大学文科数学张国楚不定积分精品PPT课件

引言
学面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、曲线围成的面积、 曲面围成的体积、 物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远 的历史, 例如, 古希腊人曾用穷竭法求出了某些图 形的面积和体积, 我国南北朝时期的祖冲之、祖恒 也曾推导出某些图形的面积和体积, 而在欧洲, 对 此类问题的研究兴起于17世纪, 先是穷竭法被逐渐 修改, 后来由于微积分的创立彻底改变了解决这一 大类问题的方法.
完
教学目标：本章目标是介绍不定积分的概念、 性质和求不定积分的主要方法（换元积分法和 分部积分法）。要求理解不定积分的概念和性 质、掌握不定积分的基本积分公式、换元积分 法和分部积分法。了解莱布尼茨的生平事蹟和 他对数学发展所作的贡献。
教学重点：不定积分的概念和性质、不定积 分的基本积分公式；
教学难点：不定积分的换元积分和分部积分法； 教学时数：8学时； 教学内容
函数求导得来的. 而一旦求得f ( x)的一个原函数F ( x),
则其全体原函数为F ( x) C ( C 为任意常数).
完
பைடு நூலகம்
以下两个定理为我们作了回答.
定理1 若函数f (x)在区间I 上连续，则 f (x)在I上存在 原函数 F (x).
定理2 设 F(x)是 f (x)在区间I上的一个原函数，则 ⑴F (x) C也是 f (x)的一个原函数，其中C为任意常数； ⑵ f (x) 的任意两个原函数之间，相差一个常数.
从上述后面两个例子可见: 一个函数的原函数不是 唯一的.
原函数的概念
从上述后面两个例子可见: 一个函数的原函数不是 唯一的.
事实上, 若F ( x)为 f ( x)在区间 I上的原函数, 即有 F ( x) f ( x) [F ( x) C] f ( x) ( C 为任意常数). 从而F ( x) C 也是f ( x)在区间 I上的原函数.
定义2 f (x) 在区间I 上的全体原函数称为 f (x)在I 上
的不定积分，记作 f (x)dx.
其中称 为积分号，f (x)为被积函数，f (x)dx为被积表达
式，x为积分变量.
由定义2知， f (x)dx F (x) C.
这时又称C为积分常数，它可以取任意实数值.于是有
f (x)dx F(x) C f (x).
不定积分的概念
注: 由定义知, 求函数 f ( x的) 不定积分, 就是求
f ( x)的全体原函数, 在 f ( x)dx中, 积分号 表示对函数 f ( x) 实行求原函数的运算,
故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微积分) 运算的逆运算.
完
例1
问d dx
f ( x)dx
与
f ( x)dx 是否相等?
解 不相等.
一个函数的任意二个原函数之间相差一个常数.
事实上, 设F ( x)和 G( x)都是 f ( x) 的原函数, 则 [F ( x) G( x)] F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0
F ( x) G( x) C ( C 为任意常数). 由此知道, 若F ( x)为 f ( x)在区间 I上的原函数, 则
由求运动速度、 曲线的切线和极值等问题产生
引言
由求运动速度、 曲线的切线和极值等问题产生 了导数和微分, 构成了微积分学的微分学部分; 同 时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求 面积与体积等问题, 产生了不定积分和定积分, 构成了微积分学的积分学部分.
前面已经介绍已知函数求导数的问题, 现在我 们要考虑其反问题: 已知导数求其函数, 这种由导 数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分.
原函数的概念
定义 设 f ( x是) 定义在空间 上I 的函数, 若存在函 数F ( x)对任何 x I均有
F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx 则称函数F ( x为) f在( x区) 间 上的I 原函数.
例如,
因为(sin x) cos x, 故sin x是cos x的一个原函数; 因为( x2 ) 2 x, 故 x是2 2 x的一个原函数; 因为( x2 1) 2 x, 故 x2 1是2x的一个原函数;
§1 逆向思维又一例——原函数与不定积分 §2 矛盾转化法——换元积分和分部积分法 数学家启示录
1.1 原函数与不定积分的概念
定义1 设函数F(x)与 f (x)在区间I上有定义.若在I上
F(x) f (x)，
则称函数 F(x)为 f (x)在区间I上的一个原函数.
研究原函数必须解决的两个重要问题： ⑴ 什么条件下，一个函数存在原函数？ ⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？
第五章 微分的逆运算问题 ——不定积分
引言
数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数, 运动
进入了数学; 有了变数, 辩证法进入了数学; 有了变数,
微分和积分也就立刻成为必要的了, 而它们也就立刻产
生, 并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的, 但不是由
他们发明的.
------恩格斯
数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力 量. 17世纪, 微积分的创立首先是为了解决当时数 学面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、曲线围成的面积、 曲面围成的体积、
引言
数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数, 运动
进入了数学; 有了变数, 辩证法进入了数学; 有了变数,
微分和积分也就立刻成为必要的了, 而它们也就立刻产
生, 并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的, 但不是由
他们发明的.
------恩格斯
数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力 量. 17世纪, 微积分的创立首先是为了解决当时数 学面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、曲线围成的面积、 曲面围成的体积、
原函数的概念
由此知道, 若F ( x为) f在( x区) 间 上的I 原函数, 则 函数 f ( x)的全体原函数为F ( x) C( C 为任意常数).
原函数的存在性将在下一章讨论, 这里先介绍一 个结论:
区间 I上的连续函数一定有原函数. 注:求函数 f ( x的) 原函数, 实质上就是问它是由什么