大学文科数学张国楚不定积分精品PPT课件
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第五章 不定积分 (《微积分》PPT课件)
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C; (11) csc x cot xdx csc x C; (12) e xdx e x C; (13) a xdx a x C;
6. x xdx ______________________；
7.
dx
x2 x
_______________________；
8. ( x2 3x 2)dx _________________；
9. ( x 1)( x3 1)dx _____________；
10.
(1
x)2 x
dx
或 f ( x)dx在区间 I 内原函数(.primitive function )
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,)内的原函数.
x
定理 原函数存在定理：
如果函数 f ( x)在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
不定积分 ppt
x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,
x11 x11
dx
t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C
(1 x ) 102
(1 x ) 101
C
解二
x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx
x)
dx
(1
101
100
x)
dx
(1 x ) 102
102
(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C
1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一
ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx
dx 2 co s
2
d x 2
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
高等数学不定积分的计算教学ppt
dx.
6x 1
3(2x 1) 4
(2x 1)10 dx (2x 1)10 dx
3
4
( (2x
1)9
(2x
1)10
)dx
1
2
3d(2 (2x
x
1) 1)9
1 2
4d(2x 1) (2 x 1)10
3 ( 1) (2x 1)8 2 ( 1) (2x 1)9 C
例8
计算（5）
2x 1 x2 4 x 5 dx.
例8
计算（6）
6x 1 (2 x 1)10
dx.
例8
计算（7）
1
x
x
dx.
例8
计算（8）
(1
x x)3
dx.
例8
计算（1）
1 x2 a2 dx;
x2
1
a2 dx
1 2a
x
1
a
x
1
a
dx
1 2a
d(x a) xa
d(x a) x a
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
f
(arctan
x)d(arctan
x)
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1
原式
1 x2 dx d(arctan x)
(2
arctan
x)2
tan
x
1
sec
d(tan x
x
sec
20-第20讲不定积分及其计算共53页PPT资料
F((x))C.
证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.
[ F (( x ) ) C ] F u u x f(( x ) ) ( x )
注1.定理中,若u为自变量时,当然有 f(u)duF(u)C
由此可见: 若 F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则表达式 F(x) + C 可表示 ƒ(x) 的所有原函数。
一. 不定积分的概念
定义
f (x) 在区间I 上的全体原函数的集合 { F ( x ) |F ( x ) f( x ) ,x I }
称为 f(x)在I上的不定 , 记 积为 分
例5
求 (xad)xx(b) (ab).
解
(x a d )x x ( b ) a1 b x 1a x 1b dx
部分分式法
a1 b x 1adxx 1bdx
1 lnxaC. ab xb
例6
求coc2xsos2xsi2nxdx.
(11 ) csc x cot x d x csc x C
(12 )
1 d x arcsin 1 x2
xC
(13
)
1
1 x2
dx
arctan
xC
以上积分公式是求不定积分的基础, 必须记牢！
例1
求(2x31)3dx.
解
( 2 x 3 1 ) 3 d x ( 8 x 6 1 x 4 6 2 x 2 1 d x )
使原积分变成可直接用积分公式来计算.
这种方法称为凑微分法. 其理论依据为
定理
设F(u)是f(u)在区I上 间的一个, 原函
f( u ) C (I)又 ,u (x )在 J 上 区 ,且 可 间微
证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.
[ F (( x ) ) C ] F u u x f(( x ) ) ( x )
注1.定理中,若u为自变量时,当然有 f(u)duF(u)C
由此可见: 若 F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则表达式 F(x) + C 可表示 ƒ(x) 的所有原函数。
一. 不定积分的概念
定义
f (x) 在区间I 上的全体原函数的集合 { F ( x ) |F ( x ) f( x ) ,x I }
称为 f(x)在I上的不定 , 记 积为 分
例5
求 (xad)xx(b) (ab).
解
(x a d )x x ( b ) a1 b x 1a x 1b dx
部分分式法
a1 b x 1adxx 1bdx
1 lnxaC. ab xb
例6
求coc2xsos2xsi2nxdx.
(11 ) csc x cot x d x csc x C
(12 )
1 d x arcsin 1 x2
xC
(13
)
1
1 x2
dx
arctan
xC
以上积分公式是求不定积分的基础, 必须记牢！
例1
求(2x31)3dx.
解
( 2 x 3 1 ) 3 d x ( 8 x 6 1 x 4 6 2 x 2 1 d x )
使原积分变成可直接用积分公式来计算.
这种方法称为凑微分法. 其理论依据为
定理
设F(u)是f(u)在区I上 间的一个, 原函
f( u ) C (I)又 ,u (x )在 J 上 区 ,且 可 间微
大学文科数学-张国楚-集合、实数、极限精选ppt
.
1.数列极限的定性描述
定义1：如果n无限增大时，数列a n 的
同项 a n 无限趋近于常数a，则称该数列
以a为极限，记作 l n i a m n a 或 a n a n .
其中 n表示n无限增大，此时也称为 该数列收敛；如果 n时，不以任何常
数为极限，则称数列 a n 发散。
.
无穷小量：以零为极限的变量称为无穷 小 绝量对。值无21n 就 限是 变n 大的时变的量无称穷为小无量穷。大量。 常数列的极限仍是该常数。
1 2
lim
x 0
sin 2 x 2
x 2
2
1 2
lim
x0
sin x
x 2
2
2
1 2
12
1 2
.
完
.
例12 求 lx i0m xx ssiin n 22xx.
解 lx im 0 xxssiinn22xxlx im 011ssiixxnn22xx
lim
x0
1 1
2 2
sin 2 2x
sin 2 2x
limf(x)
xx0
lim P ( x )
x x0
lim Q ( x )
x x0
P( Q(
x0 x0
) )
f(x0).
当 Q(x0)0时，则商的法则不能应用.
完
.
例3 求 lx im 1 x2x22x13. 解 x 1时, 分子和分母的极限都是零. 此时应先 约去不为零的无穷小因子 x1后再求极限.
.
布置作业
必作题：无 选作题：无 思考题：推动微积分不断向前发展的因 素有哪些？哪些数学家对微积分的完善 与发展做出了重大贡献，各自的成就有 哪些？
《数学分析》第8章 不定积分ppt课件
证 (i) 由 (F( x) C) F ( x) f ( x), 知 F( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数.
(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0.
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ( x) k( x).
定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若 F ( x) f ( x)， x I ,
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x)C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y F(x) ( x0 , y0 )
O
x
满足条件 F ( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ( x) f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求
s(t), 使 s(t) v(t).
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
不定积分课件
详细描述
换元积分法适用于被积函数较为复杂 的情况，通过引入新的变量进行替换 ，可以将不定积分转化为更易计算的 形式，从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算，将问题转化为求两个 函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式，通过将其中一个函数进行 不定积分运算，将问题转化为求另一个函数的导数的问题，从而简化计算过程 。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算 方法，通过将原函数进行不定积分运 算，得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式，将不定 积分转化为基本的初等函数形式，从 而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换 原函数中的自变量，从而简化不定积 分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型，涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积 分的运算规则和技巧，如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大，涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型，通常要求对根巧和方法，如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表 示为有理函数的形式，然后利用有理函 数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理 函数的情况，通过将被积函数表示为有理 函数的形式，利用有理函数的性质进行不 定积分运算，可以得到不定积分的结果。
换元积分法适用于被积函数较为复杂 的情况，通过引入新的变量进行替换 ，可以将不定积分转化为更易计算的 形式，从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算，将问题转化为求两个 函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式，通过将其中一个函数进行 不定积分运算，将问题转化为求另一个函数的导数的问题，从而简化计算过程 。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算 方法，通过将原函数进行不定积分运 算，得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式，将不定 积分转化为基本的初等函数形式，从 而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换 原函数中的自变量，从而简化不定积 分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型，涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积 分的运算规则和技巧，如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大，涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型，通常要求对根巧和方法，如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表 示为有理函数的形式，然后利用有理函 数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理 函数的情况，通过将被积函数表示为有理 函数的形式，利用有理函数的性质进行不 定积分运算，可以得到不定积分的结果。
高等数学不定积分的计算教学ppt
令u 10x
1 10
sin
udu
1 10
cos
u
C
u回代 1 cos10x C. 10
[ 1 cos10x C] sin10x 说明结果正确 10
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
e3xdx 1
3
e 3 xd(3 x )
令u 3x
1 3
eudu 1 eu C 3
u回代 1 e3x C 3
x
; 6
原式
(x
1 3)( x
2)
dx
1 5
(
x
1
3
x
1
)dx 2
1 5
[
x
1
d(x 3
3)
x
1
2
d(
x
2)]
1 (ln | x 3 | ln | x 2 |) c 1 ln | x 3 | c
5
5 x2
练习
求
dx x2 5x 4 .
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
sin xdx d(cos x);
sec x tan xdx d(sec x); csc x cot xdx d(csc x).
sec2 xdx d(tan x); csc2 xdx d(cot x);
dx d(arcsin x);
1 x2
dx 1 x2 d(arctan x);
第四章 不定积分
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
例6 计算
(2 arctan x)2
1 x2
dx.
1 1 x2 dx d(arctan x)
f
(arctan
大学文科数学_张国楚_不定积分
原函数的概念 由此知道, 上的原函数, 由此知道, 若F ( x ) f在区间 上的原函数, 为 ( x) I 则 全体原函数为 函数 f ( x )的全体原函数为F ( x ) + C ( C 为任意常数 . 为任意常数). 原函数的存在性将在下一章讨论, 原函数的存在性将在下一章讨论, 这里先介绍一 个结论: 结论: 上的连续函数一定有原函数. 区间 I上的连续函数一定有原函数. 的原函数, 注:求函数 f ( x ) 的原函数, 实质上就是问它是由什么 函数求导得来的. 的一个原函数 函数求导得来的. 而一旦求得 f ( x )的一个原函数F ( x ), 为任意常数). 则其全体原函数为 F ( x ) + C ( C 为任意常数 . 完
而由不定积分定义
所以
∫ f ′( x )dx = f ( x ) + C d ( f ( x )dx ) ≠ f ′( x )dx . ∫ dx ∫
完
例2 求下列不定积分
( 2) ∫ 12 dx; ( 3) ∫ 1 2 dx . x 1+ x 4 ′ x4 解 (1) 因为 x = x 3 , 所以 是 x 3的一个原函数, 的一个原函数, 4 4 x 4 + C (C为任意常数 ). 3 从而 ∫ x dx = 4
1.1 原函数与不定积分的概念
定义1 设函数 F (x)与 f (x)在区间I上有定义.若在I上 F ′( x) = f ( x)，
则称函数 F (x) 为 f (x)在区间I上的一个原函数.
研究原函数必须解决的两个重要问题： ⑴ 什பைடு நூலகம்条件下，一个函数存在原函数？ ⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？
∫
在几何上表示 f (x)的积分曲线族，它可由 f (x) 的某一条积 分曲线 y = F (x) 沿y轴方向上下平移而得到.显然，曲线 族中每一条积分曲线横坐标相同点处的切线相互平行. （如图）
不定积分的计算ppt课件
1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1
不定积分课件
THANKS
03 不定积分的实际应用
物理问题中的应用
速度和加速度
通过不定积分计算物体的速度和 加速度，解决与运动学相关的物 理问题。
功和能量
不定积分可以用来计算力对物体 所做的功以及物体的能量变化， 解决与力学相关的物理问题。
电流和电压
不定积分可以用来计算电流和电 压的积分形式，解决与电磁学相 关的物理问题。
不定积分的几何意义
不定积分表示函数在某个区间上的面积，即函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
线性性质
对于任意常数C和D，有∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
积分区间可加性
对于任意区间[a,b]和[b,c]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]ab+[∫f(x)dx]bc。
工程问题中的应用
流体动力学
不定积分可以用来计算流体动力学中的流速、压力和 阻力等参数。
热力学
不定积分可以用来计算热力学中的温度、热量和熵等 参数。
控制工程
不定积分可以用来分析和设计控制系统，例如PID控 制器的设计和分析。
经济问题中的应用
01
02
03
成本和收益
不定积分可以用来计算成 本和收益的积分形式，解 决与经济学相关的经济问 题。
不定积分课件
目录
Contents
• 不定积分的基本概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的实际应用 • 不定积分的注意事项与难点解析 • 不定积分的典型例题解析 • 不定积分的练习题与答案解析
01 不定积分的基本概念
不定积分的定义
原函数与不定积分
不定积分是微分的逆运算，给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得 F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是常数 。
不定积分基本公式表PPT幻灯片
dx 1 dxБайду номын сангаасx2 x2 1
1arctaxnC. x
14
例 ７ 求
x4 dx.
x2 1
解
x 4 dx x2 1
x4 11 dx
x2 1
(x21)x (21)
dx
1 dx
x21
x21
(x21)dx 1 dx 1x2
x3 xarctxanC.
3
15
例 8 求
cos2x dx. cosxs inx
解
cos2x dx co2sxsin2 xdx
cosxsinx
cosxsinx
coxssin xdx
six n co x C s.
16
例 9 求
1
dx.
co2s xs in2 x
解
1
dx
co2sxsin2 x dx
co2s xs in2 x
co2sxsin2 x
1 dx 1 dx
解 设所求的运动规律 s = s(t)，按题意有
积分得
s(t)v(t)2t21
s(t) (2t21)dt2t3tC 3
将条件 s|t=1 = 3，代入上式中，得 C 4 .
于是物体的运动规律为
3
s(t)2t3 t4.
3
3
19
co2sx
si2nx
1 dx 1 dx
co2sx
si2nx
ta x n co x C t.
17
例 10 求 tan2 xdx.
解 tan2 xdx se2cx1dx
se2cxdx dx
taxn xC .
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例 11 已知物体以速度 v 2t2+1 (m/s)作直线运动， 当 t=1 s 时, 物体经过的路程为3m, 求物体的运动规律.
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原函数的概念
定义 设 f ( x是) 定义在空间 上I 的函数, 若存在函 数F ( x)对任何 x I均有
F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx 则称函数F ( x为) f在( x区) 间 上的I 原函数.
例如,
因为(sin x) cos x, 故sin x是cos x的一个原函数; 因为( x2 ) 2 x, 故 x是2 2 x的一个原函数; 因为( x2 1) 2 x, 故 x2 1是2x的一个原函数;
引言
学面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、曲线围成的面积、 曲面围成的体积、 物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远 的历史, 例如, 古希腊人曾用穷竭法求出了某些图 形的面积和体积, 我国南北朝时期的祖冲之、祖恒 也曾推导出某些图形的面积和体积, 而在欧洲, 对 此类问题的研究兴起于17世纪, 先是穷竭法被逐渐 修改, 后来由于微积分的创立彻底改变了解决这一 大类问题的方法.
从上述后面两个例子可见: 一个函数的原函数不是 唯一的.
原函数的概念
从上述后面两个例子可见: 一个函数的原函数不是 唯一的.
事实上, 若F ( x)为 f ( x)在区间 I上的原函数, 即有 F ( x) f ( x) [F ( x) C] f ( x) ( C 为任意常数). 从而F ( x) C 也是f ( x)在区间 I上的原函数.
完
教学目标：本章目标是介绍不定积分的概念、 性质和求不定积分的主要方法（换元积分法和 分部积分法）。要求理解不定积分的概念和性 质、掌握不定积分的基本积分公式、换元积分 法和分部积分法。了解莱布尼茨的生平事蹟和 他对数学发展所作的贡献。
教学重点：不定积分的概念和性质、不定积 分的基本积分公式；
教学难点：不定积分的换元积分和分部积分法； 教学时数：8学时； 教学内容
§1 逆向思维又一例——原函数与不定积分 §2 矛盾转化法——换元积分和分部积分法 数学家启示录
1.1 原函数与不定积分的概念
定义1 设函数F(x)与 f (x)在区间I上有定义.若在I上
F(x) f (x)，
则称函数 F(x)为 f (x)在区间I上的一个原函数.
研究原函数必须解决的两个重要问题： ⑴ 什么条件下，一个函数存在原函数？ ⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？
定义2 f (x) 在区间I 上的全体原函数称为 f (x)在I 上
的不定积分，记作 f (x)dx.
其中称 为积分号，f (x)为被积函数，f (x)dx为被积表达
式，x为积分变量.
由定义2知， f (x)dx F (x) C.
这时又称C为积分常数，它可以取任意实数值微分的逆运算问题 ——不定积分
引言
数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数, 运动
进入了数学; 有了变数, 辩证法进入了数学; 有了变数,
微分和积分也就立刻成为必要的了, 而它们也就立刻产
生, 并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的, 但不是由
他们发明的.
------恩格斯
数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力 量. 17世纪, 微积分的创立首先是为了解决当时数 学面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、曲线围成的面积、 曲面围成的体积、
引言
数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数, 运动
进入了数学; 有了变数, 辩证法进入了数学; 有了变数,
微分和积分也就立刻成为必要的了, 而它们也就立刻产
生, 并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的, 但不是由
他们发明的.
------恩格斯
数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力 量. 17世纪, 微积分的创立首先是为了解决当时数 学面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、曲线围成的面积、 曲面围成的体积、
一个函数的任意二个原函数之间相差一个常数.
事实上, 设F ( x)和 G( x)都是 f ( x) 的原函数, 则 [F ( x) G( x)] F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0
F ( x) G( x) C ( C 为任意常数). 由此知道, 若F ( x)为 f ( x)在区间 I上的原函数, 则
不定积分的概念
注: 由定义知, 求函数 f ( x的) 不定积分, 就是求
f ( x)的全体原函数, 在 f ( x)dx中, 积分号 表示对函数 f ( x) 实行求原函数的运算,
故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微积分) 运算的逆运算.
完
例1
问d dx
f ( x)dx
与
f ( x)dx 是否相等?
函数求导得来的. 而一旦求得f ( x)的一个原函数F ( x),
则其全体原函数为F ( x) C ( C 为任意常数).
完
以下两个定理为我们作了回答.
定理1 若函数f (x)在区间I 上连续，则 f (x)在I上存在 原函数 F (x).
定理2 设 F(x)是 f (x)在区间I上的一个原函数，则 ⑴F (x) C也是 f (x)的一个原函数，其中C为任意常数； ⑵ f (x) 的任意两个原函数之间，相差一个常数.
由求运动速度、 曲线的切线和极值等问题产生
引言
由求运动速度、 曲线的切线和极值等问题产生 了导数和微分, 构成了微积分学的微分学部分; 同 时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求 面积与体积等问题, 产生了不定积分和定积分, 构成了微积分学的积分学部分.
前面已经介绍已知函数求导数的问题, 现在我 们要考虑其反问题: 已知导数求其函数, 这种由导 数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分.
原函数的概念
由此知道, 若F ( x为) f在( x区) 间 上的I 原函数, 则 函数 f ( x)的全体原函数为F ( x) C( C 为任意常数).
原函数的存在性将在下一章讨论, 这里先介绍一 个结论:
区间 I上的连续函数一定有原函数. 注:求函数 f ( x的) 原函数, 实质上就是问它是由什么
解 不相等.