检验在第二章我们讨论了参数估计问题，本章将讨论统计推断的另一类重要问题假设检验。
所谓的假设检验是先假设总体的分布形式或总体的参数具有某种特征，然后利用样本提供的信息来推断所提出的假设的正确性。
这种处理问题的方法称为假设检验。
3.1基本概念在这一节，我们给出一般的Neyman-Pearson 假设检验构架。
为此，我们从实际例子引入一些基本概念。
例3.1.1洗衣粉装包机在正常工作时，装包量服从正态分布。
根据长期经验知其标准差为15克，而额定标准为每袋净重500克。
今为检验装包机工作是否正常，随机抽取它所包装的洗衣粉9袋，称得净重为497，506，518，524，488，511，510，515，512问由上述数据能否判定包装机工作正常？在这个例子中，已经知道包装量服从标准差为15=σ的正态分布),(2σμN 。
所谓包装机工作正常就是500=μ。
我们先提出装包机工作正常的假设，记为500:=μH 。
然后需要由所得的9个样本观测值来判断假设H 是否成立？因此，这个例子实际上是在总体分布形式已知的前提下关于总体的数学期望假设检验问题。
凡在总体分布形式已知前提下对总体X 的分布中的参数提出作检验的问题统称为参数假设检验问题。
否则，称为非参数假设检验问题。
例如下面的例子是对总体X 的分布类型提出假设作检验的问题。
例3.1.2认为某工厂生产的灯泡其光通量X 服从正态分布，是否正确？又认为某服务窗口在某段时间内接待的顾客数X 服从Poisson 分布，是否正确？下面我们结合讨论例3.1.1，阐述假设检验的基本思想及所涉及到的基本概念。
原假设和备择假设在例3.1.1中，我们已知包装量服从正态分布，实际上是已知包装量X 的分布属于正态分布族});,({2∞<<-∞μσμN 。
包装机工作是正常的，即为假设500=μ。
一般地，设统计模型为};{Θ∈θθP ，关于总体分布中的参数θ的推测，即Θ⊂Θ∈θ:H 称为假设，其中Θ是参数空间Θ的非空真子集。
5.1 总体参数的假设检验
用
, , 表示。
双侧检验和单侧检验 ㈠、双侧检验 双侧检验的原假设与备择假设（以均值检验为例）
H 0 : 0 ; H1 : 0
2
临界值
1
接受域 临界值
2
双侧检验示意图
㈡、单侧检验
单侧检验不仅考虑是否相等，在不等时 还要考虑方向。单侧检验有两种情况。
１．左侧检验 左侧检验的原假设与备择假设（以均值检验为例）
若
t t (n 1) 则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0 。而对于左侧检验 H 0 : 0 ; H1 : 0 若 t t (n 1)
则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0 。
单样本时总体均数比较总结
1.总体方差 如果已知,可以使用u检验
2
统计量u=
x-
x
，其中 x
,， n 且
n 1 n 1 2 d di , Sd 2 ( d d ) i n i 1 n 1 i 1
４．检验统计量
d d t ~t (df ), Sd / n 其中df 配对总数 1
两个总体均数比较的总结
1.单样本(已知一个总体均数0 ) (a).u检验(已知） (b).t检验( 未知） 2.两独立样本（两总体均数都未知） (a ).t检验(当 ， ， 未知)
n
2.总体方差 2如果未知,可以使用t检验 x- 统计量t= ，其中S x S ,自由度 n-1 n Sx
补充：单样本时的总体方差的假设检验例8
（1）H 0 : 2 0 2 ; H1 : 2 0 2 (双侧检验）
2 （ n-1)S 2 2 ~ (n 1) 2
三、假设检验中的小概率原理*
人教版一年级数学教学设计认识统计的假设检验和置信区间
人教版一年级数学教学设计认识统计的假设检验和置信区间假设检验和置信区间是统计学中的两个重要概念，用于对样本数据进行推断和决策，从而对总体进行推断和决策。
在一年级数学教学中，我们可以借助假设检验和置信区间的方法，对学生的学习成绩进行评估和判断。
本文将从基本概念、假设检验的步骤、置信区间的计算以及在一年级数学教学中的应用等方面进行阐述。
一、基本概念假设检验是对总体参数进行推断的一种方法。
在假设检验中，我们通常会提出两个相互对立的假设：原假设(H0)和备择假设(H1)。
原假设通常是我们对总体参数的默认认为，备择假设则是我们想要证明的假设。
通过收集样本数据，计算出样本统计量，从而得到检验统计量并进行推断，从而对原假设进行验正或拒绝，得出结论。
置信区间是对总体参数的估计范围。
通过收集样本数据，计算出样本统计量，然后结合置信水平，计算出置信区间。
置信水平是我们对总体参数的不确定性容忍度，常用的置信水平有95%和99%。
置信区间通常用于对总体参数进行估计，例如总体均值、总体比例等。
二、假设检验的步骤假设检验一般包括以下步骤：1. 提出假设：在进行假设检验前，首先要明确原假设和备择假设。
2. 选择检验统计量：根据具体问题，选择适当的检验统计量，例如在比较两个总体均值时，可使用t检验。
3. 确定显著性水平：显著性水平是在原假设成立的条件下，观察到与原假设相矛盾的结果的概率。
常用的显著性水平有α=0.05和α=0.01。
4. 计算检验统计量：根据样本数据，计算出检验统计量的值。
5. 确定拒绝域：根据显著性水平和检验统计量的分布，确定拒绝域。
如果检验统计量的值落在拒绝域内，则拒绝原假设；否则，不拒绝原假设。
6. 得出结论：根据计算得到的检验统计量和拒绝域的判断，得出对原假设的结论。
三、置信区间的计算置信区间的计算一般包括以下步骤：1. 提出问题：明确要对总体参数进行估计的问题，例如总体均值的估计。
2. 确定置信水平：根据问题的要求和可接受的不确定性容忍度，选择合适的置信水平。
假设检验的基本思想和有关概念的教学设计
㊀㊀㊀㊀㊀假设检验的基本思想和有关概念的教学设计假设检验的基本思想和有关概念的教学设计Һ魏满满１㊀李石虎２∗㊀周㊀勤２㊀（１．江苏师范大学科文学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６；２．江苏师范大学数学与统计学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要探究了假设检验的基本思想和有关概念的教学设计．首先，通过 女士品茶 的故事引入，提炼出假设检验的基本思想；其次，通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤，并介绍了假设检验的两类错误和ｐ值的概念；最后，融入思政的元素，丰富了课堂教学内容．ʌ关键词ɔ假设检验；教学设计ʌ基金项目ɔ江苏师范大学课程思政专项研究（ＫＣＳＺＹ１７）；江苏师范大学数学与统计学院思政示范课程（ＸＹＫＣＳＺ０１）一㊁引㊀言概率论与数理统计课程是各个高校理工科的基础必修课，它在理工科及经管类各专业被广泛应用．假设检验是概率论与数理统计中的重要知识点，是统计推断的主要方法之一，在概率统计的理论研究与实际应用中都占有极其重要的地位．２０１９年３月１８日，在学校思想政治理论课教师座谈会上，习近平总书记明确提出［１］：要坚持灌输性和启发性相统一，注重启发性教育，引导学生发现问题㊁分析问题㊁思考问题，在不断启发中让学生水到渠成得出结论．近年来，各大高校都十分重视思政建设，通过教师培训㊁专家讲座㊁示范课程等多种方式来加深教师对课程思政的理解．教师是高校的 第一主角 ，作为专业课教师，也有责任和义务认真挖掘所授课程的 思政元素 ．例如，２０２１年，李晨和陈丽萍［２］在研究概率统计的思政元素时，以概率学者的文化素养和科学治学精神为切入点，通过多个实际案例剖析全概率公式的应用，潜移默化地引入诸多思政元素来激发学生的学习兴趣．受此启发，本文着重从概率论与数理统计课程中 假设检验 这一角度思考，通过教学设计来探索课程思政理念进概率统计课堂的实践方法，目的就是同大家交流如何上好 假设检验 这一知识点的教学课．首先，我们通过 女士品茶 这一广为流传且富有趣味性的故事引入，启发学生思考，从中提炼出假设检验的基本思想．其次，我们通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤．接着，我们介绍假设检验的两类错误和ｐ值的概念，并介绍假设检验的一些应用．最后，我们融入思政的元素，以我国著名数学家严加安院士的‘悟道诗“为结尾，阐述了概率统计的基本思想，同时激励学生向老一辈科学家学习，树立正确的价值观，从而丰富了课堂教学内容．二㊁教学过程（一）问题引入首先，我们从一个经典故事出发，来体会假设检验的基本思想．例１［３］㊀（女士品茶试验）故事发生在英国剑桥大学，那是２０世纪２０年代，一群大学精英们正在品茶．该茶是由牛奶和茶水混合而成的．在品茶过程中，一位女士宣称：先加入牛奶还是先加入茶，不同的顺序会使茶的口感不同．周围人都认为这位女士简直是在胡言乱语，这是不可能的啊！然而在场的统计学家Ｆｉｓｈｅｒ却对这个话题很感兴趣，他请人端来１０杯调制好的茶让该女士品尝，其中有的是先加的牛奶，有的是先加的茶．结果，这位女士正确地鉴别出每一杯茶的制作顺序．该如何判断该女士是否有鉴别能力呢？Ｆｉｓｈｅｒ的想法：假设该女士没有鉴别能力，这个时候她只能靠猜，从而她猜对的概率为１２．因此，她能同时判断出１０杯茶的概率为２－１０＜０．００１，这个概率非常非常小，仅仅做一次试验是几乎不会发生的，可是，它却发生了！这表明原假设不恰当，应予以拒绝，认为该女士有鉴别能力！假设检验的基本思想：小概率反证法思想．先提出假设，然后设计试验，在原假设成立的条件下计算概率，依据小概率原理来判断是否拒绝原假设．那么多大的概率属于小概率呢？对于不同的问题，会有不同的标准，在统计学中，这个小概率称为显著性水平，常取０．０５或０．０１．接下来，我们就通过生活中的一个实际案例来探索一下假设检验的奥秘．（二）实例分析在生活中，经常会遇到一组数据，我们来看下面的例子．例２［４］㊀质检部门接到投诉后，对某金店进行调查，从标有１８Ｋ的一批项链中抽取２０条，测得其含金量如下：表１㊀某金店项链含金量数据单位：Ｋ１７．６１８．１１７．９１８．３１８．０１７．４１７．５１８．６１７．３１７．８１７．３１７．８１８．１１７．４１７．６１８．０１７．２１８．３１８．３１７．５∗通信作者：李石虎，男，讲师，博士，就职于江苏师范大学，研究方向为概率论与数理统计．联系方式：江苏省徐州市江苏师范大学泉山校区数学与统计学院；电话邮编：２２１１１６；Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｈｉｈｕｌｉ＠ｊｓｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．㊀㊀㊀㊀㊀㊀问：如何判断这批项链有没有达到标准呢？（显著性水平α＝０．０５）分析：观察表１中的数据，我们可以发现：有的含金量大于１８Ｋ，有的含金量小于１８Ｋ，还有的恰好等于１８Ｋ．那么我们能否直接说和标准值１８Ｋ有显著差别呢？根据所学的统计学思想方法，我们已经了解到答案是否定的，因为这里看到的只是样本数据，我们无法直接做出判断．那么应该如何判断呢？我们的思路如下：首先，计算出这２０条项链含金量的平均值为１７．８，它与标准值１８存在０．２的差值．这０．２的差值是由抽样引起的误差，还是有本质的差别？我们利用上述思想来检验一下．令ξ表示这批项链的含金量，由中心极限定理可知ξ ㊃Ｎ（μ，σ２），我们要检验均值是否为μ＝１８，具体步骤如下：１．建立假设．原假设Ｈ０：μ＝１８，表示这批项链符合标准；与之对立的备择假设Ｈ１：μʂ１８，表示这批项链不符合标准．２．在Ｈ０成立时，由Ｆｉｓｈｅｒ定理可知统计量Ｔ＝ ｘ－μＳｎｎｔ（ｎ－１）＝ｔ（１９）．３．由Ｔ分布图像（如图１）可以看出：Ｔ的取值集中在零点附近．这表明：｜Ｔ｜越大，对应的概率就越小．从而存在临界值Ｃ，使得｜Ｔ｜大于或等于Ｃ是一个小概率事件，则Ｃ要满足Ｐ（｜Ｔ｜ȡＣ｜Ｈ０成立）＝α，再由Ｔ分布图像的对称性可知Ｃ＝ｔ０．９７５（１９）ʈ２．０９３．图１㊀Ｔ分布图像从而，当｜Ｔ｜ȡ２．０９３时，非常小的概率事件在此就发生了，只能拒绝原假设Ｈ０．我们将Ｗ＝｛（ξ１，ξ２， ，ξｎ）｜｜Ｔ｜ȡ２．０９３｝这一集合称为拒绝域，如果样本的观测值落到Ｗ中，则原假设应被拒绝．４．代入样本均值和样本标准差进行计算，得到所观测的样本统计量ｔ的值：｜ｔ｜＝｜１７．８－１８｜０．４０３９３２０ʈ２．２１４＞２．０９３，其落到拒绝域Ｗ中，因此原假设被拒绝，故这批项链没有达到标准．为了更直观地理解拒绝域的含义，同学们可以参考Ｔ分布图像．小结㊀本案例利用假设检验思想得出了该金店项链的含金量不符合标准的结论，启发我们对待任何事情都不要抱有侥幸心理，不要弄虚作假，要诚信做人做事，方能赢得大家的信任．项链含金量不达标可能只是使消费者金钱方面的利益受损．试想一下：如果是某大型婴儿奶粉企业检测出质量不达标的产品呢？再或者是婴儿霜经检测含有毒物质呢？抑或是我们服用的某种药物检测出有危害健康的成分呢？这些案例都不是捕风捉影，均上过各大网站热搜，引起了消费者的恐慌．利用假设检验这个工具，有助于我们全面地认识这类事件，既可以让我们避免无谓的损失，又可以帮助我们找到有利的取舍依据．（三）假设检验的基本步骤通过对上述案例的分析，我们可以归纳出求解假设检验的基本步骤：第一步：从要研究的实际问题引入，先提出一个假设，一般称之为原假设，记为Ｈ０，与其对立的假设称为备择假设，记为Ｈ１．例如，在上述案例中，原假设为 这批项链符合标准 ，备择假设为 这批项链不符合标准 ．第二步：依据所研究总体服从的分布，我们来构造合适的检验统计量，并通过所学知识来确定统计量服从的分布．第三步：接下来，我们需要确定检验的拒绝域Ｗ使得Ｐ（（ξ１，ξ２， ，ξｎ）ɪＷ｜Ｈ０成立）ɤα．第四步：根据样本数值计算统计量所对应的观测值．如果计算所得观测值落进了Ｗ中，则说明原假设不当，应予以拒绝，否则原假设不可以被拒绝．（四）假设检验的两类错误在 女士品茶 的例子中，如果该女士本来就没有鉴别能力，但是她运气好，每次都猜对了，这时候我们的推断就出错了．事实上，在假设检验问题中，我们由样本提供的信息来推断总体信息，由于样本只包含总体的一部分信息，这就不可能保证从来不会犯错误．假设检验可能犯的错误有如下两类：（Ⅰ）是否在 拒绝假设Ｈ０ 时用了 小概率原理 ．注意小概率事件并非不可能事件，如果原假设本为真，但由于样本值落进了拒绝区域内而得出 拒绝 的结论，这里犯的错误为弃真错误，通常称为第一类错误，记为α，即Ｐ（拒绝Ｈ０｜Ｈ０为真）＝α．（Ⅱ）反之，如果原假设Ｈ０本来是不成立的，却由于样本值未落进拒绝区域而得出 不能拒绝 的结论．这里的错误是纳伪错误，一般称为第二类错误，记作β，即Ｐ（接受Ｈ０｜Ｈ０不真）＝β．根据检验法则知：当Ｈ０成立时，拒绝Ｈ０的概率小于或等于显著性水平α，但是显著性水平α取得越小越好，因为㊀㊀㊀㊀㊀此时拒绝域也会相应地减小，从而导致犯第二类错误的概率增大．这是一个矛盾的双方，类似于区间估计时的做法，我们需要先固定显著性水平α，再选择合理的检验统计量来适当地减小β的值．下面我们再结合一个实际例子来理解两类错误：在新冠肺炎疫情发生初期，新闻报道中时常会出现 假阳 的检测结果．我们可以从假设检验的两类错误的角度来理解：事实上，任何检验方法都会存在犯错误的可能性，理想的试剂应是 假阴 和 假阳 出现的概率都越小越好，但当样本量有限㊁检测技术没有明显优化提升时，一类错误概率的减少必会导致另一类错误概率的增加，因此处理原则是：人为限定犯第一类错误的概率α，为降低犯第二类错误的概率，我们可以增大样本容量．所以，从统计学的观点看，新闻报道中的 假阴 假阳 患者出现并不奇怪．启发：小概率事件虽然在一次试验中不易发生，但绝非不可能事件，重复次数多了，发生的可能性也就增大了．这说明做任何事情都不要存在投机取巧的心理，俗话说 常在河边走，哪有不湿鞋 勿以恶小而为之，勿以善小而不为 ．反之，再困难的事情，只要我们持之以恒，总是可以成功的，正所谓 锲而不舍，金石为开 ！（五）假设检验的ｐ值可以看出，显著性水平α变小，对应的拒绝域也会变小；当显著性水平α取得足够小时，使得样本值不落在相应的拒绝域中，从而在此显著性水平α下不能拒绝假设Ｈ０．当显著性水平α由上述足够小的值不断增大时，对应的拒绝域也会变大，当显著性水平α大到一定程度时，便可以使样本值落入相应的拒绝域中，从而在此显著性水平α下可以拒绝假设Ｈ０．对于一个确定的样本值，存在一个实数ｐ（０＜ｐ＜１），当显著性水平α＝ｐ时可以拒绝Ｈ０，而当α＜ｐ时原假设Ｈ０不可以被拒绝．可见，ｐ是使依据给定样本数值做出 拒绝Ｈ０ 的最小的那个显著性水平，我们称之为检验的ｐ值．在例２中，我们也可以通过统计软件计算ｔ统计量的值和ｐ值：表２㊀某金店项链含金量检验结果检验值＝１８ｔｄｆｐ值均值差值项链含金量－２．２１４１９０．０３９－０．２００００给定显著性水平α为０．０５，由表２可知ｐ值０．０３９＜０．０５，原假设应被拒绝，认为项链含金量与１８Ｋ之间有显著的统计差异，从而得出 项链不符合标准 的结论．（六）课堂小结与思政本节课我们主要通过 女士品茶 的案例引入假设检验的基本思想，通过分析项链含金量这一实际案例总结出假设检验的基本步骤，也给出了假设检验的两类错误和ｐ值的含义，这为接下来进一步学习不同类型的㊁具体的假设检验打下了必要的基础．假设检验不仅是一种重要的统计方法，更是一种思维方式，告诉我们用数据来说话，理性地看待问题．正因为如此，假设检验在我们的现实生活中有着十分重要的应用．比如，专家利用假设检验，结合临床数据分析不同采样点㊁人群㊁年龄的新冠病毒核酸检测的结果，给有关部门的决策提供参考．假设检验的理论方法不仅被广泛应用于医学检验㊁生物制药等诸多领域，在我们的生产生活，特别是工业产品的质量判断中也有着十分广泛的应用［５］，因为在工厂的实际生产过程中，产品的尺寸总是左右浮动的，存在一定的误差，那么如何判断这些误差是否在允许的范围内？这就要用到假设检验的思想方法．不仅如此，假设检验的理论还可应用于文学研究．例如，东南大学韦博成教授在２００９年［６］利用假设检验的理论方法分析了‘红楼梦“前８０回与后４０回的某些文风差异，得到的结论是 这两部分内容在写作风格方面存在明显的差异 ，给关于‘红楼梦“作者的论断提供了一个强有力的证据．在现实生活中，数据是无处不在的，学习假设检验的思想方法有助于我们正确地挖掘数据背后的规律，做出更客观的判断．如今，我们身处一个大数据时代，通过学习假设检验，更重要的是培养透过现象看本质这一统计思维．这里，调查得来的数据是现象，规律是从数据中探索出来的本质属性．我们需要借助数学模型，并结合统计方法来寻找这其中的规律和随机性，在潜移默化中培养统计思维．正如我国著名的数学家严加安院士在‘悟道诗“中所题：随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．注：课后同学们若想进一步了解统计学的发展历程，可以读一读‘２０世纪统计怎样变革了科学：女士品茶“［７］这一科普著作．ʌ参考文献ɔ［１］习近平主持召开学校思想政治理论课教师座谈会［Ｎ］．新华社，２０１９－０３－１８，２０：５７．［２］李晨，陈丽萍．概率论与数理统计课程教学中思政元素的挖掘与实践［Ｊ］．大学教育，２０２１（９）：１０４－１０６．［３］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程：第３版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９．［４］朱元泽，李贤彬．概率论与数理统计［Ｍ］．上海：上海交通大学出版社，２０１５．［５］乔静．假设检验在工业产品质量判断中的应用［Ｊ］．机电信息，２０２０（２７）：１４２－１４３．［６］韦博成．‘红楼梦“前８０回与后４０回某些文风差异的统计分析（两个独立二项总体等价性检验的一个应用）［Ｊ］．应用概率统计，２００９（４）：４４１－４４８．［７］萨尔斯伯格．２０世纪统计怎样变革了科学：女士品茶［Ｍ］．北京：中国统计出版社，２００４．。
第五章-假设检验
H0: 1500 H1: 1500
1-29
第二十九页，编辑于星期五：十八点 三十四分。
单侧检验
(原假设与备择假设的确定)
一项研究表明，改进生产工艺后，会使 产品的废品率降低到2%以下。检验这 一结论是否成立
研究者总是想证明自己的研究结论(废品率 降低)是正确的
H0: 355 H1: 355
1-28
第二十八页，编辑于星期五：十八点 三十四分。
单侧检验
(原假设与备择假设的确定)
一项研究表明，采用新技术生产后，将 会使产品的使用寿命明显延长到1500小 时以上。检验这一结论是否成立
研究者总是想证明自己的研究结论(寿命延 长)是正确的
备择假设的方向为“>”(寿命延长)
假设其中真有99个白球，摸 出红球的概率只有 1/100 ，
这是小概率事件。
➢小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不 使人怀疑所作假设的正确性，因此可以认为这 个盒子应该不是装有99个白球的那个盒子。
这个例子中所使用的推理方法，称为“带概率性
质的反证法”，或“概率反证法”。
2022/8/9
1-11
抽样分布
拒绝域 /2
1 -
置信水平 拒绝域 /2
临界值
H0值 临界值
样本统计量
1-26
第二十六页，编辑于星期五：十八点 三十四分。
双侧检验 (显著性水平与拒绝域)
抽样分布
拒绝域 /2
1 -
置信水平 拒绝域 /2
临界值
H0值 临界值
样本统计量
1-27
第二十七页，编辑于星期五：十八点 三十四分。
单侧检验
第五章 假设检验
第一节 假设检验概述 第二节 总体参数检验 第三节 非参数检验
假设检验(完整)
抽样分布
置信水平
1 -
拒绝H0
0 观察到的样本统计量
样本统计量 临界值
显著性水平和拒绝域
(右侧检验 )
抽样分布
置信水平
1 -
拒绝H0
0
样本统计量
临界值
第一节 假设检验概述
1、假设检验的基本思想 2、假设检验的步骤 3、两类错误和假设检验的规则
三、两类错误和假设检验的规则
• 1. 第Ⅰ类错误(弃真错误)
x
~ N (0,1) s/ n
x ~ t(n 1)
s/ n
非正态分布 大样本 x ~ N (0,1) / n
x ~ N (0,1)
s/ n
非正态小样本情形不讨论。
3、拒绝域和接受域的确定
(双侧检验 )
抽样分布
拒绝H0
/2
1 -
置信水平 拒绝H0
/2
拒绝域
临界值
临界值
0 接受域
样本统计量 拒绝域
关统计） 6、《红楼梦》后40回作者的鉴定（文学统计）。 7、民间借贷的利率为多少？（金融统计） 8、兴奋剂检测（体育统计）
1、假设检验的基本思想
为研究某山区的成年男子的脉搏均数是否高于一般 成年男子脉搏均数，某医生在一山区随机抽查了25名 健康成年男子，得其脉搏均数x为74.2次/分，标准差 为6.0次/分。根据大量调查已知一般健康成年男子脉 搏均数为72次/分，能否据此认为该山区成年的脉搏 均数μ高于一般成年男子的脉搏均数μ0？
– 原假设为真时拒绝原假设
– 第Ⅰ类错误的概率记为
• 被称为显著性水平
• 2. 第Ⅱ类错误(取伪错误)
– 原假设为假时未拒绝原假设
总体分布的假设检验
其次,提出假设 H0 ：总体 X 的分布函数为 F(x) ,
H1 ：总体 X 的分布函数不是 F(x) .
这里, F(x) 是待检验的某已知分布函数,但其中所含的参数可 以未知.
最后,根据样本的经验分布和所假设的理论分布的吻合 程度,来决定是接受还是拒绝原假设.
注：①在这里备择假设 H1 可不必写出. ②常以分布律或概率密度代替分布函数 F(x) .若总体 为离散型随机变量,则上述假设相当于 H0 ：总体 X 的分布律为 P{X xi} pi ,i 1,2,, pi 已知； 若总体分布为连续型随机变量,则上述假设相当于
H0 ：总体 X 的概率密度为 f (x) , f (x) 已知.
1.2 2拟合检验法的推理方法和步骤
若 H0 中所假设的 X 的分布函数 F(x) 不含未知参数,将随机 试验的可能结果的全体分成 k 个互不相容的事件,记为 A1, A2, , Ak , 在 H 0 为真的条件下计算 P( Ai ) pi , i 1,2,, k .在 n 次试验中,事件
总体分布的假设 检验
1.1 2拟合检验法的基本思想
2 拟合检验法是在总体 X 的分布未知时,根据来自总 体的样本的信息,检验关于总体分布的假设的一种检验方 法.
设总体 X 的分布未知, X1, X 2 ,, X n 是来自总体 X 的
一个样本. 2 拟合检验法的基本思想是： 首先,根据样本观察值用直方图和经验分布函数,推测
i1
npi
故接受 H 0 , 认为这颗骰子是均匀、对称的.
谢谢聆听
Ai 发生的频率
ni n
k
（其中 ni i 1
n
）与
pi
常有差异,但由大数定律可
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（，0 ]，（0，1 ]，（1，2 ]，（2，3 ]，（3，4 ]，（4，5 ]，（5，），由泊松分布的概率函数分别计算落在这些区间的概率：
=0.4471
= 0.3599
= 0.1449
= 0.0389
= 0.0078
=10.4471+0.3599+0.1449+0.0389+0.0078= 0.0014
激发学生的兴趣，让学生体会数学来源于生活。
学生活动
（5分钟）
问题细化，让学生们具体考虑，激发兴趣。
从日常生活的经验和常识入手，调动学生的积极性。
1.总体分布的假设检验（42分钟）
2．二项式检验（20分钟）
我们需要检验总体的分布函数 是否等于某个给定的函数 ， 的具体形式，可以根据经验来确定。当 中含有未知参数时，应利用样本资料采用点估计求得后，再进行检验。其检验步骤为：
检验的假设：
： ； ：
： ； ：
： ； ：
随机抽取的样本数据个数为n或n次独立试验，或是n对相互比较的数组，都可以考虑应用符号检验判定是否来自带有参数p的两点总体。在这n个数据中，每次观察都被分为成功或失败，作为成功的概率是p。 表示成功的数目， 表示失败的数目。在H。为真时，成功的期望数目是np，失败的数目是n(1一p)。 是遵从带有参数p的二项分布， 是带有参数1一p的二项分布。 和 被作为检验统计量。对于任何的p，当 比它期望数目是n 大得多时，则支持 ： ，若 远远地小于np时，则 ： 被支持。对于不同的备择假设，可以选择不同的检验统计量。将其总结如表。
（2）、选择适当统计量
原假设为真时，从概率的角度看实际频数 与理论频数n 很近似，从而使实际频数 与理论频数n 离差平方和 较小，由于该离差平方和 是有单位的，且数值的高低受 水平高低的影响，所以检验的最好的统计量应为 ，且在原假设为真的条件下，这个统计量近似地服从具有m1r个自由度的 分布，其中r是需要用样本来估计的总体的未知参数的数目，若没有未知参数需要估计，则r为零。
（3）、由给定的显著性水平，查表确定临界值 （这种检验是右侧检验）。
（4）、利用样本值 计算实际频数 ，再计算经验概率 ，据以计算 的值。
（5）、作结论，若 ，则拒绝原假设，即认为总体的分布函数不为 ；反之，则接受原假设，即认为总体的分布函数为 。
例某公路上，交通部门观察每15秒钟内过路的汽车辆数，共观察了50分钟，得如下样本资料：
为了计算 统计量的值，列出下表
区间
n
n
（，0 ]
(0，1 ]
(1，2 ]
(2，3 ]
(3，4 ]
(4，)
92
68
28
11
1
0
0.4471
0.3599
0.1449
0.0389
0.0078
0.0014
89.42
71.98
28.98
7.78
1.56
0.28
2.58
3.98
0.98
6.66
15.84
0.96
情感态度与价值观
通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。
教学分析
教学内容
1.总体分布的假设检验
2．二项式检验
3．双样本的 检验
教学重点
总体分布的假设检验、二项式检验、双样本的 检验。
教学难点
总体分布的假设检验的适用范围、基本步骤。
教学方法与策略
板书设计
前50分：
1.引导课题
2.总体分布的假设检验
后50分：
3.二项式检验
4.双样本的 检验
教学时间设计
1.引导课题 …………3分钟
2.学生活动 …………5分钟
3.总体分布的假设检验…………42分钟
4.二项式检验…………20分钟
5.双样本的 检验 …………25分钟
6.课堂小结 …………5分钟
教学手段
学
习
目
标
知识与技能
了解总体分布的假设检验的背景来源；
了解总体分布的假设检验的基本思想；
掌握总体分布的假设检验的适用范围、基本步骤及其具体运用。
过程与方法
通过问题的引入，引导学生分析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。
多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。
教学进程
教学意图
教学内容
教学理念
引出课题
（3分钟）
前几节我们讨论了总体参数的假设检验，至于总体服从什么分布我们是不关心的，这些总体要么服从正态分布，要么不服从正态分布，不服从正态分布时，我们就用大样本构造统计量，检验其未知参数。然而，在实际问题中，会遇到必须了解总体的分布函数的时候。
辆数
0
1
2
3
4
理论频数
92
68试问通过的汽车辆数可否认为服从泊松分布，显著性水平为= 0.05。
由泊松分布的概率函数 (k = 0、1、2、3、…；>0 ），的估计量为：
= = = = 0.805
由题义，要检验的假设为：
(k =0、1、2、3、…；>0 ），
总体不服从泊松分布。
当原假设为真时， 服从自由度为2（kr1 = 411=2）的 分布。
概率论与数理统计教学设计
课程名称
概率论与数理统计
课时
100分钟
任课教师
刘涛
专业与班级
财管B1601---B1606
课型
新授课
课题
8.4 总体分布的假设检验
教材分析
“总体分布的假设检验” 属于教材第八章第四节，位于教材的第239页至第243页.在实际问题中，常常不能确切与之总体服从何种分布，这就需要从大量观测数据中去发现规律，对总体的分布进行推测，这类统计检验陈伟非参数检验。可以说，总体分布的假设检验是对第八章前三节内容的总结以及综合应用。
5.66
0.07
0.22
0.03
0.59
0.91
由计算表可知 = 0.91。
由= 0.05，查 分布表得临界值 ，因为 ，所以接受原假设，即认为通过该地段的汽车车辆数服从泊松分布。
二项式检验
在实际问题中，有许多总体服从二项分布，两点分布。如赞成改革与不赞成改革；某种药对某种病的患者起作用和不起作用。在这个两点总体中“成功”或“失败”所占的成数是否为p和（1—p）。普通的符号检验可以用于来自任何两点总体的样本数据。
（1）、提出统计假设
由统计假设 出发，将总体取值范围分为m个互不相容的小区间： ， ，…， ，区间个数以7~14为宜。然后，统计出每个区间内样本点的数目，即实际频数 （ … ，m)，显然有 = n。再用 ( …）表示变量在第i个区间的概率，即理论概率 = （ … ，m)，且 = 1，令落在第i个区间的理论频数为n （ … ，m)，在检验中，落在每个区间的理论频数n 不应该小于5，否则应将相邻的组合并。