2017年北京市东城区高考数学二模试卷及答案(理科)
2017,5东城高三数学试题及参考答案(理科)校正稿
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．已知集合2{|40}A x x =-<，则A =R ðA ．{|2x x ≤-或2}x ≥B ．{|2x x <-或2}x >C ．{|22}x x -<<D ．{|22}x x ≤≤- 2．下列函数中为奇函数的是A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+ C．y D ．||e x y -=3．若,x y 满足10,0,0x y x y y -++⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥则2x y +的最大值为A ．1-B ．0C ．12D ．2 4．设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和．若15172a a +=，244a a =，则6=S A ．2716 B ．278C ．634 D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶(约12021261-)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利 用秦九韶算法求多项式的一个实例． 若输入的5,1,2n v x ===， 则 程序框图计算的是 A ．5432222221+++++ B ．5432222225+++++ C ．654322222221++++++ D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a L 和123,,,,n b b b b L ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=L ，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格 低于蔬菜B 的价格，记作：A B p ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是 A ．若A B p ，B C p ，则A C pB ．若A B p ，BC p 同时不成立，则A C p 不成立 C ．A B p ，B A p 可同时不成立D ．A B p ，B A p 可同时成立第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为 ．10．在极坐标系中，直线cos sin 10r q q +=与圆2cos (0)a a r q >=相切，则a = ． 11．某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有 种．（用数字作答）12．如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=︒，30ADB ∠=︒，1BC =， 2DC =，1cos 4BCD ∠=，则BD = ；三角形ABD 的面积为 ．13．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA =．14．已知函数|1|,(0,2],()min{|1|,|3|},(2,4],min{|3|,|5|},(4,).x x f x x x x x x x -∈=--∈--∈+∞⎧⎪⎨⎪⎩① 若()f x a =有且只有一个根，则实数a 的取值范围是_______．② 若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围 是_______．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 15.（本小题13分）已知函数()2cos 2()f x x a x a =+⋅∈R ． （Ⅰ）若()26f =π，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在7[,]1212ππ上单调递减，求()f x 的最大值．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该 主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之 比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择 8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17.（本小题共14分）如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ^平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，2EA ED AB EF ===，EF AB ∥，M 为BC 中点．（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ；（Ⅱ）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ^？若存在，求CG CF的值；若不存在，说明理由．设函数2()()e ()x f x x ax a a R -=+-⋅∈．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（Ⅱ）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t Î，存在[0,2]s Î使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围．19.（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ， 线段BN 的中点为E ．证明： 点B 关于直线EF的对称点在直线MF 上．20.（本小题共13分）对于n 维向量12(,,,)n A a a a =鬃?，若对任意{1,2,,}i n 巫鬃均有0i a =或1i a =，则 称A 为n 维T 向量. 对于两个n 维T 向量,A B ，定义1(,)||ni i i d A B a b ==-å．（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，求(,)d A B 的值；（Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：231,,,A A A ⋅⋅⋅，若1(1,1,1,1,1)A =且满足：1(,)2i i d A A +=，*i ÎN ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)；（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：231,,,A A A ⋅⋅⋅，若112(1,1,,1)A个=鬃?且满足：1(,)i i d A A m +=， *m N Î，1,2,3,i 鬃?=，若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A个鬃?=，j A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m ．东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）C （4）B （5）D （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）(1,2) （10）1 （11）14（12）21 （13 （14）(1,)+∞ (4,2)(2,4--U 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()2cos 2=2666f a πππ=⋅+⋅⋅， ………3分 所以31222a +?． ………5分所以1a =． ………6分（Ⅱ）由题意(22)f x x x)x ϕ=+，其中tanϕ=．………8分 所以T =π，且712122πππ-=， ………9分所以当12x π=时，max ()sin()126y f ϕππ==+．所以=+23k k ϕππ(∈)Z ． ………10分所以tanϕ=3a =． ………11分所以π())3f x x =+． ………12分所以()f x 的最大值为 ……………………13分（16）（共13分）解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”（1,2,,9i = ）. 根据题意，1()9i P A =，且()i j A A i j =乒 . …………1分（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则47B A A = . …………2分C所以47472()()()()9P B P A A P A P A ==+=. …………5分 （Ⅱ）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2， …………6分4784781(0)()()()()3P X P A A A P A P A P A ===++= ，…………7分356935694(1)()()()()()9P X P A A A A P A P A P A P A ===+++= ，…………8分12122(2)()()()9P X P A A P A P A ===+=． …………9分 所以X 的分布列为分故X 的期望14280123999EX =???．…………………11分 （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）取CD 中点N ，连结,MN FN ．因为,N M 分别为,CD BC 中点， 所以MN ∥BD ． 又BD ⊂平面BDE 且MN Ë平面BDE ， 所以MN ∥平面BDE ， 因为EF ∥AB ，2AB EF =， 所以EF ∥CD ，EF DN =． 所以四边形EFND 为平行四边形． 所以FN ∥ED ．又ED ⊂平面BDE 且FN Ë平面BDE ，所以FN ∥平面BDE ， ………2分 又FN MN N = ，所以平面MFN ∥平面BDE ． ………3分 又FM Ì平面MFN ，所以FM ∥平面BDE ． …………4分C（Ⅱ）取AD 中点O ，连结EO ，因为EA ED =，所以EO ^因为平面ADE ^平面ABCD 所以EO ^平面ABCD ，EO 因为AD AB =，60DAB ∠=所以△ADB 为等边三角形． 因为O 为AD 中点， 所以AD BO ^．因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点，,,OA OB OE 为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -．…………6分 由题意得，(2,0,0)A ，B ，(C -，(2,0,0)D -，E ，(1F -．………7分(3,CF =，DE = ，(0,BE =-．设平面BDE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BE DE ì?ïíï?î n n 即0,0.y z x ì-=ïíï=î 令1z =，则1y =，x =-所以(,1)=-n ．………9分 设直线CF 与平面BDE 成角为α，sin |cos ,|αCF =< n 所以直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值为10． ……………………10分 （Ⅲ）设G 是CF 上一点，且CG CFλ=，[0,1]λ∈．……………11分因此点(34,)G λ-+．……………12分(34,)BGλ=-． 由0BG DE ? ，解得49λ=．所以在棱CF 上存在点G 使得BG ^DE ，此时49CG CF =．………14分解：（Ⅰ）当0a =时，因为2()e x f x x -=?，所以2'()(2)e x f x x x -=-+?， …………1分'(1)3e f -=-． …………2分又因为(1)e f -=， …………3分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为e 3e(1)y x -=-+，即3e 2e 0x y ++=． ……………………4分（Ⅱ）“对任意的[0,2]t Î，存在[0,2]s Î使得()()f s g t ³成立”等价于“在区间[0,2]上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”． …………………5分因为2215()1()24g x x x x =--=--， 所以()g x 在[0,2]上的最大值为(2)1g =．2'()(2)e ()e x x f x x a x ax a --=+?+-?2e [(2)2]x x a x a -=-+-- e (2)()x x x a -=--+ 令'()0f x =，得2x =或x a =-． …………………7分 ① 当0a -?，即0a ³时，'()0f x ³在[0,2]上恒成立，)(x f 在[0,2]上为单调递增函数， ()f x 的最大值为21(2)(4)e f a =+?, 由21(4)1ea +壮，得2e 4a ?． ……………9分 ② 当02a <-<，即20a -<<时，当(0,)x a ∈-时，'()0f x <，()f x 为单调递减函数，当(2)x a ∈-，时，'()0f x >，()f x 为单调递增函数． 所以()f x 的最大值为(0)f a =-或21(2)(4)e f a =+?, 由1a -?，得1a ?；由21(4)1ea +壮，得2e 4a ?． 又因为20a -<<，所以21a -<?． ……………11分 ③ 当2a -?，即2a ?时，'()0f x £在[0,2]上恒成立，()f x 在[0,2]上为单调递减函数，()f x 的最大值为(0)f a =-，由1a -?，得1a ?， 又因为2a ?，所以2a ?．综上所述，实数a 的值范围是1a ?或2e4a ?．……………………13分解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2a =． ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB Д．……………6分设直线AM 的方程为(2)(0)y k x k =+?，则(2,4),(2,2)N k E k ．……7分设点00(,)M x y ，由22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî得2222(34)1616120k x k x k +++-=，得2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+î……9分 ① 当MF x ^轴时，01x =，此时12k =?． 所以3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?．此时，点E 在BFM Ð的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+， 即EF 平分MFB Ð． ……10分 ② 当12k 贡时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k==--， 所以直线MF 的方程为24(41)40kx k y k +--=． ……11分 所以点E 到直线MF 的距离2d2=22|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==． 即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，由定义1(,)||niii d A B a b ==-å，可得(,)4d A B =. …………………………4分（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,,m A A A A L ，使得1(1,1,1,1,1)A =，(0,0,0,0,0)m A =.因为向量1(1,1,1,1,1)A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第(1,2,3,4,5)i i =个分量1变化了21i n -次之后变成0， 所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要12345(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n -+-+-+-+- 123452(2)1n n n n n =++++--次，此数为奇数.又因为*1(,)2,i i d A A i +=?N ，说明i A 中的分量有2个数值发生改变， 进而变化到1i A +，所以共需要改变数值2(1)m -次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0). ……………9分 （Ⅲ）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =. ……………13分易见当m 为12的因子1,2,3,4,6,12时，给 (1分). 答出5,8,10m =给(1分).答出7,9,11m =中任一个给(1分)，都对给(2分)。
2017北京各区高三数学理一模二模期末导数汇编含答案
2017平谷期末理18．(13分)已知函数1()(1)x f x k x e=-+． （Ⅰ）如果()f x 在0x =处取得极值，求k 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （III ）当0k =时，过点(0,)A t 存在函数曲线()f x 的切线，求t 的取值范围.18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R ．所以 (1)1()x xk e f x e --'=∵函数()f x 在0x =处取得极值∴00(1)1(0)0k e f e--'==，解得：k=0 当k=0时，1()x xe f x e-'=，11()00,()00,x x x x e e f x x f x x e e --''=>⇒>=<⇒< ∴函数()f x 在0x =处取得极小值，符合题意。
………..3分（Ⅱ）因为(1)1()x xk e f x e--'=． ①当1k ≥时， ()0f x '<恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞为减函数 ②当1k <时，令()0f x '= ， 则ln(1)x k =--，当(,ln(1))x k ∈-∞--时，()0f x '<，()f x 在(,ln(1))k -∞--上单调递减； 当(ln(1),)x k ∈--+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln(1),)k --+∞上单调递增；…8分 （III ）设切点坐标为00(,)x y ，则切线方程为000'()()y y f x x x -=- 即000011()(1)()x x y x x x e e -+=--将(0,)A t 代入得001x x t e +=．令1()x x M x e +=， 所以 ()x x M x e -'=．当()0xxM x e-'==时，00x =． 所以 当(,0)x ∈-∞时，()0M x '>，函数()M x 在(,0)x ∈-∞上单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，()0M x '<，()M x 在(0,)x ∈+∞上单调递减．所以 当00x =时，max ()(0)1M x M ==，无最小值．当1t ≤时，存在切线； …..13分2017昌平高三期末理)( 13分) 设函数()ln(1)f x ax bx =++，2()()g x f x bx =-. （Ⅰ）若1,1a b ==-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y g x =在点(1,ln 3)处的切线与直线1130x y -=平行. (i) 求,a b 的值；(ii)求实数(3)k k ≤的取值范围，使得2()()g x k x x >-对(0,)x ∈+∞恒成立.(18)解：（Ⅰ）当1,1a b ==-时，()ln(1),(1)f x x x x =+->-， 则1'()111x f x x x-=-=++.当'()0f x >时，10x -<<；当'()0f x <时，0x >； 所以()f x 的单调增区间为(1,0)-，单调减区间为(0,)+∞. …4分 （Ⅱ）(i)因为22()()ln(1)()g x f x bx ax b x x =-=++-，所以'()(12)1ag x b x ax=+-+. 依题设有(1)ln(1),11'(1),3g a g =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 即ln(1)ln 3,11.13a ab a+=⎧⎪⎨-=⎪+⎩解得23a b =⎧⎨=-⎩. ……8分 (i i)21()ln(12)3(),(,)2g x x x x x =+--∈-+∞2()()g x k x x >-对(0,)x ∈+∞恒成立，即2()()0g x k x x -->对(0,)x ∈+∞恒成立.令2()()()F x g x k x x =--．则有24(3)1'()12k x k F x x-+-=+．① 当13k ≤≤时，当(0,)x ∈+∞时，'()0F x >，所以在(0,)+∞上单调递增. 所以()(0)0F x F >=，即当(0,)x ∈+∞时，2()()g x k x x >-；②当1k <时，当x ∈时，'()0F x <，所以在上单调递减，故当x ∈时，()(0)0F x F <=，即当(0,)x ∈+∞时，2()()g x k x x >-不恒成立.综上，[1,3]∈．…13分()F x ()F x k2017朝阳期末理19．（ 14分）设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)e xg x x ax =-+，R a ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围；（Ⅲ）证明()()f x g x ≤． 19．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)+∞，(221)()1x ax a f x x -+'=-．当1a =时，(2)426f a '=+=，(2)437f a =+=．所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)y x -=-．即65y x =-．……4分 （Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()(e 2)xg x x a '=+．①当0a =时，函数()(1)e xg x x =-只有一个零点；②当0a >，因为e 20xa +>， 当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>．所以函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．又(0)1g =-，(1)g a =， 因为0x <，所以10,1x x e -<<，所以(1)1x e x x ->-，所以2()1g x ax x >+-取0x =00x <且0()0g x >所以(0)(1)0g g <，0()(0)0g x g <．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当0a <时，由()(e 2)0xg x x a '=+=，得0x =，或ln(2)x a =-． ⅰ) 当1a <-，则ln(2)0a ->．当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． ⅱ) 当12a =-，则l n (2)0a -=，()g x 在(,)-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．若12a >-，则ln(2)0a -≤．当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到当0,0x a <<时，2()(1)e 0xg x x ax =-+<，(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).+∞……9分 （Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1x g x f x x x x -=-----．设()(1)e ln(1)1x h x x x x =-----，其定义域为(1,)+∞，则证明()0h x ≥即可．因为1()e (e )11xx x h x x x x x '=-=---，取311e x -=+，则1311()(e e )0x h x x '=-<，(2)0h '>．又因为21()(1)e 0(1)x h x x x ''=++>-，所以函数()h x '在(1,)+∞上单增． 所以()0h x '=有唯一的实根0(1,2)x ∈，且001e1x x =-． 当01x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>．所以函数()h x 的最小值为0()h x ． 所以00000()()(1)e ln(1)1x h x h x x x x ≥=-----00110x x =+--=． 所以()().f x g x ≤…14分2017东城期末理 18．设函数．（Ⅰ）若f （0）为f （x ）的极小值，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）＞0对x ∈（0，+∞）恒成立，求a 的最大值． 18．解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），因为，所以f′（x ）=﹣，因为f （0）为f （x ）的极小值，所以f′（0）=0，即﹣=0，所以a=1，此时，f′（x ）=，当x ∈（﹣1，0）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增．所以f （x ）在x=0处取得极小值，所以a=1． … （Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f （x ）在[0，+∞）上为单调递增函数， 所以f （x ）＞f （0）=0，所以f （x ）＞0对x ∈（0，+∞）恒成立． 因此，当a ＜1时，f （x ）=ln （x +1）﹣＞ln （x +1）﹣＞0，f （x ）＞0对x ∈（0，+∞）恒成立．当a ＞1时，f′（x ）=，所以，当x ∈（0，a ﹣1）时，f′（x ）＜0，因为f （x ）在[0，a ﹣1）上单调递减， 所以f （a ﹣1）＜f （0）=0，所以当a ＞1时，f （x ）＞0并非对x ∈（0，+∞）恒成立． 综上，a 的最大值为1． …2017丰台期末理18.（13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值. 18．解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=….2分 因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ….4分因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-．…….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数， 故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； …….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， …….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. …….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,l n )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -；…….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -.…….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……….13分2017海淀期末理19. （14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．19. 解：（Ⅰ）由()ln 1a f x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x +=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x +=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增，所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->，所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =， 所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x0x0(,)x +∞'()g x -0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可） 2017石景山期末理19．（ 14分）已知函数2()11xf x x =++，2()(0)a xg x x e a =<． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．19．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1．……5分 （Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =． 所以应满足max ()1g x ≤．………7分因为2()e axg x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=．…8分 因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a=-． （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时，在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分（ⅱ）当202a<-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224()()e g x g a a =-=．由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-．……13分综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-．……14分2017通州期末理18．（13分）设函数()()1kxf x e k R =-∈．（Ⅰ）当k ＝1时，求曲线()y f x =在点))0(0(f ，处的切线方程； （Ⅱ）设函数kx x x f x F -+=2)()(，证明：当x ∈)0(∞+，时，()F x ＞0.18．解：(Ⅰ)'()x f x e =，…….1分将x =0分别代入f (x )和f ’(x )得，f ’(0)=1， f (0)=0…….3分 所以曲线在点(0, f (0))处的切线方程为：y =x . …….4分(Ⅱ)'()2kx F x ke x k =+-…….6分令()2kx g x ke x k =+-，则2'()2kx g x k e =+…….8分 20,0kx e k >≥ ，2'()20kx g x k e ∴=+>…….10分∴g (x )在(0,)+∞上单调递增，∴g (x )>g (0)=0即'()0F x >，…….11分∴F (x )在(0,)+∞上单调递增，∴F (x )>F (0)=0….13分2017西城期末理18．（ 13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围． 18．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分] 导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-， 所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分]所以2a =．[4分]（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥．[6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->， 所以11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥．[8分] 令()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-．[10分] 因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=．[12分] 所以1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]2017丰台一模理18.（13分）已知函数1()ln()(0)f x kx k k x=+->.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意12[]x k k∈，，都有ln()1x kx kx mx -+≤，求m 的取值范围.18．解：由已知得，()f x 的定义域为(0,)+∞. （Ⅰ）21()x f x x-'=， 令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<. 所以函数()f x 的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1,)+∞. …5分（Ⅱ）由ln()1x kx kx mx -+≤，得1ln()kx k m x+-≤，即()max m f x ≥. 由（Ⅰ）知，（1）当2k ≥时，()f x 在12[,]k k 上单调递减，所以1()()0max f x f k ==，所以0m ≥； .（2）当01k <≤时，()f x 在12[,]k k上单调递增，所以2()()ln22max kf x f k ==-，所以ln 22km ≥-；（3）当12k <<时，()f x 在1[,1)k 上单调递减，在2(1,]k上单调递增，所以12()(),()max f x max f f k k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 又1()0f k =，2()ln22k f k =-,① 若21()()f f k k ≥，即ln 202k -≥，所以12ln 2k <<，此时2()()ln22max kf x f k ==-，所以ln 22km ≥-.② 若21()()f f k k <，即ln 202k-<，所以2ln 22k ≤<，此时max ()0f x =，所以0m ≥综上所述，当2ln 2k ≥时，0m ≥；当02ln 2k <<时，ln 22km ≥-.…13分 2017延庆一模理18.（13分）已知函数()()ln()f x x a a x =+-．(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； (Ⅱ)当a e =时，求证：函数()f x 在0x =处取得最值． 18. 解：(Ⅰ)因为1a =1()ln(1)1x f x x x +'=-+-…2分 (0)1f '=-，所以1k =- …3分 因为(0)0f =所以切点为(0,0)， …4分 则切线方程为y x =- …5分 (Ⅱ)证明:定义域(,)e -∞ 函数a e =所以()ln()x ef x e x x e +'=-+-…6分 (0)f e =2()ln()1ef x e x x e'=-++- 当(,)x e ∈-∞时，ln()y e x =-,21ey x e=+-均为减函数…7分 2()ln()1ef x e x x e'=-++-所以()f x '在(,)e -∞上单调递减；…8分 又(0)0f '= 因为当(,0)x ∈-∞时2()ln()10ef x e x x e '=-++>-…9分 ()f x 在(,0)-∞上单调递增；…10分又因为当(0,)x e ∈2()ln()10ef x e x x e '=-++<-…11分 ()f x 在(0,)x e ∈上单调递减；…12分 因为(0)0f =所以()f x 在0x =处取得最大值 …13分解法二:当(,0)x ∈-∞时，0,x ->e x e -> ,ln()ln 1e x e ->=ln()12e x -+>…7分又因为0,x <11222,,2,2e e ex e e x e e x e e x e -<->>=->------…8分 2()ln()10ef x e x x e'=-++>-，()f x 在(,0)-∞上单调递增； …9分 当(0,)x e ∈(,0),(0,)x e e x e -∈--∈ln()1e x -<， …10分 又因为(0,)x e ∈112220,,2,2e e e e x e x e e x e e x e-<-<<<=-<------…11分 2()ln()10ef x e x x e'=-++<-,()f x 在(0,)x e ∈上单调递减；…12分 又因为(0)0f =所以()f x 在0x =处取得最大值 …13分 解法三:也可以二次求导,老师斟酌给分2017朝阳一模理(18)（13分）已知函数()ln 1f x x ax =--(R a ∈),21()()22g x xf x x x =++.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若函数()g x 在区间(,1)()m m m Z +?内存在唯一的极值点，求m 的值. （18） 解：（Ⅰ）由已知得0x >，11()axf x a x x-'=-=. （ⅰ）当0a ≤时，()0f x '>恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞为增函数；（ⅱ）当0a >时，由()0f x '>，得10x a <<； 由()0f x '<，得1x a>； 所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a+∞. ……4分（Ⅱ）因为21()()22g x xf x x x =++21(ln 1)22x x x x x =--++21ln 2x x x x =-+，则()ln 11g x x x '=+-+ln 2()3x x f x =-+=+.由（Ⅰ）可知，函数()g x '在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 又因为2211()22e e g '=--+210e=-<，(1)10g '=>， 所以()g x '在(0,1)上有且只有一个零点1x .又在1(0,)x 上()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上单调递减；在1(,1)x 上()0g x '>，()g x 在1(,1)x 上单调递增.所以1x 为极值点，此时0m =.又(3)ln 310g '=->，(4)2ln 220g '=-<，所以()g x '在(3,4)上有且只有一个零点2x . 又在2(3,)x 上()0g x '>，()g x 在2(3,)x 上单调递增；在2(,4)x 上()0g x '<，()g x 在2(,4)x 上单调递减.所以2x 为极值点，此时3m =. 综上所述，0m =或3m =. ……13分2017东城一模理（18）（13分）已知函数1()2ln ()f x x mx m x=+-∈R ． （Ⅰ）当1m =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在(0,)+∞上为单调递减，求m 的取值范围；（Ⅲ）设b a <<0，求证：ln ln b a b a -<-（18）解：（Ⅰ）的定义域为．当1m =-时，1()2ln f x x x x=++， 所以221'()1f x x x=-+．因为(1)2f =且'(1)2f =， 所以曲线在点处的切线方程为20x y -=．……4分（Ⅱ）若函数在上为单调递减，则在上恒成立． 即在上恒成立．即在上恒成立． 设221()(0)g x x x x=->，则．因为，所以当时，有最大值．所以的取值范围为…9分 （Ⅲ）因为，不等式等价于． 即，原不等式转化为．令，由（Ⅱ）知在上单调递减， 所以在(1,)+∞上单调递减．所以，当时，． 即当时，成立． 所以，当时，不等式成立．…13分2017房山一模理18、（14分）已知函数()1xf x x ae =-+.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； 2）求()f x 的极值； （3）当1a =时，曲线()y f x =与直线1ykx =-没有公共点，求k 的取值范围. 18．（I ）'()1x f x ae =+ 因为x ae x x f +-=1)(，在点（1，)1(f ）处的切线平行于x 轴，所以k='1(1)10f ae =+= 所以1a e=- ……4分)(x f (0,)+∞()y f x =(1,(1))f )(x f (0,)+∞'()0f x ≤(0,)+∞2210m x x --≤(0,)+∞221xm x -≤(0,)+∞max [()]m g x ≥22211()(1)1(0)g x x x x x =-=--+>1x =()g x 1m [1,)+∞b a <<0ln ln b a b a -<-ln ln b a -<lnb a <(1)t t >12ln t t t <-1()2ln h t t t t=+-1()2ln f x x x x=+-(0,)+∞1()2ln h t t t t=+-1t >()(1)0h t h <=1t >12ln 0t t t+-<b a <<0ln ln b a b a -<-（II ）当0≥a 时，令0)(/>x f 恒成立，所以函数无极值 当0<a 时，令x ae x f +=1)(/=0，解得)1ln(x -=2)ln()(--=ax f 极大值……9分(III)法一、当a=1时，()1x f x x e =-+与1y kx =-无公共点只需证()(1)x h x x k e =-+无零点即()0h x =无根，即(1)x e k x =-，由数形结合知 当1k =时无零点 当1k <时有一个零点 当1k >时，(1)x e k x -与相切时，有一个零点设切点00,)x y （，0x e e x x =，所以10=x ，所以切点为（1，e ）所以k-1=e ，所以1k e =+ 综上所述11k e ≤<+ …14分法二、当a=1时，()1x f x x e =-+与1y kx =-无公共点 只需证()(1)x h x x k e =-+无零点 x e k x h +-=1)(/ (1)当=1k 时，()=e x h x ，无零点(2)当1k <时，0)(/>x h ，)(x h 单调递增，111()10,(0)101k h e h k -=-+<=>-所以)(x h 有一个零点 (3)当1>k 时，令01)('=+-=k e x h x 解得)1ln(-=k x)1)1ln(()1()1(ln()(---=-=k k k h x h 极小当1)1ln(=-k ，即1+=e k ，0)('=极小x h ，有一个零点当1)1ln(<-k ，即11+<<e k ，0)('>极小x h ，无零点当1)1ln(>-k ，即1+>e k ，0)('<极小x h ， 01)0(>=h ，一定有零点综上所述：11k e ≤<+ …14分2017海淀一模理18.已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <． （Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由； （Ⅱ）若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立，求a 的取值范围．18.解：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+可得函数()f x 定义域为(1,)-+∞．4(1)'()221a f x x a x -=-++22(1)(2)1x a x a x ⎡⎤+-+-⎣⎦=+， 令2()(1)(2)g x x a x a =+-+-，经验证(1)0g =，因为3a <，所以()0g x =的判别式222(1)4(2)69(3)0a a a a a ∆=---=-+=->， 由二次函数性质可得，1是函数()g x 的异号零点，所以1是'()f x 的异号零点， 所以1x =是函数()f x 的极值点．（Ⅱ）已知(0)0f =，因为[]2(1)(2)'()1x x a f x x ---=+，又因为3a <，所以21a -<，所以当2a ≤时，在区间[]0,1上'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，所以有()0f x ≤恒成立；当23a <<时，在区间[]0,2a -上'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，所以(2)(0)0f a f ->=，所以不等式不能恒成立；所以2a ≤时，有()0f x ≤在区间[]0,1恒成立． 2017石景山一模理18．已知函数()1n f x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当0x >时，1()1f x x≥-；（Ⅲ）若11n x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值．18．解:（Ⅰ）1'()f x x=，'(1)1f =，又(1)0f =，所以切线方程为1y x =-； （Ⅱ）由题意知0x >，令1()()(1)g x f x x =--11n 1x x=-+．22111'()x g x x x x -=-=令21'()0x g x x-==，解得1x =．易知当1x >时，'()0g x >，易知当01x <<时，'()0g x <．即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 所以min ()(1)0g x g ==， ()(1)0g x g ≥= 即1()()(1)0g x f x x =--≥，即1()(1)f x x≥-．（Ⅲ）设()11n (1)h x x a x x =--≥，依题意，对于任意1x >，()0h x >恒成立．'()1a x a h x x x-=-=，1a ≤时，'()0h x >，()h x 在[)1,+∞上单调递增， 当1x >时，()(1)0h x h >=，满足题意．1a >时，随x 变化，'()h x ，()h x 的变化情况如下表：()h x 在(1,)a 上单调递减，所以()(1)0g a g <=即当1a >时，总存在()0g a <，不合题意． 综上所述，实数a 的最大值为1．2017西城一模理18．（13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-． （Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，直线1x =分别与直线l 和x 轴交于,A B 两点,求△AOB 的面积的最小值． 18．解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()e x f x x '=- [ 1分] 所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=， 即000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 4分]（Ⅱ）依题意，切线方程中令1x =，得 00020000011e e )22(e )(1)(2)(x x x y x x x x x =+=--+--. [ 5分]所以 (1,)A y ，(1,0)B .所以 1||||2AOB S OB y =⋅△0001|(2)(1e 22)|x x x =--000(1)(11|e )|22x x x =--，0[1,1]x ∈- [ 7分] 设 ()(111e )22)(x x g x x -=-，[1,1]x ∈-. [ 8分]则 11111e )(1)(e )(1)(e 1)22(2()22x x x x x x g x -+'=-----=-. [10分]令 ()0g x '=，得0x =或1x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以 ()g x 在(1,0)-单调递减；在(0,1)单调递增， [12分]所以 min ()(0)1g x g ==， 从而 △AOB 的面积的最小值为1 [13分] 2017朝阳二模理19．（14分）已知函数2()e x f x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b ÎR ． （Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值； （Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．（18）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． ……4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 00(,1)1xy --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y = ，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+- ． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥ ．90OEG ∠=︒． …13分 2017东城二模理18. 设函数()()2(x f x x ax a e a -=+-⋅∈R ）. （1）当0=a 时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）设()21g x x x =--，若对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.18. 解：(1)当0a =时，因为()2x f x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()[]222x e x a x a -=-+--()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-；②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e=+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.2017丰台二模理18.（13分）已知函数()e ln x f x a x a =--.（Ⅰ）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于(0e)a ∀∈,，()f x 在区间()e,1a上有极小值，且极小值大于0.18.解：（Ⅰ） ()f x 的定义域为(0,)+∞， ……1分 因为e a =，所以()e e(ln 1)x f x x =-+，所以e()e x f x x'=-. ……2分因为(1)0f =，(1)0f '=， …3分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =. ……4分（Ⅱ） 因为0e a <<,所以()e x a f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …5分因为e ()e e 0e aa f '=-<，(1)e 0f a '=->， …6分所以0(,1)eax ∃∈,使得00e =0x a x -. …7分所以0(,)e ax x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， ……8分故()f x 在0(,)eax 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …9分所以()f x 有极小值0()f x . ……10分 因为0e 0x a x -=, 所以000001()=e (ln 1)(ln 1)x f x a x a x x -+=--. …11分 设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)eax ∈， 则2211(1)()()a x g x a x x x +'=--=-， ……12分所以()0g x '<， 即()g x 在(,1)ea上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． …13分2017海淀二模理19．已知函数f （x ）=e ax ﹣x ．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在（0，f （0））处的切线l 与直线x +2y +3=0垂直，求a 的值；（Ⅱ）当a ≠1时，求证：存在实数x 0使f （x 0）＜1． 19．（Ⅰ）解：f'（x ）=ae ax ﹣1，∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与直线x+2y+3=0垂直，∴切线l的斜率为2，∴f'（0）=a﹣1=2，∴a=3；（Ⅱ）证明：当a≤0时，显然有f（1）＜e a﹣1≤0＜1，即存在实数x0使f（x0）＜1；当a＞0，a≠1时，由f'（x）=0可得，∴在时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在上递减；时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在上递增．∴=是f（x）的极小值．设，则，令g'（x）=0，得x=1．∴当x≠1时g（x）＜g（1）=1，∴，综上，若a≠1，存在实数x0使f（x0）＜1．2017顺义二模理18．已知函数f（x）=pe﹣x+x+1（p∈R）．（Ⅰ）当实数p=e时，求曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当p=1时，若直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，求实数m的取值范围．18．解：（Ⅰ）当p=e时，f（x）=e1﹣x+x+1，可得导数f′（x）=﹣e1﹣x+1，∴f（1）=3，f′（1）=0，∴曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程为y=3；（Ⅱ）∵f（x）=pe﹣x+x+1，∴f′（x）=﹣pe﹣x+1，①当p≤0时，f′（x）＞0，则函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；②当p＞0时，令f′（x）=0，得e x=p，解得x=lnp．则当x变化时，f′（x）的变化情况如下表：所以，当p＞0时，f（x）的单调递增区间为（lnp，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lnp）．（Ⅲ）当p=1时，f（x）=e﹣x+x+1，直线y=mx+1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于关于x 的方程mx+1=e ﹣x+x+1在（﹣∞，+∞）上没有实数解， 即关于x 的方程（m ﹣1）x=e ﹣x （*）在（﹣∞，+∞）上没有实数解． ①当m=1时，方程（*）化为e ﹣x =0，显然在（﹣∞，+∞）上没有实数解． ②当m ≠1时，方程（*）化为xe x =，令g （x ）=xe x ，则有g′（x ）=（1+x ）e x ．令g′（x ）=0，得x=﹣1，则当x 变化时，g'（x ）的变化情况如下表：当x=﹣1时，，同时当x 趋于+∞时，g （x ）趋于+∞，从而g （x ）的值域为．所以当＜﹣时，方程（*）无实数解，解得实数m 的取值范围是（1﹣e ，1）．综合①②可知实数m 的取值范围是（1﹣e ，1]． 2017西城二模理19．（13分）已知函数21()()e x f x x ax a -=+-⋅，其中a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x '的零点个数（Ⅱ）证明0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分不必要条件． 19．解：（Ⅰ）由21()()e x f x x ax a -=+-⋅，得121()(2)e ()e x x f x x a x ax a --'=+⋅-+-⋅21[(2)2]e x x a x a -=-+--⋅1()(2)e x x a x -=-+-⋅．[ 2分]令()0f x '=，得2x =，或x a =-．所以当2a =-时，函数()f x '有且只有一个零点：2x =；当2a ≠-时，函数()f x '有两个相异的零点：2x =，x a =-．[ 4分]（Ⅱ）① 当2a =-时，()0f x '≤恒成立，此时函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减， 所以，函数()f x 无极值．[ 5分]② 当2a >-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，0a ≥时，()f x 的极小值为1()e a f a a +-=-⋅≤0．[ 7分]又2x >时，222240x ax a a a a +->+-=+>，所以，当2x >时，21()()e 0x f x x ax a -=+-⋅>恒成立．[ 8分] 所以，1()e a f a a +-=-⋅为()f x 的最小值．[ 9分] 故0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分条件．[10分] ③ 当5a =-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因为当5x >时，21()(55)e 0x f x x x -=-+⋅>，又1(2)e 0f -=-<，所以，当5a =-时，函数()f x 也存在最小值．[12分] 所以，0a ≥不是函数()f x 存在最小值的必要条件．综上，0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．[13分]2017人大附中18.（13分）已知函数()ln()f x a x =+，())g x k R =?，y x =为曲线()y f x =的切线．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若存在00x >，使得()00,x x ∈时，()y f x =图象在()y g x =图象的下方，求k 的取值范围．18.（Ⅰ）()()1f x x a a x '=>-+，设切点为()11,x y ，则1111111ln()a x y a x y x⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：1a =．5（Ⅱ）由(Ⅰ)知1a =，令()()()ln(1)(0,)h x f x g x x x =-=+-∈+∞ 依题意，存在00x >，使得()00,x x ∈时()0h x <， ·························· 7分 ①0k ≤时，(0,)x ∈+∞，()ln(1)0h x x =+->，此时不存在00x >， 使得()00,x x ∈时()0h x <； 8分②01k <<时，因为()h x'=22111k k k ⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎭=所以存在120,0x x >>使()()120h x h x ''==，不妨设21x x >()10,x x ∈，()()0,h x h x '<递减，所以()()00h x h <=，此时存在00x >，使得()00,x x ∈时()0h x <； 11分③1k ≥时，因为(0,)x ∈+∞，()221110k k k h x ⎡⎤⎫-+-⎢⎥⎪⎭'=≤， ()y h x =递减，所以()()00h x h <=．12分综上所述，k 的取值范围是(0,)+∞．13分2017高考押题理19.（13分）已知函数()ln f x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当0x >时，1()1f x x-≥；（Ⅲ）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值19.解：（Ⅰ）1()f x x'=, (1)1f '=， 又(1)0f =，所以切线方程为1y x =-; （Ⅱ）由题意知0x >，令11()()(1)ln 1g x f x x x x=--=-+．22111'()x g x x x x -=-= 令21'()0x g x x-==，解得1x =．易知当1>x 时，'()0g x >，易知当01x <<时，'()0g x <．即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 所以min ()(1)0g x g ==，()(1)0g x g ≥= 即1()()(1)0g x f x x =--≥，即1()(1)f x x≥-．（Ⅲ）设()1ln (1)h x x a x x =--≥，依题意，对于任意1,>x ()0h x >恒成立．'()1a x ah x x x-=-=， 1≤a 时，'(),h x >0()h x 在[1,)+∞上单调增， 当1>x 时，()(1)0h x h >=，满足题意． 1>a 时，随x 变化，'()h x ，()h x 的变化情况如下表：()h x 在(,)a 1上单调递减， 所以()()<=g a g 10 即当 1>a 时，总存在()0<g a ，不合题意． 综上所述，实数a 的最大值为1．2017北大地高考押题理18．已知函数满足，其中，且。
2017年北京各城区一二模拟理科20题答案
17年东城二模理（20）（共13分）解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，由定义1(,)||n i i i d A B a b ，可得(,)4d A B . …………………………4分（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维向量序列，使得1(1,1,1,1,1)A ，(0,0,0,0,0)mA .因为向量1(1,1,1,1,1)A 的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第(1,2,3,4,5)i i 个分量1变化了21i n 次之后变成0， 所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要12345(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n 123452(2)1n n n n n 次，此数为奇数.又因为*1(,)2,i i d A A iN ，说明中的分量有个数值发生改变，进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0). ……………9分 （Ⅲ）此时. ……………13分 17年东城一模理（20）（共13分）解：（Ⅰ）由于{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，所以{6,7,8,9,10}N =，{5,6,7,8,9}N =，{4,5,6,7,8}N ={3,4,5,6,7}N =，{2,3,4,5,6}N =，回答其中之一即可 ………3分（Ⅱ）若集合12{,,,}n A a a a =，如果集合A 中每个元素加上同一个常数t ，形成新的集合12{,,,}n M a t a t a t =+++. ……………5分根据1()||j i i j nT A a a ≤<≤=-∑定义可以验证：()()T M T A =. ……………6分取1nii C a t n=-=∑，此时11112{,,,}nnniiii i i n C a C a C a B a a a nnn===---=---∑∑∑.通过验证，此时()()T B T A =，且1nii bC ==∑. ……………8分（Ⅲ）由于2m21314121()()()()()m T A a a a a a a a a =-+-+-++- 324222()()()m a a a a a a +-+-++-T 123,,,,m A A A A i A 21i A +2(1)m -1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =4323()()m a a a a +-++-221()m m a a -+-121212=(21)(23)(23)(21)m m m m m a m a a a m a m a +-------+++-+-212121=(21)()(23)()()m m m m m a a m a a a a -+--+--++-2121=(21)()(23)()()m m m m b a m a a a a -+--+--++- ………11分由于2120m a a b a -<-<-，2230m a a b a -<-<-， 2340m a a b a -<-<-，10m m a a b a +<-<-.所以2(21)()()()m b a T A m b a --<<-.………13分17年西城一模理20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 3S 的所有可能的取值为3，5，7，9. [ 3分] （Ⅱ） 令i a i = (1,2,,)i n =，则无论12,,,n b b b 填写的顺序如何，都有2n S n =．[ 5分]因为 i a i =， 所以 {1,2,,2}i b n n n ∈++，(1,2,,)i n =． [ 6分]因为 i i a b < (1,2,,)i n =，所以 22111111||()nnnnn nn i i i i i i i i i i i n i S a b b a b a i i n=====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑． [ 8分]注：12{,,,}{1,2,,}n a a a n =，或12{,,,}{1,2,,2}n a a a n n n =++均满足条件．（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．不妨设i i a b >，记1ni i A a ==∑，1ni i B b ==∑，其中1,2,,i n =．则 1111||()n n n nn i i i i i i i i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑． [ 9分]因为 212(21)(21)2ni n n A B i n n =++===+∑， 所以 A B +与n 具有相同的奇偶性． [11分]又因为 A B +与A B -具有相同的奇偶性， 所以 n S A B =-与n 的奇偶性相同，所以 n S 的所有可能取值的奇偶性相同． [13分]解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．考虑如下表所示的任意两种不同的填法，1||n n i i i S a b ==-∑，1||nni i i S a b ='''=-∑，不妨设i i a b <，i i a b ''<，其中 1,2,,i n =． [ 9分]111111()()()()n ni i i i i i i i i i i i i i S S b a b a b b a a ======'''''+=-+-=+-+∑∑∑∑∑∑． 对于任意{1,2,,2}k n ∈，① 若在两种填法中k 都位于同一行，则k 在n n S S '+的表达式中或者只出现在11n n i i i i b b =='+∑∑中，或只出现在11n ni i i i a a =='+∑∑中，且出现两次，则对k 而言，在n nS S '+的结果中得到2k ±． [11分]② 若在两种填法中k 位于不同行，则k 在n nS S '+的表达式中在11n n i i i i b b =='+∑∑与11n ni i i i a a =='+∑∑中各出现一次， 则对k 而言，在n nS S '+的结果中得到0． 由 ① ② 得，对于任意{1,2,,2}k n ∈，n nS S '+必为偶数． 所以，对于表格的所有不同的填法，n S 所有可能取值的奇偶性相同． [13分]17年西城二模理20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3n =时，6{1,2,3,4,5,6}A =，4113n +=． [ 1分]① 对于6A 的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6}， 因为 234513+++>，所以 5不是集合6A 的“相关数”． [ 2分] ② 6A 的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6}， 因为 134513+++=，所以 6是集合6A 的“相关数”． [ 3分] （Ⅱ）考察集合2n A 的含有2n +个元素的子集{1,,1,,2}B n n n n =-+． [ 4分]B 中任意4个元素之和一定不小于 (1)(1)(2)42n n n n n -+++++=+． 所以 2n +一定不是集合2n A 的“相关数”． [ 6分] 所以 当2m n +≤时，m 一定不是集合2n A 的“相关数”． [ 7分] 因此 若m 为集合2n A 的“相关数”，必有 3m n +≥．即 若m 为集合2n A 的“相关数”，必有 30m n --≥． [ 8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）得 3m n +≥．先将集合2n A 的元素分成如下n 组：(,21)(1)i i n C i n i =+-≤≤．对2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有三组123,,i i i C C C 同属于集合P ． [10分]再将集合2n A 的元素剔除n 和2n 后，分成如下1n -组：1(,2)(1)j j n D j n j -=-≤≤．对于2n A 的任意一个含有3n +个元素的子集P ，必有一组4j D 属于集合P ．[11分] 这一组4j D 与上述三组123,,i i i C C C 中至少一组无相同元素， 不妨设4j D 与1i C 无相同元素．此时 这4个元素之和为 1144[(21)[(2)]41i n i j n j n ++-++-=+． [12分] 所以 集合2n A 的“相关数”m 的最小值为3n +． [13分]17年海淀一模理20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）121,2a a ==. （Ⅱ）先证必要性因为121,2a a ==，又12,,,n a a a 成等差数列，故n a n =，所以(1)()2n n S A +=； 再证充分性因为12n a a a <<⋅⋅⋅<，12,,,n a a a 为正整数数列，故有12341,2,3,4,,n a a a a a n ==≥≥⋅⋅⋅≥,所以12()n S A a a a =++⋅⋅⋅+(1)122n n n +≥++⋅⋅⋅+=, 又(1)()2n n S A +=，故m a m =(1,2,,)m n =，故12,,,n a a a 为等差数列.（Ⅲ）先证明12(1,2,,)m m a m n -∀≤=⋅⋅⋅.假设存在12p p a ->，且p 为最小的正整数. 依题意3p ≥,则2112112221p p p a a a ---++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=-，又因为12n a a a <<<,故当1(21,)p p k a -∈-时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的和.故假设不成立，即12(1,2,,)m m a m n -∀≤=⋅⋅⋅成立.因此112201712221n nn a a a -=++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=-,即22018n ≥，所以11n ≥.因为2017S =，则1212017n n a a a a -++⋅⋅⋅=-，若20171n n a a -<-时，则当(2017,)n n k a a ∈-时，集合A 中不可能存在若干不同元素的和为k ，故20171n n a a -≥-，即1009n a ≤.此时可构造集合{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =.因为当{2,21}k ∈+时，k 可以等于集合{1,2}中若干个元素的和，故当2222{2,21,22,23}k ∈+++时，k 可以等于集合2{1,2,2}中若干不同元素的和， ……故当8888{2,21,22,,2255}k ∈+++时，k 可以等于集合8{1,2,,2}中若干不同元素的和，故当{4973,4974,,497511}k ∈+++时，k 可以等于集合8{1,2,,2,497}中若干不同元素的和，故当{1009,10091,10092,,10091008}k ∈+++时，k 可以等于集合8{1,2,,2,497,1009}中若干不同元素的和，所以集合{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =满足题设， 所以当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009. 17年海淀二模理20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质(2)P ；具有性质(4)P .（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,，{1,0,1}T =-是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，所以不具有性质(0)P ；（必要性）因为数列{}n a 具有性质(0)P ，所以一定存在一组最小的*,m k ∈N 且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a = 由性质(0)P 的含义可得11222112,,,,,m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----==== 所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：11,,,k k m a a a +-为一个周期中的各项，所以数列{}n a 中最多有1m -个不同的项，所以T 最多有21m C -个元素，即T 是有限集.（Ⅲ）因为数列{}n a 具有性质(2)P ，数列{}n a 具有性质(5)P ，所以存在*','M N ∈N ，使得''2M p M a a +-=，''5N q N a a +-=，其中,p q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质(2),(5)P P 的含义可得k ∀∈N ，''''2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=， 若''M N <，则取''k N M =-，可得''2N p N a a +-=； 若''M N >，则取''k M N =-，可得''5M q M a a +-=.记max{','}M M N =，则对于M a ，有2M p M a a +-=，5M q M a a +-=，显然p q ≠， 由性质(2),(5)P P 的含义可得k ∀∈N ，2,5M p k M k N q k N k a a a a ++++++-=-=， 所以(1)(1)(2)()()()2M qp M M qp M q p M q p M q p M p M a a a a a a a a q +++-+-+-+-=-+-++-= (1)(1)(2)()()()5M qp M M pq M p q M p q M p q M q M a a a a a a a a p +++-+-+-+-=-+-++-=所以25M qp M M a a q a p +=+=+. 所以25q p =，又,p q 是满足2M p M a a +-=，5M q M a a +-=的最小的正整数， 所以5,2q p ==，252,5M M M M a a a a ++-=-=，所以k ∀∈N ，252,5M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=， 所以k ∀∈N ，22(1)22M k M k M a a a k ++-=+==+，55(1)55M k M k M a a a k ++-=+==+，取5N M =+，则k ∀∈N ，所以，若k 是偶数，则N k N a a k +=+；若k 是奇数，则5(5)5(5)5(5)N k N k N N N a a a k a k a k +++-+==+-=++-=+，所以k ∀∈N ，N k N a a k +=+所以12,,,,,N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列.17年朝阳一模理（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”. …………………………………3分 （Ⅱ）设集合12{,,,}n Aa a a 所有元素之和为M . 由题可知，i M a （1,2,,i n ）均为偶数，因此i a （1,2,,in ）的奇偶性相同.（ⅰ）如果M 为奇数，则i a （1,2,,in ）也均为奇数，由于12n Ma a a ，所以n 为奇数.（ⅱ）如果M 为偶数，则i a （1,2,,i n ）均为偶数，此时设2ii a b ，则12{,,,}n b b b 也是“和谐集”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”. 此时各项之和也为奇数，集合A 中元素个数为奇数.综上所述，集合A 中元素个数为奇数. …………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A 中元素个数为奇数，当3n 时，显然任意集合123{,,}a a a 不是“和谐集”. 当5n时，不妨设12345a a a a a ，将集合1345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有1534a a a a ①，或者5134a a a a ②；将集合2345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a ③，或者5234a a a a ④.由①、③，得12a a ，矛盾；由①、④，得12a a ，矛盾； 由②、③，得12a a ，矛盾；由②、④，得12a a ，矛盾.因此当5n 时，集合A 一定不是“和谐集”.当7n时，设{1,3,5,7,9,11,13}A ，因为35791113，19135711，91313711，13511713，19113513,3791513，1359711，所以集合{1,3,5,7,9,11,13}A是“和谐集”.集合A 中元素个数n 的最小值是7. ……………………………………13分17年朝阳二模理（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 （Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，又数列}{n a 的前3项互不相等， （1）当02=a 时，若13=a ，则3451a a a ====，且对3≥n ，12)2(0+-=-++nm n n m 都为整数，所以2=m ；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，24)2(20+-=-++nm n n m 都为整数，所以4=m ；（2）当12=a 时，若03=a ，则3450a a a ====，且对3≥n ，nm n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数，所以1-=m ，不符合题意； 若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ；综上，m 的值为2,3,4. …………8分 （Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =+++，则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S n S n S nn n n n n . 又对每一个n ，nS n 都为正整数，所以11++n S n m Sn S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有nS n S nn =++11成立.当n S n S n n =++11时，则nSS n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11.从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知1212||12<++≤+-++n n n a a n n ，又22++n S n 及1+n a 均为整数，所以=++22n S n =+1n a 11+=+n Sn S n n ，故1212n n n S S S n n n ++====++常数.从而==-+=-=++nSS n S n S S a n n n n n n )1(11常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数. ………………………………13分17年石景山一模20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}R =，2,A B R ∈ ，max (,)2d A B =． …………………3分（Ⅱ）3R 中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M 中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}M =或{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}M =，集合M 中元素个数最大值为4． ………………8分 （Ⅲ）2,1()(,)A B Pmd P d A B C ∈=∑，其中,(,)A B Pd A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和．设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0，则,1(,)()ni i A B Pi d A B t m t ∈==-∑∑由于2()(1,2,,)4i i m t m t i n -≤=所以2,1(,)()4ni i A B P i nm d A B t m t ∈==-≤∑∑从而222,1()(,)42(1)A B P mmnm nmd P d A B C C m ∈=≤=-∑ …………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】17年顺义二模20.解（1）由题意1(1)(1)2na n n ，---------------------------1分(1)(1)2nn n S n， -----------------------------------2分 若(1)(1)22n kn n S na k , -----------------------------------3分则(1)22n n k n -=+-. 所以，存在*∈N k ，使得n k S a =.所以, 数列是“G 数列. ---------------------------------------4分 （2）解：首先113a S ，当2≥n 时，1132--⨯=-=n n n n S S a ，所以⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,31n n a n n ， -----------------------------------6分 当2n =时，1923k -=⨯，得k N *∉因此数列{}n a 不是“G 数列”． ----------------8分 （3）若n d bn ，（b 为常数），则数列的前n 项和(1)2n n n S b +=是数列中的第(1)2n n +项，因此数列是“G 数列”． 对任意的等差数列，，（d 为公差），设1nb na ，1()(1)nc da n，则n nna b c ，而数列，都是“G 数列”.--------------------------------13分17年昌平二模(20)(本小题满分13分)解：（I ） 设，由题意，化简得，即，或．{}n a {}n d {}n d {}n d {}n a 1(1)n a a n d {}n b {}n c 1n n a q -=2312a a +=2120q q +-=4=-q 3=q所以数列的通项公式为，或．………………4分 （II ）当时，，令，有；当，时，，令，则．所以，，，使．………………8分（III ）当时，因为中最大元素为，得，中最大元素为，得， 所以，即符合题意.当，时,即又，所以即时.， ，所以，与已知矛盾，故不合题意． 综上，．………………13分【各题若有其它解法，请酌情给分】{}n a 1(4)n na -=-13n n a -=1k =22=a {1}T =122===T S a a 2100≤≤k ∈*N k 12+=kk a {}1,2,T k =…，121(+)2+=++==k T k k S a a a a k ∀∈*N 1100k ≤≤∃⊆T U 1T k S a +=1≥+m r A m13-≥=m A m S a B r 111231+139+3(31)332--≤+++=+++=-<≤r rr m B r S a a a a ≥A B S S 1≥+m r 1<+m r ∈*N m .m r ≤=∅AB .m r ≠1≤-m r 111231+139+3(31)332--≤+++=+++=-<≤m mm r A m S a a a a 13-≥=r B r S a <A B S S 1<+m r 1m r ≥+。
【北京市东城区】2017届高三下学期二模考试(理)数学试题
北京市东城区2017届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．已知集合24{|}0A x x =﹣＜,则R A ð=（ ） A ．2{}2|x x x ≤≥-或B ．2{2|}x x x ＜-或＞C ．2{|}2x x -＜＜D ．2{|}2x x ≤≤-2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+C．yD ．xy e=-3．若x y ,满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．24．设,a b 是非零向量,则“,a b 共线”是“||||||a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{}n a 为递增数列,n S 是其前n 项和．若15172a a +=,244a a =,则6S =（ ） A ．2716B ．278C ．634D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5,1,2n v x ===,则程序框图计算的是（ ）A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A ,P 两点间的距离Y 与动点P 所走过的路程X 的关系如图所示,那么动点P 所走的图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a ⋯,和123,,,,b b b 令,{|}1,2,,m m M m a b m n ==＜,若M 中元素个数大于34n ,则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作：,,,,,A B A B C 现有三种蔬菜下列说法正确的是（ ） A ．,,A B B C A C <<<若则B ．,A B BC A C <<<若同时不成立,则不成立 C ．,A B B A <<可同时不成立D ．,A B B A <<可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ+=与圆2cos (0)a a ρθ=＞相切,则a =_______．11．4,2,4A B 某校开设类选修课门类选修课门每位同学需从两类选修课中共选门,若要求至少选一门B 类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形1,45,30,1,2,cos 4ABCD ABD ADB BC DC BCD ∠=︒∠=︒==∠=中,则BD =_______；三角形ABD 的面积为_______．13．在直角坐标系2,4,,xOy l y x F A B =中直线过抛物线的焦点且与该抛物线相交于两点,其中点60,A x l OA ︒=在轴上方．若直线的倾斜角为则_______．14．已知函数{}{}|1|,(0,2]()min |1|,|3|,(2,4]min |3|,|5|,(4,)x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪--∈⎨⎪--∈+∞⎩①若()f x a =有且只有一个根,则实数a 的取值范围是_______．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根,则实数T 的取值范围是_______． 三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程． 15．已知函数()f x=sin 2cos2()x a x a +∈R ． （Ⅰ）若π()26f =,求a 的值；（Ⅱ）若f x （）在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,求()f x 的最大值． 16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数,求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明） 17．如图,在几何体ABCDEF 中,平面A D E A B C⊥平面,四边形ABCD 为菱形,且60,2,,DAB EA ED AB EF EF AB M BC ∠=︒===∥为中点．（Ⅰ）求证：FM BDE ∥平面；（Ⅱ）求直线CF BDE 与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在,CF G BG DE ⊥棱上是否存在点使？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．18．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-∈R ．（Ⅰ）当0,()(1,(1))a y f x f ==时求曲线在点-处的切线方程；（Ⅱ）设2()1,0,]2[g x x x t =--∈若对任意的,存在0,2[()])(s f s g t ∈≥使得成立,求a 的取值范围．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a ba b =+＞＞的短轴长为,右焦点为(1,0)F ,点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2AM x N BN E =与直线交于点，线段的中点为．证明：B EF 点关于直线的对称点在直线MF 上．20．对于12(,,,)n n A a a a =⋯维向量,若对任意1,2,{01},i i i n a a ∈==均有或,则称A 为,,,n T n T A B d A B 维向量．对于两个维向量定义（）=1||ni i i a b =-∑． （Ⅰ）若(1,0,1,0,1)(0,1,1,1,0)(,)A B d A B ==，，求的值．（Ⅱ）现有一个5维1231,,,,1(1,1,1,1,1)T A A A A ⋯=向量序列：若且满足：(,1)2i i d A A +=,*i ∈N ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维123T A A A 向量序列：,,,,若112(1,1,,1)A 个且满足：1()i i d A A m +=,,*,1,2,3,m i ∈=N ,若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A 个,j A 为12维T 向量序列中的项,求出所有的m ．。
东城二模数学理科附答案
东城二模数学理科附答案Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|40}A x x ，则A R（A ）{|2x x 或2}x （B ）{|2x x 或2}x（C ）{|22}x x （D ）{|22}x x（2）下列函数中为奇函数的是（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+（C ）y x （D ）||e x y -=（3）若,x y 满足10,00,x y x y y ，则2x y 的最大值为（A ）1 （B ）0 （C ）12（D ）2（4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15172a a ，244a a ，则6=S（A ）2716 （B ）278 （C ）634 （D ） 632否1v v x 1i i1i n0i（6）我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261）在他的着作《数书九章》中提出了九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n ，1v ，2x ，则程序框图计算的是（A ）5432222221（B ）5432222225APPAP（C ）654322222221（D ）43222221（7）动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图P 所走的图形可能是（A）（B）（C）（D）BD（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a 和123,,,,n b b b b ，令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A B ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是（A ）若A B ，B C ，则A C（B ）若A B ，B C 同时不成立，则A C 不成立（C ）A B ，B A 可同时不成立（D ）A B ，B A 可同时成立第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习二理科答案 精品
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）D （4）C （5）A （6）D （7）A （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）56（10）152（11 （12 （13）221x y +=（答案不唯一） （14）26.56； 13 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos cos b C c B =及正弦定理，得sin cos cos sin 0B C B C -=，即()sin 0B C -=.因为0B <<π，0C <<π，所以B C -π<-<π. 所以B C =．所以b c =．因为2b =，所以2c =．……………………………7分（Ⅱ）由2b c ==，3a =，得2221cos 28b c a A bc +-==-.又因为0A p <<， 所以sin A =所以1sin 22sin cos 2()8A A A ==-= ………………13分 （16） （共13分） 解：（I ）X 的分布列分别为………………………4分（Ⅱ）由（I ）可得X 的数学期望1211211()89101112131410315515151515E X =???????.所以10m =. 因为62(101101)0.5155P X-＃+==<, 5231213(102102)0.5,1515P X++++-＃+==>所以2n =. ………………………10分 （Ⅲ）第10日或第11日. ………………………13分（17）（共14分）（Ⅰ）证明：如图1，因为平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC平面BCDE CB =，CD ⊂平面BCDE ，CD CB ⊥，所以CD ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABC .………………4分（Ⅱ）如图2，取CD 中点F ，连接EF ，因为//OP 平面ADE ，OP ⊂平面BCDE ，平面ADE平面BCDE DE =，所以//OP DE .所以CPO FDE ??.因为//BE CF ，BE CF =， 所以//EF BC . 所以PCODFE ??.所以COP FED ∆∆.所以CP CO FD FE ==12. 因为F 为CD 的中点， 所以14CP CD =. ……………………………9分 （Ⅲ）连接OA ，由（Ⅰ）知CD ⊥平面ABC ，OA ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC所以,CD OA CD OB ⊥⊥，因为AB AC =，点O 为BC 中点，所以OA OB ⊥. 作//OM CD ，所以,OM OA OM OB ⊥⊥. 如图3建立空间坐标坐标系O xyz -. 因为22AB AC CD BE ====所以(()),,A D E，()()2,2,2,2,1,AD AE =--=因为OA OB ⊥，OA OM ⊥，OB OM O =，所以OA ⊥平面BCDE .平面BCDE 的法向量(0,0,1)=n .设平面ADE 的法向量(),,x y z =m ，则有 0,0.AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm即20,0.y y ⎧+=⎪+= 令1x =，则y =3z =，即()=m.cos ,2⋅===n m n m n m . 由题知二面角A DE B --为锐角， 所以二面角A DE B --的大小为4π. ……………………………14分 （18）（共13分）解：（I ）由抛物线C ：y 2=2px 经过点P (2，2)知44p =，解得1p =.则抛物线C 的方程为22y x =.抛物线C 的焦点坐标为1(,0)2，准线方程为12x =-.………………4分 （II ）由题知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ty a =+，由2,2x ty a y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2220y ty a --=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2y y t y y a +==-.因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即22121204y y y y +=， 解得120y y =（舍）或124y y =-. 所以24a -=-.解得2a =. 所以直线AB ：2x ty =+. 所以直线AB 过定点(2,0).12122AOB S y y ∆=⨯⨯-==≥4=.当且仅当122,2y y ==-或122,2y y =-=时，等号成立.所以AOB ∆面积的最小值为4. ……………………………………13分（19）（共14分）解：（I ）当0a =时，()sin cos f x x x x =+，[,]x ππ∈-.'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+-=.当x 在区间[,]ππ-上变化时，'()f x ，()f x 的变化如下表所以()f x 的单调增区间为(,)2π--，(0,)2；()f x 的单调减区间为(,0)2-， (,)2ππ.……………………………………………………………………………5分（II ）任取[,]x ππ∈-.2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x -=--+-+-=++=，所以()f x 是偶函数.'()cos (cos )f x ax x x x a x =+=+.当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,)π上恒成立，所以[0,)x π∈时，'()0f x ≥. 所以()f x 在[0,]π上单调递增.又因为(0)1f =，所以()f x 在[0,]π上有0个零点.又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在[,]ππ-上有0个零点. 当01a <<时，令'()0f x =，得cos x a =-. 由10a -<-<可知存在唯一0(,)2x ππ∈使得0cos x a =-.所以当0[0,)x x ∈时，'()0f x ≥，()f x 单调递增； 当0(,)x x π∈时，'()0f x <，()f x 单调递减. 因为(0)1f =，0()1f x >，21()12f a ππ=-. ①当21102a π->，即221a π<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ-上有0个零点. ②当21102a π-≤，即220a π<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ-上有2个零点. 综上，当220a π<≤时，()f x 有2个零点；当22a π>时，()f x 有0个零点.………………………………………………………………………………………14分 （20）（共13分）解：（I ）1或12. ……………………………………………………………………………4分 （II ）①当1,2n =时，11a =为奇数，1a λ≤成立，21a λ=+为偶数，22a λ≤.②假设当n k =时，若k a 为奇数，则k a λ≤，若k a 为偶数，则2k a λ≤. 那么当1n k =+时，若k a 是奇数，则1k k a a λ+=+是偶数，12k a λ+≤； 若k a 是偶数，12kk a a λ+=≤. 此时若1k a +是奇数，则满足1k a λ+≤，若1k a +是偶数，满足12k a λλ+≤≤. 即1n k =+时结论也成立.综上，若n a 为奇数，则n a λ≤；若n a 为偶数，则2n a λ≤. ……………………9分 （III ）由（II ）知，{}n a 中总存在相等的两项.不妨设()r s a a r s =<是相等两项中角标最小的两项，下证1r =.假设2r ≥.①若r s a a λ=≤，由110,0r s a a -->>知r a 和s a 均是由1r a -和1s a -除以2得到，即有11r s a a --=，与r 的最小性矛盾；②若r s a a λ=>，由112,2r s a a λλ--≤≤知r a 和s a 均是由1r a -和1s a -加上λ得到， 即有11r s a a --=，与r 的最小性矛盾； 综上，1r =，则11s a a ==.即若1a =，λ是正奇数，则存在正整数(2)n n ≥，使得1n a =. …………13分。
2017年北京高考数学试题与答案(理科) 2
数 学 (理>本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分<选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出地四个选项中，选出符合题目要求地一项． <1）已知集合，，则 <2）设不等式组表示地平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点地距离大于地概率是 <3）设，．“”是“复数是纯虚数”地<4）执行如图所示地程序框图，输出地值为<A ）<B ）<C ）<D ）<A ）<B ）<C ）<D ）<A ）充分而不必要条件 <B ）必要而不充分条件 <C ）充分必要条件<D ）既不充分也不必要条件<A）<B）<C2k1k=0, S=1是输出S结束开始<5）如图，，于点，以为直径地圆与交于点．则<6）从中选一个数字，从中选两个数字，组成无重复数字地三位数，其中奇数地个数为 <7）某三棱锥地三视图如图所示，该三棱锥地表面积是）<D ） <A ） <B ） <C） <D ） <A ）<B ）<C ）<D ）<A ） <B） <C）<D）俯视图侧正（主）视图34<8）某棵果树前年地总产量与之间地关系如图所示．从目前记录地结果看，前年地年平均产量最高，地值为部分<非选择题共110分）二、填空题共6小题，分，共30分．<9）直线为参数与曲线为参数地交点个数为．<10）已知为等差数列，为其前项和．若，，则．<11）在中，若，，，则．<12）在直角坐标系中，直线过抛物线地焦点，且与该抛物线相交于、两点，其中，点在轴上方．若直线地倾斜角为，则地面积为．<13）已知正方形地边长为，点是边上地动点，则地值为．<14）已知，．若同时满足条件：①，或；②，．则地取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．<15）<本小题共13分）已知函数．<A）<B）<C）<D）<Ⅰ）求地定义域及最小正周期； <Ⅱ）求地单调递增区间．<16）<本小题共14分）如图，在中，，，，、分别为、上地点，且//，，将沿折起到地位置，使，如图． <Ⅰ）求证：平面；<Ⅱ）若是地中点， 求与平面所成角地大小；<Ⅲ）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．<17）<本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾地分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应地垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计吨生活垃圾，数据统计如下<单位：吨）：<Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确地概率； <Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误地概率；<Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱地投放量分别为，其中，600．当数据地方差最大时，写出地值<结论不要求证明），并求此时地值．<注：…，其中为数据地平均数）<18）<本小题共13分）已知函数，．<Ⅰ）若曲线与曲线在它们地交点处具有公共切线，求地值；图1图2ADECB A 1MDECB<Ⅱ）当时，求函数地单调区间，并求其在区间上地最大值．<19）<本小题共14分）已知曲线：．<Ⅰ）若曲线是焦点在轴点上地椭圆，求地取值范围；<Ⅱ）设，曲线与轴地交点为、<点位于点地上方），直线与曲线交于不同地两点、，直线与直线交于点．求证：三点共线．<20）<本小题共13分）设是由个实数组成地行列地数表，满足：每个数地绝对值不大于，且所有数地和为零．记为所有这样地数表构成地集合．对于，记为地第行各数之和≤≤，为地第列各数之和≤≤．记为，，…，，，，…，中地最小值．<Ⅰ）对如下数表，求地值；求地最大值；<Ⅲ）给定正整数，对于所有地，求地最大值．数学真题答案及简析1；15．解：<1）原函数地定义域为，最小正周期为．<2）原函数地单调递增区间为，16．解：<1），平面，又平面，又，平面<2）如图建系，则，，，∴,设平面法向量为则∴∴∴又∵∴∴∴与平面所成角地大小<3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为则∴∴假设平面与平面垂直则，∴，，∵∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直17．<1）由题意可知：zyxA1(0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M<2）由题意可知：<3）由题意可知：，因此有当，，时，有．18．解：<1）由为公共切点可得：，则，，，则，，⎺又，，，即，代入①式可得：．<2），设则，令，解得：，；，，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增①若，即时，最大值为；②若，即时，最大值为③若时，即时，最大值为．综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为．19．<1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：<2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，，解得：由韦达定理得：①，，②设，，方程为：，则，，，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将①②代入易知等式成立，则三点共线得证.20．解：<1）由题意可知，，，，∴<2）先用反证法证明：若则，∴同理可知，∴由题目所有数和为即∴与题目条件矛盾∴．易知当时，存在∴地最大值为1<3）地最大值为.首先构造满足地：，.经计算知，中每个元素地绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，.下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.由地定义知地每一列两个数之和地绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1地数地和，其绝对值不超过2，故地每一列两个数之和地绝对值都在区间中. 由于，故地每一列两个数符号均与列和地符号相同，且绝对值均不小于.设中有列地列和为正，有列地列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设地第一行行和为正，第二行行和为负.考虑地第一行，由前面结论知地第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数地绝对值不超过1<即每个正数均不超过1），每个负数地绝对值不小于<即每个负数均不超过）. 因此，故地第一行行和地绝对值小于，与假设矛盾. 因此地最大值为.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
东城区高三数学下学期二模考试试卷 理(含解析)(2021学年)
北京市东城区20１7届高三数学下学期二模考试试卷理（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(北京市东城区2０１7届高三数学下学期二模考试试卷理(含解析)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2０17年北京市东城区高考数学二模试卷(理科）一、选择题共８小题,每小题5分,共4０分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝｛x｜ｘ2﹣4＜0},则∁ＲA=( ）A.｛ｘ|x≤﹣2或ｘ≥2｝ﻩB．｛x|ｘ＜﹣2或x>2}ﻩC．｛x|﹣2<x<２}ﻩD.{ｘ｜﹣２≤x≤２} 2．下列函数中为奇函数的是（)A.y=ｘ＋coｓｘﻩＢ.y＝x＋sinx C. D.y=ｅ﹣|x｜３.若x，ｙ满足,则x＋2y的最大值为（)A.﹣1ﻩB.0ﻩC.ﻩＤ．２4．设,是非零向量,则“，共线”是“｜+｜＝||+||”的( ）A．充分而不必要条件ﻩＢ．必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知等比数列{ａｎ}为递增数列，Sｎ是其前ｎ项和．若a1+a５＝,a２ａ4=４,则S6＝( )Ａ． B.C．ﻩD．6.我国南宋时期的数学家秦九韶(约1２02﹣12６1）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，ｖ=1,ｘ=2，则程序框图计算的是( )A．2５+24＋2３+22＋２+1ﻩB．２5+24+２3＋22+2+5C.２6+25+２4+23+2２＋2+1ﻩD．24＋２３＋22+２+17．动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是( ）Ａ.B．Ｃ．ﻩD.8．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1,a２，ａ3，…,a n,和b1，b2,b3，…，b n,令Ｍ=｛ｍ|a m<b m,ｍ=1,2,…,n｝，若M中元素个数大于n，则称蔬菜Ａ在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作:A Ｂ，现有三种蔬菜Ａ，B,C，下列说法正确的是（）A.若A B,B C,则A CB.若A B,Ｂ C同时不成立，则Ａ C不成立C.Ａ B,B A可同时不成立Ｄ.Ａ Ｂ,B Ａ可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.复数i(２﹣i)在复平面内所对应的点的坐标为 .10．在极坐标系中,直线ρｃosθ＋ρsｉnθ+1=０与圆ρ=2acoｓθ（a＞0）相切，则a ＝.１1.某校开设A类选修课4门，B类选修课２门,每位同学需从两类选修课中共选４门，若要求至少选一门Ｂ类课程，则不同的选法共有种．(用数字作答）12.如图,在四边形AＢCD中，∠ABD=45°,∠ADB=30°,BC=１，DC＝2,cos∠BCD=，则BD= ;三角形ABD的面积为．13．在直角坐标系xOｙ中，直线l过抛物线ｙ2=４x的焦点F,且与该抛物线相交于Ａ,Ｂ两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|= ．１4.已知函数①若ｆ(x)=a有且只有一个根,则实数ａ的取值范围是.②若关于x的方程ｆ（x+T）＝f（x)有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是．三、解答题共6小题，共８0分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．1５．已知函数ｆ(x）=sｉn２x+a•cos２x（a∈R）．（Ⅰ)若f（）=２,求a的值；(Ⅱ）若f（x）在[，］上单调递减,求f（ｘ)的最大值.16.小明计划在8月１１日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,４0％以下为舒适，40%﹣60%为一般，６０％以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择８月１1日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览２天．(Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率;(Ⅱ)设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17.如图，在几何体ＡBＣＤEF中，平面AＤE⊥平面ＡBＣD，四边形ＡBＣD为菱形，且∠DAB ＝60°,EA=ED=AB=2EF，EＦ∥AB,M为BC中点.（Ⅰ）求证：FM∥平面BDＥ；（Ⅱ)求直线CＦ与平面BDE所成角的正弦值;（Ⅲ）在棱CF上是否存在点Ｇ,使ＢG⊥DE？若存在，求的值；若不存在，说明理由.１8．设函数f（x）=(x2+aｘ﹣a)•ｅ﹣x（a∈Ｒ）．(Ⅰ）当a=0时，求曲线y=ｆ(x）在点（﹣１,ｆ(﹣1）)处的切线方程；(Ⅱ）设g(x）=x2﹣x﹣１,若对任意的t∈［0,2],存在ｓ∈[0，2］使得ｆ(s）≥g(t)成立,求a的取值范围．１9．已知椭圆Ｃ：=１(ａ>b>０）的短轴长为２,右焦点为Ｆ（1,0）,点M是椭圆C上异于左、右顶点Ａ，B的一点．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程；（Ⅱ）若直线ＡM与直线ｘ=2交于点N,线段BN的中点为E.证明:点B关于直线EＦ的对称点在直线MＦ上.２0．对于n维向量A=（a１,a２,…,a n)，若对任意ｉ∈｛1,２,…,n｝均有aｉ=０或ａi=1,则称A 为n维Ｔ向量．对于两个n维T向量A，B,定义ｄ（A，B）=.(Ⅰ)若Ａ=(1，0,1，0,1），B=(０,1,１，1，０）,求d（A,B)的值．(Ⅱ)现有一个5维T向量序列：A1,Ａ2,A3,…，若A1=(1,1,1,1,１）且满足：d（A i,Ａi+1）=2,i ∈N*.求证：该序列中不存在５维T向量（0,０,0,０，０）.（Ⅲ)现有一个1２维T向量序列：A１，A２，A3,…，若且满足:d（Ａｉ，A i+)=ｍ,ｍ∈N*,i=１,２，3,…，若存在正整数ｊ使得,A j为1２维Ｔ向量序列１中的项，求出所有的ｍ.2017年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题５分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.１．已知集合A={x|x2﹣4<0}，则∁RＡ=( )A.｛ｘ｜x≤﹣２或x≥２} B．{x|x＜﹣2或x>2} C．{x|﹣2<x<2｝D.｛x｜﹣2≤x≤2}【考点】1F:补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A,根据补集的定义计算∁ＲＡ.【解答】解：集合A=｛x|ｘ２﹣4<0}={x｜﹣2＜x＜２}，则∁ＲＡ={ｘ｜x≤﹣2或x≥2}.故选：Ａ.2.下列函数中为奇函数的是( )A.y=x+cosｘﻩＢ.y＝x+sinｘC．Ｄ.y=e﹣|ｘ｜【考点】3K:函数奇偶性的判断.【分析】分别确定函数的奇偶性，可得结论．【解答】解:对于A非奇非偶函数，不正确；对于Ｂ，计算,正确,对于C，非奇非偶函数，不正确;对于D,偶函数，不正确,故选:B．３．若x，y满足，则x＋2y的最大值为( ）A．﹣1 B．0 C.D.２【考点】７C:简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABＣ及其内部，再将目标函数z=x+２y对应的直线进行平移，判断最优解,然后求解z取得的最大值．【解答】解：作出x,y满足表示的平面区域,得到如图的三角形及其内部,由,解得A（﹣,）,设z＝F(x,y)=x+2ｙ,将直线ｌ:ｚ=x+２y进行平移,当l经过点Ａ时,目标函数z达到最大值∴ｚ最大值=Ｆ(，)=．故选:C．４．设，是非零向量,则“，共线”是“|+|=||+||”的（）Ａ.充分而不必要条件Ｂ.必要而不充分条件C.充分必要条件ﻩD．既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“|+|=||+｜|”⇒“，共线”,反之不成立，例如.【解答】解：“｜+|=｜｜+｜｜”⇒“，共线”，反之不成立，例如.∴,是非零向量，则“，共线”是“|＋｜=||＋｜|”的必要不充分条件．故选：B.５.已知等比数列{a n}为递增数列，S n是其前n项和.若ａ１+a5=,a２ａ４＝4,则S６=（) A. B.ﻩC.ﻩD.【考点】８9:等比数列的前ｎ项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解:设递增的等比数列{a n}的公比为q,∵a１+a５=，ａ2ａ4=4＝a1a５，解得ａ1=,a５=8.解得q=2，则S6=＝.故选:D.６．我国南宋时期的数学家秦九韶（约１20２﹣1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n ＝5,v=1，x=２,则程序框图计算的是( ）Ａ．25＋2４＋２３+2２+２＋1 B．25+24＋23+22+２+5Ｃ．２6＋25+２4+2３+22+2＋1ﻩD．24＋23+22+２＋1【考点】EF:程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的ｉ,v的值，当ｉ=﹣1时，不满足条件ｉ≥0,跳出循环,输出v的值为６３,即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=５，ｖ=1,x＝2，i=４满足条件i≥0，执行循环体，ｖ=3,i=３满足条件i≥0,执行循环体,v=7,i=２满足条件i≥0,执行循环体,ｖ=１5,i=1满足条件ｉ≥０,执行循环体,v＝3１，i＝0满足条件i≥0，执行循环体,v=63,ｉ=﹣1不满足条件i≥0，退出循环,输出v的值为63．由于２5+２４＋23+22＋2+1=63．故选:A．７．动点Ｐ从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A,Ｐ两点间的距离y 与动点Ｐ所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是（）A．ﻩＢ.ﻩC．D．【考点】3O:函数的图象.【分析】本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点,包括对称性、圆滑性等,再结合所给A,P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数图象即可直观的获得解答．【解答】解:由题意可知:对于A、Ｂ,当P位于Ａ，Ｂ图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线,由此即可排除Ａ、Ｂ，对于D，其图象变化不会是对称的，由此排除Ｄ,故选C．８．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为ａ1,a2,a3,…,a n，和ｂ1,b2,ｂ3，…,ｂn,令Ｍ＝{m｜ａm＜b m，m=1,2,…,n}，若Ｍ中元素个数大于n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作：A Ｂ，现有三种蔬菜A,B，C，下列说法正确的是( )A．若A Ｂ，B C，则Ａ CB.若Ａ Ｂ，B C同时不成立，则A C不成立C.Ａ B,B Ａ可同时不成立D．Ａ B,B A可同时成立【考点】F4:进行简单的合情推理.【分析】令a i=ｂｉ，ｉ＝1,2，…ｎ,即可判断C正确.【解答】解：若ａi=ｂi,i=1,2,…n,则A B，Ｂ A同时不成立,故选C．二、填空题共6小题,每小题5分，共３0分.9．复数i(2﹣ｉ)在复平面内所对应的点的坐标为(１,2) ．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【解答】解：复数ｉ（２﹣ｉ）=２i+1在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）．故答案为:(1,2)．10.在极坐标系中,直线ρcoｓθ+ρｓinθ+1=0与圆ρ＝2acｏsθ(a＞0）相切,则a＝1 ．【考点】Ｑ4:简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的性质即可得出.【解答】解：直线ρcosθ+ρsinθ+1=０化为直角坐标方程：x＋y+1=0.圆ρ＝2acoｓθ(a>0)即ρ2=２ρaｃｏsθ（a>0),可得直角坐标方程：x2+ｙ２=2ax,配方为:（x ﹣a)2＋ｙ2=ａ2．可得圆心（a，０）,半径a.∵直线ρcosθ+ρsinθ＋1=0与圆ρ=2acoｓθ(a＞0）相切,∴=a，a>0，解得a=1.故答案为:１．１1．某校开设Ａ类选修课4门，Ｂ类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有14 种.(用数字作答）【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意,分2种情况讨论:①、选择１门B类课程，需要选择A类课程3门，②、选择2门B类课程，需要选择Ａ类课程2门，由分步计数原理计算每种情况的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意，分2种情况讨论:①、选择1门B类课程,需要选择A类课程3门,则B类课程有C21=2种选法,A类课程有C４3=4种选法，此时有2×4＝8种选择方法；②、选择2门B类课程，需要选择A类课程２门,则B类课程有C2２＝１种选法,A类课程有C42=６种选法，此时有１×6=6种选择方法；则一共有8+6=１４种不同的选法；故答案为：１4.1２．如图，在四边形ＡBCD中，∠ABＤ=４5°，∠AＤB=30°，BC=１，ＤC=2,coｓ∠BCＤ=，则BD= 2 ;三角形ＡBＤ的面积为﹣1 ．【考点】HT:三角形中的几何计算.【分析】△ＣＢD中,由余弦定理,可得，ＢD，△ＡBＤ中,利用正弦定理，可得AＤ,利用三角形的面积公式,可得结论.【解答】解:△CBD中,由余弦定理,可得,BＤ＝=２，△ＡBD中,利用正弦定理，可得ＡD==2﹣2,∴三角形ＡBD的面积为（2﹣2)×＝﹣1,故答案为２，﹣1.１3．在直角坐标系xＯy中，直线l过抛物线y２=4ｘ的焦点Ｆ，且与该抛物线相交于A,B两点,其中点Ａ在x轴上方．若直线ｌ的倾斜角为60°，则|OA|= ．【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】由题意可知求得直线l的方程,代入抛物线方程,点A在x轴上方,即可求得A点坐标，利用两点之间的距离公式,即可求得丨ＯA丨．【解答】解:抛物线y2＝４x的焦点F的坐标为(1,０)∵直线ｌ过Ｆ,倾斜角为60°，即斜率k＝tanα=，∴直线l的方程为：y＝(x﹣１)，即ｘ=ｙ+1，,解得:，，由点A在x轴上方，则A(3,2)，则｜OA｜==，则丨OA丨＝,故答案为:.14．已知函数①若f(x）=ａ有且只有一个根，则实数ａ的取值范围是(１,＋∞) .②若关于x的方程f（ｘ+Ｔ)=f（x）有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是(﹣4,﹣２)∪(2,4) ．【考点】54:根的存在性及根的个数判断．【分析】①作出ｆ(ｘ)的图象,根据图象判断;②将f（x)的图象平移,只需与原图象有３个交点即可.【解答】解:①ｆ(ｘ)=，作出f（x）的函数图象如图所示:由图象可知当a＞1时,ｆ(x）＝a只有1解.②∵关于x的方程f（ｘ＋T)=f（x）有且仅有3个不同的实根，∴将ｆ(ｘ)的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有３个交点,∴2＜｜T｜<4，即﹣4＜T＜﹣2或2＜T＜4．故答案为：①（１，＋∞）,②(﹣4,﹣2）∪(2,４）.三、解答题共6小题,共８0分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.１5．已知函数f（x）=ｓin2x+a•cos２x（a∈R）．（Ⅰ)若f（）＝2，求ａ的值；(Ⅱ)若f(x）在［，］上单调递减,求ｆ（ｘ）的最大值.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用；H２：正弦函数的图象.【分析】（Ⅰ）根据f（)＝２,即可求a的值；(Ⅱ)利用辅助角公式基本公式将函数化为y＝Asｉn(ωx+φ）的形式,结合三角函数的图象和性质，ｆ(x)在［,］上单调递减，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ)因为,∵.故得：a=1．（Ⅱ)由题意:f(x)=,其中taｎ,∴函数的周期Ｔ=π,且，所以当x=时,函数f(x）取得最大值，即f（ｘ)max＝ｆ（）═=，∴sin()=1,∴,k∈Z．∴ｔａnθ==,∴a=3．故得．因此f（x)的最大值为.1６．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园.根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度"(即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，４0％以下为舒适,40%﹣６0%为一般,60％以上为拥挤)情况如图所示.小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．(Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率;(Ⅱ)设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望;（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大?(结论不要求证明)【考点】ＣＨ：离散型随机变量的期望与方差;CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】设Ａi表示事件“小明８月１1日起第ｉ日连续两天游览主题公园”(i＝１,2,…，９).根据题意，,且事件Ａi与Aｊ互斥.(Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤",则B=A4∪A7．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．(Ⅱ)由题意,可知X的所有可能取值为0，1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出.(Ⅲ）从８月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．【解答】解:设Aｉ表示事件“小明8月１1日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1,2,…,９）．根据题意,,且事件Ａi与A j互斥.…(Ⅰ)设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤＂,则B=A4∪Ａ7．…所以.…（Ⅱ)由题意,可知X的所有可能取值为0,1,2,…,…，…. …所以Ｘ的分布列为Ｘ01２P…故X的期望．…(Ⅲ)从8月１6日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…1７．如图,在几何体ABＣDＥF中,平面ADＥ⊥平面ＡBCD,四边形ABCD为菱形,且∠ＤAＢ=60°,EA＝EＤ=ＡB=2EF,EF∥AB,M为BC中点．（Ⅰ）求证：FＭ∥平面BDE;（Ⅱ）求直线CF与平面ＢＤE所成角的正弦值;(Ⅲ）在棱CF上是否存在点G,使BＧ⊥DE？若存在,求的值；若不存在,说明理由.【考点】LＳ：直线与平面平行的判定;MＩ：直线与平面所成的角.【分析】（Ⅰ）取CＤ中点N,连结MＮ、ＦN，推导出四边形EFND为平行四边形.从而FN∥ED.进而ＦＮ∥平面BDE，由此能证明平面MＦＮ∥平面ＢＤE，从而ＦM∥平面BDE．(Ⅱ)取AD中点Ｏ,连结EO，BＯ.以O为原点,OA，OＢ,OE为x，y,ｚ轴,建立空间直角坐标系Ｏ﹣xyz，利用向量法能求出直线CF与平面ADE所成角的正弦值．（Ⅲ)设G是CF上一点,且,λ∈[0,１].利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG ⊥DＥ，此时．【解答】(共1４分）证明:（Ⅰ)取ＣD 中点N,连结MN、FN.因为N，Ｍ分别为CＤ,BC中点,所以MN∥BD．又ＢD⊂平面ＢDＥ,且ＭＮ⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE，因为ＥF∥AB,AB＝2ＥF，所以ＥF∥ＣD,EF=DN．所以四边形ＥFND为平行四边形．所以ＦN∥ED.又ED⊂平面ＢDE且FN⊄平面BＤE，所以FＮ∥平面ＢDE，…又ＦN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．…又ＦＭ⊂平面MＦＮ,所以FM∥平面BＤE. …解:（Ⅱ）取ＡD中点O,连结ＥＯ,BO．因为EＡ＝ED，所以ＥＯ⊥ＡD．因为平面ADE⊥平面ＡBCD，所以ＥＯ⊥平面ABCD，EO⊥ＢO．因为AD=AＢ,∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形.因为Ｏ为ＡＤ中点，所以AD⊥BO.因为EO，ＢO,ＡO两两垂直,设AＢ＝4，以Ｏ为原点,OA,OＢ,OＥ为ｘ,y,ｚ轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xy ｚ. …由题意得，A(2，０,0）,,,D(﹣2，0,0),，．…,,.设平面BＤE的法向量为=(x,y，ｚ),则，即,令z=1,则y=1，．所以．…设直线CＦ与平面BDE成角为α,，所以直线CＦ与平面ADE所成角的正弦值为．…(Ⅲ）设Ｇ是CF上一点，且,λ∈[0,１］. …因此点. ….由,解得．所以在棱CF上存在点Ｇ使得BG⊥DE，此时.…18．设函数ｆ（x)=（ｘ2+ax﹣a）•ｅ﹣x(ａ∈R).(Ⅰ）当ａ=０时,求曲线y=f（x)在点(﹣1，f（﹣1）)处的切线方程;（Ⅱ)设ｇ（ｘ)＝x2﹣x﹣1，若对任意的t∈[０,2],存在s∈[0，2]使得f(s）≥g（t）成立，求a的取值范围．【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(Ⅰ）当ａ=０时，f′(ｘ)＝（﹣x2+２x)e﹣ｘ,由此能求出曲线ｙ=ｆ（x)在点(﹣1，f（﹣１)）处的切线方程.(Ⅱ)“对任意的ｔ∈［0,2]，存在s∈[0,2］使得ｆ（s）≥g（t)成立＂,等价于“在区间［0,2]上，f（x）的最大值大于或等于g（x)的最大值”．求出g(x）在［0,2］上的最大值为ｇ(２)＝１．f'(x）＝e﹣x（x﹣2)(x+a),令f′(x）=0,得ｘ=２，或x=﹣a. 由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数ａ的值范围．【解答】(共１3分）解：(Ⅰ）当ａ=0时，∵ｆ(ｘ)=x2ｅ﹣x,∴f′(x）＝(﹣x2+２x）e﹣x,…,∴f′(﹣1)﹣3e. …又∵f(﹣1)=e，…∴曲线y=f（ｘ）在点(﹣1，f（﹣1)）处的切线方程为:ｙ﹣e=﹣3ｅ(x+1),即３ex＋y＋2ｅ＝0. …(Ⅱ）“对任意的t∈［0,2]，存在ｓ∈［0，2]使得ｆ（s)≥g(t)成立",等价于“在区间［０，2］上，ｆ(x)的最大值大于或等于g(x)的最大值". …∵，∴g(x)在［0,2］上的最大值为g（2)=１．f'(x)=(２ｘ+ａ）•e﹣x﹣(x２＋ａｘ﹣a）•e﹣x=﹣ｅｘ[x2+(a﹣2)ｘ﹣２ａ]=e﹣x（x﹣2)(x+ａ）,令f′(ｘ)=０，得x=2，或ｘ=﹣ａ．…①当﹣a<0,即a＞0时，ｆ′(x）＞0在[0,２]上恒成立，f（x)在[0,2]上为单调递增函数，f(x）的最大值为ｆ（2)=（4＋a）•，由（4＋a）•≥1，得a≤ｅ２﹣４．…②当0<﹣a<2,即﹣2＜a＜０时,当x∈(0，﹣a)时，ｆ′（x）<０，ｆ（x）为单调递减函数,当x∈(﹣a，¬2)时,f'(x)>0,f(ｘ)为单调递增函数．∴f(x)的最大值为f（０）=﹣ａ或f(2）=(4+a),由﹣a≥1,得a≤﹣1;由(4+ａ)≥1,得a≤e2﹣４.又∵﹣2<a＜0，∴﹣２<a=１. …③当﹣a＞2，即a＜﹣2时,f′（x）＜0在[0,2]上恒成立，ｆ(ｘ）在[0,２]上为单调递减函数，ｆ(x）的最大值为f（０）=﹣a，由﹣a≥1,得a≤﹣1，又因为a<﹣2,所以ａ<﹣2.综上所述,实数a的值范围是{x｜a≤﹣1或a≥e2﹣4}．…1９．已知椭圆C:＝1（a>b＞０）的短轴长为2，右焦点为F(１，0)，点M是椭圆C上异于左、右顶点Ａ,Ｂ的一点．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程;（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明:点B关于直线EＦ的对称点在直线ＭＦ上.【考点】ＫL：直线与椭圆的位置关系．【分析】(Ⅰ）由题意可知b=，ｃ=１,a2=ｂ2+ｃ２=4,即可求得椭圆方程;（Ⅱ)由“点B关于直线ＥＦ的对称点在直线MF上”等价于“EＦ平分∠ＭFB”设直线AM的方程,代入椭圆方程,由韦达定理求得Ｍ点坐标，分类讨论,当MF⊥x轴时,求得k的值,即可求得N和Ｅ点坐标,求得点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1，则ＥＦ平分∠MFB,当k≠时,即可求得直线ＭF的斜率及方程,利用点到直线的距离公式,求得=|ＢE|,则点B关于直线EF的对称点在直线MF上．【解答】解:（Ⅰ)由题意得2b=2,则b=,c=1，则a2=b2+ｃ2=４，则a=2，∴椭圆C的方程为;（Ⅱ）证明:“点B关于直线ＥF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB＂．设直线ＡM的方程为y=k(x+2）（k≠0)，则N(2,4k),E（2,2ｋ)．…设点M(x0，ｙ0)，由，整理得(4ｋ2＋3）x2+16k2x＋16k2﹣12=0,由韦达定理可知﹣２x０=，则x0＝，y0＝k(ｘ0+2）=,①当MＦ⊥x轴时,x０=1,此时k=±.则M（１,±）,N(2，±２）,E(２,±１)．此时，点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1,即EF平分∠ＭFB．…②当ｋ≠时，直线ＭF的斜率为k MF＝=,所以直线ＭＦ的方程为4kx+(４k2﹣１)y﹣4k=0．…所以点E到直线MＦ的距离===|2k|＝|BE｜．即点B关于直线EF的对称点在直线ＭF上,综上可知：点Ｂ关于直线ＥF的对称点在直线MＦ上. …20.对于n维向量A=(ａ１，ａ2,…,a n),若对任意i∈{1,2,…，n｝均有a i=0或a i＝１,则称A为n 维T向量.对于两个n维T向量Ａ，B，定义d(Ａ,Ｂ）＝．(Ⅰ）若A=(1,0，1，０，1）,B=（0,1，1，１，0）,求ｄ（A，Ｂ)的值．（Ⅱ)现有一个５维T向量序列:Ａ１，Ａ2,A3,…,若A1＝（1,１,1，1,1）且满足:d（A i，A i+１）＝2，i∈N*．求证:该序列中不存在5维T向量（０，0，0,0，０).(Ⅲ）现有一个12维T向量序列:Ａ1,Ａ2，A3,…,若且满足：d(A i,A i+1)=m,ｍ∈N*，i=1，２,３，…,若存在正整数j使得,Ａｊ为１２维T向量序列中的项,求出所有的m.【考点】R9:反证法与放缩法．【分析】(Ⅰ)由于Ａ＝(1,0，1,0,1),B=（0,1，１,1,0),由定义,求d(A,B)的值．(Ⅱ）利用反证法进行证明即可;（Ⅲ）根据存在正整数ｊ使得,A j为1２维T向量序列中的项,求出所有的m．【解答】解:（Ⅰ)由于A=(1，０,１,0,1),B=(０，1，１,１,0)，由定义，可得ｄ(A，B)＝4.…(Ⅱ)反证法:若结论不成立，即存在一个含５维Ｔ向量序列,A1，A2，A3,…A n，使得A1=（1，1,１，1，1)，A m＝(0,０,0,０,０).因为向量A１=（１,1,1,1，1）的每一个分量变为0,都需要奇数次变化，不妨设A１的第i（i=1,2，3,4，5)个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要(2n1﹣1)＋(2n２﹣1)+（2n3﹣1)+(2n4﹣1）+(2n5﹣１）=2(n1+n2＋ｎ3＋n４+n５﹣2)﹣1次,此数为奇数.又因为,说明Ａi中的分量有２个数值发生改变,进而变化到Ａｉ＋1,所以共需要改变数值２（m﹣1)次，此数为偶数，所以矛盾.所以该序列中不存在5维T向量(0,0,0，０,0).…(Ⅲ)存在正整数j使得,A j为12维T向量序列中的项，此时m=1,2,３，４，５,６，７,8，９，1０，１1，12．…以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
【北京东城区】2017届高三下学年期二模考试(理)数学年试题
设直线 AM的方程为y k(x 2)(k 0),则N(2,4k), E(2,2k)．
y k(x 2)
设点
M(x0
,
y0
),由
x
2
4
y2 3
1
,整理得(4k 2
3)x2
16k2x 16k2
A7
A8
)
P(
A4
)
P(
A7
)
P(
A8
)
1 3
,
P(X 1) P(A3
A5
A6
A9
)
P(
A3
)
P(
A5
)
P(
A6
)
P(
A9
)
4 9
,
P(X 2) P(A1
A2 )
P( A1)
P( A2 )
2 9
．
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
1
4
2
P
3
9
9
故 X 的期望 E(X ) 0 1 1 4 2 2 8 ． 3 9 99
- 3 - / 11
18．解：（Ⅰ）当 a 0时, f(x) x2ex ,
∴ f (x)( x2 2x)ex , f ( 1)= 3e ．
又∵ f( 1) e ,
∴曲线 y f (x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为：
y e 3e(x 1),即3ex y 2e 0 ．
北京市东城区2016_2017学年度高中三年级二模理科数学试题与答案(word版)
北京市东城区2016_2017学年度高中三年级二模理科数学试题与答案(word版).word 格式 .北京市东城区 2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）学校班级姓名考号_________ 本试卷共 5 页， 150 分。
考试时长120 分钟。
考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。
在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
（ 1 ）已知会合 A = { x | x2 - 4 < 0} ，则 e R A =（ A）{ x | x ?2 或x 3 2}（B）{ x | x < - 2或x > 2}（ C）{ x | - 2 < x < 2}（D）{ x | - 2＃x2}（ 2 ）以下函数中为奇函数的是（ A）y x cosx（B）（ C）y =x（D）y x sin x y e |x|ì?x - y +1 ? 0,?（ 3 ）若x, y知足íx + y ? 0，则x + 2 y的最大值为?? y 3 0,（A）-1（B）0（C）1（D）2 2（4 ）设a, b是非零向量，则“a,b共线”是“|a + b |=| a | +| b |”的（A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（C）充足必需条件（D）既不充足也不用要条件.专业资料 . 学习参照..word 格式 .（ 5 ）已知等比数列{ a n } 为递加数列， S n是其前 n 项和.若 a1 + a5 = 17， a2 a4 = 4 ，则2S6 =27 27 63 63 （ A）（ B）（ C）（ D ）16 8 4 2.专业资料 . 学习参照..word 格式 .（6 ）我国南宋期间的数学家秦九韶（约1202- 1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如下图的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的 n = 5 ， v = 1， x = 2 ，则程序框图计算的是（A）25+2 4 +23 +22 +2+1 开始（B）25+ 24+23+22+ 2 +5输入 n, v, x（C）26+25+24+23+22+2+1i = n - 1（ D）24+ 23+22+ 2 +1i = i - 1v = v?x 1i 3 0是否输出 v结束（ 7）动点P 从点 A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，A, P 两点间的距离y 与动点P 所走过的行程x 的关系如下图，那么动点P 所走的图形可能是yO l x2P.专业资料 . 学习参照 A ..word 格式 .P PP A A A（A）（B）（C）（D）.专业资料 . 学习参照..word 格式 .（ 8 ）据统计某商场两种蔬菜A, B 连续 n 天价钱分别为 a1 , a2 , a3 ,L , a n和 b1 ,b2 , b3 ,L , b n，令 M { m | a m b m ,m 1,2,L ,n} ，若M中元素个数大于3n ，则称蔬菜A在这 n 4天的价钱低于蔬菜 B 的价钱，记作：Ap B，现有三种蔬菜A, B, C ，以下说法正确的是（A）若A p B，B p C，则A p C（B）若A p B，B p C同时不可立，则Ap C不可立（C）A p B，B p A可同时不可立（D）Ap B，B p A可同时成立第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。
【全国市级联考word】北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)数学理试题
绝密★启用前【全国市级联考word 】北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：60分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设是非零向量，则“共线”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、已知集合，则（ ） A ．或B ．或C ．D ．3、据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A ．若，，则B ．若，同时不成立，则不成立C ．，可同时不成立D ．，可同时成立4、动点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，两点间的距离与动点所走过的路程的关系如图所示，那么动点所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．5、我国南宋时期的数学家秦九韶（约）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的，，，则程序框图计算的是Array A．B．C．D．6、已知等比数列为递增数列，是其前项和.若，，则A．B．C．D．7、若满足，则的最大值为（）D．A．B．C．8、下列函数中为奇函数的是（）C．D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知函数.①若有且只有个实根，则实数的取值范围是__________．②若关于的方程有且只有个不同的实根，则实数的取值范闱是__________．10、复数在平面内所对应的点的坐标为__________．11、在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于 两点，其中点在轴上方．若直线的倾斜角为，则______．12、如图，在四边形中，，，，，，则_________；三角形的面积为___________.13、某校开设类选修课门，类选修课门，每位同学需从两类选修课中共选门．若要求至少选一门类课程，则不同的选法共有____种.（用数字作答）14、在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．三、解答题（题型注释）15、设函数）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围.16、小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，以下为舒适，为一般，以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览天.（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率； （2）设是小明游览期间遇上舒适的天数，求的分布列和数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17、已知函数.（1）若，求的值；（2）若在上单调递减，求的最大值.18、对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.（1）若, 求的值；（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.(3) 现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列 中的项，求出所有的.19、已知椭圆的短轴长为，右焦点为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线与直线交于点，线段的中点为．证明：点关于直线的对称点在直线上．20、如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且，，∥，为中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使？若存在，求的值；若不存在，说明理由．参考答案1、B2、A3、C4、C5、A6、D7、C8、B9、10、11、12、13、14、15、(1) ；(2) 或.16、（1）；（2）的分布列为的期望；（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.17、(1) ; (2) .18、（1）（2）不存在（3）19、（1）（2）见解析20、（1）见解析（2）（3）【解析】1、因为是非零向量，若反向共线，则不成立；反之，若，则同向或反向，即共线，所以“共线”是“”的必要不充分条件，故选择B.2、，所以，故选择A.3、特例法：例如蔬菜连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，同时不成立，故选C.点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.4、由题意可知：对于、，当位于，图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除、，对于，其图象变化不会是对称的，由此排除，故选C.点睛：本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答的过程当中充分体现了观察图形、分析图形以及应用图形的能力．体现了函数图象与实际应用的完美结合，在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给，两点连线的距离与点走过的路程的函数图象即可直观的获得解答.5、∵输入的，，，故，满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；不满足进行循环的条件，故输出的值为，故选A.6、∵数列为等比数列且，∴，又∵且为递增数列，∴，，则公比，故，故选D.7、由约束条件，作出可行域如图：由，解得，化目标函数为直线方程的斜截式，得，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，最大，此时，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8、A和C为非奇非偶函数，为偶函数，令，定义域为，，故为奇函数，故选B.9、函数图像如下图，根据上图，若只有1个实根，则；若将函数的图像向左平移T=2个单位时，如下图所得图像与的图像在上重合，此时方程有无穷多个解，所以若方程有且只有3个不同的实根，平移图像，如下图观察可知或，方法点睛：本题主要考查函数图像，理解函数并画出函数图像，然后将方程有且只有1个实根转化为两个函数图像有且只有一个交点，主要考查函数零点的划归与转化能力.另外本题考查函数图像平移，将方程有且只有个不同的实根，转化为平移后两个函数图像有且只有3个交点，考法新颖、创新性强，考查学生分析问题、解决问题的能力，重点考数形结合思想.10、在复平面内对应点的坐标为.11、抛物线的焦点的坐标为，∵直线过，倾斜角为，∴直线的方程为：，即，代入抛物线方程，化简可得，∴，或，∵A在轴上方，故，则，则，故答案为.12、在中，由余弦定理可得：，则；在中，，，由正弦定理可得，则故答案为，面积为.13、可分为以下两类：①选一门类课程：；②选一门类课程：，则至少选一门类课程不同的选法共有种，故答案为.14、直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解得，故答案为1.点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，以及直线与圆的位置关系，难度一般；主要是通过，，将极坐标方程转化为直角坐标方程，即可得圆与直线的方程，圆与直线相切等价于圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离即可得到结果.15、试题分析：（1）本问考查导数几何意义，当时，，则，又，所以可以求出切线方程；（2）本问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”，根据二次函数易求在上的最大值，求在上最大值时，需要分区间对的根进行讨论，通过单调性求出在上最大值，进而解不等式求的取值范围.试题解析：(1)当时，因为，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.(2)“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”.因为，所以在上的最大值为.,令，得或.①当，即时，在上恒成立，在上为单调递增函数，的最大值大为，由，得；②当，即时，当时，为单调递减函数，当时，为单调递增函数，所以的最大值大为或.由，得；由，得，又因为，所以；③当，即时，在上恒成立，在上为单调递减函数，所以的最大值大为，由，得，又因为，所以，综上所述，实数的取值范围是或.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题.方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”.16、试题分析：（1）本题考查古典概型概率问题，分析题意可知，小明到达公园并连续游览两天的事件总数为9个，若连续两天都遇上拥挤，由图可知，应为8月14日和8月15日，8月17日和8月18日，所以连续两天都遇上拥挤的概率为2/9；（2）本题考查离散型随机变量分布列，分析可知X的所以可能取值为0，1，2，X=2时为8月11日和8月12日，8月12日和8月13日，所以，X=0时为8月14日和8月15日，8月17日和8月18日，8月18日和8月19日，所以，则，于是可以求出分布列和数学期望；（3）由图分析，8月16日开始连续三天舒适度方差最大.试题解析：设表示事件“小明8月11日起第日连续两天游览主題公园”，根据题意，，且.（1）设为事件“小明连续两天都遇上拥挤”.则，所以.（2）由题意，可知的所有可能取值为.且；；，所以的分布列为故的期望.（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.考点：1.古典概型；2.离散性随机变量分布列和期望；3.方差.17、试题分析：（1）本问考查三角函数特殊值，，所以，所以；（2）根据三角恒等变换公式可知函数，，函数周期为，而题中条件是在上单调递减，且恰好是半个周期，所以分析可知，时，函数取得最大值，再根据正弦型函数取得最大值时角满足的条件求的值.试题解析：(1)因为，所以，所以.(2)由题意. 其中，所以，且，所以当时，,所以.所以，所以，所以的最大值为.考点：1.三角恒等变换公式；2.正弦型函数的单调性.18、试题分析：（Ⅰ）根据的定义可求得其值；（Ⅱ）利用反证法，向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，根据，得出矛盾；（Ⅲ）根据题意可得.试题解析：（Ⅰ）由于，，由定义，可得.（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含维向量序列，使得，.因为向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，不妨设的第个分量变化了次之后变成，所以将中所有分量变为共需要次，此数为奇数.又因为，说明中的分量有个数值发生改变，进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾.所以该序列中不存在维向量.（Ⅲ）此时.19、试题分析：（Ⅰ）由短轴长为，得，结合离心率及可得椭圆的方程；（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”，设出直线的方程为，可解出，的坐标，联立直线与椭圆的方程可得点坐标，分为当轴时，即可求得的角平分线所在的直线方程，可得证，当时，利用点到直线的距离可求出点到直线的距离，即可得结果. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意得解得，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”．设直线的方程为，则．设点，由得，得①当轴时，，此时．所以．此时，点在的角平分线所在的直线或，即平分．②当时，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以点到直线的距离．即点关于直线的对称点在直线上．20、试题分析：（Ⅰ）取中点，连结，利用面面平行平面∥平面，得到线面平行∥平面；（Ⅱ）取中点，连结，，先证两两垂直，故可以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，求出的方向向量，面的法向量，利用可得结果；（Ⅲ）设是上一点，且，根据共线可得的坐标，结合数量积为0，可得结果.试题解析：（Ⅰ）取中点，连结．因为分别为中点，所以∥．又平面且平面，所以∥平面，因为∥，，所以∥，．所以四边形为平行四边形．所以∥．又平面且平面，所以∥平面，又，所以平面∥平面．又平面，所以∥平面．（Ⅱ）取中点，连结，．因为，所以．因为平面平面，所以平面，．因为，，所以△为等边三角形．因为为中点，所以．因为两两垂直，设，以为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，，，．设平面的法向量为，则即令，则，．所以．设直线与平面成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）设是上一点，且，，因此点．．由，解得．所以在棱上存在点使得，此时．点睛：本题主要考查了线面平行的判定，利用空间向量求空间角以及探究性问题在立体几何中的体现，常见的证明线面平行的方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、通过面面平行得到线面平行等；直线的方向向量与平面的法向量所成的角满足，对于线线垂直转化为向量垂直，即数量积为0.。
北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)理科数学试
北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|40A x x =-<，则A C R = （ ）A ．{|2x x ≤-或}2x ≥B ．{|2x x <-或}2x >C ．{}|22x x -<<D ．{}|22x x -≤≤ 2. 下列函数中为奇函数的是（ ）A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+ C．y =D ．x y e -=3. 若,x y 满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．2 4. 设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若152417,42a a a a +==，则6S =（ ） A ．2716 B ．278 C. 634 D ．6326. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的5,1,2n x υ===，则程序框图计算的是（ ）A ．5432222221+++++ B ．5432222225+++++C. 654322222221++++++ D ．43222221++++7. 动点P 从点A 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，,A P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示，那么动点P 所走的图形可能是（ ）A ．B ． C. D ．8. 据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,...,n a a a a 和123,,,...,n b b b b ,令{}|,1,2,...,m m M m a b m n =<=,若M 中元索个数大于34n ,則称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作:AB ,现有三种蔬菜,,A BC 下列说法正确的是（ ）A ．若,AB BC ,则 A C B ．若,A B B C 同时不成立，则A C 不成立C. ,AB BA 可同时不成立 D ．,AB B A 可同时成立第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 复数()i 2i -在平面内所对应的点的坐标为 ．10. 在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ+=与圆()2cos 0ρθ=>a a 相切，则a = ．11. 某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门.若要求至少选一门B 类课程，则不同的选法共有 种.（用数字作答）12. 如图，在四边形ABCD 中，145,30,1,2,cos 4ABD ADB BC DC BCD ∠=∠===∠=，则BD = ；三角形ABD 的面积为 ．13.在直角坐标系中xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60，则OA = ．14. 已知函数()(]{}(]{}()1,0,2min 1,3,2,4min 3,5,4,x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪=--∈⎨⎪--∈+∞⎪⎩. ①若()f x a =有且只有1个实根，则实数a 的取值范围是 ．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且只有3个不同的实根，则实数T 的取值范闱是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()2cos2(f x x a x a +⋅∈R). （1）若26π⎛⎫=⎪⎝⎭f ，求a 的值； （2）若()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求()f x 的最大值. 16. 小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，0040以下为舒适，000040~60为一般，0060以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（2）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17. 如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，且60,2,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠====为BC 中点.（1）求证：//FM 平面BDE ；（2）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ⊥？若存在，求CGCF的值；若不存在，说明理由. 18. 设函数()()2(x f x x ax a e a -=+-⋅∈R ）.（1）当0=a 时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）设()21g x x x =--，若对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为右焦点为()1,0F ，点M 时是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E .证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上.20. 对于n 维向量()12,,...,n A a a a =，若对任意()1,2,...,i n ∈均有0i a =或1i a =，则称A 为n 维T 向量. 对于两个n 维T 向量,A B 定义()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）若()()1,0,1,0,1,0,1,1,1,0A B ==, 求(,)d A B 的值；（2）现有一个5维T 向量序列：123,,,...A A A 若()11,1,1,1,1A =且满足：()1,2,i i d A A i N *+=∈，求证：该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0.(3) 现有一个12维T 向量序列：123,,,...A A A 若()1121,1, (1)=且满足：()1,,,1,2,3,...i i d A A m m N i *+=∈=，若存在正整数j 使得()120,0,...,0,j j A A =为12维T 向量序列中的项，求出所有的m .北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理试题参考答案一、选择题1-4: ABCB 5-8: DACC二、填空题9.()1,2 10.1 11.14 12.21()1,+∞ ()()4,22,4--三、解答题15. 解：(1)因为2cos 22666f a πππ⎛⎫=⋅+⋅⋅=⎪⎝⎭，所以31222a +⋅=，所以1a =.(2)由题意()22f x x x ⎫=+⎪⎭()2x ϕ=+.其中tan ϕ=，所以T π=，且712122πππ-=，所以当12x π=时，max 126y f ππϕ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()23k k Z πϕπ=+∈.所以tan 3a ϕ===，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x的最大值为16. 解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主題公园”()1,2,...9i =，根据题意，()19i P A =，且()i j A A i j =∅≠.（1）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”.则47B A A =，所以()()()()474729P B P A A P A P A ==+=. （2）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2.且()()()()()478478103P X P A A A P A P A P A ===++=； ()()()()()()35693569419P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=；()()()()1212229P X P A A P A P A ===+=，所以X 的分布列为故X 的期望()280123999E X =⨯+⨯+⨯=.（3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大.17. 解：(1)取CD 中点N ，连接,MN FN ，因为,N M 分别为,CD BC 中点，所以//MN BD ，又BD ⊂平面BDE 且MN ⊄平面BDE .所以//MN 平面BDE ，因为//,2EF AB AB EF =，所以//,EF CD EF DN =，所以四边形EFND 为平行四边形，所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE 且FN ⊄平面BDE .所以//FN 平面BDE .又FN MN N =，所以平面//MFN 平面BDE ，又FM ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .(2) 取AD 中点O ，连结,EO BO ，因为EA ED =，所以EO AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面,ABCD EO BO ⊥，因为,60AD AB DAB =∠=，所以ADB ∆为等边三角形，因为O 为AD 中点，所以AD BO ⊥.因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点，,,OA OB OE 为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系O xyz -.由题意，得()()()()2,0,0,,,2,0,0A B C D --，((()()(,1,3,3,23,2,0,23,0,E F CF DE BE -=-==-.设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则0n BE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则1,y x ==所以()3,1,1n =-，设直线CF 与平面BDE 所成角为α，10sin cos,CF n α==，所以直线CF 与平面ADE(3)设G 是CF 上一点，且[],0,1CG CF λλ=∈，因此点()()34,,34,G BG λλ-+=-，由0BG DE ⋅=，解得49λ=. 所以在棱CF 上存在点G 使得BG DE ⊥，此时49CG CF =. 18. 解：(1)当0a =时，因为()2x f x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()[]222x e x a x a -=-+--()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-；②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e =+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.19. 解：(1)由题意，得2221b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB ∠”.设直线AM 的方程为()()20y k x k =+≠，则()()2,4,2,2N k E k .设点()00,M x y ，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +++-=，得2020286341234k x k k y k ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.①当MF x ⊥轴时，01x =，此时12k =±，所以()()31,,2,2,2,12M N E ⎛⎫±±± ⎪⎝⎭，此时，点E 在BFM ∠的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+上，即EF 平分MFB ∠；②当12k ≠±时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k==--，所以直线MF 的方程为()244140kx k y k +--=，所以点E 直线MF 的距离d ==()22241241k k k BE k +===+，即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上. 20. 解：(1)由于()()1,0,1,0,1,0,1,1,1,0A B ==，由定义()1,ai ii d A B a b==-∑，可得(),4d A B =.(2)反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T 向量序列123,,,...m A A A A ，使得()()11,1,1,1,1,0,0,0,0,0m A A ==，因为向量()11,1,1,1,1A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A 的第()1,2,3,4,5i i =个分量1变化了121n -次之后变成0，所以将1A 中所有分量1变化为0共需要()()()()()123452*********n n n n n -+-+-+-+-()12345221n n n n n =++++--次，此数为奇数，又因为()1,2,i i d A A i N *+=∈，说明i A 中的分量有2个数值发生改变，进而变化到1i A +，所以共需改变数值()21m -次，此数为偶函数，所以矛盾.所以该序列中不存在5维T 向量()0,0,0,0,0.（3）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =.。
东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习(二)理科(word版含答案)
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学 （理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|12}A x x =-<<，{|2B x x =<-或1}x >，则AB =（A ）{|2x x <-或1}x > （B ）{|2x x <-或1}x >- （C ）{|22}x x -<< （D ）{|12}x x <<（2）复数(1+i)(2-i)=（A ）3+i （B ）1+i （C ）3-i （D ）1-i（3）在5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 的系数为10，则实数a 等于（A ）1- （B ）12（C ）1 （D ）2 （4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的倾斜角为60º，且与椭圆x 25+y 2＝1有相等的焦距，则C 的方程为（A ）x 23－y 2＝1 （B ）x 29－y 23＝1 （C ）x 2－y 23＝1 （D ）x 23－y 29＝1（5）设a ，b 是非零向量，则“|a ＋b |＝|a |－|b |”是“a // b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为12,m m ；平均数分别为12,s s ，则下面正确的是 （A ） 1212,m m s s >> （B ）1212,m m s s >< （C ）1212,m m s s << （D ）1212,m m s s <> （7）已知函数a x x g x x f +==2)(,log )(2，若存在]2,21[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，则a 的取值范围是（A ）[5,0]- （B ）(,5][0,)-??? （C ）(5,0)- （D ）(,5)(0,)-???（8）A ，B ，C ，D 四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I 型、 II 型零件数，则下列说法错误．．的是 （A ）四个工人中，D 的日生产零件总数最大（B ）A ，B 日生产零件总数之和小于C ，D 日生产零件 总数之和（C ）A ，B 日生产I 型零件总数之和小于II 型零件总数之和 （D ）A ，B ，C ，D 日生产I 型零件总数之和小于II 型零件总数之和第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
【北京市东城区】2017届高三下学期二模考试(理)数学试题(附答案)
北京市东城区2017届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．已知集合24{|}0A x x =﹣＜,则R A ð=（ ） A ．2{}2|x x x ≤≥-或B ．2{2|}x x x ＜-或＞C ．2{|}2x x -＜＜D ．2{|}2x x ≤≤-2．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．cos y x x =+B ．sin y x x =+C．yD ．xy e=-3．若x y ,满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．24．设,a b 是非零向量,则“,a b 共线”是“||||||a b a b +=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{}n a 为递增数列,n S 是其前n 项和．若15172a a +=,244a a =,则6S =（ ） A ．2716B ．278C ．634D ．6326．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5,1,2n v x ===,则程序框图计算的是（ ）A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++7．动点P 从点A 出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A ,P 两点间的距离Y 与动点P 所走过的路程X 的关系如图所示,那么动点P 所走的图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,,n a a a a ⋯,和123,,,,b b b 令,{|}1,2,,m m M m a b m n ==＜,若M 中元素个数大于34n ,则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格,记作：,,,,,A B A B C 现有三种蔬菜下列说法正确的是（ ） A ．,,A B B C A C <<<若则B ．,A B BC A C <<<若同时不成立,则不成立 C ．,A B B A <<可同时不成立D ．,A B B A <<可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2i)-在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ+=与圆2cos (0)a a ρθ=＞相切,则a =_______．11．4,2,4A B 某校开设类选修课门类选修课门每位同学需从两类选修课中共选门,若要求至少选一门B 类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形1,45,30,1,2,cos 4ABCD ABD ADB BC DC BCD ∠=︒∠=︒==∠=中,则BD =_______；三角形ABD 的面积为_______．13．在直角坐标系2,4,,xOy l y x F A B =中直线过抛物线的焦点且与该抛物线相交于两点,其中点60,A x l OA ︒=在轴上方．若直线的倾斜角为则_______．14．已知函数{}{}|1|,(0,2]()min |1|,|3|,(2,4]min |3|,|5|,(4,)x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪--∈⎨⎪--∈+∞⎩①若()f x a =有且只有一个根,则实数a 的取值范围是_______．②若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根,则实数T 的取值范围是_______． 三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程． 15．已知函数()f x=sin 2cos2()x a x a +∈R ． （Ⅰ）若π()26f =,求a 的值；（Ⅱ）若f x （）在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,求()f x 的最大值． 16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数,求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明） 17．如图,在几何体ABCDEF 中,平面A D E A B C⊥平面,四边形ABCD 为菱形,且60,2,,DAB EA ED AB EF EF AB M BC ∠=︒===∥为中点．（Ⅰ）求证：FM BDE ∥平面；（Ⅱ）求直线CF BDE 与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）在,CF G BG DE ⊥棱上是否存在点使？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．18．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-∈R ．（Ⅰ）当0,()(1,(1))a y f x f ==时求曲线在点-处的切线方程；（Ⅱ）设2()1,0,]2[g x x x t =--∈若对任意的,存在0,2[()])(s f s g t ∈≥使得成立,求a 的取值范围．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a ba b =+＞＞的短轴长为,右焦点为(1,0)F ,点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2AM x N BN E =与直线交于点，线段的中点为．证明：B EF 点关于直线的对称点在直线MF 上．20．对于12(,,,)n n A a a a =⋯维向量,若对任意1,2,{01},i i i n a a ∈==均有或,则称A 为,,,n T n T A B d A B 维向量．对于两个维向量定义（）=1||ni i i a b =-∑． （Ⅰ）若(1,0,1,0,1)(0,1,1,1,0)(,)A B d A B ==，，求的值．（Ⅱ）现有一个5维1231,,,,1(1,1,1,1,1)T A A A A ⋯=向量序列：若且满足：(,1)2i i d A A +=,*i ∈N ．求证：该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维123T A A A 向量序列：,,,,若112(1,1,,1)A 个且满足：1()i i d A A m +=,,*,1,2,3,m i ∈=N ,若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A 个,j A 为12维T 向量序列中的项,求出所有的m ．北京市东城区2017届高三下学期二模考试（理）数学试卷答 案1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．(1,2) 10．1 11．1412．211314．①(1,)+∞；②4,2)(2,4)--(15．解（Ⅰ）因为πππ()2cos22666f a =+=, 31222a +=． 故得：1a =．（Ⅱ）由题意：()),tanf x x θθ=+=其中∴函数的周期πT =,且7πππ12122-=,所以当π12x =时,函数()f x 取得最大值,即max ππ()())126f x f θ=+=,πsin()16θ∴+=,π2π,.tan 3.3k k a θθ∴=+∈∴===Z因此()f x 的最大值为16．解：设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”(i 1,2,,9)=．根据题意,1()9i P A =,且事件i A 与j A 互斥．（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”, 则47B A A =．所以47472()()()()9P B P A A P A P A ==+=． （Ⅱ）由题意,可知X 的所有可能取值为0,1,2,4784781(0)()()()()3P X P A A A P A P A P A ===++=,356935694(1)()()()()()9P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=, 12122(2)()()()9P X P A A P A P A ===+=． 所以X 的分布列为故X 的期望14()0123999E X =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大． 17．证明：（Ⅰ）,CD N MN FN 取中点连结、． 因为,,,N M CD BC MN BD 分别为中点所以∥．,,BD BDE MN BDE MN BDE ⊂⊄又平面且平面所以∥平面,因为//,2,,EF AB AB EF EF CD EF DN ==所以∥． 所以四边形EFND 为平行四边形．所以FN ED ∥． 又ED BDE FN BDE ⊂⊄平面且平面, 所以FN BDE ∥平面, 又,FNMN N MFN BDE =所以平面∥平面．又,FM MFN FM BDE ⊂平面所以∥平面． 解：（Ⅱ）,,AD O EO BO 取中点连结． 因为,EA ED EO AD =⊥所以．因为平面,,ADE ABCD EO ABCD EO BO ⊥⊥⊥平面所以平面． 因为,60,AD AB DAB ADB =∠=︒所以△为等边三角形． 因为,O AD AD BO ⊥为中点所以． 因为,,,4,EO BO AO AB =两两垂直设以,,,,,O OA OB OE x y z 为原点为轴,如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得,2,0,0A (),B ,(C -,2,0,0D (-),E ,(F -．(3,CF =,CE =,(3,BE =-．设平面BDE 的法向量为n ,,x y z =(),则0n BE n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即00y z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩,令11z y ==,则,x =．所以(n =．设直线CF BDE α与平面成角为,sin |cos ,n |CF α=<>=,所以直线CF ADE 与平面． （Ⅲ）设G CF 是上一点,且CG CF λ=,1[]0,λ∈．因此点(34,)G λ-+．(34,)BG λ=-．由0BG DE =,解得49λ=． 所以在棱CF G BG DE ⊥上存在点使得,此时49CG CF =．18．解：（Ⅰ）当20e x a f x x -==时,(),∴22e ,13e x f x x x f -'=-+∴'--()()()=． 又∵1e f -=(),∴曲线()(1,(1))y f x f =--在点处的切线方程为：e 3e(1)3e 2e 0y x x y -=-+++=,即．（Ⅱ）“对任意的0,20,[],[]2t s f s g t ∈∈≥存在使得()()成立”, 等价于“在区间0,2,[]f x g x 上()的最大值大于或等于()的最大值”． ∵2215()1()24g x x x x =--=--, ∴0,2[]21g x g =()在上的最大值为()．2'2e x x f x x a x ax a e --=+-+-()()()=2e 22[]x x a x a -+--=()e 2x x x a --+()(),令0,2,f x x x a '===-()得或． ①当0,0,a a -＜即＞时00[202[]]f x f x '()＞在，上恒成立,()在，上为单调递增函数,2124e f x f a =+()的最大值为()(), 由22141,e 4ea a +≥≤-()得 ②当02,20a a --＜＜即＜＜时,当00,x a f x f x ∈-'(,)时,()＜()为单调递减函数, 当(,2)'()0,()x a f x f x ∈--时,＞为单调递增函数． ∴21()(0)(2)(4)f x f a f a e =-=+的最大值为或,由1,1;(4)a a a -≥≤-+得由211e≥,得2e 4a ≤-． 又∵20,21a a -∴-=＜＜＜． ③当22a a -＞,即＜-时,00[202[]]f x f x '()＜在，上恒成立,()在，上为单调递减函数,0f x f a =-()的最大值为(),由1,1a a -≥≤-得, 又因为2,2a a ＜-所以＜-．综上所述,实数a 的值范围是2{|}14x a a e ≤-≥-或．19．解：（Ⅰ）由题意得2b =则b 2221,4,2c a b c a ==+==则则,∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）证明：“”“B EF MF EF MFB ∠点关于直线的对称点在直线上等价于平分”．设直线202,4,2,2AM y k x k N k E k =+≠的方程为()(),则()()． 设点00,M x y (),由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得2222431616120k x k x k +++-=(),由韦达定理可知2021612234k x k --=+,则2028634k x k -+=+,00212234k y k x k =+=+(), ①当01,1,2MF x x k ⊥==±轴时此时．则31,2M ±(),2,2N ±(),2,1E ±()．此时,点11E BFM y x y x ∠=-=-+在的角平分线所在的直线或, 即EF MFB ∠平分． ②当12k ≠时,直线MF 的斜率为0204114MF y kk x k ==--,所以直线244140MF kx k y k +--=的方程为()． 所以点E 到直线MF 的距离2222|2(41)||41|k k d k +==+2k BE ==． 即点B EF MF 关于直线的对称点在直线上,综上可知：点B EF MF 关于直线的对称点在直线上．20．解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =,(0,1,1,1,0)B =,由定义1(,B)||ni i i d A a b ==-∑,可得,4d A B =()．（Ⅱ）反证法：若结论不成立,即存在一个含5维T 向量序列,123,,,,n A A A A ,使得1(1,1,1,1,1)(0,0,0,0,0,0)m A A ==,．因为向量1(1,1,1,1,1)A =的每一个分量变为0,都需要奇数次变化, 不妨设1i i i 1,2,3,4,5121A n =的第()个分量变化了-次之后变成0, 所以将1A 中所有分量1变为0共需要:1234(21)(21)(21)(21)n n n n -+-+-+-521n +=（-）2123452n n n n n ++++-（）1-次,此数为奇数．又因为1,,*i i d A A m m +=∈N (),说明i A 中的分量有2个数值发生改变,进而变化到1,21i A m +所以共需要改变数值(-)次,此数为偶数,所以矛盾． 所以该序列中不存在5维T 向量0,0,0,0,0()． （Ⅲ）存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A =个,j A 为12维T 向量序列中的项,此时m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．解 析1．解：集合2{|}{4022|}A x x x x ==-＜-＜＜, 则}2|2{RA x x x =≤≥-或ð． 故选：A ．2．解：对于A 非奇非偶函数,不正确； 对于B ,计算,正确,对于C ,非奇非偶函数,不正确； 对于D ,偶函数,不正确, 故选：B ．3．解：作出x y ，满足1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域,得到如图的三角形及其内部,由100x y x y -+=⎧⎨+=⎩,解得A 11(,)22-,设2z F x y x y ==+（，）,将直线2l z x y =+：进行平移, 当l 经过点A 时,目标函数z 达到最大值 ∴z F =最大值11(,)22-=12． 故选：C ．4．解：“||||||a b a b +=+”⇒“,a b 共线”,反之不成立,例如0a b =-≠． ∴a ,b 是非零向量,则“a ,b 共线”是“||||||a b a b +=+”的必要不充分条件． 故选：B ．5．解：设递增的等比数列{}n a 的公比为q ,∵15172a a +=,244a a =15a a =, 解得112a =,58a =． 解得2q =,则6S =61(21)632212-=-． 故选：D ．6．解：模拟程序的运行,可得5124n v x i ====，，，满足条件i ≥0,执行循环体,v =3,i =3满足条件0i ≥,执行循环体,72v i ==， 满足条件0i ≥,执行循环体,151v i ==， 满足条件0i ≥,执行循环体,310v i ==， 满足条件0i ≥,执行循环体,631v i ==，﹣ 不满足条件0i ≥,退出循环,输出63v 的值为． 由于25+24+23+22+2+1=63． 故选：A ．7．解：由题意可知：对于A B P A B 、，当位于，图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线, 由此即可排除A 、B ,对于D ,其图象变化不会是对称的,由此排除D , 故选C ．8．解：若12i i a b i n ==，，，, 则A B B A <<，同时不成立, 故选C ．9．解：复数221i i i =+（﹣）在复平面内所对应的点的坐标为（1,2）． 故答案为：(12)，．10．解：直线ρ=2acosθ（a ＞0）化为直角坐标方程：10x ++=．圆2cos 0a a ρθ=（＞）即22cos 0a a ρρθ=（＞）,可得直角坐标方程：222x y ax +=,配方为：222x a y a -+=（）．可得圆心(0)a a ，，半径．∵直线10cos sin ρθθ+=与圆20acos a ρθ=（＞）相切, ∴|1|2a +0a a =，＞,解得1a =． 故答案为：1．11．解：根据题意,分2种情况讨论：①．选择1门B 类课程,需要选择A 类课程3门,则B 类课程有122C =种选法,A 类课程有344C =种选法, 此时有248⨯=种选择方法；②．选择2门B 类课程,需要选择A 类课程2门,则B 类课程有221C =种选法,A 类课程有246C =种选法, 此时有1×6=6种选择方法；则一共有8+6=14种不同的选法； 故答案为：14．12．解：CBD △中,由余弦定理,可得,2BD =, ABD △中,利用正弦定理,可得2sin 452sin105AD ︒==︒,∴三角形ABD的面积为1122)122⨯⨯⨯=,故答案为21．13．解：抛物线24y x =的焦点F 的坐标为（1,0） ∵直线l F 过,倾斜角为60︒,即斜率k tan α=, ∴直线l 的方程为：y=1)x ﹣,即1x y =+, 214x y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,解得：3y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,13y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由点(3A x A 在轴上方，则,则OA则OA =14．解：①|1|,(0,2]()|x 3|,(2,4]|x 5|,(4,)x x f x x x -∈⎧⎪-∈⎨⎪-∈+∞⎩,作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知当1()a f x a =＞时，只有1解．②∵关于()()x f x T f x +=的方程有且仅有3个不同的实根,∴将f x T （）的图象向左或向右平移个单位后与原图象有3个交点, ∴24T ＜＜,即4224T T ﹣＜＜﹣或＜＜．故答案为：①(1)4,2)(24)+∞-，，②(﹣，．15．（Ⅰ）根据π()26f a =，即可求的值；（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y Asin x ωϕ=+（）的形式,结合三角函数的图象和性质,()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得最大值． 16．设i A 表示事件“小明8月11日起第i 日连续两天游览主题公园”(129)i =，，，．根据题意1()9i P A =,,且事件i A 与j A 互斥．（Ⅰ）设B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则47B A A =．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．（Ⅱ）由题意,可知X 的所有可能取值为0,1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出． （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．（Ⅰ）CD N MN FN EFND 取中点，连结、，推导出四边形为平行四边形．从而//FN //////ED FN BDE MFN BDE FM BDE ．进而平面，由此能证明平面平面，从而平面．（Ⅱ）AD O EO BO O OA OB OE x y z 取中点，连结，．以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标O xyz CF ADE 系-，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．（Ⅲ）设G CF 是上一点,且CG CF λ=,]1[0λ∈，．利用向量法能求出在棱CF G 上存在点使得BG DE ⊥,此时49CG CF =． 18．（Ⅰ）当202a f x x x e x ='=+-时，（）（-）,由此能求出曲线y f x =（）在点（1(1)f --，)处的切线方程． （Ⅱ）“对任意的0202[][]t s f s g t ∈∈≥，，存在，使得（）（）成立”, 等价于“在区间]0[2f x g x ，上，（）的最大值大于或等于（）的最大值”．求出[0]2g x （）在，上的最大值为21'202g f x e x x x a f x x x a ==--+'===-（）．（）（）（），令（），得，或．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a 的值范围．19．（Ⅰ）由题意可知22214b c a b c ==+=，,即可求得椭圆方程；（Ⅱ）由“点”“”B EF MF EF MFB AM ∠关于直线的对称点在直线上等价于平分设直线的方程,代入椭圆方程,由韦达定理求得M MF x k ⊥点坐标，分类讨论，当轴时，求得的值,即可求得11N E E BFM y x y x ∠=-=-+和点坐标，求得点在的角平分线所在的直线或,则EF MFB ∠平分,当12k ≠时,即可求得直线MF 的斜率及方程,利用点到直线的距离公式,求得2||d BE ==,则点B EF MF 关于直线的对称点在直线上．20．（Ⅰ）由于1010101110A B ==（，，，，），（，，，，）,由定义1(,B)||ni i i d A a b ==-∑,求d A B （，）的值． （Ⅱ）利用反证法进行证明即可； （Ⅲ）根据存在正整数j 使得12(0,0,,0)j A =个,12j A T m 为维向量序列中的项，求出所有的．。
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2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4＜0}，则∁R A=（）A．{x|x≤﹣2或x≥2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣2≤x≤2}2．（5分）下列函数中为奇函数的是（）A．y=x+cosx B．y=x+sinx C．D．y=e﹣|x|3．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．D．24．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|=||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，S n是其前n项和．若a1+a5=，a2a4=4，则S6=（）A．B．C．D．6．（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是（）A．25+24+23+22+2+1 B．25+24+23+22+2+5C．26+25+24+23+22+2+1 D．24+23+22+2+17．（5分）动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（）A． B．C． D．8．（5分）据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，a n，和b1，b2，b3，…，b n，令M={m|a m＜b m，m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（）A．若A B，B C，则A CB．若A B，B C同时不成立，则A C不成立C．A B，B A可同时不成立D．A B，B A可同时成立二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数i（2﹣i）在复平面内所对应的点的坐标为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，则a=．11．（5分）某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有种．（用数字作答）12．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD=，则BD=；三角形ABD的面积为．13．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则|OA|=．14．（5分）已知函数①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是．②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+a•cos2x（a∈R）．（Ⅰ）若f（）=2，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在[，]上单调递减，求f（x）的最大值．16．（13分）小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%﹣60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，右焦点为F（1，0），点M是椭圆C上异于左、右顶点A，B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．20．（13分）对于n维向量A=（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i=0或a i=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）=．（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1=（1，1，1，1，1）且满足：d（A i，A i）=2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，+10）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若且满足：d（A i，A i）=m，m∈N*，i=1，2，3，…，若存在正整数j使得，+1A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4＜0}，则∁R A=（）A．{x|x≤﹣2或x≥2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣2≤x≤2}【解答】解：集合A={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，则∁R A={x|x≤﹣2或x≥2}．故选：A．2．（5分）下列函数中为奇函数的是（）A．y=x+cosx B．y=x+sinx C．D．y=e﹣|x|【解答】解：对于A非奇非偶函数，不正确；对于B，计算，正确，对于C，非奇非偶函数，不正确；对于D，偶函数，不正确，故选：B．3．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．D．2【解答】解：作出x，y满足表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由，解得A（﹣，），设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z=F（，）=．最大值故选：C．4．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|=||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“|+|=||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．∴，是非零向量，则“，共线”是“|+|=||+||”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，S n是其前n项和．若a1+a5=，a2a4=4，则S6=（）A．B．C．D．【解答】解：设递增的等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a5=，a2a4=4=a1a5，解得a1=，a5=8．解得q=2，则S6==．故选：D．6．（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是（）A．25+24+23+22+2+1 B．25+24+23+22+2+5C．26+25+24+23+22+2+1 D．24+23+22+2+1【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，v=1，x=2，i=4满足条件i≥0，执行循环体，v=3，i=3满足条件i≥0，执行循环体，v=7，i=2满足条件i≥0，执行循环体，v=15，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=31，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=63，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为63．由于25+24+23+22+2+1=63．故选：A．7．（5分）动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（）A． B．C． D．【解答】解：由题意可知：对于A、B，当P位于A，B图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除A、B，对于D，其图象变化不会是对称的，由此排除D，故选C．8．（5分）据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，a n，和b1，b2，b3，…，b n，令M={m|a m＜b m，m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（）A．若A B，B C，则A CB．若A B，B C同时不成立，则A C不成立C．A B，B A可同时不成立D．A B，B A可同时成立【解答】解：若a i=b i，i=1，2，…n，则A B，B A同时不成立，故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数i（2﹣i）在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）．【解答】解：复数i（2﹣i）=2i+1在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，则a=1．【解答】解：直线ρcosθ+ρsinθ+1=0化为直角坐标方程：x+y+1=0．圆ρ=2acosθ（a＞0）即ρ2=2ρacosθ（a＞0），可得直角坐标方程：x2+y2=2ax，配方为：（x﹣a）2+y2=a2．可得圆心（a，0），半径a．∵直线ρcosθ+ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，∴=a，a＞0，解得a=1．故答案为：1．11．（5分）某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有14种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、选择1门B类课程，需要选择A类课程3门，则B类课程有C21=2种选法，A类课程有C43=4种选法，此时有2×4=8种选择方法；②、选择2门B类课程，需要选择A类课程2门，则B类课程有C22=1种选法，A类课程有C42=6种选法，此时有1×6=6种选择方法；则一共有8+6=14种不同的选法；故答案为：14．12．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD=，则BD=2；三角形ABD的面积为﹣1．【解答】解：△CBD中，由余弦定理，可得，BD==2，△ABD中，利用正弦定理，可得AD==2﹣2，∴三角形ABD的面积为（2﹣2）×=﹣1，故答案为2，﹣1．13．（5分）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则|OA|=．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）∵直线l过F，倾斜角为60°，即斜率k=tanα=，∴直线l的方程为：y=（x﹣1），即x=y+1，，解得：，，由点A在x轴上方，则A（3，2），则|OA|==，则丨OA丨=，故答案为：．14．（5分）已知函数①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是（1，+∞）．②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是（﹣4，﹣2）∪（2，4）．【解答】解：①f（x）=，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当a＞1时，f（x）=a只有1解．②∵关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，∴将f（x）的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有3个交点，∴2＜|T|＜4，即﹣4＜T＜﹣2或2＜T＜4．故答案为：①（1，+∞），②（﹣4，﹣2）∪（2，4）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+a•cos2x（a∈R）．（Ⅰ）若f（）=2，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在[，]上单调递减，求f（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为，∵．故得：a=1．（Ⅱ）由题意：f（x）=，其中tan，∴函数的周期T=π，且，所以当x=时，函数f（x）取得最大值，即f（x）max=f（）═=，∴sin（）=1，∴，k∈Z．∴tanθ==，∴a=3．故得．因此f（x）的最大值为．16．（13分）小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%﹣60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）【解答】解：设A i表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”（i=1，2，…，9）．根据题意，，且事件A i与A j互斥．…（1分）（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则B=A4∪A7．…（2分）所以．…（5分）（Ⅱ）由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，…（6分），…（7分），…（8分）．…（9分）所以X的分布列为…（10分）故X的期望．…（11分）（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…（13分）17．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）取CD 中点N，连结MN、FN．因为N，M分别为CD，BC中点，所以MN∥BD．又BD⊂平面BDE，且MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥AB，AB=2EF，所以EF∥CD，EF=DN．所以四边形EFND为平行四边形．所以FN∥ED．又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE，所以FN∥平面BDE，…（2分）又FN∩MN=N，所以平面MFN∥平面BDE．…（3分）又FM⊂平面MFN，所以FM∥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）取AD中点O，连结EO，BO．因为EA=ED，所以EO⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO．因为AD=AB，∠DAB=60°，所以△ADB为等边三角形．因为O为AD中点，所以AD⊥BO．因为EO，BO，AO两两垂直，设AB=4，以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．…（6分）由题意得，A（2，0，0），，，D（﹣2，0，0），，．…（7分），，．设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则y=1，．所以．…（9分）设直线CF与平面BDE成角为α，，所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为．…（10分）（Ⅲ）设G是CF上一点，且，λ∈[0，1]．…（11分）因此点．…（12分）．由，解得．所以在棱CF上存在点G使得BG⊥DE，此时．…（14分）18．（13分）设函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立，求a的取值范围．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）当a=0时，∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=（﹣x2+2x）e﹣x，…（1分），∴f′（﹣1）﹣3e．…（2分）又∵f（﹣1）=e，…（3分）∴曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为：y﹣e=﹣3e（x+1），即3ex+y+2e=0．…（4分）（Ⅱ）“对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立”，等价于“在区间[0，2]上，f（x）的最大值大于或等于g（x）的最大值”．…（5分）∵，∴g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）=1．f'（x）=（2x+a）•e﹣x﹣（x2+ax﹣a）•e﹣x=﹣e x[x2+（a﹣2）x﹣2a]=e﹣x（x﹣2）（x+a），令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．…（7分）①当﹣a＜0，即a＞0时，f′（x）＞0在[0，2]上恒成立，f（x）在[0，2]上为单调递增函数，f（x）的最大值为f（2）=（4+a）•，由（4+a）•≥1，得a≤e2﹣4．…（9分）②当0＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜0时，当x∈（0，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为单调递减函数，当x∈（﹣a，¬2）时，f'（x）＞0，f（x）为单调递增函数．∴f（x）的最大值为f（0）=﹣a或f（2）=（4+a），由﹣a≥1，得a≤﹣1；由（4+a）≥1，得a≤e2﹣4．又∵﹣2＜a＜0，∴﹣2＜a=1．…（11分）③当﹣a＞2，即a＜﹣2时，f′（x）＜0在[0，2]上恒成立，f（x）在[0，2]上为单调递减函数，f（x）的最大值为f（0）=﹣a，由﹣a≥1，得a≤﹣1，又因为a＜﹣2，所以a＜﹣2．综上所述，实数a的值范围是{x|a≤﹣1或a≥e2﹣4}．…（13分）19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴长为2，右焦点为F（1，0），点M是椭圆C上异于左、右顶点A，B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．【解答】解：（Ⅰ）由题意得2b=2，则b=，c=1，则a2=b2+c2=4，则a=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）证明：“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”．设直线AM的方程为y=k（x+2）（k≠0），则N（2，4k），E（2，2k）．…（7分）设点M（x0，y0），由，整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0，由韦达定理可知﹣2x0=，则x0=，y0=k（x0+2）=，①当MF⊥x轴时，x0=1，此时k=±．则M（1，±），N（2，±2），E（2，±1）．此时，点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1，即EF平分∠MFB．…（10分）②当k≠时，直线MF的斜率为k MF==，所以直线MF的方程为4kx+（4k2﹣1）y﹣4k=0．…（11分）所以点E到直线MF的距离===|2k|=|BE|．即点B关于直线EF的对称点在直线MF上，综上可知：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．…（14分）20．（13分）对于n维向量A=（a1，a2，…，a n），若对任意i∈{1，2，…，n}均有a i=0或a i=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）=．（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1=（1，1，1，1，1）且）=2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，满足：d（A i，A i+10）．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若且满）=m，m∈N*，i=1，2，3，…，若存在正整数j使得，足：d（A i，A i+1A j为12维T向量序列中的项，求出所有的m．【解答】解：（Ⅰ）由于A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），由定义，可得d（A，B）=4．…（4分）（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…A n，使得A1=（1，1，1，1，1），A m=（0，0，0，0，0）．因为向量A1=（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设A1的第i（i=1，2，3，4，5）个分量1变化了2n i﹣1次之后变成0，所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）=2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2）﹣1次，此数为奇数．又因为，说明A i中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A i，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾．+1所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．…（9分）（Ⅲ）存在正整数j使得，A j为12维T向量序列中的项，此时m=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…（13分）。